Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка. Тема: "Исследование функции при помощи производной"
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Методическая разработка. Тема: "Исследование функции при помощи производной"

библиотека
материалов

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 6

Тема: «Исследование функции при помощи производной»

Цель: формирование умений исследовать функции при помощи производной, применять производную при решении задач на максимум и минимум.

Методические указания для практической работы

Теоретические сведения

  1. Возрастание и убывание функции

Функцияhello_html_m6ebf54ee.gif называется возрастающей в промежутке hello_html_4220864a.gif, если для любыхhello_html_570f113e.gifиhello_html_2b92f0a8.gif, принадлежащих этому промежутку и таких, что hello_html_60d582c5.gif, имеет место неравенство hello_html_6ab91acc.gif.

Функция hello_html_m6ebf54ee.gif называется убывающей в промежутке hello_html_4220864a.gif, если для любыхhello_html_570f113e.gifиhello_html_2b92f0a8.gif, принадлежащих этому промежутку и таких, что hello_html_60d582c5.gif, имеет место неравенство hello_html_m453e60e4.gif.

Как возрастающие , так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Возрастание и убывание функции hello_html_m6ebf54ee.gif характеризуется знаком ее производной:

если в некотором промежутке hello_html_79674a8a.gif, то функция возрастает в этом промежутке;

если в некотором промежутке hello_html_7a6fbc2e.gif, то функция убывает в этом промежутке.

Пример 1. Найти промежутки монотонности следующих функций:

а)hello_html_m672c1e3e.gif б)hello_html_m649640f7.gif

а) Находим производную:hello_html_m725cb7f7.gif, имеем hello_html_2e7828da.gif.

Последующие рассуждения представим в таблице:


hello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_m728fa1f9.gif

4

hello_html_m2e971c54.gif

hello_html_52762f6a.gif

-

0

+

hello_html_m62f7f14f.gif

hello_html_4f158ac3.gif


hello_html_736e1be7.gif


Таким образом, данная функция в промежутке hello_html_m728fa1f9.gif убывает,

а в промежутке hello_html_m2e971c54.gifвозрастает.

б)hello_html_95fef2c.gif hello_html_m183eedab.gif

Составим таблицу:

hello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_m14d8348d.gif

0

hello_html_3e1d96cf.gif

4

hello_html_m2e971c54.gif

hello_html_52762f6a.gif

+

0

-

0

+

hello_html_m62f7f14f.gif

hello_html_736e1be7.gif


hello_html_4f158ac3.gif


hello_html_736e1be7.gif


Итак, в промежутках hello_html_m14d8348d.gif и hello_html_m2e971c54.gifфункция возрастает, а в промежутке hello_html_3e1d96cf.gif - убывает.


  1. Исследование функции на экстремум

с помощью первой производной


Точка hello_html_69b83015.gif из области определения функции hello_html_m62f7f14f.gifназывается точкой минимума этой функции, если существует такая hello_html_27cedfba.gif – окрестность

hello_html_7395928b.gifточки hello_html_69b83015.gif, что для всех hello_html_68518450.gif из этой окрестности выполняется неравенство hello_html_1f0e490d.gif

Точка hello_html_69b83015.gif из области определения функции hello_html_m7eced531.gif называется точкой максимума этой функции, если существует такая hello_html_27cedfba.gif – окрестность

hello_html_7395928b.gifточки hello_html_69b83015.gif, что для всех hello_html_68518450.gif из этой окрестности выполняется неравенство hello_html_7bac68e1.gif

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – минимумом и максимумом (или экстремумами) функции.

Точками экстремумами могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная hello_html_52762f6a.gif обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку hello_html_69b83015.gif производная hello_html_52762f6a.gif меняет знак, то функция hello_html_m7eced531.gif имеет в точке hello_html_69b83015.gif экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум – когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку hello_html_69b83015.gif производная hello_html_52762f6a.gif не меняет знака, то функция hello_html_m7eced531.gif в точке hello_html_69b83015.gif не имеет экстремума.

  1. Правило нахождения экстремумов функции hello_html_5a44a6b1.gif

с помощью первой производной

  1. Найти производную hello_html_52762f6a.gif.

  2. Найти критические точки функции hello_html_5a44a6b1.gif, т.е. точки в которых hello_html_52762f6a.gif обращается в нуль или терпит разрыв.

  3. Исследовать знак производной hello_html_52762f6a.gif в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции hello_html_m7eced531.gif. При этом критическая точка hello_html_69b83015.gif есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором hello_html_m72fea4b5.gif, от промежутка, в котором hello_html_m71f65211.gif, и точка максимума – в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой hello_html_69b83015.gif, знак производной не меняется, то в точке hello_html_69b83015.gif функция экстремума не имеет.

  4. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример 2. Исследовать на экстремум следующие функции:

а)hello_html_64ce10db.gif б) hello_html_ma71bb5a.gif

а) Находим hello_html_1db5c604.gif , приравняем производную к нулю, имеем hello_html_m77cbd4d4.gif . Получим единственную критическую точку hello_html_m14b55a82.gif.




Последующие рассуждения представим в таблице:

hello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_1e8b7b17.gif

2

hello_html_4990265c.gif

hello_html_52762f6a.gif

-

0

+

hello_html_m62f7f14f.gif

hello_html_4f158ac3.gif

Минимум

hello_html_m33bdd7ea.gif

hello_html_736e1be7.gif


hello_html_m669d381.gif

График функции hello_html_4022b581.gif есть парабола. Точка минимума (2;-4) является вершиной параболы.

б) Находим hello_html_m22300f22.gif , приравняем производную к нулю, имеемhello_html_1870bd20.gif . Получим две критические точки hello_html_6f34565d.gif и hello_html_m14b55a82.gif.

Последующие рассуждения представим в таблице:

hello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_m14d8348d.gif

0

hello_html_m32ee369b.gif

2

hello_html_4990265c.gif

hello_html_52762f6a.gif

+

0

-

0

+

hello_html_m62f7f14f.gif

hello_html_736e1be7.gif

Максимум

hello_html_m4e1a8e47.gif

hello_html_4f158ac3.gif

Минимум

hello_html_62910d66.gif

hello_html_736e1be7.gif


hello_html_m74943b23.gif

hello_html_m3104b76a.gif

  1. Наименьшее и наибольшее значения функции

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:

  1. Найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;

  2. Найти значения функции на концах промежутка;

  3. Сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из них являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.

Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции hello_html_m7ba0430d.gif в промежутке hello_html_f20f84d.gif.

Имеем hello_html_1db5c604.gif; 2hello_html_78e3313b.gif, т.е. hello_html_m14b55a82.gif - критическая точка. Находим hello_html_448c076c.gif; далее, вычисляем значения функции на концах промежутка: hello_html_40cfcaff.gif, hello_html_78a3408.gif.

Итак, наименьшее значение функции равно - 1 и достигается ею во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и достигается на левом конце промежутка.


  1. Построение графиков функций

Общая схема построения графиков функций

  1. Найти область определения функции.

  2. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.

  3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).

  4. Найти асимптоты графика функции.

  5. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

  6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.

  7. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Пример 4 . Построить график функции hello_html_f52f3af.gif.

  1. Функция определена на всей числовой прямой, т.е. hello_html_m3323b506.gif.

  2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.

  3. Найдем точку пересечения графика с осью hello_html_m6ae8bad7.gif: полагая hello_html_6f34565d.gif , получим hello_html_m290c4cc5.gif . Точки пересечения графика с осью hello_html_51f22a41.gif в данном случае найти затруднительно.

  4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.

  5. Найдем производную: hello_html_m287ff89c.gif . Далее, имеем hello_html_6a46b0b8.gif.

Точки hello_html_m1c7b9ae5.gif и hello_html_554b3652.gif делят область определения функции на три промежутка: hello_html_2a107cc9.gif, hello_html_m725ca46a.gif, hello_html_m60954ec4.gif . В промежутках hello_html_2a107cc9.gif и hello_html_3e11b947.gif, то есть функция возрастает, а в промежутке hello_html_m725ca46a.gif hello_html_m7b1409a0.gif, то есть функция убывает. При переходе через точку hello_html_m1c7b9ae5.gif производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку hello_html_554b3652.gif - с минуса на плюс. Значит, hello_html_m7832f5f4.gif.

  1. Найдем вторую производную: hello_html_5373e2d2.gif. Точка hello_html_m14b55a82.gif делит область определения функции на два промежутка hello_html_1e8b7b17.gif и hello_html_4990265c.gif. В первом из них hello_html_m309e7304.gif, а во втором

hello_html_m339685a8.gif, то есть в промежутке hello_html_1e8b7b17.gif кривая выпукла вверх, а в промежутке hello_html_4990265c.gif выпукла вниз. Таким образом, получим точку перегиба (2;-1).

  1. Используя полученные данные, строим искомый график.

hello_html_f52f3af.gif





Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 6

Тема: «Исследование функции при помощи производной»

Цель: формирование умений исследовать функции при помощи производной, применять производную при решении задач на максимум и минимум.

Вариант 1.

  1. Найдите промежутки монотонности функции hello_html_3e4cf371.gif.

  2. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции:

hello_html_5106d0fb.gifна отрезке hello_html_m6d39e48f.gif.

  1. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривых:

  1. hello_html_5617e207.gif; б) hello_html_1494b96d.gif.

  1. Дан закон прямолинейного движения точки hello_html_m1eb01274.gif

(t - в секундах, s - в метрах). Найдите максимальную скорость движения этой точки.

  1. Исследуйте функцию и постройте ее график:

hello_html_15b9b98e.gif.

Вариант 2.

  1. Найдите промежутки монотонности функции hello_html_m193c90b9.gif.

  2. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции

hello_html_mdff3b6d.gifна отрезке hello_html_50a39f1e.gif.

  1. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривых:

  1. hello_html_m6f36168d.gif; б) hello_html_m5c7e7f09.gif.

  1. Дан закон прямолинейного движения точки hello_html_d9d82dc.gif (t - в секундах, s - в метрах). Найдите максимальную скорость движения этой точки.

  2. Исследуйте функцию и постройте ее график:

hello_html_6b4c3807.gif.

Общая информация

Номер материала: ДВ-385004

Похожие материалы