Методическая разработка темы "Квадратные уравнения" (алгебра, 8 класс)

Методическая разработка темы

«Квадратные уравнения»

(алгебра, 8 класс)

Васильев Станислав Николаевич
учитель математики

МОУ гимназия № 1

г. Комсомольска-на-Амуре

2017-2018 учебный год

Содержание работы:

1. Критерии оценивания учебных достижений ученика при изучении темы «Квадратные уравнения».

2. Календарно – тематическое планирование темы.

3. Справочный материал по теме.

4. Справочный материал по повторению.

5. Поэлементный анализ учебных достижений учащихся по теме и повторение по этой теме.

6. Варианты ТКР по теме.

7. Поэлементный анализ заданий соответственно уровней учебных достижений.

Критерии оценивания учебных достижений учащихся при изучении темы

«Квадратные уравнения»

Уровни

учебных достижений ученика

Баллы

Критерии оценивания учебных достижений

ученика

І. Начальный

2

Ученик (ученица) розпознаёт квадратные уравнения разных видов (полные, неполные, приведённые), квадратные трёхчлены.

Ученик (ученица) с помощью учителя (или опорного конспекта) решает простейшие квадратные уравнения.

ІІ. Средний

3

Ученик (ученица) даёт и иллюстрирует собственными примерами определение квадратного уравнения (полного, неполного, приведённого), квадратного трёхчлена, теорему Виета и обратную к ней. Самостоятельно решает задания обязательного уровня с достаточным объяснением способов решения на нахождение корней квадратного уравнения, на разложение квадратного трёхчлена на множители и на использование теоремы Виета и обратной к ней. Записует квадратные уравнения, квадратные трёхчлены, теорему Виета и обратную к ней по их словесной формулировке и обратно.

ІІІ. Достаточный

4

Ученик (ученица) свободно владеет понятиями квадратных уравнений разных видов, квадратного трёхчлена, теоремой Виета и обратной к ней теоремы; способами решения квадратных уравнений разных видов и уравнений, приводимых к ним, разложения квадратного трёхчлена на множители, указанными в программе. Самостоятельно выполняет задания в знакомых ситуациях с достаточным объяснением; исправляет допущенные ошибки; полностью аргументирует выбранный способ решения квадратных уравнений разных видов и уравнений, приводимых к ним, разложение квадратного трёхчлена на множители; анализирует возможности разных способов упрощения условия уравнения, приводимого к квадратному. Самостоятельно решает текстовые задачи с помощью квадратных уравнений и уравнений, приводимых к квадратным.

ІV. Высокий

5

Ученик (ученица) проявляет вариативность мышления, ищет рациональность в выборе способа решения квадратного уравнения и уравнений, приводимых к ним; умеет обобщать и систематизировать знания по теме в виде опорного сигнала, таблицы или модели полученных знаний; способен (способна) к решению нестандартных квадратных уравнений, уравнений, приводимых к ним и текстовых задач и применять нестандартные приёмы их решения.

Календарно-тематическое планирование по алгебре в 8 классе по теме

«Квадратные уравнения»

Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений \ Г.К. Муравина др. 3 часа в неделю. Всего 102 часа.

Домашнее задание

1

Выделение полного квадрата.

1

№298, 299(1,2), 300, 301, 302(1), 303(3)

CD-ROM «Подго-товка к ЕГЭ»

П.21, №302(2,4), 303(1), 308(1)

2

Выделение полного квадрата.

1

№301(3,4,7,8), 302(2), 305(1,2)

П.21, №302(5,8), 304(3), 305(3)

3

Решение квадратного уравнения в общем виде. Формула корней квадратного уравнения

1

№310(1), 311, 312(1,2), 314(а,в,д,ж)

П.22, №312(3), 313(3), 314(б)

4

Решение квадратного уравнения в общем виде. Формула корней квадратного уравнения.

1

№ 313(2), 315

CD-ROM «Подго-товка к ЕГЭ»

П.22, №316, 324(1), 325(1)

5

Решение квадратного уравнения в общем виде. Формула корней квадратного уравнения. Самостоятельная работа

1

№ 314(е,ж,з), 325(2), 324(1,2)

С\Р

П.22, №315(1,3), 317, 324(2)

6

Контрольная работа №5 по теме «Квадратные уравнения»

1

К\Р

К\Р

П.23, №318, 320, 321

7

Анализ контрольной работы. Теорема Виета и теорема, обратная к ней

1

№326(а,б,в,г), 327(1,2), 328(а,б), 333(1,3)

CD-ROM «Подго-товка к ЕГЭ»

П.23, №329(2), 330(2), 332(1,4), 333(2,4), 334

8

Теорема Виета и теорема, обратная к ней. Самостоятельная работа

1

№330(2), 327(3,4), 332(2),

336(1), 338

С\Р

П.23, №333(5), 334(5), 335(2,7), 336(2)

9

Частные случаи квадратного уравнения.

1

№342, 343, 355

CD-ROM «Подго-товка к ЕГЭ»

П.24, №344, 345, 354(2), 356(1)

10

Частные случаи квадратного уравнения. Самостоятельная работа

1

№350(1,2), 347(1,4), 351, 352(9)

С\Р

П.24, 352(4,6), 356(2,3)

11

Решение задач с помощью квадратных уравнений и уравнений, приводимых к ним

1

№358(1,2), 359(1а)

CD-ROM «Подго-товка к ЕГЭ»

П. 25, №359 ДКР№5

12

Решение задач с помощью квадратных уравнений и уравнений, приводимых к ним

1

№360, 361(1а), 361(1б, 1в)

П.25, №361, №9, 10 из «Практикума по решению задач»

13

Решение задач с помощью квадратных уравнений и уравнений, приводимых к ним.

1

№364(а,б), 349(1,3)

П.25, №364(в), 349(2,4)

14

Решение задач с помощью квадратных уравнений и уравнений, приводимых к ним. Самостоятельная работа

1

№362, 367(1)

С\Р

П.25, №362, 363, 367(1)

15

Решение систем двух уравнений с двумя переменными

1

№375(1), 376(1), 387(1)

CD-ROM «Подготовка к ЕГЭ»

П.26, №376(3), 377(2), 378(1в,1д), 387(2)

16

Решение систем двух уравнений с двумя переменными

1

№376(3,4), 378(1б, 1е), 379(1,3)

П.26, №379(3), 381(6), 378(1а), 371(2а,б)

17

Решение систем двух уравнений с двумя переменными

1

№380(1), 381(2,4,6)

П.26, №380(2,3), 381(1,3,5), 384(1), 386(2в)

18

Решение задач с помощью систем уравнений

1

№388(1), 389(1)

CD-ROM «Подго-товка к ЕГЭ»

П.27, №388(2),

389 (2) Контрольные вопросы к п.26

19

Решение задач с помощью систем уравнений

1

№390(1,2)

П.27, №390(2), задача 2 из контрольных заданий к п.27

20

Решение задач с помощью систем уравнений

1

№391(1,2)

С\Р

CD-ROM «Подго-товка к ЕГЭ»

П.27, № 391(ост), подготовиться к контрольной работе

21

Тематическая контрольная работа

1

ТКР

К\Р

П.25, 26, 27 Подготовка к зачёту

22

Анализ результатов тематической контрольной работы. Урок обобщения и систематизации изученного материала

1

Справочный материал по алгебре по теме:

«Квадратные уравнения»

І. Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.

1. Понятие квадратного уравнения

Квадратным называют уравнение вида , где х – переменная, a, b, c – некоторые числа и . Числа a, b, c – коэффициенты квадратного уравнения: а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.

Примеры: 1) ; ;

2) ; ;

3) ; ; ; .

2. Понятие неполного квадратного уравнения

Неполным квадратным уравнением называют квадратное уравнение, если хотя бы один из его коэффициентов, кроме первого, равен нулю.

Примеры: 1) ; 2) ; 3).

3. Виды неполных квадратных уравнений и способы их решения

Примеры: Решить уравнения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1) ; 2) ; 3) ;

;

х=0 или 3х+5=0; ; ;

. , решений нет.

. .

Ответ: ; 0. Ответ: – 2; 2.

4) ; ; .

Ответ: 0.

II. Решение полных квадратных уравнений.

1. Решение квадратных уравнений способом выделения квадрата двучлена.

Решим уравнение способом выделения квадрата двучлена в общем виде: , . Умножим обе части уравнения на 4а:

;

;

;

.

Если < 0, то уравнение решений не имеет.

Если = 0, то ; ; .

Если > 0, то ;

или ;

или .

Примеры: Решить квадратное уравнение выделением квадрата двучлена:

1) ; 2) ;

Умножим левую и правую части уравнения на 5. ;

; ;

; ;

; .

; Ответ: – 3,5.

или ;

или ;

или .

Ответ: – 0,6; 1.

3) ;

Умножим левую и правую части уравнения на 3.

;

;

;

.

Так как выражение не может быть отрицательным, то решений нет.

Ответ: решений нет.

2. Формула корней квадратного уравнения

Выражение називают дискриминантом квадратного уравнения , где , и его обозначают буквой D.

Формула корней квадратного уравнения :

; .

3. Решение квадратных уравнений с помощью формулы корней

Примеры: Решить квадратные уравнения с помощью формулы корней

1) ;

, D > 0;

, .

Ответ: ; 2.

2) ; 3) ;

; ; D < 0;

. Уравнение решений не имеет.

Ответ: . Ответ: решений нет.

III. Решение уравнений, приводимых к квадратным.

1. Решение биквадратных уравнений

Биквадратными называются уравнения вида .

Пример: ;

Замена: , тогда .

;

, D > 0;

, ;

Обратная замена:

1) ;

, .

2) ;

; .

Ответ: ; – 1; 1; .

2. Решение дробно-рациональных уравнений, приводимых к квадратным

Пример: ;

;

;

ОДЗ: и ; и .

;

;

, D > 0;

– не удовлетворяет ОДЗ;

.

Ответ: 3.

3. Решение уравнений с помощью введения новой переменной.

Примеры: 1) ;

Замена: , тогда ;

; ; ; ;

.

Обратная замена: ; ;

, D > 0;

; .

Ответ: –2; –1.

2) ;

Замена: , тогда ;

; ;

;

, D > 0;

; .

Обратная замена:

1) ; 2) ;

; ;

; ;

,

D > 0; D > 0;

; ;

. .

Ответ: ; –5; 1; .

IV. Теорема Виета.

1. Приведённые квадратные уравнения

Квадратное уравнение называют приведённым, если его первый коэффициент равен 1.

Общий вид приведённого уравнения: .

Примеры: ; ; .

2. Теорема Виета

Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня, то их сумма равна второму коэффициенту этого уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение – свободному члену.

Если х₁ и х₂ – корни приведённого уравнения , то

Примеры: 1) Найдите сумму и произведение корней квадратного уравнения .

Решение: , D > 0.

Корни существуют, тогда , .

Ответ: , .

2) Найдите сумму квадратов корней квадратного уравнения .

Решение: , D > 0.

Корни существуют, тогда , .

Ответ:

3) Составьте квадратное уравнение, которое имеет корни і .

Решение: Квадратное уравнение имеет два корня, тогда:

,

,

Искомое квадратное уравнение: .

Ответ: .

4) Один из корней квадратного уравнения на 2 больше второго. Найдите q.

Решение: Пусть корни уравнения равны соответственно х и (х + 2), тогда

Ответ: 8.

3. Обратная теорема Виета

Если сумма и произведение чисел т и п равны соответственно –р и q, то т и п – корни квадратного уравнения .

Пример: Решить уравнения .

Решение: Найдём числа, произведение которых 11. Это могут быть 1 и 11 или –1 и –11.

Сумма искомых чисел должна быть –12. Поэтому корнями уравнения будут числа –1 и –11.

Ответ: –11; –1.

V. Квадратный трёхчлен

1. Квадратный трёхчлен

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида , где х – переменная, а, b, с – данные числа, .

Примеры: ; ; .

2. Корни квадратного трёхчлена

Корнями и дискриминантом квадратного трёхчлена называют корни и дискриминант соответствующего квадратного уравнения, которое мы получаем, если приравняем квадратный трёхчлен к 0.

Пример: Найдите корни квадратного трёхчлена .

Решение: = 0

, D > 0.

, .

Ответ: – 0,6; 2.

3. Разложение квадратного трёхчлена на множители

Теорема: Если корни квадратного трёхчлена равны т и п, то его можно разложить на множители .

Примеры: 1) Разложить на множители трёхчлен .

Решение: ;

, D > 0.

, .

.

Ответ: .

2) Сократить дробь .

Решение: ;

, D > 0.

, .

.

Ответ: .

VI. Решение задач с помощью

квадратных уравнений

1. Задачи геометрического смысла

Пример: Стороны двух квадратов пропорциональны числам 5 и 4. Если стороны каждого из квадратов уменьшить на 2 см, то разность площадей полученных квадратов будет равна 28 см². Найти стороны данных квадратов.

Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности, тогда стороны квадратов будут равны соответственно 5х см и 4х см.

Если стороны двух квадратов уменьшить на 2 см, они станут соответственно см и см. Разность площадей полученных ква-

дратов будет см², что по условию равно 28 см².

Составим и решим уравнение:

;

;

;

, D > 0.

– не удовлетворяет условию задачи;

.

Значит, коэффициент пропорциональности равен 2, тогда стороны квадратов были:

(см) – сторона первого квадрата;

(см) – сторона второго квадрата.

Ответ: 10 см и 8 см.

2. Задачи на движение

Пример: Из двух городов, расстояние между которыми 900 км, отправляются навстречу друг другу два поезда и встречаются на середине пути. Определите скорость каждого поезда, если первый вышел на 1 час позже второго со скоростью большею на 5 км/год, чем скорость второго поезда.

Решение: Пусть скорость второго поезда х км/ч, тогда скорость первого поезда будет км/ч. Первый поезд на весь путь затратил ч., а второй – ч. Первый поезд затратил времени меньше второго на ч., что по условию равно 1 ч.

Составим и решим уравнение:

;

;

;

;

;

, D > 0.

– не удовлетворяет условию задачи;

.

Значит, скорость второго поезда 45 км/ч, тогда скорость первого поезда:

45 + 5 = 50 (км/ч).

Ответ: 50 км/ч.; 45 км/ч.

3. Задачи на совместную работу

Пример: Двое рабочих выполнили вместе определённую работу за 12 часа. Если бы вначале первый выполнил половину работы, а затем второй остальную, то вся работа була бы выполнена за 25 часов. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый рабочий отдельно?

Решение: Пусть первый рабочий может выполнить всю работу самостоятельно за х ч, а второй – за у год. Тогда половину этой роботы первый рабочий может виполнить за ч, а второй – за ч., а всю работу за ч., что по условию задачи равно 25 ч. Составим первое уравнение: или .

За один час первый рабочий может выполнить часть всей работы, второй рабочий – часть всей работы, а вместе часть всей работы, что по условию задачи равно части всей работы. Оставляем второе уравнение: .

Решим систему уравнений:

Решим уравнение: ; ;

;

, D > 0.

; .

або

Значит, один рабочий может виполнить эту работу за 20 часов, а второй за 30 часов.

Ответ: 20 часов; 30 часов.

Справочный материал

для повторения при изучении темы

«Квадратные уравнения»

І. Уравнения.

1. Определение уравнения

Уравнение с одной переменной – это равенство с неизвестным значением буквы.

Примеры: 1) ; 2) ; 3) .

2. Определение корня уравнения

Корнем уравнения называют значения неизвестного, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Пример: – это уравнение с одной переменной. Корень уравнения , так как

; ; – верное равенство.

3. Что значит решить уравнение?

Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Пример: 1) ; – корень уравнения.

2) ; уравнение не имеет корней, потому что модуль числа не может быть отрицательной величиной.

4. Равносильные уравнения

Два уравнения називают равносильными, если они имеют одни и те же корни. Уравнения, которые не имеют корней, также считают равносильными.

Примеры: 1) и – равносильные уравнения, так как имеют корень .

2) и – равносильные уравнения, так как не имеют корней.

5. Основные свойства уравнений

1. Если в любой части уравнения привести подобные слагаемые или раскрыть скобки, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если любой член уравнения перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение равносильное данному.

3. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже самое число, отличное от нуля, то получим уравнение равносильное данному.

Пример: ;

– раскрыли скобки;

– перенесли известные члены в правую часть,

а неизвестные члены – в левую часть уравнения;

– привели подобные;

– поделили обе части уравнения на 4.

Ответ: – 8,25.

II. Линейные уравнения

1. Определение линейных уравнений

Линейными називают уравнения вида , где а и b – данные числа, х – переменная.

Примеры: 1) ; 2) ; 3) .

2. Решение линейных уравнений

Примеры: 1) 2) 3)

Корней нет х – любое число.

Ответ: 10. Ответ: корней нет Ответ: х– любое число

III. Тождественные преобразования выражений с переменными

1. Определение подобных членов

Подобными называются одночлены, если они равны или отличаются только коэффициентами.

Пример: – подобные одночлены.

2. Приведение подобных членов многочлена

Чтобы привести подобные члены многочлена, нужно их коэффициенты сложить и полученную сумму умножить на их общую буквенную часть.

Пример: .

3. Раскрытие скобок

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак „+”, нужно опустить скобки и знак „+”, который стоит перед ними, и записать все слагаемые со своими знаками.

Щоб раскрыть скобки, перед которыми стоит знак „–”, нужно опустить скобки и знак „–”, который стоит перед ними, и записать все слагаемые с противоположными знаками.

Примеры: 1)

2)

3. Умножение одночлена на многочлен.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные результаты сложить.

Пример:

4. Умножение многочленов

Чтобы перемножить два многочлена, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные результаты сложить.

Пример:

.

IV. Формулы сокращённого умножения

1. Квадрат двучлена: ;

Примеры: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2. Разность квадратов:

Примеры: 1) 2)

3) ; 4) .

3. Разность и сумма кубов: ; .

Примеры: 1) ; 2) ;

3) .

4. Куб двучлена: ; .

Примеры: 1) ; 2) .

V. Квадратные корни

1. Определение квадратного корня

Квадратным корнем из числа а называется такое число, квадрат которого равен а.

Пример: ; и – квадратные корни из числа 25.

2. Определение арифметического квадратного корня

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначают так: .

Примеры: .

3. Свойсва арифметического квадратного корня.

1) Если , то выражение не имеет смысла;

2) Если , то ;

3) для любого значения а;

4) Если , , то ;

5) Если , , то .

Примеры: 1) не существует;

2)

3) ; ;

4) ;

;

5) .

VI. Таблица квадратов натуральных чисел

от 1 до 100

Поэлементный анализ

учебных достижений учащихся по теме

«Квадратные уравнения»

№

п/п

Уровни

8 класс Квадратные уравнения

І. 1, 2

IV. 1

V. 1

Распознование квадратных уравнений разных типов (полные, неполные, приведённые) и квадратного трёхчлена

1

І уровень (2б.)

І. 1, 2

IV. 1

V. 1

Выбор квадратных уравнений разных типов (полные, неполные, приведённые) и квадратных трёхчленов среди иных и объяснение своего выбора

2

І. 2

Решение уравнений вида с помощью учителя или опорного конспекта

4

І. 2

Решение уравнения вида с помощью учителя или опорного конспекта

5

І. 2

Решение уравнения вида с помощью учителя или опорного конспекта

6

II

Решение уравнения вида с помощью учителя или опорного конспекта

7

V. 2

Решение корней квадратного трёхчлена с помощью учителя или опорного конспекта

8

І. 1, 2

IV. 1

V. 1

Формулировка определения квадратного уравнения (полного, неполного, приведённого) и квадратного трёхчлена

1

ІІ уровень (3б.)

IV. 2, 3

Формулировка теоремы Виета и обратной к ней теоремы

2

ІІ. 2

Знание формул корней квадратного уравнения

3

V. 3

Знание формулы разложения квадратного трёхчлена на множители

4

І. 3

Решение неполных квадратных уравнений

5

II. 1

Решение несложных полных квадратных уравнений способом выделения квадрата двучлена

6

II. 2, 3

Решение несложных полных квадратных уравнений с помощью формул корней

7

IV. 3

Решение приведённых квадратных уравнепний с помощью обратной теоремы Виета в несложных случаях

8

IV. 2

Использование теоремы Виета для нахождения квадратного уравнения по его корням

9

V. 3

Розкладання квадратного тричлена на множники у нескладних випадках

10

І. 1, 2

IV. 1

V. 1

Применение определения квадратного уравнения (полного, неполного, приведённого), квадратного трёхчлена для определения способов решения конкретного уравнения

1

ІІІ уровень (4б.)

8 класс Квадратные уравнения.

І. 3

II. 2, 3

IV. 3

Решение квадратных уравнений разных видов соответствующими способами

2

V. 3

Разложение квадратного трёхчлена на множители в разных случаях

3

IV. 2

Использование теоремы Виета при решении задач на нахождение значений виражений, которые содержат корни квадратного уравнения

4

III

Решение уравнений, которые приводятся к квадратным: биквадратных, дробно-рациональных, а также уравнений, которые решаются введением новой переменной

5

VI

Составление квадратных уравнений и уравнений, приводимых к ним, как математических моделей текстовых задач

6

VI

Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений и уравнений, которые приводятся к квадратным

7

І. 1, 2

IV. 1

V. 1

Осознание знаний о квадратных уравнениях разных видов и о квадратных трёхчленах

1

ІV уровень (5б.)

І. 3

II. 2, 3

III

IV. 3

Рациональный выбор способа решения квадратных уравнений разных видов и уравнений, которые приводятся к ним

2

V. 3

Использование разложения квадратного трёхчлена на множители в разных случаях: при упрощениях выражений, при сокращении дрожей и так далее

3

IV. 2, 3

Использование теоремы Виета и обратной к ней в незнакомых ситуациях

4

VI

Решение практических и сложных текстовых задач с помощью квадратных уравнений и уравнений, приводимых к квадратным

5

Использование дополнительных источников информации

6

Решение заданий с полным объяснением и обоснованием

7

Обобщение и систенматизация знаний по теме в виде некоторой модели полученных знаний

8

Применение нестандартных примов в решении нестандартных уравнений и текстовых задач

9

Вариант ТКР

«Квадратные уравнения»

Вариант 1

I часть

(каждое задание оценивается 0,5 б.)

1. Какое из данных уравнений квадратное?

А) Б) В) Г) .

2. Сколько корней имеет уравнение

А) два; Б) один; В) ни одного корня; Г) бесконечное множество корней.

3. Решите уравнение

А) 0; 5; Б) – 5; 0; В) – 5; Г) 5.

4. Решите уравнение

А) 7; 7; Б) – 7; 7; В) – 7; – 7; Г) нет корней.

5. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:

А) – 3; – 10; Б) 3; – 10; В) – 3; 10; Г) 3; 10.

6. Сократите дробь: .

А) Б) В) Г)

II часть

(каждое задание оценивается 2 б.)

7. Решите уравнение выделением квадрата двучлена:

8. Решите биквадратное уравнение:

9. Один из корней уравнения равен 5. Найти второй корень и р.

III часть

(задание оценивается 3 б.)

10. Длина и ширина прямоугольника пропорциональны числам 3 и 2. Если длину прямоугольника увеличить в два раза, а ширину уменьшить на 1 см, то площадь полученного прямоугольника увеличится по сравнению с данным на 12 см². Найдите длину и ширину данного прямоугольника.

Вариант 2

I часть

(каждое задание оценивается 0,5 б.)

1. Какое из данных уравнений квадратное?

А) Б) В) 2 Г) .

2. Сколько корней имеет уравнение

А) два; Б) один; В) ни одного корня; Г) бесконечное множество корней.

3. Решите уравнение

А) 0; 6; Б) – 6; 0; В) – 6; Г) 6.

4. Решите уравнение

А) 8; 8; Б) –8; 8; В) – 8; –8; Г) нет корней.

5. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:

А) – 5; – 14; Б) 5; – 14; В) – 5; 14; Г) 5; 14.

6. Сократите дробь: .

А) Б) В) Г)

II часть

(каждое задание оценивается 2 б.)

7. Решите уравнение выделением квадрата двучлена:

8. Решите биквадратное уравнение:

9. Один из корней уравнения равен 6. Найти второй корень и р.

III часть

(задание оценивается 3 б.)

10. Длина и ширина прямоугольника пропорциональны числам 3 и 4. Если длину прямоугольника увеличить в 3 раза, а ширину уменьшить на 2 см, то площадь полученного прямоугольника увеличится по сравнению с данным на 60 см². Найдите длину и ширину данного прямоугольника.

Поэлементный анализ

заданий ТКР «Квадратные уравнения»

Лучший результат

Часть 2

Лучший результат

Часть 3

Лучший результат

Сумма

баллов

№ №

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Контрольные моменты

Определение квадратного уравнения

Зависимость количества кореней квадратного уравнения от значения дискриминанта

Решение неполного квадратного уравнения, если третий коэффициент равен 0

Решение неполного квадратного уравнения, если второй коэффициент равен 0

Теорема Виета

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Выделение полного квадрата в левой части уравнения

Решение уравнения вида (х + а)² = с

Введение новой переменной и переход к квадратному уравнению

Нахождение дискриминанта

Нахождение значения введенной переменной

Нахождение корней уравнения

Нахождение второго корня квадратного уравнения по теореме Виета

Нахождение второго коэффициента квадратного уравнения по теореме Виета

Введение переменной и выражение неизвестных величин через неё

Составление уравнения по условию задачи

Равносильные преобразования уравнения и приведение его к квадратному.

Нахождение дискриминанта

Нахождение корней уравнения

Анализ полученных корней и запись ответа

№ спра-вки довідки

I. 1

II. 3

I. 3

I. 3

IV. 2

V. 3

II. 1

III. 1

IV. 2

VI

Количе-ство баллов

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

3

1

1

0,5

0,5

0,5

0,5

1

1

6

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

3

12

соответственно уровней учебных достижений.