Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка теоретического занятия "Интеграл"

Методическая разработка теоретического занятия "Интеграл"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ

государственное профессиональное образовательное учреждение

«БЕЛОВСКИЙ МНОГОПРОФИЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ»









Тема занятия: Определенный интеграл

Учебная дисциплина: ПД.01 «Математика»








Автор: Бирюкова Елена Викторовна, преподаватель математики





Россия

Белово

2016








Аннотация

«А разве нам это пригодится?», «А для чего это нужно?» - спрашивают меня мои обучающиеся на уроках. С ответов на эти вопросы стараюсь начинать каждый урок. В целом же в своей работе руководствуюсь высказыванием великого русского математика Николая Ивановича Лобачевского: «Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира».

Методическая разработка урока «Определенный интеграл» предназначена для проведения теоретического занятия по учебной дисциплине ПД.01 «Математика»

Цикл уроков об определенном интеграле является завершающим в разделе «Начала математического анализа». Уроки изучения интеграла предполагают тесную связь с геометрическим и физическим смыслом первообразной, её практическое применение. Для освоения данной темы студенты должны хорошо владеть понятием «первообразная» и уметь вычислять ее, используя таблицу первообразных.

Разработка данного урока может быть использована при изучении темы «Интеграл» в любых группах, осваивающих образовательную программу среднего общего образования, при подготовке квалифицированных рабочих и специалистов среднего звена технического профиля.

Изучение нового материла построено таким образом, что обучающиеся принимают активное участие в выводе алгоритма применения метода вычисления криволинейной трапеции. Приводится много примеров, где в практической деятельности необходимы эти умения. На этапе закрепления материала для самостоятельного выполнения предлагаются задачи на вычисление определенного интеграла прикладного характера. Задания для закрепления, приведенные в данной методической разработке являются примерными и зависят от степени подготовленности группы, получаемого профиля, также педагогом могут быть предложены разноуровневые задания в одной и той же группе.

Работа на уроке осуществляется с применением мультимедийной установки (компьютер, экран, проектор) или интерактивной доски, в зависимости от оснащения кабинета. Преподавателем заранее подготовлен конспект обучающегося в электронном виде, а также его печатный вариант («Рабочие листы») в 1 экземпляре на каждого обучающегося. Этот конспект заполнен частично, и заполняется в ходе урока совместно с обучающимися в ходе фронтальной работы как в электронном варианте (преподавателем), так и в виде «Рабочих листов» (обучающимися). Электронный конспект проецируется на экран с помощью мультимедийной установки. Этап рефлексии поводится также с помощью «Рабочих листов». Для этого в распечатке «Рабочий лист» предусмотрена пустая колонка по правому краю. На завершающем этапе урока обучающиеся заполняют эту колонку, отвечая на вопросы или выполняя задания, соответствующие определенному этапу урока, для чего им нужно просмотреть свой конспект сначала, тем самым происходит систематизация и обобщение знаний, полученных на данном уроке.

Домашнее задание обучающиеся получают также с помощью рабочего листа, тем самым имеют возможность дома повторить пройденный на уроке материал.


урока п/п в рабочей программе: 263 - 264

Тип урока: урок формирования ЗУ

Вид занятия: лекция с использованием интерактивных форм работы

Форма работы: фронтальная, индивидуальная



Цели урока:

Образовательная:

  • способствовать усвоению понятия «криволинейная трапеция»;

  • формировать представление о нахождения площади криволинейной трапеции с помощью первообразной;

  • формирование понимания сущности определенного интеграла путем практического его применения;

  • формировать умение вычисления определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница;

  • формировать умение вычисления площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла;

  • способствовать формированию восприятия физического смысла определенного интеграла.

Развивающие:

  • развитие познавательной активности обучающихся, умений применять полученные знания на практике;

  • развитие абстрактного мышления, способности выделять главное, анализировать, сравнивать, определять и объяснять понятия;

  • формирование умений строить, логическую цепочку рассуждений;

  • развивать представление о практическом применении математических знаний.

Воспитательные:

  • воспитание положительного отношения к знаниям, интереса к учебному предмету;

  • воспитание дисциплинированности; продолжать воспитание у учащихся культуры оформления письменного решения математических задач;

  • формирование умений осуществлять самоконтроль, саморегуляцию, способность своевременно выявлять пробелы в собственных знаниях.


Структурно-логические связи учебного занятия:

междисциплинарные – физика (подготовка к применению первообразной для решения физических задач на нахождение закона перемещения при заданном законе изменения скорости);

внутридисциплинарные – Производная – Первообразная - Интеграл

Обеспечение занятия:

Оборудование преподавателя: ПК, экран, проектор, электронный конспект урока

Оборудование обучающихся: «Рабочие листы» электронный конспект в распечатанном виде (приложение 2), красный маркер (фломастер)

Дидактические материалы – электронный конспект «Определенный интеграл» (разработан преподавателем, в текстовом редакторе) (Приложение 1), распечатка для выполнения домашней работы (приложение 3)







Технологическая карта урока

Этапы урока

Содержание деятельности преподавателя

Содержание деятельности обучающихся

КУМО

1 часть урока

Геометрический смысл определенного интеграла

Организационный момент

(1 мин)

Приветствие, проверка отсутствующих

Отвечают на приветствие, дежурные отмечают отсутствующих

Оформленная доска, классный журнал

Обоснование темы и цели урока

(4 мин)

Вводная слово преподавателя о практическом применении первообразной, в первую очередь – в технических задачах. Совместная формулировка цели урока, задач, вносит цели и задачи в электронный конспект

Слушают, сопоставляют информацию с изображением на экране, делают вывод о необходимости решения предложенных задач математическими методами, формулируют цели и задачи урока

Электронный конспект, и его печатный вариант «Рабочий лист»

Актуализация знаний. Повторение правил вычисления производной.

(10 мин)

Предлагает обучающимся задания:

  • на вычисление первообразной

  • на вычисление первообразной в заданной точке.

Осуществляет проверку, помощь в выполнении.


Делают вывод о необходимости повторить правила вычисления первообразной. Используют «таблицу первообразных», выполняют задания, после выполнения организуется сверка результатов: правильные варианты ответа образуют слово «площадь» (приложение 1)

Электронный конспект.

«Рабочие листы».

Изучение нового материала

(10 мин)

Преподаватель показывает плоские фигуры неправильной геометрической формы. Просит обучающихся предложить способы нахождения площадей этих фигур. Задает вопрос: «Если вы не можете вычислить точное значение площади, как можно вычислить приблизительное значение площади?».



Подводит обучающихся к идее разбиения фигуры на прямоугольники.



Задает вопрос: «Как данным способом можно наиболее точно, с наименьшей погрешностью найти площадь?»

Предлагает записать формулу Ньютона – Лейбница, объясняет ее смысл.





Приводит пример вычисления площади с помощью определенного интеграла (частично решен)








Анализируют форму предложенных фигур, предлагают варианты вычисления площади.





















Заполняют

«Рабочие листы»



Схематично изображают сущность метода







Отвечают на вопрос: «если количество участков разбиения стремятся к бесконечности», то интегральная сумма будет точной



Записывают, задают вопросы (если есть)







Записывают пример, дополняют решение (фронтальная работа)










Электронный конспект

«Рабочие листы»

Динамическая пауза 1 (1,5 мин)

Преподаватель проводит гимнастику для глаз - Видеоролик «Гимнастика для глаз»

Обучающиеся повторяют

движения, следят за движущимися объектами.

Видеоролик «Гимнастика для глаз»

Закрепление(13 мин)

Предлагает выполнить несколько упражнений самостоятельно. Организует обсуждение порядка выполнения заданий.



Проводит сверку части ответов.

Обсуждают порядок выполнения действий.



Выполняют упражнения.





Сверяются, при необходимости вносят исправления в решение.

Электронный конспект.



«Рабочий лист»

Домашнее задание(1,5 мин)

Задает домашнее задание

Просматривают задания, задают вопросы по выполнению

Распечатка заданий (Приложение 4)

Подведение итогов, рефлексия (4 мин)

Предлагает вернуться в начало своего «Рабочего листа», в крайней правой колонке выполнить задания (или ответить на вопросы)


Просматривают, выполняют задания, отвечают на вопросы

«Рабочие листы»




Конспект урока

I Организационный момент

Сообщение темы и цели урока. Здравствуйте, сегодня на уроке продолжаем изучение понятия «Первообразная». Рассмотрим прикладное назначение первообразной. Работаем на уроке не в тетрадях, а в рабочих листах, которые по окончании урока необходимо сдать на проверку.


II Актуализация знаний.

Беседа

Посмотрите пожалуйста на экран, здесь вы видите изображение плоских фигур:

hello_html_75604323.png


Задача: вычислить площадь этих фигур. В чем заключается сложность решения этой задачи? (неправильный контур, нет формул). Но на практике часто приходится вычислять площади фигур именно неправильной формы. (демонстрация на экране участков земли неправильной формы, листов металла неправильной формы и др.) На помощи приходит математика, ведь как сказал Н.И.Лобачевский……. Оказывается, можно вычислить площадь таких фигур алгебраическими методами, и именно с помощью первообразной. Итак, сформулируем цель урока: (Научиться применять первообразную для решения прикладных задач). Как вы думаете, что нам потребуется во время урока? Заполняем строчку «Рабочего листа» Оснащение урока: (таблица первообразных) Образцы вычисления первообразной) – для этого необходимо повторить, решить несколько примеров.

III Повторение. Решение задач на вычисление первообразной:

Задания (могут быть различного уровня сложности, в зависимости от подготовленности группы)

Вычислите первообразную

Ответ:

Задание

Вариант ответа

Правильные ответы должны образовывать последовательность букв «площадь»

1


П) ф) г) р)

2


О) е) л) г)

3


Е) о) л) р)

4


Ф) щ) м) е)

5


У) н) И) а)

6


К) д) л) и)

7


И) ь) а) Е)


IV Изучение нового материала.

А теперь рассмотрим, как помогает первообразная в решении такой сложной задачи, как вычисление площадей фигур неровной фигуры.

Для этого сначала дадим название таким фигурам, все они называются – криволинейная трапеция.

Для вычисления площади криволинейной трапеции, все же необходимы какие-то ее параметры, зададим их. Для этого:

  • Свяжем фигуру с системой координат, получим границы вдоль оси Ох


hello_html_m4c2f7376.png hello_html_532cbe4a.png


  • Определим, на какой график функции (или на несколько графиков) более всего похожа «верхняя сторона» этой трапеции (или функция уже задана)

Суть метода:

Путем разбиения (разделения)….

hello_html_7ee38e6c.png

hello_html_m77e4dde2.png

Пусть n – количество прямоугольников. В случае если n→∞, то площадь ступенчатой фигуры стремится к площади криволинейной трапеции, которая является для нее пределом.

Этот предел называется интеграл , и обозначается:

hello_html_3c5cc5c6.gif, где …(объяснить значение каждой буквы)

Как вычислять интеграл?

hello_html_8c8fd93.gif Формула Ньютона-Лейбница

Итак, подведем итог. Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции, обязательно нужно знать:

  • Границы фигуры вдоль оси Ох

  • Графиком какой функции ограничена фигура

  • Правила вычисления первообразной.

Пример вычисления площади криволинейной трапеции с помощью формулы Ньютона-Лейбница (фронтально, с демонстрацией решения на экране, с проговариванием этапов решения):

Вычислите площадь заданных фигур с помощью определенного интеграла




Задание

hello_html_1555f364.png

hello_html_m19481f5a.png

hello_html_79f563c9.png

V Закрепление. Задания для самостоятельной работы обучающихся:

1

2

3

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: hello_html_6e77c91f.png

hello_html_6e77c91f.png

Вычислите площадь (в произвольном масштабе) заготовки для детали механизма.

C:\Users\user\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\2015-12-16 09-27-29 Скриншот экрана.png

C:\Users\user\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\2015-12-16 09-28-10 Скриншот экрана.png

VI Этап рефлексии. Домашнее задание

Рефлексия проводится с помощью печатных «Рабочих листов», в отведенной для этого колонке. Обучающиеся возвращаются в начало урока и выполняют задания (или отвечают на вопросы), соответствующие определенному этапу урока

Домашнее задание:































Приложение 1


Электронный конспект


Тема: Определенный интеграл



hello_html_m1110c9f6.png


Участки неправильной формы:

hello_html_7c0b8e01.pnghttp://www.rosbazar.ru/images/objavy/big/506a9a8e7c721.jpghello_html_415241d9.png

hello_html_m65e7ea51.png



Цель урока:_______________________________





Повторение. Вычисление первообразных

Вычислите первообразную

Ответ:

Задание

Вариант ответа

Правильные ответы должны образовывать последовательность букв «площадь»

1


П) ф) г) р)

2


О) е) л) г)

3


Е) о) л) р)

4


Ф) щ) м) е)

5


У) н) И) а)

6


К) д) л) и)

7


И) ь) а) Е)



hello_html_4b3f71d3.png

Разбиение

hello_html_7ee38e6c.png

hello_html_m77e4dde2.png

Определенный интеграл:

hello_html_3c5cc5c6.gif,

Формула Ньютона-Лейбница



hello_html_8c8fd93.gif

Самостоятельная работа

1

2

3

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: hello_html_6e77c91f.png

hello_html_6e77c91f.png

Вычислите площадь (в произвольном масштабе) заготовки для детали механизма.

C:\Users\user\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\2015-12-16 09-27-29 Скриншот экрана.png

C:\Users\user\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\2015-12-16 09-28-10 Скриншот экрана.png

Решение:








Итог урока:

  1. Заполните последний столбик «Рабочего листа»

  2. Домашнее задание:





















Приложение 2

Рабочий лист

Фамилия. Имя_____________________№ группы___________________

Тема урока: _______________________________

Цель урока:___________________________________________________


Этапы

Ход урока

Рефлексия

Повторение. Вычисление первообразных



Вычислите первообразную

Ответ:

Задание

Вариант ответа


1


П) ф) г) р)


2


О) е) л) г)


3


Е) о) л) р)


4


Ф) щ) м) е)


5


У) н) И) а)


6


К) д) л) и)


7


И) ь) а) Е)




Какое слово образуют правильные варианты ответа? Запишите в крайнюю правую колонку

Ответьте на вопрос:

Как взаимосвязаны понятия «Первообразная» и «Площадь» ?

Закрепление

Задания для самостоятельного выполнения:



1

2

3

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: hello_html_6e77c91f.png

hello_html_6e77c91f.png

Вычислите площадь (в произвольном масштабе) заготовки для детали механизма.

C:\Users\user\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\2015-12-16 09-27-29 Скриншот экрана.png

C:\Users\user\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\2015-12-16 09-28-10 Скриншот экрана.png

Решение:








Приложение 3

Домашнее задание










Общая информация

Номер материала: ДВ-400055

Похожие материалы