1184284
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 70%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыМетодическая разработка "Теория и практика" по теме "Комплексные числа"

Методическая разработка "Теория и практика" по теме "Комплексные числа"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выбранный для просмотра документ Глава 8 Комплексные числа ОСНОВНОЙ ТЕКСТ.doc

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

16



Раздел III

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Глава 8. Комплексные числа

Тема 8.1. Комплексные числа

1. Определение комплексных чисел в алгебраической форме

Одним из основных понятий математики является по­нятие числа. Это понятие прошло длительный путь раз­вития, обогащаясь новым содержанием. Исторически первыми возникли в практике и были вве­дены в науку натуральные числа, которые являются инст­рументом для счета количества отдельных предметов, на­пример количества пальцев на руке. Они образуют беско­нечное множество, которое принято обозначать буквой N.

Затем возникла необходимость во введении долей единицы и количества этих долей (например, для измерения длин от­резков), т. е. было введено так называемое дробное число.

Далее те же потребности измерения привели к необ­ходимости введения отрицательных чисел (например, если за начало отсчета берется уровень моря, то для отметки положения горы берется положительное число — высота горы, а для отметки положения глубины моря — отрица­тельное число). Целые отрицательные числа вместе с на­туральными числами и числом 0 образуют множество це­лых чисел, обозначаемое буквой Z

Множество, состоящее из всевозможных положитель­ных и отрицательных целых и дробных чисел и числа Q, называется множеством рациональных чисел и обозначает­ся буквой Q.

Очевидно, что N hello_html_246867f4.gifZhello_html_246867f4.gifQ.

Потребности практики, а также внутренние требования самой математики, ее логического развития, показали не­достаточность множества рациональных чисел для реше­ния различных задач. Например, дано уравнение х2 = 2,

или х = hello_html_m62632d12.gif. Но не существует такого рационального чис­ла, квадрат которого равен 2. Такие числа получили не­знание иррациональных чисел.

Поэтому появилась необходимость создать новое рас­ширенное множество чисел, в котором для каждой точки числовой оси находилось бы числовое значение и в кото­ром решалось бы любое уравнение вида хп = а.

Такое множество получило название вещественных(действительных ) чи­сел и обозначается буквой R, причем Qhello_html_246867f4.gifR.

Развитие науки и практики показало недостаточность введенного множества вещественных чисел.

Например, даже такое простейшее квадратное урав­нение, как х2 + 1 = 0, не имеет решения в множестве действительных чисел, так как не существует такого действительного числа а, что а2 + 1 = 0. Это показывает необходимость дальнейшего расширения понятия числа. Кроме того, такие науки, как электротех­ника и различные разделы физики, рассматривают вели­чины сложной природы, которые не могут быть охваче­ны понятием вещественных чисел.

В связи с этим возникла потребность нового расшире­ния понятия числа.

Итальянские математики XVI в. Дж. Кардано и Р. Бомбелли, решая квадратные уравнения вида х2 + а2 = 0, ввели в рассмотрение символ hello_html_m2ac71e86.gif, который в XVIII в. петербургский математик Л. Эйлер(1708-1783) обозначил через i. Формальное решение уравнения х2 + а2 = 0 при использовании этого символа сводится к тому, что hello_html_11c92b87.gifили, используя обозначение Эйлера, hello_html_m6b94924f.gifai.

Таким образом, возникает необходимость в расширении множества действительных чисел до нового множества, такого, чтобы в этом мно­жестве уравнения вида х2 + а2 = 0имели решения.

Ниже мы изложим краткую теорию такого расширения.

Определение 1. Комплексным числом z называется выражение ви­да а+bi, a и b—действительные числа, а символ i удовлетворяет условию i = - 1

Число а называется действительной частью комплексного числа, bi мнимой частью, iмнимой единицей.

Множество комплексных чисел обозначается буквой С.

Заметим, что множество R действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел С: R hello_html_246867f4.gifC . В самом деле, всякое действительное число а можно рассматривать как комплексное число вида а+0i.

Комплексные числа вида biназываются чисто мнимыми. Они по­лучаются из комплексных чисел z1 = а + biпри а = 0.

Определение 2. Два комплексных числа z1 = а + bi и z2 = с + di на­зываются равными, если, соответственно, равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. если а = с, b= d.

Комплексное число z = 0 + 0i называется нулем и обозначается че­рез 0. Оно совпадает с числом нуль множества действительных чисел. Таким образом, z = а + bi = 0 тогда и только тогда, когда а = 0 и b= 0, или, что то же самое, когда а2+ b2= 0.

Определение 3. Комплексные числа а + bi и а — bi называются ком­плексно-сопряженными.

Число, комплексно-сопряженное числу z, обозначается через hello_html_m29e741f0.gif. Так, если z = а + bi, то hello_html_m29e741f0.gif = а — bi, если же z = а − bi, то hello_html_m29e741f0.gif = а + bi. По­нятие сопряженности взаимное. Например, для комплексного числа z = = -2 + 4i комплексно-сопряженным является комплексное число hello_html_m29e741f0.gif = - 2 - 4i; точно также для комплексного числа -2 - 4i комплексно-со­пряженным является число -2 + 4i .

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел


Комплексное число z = а + bi геометрически можно представить точкой координатной плоскости Оху с координатами а, b (рис. 1).

Определение 4. Плоскость, служащая для изображения множества комплексных чисел, называется комплексной плоскостью. Так как любое комплексное число единственным образом определяется его действительной и мни­мой частями, то каждому комплексному числу в комплексной плоскости соответствует единственная точка на плоскости. Очевидно, что справедливо и обратное утверждение: каждой точке (х; у) плоскости Оху соответствует единственное комплексное число z = х + yi.

hello_html_m10a2d301.gifhello_html_m77f90472.gif hello_html_6cd36940.gif

Таким образом, между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости существует взаимно-однозначное соответствие. При этом соответствии всякому действительному числу z = а + 0i соответствует точка А(а; 0) оси абсцисс, а всякому чисто мнимому числу z = 0 + bi — точка В(0; b) оси ординат. Числу z = i соответствует точка С(0; 1) (рис. 2). Если каждой точке М комплексной плоскости поставить в соответствие радиус-вектор ОМ этой точки, между множеством комплексных чисел множеством радиус-векторов можно также установить взаимно-однозначное соответствие. Ось Ох будем называть действительной осью, а ось Оумнимой.






Из определения комплексно-сопряженных чисел следует, что числа z и hello_html_m29e741f0.gif на комплекс­ной плоскости расположены симметрично от­носительно действительной оси (рис. 3).

Ранее мы отметили, что квадратное уравнение ax2+ bx + c = 0, для которого дискриминант D = b2 – 4ас < 0, в множестве R (действительных чисел) не имеет решения, так как корень из отрицательного числа в этом множе­стве не имеет действительного значения. Однако в множестве С (ком­плексных чисел) такое уравнение имеет два комплексно-сопряженных решения. В самом деле, пусть дано квадратное уравнение

ах2 + bx + c = 0.

причем D < 0.

Решения этого уравнения

hello_html_91eddaf.gif,

представим в виде

hello_html_57824b29.gif,

где ужеhello_html_445cf1fc.gif, а потому hello_html_119104dd.gifесть некоторое действительное число.

Следовательно, решениями квадратного уравнения будут два комплекс­но-сопряженных числа

hello_html_m293e2ee5.gif, hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_4c76d5f.gif.

Пример 1. Решить квадратное уравнение hello_html_54eed6e0.gif.

Решение. Находим:

hello_html_maf4ab69.gif.

Таким образом, решениями данного квадратного уравнения будут два комплексно-сопряженных числа

hello_html_m966ddf6.gifи hello_html_m50758669.gif.

Итак, в множестве комплексных чисел любое квадратное уравнение имеет решение.

3. Действия над комплексными числами

Действия над комплексными числами определяются таким обра­зом, чтобы для частного случая действительных чисел эти операции совпадали с известными операциями над ними.

Сумма z комплексных чисел hello_html_6f7fc747.gifи hello_html_5352f1a2.gif определяется как комплексное число hello_html_7422c7bc.gif. Его обозначают hello_html_m7585270e.gif.

Таким образом,

hello_html_333b9517.gif (1)

В частности, если hello_html_m4ac4ec9c.gif, то , hello_html_m1d70d123.gif поэтому hello_html_2eb895de.gif, следовательно, сумма комплексно-сопряженных чисел есть число дейст­вительное. Операцию сложения легко распространить и на сумму любо­го конечного числа комплексных чисел. Так, если

hello_html_6f7fc747.gif, hello_html_5352f1a2.gif, …, hello_html_me46f996.gif

то

hello_html_21a74a75.gif. (2)

Пример 2. Найти комплексное число z из равенства hello_html_e9999b8.gif.

Решение. Пусть hello_html_14506743.gif. Тогда hello_html_m601aae22.gif

или

hello_html_m1949147d.gif.

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их действительные и мнимые части. Следо­вательно,

хhello_html_7fb3c877.gif + 4 = 2;

у+ 1 =3.

Решив эту систему, находим х = - 2; у = 2. Таким образом, hello_html_m78c93e12.gif.

Вычитание двух комплексных чисел определяется как операция обратная сложению. Комплексное число hello_html_m4ac4ec9c.gifназывается разностью комплексных чисел hello_html_6f7fc747.gifи hello_html_5352f1a2.gif, если hello_html_73f2edf7.gif.

Разность комплексных чисел z1 и z2, обозначается z1- z2-

Из определения следует, что

hello_html_1d335af9.gif(3)

В частности,

hello_html_mb71c6dd.gif.

Умножение двух комплексных чисел hello_html_6f7fc747.gifи hello_html_5352f1a2.gifопределяется следующим образом:

hello_html_m45053dee.gif. (4)

Отсюда следует, что два комплексных числа z1 = а + b и z2 = с - di можно умножать по правилу умножения многочленов при условии, что i2 = −1.В самом деле,

hello_html_63a3a3bb.gif

(сравните результат с определением (1)). В частно­сти, если hello_html_m4ac4ec9c.gifто hello_html_m707be877.gif.

Пример 3. Найти произведение комплексных чисел hello_html_m55b80ba4.gifи hello_html_5ea4ca7d.gif

Решение. Очевидно, что hello_html_92701d1.gif


Деление вводится как действие, обратное умножению. Частным от деления комплексного числа hello_html_6f7fc747.gif на число hello_html_m8d783.gif называется комплексное число hello_html_38caab17.gif такое, что hello_html_mb6eade1.gif, т. е.

а1+ b1 i = (a3+ b3 i)∙(a2+b2 i).

Отсюда на основании равенства (4.4) получаем:

hello_html_m22ac9fed.gif; hello_html_7490544f.gif. (5)

Решая систему уравнений (5) относительно а3 и b3 находим:

hello_html_71b44389.gif, hello_html_m58dff238.gif,

причем,hello_html_m3e16824d.gif, так как по условию hello_html_m1b195332.gif. Таким образом

hello_html_5657dbdd.gif. (6)

Равенство (6) можно получить путем умножения числителя и знаменателя дроби hello_html_m436374d9.gifна число, комплексно-сопряженное знаменателю.


Пример 3. Найти частное от деления комплексного числа hello_html_368e5fb6.gifна число hello_html_5032dd59.gif.

Решение. Очевидно, что

hello_html_f16b844.gif.


Возведение комплексного числа hello_html_m4ac4ec9c.gif в степень п (пhello_html_m289d78ff.gifN) рассматривается как частный случай умножения комплексных чисел:

hello_html_58d894d9.gif(п раз) (7)

Найдем натуральные степени мнимой единицы i. На основании ра­венства (4) получаем:

hello_html_759f79cc.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_791a4baf.gifhello_html_m7c2b968b.gifhello_html_4b33210c.gifhello_html_5bb4b1ae.gifhello_html_12b2a990.gifhello_html_m36134403.gif,

и вообще

hello_html_125b02ed.gifhello_html_m3042c272.gifhello_html_m161ea726.gifhello_html_18517d45.gif

где п — любое натуральное число.

Пример 4. Найти hello_html_m72be4441.gif.

Решение. При делении числа 59 на 4 имеем: 59 = 14 • 4 + 3, поэтому

hello_html_m7b75f694.gif.

Предоставляем проверить самостоятельно, что для комплексно-сопряженных чисел выполняются следующие равенства:

hello_html_1ff15cf.gif; hello_html_m4c3e0aed.gif; hello_html_m43d54311.gif; hello_html_6b4ac355.gif. (8)


3.1. Решение алгебраических уравнений

Многочлены и алгебраические уравнения. Многочленом (поли­номом или целой рациональной функцией) п-й степени называется функция вида

pn (z) = аn zn + аn-1zп-1 +…+a1z+ao (9)

где zhello_html_m289d78ff.gifC, аo, а1, .. . ,аn— коэффициенты (вообще говоря, комплексные), причем ап0, nhello_html_m289d78ff.gifN- Уравнение

аn zn + аn-1zп-1 +…+a1z+ao = 0, аn ≠ 0, (10)

называется алгебраическим уравнением п-й степени. Число zo для которого рn(zо)=0, называется корнем многочлена (9) или уравнения (10).

Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий много­член ненулевой степени имеет по крайней мере один корень (вообще говоря, комплексный).

Число zo является корнем многочлена рп (z) в том и только в том случае, когда рп (z) делится без остатка на бином zzo, т. е.

pп(z) = (zzоqn-1(z),

где qn-1(z) — многочлен (n −1)-й степени. Если pn(z) делится без остатка на (zzo)k, k1, но не делится на (zzo)k +1, то zo назы­вается корнем кратности k многочлена рn(z); при этом

pп(z) = (zzo)k qn-k (z),

где qn-k (z) ≠ 0.

Теорема Гаусса может быть уточнена следующим образом: много­член п-й степени имеет ровно п корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Если коэффициенты многочлена (9)—действительные числа и zo= xo + iyo — его комплексный корень, то сопряженное число hello_html_m7ec099b5.gif — также корень этого многочлена, причем корни z0 и hello_html_m444991df.gif имеют одинаковую кратность.

Пусть многочлен рn(z) имеет корни z1, z2, z3,..., zт (т п) кpатностей соответственно k1, k2, …km (k1+ k2+ …+km = п) Тогда

его можно разложить на линейные множители, т. е. справедливо тож­дество

pп(z) = an(zz1)k1(zz2)k2(zzm)km

Если при этом коэффициенты многочлена—действительные числа, то, объединяя скобки, соответствующие комплексно сопряжен­ным корням, можно разложить этот многочлен в произведение линейных и квадратичных множителей* с действительными коэффици­ентами.

Пример 5. Найти корни многочлена z6 + 2z3 + 1 и разложить его на множители.

Решение. Так как z6 + 2z3 + 1 = (z3 + 1)2, то корнями этого многочлена яв­ляются корни 3-й степени из −1:

z1 = -1;

hello_html_6c40307b.gif;

hello_html_567ba130.gif

При этом каждый корень имеет кратность k= 2. Разложение этого многочлена на линейные множители имеет вид

hello_html_m34866b48.gif

Объединяя последние две скобки в один сомножитель, получим раз­ложение на множители с действительными коэффициентами

z6 + 2z3 + 1 = (z +1)2(z2 z + 1)2.

Пример 5. Решить квадратные уравнения:

1) z2 + 2z + 5 = 0; 2) 4z2 —2z + 1= 0; 3) z2+ (5−2i) z + 5(1 − i) = 0; 4) (z + 1)4 +16 = 0;

5) z4+18z2 + 81=0.

Решение.

1) z2 + 2z + 5 = 0; D = 4 − 4∙ 5 = 4 – 20 = -16; hello_html_m368e1e37.gifz2 = −1 + 2i .

2) 4z2 − 2z + 1= 0; D = 4 − 4∙ 4∙ 1 = 4 – 16 = -12; hello_html_m707ee036.gif hello_html_68f4754f.gif

3) z2+ (5−2i) z + 5(1 − i) = 0; D = (5−2i)2 − 4∙5(1 − i) = 25 −20i +4i2 −20 +20i = 1;

hello_html_122af024.gifhello_html_7f550b2.gif.

4) (z + 1)4 +16 = 0; (z + 1)4 = −16; (z + 1)2 = ± 4i; z + 1 = ± 2hello_html_4475f5d0.gif = ± 2hello_html_3c068f6f.gif;

hello_html_m4eb82eee.gif; hello_html_m77929dc1.gif.

  1. z4+18z2 + 81=0;

Обозначим t = z2 , тогда имеем

t2 +18t + 81=0; D = 182 – 4 ∙1∙81 = 324-324 = 0; два одинаковых корня t1,2= -9

t = z2; z2 = -9; z1,2= z3,4= ± 3i.

Ответ. 1) −1 ± 2i; 2) hello_html_m1a6b77ea.gif 3) 3 ± i; 4) hello_html_m13e8f4bf.gif; hello_html_m77d600d4.gif; 5) ± 3i.


4. Полярные координаты точки на плоскости

Возьмем на плоскости произвольную точку О и некоторую ось Or проходящую через эту точку. Ось может быть задана, например, еди­ничным вектором ОЕ (рис. 4).

Произвольную точку М плоскости, не совпадающую с точкой С можно задать двумя числами: r — длиной отрезка ОМ и φ — углом, который образует отрезок ОМ с осью ОР в положительном направлении

Числа r и φ называются полярными координатами точки М. При этом r называется полярным радиусом точки М, а φ— ее полярным углом. Совокупность точки О и оси ОР образует систему координат на плоскости, которая называется полярной системой. Точка О называется полюсом, а ось ОРполярной осью.

Так же, как и для декартовых коор­динат точки, полярные координаты точки будем заключать в круглые скобки. Так, точка М, заданная на рис. 5, имеет полярные координаты hello_html_m755f4c1b.gif.

­

hello_html_213248b0.gifhello_html_63898eff.gifhello_html_m3fd5de0a.gif

Точка О характеризуется условием r = 0.Полярный угол φ для этой точки не определен.

Будем считать, что полярные координаты точек плоскости изменя­ются в следующих пределах:hello_html_4e7f461b.gif;hello_html_2260fd0.gif.

Для построения точки по полярным координатам необходимо по­строить луч с началом в точке О, на котором лежит искомая точка, и на этом луче от полюса отложить отрезок, длина которого равна полярно­му радиусу.

Пусть на плоскости выбраны одновременно полярные и прямоуголь­ные системы координат таким образом, что полюс совпадает с началом декартовых координат, а полярная ось — с положительным направлением оси абсцисс (рис. 6). Если произвольная точка М в полярной системе имеет координатами числа r и φ , а в прямоугольной х, у, то очевидно

hello_html_m68d2cc2c.gif; hello_html_m7424dda4.gif (11)

hello_html_m72bfbae1.gif; hello_html_6f564a79.gif, (12)

Таким образом, полярные и прямоугольные координаты одной и той же точки плоскости при указанном выборе систем координат связа­ны соотношениями (11) и (12). При этом из соотношения (11) по заданным полярным координатам r и φ определяются прямоугольные координаты, а из соотношений (12) по заданным прямоугольным ко­ординатам хи у определяются полярные координаты. Необходимо учесть, что из второй формулы (12) угол ср определяется не однознач­но. Поэтому, вместо этого соотношения лучше воспользоваться соот­ношениями hello_html_m38c21449.gif; hello_html_62184e68.gif.

Пример. Даны полярная и прямоугольная системы координат (рис. 7). Найти: а) полярные координаты точкиhello_html_22365432.gif; б) прямоугольные координаты точки hello_html_60847bd4.gif.

Решение, а) Пользуясь соотношениями (12), получим

hello_html_m1797b853.gif;

hello_html_m1e25dcc8.gif; hello_html_mb5d02ea.gif.


hello_html_m3d538871.gif



Из этих соотношений следует, что точ­ка расположена в четвертой четверти, поэтому hello_html_30825fd9.gif;

б) пользуясь соотношениями (11), получим hello_html_m4f038c78.gif; hello_html_m5b06d060.gif. Следовательно,hello_html_2a04e6be.gif.

5. Тригонометрическая форма комплексного числа

Выберем на комплексной плоскости вместе с прямоугольной и по­лярную систему координат таким образом, как это изображено на рис. 6 Так как произвольное комплексное числоhello_html_14506743.gifизображается точкой, то числа х и у являются ее прямоугольными координатами. Пусть hello_html_528a7ec6.gif иhello_html_6f95504e.gif— полярные координаты точки М(х;у). Полярный радиусhello_html_m72bfbae1.gifназывается модулем, или абсолютной величиной комплексного числа z и обозначается hello_html_3f51aee7.gif, а полярный угол ф называется аргумен­том комплексного числа и обозначается arghello_html_31a4f847.gif. Так как

hello_html_m33270d07.gifи hello_html_6aaa3633.gif, то hello_html_mbad851a.gif или

hello_html_7a3922a4.gif. (13)

Правая часть (13) называется тригонометрической формой ком­плексного числа.

Запись комплексного числа z в видеhello_html_m5b5507d0.gifназывается алгебраической формой комплексного числа. Переход от алгебраической формы записи к тригонометрической и обратно осуществляется по формулам

hello_html_m450ae07f.gif; hello_html_m679c68ad.gif;

hello_html_m33270d07.gif; hello_html_6aaa3633.gif.

Пример 1. Составить тригонометрическую форму записи ком­плексного числа hello_html_450069e7.gif

Решение. Имеем:hello_html_m2fae426d.gif hello_html_73c10fa9.gif, hello_html_m3321a3cc.gif.

По таблице тригонометрических функций или на калькуляторе на­ходимhello_html_640010ee.gif.

Следовательно,hello_html_m40569bf2.gif.

Пример 2. Доказать, чтоhello_html_2e6d50a0.gif.

Решение. На комплексной плоскости построим числа z1 и z2 (рис. 8). Неравенства, подлежащие доказательству, вытекают из известной теоремы геометрии о сторонах треугольника (разность двух сторон тре­угольника не больше третьей стороны, а сумма двух сторон не меньше третьей стороны).

Следует заметить, что для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» лишены смысла, так как эти числа, в отличие от дейст­вительных, располагаются на плоскости, точки которой нельзя линейно упорядочить, в то время как точки прямой могут быть линейно упорядочены.

hello_html_m5e0fe6f6.gif

5.1. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме:

hello_html_6a8c7c85.gifhello_html_8052c7e.gif (14)

Перемножая их, получим

hello_html_6c5c57ea.gif

т. е.

hello_html_4c5c3c41.gif (15)


Таким образом, при умножении ком­плексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы скла­дываются:

Пример 1. Дано hello_html_m34c38281.gif

hello_html_6f1a32a9.gif



hello_html_m3162c4f6.gif

ВЫЧИСЛИТЬ hello_html_m3a1f884f.gif hello_html_mde2e971.gif hello_html_5a935900.gif

Решение. Применяем формулу (15):

hello_html_m46399fba.gif

На комплексной плоскости числа z1 и z2 представим, соответствен­но, векторамиhello_html_meedaa41.gif и hello_html_m37cb8892.gif(рис. 9). Чтобы построить вектор hello_html_m4b9c875.gifизображающий комплексное число z = z1z2 надо (см. равенство (11)) векторhello_html_m4b9c875.gifповернуть на угол hello_html_4f2dc7e2.gif против часовой стрелки, затем умно­жить его длину на числоr. Это есть геометрическая интерпретация ум­ножения комплексных чисел.

В частности, так как hello_html_e7cf371.gif, то умножение любого комплексного числа z на число i с геометрической точки зрения можно рассматривать как операцию поворота вектора, изображающего число z, на угол hello_html_m84a9d39.gifв положительном направлении (против движения часовой стрелки).

Разделим теперь первое комплексное число (14) на вто­рое:

hello_html_1c7755ad.gif

hello_html_m442c4672.gif(имея i2= -1, получим:)

hello_html_46102783.gif

hello_html_m5c5f226a.gif, где hello_html_556c7563.gif

Итак, hello_html_604e1f11.gifhello_html_m2f9a3438.gif

Таким образом, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются:

hello_html_6d2b4494.gifhello_html_755f672.gif

Пример 2. Дано hello_html_m59c1046f.gif, hello_html_m1d5eb5.gif. Вычислитьhello_html_7883947c.gif.

Решение. Имеем:


hello_html_m784580fb.gif

hello_html_67c50a00.gif

Для построения вектора hello_html_m74a7f54f.gif изображающего комплексное число hello_html_4e1e480d.gif, нужно векторhello_html_m47812c4f.gif изображающий комплексное число z1, повернуть на угол hello_html_4f2dc7e2.gif по часовой стрелке и уменьшить его длину в r2 раз.

Деление комплексного числа z на i с геометрической точки зрения можно рассматривать как операцию поворота радиус-вектора точки z на угол hello_html_m60786140.gif по часовой стрелке.

Возведение комплексного числа hello_html_7a3922a4.gif в натуральную степень п рассматривается как и-кратное умножение z на самое себя:

hello_html_8b2f7f9.gif

т. е.

hello_html_m23cc93e2.gif(16)

Таким образом, при возведении комплексного числа в степень п мо­дуль этого числа возводится в степень п, а аргумент умножается на п:

hello_html_250d3988.gif; hello_html_m2e093629.gif

Формулу (16) можно записать в виде

hello_html_m4471f36c.gif(17)

В частности, при r = 1 из равенства (17) следует формула Муавра, имеющая широкое применение в математике:

hello_html_m101e2923.gif

Пример 3. Выразите sin 4φ и cos 4φ через sin φ и cos φ.

Решение. Применяя формулу Муавра при п = 4, получим:

hello_html_m46d9059b.gif (18)

Но

hello_html_6ee5b4dc.gif(19)

Сравнивая действительные и мнимые части равенств (18) и (19), получим

hello_html_m62bfe2f.gif

hello_html_769a191.gif

Пусть п — натуральное число.

Корнем п-й степени из комплексного числа hello_html_7a3922a4.gifназывается комплексное число hello_html_7f722371.gif для которого wn = z. Это число обозначается hello_html_m6d04b810.gif

Так как два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на целое число, кратное 2л, то

hello_html_60b56eb3.gif, hello_html_125976ea.gif

откуда

hello_html_5c4c00b0.gifhello_html_2d43b6c5.gif

Таким образом,

hello_html_m24f8fae1.gif (20)

Подставляя вместо к значения 0, 1, 2, ..., п - 1, получим п различ­ных значений корня. Для k = п, п + 1, п + 2, ... или k = -1, -2, ... корни будут принимать полученные ранее значения.

Так, например, при k = 2 имеем: hello_html_7935fb8e.gifи при k = п + 2

hello_html_m439cf0e5.gif

Читатель может проверить, что и для функции косинуса получается то же самое.

Пример 4. Найти все значенияhello_html_2d2b9ce2.gif

Решение. Так как 1 = l(cos 0 + i sin 0), то

hello_html_m3abf2573.gif

Придавая k последовательно значения 0, 1, 2, 3, 4, соответственно, получим:

z1 = 1 при k = 0;

hello_html_m5bbe4dbd.gif

hello_html_m523238b.gifпри k = 1;

hello_html_m5c5da9f9.gifпри k = 2;
hello_html_m467759e2.gif при k = 3;

hello_html_m45b1c611.gifпри k = 4.

Дадим геометрическую интерпретацию полученных значений hello_html_2d2b9ce2.gif. Модули всех этих значений равны 1. Следовательно, точки z1, z2, z3, z4, z5 лежат на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Построив аргументы значений z1, ... , z5 (рис. 10), заметим, что точки, изобра­жающие числа z1,..., z5, являются вершинами правильного пятиугольника.

Исходя из формулы (20) можно показать, что геометрически точки, соответствующие различным значениям корня n-й степени из комплексного числа hello_html_7a3922a4.gifрасполагаются в вершинах правильного п-угольника с центром в точке О, причем одна из вершин (соответствующая k = 0) имеет полярные координатыhello_html_2dd8d43d.gif.

6. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Найдем тригонометрическую форму комплексного числа z, если hello_html_m69dd2254.gifТак как в записи hello_html_7a3922a4.gifвыражение

hello_html_m3404bf9c.gifесть действительная, а hello_html_2f112170.gif— мнимая часть и комплексно-

сопряженные числа отличаются знаком мнимых частей, то

hello_html_35ce4cd0.gif(21)

Функция косинус — четная, а синус — нечетная, поэтому соотно­шение (21) можно записать в виде

hello_html_28d042ad.gif

Из геометрических соображений можно заключить, что точка, изо­бражающая комплексное число 1, получается из точки, изображающей число z, в результате ее симметричного отображения относительно оси абсцисс. Значит,

hello_html_m3e8a8613.gifhello_html_9b156ad.gif

Из правил умножения и деления комплексных чисел в тригономет­рической форме следует, что аргумент комплексного числа ведет себя так же, как показатель степени при умножении степеней с одинаковыми основаниями: hello_html_43c646b5.gifЭто обстоятельство навело Л. Эйлера на

мысль представлять комплексные числа в виде

hello_html_m4b0eef30.gif(22)

где е — основание натурального логарифма.

К комплексным числам, записанным в форме (22), применимы правила действий над степенью. А именно, если hello_html_3103111d.gif, hello_html_9d9f036.gif, то

hello_html_m39c88acc.gif откуда следуют известные нам правила:

hello_html_39389010.gif, hello_html_mde2e971.gif

Аналогично получаем

hello_html_m544566bd.gif


т. е. при делении комплексных чисел справедливы равенства hello_html_61ae115.gif и hello_html_m468077e2.gif

Далее, возведя комплексное число (22) в степень п, получим

hello_html_6e0814f1.gif

Следовательно, при возведении комплексного числа в степень |zn| = |z|n,arg(zn) = n arg z.

Таким образом, представление комплексного числа в виде (22) формально находит оправдание. Запись (22) называется показатель­ной или экспоненциальной формой комплексного числа.

Если z представлено в форме (22), то комплексно-сопряженное число

hello_html_m7c7290b8.gif

Сравнивая записи комплексного числа в известных нам формах, будем иметь hello_html_m11c84e40.gif При r = 1

hello_html_4fb52f4e.gif(23)

Это соотношение называется тождеством Эйлера. Аналогично можно записать

hello_html_5b06143e.gif(24)

Путем сложения и вычитания равенств (23) и (24), соответст­венно, получаем

hello_html_m4c3ebf64.gifhello_html_1be3c7d7.gif

Эти равенства находят широкое применение в различных вопросах математики.

Пример 5. Представить в экспоненциальной форме комплексное чис­ло hello_html_72f8409b.gif

Решение. Находим hello_html_m23f6e241.gifhello_html_m588f7ba2.gifhello_html_53a90dce.gifhello_html_767a6875.gif Следовательно,hello_html_m1e6fa9b7.gif


7. Понятие функции комплексной переменной


Пусть даны две комплексные плоскости Оху (плоскость z) и O'uv (плоскость w).

Определение. Если каждой точке (числу) zhello_html_m289d78ff.gifD (D множество точек плоскости z ) по некоторому закону f ставится в соответ­ствие единственная точка w hello_html_m289d78ff.gifЕ (Е множество точек плоско­сти w), то говорят, что w есть функция от z (однозначная):

w = f (z), (25)

с областью определения D, значения которой принадлежат множе­ству Е (рис. 11). Т.е. говорят, что на мно­жестве определена однозначная функция комплексного переменно­го w = f(z), отображающая множество D в множество Е. Если множество значений функции f (z) исчерпывает все множество Е, то Е называется множеством значений (областью изменения) функции f (z). В этом случае пишут

Е = f (D).(26)


Если каждому z hello_html_m289d78ff.gifD соответствует несколько значений w, то функция w = f(z) называется многозначной.

Множества D и Е можно изображать на одной комплексной пло­скости.

hello_html_m19d97d37.png

Рис. 11.

Таким образом, каждая комплексная функция реа­лизует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплекс­ные функции находят свое применение в таких науках, как гидро­динамика и аэродинамика, так как с их помощью удобно описы­вать «историю» движения объема жидкости (или газа).

hello_html_2f5e2217.pnghello_html_451cb1f5.png

a) б)

Рис. 12.

Раздел математики, изучающий свойства комплексных функций, носит название теории функций комплексной переменной.

Пример6. Во что переходит сектор Е

hello_html_92b07b9.gif, hello_html_m63fcd72c.gif

(рис. 12, а) при отображении w = z2?

Имеем

arg w = 2argz < π и |w| = |z|2 < 1.

Поэтому отображенная область E ' представляет собой полукруг (рис. 12, б).


Далее, как правило, будем рассматривать такие функции w = f(z), для которых множества D и Е1 являются областями. Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскос­ти, обладающих свойствами открытости и связности.

Функцию w = f(z) можно записать в виде

u + iv = f(x + iy),

т. е.

f(x + iy) = и(х; у) + iv(x; у),

где

и = и(х;у) = Ref(z), v = v(x;у) = Imf(z), (х; у) hello_html_m289d78ff.gif D.

Функцию и(х;у) при этом называют действительной частью функции f(z), a v(x;y) мнимой.

Таким образом, задание функции комплексного переменного равно­сильно заданию двух функций двух действительных переменных.

Пример 7. Найти действительную и мнимую части функции w = z2.

Решение: Функцию w = z2 можно записать в виде и + iv = (х + iy)2,

т.е.

и + iv = х2 — у2 + i 2ху.

Отсюда следует: и = х2 —у2, v = 2ху.


Выбранный для просмотра документ Образец выполнения самостоятельной работы.doc

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Образец выполнения самостоятельной работы № 5


1. Составить квадратное уравнение по его корням х1 = 1 − hello_html_774d1622.gifi и x2 = 1 + hello_html_774d1622.gifi.

Решение. По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену уравнения, а сумма корней – второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, поэтому имеем

х1 x2 = (1 − hello_html_774d1622.gifi )(1 + hello_html_774d1622.gifi ) = 1 + 3 = 4,

х1 + x2 = (1 − hello_html_774d1622.gifi ) + (1 + hello_html_774d1622.gifi ) =1 − hello_html_774d1622.gifi + 1 + hello_html_774d1622.gifi = 2,

х2 + рх + q = 0, х2 − 2х + 4 = 0.

Ответ. х2 − 2х + 4 = 0.


2. Найти действительные числа х и у из уравнения 5х – 2у + (х + y) i = 4 + 5i.

Решение. Составим и решим систему hello_html_3297ac97.gifhello_html_m58b670e2.gifhello_html_472ff4c8.gifhello_html_4dc39b12.gifhello_html_m576e14ff.gif

Ответ. (2; 3).


3. Выполнить действия а) hello_html_m58f1c97a.gif ; б) hello_html_md1de3e8.gif ; в) hello_html_m7270e623.gif.

Решение. а) hello_html_m58f1c97a.gif= hello_html_m764c866b.gif hello_html_766cf23c.gifhello_html_m2b33d976.gifhello_html_c8ff765.gif.


б) hello_html_md1de3e8.gif = hello_html_36acd894.gif= hello_html_m7d2b2a1.gif = hello_html_7bbd8eea.gifhello_html_m74b875c1.gifhello_html_18558a1a.gifhello_html_35d1aa86.gif.

i2 = -1, i4 = -1∙(-1) = 1, i8 = 1, i =hello_html_m639940c8.gif, i3 = -hello_html_m639940c8.gif= -i, i5 =hello_html_m639940c8.gif= i, i7 = -hello_html_m639940c8.gif= -i, i9 =hello_html_m639940c8.gif= i.

Таким образом, i4k= 1, i4k+1= i, i4k+2= - 1, i4k+3= - i,


в) hello_html_m4d4c3654.gifhello_html_m2db3b789.gifhello_html_mcc446d2.gifhello_html_7920aa0a.gifhello_html_5d8a57df.gif2hello_html_78853b40.gif.

где r = hello_html_m5c3ff636.gif φ = arctghello_html_m59df605d.gif= arctghello_html_27fbc440.gif= arctg1 = hello_html_m5bb3a56e.gif

Ответ. а) hello_html_c8ff765.gif; б) -1 + i ; в) 2hello_html_78853b40.gif.


4. Выполнить действия и результат записать в тригонометрической форме hello_html_549d7b68.gif

Решение. hello_html_549d7b68.gif=hello_html_1961d09e.gif = hello_html_3cae73f.gif=hello_html_4dc0e5d4.gif,

где r1 = hello_html_39d8fc58.gif φ1 = arctghello_html_m59df605d.gif= arctghello_html_m71d0da48.gif= arctg1 = hello_html_m5bb3a56e.gif,

r2 = hello_html_39d8fc58.gif φ2 = arctghello_html_m59df605d.gif= arctghello_html_m170440a7.gif= arctg(-1) = hello_html_m54365ad0.gif.

Таким образом, z = 2

Запишем данное число в тригонометрической форме:

z = 2 (cos0 + icos0◦)

Ответ. z = 2 (cos0 + icos0◦)


5. Выполнить действия и результат записать в показательной форме 7hello_html_2a9b181e.gif.

Решение. 7hello_html_2a9b181e.gif= 7hello_html_5decb74e.gif= 7∙13hello_html_m5a3aee32.gif= 7hello_html_m791eaa6.gif

z = 7hello_html_m791eaa6.gif .

Ответ. z = 7hello_html_m791eaa6.gif.

6. Решить уравнение х2 + 8х + 80 = 0.

Решение. х2 + 8х + 80 = 0, D = 64 - 4∙ 1∙ 80 = -256, х1 = hello_html_m31b970e.gifhello_html_m639143d0.gif,

х2 = hello_html_m4be4a59e.gif.


Ответ. х1 =hello_html_m639143d0.gif, х2 = hello_html_m4be4a59e.gif.



7. Построить слагаемые z1= −2 и z2 = 2 − 3i и их сумму.

y


hello_html_6d866933.gif












Проверка: z1 + z2 = (−2) + (2 − 3i ) = −2 + 2 − 3i = − 5i .


Ответ. − 5i.




Выбранный для просмотра документ ПРАКТИКУМ.doc

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

ПРАКТИКУМ

Комплексные числа

Комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости (рис.4).



hello_html_70b386b4.pnghello_html_35493f26.png












Пример. Найти полярные координаты точки М (hello_html_m70844137.gif) (рис. 5).

Решение. Используя формулы (1), находим полярный радиус и полярный угол точки М:


hello_html_322157b.gif, hello_html_33c52163.gif, hello_html_m52bc8fc6.gif, так как точка М лежит в IV четверти.

Решение задач

Пример 1. На комплексной плоскости постройте точки:

а) hello_html_m590b7e8.gifб) hello_html_m4c6f4db8.gif в) hello_html_mab7e055.gif

Решение. а) Действительная координата числа z х = -2, мнимая координата у = 2 (рис. 1а);

y


y


y



hello_html_58b0ef02.gifhello_html_m7bf8c8f5.gifhello_html_2e16a9ef.gif


x


-4


x x

Рис. 1 а) б) д)

б) действительная координата числа z х = -1, мнимая координата у = -1 (рис. 1б) ; в) действительная координата числа z х = -4, мнимая координата у = 0 (рис. 1в).


Пример 2. Найдите комплексно-сопряженные числа для следующих чисел и
постройте их на комплексной плоскости: а) hello_html_m19e26d7c.gif б) hello_html_5ee69d1b.gif

Решение. : а) hello_html_m19e26d7c.gif hello_html_m1275a222.gif б) hello_html_m79dc53c9.gifhello_html_m5fbb6c85.gif

hello_html_m75ba6285.gifhello_html_m1cd4c8fc.gif



-3



0





Рис. 2а,б



Пример 3. Решите квадратные уравнения:

а) 2hello_html_m560d5ad4.gif б) hello_html_m3f5f45b2.gif

Решение. а) 2hello_html_m560d5ad4.gif

D = b2 – 4ac = 1 – 4·2·1 = - 7;

x1,2 = hello_html_51f33f16.gif= hello_html_38cc9483.gif± hello_html_m662fb99e.gif.

б) hello_html_m3f5f45b2.gif

D = b2 – 4ac = 9 – 4·1·11 = - 35;

x1,2 = hello_html_e441d0f.gif= hello_html_605a1791.gif± hello_html_m185ccb22.gif.


Пример 4. Даны числаhello_html_4ae0443f.gifhello_html_1f826180.gif. Найдите числа:

a) z1 + z2; б) z1 - z2;

в) z1*z2; г) hello_html_m5bd2bb9c.gif.

Решение. a) z1 + z2 = (-2+3i) + (3-2i) = -2+3i+3-2i = 1+ i ;

б) z1 - z2 = (-2+3i) - (3-2i) = -2+3i-3+2i = -5+ 5i ;

в) z1 * z2 = (-2+3i) · (3-2i) = -6+ 4i + 9i - 6i2 = -6 + 13i +6 = 13i ;

г) hello_html_m5bd2bb9c.gif= hello_html_m1d417bb3.gif= hello_html_mc80b3c3.gif.hello_html_m3879bc7e.gifhello_html_m54a0d57.gifhello_html_1b0139a1.gif

Ответ. a) 1+ i ; б) -5+ 5i ; в) 13i ; г) hello_html_44f88d8e.gif.


Пример 5.Представьте в тригонометрической форме следующее комплекс­ное число: 2+2hello_html_m2f8f8576.gif

Решение. r = hello_html_m4a7b5176.gif= hello_html_m68322000.gif

arghello_html_528a7ec6.gif = φ = arctghello_html_m59df605d.gif= arctghello_html_11c09d83.gif= arctg1 = hello_html_m5bb3a56e.gif;

2+2hello_html_m2c5d5f29.gif= hello_html_m51707818.gif(coshello_html_m5bb3a56e.gif+ i sinhello_html_m5bb3a56e.gif).

Ответ. hello_html_m51707818.gif(coshello_html_m5bb3a56e.gif+ i sinhello_html_m5bb3a56e.gif).

Пример 6. Даноhello_html_34c182a7.gifВычислите, чему равны
модули и аргументы сопряжённым числам чисел: а) hello_html_6b351831.gif б) hello_html_2cafc057.gif

Решение. а) Найдём hello_html_m542b6863.gif= (-4+7i) - (3+2i) = -4+7i-3-2i = -7+ 5i ;

сопряжённое число: -7 - 5i;

r = hello_html_5370da04.gif= hello_html_235f8e0b.gif. arg φ = arctghello_html_m59df605d.gif= arctghello_html_m597eb90f.gif= arctg hello_html_m779df46f.gif;

-7 - 5i =hello_html_m665dd35e.gif (cos (arctg hello_html_m779df46f.gif) + i sin (arctg hello_html_m779df46f.gif)).

б) Найдём hello_html_mf8e02b6.gifhello_html_110ec493.gif= -3 + 5i - 4+7i = -7+12i ;

сопряжённое число: -7 - 12i;

r = hello_html_m1596a7ba.gif= hello_html_m6238f4fe.gif. arg φ = arctghello_html_m59df605d.gif= arctghello_html_520e06a.gif= arctg hello_html_56ec4b02.gif;

-7 - 5i =hello_html_75e048af.gif (cos (arctg hello_html_56ec4b02.gif) + i sin (arctg hello_html_56ec4b02.gif)).

Ответ. а) r =hello_html_m665dd35e.gif, hello_html_m665dd35e.gif (cos (arctg hello_html_m779df46f.gif) + i sin (arctg hello_html_m779df46f.gif)).

б) r =hello_html_75e048af.gif, hello_html_75e048af.gif (cos (arctg hello_html_56ec4b02.gif) + i sin (arctg hello_html_56ec4b02.gif))

Пример 7. Комплексные числа hello_html_53930d58.gif hello_html_3fd548bd.gif.представить в тригонометрической форме и найти: a) z1z2; б) hello_html_7883947c.gif; в) hello_html_48597cde.gif; г) hello_html_72402c56.gif; д) hello_html_m16863c2.gifе) hello_html_m62fb483a.gif.

Решение. По формуле (10) найдём модуль комплексного числа hello_html_1cca4771.gif:

r1 = hello_html_1e681736.gif= hello_html_m75daf459.gif, а из соотношений (.9) cos φ1 =hello_html_494c0de.gif, sin φ1 =hello_html_m5bcdbb5.gif

получим аргумент числа hello_html_1cca4771.gif(берём его главное значение):

φ1 = arghello_html_1cca4771.gif= -hello_html_m5bb3a56e.gif, т.е. hello_html_1cca4771.gif=hello_html_m62632d12.gifhello_html_4869acd3.gif.

Аналогично, r2 = hello_html_e837635.gif= hello_html_m681ad032.gif= 2, cos φ2 =hello_html_10ef7276.gif, sin φ2 =hello_html_50feb0d8.gif.

Т.е. φ2 = arghello_html_m67c88ff9.gif=hello_html_1620707a.gif, и hello_html_m67c88ff9.gif=2hello_html_m55e75cb5.gif.

Теперь по формулам (13), (13' ), (14) (формула Муавра) и (18) найдём

а) z1z2= hello_html_m62632d12.gif·2hello_html_m2f86bcc2.gif= 2hello_html_m62632d12.gifhello_html_37b4eb19.gif;

б) hello_html_7883947c.gif=hello_html_2268cba1.gif hello_html_47070c6e.gif=hello_html_2268cba1.gif hello_html_m7b861e92.gif= hello_html_2268cba1.gifhello_html_m3e15b191.gif= =hello_html_2268cba1.gifhello_html_m12f2b79.gif=hello_html_4663c81e.gif

в) hello_html_48597cde.gif= (hello_html_6db18635.gif)28 = hello_html_m49f3b487.gif= (hello_html_m62632d12.gif)28hello_html_6fcdabe4.gif=

= 214 (coshello_html_m4b36441a.gif) = 16384 (cos7πsin7π) = 16384 (-1+0π) = -16384.

г) hello_html_72402c56.gif= hello_html_22379907.gif= hello_html_747c5cd1.gif ;

k = 0, 1, 2. При k = 0 hello_html_72402c56.gif= hello_html_5a78b10.gif.

При k = 1 hello_html_72402c56.gif= hello_html_m204d7ad6.gif.


При k = 2 hello_html_72402c56.gif= hello_html_212348ca.gif.

д) hello_html_m16863c2.gif Имеем z1z2= 2hello_html_m62632d12.gifhello_html_37b4eb19.gif; Тогда hello_html_69c5844.gif=2hello_html_m62632d12.gifhello_html_42853f10.gif;

е) hello_html_m62fb483a.gif. Зная что hello_html_7883947c.gif= hello_html_4663c81e.gifнайдём hello_html_m62fb483a.gif = hello_html_m40899a3e.gif

Пример 8. Комплексные числа а) hello_html_28108ab5.gif б) hello_html_m46e0bb5.gif

Решение. а) hello_html_20798657.gif= hello_html_4f504015.gif.

б) hello_html_mb2eda53.gif.

Пример 9. Изобразить на комплексной плоскости числа: 1) hello_html_2dd91e4d.gif 2) hello_html_3e7876df.gif. Записать число hello_html_1cca4771.gif в тригонометрической, а число hello_html_m67c88ff9.gif- в алгебраической форме.

Решение. 1) Для числа hello_html_1cca4771.gif имеем hello_html_31a14656.gifОткладывая по оси Ox hello_html_m1966c39f.gifа по оси Oy hello_html_50feb45c.gif получаем точку комплексной плоскости, соответствующую числу hello_html_1cca4771.gif(рис.2). Модуль этого числа находим по формуле (7):

Рис.1 и 2 .

hello_html_m40dbf557.pnghello_html_61fa4bd.png

Рис. 1. Рис. 2

hello_html_m4374ef7f.gifАргумент определяем из равенства hello_html_m5142249e.gif Так как число hello_html_1cca4771.gif находится в левой полуплоскости, то его аргумент hello_html_323bfffa.gifТригонометрическая форма числа hello_html_1cca4771.gif имеет вид hello_html_m2ab4bf0b.gif

2) Модуль числа hello_html_m67c88ff9.gif равен hello_html_5bec9471.gif, а аргумент hello_html_ef73d9a.gif. Для его изображения на комплексной плоскости проводим из полюса луч под углом hello_html_ef73d9a.gif к полярной оси и откладываем на нем отрезок, длиной hello_html_m35b6bef6.gif Полученная точка соответствует числу hello_html_m67c88ff9.gif(рис.8).

Его действительная часть hello_html_m1fa4689.gif, а минимальная часть hello_html_1720f7e9.gifТаким образом, алгебраическая форма числа hello_html_m67c88ff9.gif имеет вид hello_html_6072996c.gif

Пример 10: Вычислить hello_html_3e91a574.gif

Решение. Модуль числа -8 равен 8, а аргумент равен hello_html_1bfc1af9.gif. Используя формулу (8), получаем

hello_html_5fc0d6de.gif

hello_html_m4c0763e0.gif

hello_html_757018df.gif

hello_html_8af654b.gif

Пример 11.Решить уравнение 5z3 – 17z2 + 21z − 9 = 0 и изобразить его корни hello_html_mc15ef04.gif на комплексной плоскости.

Проверить, что

hello_html_m2b909632.gif , г) (z1z2)23.


Решение. 1) Подбором находим корень уравнения 5z3 – 17z2 + 21z − 9 = 0

z1 = 1.

( Его легко найти из делителей свободного члена 9: ± 1; ± 3; ± 9).

Используя схему Горнера или способ деления многочлена (5z3 – 17z2 + 21z − 9) на двучлен (z-1) (Вспомните разложение многочлена : (х-х1)(х-х2)(х-х3)…(х-хп) ) получим:

(z-1)(5z2 – 12z + 9) = 0,

Решив квадратное уравнение 5z2 – 12z+ 9= 0 будем иметь мнимые корни, выраженные комплексными числами: z2,3 = hello_html_16be02df.gif= hello_html_6fbcaf80.gifhello_html_845471c.gifhello_html_m4b81fdf4.gif.


СХЕМА ГОРНЕРА

ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ДВУЧЛЕН

hello_html_40862967.gif

hello_html_1e8ab3c9.gif5 -17 21 -9


5 -12 9


1 5hello_html_1e8ab3c9.gif -12 9 0



(z-1)·(5z2 – 12z + 9) = 0


hello_html_438e1b6b.gif

hello_html_1cbd7991.gifhello_html_5951fc3b.gif5z3 – 17z2 + 21z − 9 z –1

hello_html_m2823cef2.gif5 z3 – 5z2 5z2 – 12z + 9

hello_html_5951fc3b.gif12z2 + 21z

hello_html_m2823cef2.gif12z2 + 12z

hello_html_5951fc3b.gif9z − 9

hello_html_1cbd7991.gif9z − 9

0

2) Проверим равенства а), б), в):

а) hello_html_34d73040.gif1 + (hello_html_m184d9491.gif) + (hello_html_2ba7b91b.gif) = 1 + hello_html_m184d9491.gif + hello_html_2ba7b91b.gif = 1,4;

hello_html_127f2c65.gif1·(hello_html_m184d9491.gif) + 1 · (hello_html_2ba7b91b.gif) + (hello_html_m184d9491.gif)·(hello_html_2ba7b91b.gif) = hello_html_m184d9491.gif + hello_html_2ba7b91b.gif + hello_html_8ac28bc.gif =

=hello_html_5b01e65b.gifhello_html_mc7b55d8.gif = hello_html_e33aff9.gif = hello_html_20d272c8.gif = 4,2;

hello_html_5b723478.gif1·(hello_html_m184d9491.gif)·(hello_html_2ba7b91b.gif) = hello_html_446243ef.gifhello_html_7702e36d.gif.

г) По формуле Муавра найдём (z2z3)23 = (hello_html_m184d9491.gif – (hello_html_2ba7b91b.gif))23 = (hello_html_m58c29dd9.gif)23 =

= (hello_html_m504474b8.gif)23(cos hello_html_72ab6de4.gif+ i sinhello_html_72ab6de4.gif).



Тренировочные упражнения

2.1.На комплексной плоскости постройте точки:

а) hello_html_595c1595.gifб) hello_html_63d57027.gif

в) hello_html_m53bb8336.gif г) hello_html_3ffb0192.gif

д) hello_html_bb9c828.gif е) hello_html_m42fc63a9.gif

22. Найдите комплексно-сопряженные числа для следующих чисел и
постройте их на комплексной плоскости:

а) hello_html_m71271796.gif б) hello_html_1d03051c.gif

в) hello_html_m6ae65b3.gif г) hello_html_m53bb8336.gif

д) hello_html_m1fb09380.gif

2.3. Решите квадратные уравнения:

а) hello_html_m560d5ad4.gif б) hello_html_m59f25584.gif

в) hello_html_767c6028.gif г)hello_html_m682a58b8.gif

2.4. Даны числаhello_html_4eeda2d5.gifhello_html_1d1c1b82.gif. Найдите числа:

a) z1 + z2; б) z1 - z2;

в) z1*z2; г) hello_html_m5bd2bb9c.gif.

    1. Докажите, что еслиhello_html_799dc197.gif то hello_html_3222f82e.gif

    2. Дано: hello_html_340ace8a.gif. Найдите hello_html_m6e9885af.gif, если п = 2,3, 4.

    3. Найдите х и у из уравненияhello_html_m1a5b3cda.gifx, yhello_html_m289d78ff.gifR.

    4. Вычислите:

a) hello_html_m7d56fd66.gif; б) hello_html_1815156e.gif

2.9. Найдите комплексные числа, сопряженные своему квадрату.

2.10. Проверьте тождество

hello_html_63ee9f65.gif.

2.11. Постройте точки, изображающие комплексные числа 1; – 1; hello_html_1caef8ee.gif;

i; i; hello_html_367a29f3.gif; 1 + i; 2 + 3i.

2.12. Представьте в тригонометрической форме следующие комплекс­ные числа: 1; —1;hello_html_m2f8f8576.gifhello_html_m1e510bcb.gifhello_html_m59009774.gifhello_html_m577de691.gifhello_html_23f72a99.gifhello_html_m3323f34c.gifhello_html_m6e19283b.gif

2.13. Даноhello_html_m29aa7b8d.gifВычислите, чему равны
модули и аргументы чисел: а) hello_html_m726f62cf.gif б) hello_html_m1854cbf8.gif

в) hello_html_m1156dfc0.gif г) hello_html_m424038f.gif

д) hello_html_534e0bb6.gif е) hello_html_m5d2b1bf7.gif

2.14. Даны числаhello_html_7277badf.gifиhello_html_3700013f.gif

Составьте сумму z1 + z2 и разность z1 z2. Найдите их модули и ар­гументы.

2.15. Найдите множество точек, изображающих комплексные числа:

а) модуль которых равен 1;

б) аргумент которых равен hello_html_m2c853637.gif

2.16. Найдите множества точек плоскости, изображающих комплекс­ные числа z, удовлетворяющие неравенствам:

а) hello_html_5392251a.gif б) hello_html_m58ca8492.gif

в) hello_html_m1727283.gif г) hello_html_m191e5bdc.gif

2.17. Дано hello_html_m41cd7c.gif hello_html_m2d4892c2.gif

Найдите: a) z1z2; б) hello_html_7883947c.gif; в) hello_html_m4e46eb9d.gif; г) hello_html_391be0a1.gif; д) hello_html_m16863c2.gifе) hello_html_m62fb483a.gif.

2.18. Докажите, что hello_html_58c8b5c7.gif

    1. Упростите hello_html_7c243302.gif

    2. Вычислите: hello_html_64b38a07.gif.


    1. Извлеките корни: а)hello_html_5322e21e.gif; б) hello_html_m3bd21f57.gifв) hello_html_72c01045.gif г) hello_html_m5b152993.gif

    2. Выразить через cos х и sin х: a) cos; б) sin 6x; в) tg Зх.

2.23. Представьте в экспоненциальной форме комплексные числа:

а)hello_html_354ad7e1.gifб) hello_html_6f4b5fa1.gif

в) hello_html_3815584a.gif

2.24. Представьте в алгебраической форме комплексные числа:

а)hello_html_3249bec9.gifб)hello_html_m3a80fba9.gif

в)hello_html_m3e8651b9.gif

2.25. Дано hello_html_60adcc8c.gifhello_html_61f058d5.gif Найдите

а) hello_html_m4e3bffcd.gif; б) hello_html_6779b5ff.gifв) hello_html_m1582e64.gif

г) hello_html_m72cb02a9.gifд) hello_html_43aa8ba1.gifе) hello_html_m1600b27c.gif

2.26. Выполните действия над комплексными числами:

а) hello_html_248e9e79.gifб) hello_html_71c4bc8a.gif

в) hello_html_m1a99ac7d.gifг) hello_html_m3c14dbe0.gif

2.27. Найдите действительные числа а и b, такие, чтобы выполнялись
равенства:

а) hello_html_56ae4576.gifб) hello_html_5a0b7524.gif

в) hello_html_6904984d.gif

2.28. Вычислите:

а) hello_html_m3a50d968.gif б) hello_html_22032f53.gif

в) hello_html_m31a77004.gif г) hello_html_ma43e3d1.gif

д) hello_html_25fc47ba.gif е) hello_html_m51f3dfe0.gif

ж) hello_html_m7280095e.gif

2.29. Найдите действительные числа х и у, такие, что

hello_html_386f3d19.gif

2.30. Решите квадратные уравнения:

а) hello_html_m32406586.gif б) hello_html_m3065ac1d.gif

в) hello_html_m2187ec32.gif г) hello_html_594c0fd1.gif

2.31. Вычислите:

а) hello_html_mb3b9bf.gif б) hello_html_10af3417.gif

в) hello_html_36a57867.gif г) hello_html_m16bb12c6.gif

д) hello_html_m6c67202a.gif е) hello_html_mb3dc016.gif

ж) hello_html_m111e4585.gif

2.32. При каких действительных значениях х и у комплексные числа

hello_html_6ae3f480.gifи hello_html_4d4713ad.gifбудут комплексно-сопряженными?

2.33. Разложите на множители выражения:

а) hello_html_387d93bc.gif б) hello_html_m2621e3bd.gif

в) hello_html_m297f77c.gif г) hello_html_m7a562494.gif

2.34. Представьте в тригонометрической формекомплексные числа:

а) hello_html_206064ce.gif б) hello_html_m647f419c.gif

в) hello_html_da4a1a8.gif г) hello_html_m37db9adf.gif

2.35. Представьте в алгебраической форме комплексные числа:

а) hello_html_m33bd3ad0.gifб) hello_html_m6aa40373.gif


Выбранный для просмотра документ Самостоятельная работа.doc

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Самостоятельная работа № 1

1. 1. Составить квадратное уравнение по его корням х1 = 5 − 3i и x2 = 5 + 3i.

2. Выполнить действия: а) (2 + i ) + (−3 – i) − (4 − 3i); б) hello_html_m61f09d1a.gif

3. Дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел z1 =− 2 + i; z2 = 2 −3i и их суммы.

4. Выполнить действия: a) (cos 12° + i sin 12°)45; б) hello_html_50b93e56.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме: z = hello_html_3d204887.gif

Самостоятельная работа № 1

2. 1. Решить квадратное уравнение х2 − 6х + 34 = 0.

2.Выполнить действия: (3 + 5i)(3 − 5i)(−2 + i).


3.Построить комплексные числа z1 = 2 − 3i и z2 = 1 + 2i в комплексной плоскости, а также им сопряженные и противоположные.

4.Выполнить действия: а) hello_html_601039bc.gif ; б) hello_html_95be490.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а) hello_html_4236ccab.gif; б) hello_html_m1935192a.gif .


Самостоятельная работа № 1

3. 1. Построить комплексные числа z1= −1 + 2i и z2 = 4i , в комплексной плоскости, а также им сопряженные и противоположные.

2. Решить квадратное уравнение 2х2 + 2х + 5 = 0.

3. Перевести в показательную форму:

а) hello_html_m6689e520.gif ; б) 3hello_html_5530fd9e.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_m265cebf2.gifб) hello_html_m3d49d449.gif .

5. Записать комплексное число hello_html_706615ab.gif в тригонометрической форме.


Самостоятельная работа № 1

hello_html_dd83d54.gifhello_html_4fd2d6e3.gif4. 1. Найти действительные числа х и у из уравнения х – 8i +(y3)i = 1.

2. Построить слагаемые z1= −2 − 4i и z2 = 3 и их сумму.

3. Перевести в алгебраическую форму: а) 2hello_html_m2dba2923.gif; б) 4hello_html_m45c2c19e.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_656dabfa.gifб) z = (3 - hello_html_f3fa433.gif)6 hello_html_6ec25397.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме: hello_html_32d94f51.gif


Самостоятельная работа № 1

5. 1. Построить комплексные числа z1= −6 и z2 = 4 − 3i, а также им сопряженные и

противоположные.

  1. Перевести в тригонометрическую форму: а) z1 = hello_html_m7c121b5d.gif; б) z2 = 3hello_html_m2166cb2.gif

3. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

3hello_html_m26c3853e.gif

4. Выполнить действия: а) z = hello_html_m4f629c6d.gif; б) z = (−2 – 2i)4 hello_html_bd25429.gif.

5. Доказать тождество hello_html_604b1df5.gif.


Самостоятельная работа № 1

6. 1. Построить комплексные числа z1= −2 − 3i и z2 = -4 , а также им сопряженные и

противоположные.

2. Перевести в показательную форму: а) hello_html_m5283ccb3.gif ; б) 3hello_html_m1b1d2593.gif-

3. Найти действительные числа х и у из уравнения (3 + i) х – 2(1+4i) у = – 3− 4i .

4. Выполнить действия: а) hello_html_m1bb38874.gif; б) hello_html_m40f3dfae.gif.

5. Решить квадратное уравнение х2 + 2х + 5 = 0.


Самостоятельная работа № 1

7. 1. Дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел z1 = −3 − i, z2 = 1− 4i

и их суммы.

2. Перевести в алгебраическую форму: a) 2hello_html_m61327a0.gif; б) 4hello_html_79fb0237.gif.
3. Решить уравнение х2 − 6х + 18 = 0.

4. Выполнить действия: a) (hello_html_706615ab.gif)3hello_html_m7b99f10.gif ; б) hello_html_69c850d9.gif.

5. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел

x(2 + i) – y(1 – i) = 1 + 3i


Самостоятельная работа № 1

8. 1. Построить слагаемые z1 = 2i; z2 = 3 + 4i и их сумму.

2. Найти действительные числа х и у из уравнения (2х + у) + (х + 3у)i = 3− i .

3. Решить уравнение х2 − 10х + 41 = 0.

4. Перевести в алгебраическую форму: a) 4hello_html_7a6bbf06.gif; б) 2hello_html_m61327a0.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а) hello_html_4236ccab.gif; б) hello_html_m1935192a.gif .

Самостоятельная работа № 1

9. 1. Построить комплексные числа z1 = −2 + 4i; z2 = 3, а также им сопряженные и

противоположные.

2. Комплексные числа z1 = 1i; z2 = hello_html_m6e5376f5.gif + i представить в показательной форме.

3. Выполнить действия: a) (hello_html_706615ab.gif)3hello_html_m7b99f10.gif ; б) hello_html_45bee68f.gif

4. Решить уравнение х2 − 4х + 5 = 0.

  1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме: hello_html_m23804114.gif


Самостоятельная работа № 1

10. 1. Составить квадратное уравнение по его корням х1 = hello_html_2e2a5f70.gif и x2 = hello_html_7ad57776.gif.

2. Выполнить действия: а) (3 – i)(3 + 4i); б) hello_html_m229d7d5e.gif.

3. Дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел z1 =− 2 + 5i; z2 = −5 −3i и их суммы.

4. Выполнить действия: a) 5(cos 10° + i sin 10°)∙2(cos 80° + i sin 80°); б) hello_html_6d54378a.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме: z = hello_html_3d204887.gif


Самостоятельная работа № 1

11. 1. Решить квадратное уравнение х2 − 7х + 15 = 0.

2.Выполнить действия: hello_html_m386879b6.gif.

3.Построить комплексные числа z1 = 2 + 3i и z2 = −1 + 7i в комплексной плоскости, а также им сопряженные и противоположные.

4.Выполнить действия: а) hello_html_601039bc.gif;б) hello_html_95be490.gif.

5.Найти действительные числа х и у из уравнения (x − 5y) + (x – 2y)i = −17 – 8i.


Самостоятельная работа № 1

12. 1. Построить комплексные числа z1= −4 + 2i и z2 = 2i , в комплексной плоскости, а также им сопряженные и противоположные.

2. Решить квадратное уравнение 2х2 + 10х + 17 = 0.

3. Перевести в показательную форму:

а) hello_html_m6689e520.gif ; б) 3hello_html_5530fd9e.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_m265cebf2.gifб) hello_html_m3d49d449.gif .

5. Вычислить hello_html_m5c3d19a7.gif.



Самостоятельная работа № 1

hello_html_4fd2d6e3.gif13. 1. Найти действительные числа х и у из уравнения 2х – 5уi −х + 3уi = 1 − 2i.

2. Построить слагаемые z1= −2 и z2 = 3 − 4i и их сумму.

3. Перевести в алгебраическую форму: а) 2hello_html_m255f5b47.gif; б) 4hello_html_m45c2c19e.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_656dabfa.gifб) z = (−2 – 2i)4 hello_html_bd25429.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме: hello_html_32d94f51.gif

Самостоятельная работа № 1

14. 1. Построить комплексные числа z1= −6i и z2 = −4 − 3i, а также им сопряженные и

противоположные.

  1. Перевести в тригонометрическую форму: а) z1 = −hello_html_m7c121b5d.gif; б) z2 = 3hello_html_m5419b161.gif

3. Выполнить действия и записать результат в показательной форме: 3hello_html_m26c3853e.gif.

4. Выполнить действия: а) z = hello_html_m50aaa71a.gif; б) z = (3 −hello_html_f3fa433.gif)6 hello_html_6ec25397.gif.

5. Вычислить hello_html_53eabf67.gif.


Самостоятельная работа № 1

15. 1. Построить комплексные числа z1= −2 − 3i и z2 = 4 i , а также им сопряженные и

противоположные.

2. Перевести в показательную форму: а) hello_html_70a94b3b.gif ; б) 3hello_html_m2b98f509.gif-

3. Найти действительные числа х и у из уравнения (1 + 2i) х – (5 − 3i) у = hello_html_m13e9e5f0.gif .

4. Выполнить действия: а) hello_html_m1bb38874.gif; б) hello_html_m3deb2358.gif.

5. Решить квадратное уравнение х2 − 2х + 5 = 0.


Самостоятельная работа № 1

16. 1. Дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел z1 = −3 − i, z2 = 1− 4i

и их суммы.

2. Перевести в алгебраическую форму: a) hello_html_m62632d12.gifhello_html_m32abddd9.gif; б) 4hello_html_7a6bbf06.gif.
3. Решить уравнение 13х2 − 2х + 2 = 0.

4. Выполнить действия: a) (hello_html_706615ab.gif)3hello_html_m7b99f10.gif ; б) hello_html_73140f48.gif.

5. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел

x(2 + i) – y(1 – i) = 1 + 3i


Самостоятельная работа № 1


17. 1. Построить слагаемые z1 = 2i; z2 = 3 + 4i и их сумму.

2. Найти действительные числа х и у из уравнения (2х + у) + (х + 3у)i = 3− i .

3. Решить уравнение х2 − 6х + 25 = 0.

4. Перевести в алгебраическую форму: a) hello_html_4142a081.gif; б) 2hello_html_7ef9dc96.gif.

5. Извлечь корень из комплексного числа hello_html_m434161ce.gif .



Самостоятельная работа № 1

18. 1. Построить вычитаемое z1 = −3 − 2i; уменьшаемое z2 = 2 − 6i и их разность.
2. Перевести в алгебраическую форму: a) 4hello_html_7a6bbf06.gif; б) 2hello_html_36c0db64.gif.

3. Выполнить действия: a) (hello_html_706615ab.gif)3hello_html_m46568ee1.gif ; б) hello_html_6aa468df.gif

4. Решить уравнение х2 − 14х + 45 = 0.

5. Составить квадратное уравнение по его корням х1 = 3 − i и x2 = 3 + i.



Самостоятельная работа № 1

19. 1. Построить уменьшаемое z1 = 4 − i , вычитаемое z2 = −2 −2i
и их разность

2. Решить квадратное уравнение 2х2 + 2х + 13 = 0.

3. Перевести в показательную форму:

а) hello_html_m6689e520.gif ; б) 3hello_html_58faa38e.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_m4f6349e.gifб) (−2 – 2i)4 hello_html_bd25429.gif. .

5. Вычислить hello_html_m5ee42593.gif.


Самостоятельная работа № 1

hello_html_4fd2d6e3.gif20. 1. Найти действительные числа х и у из уравнения 2х – 5уi −х + 3уi = 1 − 2i.

2. Построить слагаемые z1= −2 и z2 = 3 − 4i и их сумму.

3. Перевести в алгебраическую форму: а) 3hello_html_46a65d94.gif; б) 2hello_html_m61327a0.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_55d692f8.gifб) hello_html_127fcd32.gif.

5. Составить квадратное уравнение по его корням: х1 = hello_html_m2a391f2b.gif; х2 = hello_html_m3744ad89.gif;



Самостоятельная работа № 1

21. 1. Составить квадратное уравнение по его корням х1 = 3 − 5i и x2 = 3 + 5i.

2. Выполнить действия: а) (2 + i ) ∙ (−3 – i) − (4 − 3i); б) hello_html_3f98dcb1.gif

3. Дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел z1 = − 5 + i; z2 = 2 +5i и их суммы.

4. Выполнить действия: a) (cos 12° + i sin 12°)45; б) hello_html_m322a7dad.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме: z = hello_html_3d204887.gif

Самостоятельная работа № 1

22. 1. Решить квадратное уравнение х2 − 6х + 34 = 0.

2.Выполнить действия: (3 + 5i)(3 − 5i)(−2 + i).

3.Построить комплексные числа z1 = 2 − 3i и z2 = 1 + 2i в комплексной плоскости, а также им сопряженные и противоположные.

4.Выполнить действия: а) hello_html_601039bc.gif ; б) hello_html_95be490.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а) hello_html_4236ccab.gif; б) hello_html_m2020d134.gif .


Самостоятельная работа № 1

23. 1. Построить комплексные числа z1= −1 + 2i и z2 = 4i , в комплексной плоскости, а также им сопряженные и противоположные.

2. Решить квадратное уравнение 2х2 + 2х + 5 = 0.

3. Перевести в показательную форму:

а) hello_html_m6689e520.gif ; б) 3hello_html_5530fd9e.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_m265cebf2.gifб) hello_html_m3d49d449.gif .

5. Записать комплексное число hello_html_706615ab.gif в тригонометрической форме.


Самостоятельная работа № 1

hello_html_dd83d54.gifhello_html_4fd2d6e3.gif24. 1. Найти действительные числа х и у из уравнения х – 8i +(y3)i = 1.

2. Построить слагаемые z1= 3− 4i и z2 = 4 и их сумму.

3. Перевести в алгебраическую форму: а) 2hello_html_m2dba2923.gif; б) 4hello_html_m45c2c19e.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_m38671b54.gifб) z = (3 - hello_html_f3fa433.gif)6 hello_html_6ec25397.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме: hello_html_32d94f51.gif


Самостоятельная работа № 1

25. 1. Построить комплексные числа z1= −7 + i и z2 = - 5 − 3i, а также им сопряженные и

противоположные.

  1. Перевести в тригонометрическую форму: а) z1 = hello_html_m7c121b5d.gif; б) z2 = 3hello_html_m2166cb2.gif

3. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

3hello_html_m26c3853e.gif

4. Выполнить действия: а) z = hello_html_6557c75.gif; б) z = (2 – 2i)6 hello_html_bd25429.gif.

5. Доказать тождество hello_html_604b1df5.gif.


Самостоятельная работа № 1

26. 1. Построить комплексные числа z1= −2 − 3i и z2 = -4 , а также им сопряженные и

противоположные.

2. Перевести в показательную форму: а) hello_html_m30aa87a5.gif ; б) 3hello_html_m1b1d2593.gif-

3. Найти действительные числа х и у из уравнения (3 + i) х – 2(1+4i) у = – 3− 4i .

4. Выполнить действия: а) hello_html_m1bb38874.gif; б) hello_html_2f9f3b3e.gif.

5. Решить квадратное уравнение х2 + 2х + 5 = 0.


Самостоятельная работа № 1

27. 1. Дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел z1 = −3 − i, z2 = 1− 4i

и их суммы.

2. Перевести в алгебраическую форму: a) 2hello_html_m61327a0.gif; б) 4hello_html_7a6bbf06.gif.
3. Решить уравнение х2 − 6х + 18 = 0.

4. Выполнить действия: a) (hello_html_m70f9c93c.gif)3hello_html_m7b99f10.gif ; б) hello_html_73140f48.gif.

5. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел

x(2 + i) – y(1 – i) = 1 + 3i


Самостоятельная работа № 1

28. 1. Построить слагаемые z1 = 2i; z2 = 3 + 4i и их сумму.

2. Найти действительные числа х и у из уравнения (2х + у) + (х + 3у)i = 3− i .

3. Решить уравнение х2 − 10х + 41 = 0.

4. Перевести в алгебраическую форму: a) 4hello_html_7a6bbf06.gif; б) 2hello_html_m61327a0.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а) hello_html_4236ccab.gif; б) hello_html_m1935192a.gif .

Самостоятельная работа № 1

29. 1. Построить комплексные числа z1 = −2 + 4i; z2 = 3, а также им сопряженные и

противоположные.

2. Комплексные числа z1 = 3i; z2 = hello_html_70c1550e.gif + i представить в показательной форме.

3. Выполнить действия: a) (hello_html_146d570a.gif)3hello_html_m7b99f10.gif ; б) hello_html_2065ed81.gif

4. Решить уравнение х2 7х + 15 = 0.

  1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме: hello_html_m23804114.gif


Самостоятельная работа № 1

30. 1. Составить квадратное уравнение по его корням х1 = hello_html_703067b9.gif и x2 = hello_html_m3baf500c.gif.

2. Выполнить действия: а) (3 – i)(3 + 4i); б) hello_html_m229d7d5e.gif.

3. Дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел z1 =− 2 + 5i; z2 = −5 −3i и их суммы.

4. Выполнить действия: a) 3(cos 20° + i sin 20°)∙4(cos 70° + i sin 70°); б) hello_html_21edb2da.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме: z = hello_html_490ea452.gif


Самостоятельная работа № 1

31. 1. Решить квадратное уравнение х2 − 7х + 13 = 0.

2.Выполнить действия: hello_html_m5b7f4bd7.gif.

3.Построить комплексные числа z1 = 2 + 3i и z2 = −1 + 7i в комплексной плоскости, а также им сопряженные и противоположные.

4.Выполнить действия: а) hello_html_601039bc.gif;б) hello_html_10907faf.gif.

5.Найти действительные числа х и у из уравнения (x − 5y)i + (x – 2y) = −17 – 8i.


Самостоятельная работа № 1

32. 1. Построить комплексные числа z1= −5 + 2i и z2 = 4i , в комплексной плоскости, а также им сопряженные и противоположные.

2. Решить квадратное уравнение 2х2 + 10х + 17 = 0.

3. Перевести в показательную форму:

а) hello_html_m61b2a204.gif ; б) 3hello_html_5530fd9e.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_4ff0aba5.gifб) hello_html_6a3fc30f.gif .

5. Вычислить hello_html_m2787dfba.gif.



Общая информация

Номер материала: ДВ-390376

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.