Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка "Теория и практика" по теме "Комплексные числа"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка "Теория и практика" по теме "Комплексные числа"

Выбранный для просмотра документ Глава 8 Комплексные числа ОСНОВНОЙ ТЕКСТ.doc

библиотека
материалов

16



Раздел III

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Глава 8. Комплексные числа

Тема 8.1. Комплексные числа

1. Определение комплексных чисел в алгебраической форме

Одним из основных понятий математики является по­нятие числа. Это понятие прошло длительный путь раз­вития, обогащаясь новым содержанием. Исторически первыми возникли в практике и были вве­дены в науку натуральные числа, которые являются инст­рументом для счета количества отдельных предметов, на­пример количества пальцев на руке. Они образуют беско­нечное множество, которое принято обозначать буквой N.

Затем возникла необходимость во введении долей единицы и количества этих долей (например, для измерения длин от­резков), т. е. было введено так называемое дробное число.

Далее те же потребности измерения привели к необ­ходимости введения отрицательных чисел (например, если за начало отсчета берется уровень моря, то для отметки положения горы берется положительное число — высота горы, а для отметки положения глубины моря — отрица­тельное число). Целые отрицательные числа вместе с на­туральными числами и числом 0 образуют множество це­лых чисел, обозначаемое буквой Z

Множество, состоящее из всевозможных положитель­ных и отрицательных целых и дробных чисел и числа Q, называется множеством рациональных чисел и обозначает­ся буквой Q.

Очевидно, что N hello_html_246867f4.gifZhello_html_246867f4.gifQ.

Потребности практики, а также внутренние требования самой математики, ее логического развития, показали не­достаточность множества рациональных чисел для реше­ния различных задач. Например, дано уравнение х2 = 2,

или х = hello_html_m62632d12.gif. Но не существует такого рационального чис­ла, квадрат которого равен 2. Такие числа получили не­знание иррациональных чисел.

Поэтому появилась необходимость создать новое рас­ширенное множество чисел, в котором для каждой точки числовой оси находилось бы числовое значение и в кото­ром решалось бы любое уравнение вида хп = а.

Такое множество получило название вещественных(действительных ) чи­сел и обозначается буквой R, причем Qhello_html_246867f4.gifR.

Развитие науки и практики показало недостаточность введенного множества вещественных чисел.

Например, даже такое простейшее квадратное урав­нение, как х2 + 1 = 0, не имеет решения в множестве действительных чисел, так как не существует такого действительного числа а, что а2 + 1 = 0. Это показывает необходимость дальнейшего расширения понятия числа. Кроме того, такие науки, как электротех­ника и различные разделы физики, рассматривают вели­чины сложной природы, которые не могут быть охваче­ны понятием вещественных чисел.

В связи с этим возникла потребность нового расшире­ния понятия числа.

Итальянские математики XVI в. Дж. Кардано и Р. Бомбелли, решая квадратные уравнения вида х2 + а2 = 0, ввели в рассмотрение символ hello_html_m2ac71e86.gif, который в XVIII в. петербургский математик Л. Эйлер(1708-1783) обозначил через i. Формальное решение уравнения х2 + а2 = 0 при использовании этого символа сводится к тому, что hello_html_11c92b87.gifили, используя обозначение Эйлера, hello_html_m6b94924f.gifai.

Таким образом, возникает необходимость в расширении множества действительных чисел до нового множества, такого, чтобы в этом мно­жестве уравнения вида х2 + а2 = 0имели решения.

Ниже мы изложим краткую теорию такого расширения.

Определение 1. Комплексным числом z называется выражение ви­да а+bi, a и b—действительные числа, а символ i удовлетворяет условию i = - 1

Число а называется действительной частью комплексного числа, bi мнимой частью, iмнимой единицей.

Множество комплексных чисел обозначается буквой С.

Заметим, что множество R действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел С: R hello_html_246867f4.gifC . В самом деле, всякое действительное число а можно рассматривать как комплексное число вида а+0i.

Комплексные числа вида biназываются чисто мнимыми. Они по­лучаются из комплексных чисел z1 = а + biпри а = 0.

Определение 2. Два комплексных числа z1 = а + bi и z2 = с + di на­зываются равными, если, соответственно, равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. если а = с, b= d.

Комплексное число z = 0 + 0i называется нулем и обозначается че­рез 0. Оно совпадает с числом нуль множества действительных чисел. Таким образом, z = а + bi = 0 тогда и только тогда, когда а = 0 и b= 0, или, что то же самое, когда а2+ b2= 0.

Определение 3. Комплексные числа а + bi и а — bi называются ком­плексно-сопряженными.

Число, комплексно-сопряженное числу z, обозначается через hello_html_m29e741f0.gif. Так, если z = а + bi, то hello_html_m29e741f0.gif = а — bi, если же z = а − bi, то hello_html_m29e741f0.gif = а + bi. По­нятие сопряженности взаимное. Например, для комплексного числа z = = -2 + 4i комплексно-сопряженным является комплексное число hello_html_m29e741f0.gif = - 2 - 4i; точно также для комплексного числа -2 - 4i комплексно-со­пряженным является число -2 + 4i .

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел


Комплексное число z = а + bi геометрически можно представить точкой координатной плоскости Оху с координатами а, b (рис. 1).

Определение 4. Плоскость, служащая для изображения множества комплексных чисел, называется комплексной плоскостью. Так как любое комплексное число единственным образом определяется его действительной и мни­мой частями, то каждому комплексному числу в комплексной плоскости соответствует единственная точка на плоскости. Очевидно, что справедливо и обратное утверждение: каждой точке (х; у) плоскости Оху соответствует единственное комплексное число z = х + yi.

hello_html_m10a2d301.gifhello_html_m77f90472.gif hello_html_6cd36940.gif

Таким образом, между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости существует взаимно-однозначное соответствие. При этом соответствии всякому действительному числу z = а + 0i соответствует точка А(а; 0) оси абсцисс, а всякому чисто мнимому числу z = 0 + bi — точка В(0; b) оси ординат. Числу z = i соответствует точка С(0; 1) (рис. 2). Если каждой точке М комплексной плоскости поставить в соответствие радиус-вектор ОМ этой точки, между множеством комплексных чисел множеством радиус-векторов можно также установить взаимно-однозначное соответствие. Ось Ох будем называть действительной осью, а ось Оумнимой.






Из определения комплексно-сопряженных чисел следует, что числа z и hello_html_m29e741f0.gif на комплекс­ной плоскости расположены симметрично от­носительно действительной оси (рис. 3).

Ранее мы отметили, что квадратное уравнение ax2+ bx + c = 0, для которого дискриминант D = b2 – 4ас < 0, в множестве R (действительных чисел) не имеет решения, так как корень из отрицательного числа в этом множе­стве не имеет действительного значения. Однако в множестве С (ком­плексных чисел) такое уравнение имеет два комплексно-сопряженных решения. В самом деле, пусть дано квадратное уравнение

ах2 + bx + c = 0.

причем D < 0.

Решения этого уравнения

hello_html_91eddaf.gif,

представим в виде

hello_html_57824b29.gif,

где ужеhello_html_445cf1fc.gif, а потому hello_html_119104dd.gifесть некоторое действительное число.

Следовательно, решениями квадратного уравнения будут два комплекс­но-сопряженных числа

hello_html_m293e2ee5.gif, hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_4c76d5f.gif.

Пример 1. Решить квадратное уравнение hello_html_54eed6e0.gif.

Решение. Находим:

hello_html_maf4ab69.gif.

Таким образом, решениями данного квадратного уравнения будут два комплексно-сопряженных числа

hello_html_m966ddf6.gifи hello_html_m50758669.gif.

Итак, в множестве комплексных чисел любое квадратное уравнение имеет решение.

3. Действия над комплексными числами

Действия над комплексными числами определяются таким обра­зом, чтобы для частного случая действительных чисел эти операции совпадали с известными операциями над ними.

Сумма z комплексных чисел hello_html_6f7fc747.gifи hello_html_5352f1a2.gif определяется как комплексное число hello_html_7422c7bc.gif. Его обозначают hello_html_m7585270e.gif.

Таким образом,

hello_html_333b9517.gif (1)

В частности, если hello_html_m4ac4ec9c.gif, то , hello_html_m1d70d123.gif поэтому hello_html_2eb895de.gif, следовательно, сумма комплексно-сопряженных чисел есть число дейст­вительное. Операцию сложения легко распространить и на сумму любо­го конечного числа комплексных чисел. Так, если

hello_html_6f7fc747.gif, hello_html_5352f1a2.gif, …, hello_html_me46f996.gif

то

hello_html_21a74a75.gif. (2)

Пример 2. Найти комплексное число z из равенства hello_html_e9999b8.gif.

Решение. Пусть hello_html_14506743.gif. Тогда hello_html_m601aae22.gif

или

hello_html_m1949147d.gif.

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их действительные и мнимые части. Следо­вательно,

хhello_html_7fb3c877.gif + 4 = 2;

у+ 1 =3.

Решив эту систему, находим х = - 2; у = 2. Таким образом, hello_html_m78c93e12.gif.

Вычитание двух комплексных чисел определяется как операция обратная сложению. Комплексное число hello_html_m4ac4ec9c.gifназывается разностью комплексных чисел hello_html_6f7fc747.gifи hello_html_5352f1a2.gif, если hello_html_73f2edf7.gif.

Разность комплексных чисел z1 и z2, обозначается z1- z2-

Из определения следует, что

hello_html_1d335af9.gif(3)

В частности,

hello_html_mb71c6dd.gif.

Умножение двух комплексных чисел hello_html_6f7fc747.gifи hello_html_5352f1a2.gifопределяется следующим образом:

hello_html_m45053dee.gif. (4)

Отсюда следует, что два комплексных числа z1 = а + b и z2 = с - di можно умножать по правилу умножения многочленов при условии, что i2 = −1.В самом деле,

hello_html_63a3a3bb.gif

(сравните результат с определением (1)). В частно­сти, если hello_html_m4ac4ec9c.gifто hello_html_m707be877.gif.

Пример 3. Найти произведение комплексных чисел hello_html_m55b80ba4.gifи hello_html_5ea4ca7d.gif

Решение. Очевидно, что hello_html_92701d1.gif


Деление вводится как действие, обратное умножению. Частным от деления комплексного числа hello_html_6f7fc747.gif на число hello_html_m8d783.gif называется комплексное число hello_html_38caab17.gif такое, что hello_html_mb6eade1.gif, т. е.

а1+ b1 i = (a3+ b3 i)∙(a2+b2 i).

Отсюда на основании равенства (4.4) получаем:

hello_html_m22ac9fed.gif; hello_html_7490544f.gif. (5)

Решая систему уравнений (5) относительно а3 и b3 находим:

hello_html_71b44389.gif, hello_html_m58dff238.gif,

причем,hello_html_m3e16824d.gif, так как по условию hello_html_m1b195332.gif. Таким образом

hello_html_5657dbdd.gif. (6)

Равенство (6) можно получить путем умножения числителя и знаменателя дроби hello_html_m436374d9.gifна число, комплексно-сопряженное знаменателю.


Пример 3. Найти частное от деления комплексного числа hello_html_368e5fb6.gifна число hello_html_5032dd59.gif.

Решение. Очевидно, что

hello_html_f16b844.gif.


Возведение комплексного числа hello_html_m4ac4ec9c.gif в степень п (пhello_html_m289d78ff.gifN) рассматривается как частный случай умножения комплексных чисел:

hello_html_58d894d9.gif(п раз) (7)

Найдем натуральные степени мнимой единицы i. На основании ра­венства (4) получаем:

hello_html_759f79cc.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_791a4baf.gifhello_html_m7c2b968b.gifhello_html_4b33210c.gifhello_html_5bb4b1ae.gifhello_html_12b2a990.gifhello_html_m36134403.gif,

и вообще

hello_html_125b02ed.gifhello_html_m3042c272.gifhello_html_m161ea726.gifhello_html_18517d45.gif

где п — любое натуральное число.

Пример 4. Найти hello_html_m72be4441.gif.

Решение. При делении числа 59 на 4 имеем: 59 = 14 • 4 + 3, поэтому

hello_html_m7b75f694.gif.

Предоставляем проверить самостоятельно, что для комплексно-сопряженных чисел выполняются следующие равенства:

hello_html_1ff15cf.gif; hello_html_m4c3e0aed.gif; hello_html_m43d54311.gif; hello_html_6b4ac355.gif. (8)


3.1. Решение алгебраических уравнений

Многочлены и алгебраические уравнения. Многочленом (поли­номом или целой рациональной функцией) п-й степени называется функция вида

pn (z) = аn zn + аn-1zп-1 +…+a1z+ao (9)

где zhello_html_m289d78ff.gifC, аo, а1, .. . ,аn— коэффициенты (вообще говоря, комплексные), причем ап0, nhello_html_m289d78ff.gifN- Уравнение

аn zn + аn-1zп-1 +…+a1z+ao = 0, аn ≠ 0, (10)

называется алгебраическим уравнением п-й степени. Число zo для которого рn(zо)=0, называется корнем многочлена (9) или уравнения (10).

Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий много­член ненулевой степени имеет по крайней мере один корень (вообще говоря, комплексный).

Число zo является корнем многочлена рп (z) в том и только в том случае, когда рп (z) делится без остатка на бином zzo, т. е.

pп(z) = (zzоqn-1(z),

где qn-1(z) — многочлен (n −1)-й степени. Если pn(z) делится без остатка на (zzo)k, k1, но не делится на (zzo)k +1, то zo назы­вается корнем кратности k многочлена рn(z); при этом

pп(z) = (zzo)k qn-k (z),

где qn-k (z) ≠ 0.

Теорема Гаусса может быть уточнена следующим образом: много­член п-й степени имеет ровно п корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Если коэффициенты многочлена (9)—действительные числа и zo= xo + iyo — его комплексный корень, то сопряженное число hello_html_m7ec099b5.gif — также корень этого многочлена, причем корни z0 и hello_html_m444991df.gif имеют одинаковую кратность.

Пусть многочлен рn(z) имеет корни z1, z2, z3,..., zт (т п) кpатностей соответственно k1, k2, …km (k1+ k2+ …+km = п) Тогда

его можно разложить на линейные множители, т. е. справедливо тож­дество

pп(z) = an(zz1)k1(zz2)k2(zzm)km

Если при этом коэффициенты многочлена—действительные числа, то, объединяя скобки, соответствующие комплексно сопряжен­ным корням, можно разложить этот многочлен в произведение линейных и квадратичных множителей* с действительными коэффици­ентами.

Пример 5. Найти корни многочлена z6 + 2z3 + 1 и разложить его на множители.

Решение. Так как z6 + 2z3 + 1 = (z3 + 1)2, то корнями этого многочлена яв­ляются корни 3-й степени из −1:

z1 = -1;

hello_html_6c40307b.gif;

hello_html_567ba130.gif

При этом каждый корень имеет кратность k= 2. Разложение этого многочлена на линейные множители имеет вид

hello_html_m34866b48.gif

Объединяя последние две скобки в один сомножитель, получим раз­ложение на множители с действительными коэффициентами

z6 + 2z3 + 1 = (z +1)2(z2 z + 1)2.

Пример 5. Решить квадратные уравнения:

1) z2 + 2z + 5 = 0; 2) 4z2 —2z + 1= 0; 3) z2+ (5−2i) z + 5(1 − i) = 0; 4) (z + 1)4 +16 = 0;

5) z4+18z2 + 81=0.

Решение.

1) z2 + 2z + 5 = 0; D = 4 − 4∙ 5 = 4 – 20 = -16; hello_html_m368e1e37.gifz2 = −1 + 2i .

2) 4z2 − 2z + 1= 0; D = 4 − 4∙ 4∙ 1 = 4 – 16 = -12; hello_html_m707ee036.gif hello_html_68f4754f.gif

3) z2+ (5−2i) z + 5(1 − i) = 0; D = (5−2i)2 − 4∙5(1 − i) = 25 −20i +4i2 −20 +20i = 1;

hello_html_122af024.gifhello_html_7f550b2.gif.

4) (z + 1)4 +16 = 0; (z + 1)4 = −16; (z + 1)2 = ± 4i; z + 1 = ± 2hello_html_4475f5d0.gif = ± 2hello_html_3c068f6f.gif;

hello_html_m4eb82eee.gif; hello_html_m77929dc1.gif.

  1. z4+18z2 + 81=0;

Обозначим t = z2 , тогда имеем

t2 +18t + 81=0; D = 182 – 4 ∙1∙81 = 324-324 = 0; два одинаковых корня t1,2= -9

t = z2; z2 = -9; z1,2= z3,4= ± 3i.

Ответ. 1) −1 ± 2i; 2) hello_html_m1a6b77ea.gif 3) 3 ± i; 4) hello_html_m13e8f4bf.gif; hello_html_m77d600d4.gif; 5) ± 3i.


4. Полярные координаты точки на плоскости

Возьмем на плоскости произвольную точку О и некоторую ось Or проходящую через эту точку. Ось может быть задана, например, еди­ничным вектором ОЕ (рис. 4).

Произвольную точку М плоскости, не совпадающую с точкой С можно задать двумя числами: r — длиной отрезка ОМ и φ — углом, который образует отрезок ОМ с осью ОР в положительном направлении

Числа r и φ называются полярными координатами точки М. При этом r называется полярным радиусом точки М, а φ— ее полярным углом. Совокупность точки О и оси ОР образует систему координат на плоскости, которая называется полярной системой. Точка О называется полюсом, а ось ОРполярной осью.

Так же, как и для декартовых коор­динат точки, полярные координаты точки будем заключать в круглые скобки. Так, точка М, заданная на рис. 5, имеет полярные координаты hello_html_m755f4c1b.gif.

­

hello_html_213248b0.gifhello_html_63898eff.gifhello_html_m3fd5de0a.gif

Точка О характеризуется условием r = 0.Полярный угол φ для этой точки не определен.

Будем считать, что полярные координаты точек плоскости изменя­ются в следующих пределах:hello_html_4e7f461b.gif;hello_html_2260fd0.gif.

Для построения точки по полярным координатам необходимо по­строить луч с началом в точке О, на котором лежит искомая точка, и на этом луче от полюса отложить отрезок, длина которого равна полярно­му радиусу.

Пусть на плоскости выбраны одновременно полярные и прямоуголь­ные системы координат таким образом, что полюс совпадает с началом декартовых координат, а полярная ось — с положительным направлением оси абсцисс (рис. 6). Если произвольная точка М в полярной системе имеет координатами числа r и φ , а в прямоугольной х, у, то очевидно

hello_html_m68d2cc2c.gif; hello_html_m7424dda4.gif (11)

hello_html_m72bfbae1.gif; hello_html_6f564a79.gif, (12)

Таким образом, полярные и прямоугольные координаты одной и той же точки плоскости при указанном выборе систем координат связа­ны соотношениями (11) и (12). При этом из соотношения (11) по заданным полярным координатам r и φ определяются прямоугольные координаты, а из соотношений (12) по заданным прямоугольным ко­ординатам хи у определяются полярные координаты. Необходимо учесть, что из второй формулы (12) угол ср определяется не однознач­но. Поэтому, вместо этого соотношения лучше воспользоваться соот­ношениями hello_html_m38c21449.gif; hello_html_62184e68.gif.

Пример. Даны полярная и прямоугольная системы координат (рис. 7). Найти: а) полярные координаты точкиhello_html_22365432.gif; б) прямоугольные координаты точки hello_html_60847bd4.gif.

Решение, а) Пользуясь соотношениями (12), получим

hello_html_m1797b853.gif;

hello_html_m1e25dcc8.gif; hello_html_mb5d02ea.gif.


hello_html_m3d538871.gif



Из этих соотношений следует, что точ­ка расположена в четвертой четверти, поэтому hello_html_30825fd9.gif;

б) пользуясь соотношениями (11), получим hello_html_m4f038c78.gif; hello_html_m5b06d060.gif. Следовательно,hello_html_2a04e6be.gif.

5. Тригонометрическая форма комплексного числа

Выберем на комплексной плоскости вместе с прямоугольной и по­лярную систему координат таким образом, как это изображено на рис. 6 Так как произвольное комплексное числоhello_html_14506743.gifизображается точкой, то числа х и у являются ее прямоугольными координатами. Пусть hello_html_528a7ec6.gif иhello_html_6f95504e.gif— полярные координаты точки М(х;у). Полярный радиусhello_html_m72bfbae1.gifназывается модулем, или абсолютной величиной комплексного числа z и обозначается hello_html_3f51aee7.gif, а полярный угол ф называется аргумен­том комплексного числа и обозначается arghello_html_31a4f847.gif. Так как

hello_html_m33270d07.gifи hello_html_6aaa3633.gif, то hello_html_mbad851a.gif или

hello_html_7a3922a4.gif. (13)

Правая часть (13) называется тригонометрической формой ком­плексного числа.

Запись комплексного числа z в видеhello_html_m5b5507d0.gifназывается алгебраической формой комплексного числа. Переход от алгебраической формы записи к тригонометрической и обратно осуществляется по формулам

hello_html_m450ae07f.gif; hello_html_m679c68ad.gif;

hello_html_m33270d07.gif; hello_html_6aaa3633.gif.

Пример 1. Составить тригонометрическую форму записи ком­плексного числа hello_html_450069e7.gif

Решение. Имеем:hello_html_m2fae426d.gif hello_html_73c10fa9.gif, hello_html_m3321a3cc.gif.

По таблице тригонометрических функций или на калькуляторе на­ходимhello_html_640010ee.gif.

Следовательно,hello_html_m40569bf2.gif.

Пример 2. Доказать, чтоhello_html_2e6d50a0.gif.

Решение. На комплексной плоскости построим числа z1 и z2 (рис. 8). Неравенства, подлежащие доказательству, вытекают из известной теоремы геометрии о сторонах треугольника (разность двух сторон тре­угольника не больше третьей стороны, а сумма двух сторон не меньше третьей стороны).

Следует заметить, что для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» лишены смысла, так как эти числа, в отличие от дейст­вительных, располагаются на плоскости, точки которой нельзя линейно упорядочить, в то время как точки прямой могут быть линейно упорядочены.

hello_html_m5e0fe6f6.gif

5.1. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме:

hello_html_6a8c7c85.gifhello_html_8052c7e.gif (14)

Перемножая их, получим

hello_html_6c5c57ea.gif

т. е.

hello_html_4c5c3c41.gif (15)


Таким образом, при умножении ком­плексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы скла­дываются:

Пример 1. Дано hello_html_m34c38281.gif

hello_html_6f1a32a9.gif



hello_html_m3162c4f6.gif

ВЫЧИСЛИТЬ hello_html_m3a1f884f.gif hello_html_mde2e971.gif hello_html_5a935900.gif

Решение. Применяем формулу (15):

hello_html_m46399fba.gif

На комплексной плоскости числа z1 и z2 представим, соответствен­но, векторамиhello_html_meedaa41.gif и hello_html_m37cb8892.gif(рис. 9). Чтобы построить вектор hello_html_m4b9c875.gifизображающий комплексное число z = z1z2 надо (см. равенство (11)) векторhello_html_m4b9c875.gifповернуть на угол hello_html_4f2dc7e2.gif против часовой стрелки, затем умно­жить его длину на числоr. Это есть геометрическая интерпретация ум­ножения комплексных чисел.

В частности, так как hello_html_e7cf371.gif, то умножение любого комплексного числа z на число i с геометрической точки зрения можно рассматривать как операцию поворота вектора, изображающего число z, на угол hello_html_m84a9d39.gifв положительном направлении (против движения часовой стрелки).

Разделим теперь первое комплексное число (14) на вто­рое:

hello_html_1c7755ad.gif

hello_html_m442c4672.gif(имея i2= -1, получим:)

hello_html_46102783.gif

hello_html_m5c5f226a.gif, где hello_html_556c7563.gif

Итак, hello_html_604e1f11.gifhello_html_m2f9a3438.gif

Таким образом, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются:

hello_html_6d2b4494.gifhello_html_755f672.gif

Пример 2. Дано hello_html_m59c1046f.gif, hello_html_m1d5eb5.gif. Вычислитьhello_html_7883947c.gif.

Решение. Имеем:


hello_html_m784580fb.gif

hello_html_67c50a00.gif

Для построения вектора hello_html_m74a7f54f.gif изображающего комплексное число hello_html_4e1e480d.gif, нужно векторhello_html_m47812c4f.gif изображающий комплексное число z1, повернуть на угол hello_html_4f2dc7e2.gif по часовой стрелке и уменьшить его длину в r2 раз.

Деление комплексного числа z на i с геометрической точки зрения можно рассматривать как операцию поворота радиус-вектора точки z на угол hello_html_m60786140.gif по часовой стрелке.

Возведение комплексного числа hello_html_7a3922a4.gif в натуральную степень п рассматривается как и-кратное умножение z на самое себя:

hello_html_8b2f7f9.gif

т. е.

hello_html_m23cc93e2.gif(16)

Таким образом, при возведении комплексного числа в степень п мо­дуль этого числа возводится в степень п, а аргумент умножается на п:

hello_html_250d3988.gif; hello_html_m2e093629.gif

Формулу (16) можно записать в виде

hello_html_m4471f36c.gif(17)

В частности, при r = 1 из равенства (17) следует формула Муавра, имеющая широкое применение в математике:

hello_html_m101e2923.gif

Пример 3. Выразите sin 4φ и cos 4φ через sin φ и cos φ.

Решение. Применяя формулу Муавра при п = 4, получим:

hello_html_m46d9059b.gif (18)

Но

hello_html_6ee5b4dc.gif(19)

Сравнивая действительные и мнимые части равенств (18) и (19), получим

hello_html_m62bfe2f.gif

hello_html_769a191.gif

Пусть п — натуральное число.

Корнем п-й степени из комплексного числа hello_html_7a3922a4.gifназывается комплексное число hello_html_7f722371.gif для которого wn = z. Это число обозначается hello_html_m6d04b810.gif

Так как два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на целое число, кратное 2л, то

hello_html_60b56eb3.gif, hello_html_125976ea.gif

откуда

hello_html_5c4c00b0.gifhello_html_2d43b6c5.gif

Таким образом,

hello_html_m24f8fae1.gif (20)

Подставляя вместо к значения 0, 1, 2, ..., п - 1, получим п различ­ных значений корня. Для k = п, п + 1, п + 2, ... или k = -1, -2, ... корни будут принимать полученные ранее значения.

Так, например, при k = 2 имеем: hello_html_7935fb8e.gifи при k = п + 2

hello_html_m439cf0e5.gif

Читатель может проверить, что и для функции косинуса получается то же самое.

Пример 4. Найти все значенияhello_html_2d2b9ce2.gif

Решение. Так как 1 = l(cos 0 + i sin 0), то

hello_html_m3abf2573.gif

Придавая k последовательно значения 0, 1, 2, 3, 4, соответственно, получим:

z1 = 1 при k = 0;

hello_html_m5bbe4dbd.gif

hello_html_m523238b.gifпри k = 1;

hello_html_m5c5da9f9.gifпри k = 2;
hello_html_m467759e2.gif при k = 3;

hello_html_m45b1c611.gifпри k = 4.

Дадим геометрическую интерпретацию полученных значений hello_html_2d2b9ce2.gif. Модули всех этих значений равны 1. Следовательно, точки z1, z2, z3, z4, z5 лежат на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Построив аргументы значений z1, ... , z5 (рис. 10), заметим, что точки, изобра­жающие числа z1,..., z5, являются вершинами правильного пятиугольника.

Исходя из формулы (20) можно показать, что геометрически точки, соответствующие различным значениям корня n-й степени из комплексного числа hello_html_7a3922a4.gifрасполагаются в вершинах правильного п-угольника с центром в точке О, причем одна из вершин (соответствующая k = 0) имеет полярные координатыhello_html_2dd8d43d.gif.

6. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Найдем тригонометрическую форму комплексного числа z, если hello_html_m69dd2254.gifТак как в записи hello_html_7a3922a4.gifвыражение

hello_html_m3404bf9c.gifесть действительная, а hello_html_2f112170.gif— мнимая часть и комплексно-

сопряженные числа отличаются знаком мнимых частей, то

hello_html_35ce4cd0.gif(21)

Функция косинус — четная, а синус — нечетная, поэтому соотно­шение (21) можно записать в виде

hello_html_28d042ad.gif

Из геометрических соображений можно заключить, что точка, изо­бражающая комплексное число 1, получается из точки, изображающей число z, в результате ее симметричного отображения относительно оси абсцисс. Значит,

hello_html_m3e8a8613.gifhello_html_9b156ad.gif

Из правил умножения и деления комплексных чисел в тригономет­рической форме следует, что аргумент комплексного числа ведет себя так же, как показатель степени при умножении степеней с одинаковыми основаниями: hello_html_43c646b5.gifЭто обстоятельство навело Л. Эйлера на

мысль представлять комплексные числа в виде

hello_html_m4b0eef30.gif(22)

где е — основание натурального логарифма.

К комплексным числам, записанным в форме (22), применимы правила действий над степенью. А именно, если hello_html_3103111d.gif, hello_html_9d9f036.gif, то

hello_html_m39c88acc.gif откуда следуют известные нам правила:

hello_html_39389010.gif, hello_html_mde2e971.gif

Аналогично получаем

hello_html_m544566bd.gif


т. е. при делении комплексных чисел справедливы равенства hello_html_61ae115.gif и hello_html_m468077e2.gif

Далее, возведя комплексное число (22) в степень п, получим

hello_html_6e0814f1.gif

Следовательно, при возведении комплексного числа в степень |zn| = |z|n,arg(zn) = n arg z.

Таким образом, представление комплексного числа в виде (22) формально находит оправдание. Запись (22) называется показатель­ной или экспоненциальной формой комплексного числа.

Если z представлено в форме (22), то комплексно-сопряженное число

hello_html_m7c7290b8.gif

Сравнивая записи комплексного числа в известных нам формах, будем иметь hello_html_m11c84e40.gif При r = 1

hello_html_4fb52f4e.gif(23)

Это соотношение называется тождеством Эйлера. Аналогично можно записать

hello_html_5b06143e.gif(24)

Путем сложения и вычитания равенств (23) и (24), соответст­венно, получаем

hello_html_m4c3ebf64.gifhello_html_1be3c7d7.gif

Эти равенства находят широкое применение в различных вопросах математики.

Пример 5. Представить в экспоненциальной форме комплексное чис­ло hello_html_72f8409b.gif

Решение. Находим hello_html_m23f6e241.gifhello_html_m588f7ba2.gifhello_html_53a90dce.gifhello_html_767a6875.gif Следовательно,hello_html_m1e6fa9b7.gif


7. Понятие функции комплексной переменной


Пусть даны две комплексные плоскости Оху (плоскость z) и O'uv (плоскость w).

Определение. Если каждой точке (числу) zhello_html_m289d78ff.gifD (D множество точек плоскости z ) по некоторому закону f ставится в соответ­ствие единственная точка w hello_html_m289d78ff.gifЕ (Е множество точек плоско­сти w), то говорят, что w есть функция от z (однозначная):

w = f (z), (25)

с областью определения D, значения которой принадлежат множе­ству Е (рис. 11). Т.е. говорят, что на мно­жестве определена однозначная функция комплексного переменно­го w = f(z), отображающая множество D в множество Е. Если множество значений функции f (z) исчерпывает все множество Е, то Е называется множеством значений (областью изменения) функции f (z). В этом случае пишут

Е = f (D).(26)


Если каждому z hello_html_m289d78ff.gifD соответствует несколько значений w, то функция w = f(z) называется многозначной.

Множества D и Е можно изображать на одной комплексной пло­скости.

hello_html_m19d97d37.png

Рис. 11.

Таким образом, каждая комплексная функция реа­лизует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплекс­ные функции находят свое применение в таких науках, как гидро­динамика и аэродинамика, так как с их помощью удобно описы­вать «историю» движения объема жидкости (или газа).

hello_html_2f5e2217.pnghello_html_451cb1f5.png

a) б)

Рис. 12.

Раздел математики, изучающий свойства комплексных функций, носит название теории функций комплексной переменной.

Пример6. Во что переходит сектор Е

hello_html_92b07b9.gif, hello_html_m63fcd72c.gif

(рис. 12, а) при отображении w = z2?

Имеем

arg w = 2argz < π и |w| = |z|2 < 1.

Поэтому отображенная область E ' представляет собой полукруг (рис. 12, б).


Далее, как правило, будем рассматривать такие функции w = f(z), для которых множества D и Е1 являются областями. Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскос­ти, обладающих свойствами открытости и связности.

Функцию w = f(z) можно записать в виде

u + iv = f(x + iy),

т. е.

f(x + iy) = и(х; у) + iv(x; у),

где

и = и(х;у) = Ref(z), v = v(x;у) = Imf(z), (х; у) hello_html_m289d78ff.gif D.

Функцию и(х;у) при этом называют действительной частью функции f(z), a v(x;y) мнимой.

Таким образом, задание функции комплексного переменного равно­сильно заданию двух функций двух действительных переменных.

Пример 7. Найти действительную и мнимую части функции w = z2.

Решение: Функцию w = z2 можно записать в виде и + iv = (х + iy)2,

т.е.

и + iv = х2 — у2 + i 2ху.

Отсюда следует: и = х2 —у2, v = 2ху.


Выбранный для просмотра документ Образец выполнения самостоятельной работы.doc

библиотека
материалов

Образец выполнения самостоятельной работы № 5


1. Составить квадратное уравнение по его корням х1 = 1 − hello_html_774d1622.gifi и x2 = 1 + hello_html_774d1622.gifi.

Решение. По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену уравнения, а сумма корней – второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, поэтому имеем

х1 x2 = (1 − hello_html_774d1622.gifi )(1 + hello_html_774d1622.gifi ) = 1 + 3 = 4,

х1 + x2 = (1 − hello_html_774d1622.gifi ) + (1 + hello_html_774d1622.gifi ) =1 − hello_html_774d1622.gifi + 1 + hello_html_774d1622.gifi = 2,

х2 + рх + q = 0, х2 − 2х + 4 = 0.

Ответ. х2 − 2х + 4 = 0.


2. Найти действительные числа х и у из уравнения 5х – 2у + (х + y) i = 4 + 5i.

Решение. Составим и решим систему hello_html_3297ac97.gifhello_html_m58b670e2.gifhello_html_472ff4c8.gifhello_html_4dc39b12.gifhello_html_m576e14ff.gif

Ответ. (2; 3).


3. Выполнить действия а) hello_html_m58f1c97a.gif ; б) hello_html_md1de3e8.gif ; в) hello_html_m7270e623.gif.

Решение. а) hello_html_m58f1c97a.gif= hello_html_m764c866b.gif hello_html_766cf23c.gifhello_html_m2b33d976.gifhello_html_c8ff765.gif.


б) hello_html_md1de3e8.gif = hello_html_36acd894.gif= hello_html_m7d2b2a1.gif = hello_html_7bbd8eea.gifhello_html_m74b875c1.gifhello_html_18558a1a.gifhello_html_35d1aa86.gif.

i2 = -1, i4 = -1∙(-1) = 1, i8 = 1, i =hello_html_m639940c8.gif, i3 = -hello_html_m639940c8.gif= -i, i5 =hello_html_m639940c8.gif= i, i7 = -hello_html_m639940c8.gif= -i, i9 =hello_html_m639940c8.gif= i.

Таким образом, i4k= 1, i4k+1= i, i4k+2= - 1, i4k+3= - i,


в) hello_html_m4d4c3654.gifhello_html_m2db3b789.gifhello_html_mcc446d2.gifhello_html_7920aa0a.gifhello_html_5d8a57df.gif2hello_html_78853b40.gif.

где r = hello_html_m5c3ff636.gif φ = arctghello_html_m59df605d.gif= arctghello_html_27fbc440.gif= arctg1 = hello_html_m5bb3a56e.gif

Ответ. а) hello_html_c8ff765.gif; б) -1 + i ; в) 2hello_html_78853b40.gif.


4. Выполнить действия и результат записать в тригонометрической форме hello_html_549d7b68.gif

Решение. hello_html_549d7b68.gif=hello_html_1961d09e.gif = hello_html_3cae73f.gif=hello_html_4dc0e5d4.gif,

где r1 = hello_html_39d8fc58.gif φ1 = arctghello_html_m59df605d.gif= arctghello_html_m71d0da48.gif= arctg1 = hello_html_m5bb3a56e.gif,

r2 = hello_html_39d8fc58.gif φ2 = arctghello_html_m59df605d.gif= arctghello_html_m170440a7.gif= arctg(-1) = hello_html_m54365ad0.gif.

Таким образом, z = 2

Запишем данное число в тригонометрической форме:

z = 2 (cos0 + icos0◦)

Ответ. z = 2 (cos0 + icos0◦)


5. Выполнить действия и результат записать в показательной форме 7hello_html_2a9b181e.gif.

Решение. 7hello_html_2a9b181e.gif= 7hello_html_5decb74e.gif= 7∙13hello_html_m5a3aee32.gif= 7hello_html_m791eaa6.gif

z = 7hello_html_m791eaa6.gif .

Ответ. z = 7hello_html_m791eaa6.gif.

6. Решить уравнение х2 + 8х + 80 = 0.

Решение. х2 + 8х + 80 = 0, D = 64 - 4∙ 1∙ 80 = -256, х1 = hello_html_m31b970e.gifhello_html_m639143d0.gif,

х2 = hello_html_m4be4a59e.gif.


Ответ. х1 =hello_html_m639143d0.gif, х2 = hello_html_m4be4a59e.gif.



7. Построить слагаемые z1= −2 и z2 = 2 − 3i и их сумму.

y


hello_html_6d866933.gif












Проверка: z1 + z2 = (−2) + (2 − 3i ) = −2 + 2 − 3i = − 5i .


Ответ. − 5i.




Выбранный для просмотра документ ПРАКТИКУМ.doc

библиотека
материалов

ПРАКТИКУМ

Комплексные числа

Комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости (рис.4).



hello_html_70b386b4.pnghello_html_35493f26.png












Пример. Найти полярные координаты точки М (hello_html_m70844137.gif) (рис. 5).

Решение. Используя формулы (1), находим полярный радиус и полярный угол точки М:


hello_html_322157b.gif, hello_html_33c52163.gif, hello_html_m52bc8fc6.gif, так как точка М лежит в IV четверти.

Решение задач

Пример 1. На комплексной плоскости постройте точки:

а) hello_html_m590b7e8.gifб) hello_html_m4c6f4db8.gif в) hello_html_mab7e055.gif

Решение. а) Действительная координата числа z х = -2, мнимая координата у = 2 (рис. 1а);

y


y


y



hello_html_58b0ef02.gifhello_html_m7bf8c8f5.gifhello_html_2e16a9ef.gif


x


-4


x x

Рис. 1 а) б) д)

б) действительная координата числа z х = -1, мнимая координата у = -1 (рис. 1б) ; в) действительная координата числа z х = -4, мнимая координата у = 0 (рис. 1в).


Пример 2. Найдите комплексно-сопряженные числа для следующих чисел и
постройте их на комплексной плоскости: а) hello_html_m19e26d7c.gif б) hello_html_5ee69d1b.gif

Решение. : а) hello_html_m19e26d7c.gif hello_html_m1275a222.gif б) hello_html_m79dc53c9.gifhello_html_m5fbb6c85.gif

hello_html_m75ba6285.gifhello_html_m1cd4c8fc.gif



-3



0





Рис. 2а,б



Пример 3. Решите квадратные уравнения:

а) 2hello_html_m560d5ad4.gif б) hello_html_m3f5f45b2.gif

Решение. а) 2hello_html_m560d5ad4.gif

D = b2 – 4ac = 1 – 4·2·1 = - 7;

x1,2 = hello_html_51f33f16.gif= hello_html_38cc9483.gif± hello_html_m662fb99e.gif.

б) hello_html_m3f5f45b2.gif

D = b2 – 4ac = 9 – 4·1·11 = - 35;

x1,2 = hello_html_e441d0f.gif= hello_html_605a1791.gif± hello_html_m185ccb22.gif.


Пример 4. Даны числаhello_html_4ae0443f.gifhello_html_1f826180.gif. Найдите числа:

a) z1 + z2; б) z1 - z2;

в) z1*z2; г) hello_html_m5bd2bb9c.gif.

Решение. a) z1 + z2 = (-2+3i) + (3-2i) = -2+3i+3-2i = 1+ i ;

б) z1 - z2 = (-2+3i) - (3-2i) = -2+3i-3+2i = -5+ 5i ;

в) z1 * z2 = (-2+3i) · (3-2i) = -6+ 4i + 9i - 6i2 = -6 + 13i +6 = 13i ;

г) hello_html_m5bd2bb9c.gif= hello_html_m1d417bb3.gif= hello_html_mc80b3c3.gif.hello_html_m3879bc7e.gifhello_html_m54a0d57.gifhello_html_1b0139a1.gif

Ответ. a) 1+ i ; б) -5+ 5i ; в) 13i ; г) hello_html_44f88d8e.gif.


Пример 5.Представьте в тригонометрической форме следующее комплекс­ное число: 2+2hello_html_m2f8f8576.gif

Решение. r = hello_html_m4a7b5176.gif= hello_html_m68322000.gif

arghello_html_528a7ec6.gif = φ = arctghello_html_m59df605d.gif= arctghello_html_11c09d83.gif= arctg1 = hello_html_m5bb3a56e.gif;

2+2hello_html_m2c5d5f29.gif= hello_html_m51707818.gif(coshello_html_m5bb3a56e.gif+ i sinhello_html_m5bb3a56e.gif).

Ответ. hello_html_m51707818.gif(coshello_html_m5bb3a56e.gif+ i sinhello_html_m5bb3a56e.gif).

Пример 6. Даноhello_html_34c182a7.gifВычислите, чему равны
модули и аргументы сопряжённым числам чисел: а) hello_html_6b351831.gif б) hello_html_2cafc057.gif

Решение. а) Найдём hello_html_m542b6863.gif= (-4+7i) - (3+2i) = -4+7i-3-2i = -7+ 5i ;

сопряжённое число: -7 - 5i;

r = hello_html_5370da04.gif= hello_html_235f8e0b.gif. arg φ = arctghello_html_m59df605d.gif= arctghello_html_m597eb90f.gif= arctg hello_html_m779df46f.gif;

-7 - 5i =hello_html_m665dd35e.gif (cos (arctg hello_html_m779df46f.gif) + i sin (arctg hello_html_m779df46f.gif)).

б) Найдём hello_html_mf8e02b6.gifhello_html_110ec493.gif= -3 + 5i - 4+7i = -7+12i ;

сопряжённое число: -7 - 12i;

r = hello_html_m1596a7ba.gif= hello_html_m6238f4fe.gif. arg φ = arctghello_html_m59df605d.gif= arctghello_html_520e06a.gif= arctg hello_html_56ec4b02.gif;

-7 - 5i =hello_html_75e048af.gif (cos (arctg hello_html_56ec4b02.gif) + i sin (arctg hello_html_56ec4b02.gif)).

Ответ. а) r =hello_html_m665dd35e.gif, hello_html_m665dd35e.gif (cos (arctg hello_html_m779df46f.gif) + i sin (arctg hello_html_m779df46f.gif)).

б) r =hello_html_75e048af.gif, hello_html_75e048af.gif (cos (arctg hello_html_56ec4b02.gif) + i sin (arctg hello_html_56ec4b02.gif))

Пример 7. Комплексные числа hello_html_53930d58.gif hello_html_3fd548bd.gif.представить в тригонометрической форме и найти: a) z1z2; б) hello_html_7883947c.gif; в) hello_html_48597cde.gif; г) hello_html_72402c56.gif; д) hello_html_m16863c2.gifе) hello_html_m62fb483a.gif.

Решение. По формуле (10) найдём модуль комплексного числа hello_html_1cca4771.gif:

r1 = hello_html_1e681736.gif= hello_html_m75daf459.gif, а из соотношений (.9) cos φ1 =hello_html_494c0de.gif, sin φ1 =hello_html_m5bcdbb5.gif

получим аргумент числа hello_html_1cca4771.gif(берём его главное значение):

φ1 = arghello_html_1cca4771.gif= -hello_html_m5bb3a56e.gif, т.е. hello_html_1cca4771.gif=hello_html_m62632d12.gifhello_html_4869acd3.gif.

Аналогично, r2 = hello_html_e837635.gif= hello_html_m681ad032.gif= 2, cos φ2 =hello_html_10ef7276.gif, sin φ2 =hello_html_50feb0d8.gif.

Т.е. φ2 = arghello_html_m67c88ff9.gif=hello_html_1620707a.gif, и hello_html_m67c88ff9.gif=2hello_html_m55e75cb5.gif.

Теперь по формулам (13), (13' ), (14) (формула Муавра) и (18) найдём

а) z1z2= hello_html_m62632d12.gif·2hello_html_m2f86bcc2.gif= 2hello_html_m62632d12.gifhello_html_37b4eb19.gif;

б) hello_html_7883947c.gif=hello_html_2268cba1.gif hello_html_47070c6e.gif=hello_html_2268cba1.gif hello_html_m7b861e92.gif= hello_html_2268cba1.gifhello_html_m3e15b191.gif= =hello_html_2268cba1.gifhello_html_m12f2b79.gif=hello_html_4663c81e.gif

в) hello_html_48597cde.gif= (hello_html_6db18635.gif)28 = hello_html_m49f3b487.gif= (hello_html_m62632d12.gif)28hello_html_6fcdabe4.gif=

= 214 (coshello_html_m4b36441a.gif) = 16384 (cos7πsin7π) = 16384 (-1+0π) = -16384.

г) hello_html_72402c56.gif= hello_html_22379907.gif= hello_html_747c5cd1.gif ;

k = 0, 1, 2. При k = 0 hello_html_72402c56.gif= hello_html_5a78b10.gif.

При k = 1 hello_html_72402c56.gif= hello_html_m204d7ad6.gif.


При k = 2 hello_html_72402c56.gif= hello_html_212348ca.gif.

д) hello_html_m16863c2.gif Имеем z1z2= 2hello_html_m62632d12.gifhello_html_37b4eb19.gif; Тогда hello_html_69c5844.gif=2hello_html_m62632d12.gifhello_html_42853f10.gif;

е) hello_html_m62fb483a.gif. Зная что hello_html_7883947c.gif= hello_html_4663c81e.gifнайдём hello_html_m62fb483a.gif = hello_html_m40899a3e.gif

Пример 8. Комплексные числа а) hello_html_28108ab5.gif б) hello_html_m46e0bb5.gif

Решение. а) hello_html_20798657.gif= hello_html_4f504015.gif.

б) hello_html_mb2eda53.gif.

Пример 9. Изобразить на комплексной плоскости числа: 1) hello_html_2dd91e4d.gif 2) hello_html_3e7876df.gif. Записать число hello_html_1cca4771.gif в тригонометрической, а число hello_html_m67c88ff9.gif- в алгебраической форме.

Решение. 1) Для числа hello_html_1cca4771.gif имеем hello_html_31a14656.gifОткладывая по оси Ox hello_html_m1966c39f.gifа по оси Oy hello_html_50feb45c.gif получаем точку комплексной плоскости, соответствующую числу hello_html_1cca4771.gif(рис.2). Модуль этого числа находим по формуле (7):

Рис.1 и 2 .

hello_html_m40dbf557.pnghello_html_61fa4bd.png

Рис. 1. Рис. 2

hello_html_m4374ef7f.gifАргумент определяем из равенства hello_html_m5142249e.gif Так как число hello_html_1cca4771.gif находится в левой полуплоскости, то его аргумент hello_html_323bfffa.gifТригонометрическая форма числа hello_html_1cca4771.gif имеет вид hello_html_m2ab4bf0b.gif

2) Модуль числа hello_html_m67c88ff9.gif равен hello_html_5bec9471.gif, а аргумент hello_html_ef73d9a.gif. Для его изображения на комплексной плоскости проводим из полюса луч под углом hello_html_ef73d9a.gif к полярной оси и откладываем на нем отрезок, длиной hello_html_m35b6bef6.gif Полученная точка соответствует числу hello_html_m67c88ff9.gif(рис.8).

Его действительная часть hello_html_m1fa4689.gif, а минимальная часть hello_html_1720f7e9.gifТаким образом, алгебраическая форма числа hello_html_m67c88ff9.gif имеет вид hello_html_6072996c.gif

Пример 10: Вычислить hello_html_3e91a574.gif

Решение. Модуль числа -8 равен 8, а аргумент равен hello_html_1bfc1af9.gif. Используя формулу (8), получаем

hello_html_5fc0d6de.gif

hello_html_m4c0763e0.gif

hello_html_757018df.gif

hello_html_8af654b.gif

Пример 11.Решить уравнение 5z3 – 17z2 + 21z − 9 = 0 и изобразить его корни hello_html_mc15ef04.gif на комплексной плоскости.

Проверить, что

hello_html_m2b909632.gif , г) (z1z2)23.


Решение. 1) Подбором находим корень уравнения 5z3 – 17z2 + 21z − 9 = 0

z1 = 1.

( Его легко найти из делителей свободного члена 9: ± 1; ± 3; ± 9).

Используя схему Горнера или способ деления многочлена (5z3 – 17z2 + 21z − 9) на двучлен (z-1) (Вспомните разложение многочлена : (х-х1)(х-х2)(х-х3)…(х-хп) ) получим:

(z-1)(5z2 – 12z + 9) = 0,

Решив квадратное уравнение 5z2 – 12z+ 9= 0 будем иметь мнимые корни, выраженные комплексными числами: z2,3 = hello_html_16be02df.gif= hello_html_6fbcaf80.gifhello_html_845471c.gifhello_html_m4b81fdf4.gif.


СХЕМА ГОРНЕРА

ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ДВУЧЛЕН

hello_html_40862967.gif

hello_html_1e8ab3c9.gif5 -17 21 -9


5 -12 9


1 5hello_html_1e8ab3c9.gif -12 9 0



(z-1)·(5z2 – 12z + 9) = 0


hello_html_438e1b6b.gif

hello_html_1cbd7991.gifhello_html_5951fc3b.gif5z3 – 17z2 + 21z − 9 z –1

hello_html_m2823cef2.gif5 z3 – 5z2 5z2 – 12z + 9

hello_html_5951fc3b.gif12z2 + 21z

hello_html_m2823cef2.gif12z2 + 12z

hello_html_5951fc3b.gif9z − 9

hello_html_1cbd7991.gif9z − 9

0

2) Проверим равенства а), б), в):

а) hello_html_34d73040.gif1 + (hello_html_m184d9491.gif) + (hello_html_2ba7b91b.gif) = 1 + hello_html_m184d9491.gif + hello_html_2ba7b91b.gif = 1,4;

hello_html_127f2c65.gif1·(hello_html_m184d9491.gif) + 1 · (hello_html_2ba7b91b.gif) + (hello_html_m184d9491.gif)·(hello_html_2ba7b91b.gif) = hello_html_m184d9491.gif + hello_html_2ba7b91b.gif + hello_html_8ac28bc.gif =

=hello_html_5b01e65b.gifhello_html_mc7b55d8.gif = hello_html_e33aff9.gif = hello_html_20d272c8.gif = 4,2;

hello_html_5b723478.gif1·(hello_html_m184d9491.gif)·(hello_html_2ba7b91b.gif) = hello_html_446243ef.gifhello_html_7702e36d.gif.

г) По формуле Муавра найдём (z2z3)23 = (hello_html_m184d9491.gif – (hello_html_2ba7b91b.gif))23 = (hello_html_m58c29dd9.gif)23 =

= (hello_html_m504474b8.gif)23(cos hello_html_72ab6de4.gif+ i sinhello_html_72ab6de4.gif).



Тренировочные упражнения

2.1.На комплексной плоскости постройте точки:

а) hello_html_595c1595.gifб) hello_html_63d57027.gif

в) hello_html_m53bb8336.gif г) hello_html_3ffb0192.gif

д) hello_html_bb9c828.gif е) hello_html_m42fc63a9.gif

22. Найдите комплексно-сопряженные числа для следующих чисел и
постройте их на комплексной плоскости:

а) hello_html_m71271796.gif б) hello_html_1d03051c.gif

в) hello_html_m6ae65b3.gif г) hello_html_m53bb8336.gif

д) hello_html_m1fb09380.gif

2.3. Решите квадратные уравнения:

а) hello_html_m560d5ad4.gif б) hello_html_m59f25584.gif

в) hello_html_767c6028.gif г)hello_html_m682a58b8.gif

2.4. Даны числаhello_html_4eeda2d5.gifhello_html_1d1c1b82.gif. Найдите числа:

a) z1 + z2; б) z1 - z2;

в) z1*z2; г) hello_html_m5bd2bb9c.gif.

    1. Докажите, что еслиhello_html_799dc197.gif то hello_html_3222f82e.gif

    2. Дано: hello_html_340ace8a.gif. Найдите hello_html_m6e9885af.gif, если п = 2,3, 4.

    3. Найдите х и у из уравненияhello_html_m1a5b3cda.gifx, yhello_html_m289d78ff.gifR.

    4. Вычислите:

a) hello_html_m7d56fd66.gif; б) hello_html_1815156e.gif

2.9. Найдите комплексные числа, сопряженные своему квадрату.

2.10. Проверьте тождество

hello_html_63ee9f65.gif.

2.11. Постройте точки, изображающие комплексные числа 1; – 1; hello_html_1caef8ee.gif;

i; i; hello_html_367a29f3.gif; 1 + i; 2 + 3i.

2.12. Представьте в тригонометрической форме следующие комплекс­ные числа: 1; —1;hello_html_m2f8f8576.gifhello_html_m1e510bcb.gifhello_html_m59009774.gifhello_html_m577de691.gifhello_html_23f72a99.gifhello_html_m3323f34c.gifhello_html_m6e19283b.gif

2.13. Даноhello_html_m29aa7b8d.gifВычислите, чему равны
модули и аргументы чисел: а) hello_html_m726f62cf.gif б) hello_html_m1854cbf8.gif

в) hello_html_m1156dfc0.gif г) hello_html_m424038f.gif

д) hello_html_534e0bb6.gif е) hello_html_m5d2b1bf7.gif

2.14. Даны числаhello_html_7277badf.gifиhello_html_3700013f.gif

Составьте сумму z1 + z2 и разность z1 z2. Найдите их модули и ар­гументы.

2.15. Найдите множество точек, изображающих комплексные числа:

а) модуль которых равен 1;

б) аргумент которых равен hello_html_m2c853637.gif

2.16. Найдите множества точек плоскости, изображающих комплекс­ные числа z, удовлетворяющие неравенствам:

а) hello_html_5392251a.gif б) hello_html_m58ca8492.gif

в) hello_html_m1727283.gif г) hello_html_m191e5bdc.gif

2.17. Дано hello_html_m41cd7c.gif hello_html_m2d4892c2.gif

Найдите: a) z1z2; б) hello_html_7883947c.gif; в) hello_html_m4e46eb9d.gif; г) hello_html_391be0a1.gif; д) hello_html_m16863c2.gifе) hello_html_m62fb483a.gif.

2.18. Докажите, что hello_html_58c8b5c7.gif

    1. Упростите hello_html_7c243302.gif

    2. Вычислите: hello_html_64b38a07.gif.


    1. Извлеките корни: а)hello_html_5322e21e.gif; б) hello_html_m3bd21f57.gifв) hello_html_72c01045.gif г) hello_html_m5b152993.gif

    2. Выразить через cos х и sin х: a) cos; б) sin 6x; в) tg Зх.

2.23. Представьте в экспоненциальной форме комплексные числа:

а)hello_html_354ad7e1.gifб) hello_html_6f4b5fa1.gif

в) hello_html_3815584a.gif

2.24. Представьте в алгебраической форме комплексные числа:

а)hello_html_3249bec9.gifб)hello_html_m3a80fba9.gif

в)hello_html_m3e8651b9.gif

2.25. Дано hello_html_60adcc8c.gifhello_html_61f058d5.gif Найдите

а) hello_html_m4e3bffcd.gif; б) hello_html_6779b5ff.gifв) hello_html_m1582e64.gif

г) hello_html_m72cb02a9.gifд) hello_html_43aa8ba1.gifе) hello_html_m1600b27c.gif

2.26. Выполните действия над комплексными числами:

а) hello_html_248e9e79.gifб) hello_html_71c4bc8a.gif

в) hello_html_m1a99ac7d.gifг) hello_html_m3c14dbe0.gif

2.27. Найдите действительные числа а и b, такие, чтобы выполнялись
равенства:

а) hello_html_56ae4576.gifб) hello_html_5a0b7524.gif

в) hello_html_6904984d.gif

2.28. Вычислите:

а) hello_html_m3a50d968.gif б) hello_html_22032f53.gif

в) hello_html_m31a77004.gif г) hello_html_ma43e3d1.gif

д) hello_html_25fc47ba.gif е) hello_html_m51f3dfe0.gif

ж) hello_html_m7280095e.gif

2.29. Найдите действительные числа х и у, такие, что

hello_html_386f3d19.gif

2.30. Решите квадратные уравнения:

а) hello_html_m32406586.gif б) hello_html_m3065ac1d.gif

в) hello_html_m2187ec32.gif г) hello_html_594c0fd1.gif

2.31. Вычислите:

а) hello_html_mb3b9bf.gif б) hello_html_10af3417.gif

в) hello_html_36a57867.gif г) hello_html_m16bb12c6.gif

д) hello_html_m6c67202a.gif е) hello_html_mb3dc016.gif

ж) hello_html_m111e4585.gif

2.32. При каких действительных значениях х и у комплексные числа

hello_html_6ae3f480.gifи hello_html_4d4713ad.gifбудут комплексно-сопряженными?

2.33. Разложите на множители выражения:

а) hello_html_387d93bc.gif б) hello_html_m2621e3bd.gif

в) hello_html_m297f77c.gif г) hello_html_m7a562494.gif

2.34. Представьте в тригонометрической формекомплексные числа:

а) hello_html_206064ce.gif б) hello_html_m647f419c.gif

в) hello_html_da4a1a8.gif г) hello_html_m37db9adf.gif

2.35. Представьте в алгебраической форме комплексные числа:

а) hello_html_m33bd3ad0.gifб) hello_html_m6aa40373.gif


Выбранный для просмотра документ Самостоятельная работа.doc

библиотека
материалов

Самостоятельная работа № 1

1. 1. Составить квадратное уравнение по его корням х1 = 5 − 3i и x2 = 5 + 3i.

2. Выполнить действия: а) (2 + i ) + (−3 – i) − (4 − 3i); б) hello_html_m61f09d1a.gif

3. Дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел z1 =− 2 + i; z2 = 2 −3i и их суммы.

4. Выполнить действия: a) (cos 12° + i sin 12°)45; б) hello_html_50b93e56.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме: z = hello_html_3d204887.gif

Самостоятельная работа № 1

2. 1. Решить квадратное уравнение х2 − 6х + 34 = 0.

2.Выполнить действия: (3 + 5i)(3 − 5i)(−2 + i).


3.Построить комплексные числа z1 = 2 − 3i и z2 = 1 + 2i в комплексной плоскости, а также им сопряженные и противоположные.

4.Выполнить действия: а) hello_html_601039bc.gif ; б) hello_html_95be490.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а) hello_html_4236ccab.gif; б) hello_html_m1935192a.gif .


Самостоятельная работа № 1

3. 1. Построить комплексные числа z1= −1 + 2i и z2 = 4i , в комплексной плоскости, а также им сопряженные и противоположные.

2. Решить квадратное уравнение 2х2 + 2х + 5 = 0.

3. Перевести в показательную форму:

а) hello_html_m6689e520.gif ; б) 3hello_html_5530fd9e.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_m265cebf2.gifб) hello_html_m3d49d449.gif .

5. Записать комплексное число hello_html_706615ab.gif в тригонометрической форме.


Самостоятельная работа № 1

hello_html_dd83d54.gifhello_html_4fd2d6e3.gif4. 1. Найти действительные числа х и у из уравнения х – 8i +(y3)i = 1.

2. Построить слагаемые z1= −2 − 4i и z2 = 3 и их сумму.

3. Перевести в алгебраическую форму: а) 2hello_html_m2dba2923.gif; б) 4hello_html_m45c2c19e.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_656dabfa.gifб) z = (3 - hello_html_f3fa433.gif)6 hello_html_6ec25397.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме: hello_html_32d94f51.gif


Самостоятельная работа № 1

5. 1. Построить комплексные числа z1= −6 и z2 = 4 − 3i, а также им сопряженные и

противоположные.

  1. Перевести в тригонометрическую форму: а) z1 = hello_html_m7c121b5d.gif; б) z2 = 3hello_html_m2166cb2.gif

3. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

3hello_html_m26c3853e.gif

4. Выполнить действия: а) z = hello_html_m4f629c6d.gif; б) z = (−2 – 2i)4 hello_html_bd25429.gif.

5. Доказать тождество hello_html_604b1df5.gif.


Самостоятельная работа № 1

6. 1. Построить комплексные числа z1= −2 − 3i и z2 = -4 , а также им сопряженные и

противоположные.

2. Перевести в показательную форму: а) hello_html_m5283ccb3.gif ; б) 3hello_html_m1b1d2593.gif-

3. Найти действительные числа х и у из уравнения (3 + i) х – 2(1+4i) у = – 3− 4i .

4. Выполнить действия: а) hello_html_m1bb38874.gif; б) hello_html_m40f3dfae.gif.

5. Решить квадратное уравнение х2 + 2х + 5 = 0.


Самостоятельная работа № 1

7. 1. Дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел z1 = −3 − i, z2 = 1− 4i

и их суммы.

2. Перевести в алгебраическую форму: a) 2hello_html_m61327a0.gif; б) 4hello_html_79fb0237.gif.
3. Решить уравнение х2 − 6х + 18 = 0.

4. Выполнить действия: a) (hello_html_706615ab.gif)3hello_html_m7b99f10.gif ; б) hello_html_69c850d9.gif.

5. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел

x(2 + i) – y(1 – i) = 1 + 3i


Самостоятельная работа № 1

8. 1. Построить слагаемые z1 = 2i; z2 = 3 + 4i и их сумму.

2. Найти действительные числа х и у из уравнения (2х + у) + (х + 3у)i = 3− i .

3. Решить уравнение х2 − 10х + 41 = 0.

4. Перевести в алгебраическую форму: a) 4hello_html_7a6bbf06.gif; б) 2hello_html_m61327a0.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а) hello_html_4236ccab.gif; б) hello_html_m1935192a.gif .

Самостоятельная работа № 1

9. 1. Построить комплексные числа z1 = −2 + 4i; z2 = 3, а также им сопряженные и

противоположные.

2. Комплексные числа z1 = 1i; z2 = hello_html_m6e5376f5.gif + i представить в показательной форме.

3. Выполнить действия: a) (hello_html_706615ab.gif)3hello_html_m7b99f10.gif ; б) hello_html_45bee68f.gif

4. Решить уравнение х2 − 4х + 5 = 0.

  1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме: hello_html_m23804114.gif


Самостоятельная работа № 1

10. 1. Составить квадратное уравнение по его корням х1 = hello_html_2e2a5f70.gif и x2 = hello_html_7ad57776.gif.

2. Выполнить действия: а) (3 – i)(3 + 4i); б) hello_html_m229d7d5e.gif.

3. Дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел z1 =− 2 + 5i; z2 = −5 −3i и их суммы.

4. Выполнить действия: a) 5(cos 10° + i sin 10°)∙2(cos 80° + i sin 80°); б) hello_html_6d54378a.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме: z = hello_html_3d204887.gif


Самостоятельная работа № 1

11. 1. Решить квадратное уравнение х2 − 7х + 15 = 0.

2.Выполнить действия: hello_html_m386879b6.gif.

3.Построить комплексные числа z1 = 2 + 3i и z2 = −1 + 7i в комплексной плоскости, а также им сопряженные и противоположные.

4.Выполнить действия: а) hello_html_601039bc.gif;б) hello_html_95be490.gif.

5.Найти действительные числа х и у из уравнения (x − 5y) + (x – 2y)i = −17 – 8i.


Самостоятельная работа № 1

12. 1. Построить комплексные числа z1= −4 + 2i и z2 = 2i , в комплексной плоскости, а также им сопряженные и противоположные.

2. Решить квадратное уравнение 2х2 + 10х + 17 = 0.

3. Перевести в показательную форму:

а) hello_html_m6689e520.gif ; б) 3hello_html_5530fd9e.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_m265cebf2.gifб) hello_html_m3d49d449.gif .

5. Вычислить hello_html_m5c3d19a7.gif.



Самостоятельная работа № 1

hello_html_4fd2d6e3.gif13. 1. Найти действительные числа х и у из уравнения 2х – 5уi −х + 3уi = 1 − 2i.

2. Построить слагаемые z1= −2 и z2 = 3 − 4i и их сумму.

3. Перевести в алгебраическую форму: а) 2hello_html_m255f5b47.gif; б) 4hello_html_m45c2c19e.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_656dabfa.gifб) z = (−2 – 2i)4 hello_html_bd25429.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме: hello_html_32d94f51.gif

Самостоятельная работа № 1

14. 1. Построить комплексные числа z1= −6i и z2 = −4 − 3i, а также им сопряженные и

противоположные.

  1. Перевести в тригонометрическую форму: а) z1 = −hello_html_m7c121b5d.gif; б) z2 = 3hello_html_m5419b161.gif

3. Выполнить действия и записать результат в показательной форме: 3hello_html_m26c3853e.gif.

4. Выполнить действия: а) z = hello_html_m50aaa71a.gif; б) z = (3 −hello_html_f3fa433.gif)6 hello_html_6ec25397.gif.

5. Вычислить hello_html_53eabf67.gif.


Самостоятельная работа № 1

15. 1. Построить комплексные числа z1= −2 − 3i и z2 = 4 i , а также им сопряженные и

противоположные.

2. Перевести в показательную форму: а) hello_html_70a94b3b.gif ; б) 3hello_html_m2b98f509.gif-

3. Найти действительные числа х и у из уравнения (1 + 2i) х – (5 − 3i) у = hello_html_m13e9e5f0.gif .

4. Выполнить действия: а) hello_html_m1bb38874.gif; б) hello_html_m3deb2358.gif.

5. Решить квадратное уравнение х2 − 2х + 5 = 0.


Самостоятельная работа № 1

16. 1. Дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел z1 = −3 − i, z2 = 1− 4i

и их суммы.

2. Перевести в алгебраическую форму: a) hello_html_m62632d12.gifhello_html_m32abddd9.gif; б) 4hello_html_7a6bbf06.gif.
3. Решить уравнение 13х2 − 2х + 2 = 0.

4. Выполнить действия: a) (hello_html_706615ab.gif)3hello_html_m7b99f10.gif ; б) hello_html_73140f48.gif.

5. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел

x(2 + i) – y(1 – i) = 1 + 3i


Самостоятельная работа № 1


17. 1. Построить слагаемые z1 = 2i; z2 = 3 + 4i и их сумму.

2. Найти действительные числа х и у из уравнения (2х + у) + (х + 3у)i = 3− i .

3. Решить уравнение х2 − 6х + 25 = 0.

4. Перевести в алгебраическую форму: a) hello_html_4142a081.gif; б) 2hello_html_7ef9dc96.gif.

5. Извлечь корень из комплексного числа hello_html_m434161ce.gif .



Самостоятельная работа № 1

18. 1. Построить вычитаемое z1 = −3 − 2i; уменьшаемое z2 = 2 − 6i и их разность.
2. Перевести в алгебраическую форму: a) 4hello_html_7a6bbf06.gif; б) 2hello_html_36c0db64.gif.

3. Выполнить действия: a) (hello_html_706615ab.gif)3hello_html_m46568ee1.gif ; б) hello_html_6aa468df.gif

4. Решить уравнение х2 − 14х + 45 = 0.

5. Составить квадратное уравнение по его корням х1 = 3 − i и x2 = 3 + i.



Самостоятельная работа № 1

19. 1. Построить уменьшаемое z1 = 4 − i , вычитаемое z2 = −2 −2i
и их разность

2. Решить квадратное уравнение 2х2 + 2х + 13 = 0.

3. Перевести в показательную форму:

а) hello_html_m6689e520.gif ; б) 3hello_html_58faa38e.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_m4f6349e.gifб) (−2 – 2i)4 hello_html_bd25429.gif. .

5. Вычислить hello_html_m5ee42593.gif.


Самостоятельная работа № 1

hello_html_4fd2d6e3.gif20. 1. Найти действительные числа х и у из уравнения 2х – 5уi −х + 3уi = 1 − 2i.

2. Построить слагаемые z1= −2 и z2 = 3 − 4i и их сумму.

3. Перевести в алгебраическую форму: а) 3hello_html_46a65d94.gif; б) 2hello_html_m61327a0.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_55d692f8.gifб) hello_html_127fcd32.gif.

5. Составить квадратное уравнение по его корням: х1 = hello_html_m2a391f2b.gif; х2 = hello_html_m3744ad89.gif;



Самостоятельная работа № 1

21. 1. Составить квадратное уравнение по его корням х1 = 3 − 5i и x2 = 3 + 5i.

2. Выполнить действия: а) (2 + i ) ∙ (−3 – i) − (4 − 3i); б) hello_html_3f98dcb1.gif

3. Дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел z1 = − 5 + i; z2 = 2 +5i и их суммы.

4. Выполнить действия: a) (cos 12° + i sin 12°)45; б) hello_html_m322a7dad.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме: z = hello_html_3d204887.gif

Самостоятельная работа № 1

22. 1. Решить квадратное уравнение х2 − 6х + 34 = 0.

2.Выполнить действия: (3 + 5i)(3 − 5i)(−2 + i).

3.Построить комплексные числа z1 = 2 − 3i и z2 = 1 + 2i в комплексной плоскости, а также им сопряженные и противоположные.

4.Выполнить действия: а) hello_html_601039bc.gif ; б) hello_html_95be490.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а) hello_html_4236ccab.gif; б) hello_html_m2020d134.gif .


Самостоятельная работа № 1

23. 1. Построить комплексные числа z1= −1 + 2i и z2 = 4i , в комплексной плоскости, а также им сопряженные и противоположные.

2. Решить квадратное уравнение 2х2 + 2х + 5 = 0.

3. Перевести в показательную форму:

а) hello_html_m6689e520.gif ; б) 3hello_html_5530fd9e.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_m265cebf2.gifб) hello_html_m3d49d449.gif .

5. Записать комплексное число hello_html_706615ab.gif в тригонометрической форме.


Самостоятельная работа № 1

hello_html_dd83d54.gifhello_html_4fd2d6e3.gif24. 1. Найти действительные числа х и у из уравнения х – 8i +(y3)i = 1.

2. Построить слагаемые z1= 3− 4i и z2 = 4 и их сумму.

3. Перевести в алгебраическую форму: а) 2hello_html_m2dba2923.gif; б) 4hello_html_m45c2c19e.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_m38671b54.gifб) z = (3 - hello_html_f3fa433.gif)6 hello_html_6ec25397.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме: hello_html_32d94f51.gif


Самостоятельная работа № 1

25. 1. Построить комплексные числа z1= −7 + i и z2 = - 5 − 3i, а также им сопряженные и

противоположные.

  1. Перевести в тригонометрическую форму: а) z1 = hello_html_m7c121b5d.gif; б) z2 = 3hello_html_m2166cb2.gif

3. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

3hello_html_m26c3853e.gif

4. Выполнить действия: а) z = hello_html_6557c75.gif; б) z = (2 – 2i)6 hello_html_bd25429.gif.

5. Доказать тождество hello_html_604b1df5.gif.


Самостоятельная работа № 1

26. 1. Построить комплексные числа z1= −2 − 3i и z2 = -4 , а также им сопряженные и

противоположные.

2. Перевести в показательную форму: а) hello_html_m30aa87a5.gif ; б) 3hello_html_m1b1d2593.gif-

3. Найти действительные числа х и у из уравнения (3 + i) х – 2(1+4i) у = – 3− 4i .

4. Выполнить действия: а) hello_html_m1bb38874.gif; б) hello_html_2f9f3b3e.gif.

5. Решить квадратное уравнение х2 + 2х + 5 = 0.


Самостоятельная работа № 1

27. 1. Дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел z1 = −3 − i, z2 = 1− 4i

и их суммы.

2. Перевести в алгебраическую форму: a) 2hello_html_m61327a0.gif; б) 4hello_html_7a6bbf06.gif.
3. Решить уравнение х2 − 6х + 18 = 0.

4. Выполнить действия: a) (hello_html_m70f9c93c.gif)3hello_html_m7b99f10.gif ; б) hello_html_73140f48.gif.

5. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел

x(2 + i) – y(1 – i) = 1 + 3i


Самостоятельная работа № 1

28. 1. Построить слагаемые z1 = 2i; z2 = 3 + 4i и их сумму.

2. Найти действительные числа х и у из уравнения (2х + у) + (х + 3у)i = 3− i .

3. Решить уравнение х2 − 10х + 41 = 0.

4. Перевести в алгебраическую форму: a) 4hello_html_7a6bbf06.gif; б) 2hello_html_m61327a0.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а) hello_html_4236ccab.gif; б) hello_html_m1935192a.gif .

Самостоятельная работа № 1

29. 1. Построить комплексные числа z1 = −2 + 4i; z2 = 3, а также им сопряженные и

противоположные.

2. Комплексные числа z1 = 3i; z2 = hello_html_70c1550e.gif + i представить в показательной форме.

3. Выполнить действия: a) (hello_html_146d570a.gif)3hello_html_m7b99f10.gif ; б) hello_html_2065ed81.gif

4. Решить уравнение х2 7х + 15 = 0.

  1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме: hello_html_m23804114.gif


Самостоятельная работа № 1

30. 1. Составить квадратное уравнение по его корням х1 = hello_html_703067b9.gif и x2 = hello_html_m3baf500c.gif.

2. Выполнить действия: а) (3 – i)(3 + 4i); б) hello_html_m229d7d5e.gif.

3. Дать геометрическую интерпретацию комплексных чисел z1 =− 2 + 5i; z2 = −5 −3i и их суммы.

4. Выполнить действия: a) 3(cos 20° + i sin 20°)∙4(cos 70° + i sin 70°); б) hello_html_21edb2da.gif.

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме: z = hello_html_490ea452.gif


Самостоятельная работа № 1

31. 1. Решить квадратное уравнение х2 − 7х + 13 = 0.

2.Выполнить действия: hello_html_m5b7f4bd7.gif.

3.Построить комплексные числа z1 = 2 + 3i и z2 = −1 + 7i в комплексной плоскости, а также им сопряженные и противоположные.

4.Выполнить действия: а) hello_html_601039bc.gif;б) hello_html_10907faf.gif.

5.Найти действительные числа х и у из уравнения (x − 5y)i + (x – 2y) = −17 – 8i.


Самостоятельная работа № 1

32. 1. Построить комплексные числа z1= −5 + 2i и z2 = 4i , в комплексной плоскости, а также им сопряженные и противоположные.

2. Решить квадратное уравнение 2х2 + 10х + 17 = 0.

3. Перевести в показательную форму:

а) hello_html_m61b2a204.gif ; б) 3hello_html_5530fd9e.gif.

4. Выполнить действия: а) hello_html_4ff0aba5.gifб) hello_html_6a3fc30f.gif .

5. Вычислить hello_html_m2787dfba.gif.



Автор
Дата добавления 28.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров875
Номер материала ДВ-390376
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх