методическая разработка учебного занятия по теме "Основные понятия комбинаторики"

Открытый урок по математике.

Дата: 20.03.2015

Обучающиеся группы Г-21

Преподаватель Плотникова В.И.

Тема программы: Комбинаторика

Тема урока: Основные понятия  комбинаторики.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Материально-техническое оснащение урока: мультимедийный проектор, компьютер, экран

Учебно-методическое оснащение: презентация MS Power Point, 5 комплектов раздаточного материала «Математического лото».

ЦЕЛИ  УРОКА

1.         обучающие:

- формирование основных понятий комбинаторики: размещения из m элементов по n, сочетания из m элементов по n, перестановки из n элементов;

- формирование умений и навыков вычисления значений комбинаторных выражений по формулам,  решения простейших комбинаторных задач;

2.         развивающие:

-развитие умения анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия; контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

3.         воспитательные:

-воспитание интереса к дисциплине, честности, аккуратности, эстетического отношения к оформлению математических решений, воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие,  настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда; прививать чувство патриотизма;

Обучающийся  должен

знать:

определения трех важнейших понятий комбинаторики:

- размещения из n элементов по m;

- сочетания из n элементов по m;

- перестановки из n элементов, а также, формулы вычисления их количества.

уметь:

- отличать задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» друг от друга;

- применять основные комбинаторные формулы при решении простейших комбинаторных задач.

ХОД  УРОКА

1. Организационный момент

2. Мотивация  

  Ребята, каждая группа в течении года дежурит по техникуму и в столовой.

Являются ли бригады дежурных в  группах постоянными? Скажите, а сколько всего существует способов назначить из n студентов группы m дежурных. В математике есть раздел, который занимается решением подобных задач. Этот раздел называется комбинаторикой.

2. Сообщение темы, целей урока

    Тема сегодняшнего урока «Основные понятия комбинаторики». Давайте вместе попробуем сформулировать цели урока

- ознакомиться с основными понятиями комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки)

- научиться решать простейшие комбинаторные задачи

4. Актуализация опорных знаний                                                                                                 

     Прежде чем перейти к изучению нового материала, повторим то, что имеет к нему непосредственное отношение. Это уже известное вам понятие «факториал». Итак, кто помнит, что называют «n-факториалом»? Запишите  формулу.

     Чему, к примеру, равны 2!, 3!, 4!, 5!, 6! ? А кто сможет показать вычисления на доске? А чему равен 1! ? 0! ? Какие значения в данном случае может принимать n?

5. Изложение нового материала

     5.1. Введение общих понятий

     Комбинаторикой  называют область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.

(Комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составляемой по заданным правилам.)

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями.

Различают три вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.

Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся их решением, - комбинаторикой. Рассмотрим три основных вида соединений и формулы вычисления их количества. Для этого сначала рассмотрим 2 задачи, которые помогут нам сосредоточиться на сути новых понятий.

    5.2. Создание проблемной ситуации

Тексты двух задач на слайде:

     Задача 1. В некотором учреждении имеются две различные вакантные должности, на каждую из которых претендуют три сотрудника: A, B, C. Сколькими способами из этих трех кандидатов можно выбрать два лица на эти должности?

     Задача 2. Для участия в соревнованиях требуется выбрать двоих спортсменов из трех кандидатов: A, B, C. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?

     Студентам предлагается два проблемных задания: 1) установить различие между этими двумя внешне схожими задачами и 2) предположить, в какой задаче результат будет больше, и почему. После этого предлагается решить эти задачи методом перебора всевозможных вариантов.

     Решение задачи 1. AB, BA, BC, CB, AC, CA (всего шесть способов).

     Решение задачи 2. AB, BC, AC (всего три способа).

     Преподаватель обращает внимание студентов на то, что эти задачи оказались похожими только внешне, из-за того, что в обеих присутствуют два числа: m=3 – общее количество элементов и n=2 – количество выбранных элементов. Но в первой задаче составляются упорядоченные соединения, тогда как во второй задаче порядок следования элементов в соединении не имеет значения.

А если вместо чисел 3 и 2 будут например числа 8 и 3. Подойдет ли этот метод для решения этих задач? Поэтому существуют комбинаторные выражения (формулы) для этих соединений

     5.3. Лекция «Основные комбинаторные понятия и формулы»

5.3.1.   Размещения

     Определение. Размещениями из  m     элементов по   n    элементов

 ( n   ≤  m   ) называются такие соединения, каждое из которых содержит   n    элементов, взятых из  m   данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

    Число размещений из m элементов по n обозначают (от французского «arrangement» - «размещение») и вычисляют по формуле:

     Пример 1. Решим задачу 1 с помощью этой формулы:

     А теперь решим ту же задачу для случая m=8, n=3:

5.3.2.   Перестановки

     Определение. Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n.

    Число перестановок из n элементов обозначается  и вычисляется по формуле:

Задача. Сколькими способами  можно расположить в столбик три детали конструктора, различающиеся по цвету?

     Ответ:6.

5.3.3.   Сочетания

     Определение.

Сочетаниями из  m    элементов по  n     элементов   (  n  ≤   m  ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n  элементов, взятых из m  данных элементов,  и которые отличаются друг  от друга по крайней мере одним элементом.

    Число сочетаний из n элементов по m обозначают  (от французского «combination» - «сочетание») и вычисляют по формуле:

     Пример 2. Решим задачу 2 с помощью этой формулы:

     А теперь решим ту же задачу для случая m=8, n=3:

   Снова, как и ожидалось, результат в первой задаче оказался больше, чем во второй.

     Мы рассмотрели теоретические основы комбинаторики. Теперь перейдем к этапу закрепления новых знаний при решении задач.

6. Закрепление материала       

     6.1. Игра «Математическое лото»

     Студентам раздаются наборы раздаточных материалов «Математического лото» (по одному на парту). Каждый комплект состоит из 16 математических заданий по основам комбинаторики, картонного листа в виде матрицы размерности 4 на 4 с написанными в ячейках числами-ответами и цветной фотографии, разрезанной на 16 равных прямоугольника. Все части фотографии пронумерованы в соответствии с порядком заданий и перемешаны. Задача студентов – решить 16 заданий, соответствующие частям разрезанной фотографии, и в соответствии с полученными числовыми ответами отыскать их место на картонной матрице, сложив в итоге фото. Задание выполняется как соревнование между малыми группами По 3-4 человека. Определяются три пары, которые не только сложат картинку раньше всех, но и представят в письменном виде все подробные решения.

     Перед началом игры преподаватель мотивирует студентов на активное участие в ней, сообщая, что это упражнение позволит наилучшим образом сформировать навыки комбинаторных вычислений, что значительно упростит выполнение домашнего задания. Кроме того, выполняя это упражнение, можно совместить полезное с приятным, так как результат вызовет эстетические чувства.

      Задания:

    Решения:

Таблица с ответами:

540	720	24	2
6720	60	12	3
35	70	10	1
22	-2	7	14

     В завершении игры объявляются и поощряются победители.

     6.2. Решение комбинаторных задач.

При решении комбинаторных задач важно научиться различать виды соединений.

Чтобы отличать задачи на подсчёт числа размещений от задач на подсчёт числа сочетаний, определим, важен или нет порядок в следующих выборках:

       а) судья хоккейного матча и его помощник;

       б) три ноты в аккорде;

       в) «Шесть человек останутся убирать класс!»

       г) две серии для просмотра из многосерийного фильма.

 Ответ: а)да; б)нет; в)нет; г)да.

Перестановки из         n элементов	Сколькими способами можно с помощью букв A,B,C,D обозначить вершины четырехугольника?	Меняется только порядок расположения выбранных  элементов
Сочетания из  m элементов по  n элементов	У лесника три собаки: Астра, Вега и Граф. На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислите все варианты выбора лесником пары собак.	Меняется только состав входящих в комбинацию  элементов, порядок их расположения не важен
Размещения из  m    элементов по   n элементов	Сколькими способами могут быть распределены I, II и III премии между 15-ю участниками конкурса?	Меняется состав входящих в комбинацию  элементов и важен порядок их расположения

Задача 2. Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц  финального забега на дистанции 100 м?

Ответ: 366.

Задача 3. Из 30 обучающихся группы  надо выбрать старосту и помощника старосты. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 870.

Задача 4. Сколькими способами можно составить букет из трёх цветков, выбирая цветы из девяти имеющихся?

Ответ: 84.

Задача 5. В группе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

      Ответ:21

6.3  Самостоятельная работа

Проверь себя

1.Определите вид соединений:

а) Соединения из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются __________перестановки

б) Соединения из m элементов по  n, отличающихся друг от друга только составом элементов, называются _______________сочетания

в) Соединения из m элементов по  n, отличающихся друг от друга  составом элементом  и порядком  их расположения, называются  _________ размещения

2.Восстановите соответствие типов соединений и формул для их подсчёта

А.                                                                          1)сочетания

В.                                               2)размещения

С.                                               3)перестановки

3. Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать: а)двух дежурных; б)старосту и помощника старосты?     

      Ответ: а)276; б)552.

4. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый Мишка задумали сыграть квартет». Сколькими способами они могут выбрать каждый для себя по одному инструменту из 10 данных различных инструментов?

      Ответ:

Подведение итогов самостоятельной работы

7. Подведение итогов урока    

 Обобщаются новые знания, делаются выводы о достигнутых целях урока. Поощряются активные студенты, выставляются обоснованные преподавателем оценки.

8. Домашнее задание

     Подготовка сообщений по темам: «Истории комбинаторики», «Комбинаторика и ее применение в реальной жизни».

Краткое описание документа:

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

ЦЕЛИ УРОКА

1.обучающие:

- формирование основных понятий комбинаторики: размещения из m элементов по n, сочетания из m элементов по n, перестановки из n элементов;

- формирование умений и навыков вычисления значений комбинаторных выражений по формулам, решения простейших комбинаторных задач;

2.развивающие:

-развитие умения анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия; контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

3.воспитательные:

-воспитание интереса к дисциплине, честности, аккуратности, эстетического отношения к оформлению математических решений, воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда