Методическая разработка "Учимся решать "задачи на касательную""

Предпросмотр материала:

Краснодарский край

муниципальное образование Крымский район

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 11 станицы Нижнебаканской.

Пособие для подготовки учащихся к ЕГЭ.

Учимся решать

« задачи на касательную»

у у = kх + b

у = f(х)

х₀ 0

Учитель Кононова Н.Б.

Задача №1.

Составить уравнение касательной к графику функции

в точке с абсциссой . Написать уравнение одной из прямых, параллельных этой касательной.

Решение.

Общее уравнение касательной имеет вид:

Получим уравнение искомой касательной

В качестве уравнения прямой, параллельной искомой касательной можно взять .

Ответ: ; .

Задача №2.

Найти абсциссы всех общих точек графика функции и касательной, проведённой к графику этой функции в точке с абсциссой .

Решение.

Имеем функцию и точку её графика с абсциссой .

Область определения функции: х

Тогда , .

Уравнение искомой касательной:

, то есть

Чтобы найти абсциссы всех общих точек графика функции и касательной , надо решить уравнение равносильное совокупности двух систем:

Решим первую систему:

получим.

Найдём решение второй системы: отсюда

Ответ: или .

Задача №3.

Написать уравнение касательной к графику функции в точке графика с ординатой 32.

Решение.

Общее уравнение касательной имеет вид: т.к.

то

Найдём значения .

По условию отсюда ,

Найдём

отсюда

Уравнение искомой касательной

Ответ:

Задача №4.

Доказать, что касательные, проведённые к графику функции в точках пересечения его с осями координат, параллельны между собой.

Решение.

, если . Отсюда следует, что A - точка пересечения графика функции с осью абсцисс.

Найдём производную и её значение в этой точке.

Следовательно, угловой коэффициент касательной, проведённой к графику данной функции в точке A равен 0,5.

В - точка пересечения графика функции с осью ординат. В этой точке

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику данной функции в точке В также равен 0,5.

Так как угловые коэффициенты равны, то касательные либо параллельны, либо совпадают.

Покажем, что они различны.

- уравнение касательной в точке A.

Точка В не принадлежит этой прямой (т.к. 2 = 0,5( 0 – 4 ) – неверное).

Значит, касательные, проведённые к графику функции в точках пересечения его с осями координат, параллельны между собой.

Задача №5.

В каких точках графика функции касательная к этому графику образует с положительным направлением оси ОХ угол

Решение.

Найдём

Решим уравнение

или

;

Значит в точках А( 1; 1 +) и В () касательная к графику функции образует с положительным направлением оси ОХ угол

Задача №6.

Найти уравнения всех касательных к графику функции , проходящих через точку А (2; 3).

Решение.

Точка А (2; 3) не принадлежит графику функции ,т.к. её координаты не удовлетворяют данной зависимости. Уравнение касательной будем искать в виде

Найдём абсциссу точки касания х_0.

Тогда –уравнение искомой касательной.

Так как точка А (2; 3) принадлежит касательной, то её координаты должны удовлетворять этому уравнению

Решим полученное уравнение относительно х_0.

или

Если то , тогда

- уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой

Если то , тогда

- уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой

Ответ: или

Задача №7.

Является ли прямая касательной к параболе

Если да, то найти координаты точки касания.

Решение.

Если прямая касательная к параболе в точке с абсциссой то

= 2х + 4

, тогда

Найдём значения функции и её производной в этой точке:

Отсюда , - уравнение касательной к параболе в точке (3;26), оно совпадает с уравнением данной прямой.

Ответ: да, А(3;26).

Задача №8.

Является ли прямая касательной к графику функции ? Ответ обосновать.

Решение:

Если прямая является касательной к графику функции

в точке графика с абсциссой , то ,

т.е. ,

Составим уравнение касательной к графику функции в точке графика с абсциссой и сравним его с уравнением данной прямой.

Получаем - уравнение искомой касательной.

Оно не совпадает с уравнением данной прямой

Значит, прямая не является касательной к графику функции .

Ответ: нет.

Задача №9.

Составить уравнения всех общих касательных к графикам функций

и .

Решение:

Данные функции дифференцируемые на R и потому их графики имеют невертикальную касательную в любой точке.

Если - уравнение искомой касательной, то каждое из уравнений и должно иметь единственный корень ( касательная к параболе имеет только одну общую точку с параболой – точку касания ). Значит, дискриминант каждого уравнения должен быть равен нулю.

Параметры k и b должны удовлетворять системе

Почленно вычитаем из второго уравнения первое

или

Уравнения общих касательных к графикам данных функций:

или

Ответ: или

Задача №10.

Известно, что прямая является касательной к графику функции Найти координаты точки касания.

Решение:

По условию производная функции в точке должна быть равна угловому коэффициенту касательной и значения данных функций в точке должны совпадать.

Имеем систему

1 или

1 удовлетворяет второму уравнению

, – 7 = – 7 - верное.

не удовлетворяет второму уравнению. Точкой касания

Поэтому точкой касания данной прямой и графика функции будет точка А (1; –7).

Ответ: (1; –7).

Задача №11.

Парабола с вершиной на оси абсцисс касается прямой в точке

А (–1;–1). Найти уравнение параболы.

Решение:

Так как вершина параболы находится на оси абсцисс, то уравнение параболы имеет вид , m

Определим m и а.

По условию угловой коэффициент касательной равен 1, значит

Точка А (–1;–1) принадлежит параболе, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению параболы, т.е.

Решаем систему

Поделим первое уравнение на второе почленно

а = 1.

- искомое уравнение параболы.

Ответ:

Краткое описание материала

Пособие для подготовки учащихся к ЕГЭ. Учимся решать « задачи на касательную».

Включает в себя следующие типы задач:

1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке с заданной абсциссой .

2. Найти абсциссы всех общих точек графика функции и касательной, проведённой к графику этой функции в точке с заданной абсциссой .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке графика с заданной ординатой.

4. Доказать, что касательные, проведённые к графику функции в точках пересечения его с осями координат, параллельны между собой.

5. В каких точках графика функции касательная к этому графику образует с положительным направлением оси ОХ заданный угол.

6. Найти уравнения всех касательных к графику функции, проходящих через заданную точку.

7. Является ли прямая касательной к параболе. Если да, то найти координаты точки касания.

8. Составить уравнения всех общих касательных к графикам заданных функций.

Методическая разработка "Учимся решать "задачи на касательную""

Математика

Другие методич. материалы

(1 оценка)

DOCX

09.01.2015

2808

119

Математика

Другие методич. материалы

Файл будет скачан в формате:

DOCX

Краткое описание материала

Пособие для подготовки учащихся к ЕГЭ. Учимся решать « задачи на касательную».

Включает в себя следующие типы задач:

1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке с заданной абсциссой .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке графика с заданной ординатой.

6. Найти уравнения всех касательных к графику функции, проходящих через заданную точку.

7. Является ли прямая касательной к параболе. Если да, то найти координаты точки касания.

8. Составить уравнения всех общих касательных к графикам заданных функций.

Автор материала

Кононова Наталья Борисовна

учитель

На сайте: 10 лет и 8 месяцев
Всего просмотров: 20241
Подписчики: 0
Всего материалов: 8

20241
просмотров
8
материалов
0
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Кононова Наталья Борисовна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.