Инфоурок Алгебра КонспектыМетодическая разработка урока "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия” "

Методическая разработка урока "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия” "

Скачать материал

Тема: “Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия” (алгебра, 10кл.)

Цель:

1.организовать деятельность обучающихся на закрепление, обобщение, углубление материала;

2.развитие процессов мышления;

3.воспитание познавательного интереса к предмету.

Ход урока:

Этапы урока

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Орг. момент

Приветствие.

доклад

Актуализация зннаний

В 9 классе вы изучали арифметическую и геометрическую прогрессии.

Вопросы

1. Определение арифметической прогрессии.

    (Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой,

    начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом).

2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

    (   )

3. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

    (   или   )

4. Определение геометрической прогрессии.

    (Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел,

    каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на

    одно и то же число).

5. Формула n-го члена геометрической прогрессии

    (   )

6. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.

    ()

7. Какие формулы вы еще знаете?

    (, где ;   ;

    ;   , )

Задания

1. Арифметическая прогрессия задана формулой       an = 7 – 4n. Найдите a10.   (-33)

2. В арифметической прогрессии a3 = 7 и a5 = 1. Найдите a4.   (4)

3. В арифметической прогрессии a3 = 7 и a5 = 1. Найдите a17.   (-35)

4. В арифметической прогрессии a3 = 7 и a5 = 1. Найдите S17.   (-187)

5. Для геометрической прогрессии    найдите пятый член.  

6. Для геометрической прогрессии    найдите n-й член.  

7. В геометрической прогрессии   b3 = 8 и b5 = 2. Найдите b4.   (4)

8. В геометрической прогрессии   b3 = 8 и b5 = 2. Найдите b1 и q.  

9. В геометрической прогрессии   b3 = 8 и b5 = 2. Найдите S5.   (62)

 

Отвечают, решают.

 

Открытие новых знаний

Изучение новой темы (демонстрация презентации).

tab1

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов img3образующих геометрическую прогрессию со знаменателем img4.

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

img5

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.

tab6

Например, последовательность площадей квадратов:

s3img6.   И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.

 

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.

img7 при .

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

img8

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Фронтальная работа.

 

Определение:

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.             .

С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Задача

Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:

;    .

Решение:

. Найдем q.

;   ;   ;   .

данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б)  img12данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

tab1

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:         img13

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.       img14

Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых.img15

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна img16.

Если n неограниченно возрастает, то img17

или . Поэтому , т.е. .

 

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности S1, S2, S3, …, Sn, … .

Например, для прогрессии    ,

имеем  

   Так как  

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле .

Отвечают, анализируют.

Закрепление материала

№14

 

 

 

 

 

№15(1,3)

 

 

 

 

 

 

№19(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Читают, рассуждаем

Итог урока

 

С какой последовательностью сегодня познакомились?

Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?

Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Методическая разработка урока "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия” ""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Противопожарный инженер

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 715 319 материалов в базе

Материал подходит для УМК

  • «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

    «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

    Тема

    § 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

    Больше материалов по этой теме
Скачать материал

Другие материалы

Методическая разработка урока "Приближенное значение величины, точность приближения"
  • Учебник: «Алгебра (в 2 частях)», Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
  • Тема: § 1. Линейные и квадратные неравенства
  • 22.05.2024
  • 77
  • 0
«Алгебра (в 2 частях)», Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Методическая разработка урока "Сравнение действительных чисел, арифметические действия с действительными числами"
  • Учебник: «Алгебра (в 2 частях)», Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
  • Тема: Предисловие для учителя
  • 22.05.2024
  • 80
  • 0
«Алгебра (в 2 частях)», Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
"Признаки возрастания и убывания функции. Применение производной к исследованию функции на монотонность и экстремумы"
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
  • Тема: 1.5. Исследование функций и построение их графиков элементарными методами
  • 22.05.2024
  • 44
  • 0
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 22.05.2024 105
    • DOCX 137.1 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Журавлева Нина Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Журавлева Нина Алексеевна
    Журавлева Нина Алексеевна
    • На сайте: 7 лет и 9 месяцев
    • Подписчики: 10
    • Всего просмотров: 240095
    • Всего материалов: 94

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Мини-курс

Договорные отношения в сфере шоу-бизнеса

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Финансы и управление в медиакоммуникациях

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Figma: продвинутый дизайн

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 66 человек из 25 регионов
  • Этот курс уже прошли 14 человек