Методическая разработка урока геометрии по теме «Скалярное произведение векторов. Метод координат: вычисление углов между прямыми.

Методическая разработка урока геометрии по теме «Скалярное произведение векторов. Метод координат: вычисление углов между прямыми.

                                                             Ход урока

Учитель

Здравствуйте,  ребята!

Проверим готовность к уроку: на партах  тетради, учебники, дневники, письменные принадлежности. Познакомимся с темой и планом урока.

Пожалуйста, первое задание: повторите теоретический материал, отвечая на поставленные вопросы.

Учитель

Наш урок пройдёт в форме «Биржи интеллектуального труда», где вы будете иметь возможность определить свою стартовую квалификацию, заработать  баллы  и  пройти курсы повышения  на специалистов фирмы по конструированию здания вашей будущей профессии.

1 этап: определение стартовой квалификации.

Перед   Вами  3 дифференцированных  задания  на выбор. Выберете свой уровень, решение запишите  на листе  (карточки каждому)

Обязательный минимальный уровень	Средний уровень А	Средний уровень Б
Вычислить   · , если а)=5, =3,      ^ =45° б) ,=5 + 2	При каком значении n векторы будут перпендикулярны: а) , б)Найти угол между векторами   и	Даны точки А(1,2,0),В(3,2,-1),С(0,3,-1). Вычислить  ^

Учитель в это время проверяет тетради 5-7 учеников  с домашней работой ( №№ 443, 444),

которые  становятся  консультантами при проверке домашнего задания у всего класса.

Учитель

Для обработки Ваших личных данных создана экспертная мобильная группа.

Представляю участников:

учитель + 2 учеников, получивших «5» за выполнение домашнего задания.

Пока  идет обработка Ваших личных данных,  консультанты  проверят домашнюю работу о результатах  сообщат в конце урока.

Учитель

2 этап

Теперь вы будете проходить дополнительные курсы по повышению квалификации первого уровня.

Вот  первая работа: задания выполняются устно, можно набирать дополнительные баллы по ходу решения задачи.

Параллелепипед с измерениями АВ = 1см, АС = 1 см, АА₁ =  1см  ( куб) совмещен с прямоугольной системой координат так, что точка А находится в начале координат, точка В лежит на оси х, точка С на оси у, точка А₁ на оси z. Рассмотрим чертеж: 

Ответьте на вопросы:

1 Определите координаты вершин прямоугольного параллелепипеда(1 балл)

2 Найдите координаты векторов АС₁ и АВ1  и  их длины(1 балл)

3 Найдите угол между этими векторами(1 балл)

4* для тех, кто справляется быстрее:

Найдите  cos угла между векторами  и  , где О- точка пересечения  диагоналей нижней грани, а М – середина стороны С1Д1 ( 3 балла)

Проверка  осуществляется  всеми участниками образовательного процесса.

Кто-либо дает ответ на поставленные вопросы задачи.

    ,

  ,    

1 ·  = 0+0+1=1=  cos α ,  значит α=60º.

Проверка дополнительного 4* задания( выполняет учитель):

О(, ,0), М(, 1,1),  ,,·, = ,=  ,

Cos(^)= -

Учитель

Следующая работа: дополнительные курсы по повышению квалификации

второго уровня; задания и решения к ним записывайте каждый в свою тетрадь.  

Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , в котором АВ=1, ВС=СС1=2. Вычислите угол между векторами  и  ( № 456).

Можем ли мы применить  алгоритм  решения предыдущей задачи ?В чем он выражается?

1 Определить координаты вершин прямоугольного параллелепипеда.

2 Найти координаты векторов  и  их длины.

3 Найти  угол между этими векторами.

Каждый правильный ответ  по алгоритму оценивается 1 баллом.

Дополнительное задание для тех , кто решает быстрее:

Задание по карточке:

2*.В тетраэдре АВСД  <АВД = < АВС = < ДВС = 90°, АВ = 3 см, ВД = 2 см, ВС = 1 см.      а)Определите координаты вершин тетраэдра.

б)Найдите угол между векторами  и  (5 баллов)

Учитель

Тот способ, который мы применили  при  решении этих задач называется

 «Методом координат». Сформулируйте его.

Геометрические задачи можно решить более простым способом, чем принято решать обычно на уроках геометрии. Он позволяет свести сложные геометрические конфигурации к простым  алгебраическим.

Учитель

Историческая справка. Заранее  подготовлена  учениками.

Учитель

Следующая работа: дополнительные курсы по повышению квалификации

третьего  уровня; сравним различные методы решения для одной задачи № 467(а)

Учитель

Какая  локальная проблема  встает перед нами после анализа текста задачи?

Необходимо вычислить угол между прямыми.

Учитель

 Как можно назвать примененные методы:

1)Метод координат

2)Поэтапно – вычислительный метод        

Учитель

Следующее задание: работая в парах ,обсудите, выберете один  метод  каждый  и   предложите два  способа решения  задачи  № 467(б): методом  координат и  поэтапно – вычислительным методом.       

Задания и решения к ним записывайте каждый в свою тетрадь.

В  прямоугольном параллелепипеде  АВСДА1В1С1Д1 ,  АВ=ВС=1/2АА1. Вычислите угол между прямыми:  б) АС и АС1.

Ученики   работают  в парах.

Решение методом  координат

Решение поэтапно – вычислительным методом.

 Учитель

Молодцы!!

Обратимся еще раз к плану нашего урока: каким образом раскрыты пункты.

проверили уровень усвоения темы «простейшие задачи в координатах , скалярное произведение векторов,

применили метод координат при решении задач на многогранники,

сформировали представление о возможности выбора способов решений для различных типов задач.

Прослушайте и запомните несколько полезных советов при решении задач по стереометрии.

Применение векторов и координат для решения задач

Одним из универсальных приемов решения геометрических задач является метод координат. Кроме этого, часто (особенно при доказательстве различных неравенств) используется  векторный. Несколько общих указаний, которые помогут сориентироваться и решить, можно ли в данной задаче использовать  векторы и координаты:

Во-первых, естественно, нужно применять координатный или векторный метод, если в условиях задачи говорится о векторах или координатах;

Во-вторых, координатный метод может помочь, если в задаче требуется определить геометрическое место точек (т.е. спрашивается, какую фигуру образуют точки, удовлетворяющие некоторому условию);

В-третьих, очень полезно применить координатный метод, если из условия задачи не понятно, как расположены те или иные точки;

В-третьих, полезно и удобно применять координаты и векторы для вычисления углов и расстояний;

В-четвертых, вообще, часто, когда не видно ни каких подходов к решению задачи, или вы не можете составить уравнения, попробуйте применить координатный метод. Он не обязательно даст решение, но поможет разобраться с условиями и даст толчок к поиску другого решения.

Подведем итоги  квалификационного испытания.

Учитель

Домашнее задание :

1)По учебнику №№  463, 465 читать , №№ 468 , 469 письменно.

2)Стоит обратить внимание на, что данные задания предлагаются на итоговой аттестации по математике в формате ЕГЭ в разделе задач С2.

Обратимся к нашему проекту « Подготовка к сдаче ЕГЭ по математике».

Решите и занесите в свое портфолио  следующее задание: решить тремя методами.

1.поэтапно-вычислительным  2.координатным  3.векторным.

Краткое описание документа:

Урок геометрии в 11 классе по теме « Скалярное произведение векторов. Метод координат: вычисление углов между прямыми.» 3-ий в системе уроков по теме «Скалярное произведение векторов», реально отражающий учебный план и оптимально соответствующий программе , учебник – Атанасяна Л.С.. Это комбинированный урок, где помимо изучения нового материала предусмотрен материал и для закрепления ранее изученного.Он ориентирован не только на закрепление ведущих умений из раздела «Скалярное произведение векторов» , но и на формирование новых представлений через систему задач о применении метода координат при решении задач на многогранники.

Изученный материал закрепляется на основе задач устного и письменного характера, предложены задания из КИМов по математике прошлых лет. Урок проведен в форме деловой игры. На уроке используются различные методы: актуализация знаний, самостоятельная работа, выполнение заданий при работе с презентацией, групповая работа, Урок динамичен, использование различных форм и методов , использование проблемных ситуаций позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся на протяжении всего урока.