Методическая разработка урока на тему "Неполные квадратные уравнения"

Неполные квадратные уравнения   и их решение

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида

 ах² + bx + c =0, где х – переменная, а  a,b и с – некоторые числа, причем а≠0.

          Числа а,b и  с  называются коэффициентами квадратного уравнения.  Число а называют первым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом, а число с – свободным членом.

         Наиболее простыми для решения являются квадратные уравнения, в которых коэффициенты b  или с  равны нулю. Такие уравнения называют неполными квадратными уравнениями. К их числу относятся, например, уравнения: 5х² + 3х = 0;  -4х² + 12 = 0;  2х² = 0. В первом из них с = 0 и  b≠ 0,

во втором b = 0и с ≠ 0, в третьем с = 0 и b = 0.  Эти уравнения представляют различные виды неполных квадратных уравнений, отличающихся способом решения. Рассмотрим по порядку решения всех этих видов уравнений.

Значение коэффициентов	Вид уравнения и его решение	Количество корней
Если b = 0	Уравнение  примет вид:  а х² + с = 0 Решение. А) если  коэффициенты а и с – числа одного знака, то выражение – отрицательное и уравнение не имеет решений; Б) если  коэффициенты а и с – числа разных  знаков, то выражение – положительное и уравнение  имеет два решения	1.Если, то уравнение имеет два корня, равных по модулю, но разных по знаку. 2. Если, то уравнение  не имеет корней .
Если c = 0	Уравнение  примет вид: ax² + bx = 0 Решение: разложим левую часть уравнения на множители x(ax + b) = 0 получим  х=0  или  ах +b = 0                                   ах = - b                                   x =  -	Уравнение имеет два корня, один из которых равен 0, а другой                                    x =  -
Если b=0 и с =0	Уравнение  примет вид: ах² = 0, откуда х² =0, х=0	Уравнение имеет только один корень, равный 0

Задание 1. Расположите данные уравнения и таблицу, в зависимости от количества корней уравнения:

1)5х² + 6х = 0;   2) -  х² = 0;  3) -0,3х² + 9 = 0;   4) -0,1х² + 5х = 0;

5) 0,6х² + 12 =0;   6) -4х² = 0;   7) -0,3х² - 6  =0;      8);   х² - = 0; 

9) х² + 6х = 0 ;      10) 7х² - 49 = 0;   11) 2х² = 0;  12)

Уравнение имеет один корень	Уравнение не имеет корней	Уравнение имеет два корня, равные по модулю, но разные по знаку	Уравнение имеет два корня, один из которых равен 0.

Пример 1 . Решить уравнение

Решение.

Ответ: -3;3

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

Ответ: 0;9

Пример 3. Решить уравнение

Решение.

Ответ: 0

Пример 4. Решить уравнение

 

Задание2.

А) Решите уравнение 5х² - 10 = 0. Если корней несколько, найдите их произведение.

Б) Укажите уравнение, которое не имеет корней.

1)    2,7х²-1,5х=0

2)    2,7х²+1,5х=0

3)    2,7х²-1,5=0

4)    2,7х²+1,5=0

В) найдите корни уравнения (х+1)² - 1+2х=0

Г) Какие из уравнений имеют иррациональные корни:

1)     9х² - 4 = 0

2)    3х² + 4 = 0

3)    х² + 2 х = 0

4)    х² - 8 = 0

Пример 5. При каком значении  параметра m уравнение  является неполным квадратным: а)  б)

Решение.

а) Запишем уравнение в виде . Выпишем коэффициенты данного квадратного уравнения : а = -1, b = 5m² - 20,  c =1. Коэффициент с не может быть равными нулю, следовательно, уравнение будет неполным квадратным при условии b=0,т.е. если  5m² - 20=0. Откуда m = ±4.

Ответ: m = -4, m = 4.

б) Выпишем коэффициенты данного квадратного уравнения: а =, b = -3,

 c = m²+m. Если коэффициент а=0, то квадратное уравнение обращается   в линейное, следовательно коэффициент а ≠0, т. е. m+1≠0, следовательно

m ≠ -1. Данное уравнение будет неполным квадратным  при условии с=0, т.е.

m²+m=0

m(m+1)=0,

откуда m=0 или  m= -1. Но выше мы выяснили, что m ≠ -1. Значит нашему условию удовлетворяет только m=0/

Ответ: m = 0.

  Рассмотрим примеры, в которых нужно определить, при каких значениях параметра квадратные уравнения имеют корни :

1)    равные  по модулю, но различные по знаку,

2)    только один из корней, равный нулю,

3)     только один корень, равный нулю.

Случай 1) выполняется при условии, что в квадратном уравнении  коэффициент b=0

Следует различать задания 2) и 3).  В задании 2) уравнение имеет два корня, при этом только один из них равен 0, а в задании 3) уравнение имеет только один корень;  при этом он равен 0. Или еще говорят , что уравнение имеет два равных корня, каждый из которых равен нулю.

Пример 6.   При каких значениях m  ровно один  из корней уравнения

2х² - mx + 2m² - 3m = 0 равен нулю  ?

Решение. Следует различать условия, при которых  уравнение имеет только один корень, равный нулю ( если b=0 и с = 0) и условия, при которых  уравнение имеет один из корней равен нулю ( с=0). В данном уравнении мы будем рассматривать второй случай, т.е. когда с = 0. В данном уравнении

 а =2, b = -m, c = 2m²-3m.  Итак, запишем условие  2m² - 3m = 0,    m(2m-3) = 0,    m = 0 или m =1,5.

Если m = 0, то получим уравнение 2х²=0. А это уравнение имеет  только один корень, равный нулю, что не соответствует нашему условию.

Если m =1,5, то получим уравнение 2х² -1,5х+ 21,5² - 31,5 = 0, т.е

2х² - 1,5х=0. Корни этого уравнения х=0, х=0,75. С ледовательно нашему условию удовлетворяет только m =1,5.

Ответ: при m =1,5.

Пример 7. При каких m уравнение 4x²+(5|m|-1)x + 3m² + m =0 имеет корни, равные по модулю, но разные по знаку?

Решение. Выпишем коэффициенты данного уравнения: а = 4, b = 3|m|-1,

c = 6m² + m. Уравнение имеет корни, равные по модулю, но разные по знаку при условии, что коэффициент b = 0, т.е. 3|m|-1=0;  5|m| = 1;  |m| = ; m =  или m = - .

1) Если m = - , то получим уравнение 4x²  -  = 0. Это уравнение имеет два корня  х= х=.

2) Если m = , то получим уравнение 4x²  +  = 0, которое не имеет корней, т.к. коэффициенты а и с – числа одного знака.

Ответ: при m = - .

Пример 8. При каких значениях m уравнение 8x²-(3m²+4m)x+9m² - 16 = 0 имеет только один корень, равный нулю?

Решение. Выпишем коэффициенты данного уравнения: а = 8, b = 3m²+4m,

 c = 9m² -16. Уравнение имеет только один корень, равный нулю  при условии, что коэффициенты  с = 0 и  b = 0 одновременно. С=0, если

9m² -16 = 0 ,т.е. если m = ± .

Если m =  , то  коэффициент  b = 3m²+4m ≠ 0, а значит получим уравнение , не удовлетворяющее нашему условию.

Если m = - , то  коэффициент  b = 3m²+4m = 0, и данное уравнение примет вид 8х² = 0, которое имеет только один корень, равный нулю.

Ответ: при m = -

Тренировочные задания

Задание. 1. При каких значениях m  ровно один  из корней уравнения

х² +(m+3)x + |m| - 3 = 0 равен нулю  ?

Решение .  Уравнение имеет один из корней равен нулю, если ____________________, т.е. если m = 3, m =_____.

1)Если m = 3, то уравнение примет вид_______________. А это уравнение имеет  ______________________________     , что не соответствует нашему условию.

2)Если m =  ____ , то получим уравнение____________________,

Корни этого уравнения_______________________. Следовательно нашему условию удовлетворяет только  m  = _______.

2.  При каких m уравнение 3x²+(m²-4m)x +  m -1 = 0 имеет корни, равные по модулю, но разные по знаку?

Выпишем коэффициенты данного уравнения: ___________________________________________.

Уравнение имеет корни, равные по модулю, но разные по знаку при условии, ______________, т.е.____________________________________________; 

1) Если m = _______, то получим уравнение_________________. Это уравнение имеет _______________________________________________

2) Если m = , то получим уравнение 3x²  +1  = 0, которое ___________________, т.к. коэффициенты а и с – числа_________________.

Следовательно нашему условию удовлетворяет только  m  = _______.

3. При каких значениях m уравнение 3x²- (m-1)x+1- m² = 0 имеет только один корень, равный нулю?

Выпишем коэффициенты данного уравнения: ___________________________. Уравнение имеет только один корень, равный нулю  при условии, что коэффициенты  _________________________________________________.      С=0, если __________________________________________________________

1)Если m = 1 , то  коэффициент  b =________, и данное уравнение примет вид_____________, которое имеет только один корень, равный нулю

2)Если m = _____ , то  коэффициент  b _____________, а значит получим уравнение _______________________, которое имеет _________________.

Ответ: при m = _______.

Задание.

1.     При каких значениях m  ровно один  из корней уравнения

равен нулю  ?

2.       При каких m уравнение +имеет корни, равные по модулю, но разные по знаку?

При каких значениях m уравнение 5x²- (m-6)x+36- m² = 0 имеет только один корень, равный нулю?