Методическая разработка урока "Ортогональное проектирование"

Ортогональное проектирование.

Цели урока:

Образовательные: формировать навыки построения чертежей методом ортогонального проектирования; формировать понимание учащимися практической значимости понятия проектирования в различных сферах деятельности человека.

Развивающие: содействовать развитию пространственного мышления учащихся; развивать умения анализировать, выделять главное, сравнивать; побуждать учащихся к само- и взаимоконтролю, вызывать у них потребность к обоснованию своих высказываний.

Воспитательные: формировать и развивать нравственные качества учащихся: честность, дисциплинированность, чувство собственного достоинства; способствовать формированию умения преодолевать трудности, целеустремленности.

Тип урока: комбинированный урок.

Методы: объяснительно-иллюстративный

Ход урока:

I. Организационный момент, мотивационная беседа.

   1. Проверка готовности учащихся к уроку.

   2. Мотивационная беседа

Преподаватель: С чего мы начинаем решение геометрической задачи?

(С построения чертежа.)

Преподаватель: Правильный чертеж – залог успешного решения задачи. Как же правильно

построить чертеж трехмерной фигуры? Этот вопрос ставят перед собой  художники, архитекторы и т.д.  Но если художник может изобразить объекты так, как он представляет их в своем воображении, то геометр, как представитель точной науки, должен пользоваться определенными правилами.

На экране демонстрируются различные изображения сказочного колобка (слайд 2).

Преподаватель: Сформулируем проблему урока.

(Как изображать трехмерные фигуры на плоскости?)

Преподаватель: Цель урока – изучить правила изображения трехмерных фигур на плоскости, принятые в геометрии.

II. Актуализация ранее изученного материала.

 1.С изображением объектов на плоскости мы знакомились при изучении темы

 «Параллельное проектирование», давали определение и изучали свойства этого понятия. Дома вы должны были повторить эту тему. Но прежде, чем проверить это домашнее задание, мы выслушаем доклад – презентацию «Центральное  проектирование», который приготовил ваш одноклассник.

 (Слайды 3-13)   Ученик дает определения, перечисляет свойства центрального проектирования, демонстрирует картины, на которых отражена перспектива: «Тайная вечеря» Леонардо да Винчи, «Построение перспективы лютни» гравюра А. Дюрера и т.д.

Что же такое перспектива в геометрии? Проведем из некоторой точки О пространства (из центра проекции) прямые через все точки данной в пространстве фигуры F. Фигура, образованная точками пересечения этих прямых с выбранной плоскостью π, представляет собой перспективное изображение фигуры F, или, другими словами, её центральную проекцию из точки О на плоскость π.

2. Фронтальный опрос(слайды 14-15)

1.Что нужно задать, чтобы построить фигуру на плоскости методом параллельного проектирования?

2.Что называется проекцией точки на плоскость при параллельном проектировании?

3Что называется проекцией фигуры на плоскости?

4.Перечислите свойства параллельного проектирования.

III. Изложение нового материала.

Изучим самый простой, но наиболее важный из способов проектирования в пространстве – ортогональное проектирование. Кто знает перевод слова «ортогональный»?

(«Ортогональный» в переводе значит «прямоугольный».)

Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования. (слайд 15) Как вы думаете, какой особенностью обладают проектирующие прямые в ортогональном проектировании?   (Они перпендикулярны плоскости проекций.)

Молодцы! Поэтому задавать направление проектирования не нужно. Используя чертеж 1 (слайд 17), дайте определение проекции точки  на плоскость  (), проекции точки  на плоскость  ().

     

 (Слайд 18) Используя чертеж 2, сформулируйте определение ортогональной проекции  фигуры  на плоскость .    (слайд 19).

Ортогональное проектирование обладает всеми свойствами параллельного проектирования (слайды 20-21).

Свойство 1. Если прямая перпендикулярна плоскости проектирования, то ее ортогональной проекцией является точка. Если прямая не перпендикулярна плоскости проектирования, то ее ортогональной проекцией является прямая.

Свойство 2. Ортогональное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. В частности, при ортогональном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.

Свойство 3. Если две параллельные прямые не перпендикулярны плоскости проектирования, то их ортогональными проекциями являются две параллельные прямые или одна прямая.

Заметим, что ортогональное проектирование, также как и параллельное проектирование, не сохраняет длины отрезков и величины углов.

Свойство 4. Длина отрезка равна длине его проекции, делённой на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций.

Теорема о проецировании прямого угла:  Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

IV. Закрепление изученного материала.

Решение задач. (Слайды 22-40)

1) Какая фигура является ортогональной проекцией куба на плоскость, параллельную плоскости его грани?    Квадрат.

2) Изобразите ортогональную проекцию куба на плоскость, перпендикулярную диагонали его грани.

3) Единичный куб ортогонально проектируется на плоскость, перпендикулярную диагонали его грани. Найдите стороны прямоугольника, являющегося ортогональной проекцией этого куба.  1 и

4) Изобразите ортогональную проекцию куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали.                             Правильный шестиугольник.

5) Единичный куб ортогонально проектируется на плоскость, проходящую через центр куба и перпендикулярную его диагонали. Найдите сторону правильного шестиугольника, являющегося ортогональной проекцией этого куба.  

6) На рисунке изображена параллельная проекция куба. Является ли она ортогональной проекцией куба?   Нет. Из того, что ортогональной проекцией грани куба является квадрат следует, что плоскость проектирования параллельна плоскости этой грани. В этом случае ортогональной проекцией куба должен быть квадрат.

7) На рисунке показано ортогональная проекция правильной четырехугольной пирамиды. Изобразите ортогональную проекцию правильной четырехугольной пирамиды на плоскость, параллельную плоскости ее основания.                     Квадрат с проведенными диагоналями.

8) Изобразите ортогональную проекцию правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1, на плоскость, перпендикулярную ее боковому ребру.

Ромб с проведенной диагональю.

9) Правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 1, ортогонально проектируется на плоскость, перпендикулярную боковому ребру. Найдите стороны и диагонали ромба, являющегося ортогональной проекцией этой пирамиды.

Стороны   ,  диагонали 1 и

10) На рисунке изображена параллельная проекция правильной четырехугольной пирамиды. Является ли она ортогональной проекцией?      Нет.

11) На рисунке показана ортогональная проекция правильной шестиугольной призмы. Какой фигурой является ортогональная проекция правильной шестиугольной призмы на плоскость, параллельную плоскости ее основания?       Правильный шестиугольник.

12) Изобразите ортогональную проекцию правильной шестиугольной призмы на плоскость, параллельную плоскости ее боковой грани.

13) Правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1, ортогонально проектируется на плоскость, параллельную плоскости ее боковой грани. Найдите стороны прямоугольника, являющегося ортогональной проекцией этой призмы.         1 и 2.

14) На рисунке изображена параллельная проекция правильной шестиугольной призмы. Является ли она ортогональной проекцией?           Нет.

15) Чем является проекция окружности на плоскость при ортогональном проектировании?         Проекцией окружности на плоскость при ортогональном проектировании может быть окружность, эллипс, отрезок.

V. Контроль и самопроверка.(слайды 41- 42)

Учащимся предлагается тест на два варианта с последующей взаимопроверкой.

Каждое задание сформулировано как утверждение и предполагает выбор одного ответа из трех возможных. Вид ответа таков: «Да» (+), «Нет» (-), «Не знаю» (0).

Вариант I.

При параллельном проектировании на данную плоскость:

1)два неравных отрезка могут иметь равные проекции;

 2)проекцией прямой может быть отрезок;

3)найдутся такие скрещивающиеся прямые, которые проектируются в параллельные прямые;

4)проекцией окружности может быть отрезок;

5)проекцией окружности может быть неравная ей окружность.

Вариант II.

В результате ортогонального проектирования:

1)проекцией квадрата может быть квадрат;

2)проекцией квадрата может быть прямоугольник с неравными сторонами;

3)проекцией куба может быть квадрат;

4)проекцией тетраэдра может быть треугольник;

5)проекцией шара может быть не круг.

После выполнения работы соседи по парте меняются вариантами. Спорные вопросы обсуждаются в парах. После взаимопроверки преподаватель объявляет правильные ответы и отвечает на возникшие вопросы.

На экране демонстрируется текст теста и ответы с иллюстрациями.

VI. Подведение итогов и информация о домашнем задании (слайд 43).

Подведем итоги нашего урока. Сегодня на уроке мы с вами повторили материал

по теме «Параллельное проектирование», изучили его частный случай  «Ортогональное проектирование», рассмотрели свойства ортогонального проектирования, которые позволят нам правильно построить геометрические чертежи.

Домашнее задание  прочитать конспект и выучить основные положения.