Методическая разработка урока по математике "Иррациональные уравнения и неравенства" СПО

Пояснительная записка

Зарождение математики произошло от потребностей человека решать проблемы быта и существования, постепенно математика стала развиваться как самостоятельная наука. 

Решение уравнений и неравенств имеет особое место и в 21 веке. 
Уравнения и неравенства  могли решать еще в глубокой древности, чтобы решить уравнение учёным приходилось делать большие вычисления. Неравенствами  занимались такие известные математики как Эйлер, Виет, Ньютон, Гаусс. 
      В повседневной жизни, экономике, сельском хозяйстве, металлургии и т.д. нам приходится решать задачи с помощью уравнений и неравенств. 
Уравнения и неравенства  расширяют умственный кругозор, повышают интерес к математике, углубляется понимание изучаемого, повышают   культура и осознание роли математики в современном обществе. 
     В структуре изучаемой дисциплины «Алгебра и начала математического анализа; геометрия» выделяется следующий  раздел: «Уравнения и неравенства». Содержание раздела «Уравнения и неравенства» включает тему урока «Иррациональные уравнения и неравенства » .

В результате изучения данной темы студент должен

Знать:

-определение уравнения, неравенства, свойства корня n-степени;

-виды уравнений и неравенств;

-методы и приемы решения  иррациональных уравнений и неравенств;

Уметь:

-определять основные методы при решении иррациональных уравнений и неравенств;

-применять приемы решения иррациональных уравнений и неравенств ;

Тема урока : Иррациональные уравнения и неравенства

·         Образовательная цель:

o    повторить понятия корня n-степеней, уравнения, неравенства, иррационального уравнения и неравенства;

o    систематизировать знания и умения по методам и приемам решения иррациональных уравнений и неравенств;

o    применить теоретический материал для решения задач.

·         Воспитательная цель:

o    воспитывать чувство ответственности за выполненную работу;

o    воспитывать культуру речи, аккуратность, внимание.

·         Развивающая цель:

o    развивать мыслительную деятельность учащихся;

o    прививать интерес к предмету;

o    развивать любознательность.

Тип урока: урок повторения и обобщения материала

Вид урока:  комбинированный урок

Методические приемы:

-ответы на вопросы;

-самостоятельная работа ;

-практический- решение математических задач.

Оборудование и наглядные средства обучения: компьютерный класс с ОС Windows 8 и пакетом программ Microsoft Office 2010 (10 ПК), мультимедийный проектор, интерактивная доска SmartBoard, программа Notebook, колонки, демонстрационный и раздаточный материал, презентация  в Power Point.

Методическая цель: способы активизации мыслительной деятельности студентов

Ход урока:

I.Организационный момент: Подготовка учащихся к уроку                          

(проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей)

II.Актуализация опорных знаний (устно)

1.Какое уравнения называется иррациональным?

Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень.

2.Какое неравенство называется иррациональным?

Всякое неравенство, в состав которого входит функция, стоящая под корнем, называется иррациональным. Существует два типа таких неравенств:

3.Свойство корня n-степени при решении иррациональных уравнений и неравенств.

Корнем n–ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а), т.е. =b, где , b-всякое.

4.Подберите графическую интерпретацию решения неравенства: < 0.

x(x+2)<0;х<0; (x+2)<0;х<-2

Ответ:г

5.Для каждого неравенства подберите рисунок, соответствующий его решению на координатной прямой:

Неравенства	Ответы
1) (х–2)(х+3)(х–4) > 0	1) (–; –3) u (2; 4)
2) (x–2)(x+3)(4–x) ? 0	2) (–; –3 ]u [ 2; 4]
3) (x–2)(x+3)(x–4) < 0	3) (–3; 2) u (4; +)
4) (x–2)(x+3)(4–x) ? 0	4) [–3; 2] u [ 4; +)

6.Укажите, для каких значений переменных равенство верно:

; верно (свойство корня n-степени)

верно (свойство корня n-степени

= -х, не верно степень четная

 , не верно степень четная

  верно (свойство корня n-степени)

III. Сообщение темы и целей урока.

Мотивация учебной деятельности

В условиях экзамена наиболее высокие результаты показывают учащиеся, которые за отведённое время решают большее число задач. Многие задачи могут быть решены несколькими способами. Поэтому очень важно уметь для каждой задачи выбирать наиболее рациональный способ решения. Научиться этому можно только путём решения таких задач и последующего анализа проведённого решения.

Закрепление знаний, умений и навыков с последующей проверкой (практикум, парная работа):

Выполнить три решения одного уравнения 

1 решение: возведение обеих частей в квадрат;

2 решение: введением переменных;

3 решение: воспользоваться свойством монотонности функций.

Решение 1. Возведем обе части уравнения в квадрат и преобразуем полученное уравнение:

Вновь возведем обе части уравнения в квадрат:

Ответ: .

Решение 2. Пусть , .

Получим систему:

Следовательно, , откуда  и .

Проверка показывает, что - корень исходного уравнения.

Решение 3. Пусть .

Заметим, что - возрастающая функция на своей области определения.

Из курса алгебры и начал анализа известно, что возрастающая функция принимает каждое из своих значений только при одном значении аргумента, а следовательно, имеет не более одного корня:

Следовательно, - единственный корень исходного уравнения.

 

 

Выполнить два решения одного неравенства

 3х-4.

1 решение: с переходом к равносильной системе.

2 решение: методом интервалов.

Решить неравенство   

Решение 1. Исходное неравенство равносильно системе:

Условие  можно не учитывать, поскольку оно выполнено для всех .

Первое неравенство системы выполнено, если  .

Далее рассмотрим два случая:

;      - противоречие.

Ответ: .

Решение 2. Решим данное неравенство методом интервалов.

Рассмотрим функцию .

1)                 , поскольку  для любого ;

2)                 функция - непрерывна на R;

3)                 найдем корни уравнения .

Данное уравнение равносильно системе:

Получаем единственный корень . Таким образом,  сохраняет знак на промежутках  и .

Определим знак  на каждом из указанных промежутков:

1)  на , так как ;

2)  на , так как .

Ответ:

IV.Закрепление пройденного материала

1вариант

Метод приведения уравнения к простейшему виду путем возведения обеих частей уравнения в такую степень, чтобы освободиться от корня (радикала).

                                     проверка:

                               

                                                 11-8=3,

,                                                        11-корень

                               

                                           6-8=-2,   6-не корень.

Ответ: 11.

2 вариант

1)                                     проверка:                             

                       -3= -3.                                     

                                         2=2.

                                                      

Ответ: -2, 3.

3 вариант

   

   пусть   тогда

                            или    

Ответ: 3, 4.

4        вариант

Метод уединения корня.

  

Решение.

Ответ:  0.

5        Вариант

Метод введения новой переменной (метод подстановки).

пусть    , тогда                                                                                                                      

Ответ:

6        вариант

Пусть   

              

              тогда 

Ответ: .

7        Вариант

пусть    тогда 

Ответ:  3.

8        Вариант

пусть 

            тогда 

Ответ: -4,5; 2.

9 вариант

Метод умножения обеих частей на сопряженное выражение.

,  (1).

  (2)

Сложим  (1) и (2) и получим

Ответ:  -4,5;  2.

10 Вариант

ОДЗ. 

Умножим обе части на выражение  , тогда

   или   

                      

Проверка:

     - неверное равенство, 

0-      посторонний корень.

    - верное равенство.

Ответ: -1.

11    вариант

Метод разложения на множители.

1.         

Ответ:  1, 3.

12    Вариант

Ответ:   5.

V. Итоги урока: После выполнения решения и ответы сдаются учителю. Сообщаются верные ответы. Проводится коррекция знаний. выставление оценок

VI.Домашняя работа

 

Интернет-ресурсы:

www.ziimag.narod.ru - персональный сайт автора Мордковича А. Г. "Практика развивающего обучения".

www.math.ru -Интернет - поддержка учителей математики.

www.it-n.ru-Сеть творческих учителей. Материалы и ресурсы, касающиеся использования ИКТ в учебном процессе:

– библиотека готовых учебных проектов с применением ИКТ, а также различные проектные идеи, на основе которых можно разработать свой собственный проект;

– библиотека методик проведения уроков использованием разнообразных электронных

ресурсов;

– руководства и полезные советы по использованию программного обеспечения в учебном процессе;

– подборка ссылок на интересные аналитические и тематические статьи для педагогов.

www.exponenta.ru -Образовательный математический сайт. Содержит материалы по работе с математическими пакетами Mathcad, MATLAB, Mathematica, Maple и др. Методические разработки, примеры решения задач, выполненные с использованием математических пакетов. Форум и консультации для студентов и школьников.

http:school-collection.edu -Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. Цифровые образовательные ресурсы (ЦОР) к учебникам.

http://www.intellectcentre.ru – сайт издательства «Интеллект-Центр», -тренировочные материалы, демонстрационные версии, банк  тренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и образцы решений.