Методическая разработка урока по математике "Логарифмические уравнения"

Пояснительная записка

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Но логарифмические уравнения были придуманы для ускорения и упрощения вычислений.  Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

В структуре изучаемой дисциплины «Алгебра и начала математического анализа; геометрия» выделяется следующий  раздел: «Корни, степени и логарифмы». Содержание раздела «Корни, степени и логарифмы» включает тему урока «Логарифмические уравнения» .

В результате изучения данной темы студент должен

Знать

         - определение и свойства логарифмической функции;                            

         - формулы логарифмирования и формулу перехода от одного основания логарифма к другому;

          -понятие о логарифмического уравнения и равносильности уравнений;

          - методы решения логарифмических уравнений.

Уметь

          -определять и применять методы решения логарифмических уравнений в задачах;

         - решать прикладные задачи с применением логарифмических функций

Тема урока : Логарифмические уравнения

Образовательная цель: 

- ввести определение логарифмического уравнения;

-обобщить методы решения логарифмических уравнений;

-сформировать умения и навыки решения логарифмических уравнений.

Развивающая цель: 

-развитие продуктивного мышления и навыков самоконтроля в  процессе выполнения упражнений;

-развитие умений логически мыслить и аргументировано отстаивать  свои убеждения.

Воспитательная цель: 

-воспитывать информационную культуру и культуру общения, готовить обучающихся к            

жизни в современном информационном обществе

Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Вид урока:  урок практикум

Методические приемы:

-ответы на вопросы;

-самостоятельная работа (тест);

-практический- решение математических и прикладных задач.

Межпредметные связи:  физика, информатика, история

Оборудование и наглядные средства обучения: компьютерный класс с ОС Windows 8 и пакетом программ Microsoft Office 2010 (10 ПК), мультимедийный проектор, интерактивная доска SmartBoard, программа Notebook, колонки, демонстрационный и раздаточный материал, презентация  в Notebook, в Power Point.

Методическая цель: способы активизации мыслительной деятельности студентов

Ход урока:

I.Организационный момент: Подготовка учащихся к уроку                          

ΙΙ. Актуализация опорных знаний.

1) Определение и свойства логарифмической функции;

                           

2) Формулы логарифмирования и формулу перехода от одного   основания логарифма к другому;

3) Понятие о равносильности уравнений.

Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

4)Используя основные свойства логарифмической функции и правила логарифмирования, установите закономерность заполнения таблицы и найдите х.

1 группа
1	2	8	3	х=5 log 2=2 х=2
	5	Х	log2
2	3	2	9	хlg3=3  х=10
	Х	lg3	3
3	64	4	3	2log 7=7  х=2
	7	2	log7

2группа
1	5	Х	log6	х=5log 6  х=36
	3	81	4
2	lg5	Х	lg7	х=lg5+lg7=lg35  х=lg35
	7	12	5
3	log27	log3	X	х= =3  х=3
	6	3	2
3 группа
1		Х	2log5	х==    х=5
	2	32	5
2	7	2	5	х=log324-3log32 = log3 =log 33 =1  х =1
	log24	3log2	x
3	3	5	125	3 log 5 =5    х=3
	logх 5	3	5

ΙΙΙ. Изучение нового материала.

            Определение: Логарифмическими уравнениями называются уравнения, в которых неизвестная содержится только под знаком логарифма (в частности в основании логарифма)

Например: lg(x-3)=2, log_x5=3log₅(2x), log₅x log₂(x-3)=2log₅x.

Методы решения:

-          Уравнения, решаемые с помощью определения логарифма;

-          Уравнения, решаемые потенцированием;

-          Уравнения, решаемые разложением на множители;

-          Уравнения, решаемые введением вспомогательной переменной.

Учащиеся работают в группах. Каждая группа должна определить метод решения и решить предложенные уравнения.

            Решить уравнения:

1группа
1		log3(1-2x)=1		ОДЗ: 1-2х0 х0,5 1-2х=31 х=-1		Ответ: х= -1
2		log2(x-12)=2		ОДЗ: х12 х-12=2х=16		Ответ: х=16
3		logx( )=-1,5		ОДЗ: х-1,5=5-1,5х=5		Ответ: х= 5
4		logx=-0,4		ОДЗ: х-0,4=6-0,4х=6		Ответ: х= 6
Вывод: Уравнения, решаемые с помощью определения  логарифма.
2 группа
1	log2x-log211=log219-log2(30-x)				ОДЗ: 0 х(30-х)=11*19 х 2 -30х+209=0 х1=11, х2=19		Ответ:
2	log5x-log5(2x-5)=log58-2log5				ОДЗ: х2-3х=4х-10 х2-7х+10=0 х1=2 х2=5		Ответ: х=5
3	lg(x+1)+lgx=lg6				ОДЗ:х х(х+1)=6 х2+х-6=0 х1=-3 х2=2		Ответ: х=2
4	log3(x-6)-log32=1+log3(x-10)				ОДЗ: х10 2log3(x-6)-log32=2+log3(x-10)   х2-30х+216=0 х1=12, х2=18		Ответ: х1=12, х2=18
Вывод: Уравнения, решаемые потенцированием.
3 группа
1	log32(x+2)=5log3(x+2)				ОДЗ: х+20, х log3(x+2)(log3(x+2)-5)=0 1)    log3(x+2)=0 x+2=30 x=-1 2)    log3(x+2)=5 x+2=35 x=241		Ответ: х1=-1 х2=241
2	log2x lg(x+1)-2log2x=0				ОДЗ: х0 log2x(lg(x+1)-2)=0 1)    log2x=0 x1=20=1 2)    lg(x+1)=2 102=x+1 x2=99		Ответ: х1=1 х2=99
3	2log3x log2-				ОДЗ: 2log3x log2-5log3x=0 log3x(log2(x-5)-5)=0 1)    log3x=0x1=30=1 2)    log2(x-5)=5x=25+5 т.е. х=37		Ответ: х=37
4	log42x=6log4				ОДЗ: х0 log4x(log4x-3)=0 1)    log4x=0x1=40=1 2)    log4x-3=0 log4x=3 x=43=64		Ответ: х1=1,х2=64
Вывод: Уравнения, решаемые путем разложения на множители.
4 группа
1	log32x-3log3x+2=0		ОДЗ: х0 Пусть у= log3x, тогда получим уравнение у2-3у+2=0 у1=1 у2=2 1)    log3x=1 х1=3 2)    log3x=2 х2=32=9				Ответ: х1=3 х2=9
2	logx2-logx3+=0		ОДЗ: logx23-logx3+=0 Пусть у= logx3, тогда получим уравнение у2-6у+5=0у1=1;у2=5 1)    logx3=1 т.е. х=3 2)    logx3=5 т.е.х5=3 х=				Ответ:
3			ОДЗ: 2(lgx+2)+3(lgx+1)=2(lg2x+3lgx+2) 2lg2x+lgx-3=0 1)    lgx=- x1=10-3/2 2)    lgx=1  x2=10				Ответ:
4	log3x+logx3=2		ОДЗ: log3x+  log32x-2log3x+1=0 log3x=1  x=3				Ответ: х=3
Вывод: Уравнения, решаемые введением вспомогательной переменной

ΙV. Закрепление пройденного материала.

1)    х^{lg x+lg x –12}=10^2lgx

Данные уравнения называются показательно – логарифмическими.

          ОДЗ: х0

Способ решения: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10.

(lg²x+5lgx-12)lgx=2lgx

lgx(lg²x+5lgx-14)=0

а)  lgx=0  x=10⁰=1      

б) lg²x+5lgx-14=0      lgx=-7 , т.е. х₁=10^-7

lgx=2, x₂=10²=100

          Ответ:

2)    Решите уравнение: log₂(x-3)+x=9 (*)

Данные уравнения называются трансцендентные уравнения

Способ решения: Графический способ решения.

          Преобразуем данное уравнение, к виду log₂(x-2)=9-x

На одном чертеже построим графики функций у=log₂(x-3) и у=9-х

Графики пересекаются в точке А(7;2).

Следовательно, х=7 – корень уравнения.

          Ответ: х=7

Применение логарифма в географии

1)      На какой высоте над уровнем моря находится школа «Арктика», если давление воздуха убывает с высотой по закону      

если р₀ = 760 мм.р.с. (давление на уровне моря); р = 677 мм.р.с. (давление воздуха на 21 марта 2013 г в г.Нерюнгри на высоте h)

Применение логарифма в географии (экономике)

2)      По данным Интернета, по численности домашних северных оленей, Якутия занимает второе место в РФ, уступая только Ямало-Ненецкому автономному округу: на конец 2012 г., поголовье домашних северных оленей за год выросло с 200861 до 205 428 голов. Через сколько лет поголовье оленей

 

достигнет количества победителей  - Ямало-Ненецкого автономного округа (683300 голов).

S – итоговая сумма

А – начальная сумма

р – процент изменения

n – количество необходимых лет

Вывод: Полвека это огромный срок, чтобы достичь лидерства в такой отрасле хозяйства поэтому нужно увеличенье поголовья оленей на больнее количество процентов. 

Применение логарифма в физике

3)      Коэффициент звукоизоляции стен рассматривается по закону

где р₀ – давление звука до поглащения, р – давление звука, прошедшего через стену: А – некоторая постоянная, равная 20дБ. Вычислите давление звука до поглащения домах г. Нерюнгри, в том числе в школе Арктика, если коэффициент звукоизоляции железобетонной стены равен 50дБ.

Вывод: Стена снижает давление звука в 316 раз, т.е. стены домов хорошая звукозащита

Тестирование (подготовка к экзамену)

http://le-savchen.ucoz.ru/

• 1. Найдите значение выражения  
  12 
  4 
  6 
  8 
• 2.Найдите значение выражения  
  35 
  30 
  140 
  28 
• 3.Найдите значение выражения  
  36 
  12 
  -16 
  16  
• 4. Найдите значение выражения  
  2 
  5 
  -0,5 
  -4  
• 5. Найдите значение выражения  
  1,5 
  2 
  3 
  6  
• 6. Найдите значение выражения  
  2 
  -2 
  0,6 
  36  
• 7. Найдите значение выражения  
  -2 
  -8 
  -3 
  6  
• 8. Найдите значение выражения  
  5 
  0,2 
  -1 
  -0,1  
• 9. Найдите значение выражения  
  5 
  2 
  0,5 
  -2 
• 10. Найдите значение выражения  
  0,25 
  5 
  2 
  4 
  
   

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	2	2	4	1	1	3	2	4	1

VI. Итоги урока: Проверка теста, выставление оценок

V.Домашняя работа

Тест

по теме: «Логарифмическая функция»

Вариант – 1

Задания уровня А

1. Вычислите log₂ 16.

1)      16

2)      2

3)      1

4)      4

2. Вычислите log₃ 3.

1)      3

2)   0

3)    1

4)   2

3. Вычислите log₃ .

1)      2

2)      – 2

3)      1

4)      3

4. Вычислите .

1)      5

2)      2

3)      16

4)      1

5. Вычислите .

1)      3

2)          2

3)    8

4)   9

6. Найдите х, если log_x 36 = 2.

1)      6

2)      2

3)      36

4)      64

7. Вычислите log₂ 2 log₃ 81.

1)      81

2)      2

3)      4

4)      3

8. Вычислите log₁₂ 2 + log₁₂ 72.

1)      2

2)      3

3)      1

4)      12

9. Вычислите log₅ 75 – log₅ 3.

1)      2

2)           1

3)    5

4)   3

10.  Чему равно log_a b + log_a c?

1)      log_a (b + c)

2)      log_a (b - c)

3)      log_a bc

4)      log_a

11.   Назовите область определения функции у = log₂ (x - 2).

1)      (0; ¥)

2)      (1;+ ¥)

3)      (- ¥;1)

4)      (- ¥; + ¥)

12.   Решите уравнение log₂ x = - 2.

1)   4

2)    

3)    – 2

4)    – 4

13.   Решите уравнение log₃ (x + 2) = 1

1)         1

2)         3

3)         – 1

4)         2

Тест

по теме: «Логарифмическая функция»

Вариант – 2

Задания уровня А

1. Вычислите log₃ 27.

1)      2

2)      1

3)      27

4)      3

2. Вычислите log₄ 1.

1)      1

2)      4

3)    0

4)  

3. Вычислите log_1/2 4.

1)      4

2)      2

3)      2

4)     

4. Вычислите .

1)      13

2)      6

3)      1

4)      2

5. Вычислите .

1)      2

2)      15

3)      3

4)      9

6. Найдите х, если log₂ 4=x.

1) 4

2) – 2

3)      2

4) 1

7. Вычислите log₃ log₂ 8.

1)      8

2)      3

3)      2

4)      1

8. Вычислите lg 5 –lg 2.

1)      1

2)      7

3)      3

4)      10

9. Вычислите log₃ 15 – log₃ 5.

1)      1

2)      10

3)      3

4)      0

10.  Чему равно log_a b^k?

1)      b^k;

2)      k

3)      log_a b

4)      k log_a b

11.   Назовите область определения функции y = log_0,5 (x + 5).

1)      (- 6; + ¥)

2)      (5; + ¥)

3)      (- ¥; 5)

4)      (- ¥; - 5)

12.  Решите уравнение log₆ x = 2.

1)      3

2)      36

3)      64

4)      6

1)      Решите уравнение log₅ (x - 3) = 2.

1)      28

2)      25

3)      2

4)      5

Ключи              ЛОГАРИФМЫ
Вариант 1	Вариант 2
А1           4	А1             4
А2           3	А2             3
А3           2	А3             2
А4           3	А4             1
А5           3	А5             4
А6           1	А6             2
А7           2	А7             4
А8           1	А8             1
А9           1	А9             1
А10         3	А10           4
А11         2	А11           1
А12         2	А12           2
А13         1	А13           1

Интернет-ресурсы:

www.ziimag.narod.ru - персональный сайт автора Мордковича А. Г. "Практика развивающего обучения".

www.math.ru -Интернет - поддержка учителей математики.

www.it-n.ru-Сеть творческих учителей. Материалы и ресурсы, касающиеся использования ИКТ в учебном процессе:

– библиотека готовых учебных проектов с применением ИКТ, а также различные проектные идеи, на основе которых можно разработать свой собственный проект;

– библиотека методик проведения уроков использованием разнообразных электронных

ресурсов;

– руководства и полезные советы по использованию программного обеспечения в учебном процессе;

– подборка ссылок на интересные аналитические и тематические статьи для педагогов.

www.exponenta.ru -Образовательный математический сайт. Содержит материалы по работе с математическими пакетами Mathcad, MATLAB, Mathematica, Maple и др. Методические разработки, примеры решения задач, выполненные с использованием математических пакетов. Форум и консультации для студентов и школьников.

http:school-collection.edu -Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. Цифровые образовательные ресурсы (ЦОР) к учебникам.

http://www.intellectcentre.ru – сайт издательства «Интеллект-Центр», -тренировочные материалы, демонстрационные версии, банк  тренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и образцы решений.