Методическая разработка урока по математике "Методы решения квадратных уравнений." 8 класс

Урок алгебры в 8 классе

Составила: учитель математики Каратаева Оксана Михайловна

МАОУ лицей № 34 города Тюмени

Тема:  "Квадратные уравнения (методы решения)"

Тип урока:  урок закрепления и применения знаний и навыков.

Цели урока:

Образовательные:

·        обобщение и систематизация знаний по теме;

·        формирование умения выбрать  рациональный способ при решении квадратных уравнений;

·        установление внутри предметных связей изученной темы с другими темами курса алгебры

Развивающие:

·        расширение кругозора учащихся;

·        пополнение словарного запаса;

·        развитие мышления, внимания, умения учиться.

Воспитательные:

·        воспитание таких качеств, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.

·        побуждение учеников к самоконтролю и самоанализу.

        Оборудование:

1.     Презентация.

Организационный момент.

- Приветствие учащихся; проверка готовности к уроку.

- Сообщение темы урока: “Квадратные уравнения. Методы решения”.

- Совместное формулирование цели урока

Сегодня у нас несколько необычный урок – урок-презентация методов решения квадратных уравнений. Как вы думаете, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?

(Речь идет о методах, значит их много (больше одного), надо каждый вспомнить и проиллюстрировать примером)

Иными словами обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений. А зачем нам это надо?

(Для возможности выбора рационального пути решения).

Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, научиться выбирать рациональный путь решения.

Актуализация знаний.

Прежде всего, вспомним, какие уравнения называются квадратными.

1.     Перед Вами уравнения, сгруппированные по какому-либо признаку. Выделите среди них лишнее.

·        х² +9х =0       

16-8х²=0

4х²=11х-7

5х²=0

·        9х²- 28х+20=0

1 + 4х²-5х=0

3х – 5 + 10х²=0

2х²-7х-4=0

·        5х²-2х-3=0

2х + 3х²-35=0

2х²+9х-11=0

           5 + х²- 6х =0

I.Азбука квадратного уравнения (презентация)

Сформулируйте определение квадратного уравнения.

(Уравнение вида ax² + bx + с = 0, , где х - переменная, a,b,c – числа, называется квадратным.)

Квадратное уравнение, записанное в таком виде, является стандартным видом уравнения. Как называются числа a, b, c ?

(а – старший коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член)

Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения разных видов.

Первый вид квадратных уравнений – неполные квадратные уравнения.

С этим видом квадратных уравнений мы познакомились на первых уроках изучения квадратных уравнений.

Решите уравнения:

·        х² +9х =0      5х²=0      16-8х²=0

Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения, записанные в стандартном виде.

Решите уравнения:

·        1 + 4х²-5х=0

·        3х – 5 + 10х²=0

·        2х²-7х-4=0

·        9х²- 28х+20=0

Мы вспомнили всю “азбуку” квадратного уравнения?

(Нет. Мы не вспомнили теорему Виета)

Решите уравнения:

·        5 + х²- 6х =0

Следующие два метода также применимы при определенных условиях и позволяют избежать громоздких вычислений.

Какие трудности Вам надо будет преодолеть, решая уравнение

157х²+20х-177=0?

(Предполагаемые ответы учащихся: Сложные вычисления; Большие затраты времени)

Я знаю, что это уравнение можно решить устно, и предлагаю Вам провести небольшое исследование, чтобы узнать еще один способ решения квадратных уравнений.

Решите уравнения удобным способом, результаты запишите в таблицу на доске.

1.     5х²-7х+2=0

           х²-8х+7=0

2.     3х²+5х-8=0

           х²+7х+6=0

3.     4х² + х-3=0

           х²+5х+4=0

Работа в парах.

Решают в тетради, те кто решили раньше записывают результаты в таблицу на доске.

уравнение	а	в	с	х1	х2

Учащиеся замечают, что в первых трех уравнениях один из корней равен 1, в остальных -1. Устанавливают зависимость между коэффициентами квадратного уравнения.

Выдвигают гипотезу, что если в квадратном уравнении а+в+с=0, то х₁=1, х₂=с/а;

если а+с=в, то х₁= -1, х₂= -с/а.

Записывают данное утверждение в тетрадь.

II. Специальный метод

На основании теорем:

7.  Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен

8.  Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен

Решите уравнения, используя новый метод решения квадратных уравнений:

157х²+20х-177=0

203х²+220х+17=0

Однако, при выборе пути решения квадратного уравнения следует помнить, что помимо специальных методов возможно применение и общих методов решения уравнений. К таким методам относятся:

·        Введение новой переменной;

·        Графический способ

 (показать решение, используя презентацию)

Историческая справка

Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…

Безусловно, человечество “додумалось” до всего не сразу и в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия.

Обратимся к историческому путеводителю.

Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся ко второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта.

Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь.

Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению.

И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры.

Подведение итогов.

Итак, подведем итог.

Решение квадратных уравнений, возможно, осуществлять разными методами. Для квадратных уравнений применимы не только традиционные и специальные методы решения, но и общие методы решения уравнений.

Сегодня мы обобщили опыт решения квадратных уравнений и посмотрим, как научились выбирать наиболее рациональный метод решения.

Попробуйте расшифровать высказывание из копилки “Золотых мыслей”.

(приложение 1)

Для этого проанализируйте представленные уравнения, выберите для каждого более рациональный метод решения и укажите номер этого метода. Затем согласно ключу расставьте в нижней таблице слоги и прочтите высказывание.

Итак, получили высказывание Ян Амос Коменского: “Учиться нелегко, но интересно”.

Я думаю, эти слова как нельзя, кстати, подходят для окончания нашего урока.

Домашнее задание

Решите уравнение х²+6х-16=0 графическим методом

Составьте уравнения на применение теорем (метод 7, 8).

Решите уравнение 3х²+5х+2=0 пятью способами.

Решите уравнение (х²-х)²-14(х²-х)+24=0 методом введения новой переменной.