Методическая разработка урока по математике на тему: Основные понятия комбинаторики

Тема урока: Основные понятия  комбинаторики. Размещения, перестановки,

сочетания.

 Цели урока

создавать условия для осознанного понимания решения простейших задач на применение элементов комбинаторики; изучить формулы размещения, перестановки и сочетания; сформировать у студентов первичные умения и навыки решения задач.

развивать познавательный интерес студентов, логическое мышление, умение применять знания в изменённой ситуации, делать выводы и обобщения; развивать умения сравнивать,

задач, сообразительности;

•  познакомить с понятием «комбинаторика»;  

•  познакомить с правилами комбинаторики;

•  обеспечить в ходе урока усвоение понятия размещений, перестановок и

сочетаний;  

•  сформировать умения решать комбинаторные задачи.

•  развитие логического мышления посредством решения комб

          План урока

1.  Организационный момент

2.  Мотивация учебной деятельности

3.  Сообщение темы и  цели урока.

4.  Объяснение нового материала.

5.  Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач.

6.  Домашнее задание

7.  Подведение итогов

            Ход урока

1 Актуализация знаний, умений и навыков

Что называется соединениями?

Группы, составленные из каких-либо элементов.

2 Дайте определение факториала числа.

Произведением всех натуральных чисел от 1 до n называется факториалом числа n и записывается n!(читается как эн факториал)

n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−2)⋅(n−1)⋅n

3! =6 5! = 120 6! = 720 7! = 5040

Чему, к примеру, равны 2!, 3!, 4!, 5!, 6! ? Посчитайте в тетради!

2!= … 3!=… 4!=… 5!=… 6!=

.2  Мотивация учебной деятельности

Задача 1. В некотором учреждении имеются две различные вакантные должности, на каждую из которых претендуют три сотрудника: A, B, C. Сколькими способами из этих трех кандидатов можно выбрать два лица на эти должности?

Задача 2. Для участия в соревнованиях требуется выбрать двоих спортсменов из трех кандидатов: A, B, C. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?

Студентам предлагается два проблемных задания: 1) установить различие между этими двумя внешне схожими задачами и 2) предположить, в какой задаче результат будет больше, и почему. После этого предлагается решить эти задачи методом перебора всевозможных вариантов.

Решение задачи 1. AB, BA, BC, CB, AC, CA (всего шесть способов).

Решение задачи 2. AB, BC, AC (всего три способа).

Как называется раздел математики, в котором решаются задачи на составление различных комбинаций?

Комбинаторика

Комбинаторикой  называется  область  математики,  в  которой  изучаются

вопросы  о  том,  сколько  различных  комбинаций,  подчиненных  тем  или  иным

условиям,  можно  составить  из  элементов,  принадлежащих  заданному

множеству.

вопросы  о  том,  сколько  различных  комбинаций,  подчиненных  тем  или  иным

условиям,  можно  составить  

вопросы  о  том,  сколько  различных  комбинаций,  подчиненных  тем  или  иным

услов

вопросы  о  том сколько  различных  комбинаций, подчиненных  тем  или  иным

условиям,  можно  составить из  элементов,  принадлежащих  заданному множеству

Комбинаторика  является важным разделом  математики, который исследует  закономерности расположения,  упорядочения, выбора и распределения элементов фиксированного множества.

4 Объяснение нового материала

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями.

Различают три вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.

 Размещения.

Определение. Размещениями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число размещений из m элементов по n обозначают ( «размещение») и вычисляют по формуле:

. Решим задачу 1 с помощью этой формулы:

А теперь решим ту же задачу для случая m=8, n=3:

2) Перестановки.

Определение. Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n.

Число перестановок из n элементов обозначается  и вычисляется по формуле:

Решение задачи 1 P_n = n! = 3! = 1*2*3=6 (способов)

Ответ: 6 способов.

3) Сочетания.

Определение.

Сочетаниями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m обозначают  (от французского «combination» - «сочетание») и вычисляют по формуле:

Пример 2. Решим задачу 2 с помощью этой формулы:

А теперь решим ту же задачу для случая m=8, n=3:

5.  Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач

Решение комбинаторных задач.

При решении комбинаторных задач важно научиться различать виды соединений.

Чтобы отличать задачи на подсчёт числа размещений от задач на подсчёт числа сочетаний, определим, важен или нет порядок в следующих выборках

Задача 1. Сколькими способами можно составить букет из трёх цветков, выбирая цветы из девяти имеющихся?

Ответ: С3/9= 84.

Задача 2. В группе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Ответ С2/7=:21

Задача 3. Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать: а)двух дежурных;

Ответ: а)276

Задача 4. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый Мишка задумали сыграть квартет». Сколькими способами они могут выбрать каждый для себя по одному инструменту из 10 данных различных инструментов?

Ответ: 

Задача 5 Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

С = 

Ответ: 56.

Задача 6 В группе 10 студентов. Сколькими способами можно выбрать из этой группы троих студентов для участия в конференции?

Решение. Число способов равно числу сочетаний из 10 элементов по 3 элемента: 

=120

Студенты работают самостоятельно по вариантам. С последующей проверкой на доске.

Вариант 1.

 1.    Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

 1) 30                          2)       100              3)       120              4) 5

 2. На 1 курсе 12 учащихся, имеющих по математике оценки «4-5». Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

 1) 128                        2)       495                   3) 36                     4) 48

 3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

 1) 10                          2) 60                     3) 20                     4) 30

 Ответы № задания        1        2        3

                № ответа        3        2        4

Вариант 2.

 1.    Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

 1)           100              2)       30                3)       5                  4)     120

 2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

 1)           3                  2)       6                  3)       2                  4)     1

 3. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 4 различных уроков.

 1)           10000                    2)       1680             3)       32              4)    1600

Ответы № задания        1        2        3

                № ответа        4        1        2

6.  Домашнее задание

Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на

восьми беговых дорожках?

Задача 1 Учащиеся  11-го  класса  изучают  9  учебных  предметов. В  расписании  учебных занятий  на  один  день можно  поставить  4  различных  предмета Сколько существует различных способов составления расписания на один день?

Ответ А4/9=3024

Задача 2 Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика можно выбрать старосту и помощника старосты?

Учащиеся  11-го  класса  изучают  9  учебных  предметов.  В  расписании  учебных

Ответ А2/24-552

7 Подведение итогов занятия. 

 учебно-материальное оснащение:

1.       Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 класса: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). – 5-е изд. – М.: Издательский центр «Академия», 2012.

2.       Башмаков М.И. Математика: 10 класс. Сборник задач: среднее (полное) общее образование. – 3-е изд. – М.: Издательский центр «Академия», 2011.