Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическая разработка урока по математике "Показательные неравенства" СПО
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Методическая разработка урока по математике "Показательные неравенства" СПО

библиотека
материалов

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЛАСТНОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ЛИПЕЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

hello_html_1947ec81.jpg







.


Методическая разработка урока

по общеобразовательной дисциплине

«Алгебра и начала математического анализа; геометрия»


на тему

Показательные неравенства



Разработала: преподаватель математики

Клещина Наталья Вячеславовна








Липецк 2016

Пояснительная записка

Показательная функция, как сказал Пьер Кури не перестает нас удивлять! Ее применение велико, только за последние годы из Нобелевских лауреатов, получивших премию за исследования в области математики, биологии, физики с использованием показательной функции 6 ученых.

В структуре изучаемой дисциплины «Алгебра и начала математического анализа; геометрия» выделяется следующий раздел: «Корни, степени и логарифмы». Содержание раздела «Корни, степени и логарифмы» включает тему урока «Показательные неравенства» .

В результате изучения данной темы студент должен

Знать:

-определение показательной функции и ее свойств;

-виды графиков показательной функции с разным показателем;

-определение показательного неравенства;

Уметь:

-решать показательные неравенства;

-применять методы решения показательных неравенств при решении задач;

-определять основные свойства показательной функции, иллюстрировать их на графиках;

-строить графическое решение показательного неравенства;

-решать прикладные задачи с применением показательных неравенств;










Тема урока : Показательные неравенства

Образовательная цель: способствовать формированию у студентов предметных компетенций:

- формирование познавательных УУД ;

-научить решать показательные неравенства различными методами;

-использовать свойства показательной функции при графическом решения

неравенств;

Развивающая цельспособствовать развитию у студентов метапредметных компетенций:

-коммуникативных – формирование мыслительной, речевой деятельности, пространственного воображения, навыка сотрудничества;

-регулятивных – умение управлять собственной деятельностью.

Воспитательная цельспособствовать формированию у студентов личностных компетенций:

-смыслообразование –  умение субъектного целеполагания;

-самоопределение – самооценка.

Тип урока: комбинированный урок

Вид урока: лекция + практическая работа


Методические приемы:

-самостоятельная работа (тест);

-практический- решение математических и прикладных задач.


Оборудование и наглядные средства обучения: компьютерный класс с ОС Windows 8 и пакетом программ Microsoft Office 2010 (10 ПК), мультимедийный проектор, интерактивная доска SmartBoard, программа Notebook, колонки, демонстрационный и раздаточный материал, презентация в Notebook, в Power Point.


Методическая цель: способы активизации мыслительной деятельности студентов

Ход урока:

I.Организационный момент: Подготовка учащихся к уроку

(проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей)

II. Сообщение темы и целей урока.

На уроке будут рассмотрены новые для обучающихся неравенства - показательные, решение которых требует хорошего знания теоретического материала. Данные неравенства ежегодно присутствуют в вариантах ЕГЭ по математике.

Актуализация знаний.

Теоретический опрос:

а) определение показательной функции;

(Функция вида hello_html_m1975b575.jpgназывается показательной функцией.)

б) какова область определения показательной функции; hello_html_m690eee.png

в) какова область значений показательной функции; hello_html_2297c794.jpg

г) в каком случае показательная функция является возрастающей, убывающей;

y = ax , a > 1 возрастает, y = ax , 0< a < 1 убывает

д) как расположен график;

hello_html_7bf9e479.jpg y = ax , a > 1 hello_html_3d0c8e1a.jpg y = ax , 0< a < 1

е) каковы основные методы решения показательных уравнений (метод замены, однородное уравнение, разложение левой части уравнения на множители и переход к совокупности, функционально-графический, метод интервалов);

III. Изучение нового материала

Теоретическая часть.

1. Введение знаний.

1) Простейшие показательные неравенства имеют вид hello_html_md96ecec.gif

hello_html_m1ba352b7.gifрешений не имеет, а неравенство hello_html_m5114a1ba.gifвыполняется при всех значениях аргумента, поскольку hello_html_58e14f2c.gif (Рассказ сопровождается графической иллюстрацией)

При hello_html_m4fbd94c8.gif выполняется равенство hello_html_m1ad93f45.gif. Если hello_html_2b65ceb4.gif, то в силу возрастания показательной функции неравенство hello_html_m5e675e4a.gifвыполняется приhello_html_m2d0b23ac.gif, а неравенствоhello_html_72ee6d4f.gif выполняется при hello_html_m1382148a.gif. (Рассказ сопровождается графической иллюстрацией)

Если hello_html_mbfb0f08.gif, то в силу убывания показательной функции неравенствоhello_html_m5114a1ba.gif выполняется при hello_html_m28dfda12.gifа неравенствоhello_html_72ee6d4f.gif выполняется при hello_html_m2146c9c4.gif. . (Рассказ сопровождается графической иллюстрацией)

Рассмотреть примеры: hello_html_ac5600c.gif

Используя свойство монотонности показательной функции делаем вывод, что неравенство hello_html_3a181a54.gif приhello_html_582c6ccb.gif равносильно неравенству hello_html_7ffdf1a0.gif а при hello_html_m587f47e2.gif равносильно неравенству hello_html_2b2cbb18.gif

Конспект .

2) Рассмотрим методы решения показательных неравенств, не являющихся простейшими. При их решении используются приёмы преобразования выражений, стоящих в левой и правой частях неравенства, аналогичные тем, которые использовались и при решении показательных уравнений.

а) Метод замены переменной. В этом случае новая неизвестная подбирается так, чтобы относительно неё неравенство не было показательным.

Пример 1: Сведение к квадратному неравенству.

hello_html_16f8e7da.gif

hello_html_m266d0423.gif.

Ответ: hello_html_496cd06.gif

Пример 2: Сведение к рациональному неравенству, которое решаем применяя метод интервалов для непрерывных функций.

hello_html_1ef123d4.gif

hello_html_m406aa8e1.gif

hello_html_m3cdceffb.gif

Ответ: hello_html_20d94d22.gif

б) Решение однородных неравенств. При решении однородных неравенств используется свойство показательной функции hello_html_m6190ec87.gif, производим деление обеих частей неравенства на положительную величину и вводим новую переменную. Однородное неравенство первой степени hello_html_m7b76aada.gif+nhello_html_7f0cb0fd.gif решается делением обеих частей неравенства на hello_html_m6190ec87.gif, а однородное неравенство второй степени hello_html_41cdac92.gif решается делением на hello_html_5167a95d.gif

Пример 3: hello_html_63582a97.gif

Решение:

hello_html_16c0aaf5.gif

Так как hello_html_6d27d5f3.gif для любых x, то разделив обе части неравенства на hello_html_5fa20794.gif, получим неравенство, равносильное данному:

hello_html_71628074.gif-hello_html_2d505a11.gif

hello_html_m5cbed844.gif

Ответ: (-hello_html_17932065.gif

в) Метод интервалов.

Пример 4:

hello_html_m25082adb.gif 

Решение.

Рассмотрим функцию f(x)hello_html_m1850870a.gif, областью определения которой является множество неотрицательных чисел. Находим нули функции, решив уравнение hello_html_6461b2a8.gif. Делим обе части уравнения на hello_html_me9bf722.gif, после преобразований получим уравнение

hello_html_4ef75bce.gif откуда hello_html_m114bd0ac.gif Последнее уравнение не имеет решения, а уравнение hello_html_m392465c0.gif имеет единственный корень, равный 4. Нуль функции разбивает область определения на промежутки hello_html_a5c19ca.gifиhello_html_756af5c.gif, в которых функция (в силу своей непрерывности) сохраняет знак.

f(1)hello_html_m6a775df3.gif

hello_html_210e89dc.giff(9)hello_html_m393f5ac6.gif

Итак, исходное неравенство выполняется при hello_html_m76fa64b5.gif

Ответ:hello_html_m769bdf6b.gif

г) Функционально-графический метод.

Пример: hello_html_m15f3bc36.gif

Решение. Функции hello_html_m1e7c8d5.gif иhello_html_m1d04386b.gifопределены на всём множестве действительных чисел. Функция hello_html_m4e935f77.gifвозрастающая на R, а функция hello_html_m38828abe.gif убывающая на R, значит, уравнение hello_html_764275e3.gif имеет не более одного корня. Не сложно убедиться в том, что 1 является единственным корнем уравнения. Таким образом, графики функций имеют одну точку пересечения. Неравенство имеет решение тогда, когда график функции hello_html_m1e7c8d5.gif лежит не выше графика функции hello_html_7eb264a9.gif то есть при hello_html_m3f685590.gif

Ответ: (hello_html_m3d915206.gif

Практическая часть.

hello_html_m74aea3ae.pnghello_html_m69809bef.png

hello_html_m23953206.png

Из предложенных неравенств выбрать наиболее рациональный способ для их решения:

а) hello_html_339a1046.gif

Ответ: однородное неравенство, делим обе части, например, на hello_html_78929ee4.gif и введение новой переменной hello_html_10c87ab8.gif.

б)hello_html_m5ca3fab7.gif

Ответ: с помощью замены hello_html_4925d01d.gifсводим к решению дробно-рационального неравенства.

в) hello_html_m427166a3.gif

Ответ: решается функционально-графическим способом.

г) hello_html_m48de390c.gif

Ответ: использование свойства монотонности показательной функции. Приложение 1

IV. Закрепление пройденного материала: Приложение 2

V. Итоги урока: Проверка теста, выставление оценок

Домашняя работа Расписать подробное решение неравенств из теста.







































Интернет-ресурсы:

www.ziimag.narod.ru - персональный сайт автора Мордковича А. Г. "Практика развивающего обучения".

www.math.ru -Интернет - поддержка учителей математики.

www.it-n.ru-Сеть творческих учителей. Материалы и ресурсы, касающиеся использования ИКТ в учебном процессе:

библиотека готовых учебных проектов с применением ИКТ, а также различные проектные идеи, на основе которых можно разработать свой собственный проект;

библиотека методик проведения уроков использованием разнообразных электронных

ресурсов;

руководства и полезные советы по использованию программного обеспечения в учебном процессе;

подборка ссылок на интересные аналитические и тематические статьи для педагогов.

www.exponenta.ru -Образовательный математический сайт. Содержит материалы по работе с математическими пакетами Mathcad, MATLAB, Mathematica, Maple и др. Методические разработки, примеры решения задач, выполненные с использованием математических пакетов. Форум и консультации для студентов и школьников.

http:school-collection.edu -Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. Цифровые образовательные ресурсы (ЦОР) к учебникам.

http://www.intellectcentre.ru – сайт издательства «Интеллект-Центр», -тренировочные материалы, демонстрационные версии, банк тренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и образцы решений.















Приложение 1.

Методы решения произвольных показательных неравенств .

Решение большинства показательных неравенств сводится к решению простейших показательных неравенств.


А. Метод уравнивания оснований.

Примеры.

Пример 1. Решите неравенство: hello_html_m477060a1.gif

Решение.

О.О.: хhello_html_119d844a.gif

Так как 0,0625=hello_html_3c19637d.gif, тогда данное неравенство можно записать в виде:hello_html_77a1c050.gif.

Показательная функция y= hello_html_54256ef4.gif ( 0hello_html_m6cf3abd8.gif является убывающей на R, значит меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента, то есть

hello_html_m298f0ce5.gif, но 4=hello_html_mb5877e.gif , тогда hello_html_2557a60d.gif , но показательная функция y=hello_html_4a2bcafa.gif (2hello_html_m42ce3b3b.gif1) является возрастающей на R, поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента. В результате этих рассуждений получим и решим следующее неравенство: hello_html_21e52b46.gif.

hello_html_m2e26c0f8.gif.hello_html_m6fd4783.gif.

Ответ: hello_html_m3b2ee189.gif.

Пример 2. Решите неравенство: hello_html_m1e9cd6bf.gif.

Решение.

О.О.: хhello_html_363ae5e2.gif

hello_html_m10b10485.gif


hello_html_m1a4766e4.gif

Ответ: hello_html_m704a6421.gif.


В. Метод решения, основанный на разложении на множители.

Примеры.

Пример 1. Решите неравенство: хhello_html_m2a8d4147.gif

Решение.

О.О.: хhello_html_5b360e33.gifR

хhello_html_m47e64517.gifхhello_html_80d5f63.gif.

Ответ: hello_html_m34788bd3.gif.

Пример 2. Решите неравенство: 3hello_html_668ff680.gif .

Решение.

3hello_html_668ff680.gif hello_html_10ce4b15.gif3hello_html_m1d78059d.gif+(hello_html_m2122b582.gif+hello_html_65d1fdae.gif

Ответ: hello_html_m72e9b5c6.gif.


С. Метод введения вспомогательной переменной.

С помощью подстановки hello_html_m58972206.gif, где thello_html_13d6cb00.gif, неравенство приводится либо к квадратному неравенству относительно переменной t, либо к какому-нибудь другому неравенству относительно переменной t, решается относительно t , а затем ищется значение переменной х.

Примеры.

Пример 1. Решите неравенство: hello_html_3d77de82.gif.

Решение.

hello_html_m18f56d71.gifО.О.:hello_html_215a65f7.gif

Пусть hello_html_747a816c.gif, hello_html_11a81364.gif hello_html_6354cb50.gif .

Вернемся к переменной х и получим два неравенства:

1) hello_html_5218b481.gif.

hello_html_m3ef11f98.gifрешений нет, так как hello_html_m63f03d63.gif для hello_html_274d99fe.gif.

Ответ: hello_html_42c41ef5.gif.

Пример 2. Решите неравенство: 4hello_html_m1915c461.gif .

Решение.

4hello_html_3c359e59.gif + 3hello_html_m3bb5c5b1.gif


hello_html_m79798f5a.gif. Пусть hello_html_438b7066.gif, тогда 4hello_html_49c7a513.gif

Выделим из многочлена hello_html_m7209b1a9.gifквадрат двучлена:


hello_html_m303bb49f.gif=hello_html_m4c490012.gif, то естьhello_html_mae2b1cd.gif при любом значении t hello_html_m304fb84c.gif Таким образом, дробь

hello_html_m312ae68d.gifhello_html_3b00b0d5.gifесли thello_html_m267dbb49.gif, но t=hello_html_m35f57b8.gif, тогда hello_html_446ba2c.gif.

Ответ: hello_html_7b431d84.gif.


D. Неравенства, левая часть которых имеет вид Аhello_html_m654d2eb4.gifBhello_html_m45bd738a.gif,

hello_html_3798455c.gif

Неравенства такого типа решаются с помощью деления обеих частей на

hello_html_m4cd08d5b.gif.


Примеры.

Пример 1. Решите неравенство: 3hello_html_62acf709.gif.

Решение.

3hello_html_56557443.gif.

Разделим обе части последнего неравенства на hello_html_m3ba188a4.gif:

3hello_html_7ec87946.gif Введем новую переменную t = hello_html_56d358a7.gif , thello_html_m4090a4ed.gif

3hello_html_51db1011.gif. Вернемся к переменной х:

hello_html_m4a82da54.gif.

Ответ: hello_html_m1dcc4e.gif .

Пример 2. Решите неравенство: 9hello_html_m571ade4.gif.

Решение.

9hello_html_393b843e.gif .

Ответ: hello_html_m3f8e7da3.gif .

Е. Графический способ решения.

При решении неравенств графическим способом необходимо рассмотреть две функции, построить их графики в одной системе координат и выяснить при каких значениях аргумента значения одной функции больше (меньше) значений другой функции. Найденные значения аргумента и есть решения неравенства.

Примеры.

Пример 1. Решите неравенство: hello_html_57e855b4.gif

Решение.

Чтобы решить данное неравенство графическим способом, рассмотрим две функции: f(x)=hello_html_477ae1ba.gif и g(x)= 11-х, D(f)=R, D(g)=R.

1.Функция f(x)=hello_html_477ae1ba.gif - показательная функция по основанию «3». Для построения графика зададим таблицу ее значений:


2. Функция g(x)= 11-х - линейная функция, ее графиком является прямая.

3. Построим графики этих функций в одной системе координат и выясним , при каких значениях переменной х выполнено неравенство: f(x)hello_html_4fd8b36b.gif g(x).

hello_html_68056c5b.png

















Рассмотрим два интервала: hello_html_m613211c5.gif:

если хhello_html_d3f94bc.gif, то f(x) hello_html_6157d71.gif, f(x) hello_html_m188f908b.gif Значит, решением неравенства hello_html_1dc80e85.gif являются значения х, принадлежащие промежутку hello_html_m3f8e7da3.gif.

Ответ: hello_html_m3f8e7da3.gif.




Пример 2. Решите неравенство: hello_html_m3003efc4.gif .

Решение.

Чтобы решить данное неравенство графическим способом, рассмотрим две функции: f(x) =hello_html_m5d46a1a8.gif и g(x) =hello_html_m5bc7ffde.gif , D(f)=R, D(g)=hello_html_m7f43472.gif

1.Функция f(x) =hello_html_m5d46a1a8.gif - показательная функция с основанием hello_html_m4ccea8f3.gif . Для построения графика зададим таблицу ее значений:

2. Функция g(x)=hello_html_m7d0e0d18.gif hello_html_m1e41dace.gif – функция обратная пропорциональность, ее графиком является гипербола , расположенная во 2-й и 4-й координатных четвертях.

3. Построим графики этих функций в одной системе координат и выясним , при каких значениях переменной х выполнено неравенство: f(x)hello_html_m1a259466.gif g(x).


hello_html_3f9866d8.png





















Рассмотрим три интервала: hello_html_7850636f.gif и hello_html_42c41ef5.gif:

если хhello_html_515773e8.gif, то f(x) hello_html_m772058d5.gif, то f(x) hello_html_3e1da3fb.gifЗначит, решением неравенства hello_html_m37b77c71.gif являются значения х, принадлежащие промежутку hello_html_m37a1bfe7.gif

Ответ:hello_html_26dc81f9.gif
























Приложения 2.


Тест 1. Показательные неравенства.

Тест 1. Показательные неравенства.

Вариант 1.

Вариант 2.

1.Найти наибольшее целое решение неравенства


1. Найти наименьшее целое решение неравенства



2. Найти наименьшее целое решение неравенства



2. Найти наибольшее целое решение неравенства


3. Найти число целых решений неравенства



3. Найти число целых решений неравенства


принадлежащих промежутку

4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства


принадлежащих промежутку


4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства



5. Решить неравенство


5. Решить неравенство


Тест 1. Показательные неравенства.

Тест 1. Показательные неравенства.

Вариант 3.

Вариант 4.

1. Найти наибольшее целое решение неравенства


1. Найти наименьшее целое решение неравенства


2. Найти наименьшее целое решение неравенства


2. Найти наибольшее целое решение неравенства


3. Найти число целых решений неравенства


3. Найти число целых решений неравенства


принадлежащих промежутку

4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства


принадлежащих промежутку

4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства



5. Решить неравенство

5. Решить неравенство


Тест 1. Показательные неравенства.

Тест 1. Показательные неравенства.

Вариант 5.

Вариант 6.

1. Найти наибольшее целое решение неравенства



1. Найти наименьшее целое решение неравенства

.

2. Найти наименьшее целое решение неравенства



2. Найти наибольшее целое решение неравенства



3. Найти число целых решений неравенства



3. Найти число целых решений неравенства


принадлежащих промежутку

4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства


принадлежащих промежутку.

4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства



5. Решить неравенство


5. Решить неравенство



Тест 1. Показательные неравенства.

Тест 1. Показательные неравенства.

Вариант 7.

Вариант 8.

1. Найти наибольшее целое решение неравенства


1. Найти наименьшее целое решение неравенства


2. Найти наименьшее целое решение неравенства

.


2. Найти наибольшее целое решение неравенства

.

3. Найти число целых решений неравенства



3. Найти число целых решений неравенства


принадлежащих промежутку


4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства


принадлежащих промежутку


4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства




5. Решить неравенство


5. Решить неравенство



Тест 1. Показательные неравенства.

Тест 1. Показательные неравенства.

Вариант 9.

Вариант 10.

1. Найти наибольшее целое решение неравенства


1. Найти наименьшее целое решение неравенства


2. Найти наименьшее целое решение неравенства

.

2. Найти наибольшее целое решение неравенства

.

3. Найти число целых решений неравенства


3. Найти число целых решений неравенства


принадлежащих промежутку

4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства


принадлежащих промежутку

4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства



5. Решить неравенство


5. Решить неравенство



Тест 1. Показательные неравенства.

Тест 1. Показательные неравенства.

Вариант 11.

Вариант 12.

1. Найти наибольшее целое решение неравенства



1. Найти наименьшее целое решение неравенства


2. Найти наименьшее целое решение неравенства



2. Найти наибольшее целое решение неравенства


3. Найти число целых решений неравенства



3. Найти число целых решений неравенства


принадлежащих промежутку

4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства


принадлежащих промежутку


4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства



5. Решить неравенство



5. Решить неравенство



Тест 1. Показательные неравенства.

Тест 1. Показательные неравенства.

Вариант 13.

Вариант 14.

1. Найти наибольшее целое решение неравенства


1. Найти наименьшее целое решение неравенства



2. Найти наименьшее целое решение неравенства


2. Найти наибольшее целое решение неравенства



3. Найти число целых решений неравенства


3. Найти число целых решений неравенства


принадлежащих промежутку (-2;5).

4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства


принадлежащих промежутку

4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства



5. Решить неравенство

5. Решить неравенство


Тест 1. Показательные неравенства.

Тест 1. Показательные неравенства.

Вариант 15.

Вариант 16.

1. Найти наибольшее целое решение неравенства


1. Найти наименьшее целое решение неравенства


2. Найти наименьшее целое решение неравенства



2. Найти наибольшее целое решение неравенства



3. Найти число целых решений неравенства



3. Найти число целых решений неравенства


принадлежащих промежутку

4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства


принадлежащих промежутку


4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства



5. Решить неравенство



5. Решить неравенство




Тест 1. Показательные неравенства.

Вариант 17.

1. Найти наибольшее целое решение неравенства



2. Найти наименьшее целое решение неравенства

.


3. Найти число целых решений неравенства


4. Найти среднее арифметическое целых решений неравенства


принадлежащих промежутку

5. Решить неравенство




Общая информация

Номер материала: ДБ-363435

Похожие материалы