Методическая разработка урока "Проценты"

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО УРОКА

Тема: «Проценты»

Цели урока:

обучающая

& сформировать у учащихся умение решать задачи на проценты;

&  отработать навыки их решения;

&  показать учащимся применение процентных вычислений в профессии;

развивающая

&   развивать и совершенствовать умения  применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации;

&   развивать умение осуществлять самоконтроль и самостоятельность;

&   развивать логическое мышление, интерес к предмету;

&   развивать такую профессиональную компетенцию как самостоятельность;

&   развивать навыки работы в группах;

воспитывающая

&   воспитание культуры общения при работе в группах;

&   воспитывать чувство солидарности и здорового сотрудничества;

&   воспитание  у учащихся аккуратность;

&   провести диагностику качества знаний учащихся.

Тип урока –  урок обобщения и систематизации знаний.

Вид урока – работа в группах.

ИННОВАЦИОННАЯ ТЕХНОЛОГИЯ - личностно-ориентированная.

Методы обучения:

Ø объяснительно-иллюстративный,

Ø репродуктивный,

Ø частично поисковый.

    ОСНАЩЕНИЕ:

Ø презентация;

Ø дидактический раздаточный материал (тесты, перфокарты);

Ø рейтинговые таблицы по группам;

Ø сводная рейтинговая таблица.

Технические средства обучения:

Ø компьютер;

Ø мультимедийный проектор;

Ø экран;

Ø практические задания;

Ø перфокарты.

     МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ:

Ø химия, технология (тема «Расчет процентной концентрации раствора»).

Ход урока.

ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯ	ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧАЩЕГОСЯ	Предполагаемый ответ учащихся	СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ	ВРЕМЯ
I.         Организационный момент
Приветствие, рапортичка	Готовятся к уроку			1
II. Целевая ориентация
Тема, цель, задачи урока, мотивация урока, порядок проведения урока	Слушают, записывают в тетрадь тему		Слайд (тема, цель)	1
III.Проверка домашнего задания. Актуализация опорных знаний.
а) Контролирует выполнение домашнего задания. В ходе разбора решения домашнего задания, беседы с учащимися восстанавливает, переносит в новое содержание те понятия и знания, на которые будет опираться при формировании новых понятий (обратная связь с учащимися). б) Вопросы беседы: - как разделить на разрядную единицу; - как умножать десятичные дроби. в) Контроль знаний - тест (перекрестная проверка).	Анализируют домашнее задание, сверяют свое решение с правильным, проводя самоконтроль. Руководители групп заполняют рейтинговую таблицу. Отвечают на вопросы, повторяя опорные знания и умения. А)       Б)                         А)                        В) А)       Б)                           Выполняют тестовые задания. По окончании сдают тесты руководителям групп, руководители  чётных и нечётных групп меняются местами для проверки работ. Руководители проверяют, выставляют баллы в рейтинговую ведомость	4 × 0,6 = 2,4                     0,32 × 100 = 32 5 × 0,8 = 4                        0,37 : 10 = 0,037 0,03 × 1,5 = 0,045            20000 : 100 = 200 0,4 × 0,2 = 0,08                160 : 100 = 1,6 0,9 × 1,1 = 0,99                320 : 10 = 32 - перенести запятую влево на столько единиц, сколько нулей в разрядной единице; - выполнить умножение не обращая внимания на запятые; в результате отделить справа налево столько цифр, сколько их в обоих множителях. Правильные ответы во всех вариантах:	а)  Слайд (ответы) б)  Слайд (опорные знания и умения)	2 2 3
IV. Систематизация и обобщение ранее изученного.
Актуализация  темы, практическая  значимость. Объяснение понятия процента. Примеры: а) устные упражнения; б) таблица; в) задачи.	Учащиеся участвуют в беседе. Слушают объяснение.	Учащиеся говорят об использовании % в повседневной жизни, на уроках физики, химии  (распродажи, тарифы, банковские операции, голосование). Про-центы Деся-тичные дроби Обыкно-венные дроби 5 % 0,05 1/20 20% 0,2 1/5 25% 0,25 ¼ 40% 0,4 2/5 50% 0,5 ½ 75% 0,75 ¾ 110% 1,1 1 1/10	Слайд (ценники, задачи по физике и химии) Слайд с определением процента. Слайд с таблицей.
V. Формирование навыков умственного труда (Углубление и расширение знаний по теме).
а) Подсчитать  % качества знаний; б) Устно:  1)перевести в десятичную дробь:  2) каким из данных  % соответствует дробь: 3)как легче найти: 4) при делении на 4; 10 сколько  % 5) найти 25 % от 6) число 48 увеличить на 50 %; 100 на 10 % 7) 1 % равен 96;  4% равны 60 8) сколько % составляет 17 от 100; 20 от 200; 5 от 10. в) Решение задач (поход в магазин. Скидка, распродажа, повышение цен.)
VI. Итог урока (перечислить цели, оценки, комментирование).
VII. Домашнее задание.

→

Ход урока.

Время
I.Организационный момент урока
1м	(Преподаватель приветствует учащихся и заполняет рапортичку группы) Ö Здравствуйте дорогие ребята. Садитесь. Ö Староста дайте, пожалуйста, рапортичку (глазами проверяю присутствующих и расписываюсь в ней). Ö Откройте, пожалуйста, тетради и запишите на полях сегодняшнее число.
II. Целевая ориентация
5м	(Преподаватель формулирует тему, цели и задачи урока. Мотивирует учащихся к учебной деятельности. Разъясняет последовательность этапов урока, приводящих к постановке цели). А теперь, внимание на экран! (презентация урока с помощью программы Microsoft PowerPoint. (3 слайда)) Тема урока «Производная степенной функции». Обратите внимание на цели, которые стоят перед нами на сегодняшнем уроке (учащиеся по просьбе зачитывают эти цели (1 слайд)). Для усвоения нового материала мы с вами должны вспомнить (2 слайд) (учащиеся читают с экрана)          Для достижения успеха надо помнить!(3 слайд) (учащиеся читают с экрана. Создание ситуации успеха). Исходя из этого, урок будет проходить по следующей схеме: Ö проверка д.р.                                                                             (5м) Ö   практическая работа по подготовке к восприятию нового материала                                                                                                           (5+3=8м) Ö изучение нового материала                                                Ö применение новых понятий при выполнении упражнений           (15м) Ö контроль по усвоению новых знаний и умений                            (6+2=8м ) Ö подведение итога урока                                                             (2м) Работать мы сегодня будем в стационарных группах. Результаты вашей деятельности на уроке прокторы поэтапно будут передавать оператору для внесения их в общую электронную таблицу
III. Актуализация опорных знаний
4м	В начале сегодняшнего урока прошу вас вспомнить понятия и определения, которые мы изучали на предыдущем уроке  (учащиеся перечисляют): 1.   понятие приращения аргумента (DХ); 2.   понятие приращения функции (DУ); 3.   определение производной функции (f¢(х)) ).  Сейчас, проверим, как вы готовы к уроку. Начнём с проверки домашней работы. Откройте тетради и внимание на экран (приложение 1). Проверьте самостоятельно выполнение, вами домашней работы, сравнив с решением на экране, и оцените его: Ö Если задание выполнено верно, то ставите себе на полях 2 балла, т.е. 0,5 балла за каждое правильно выполненное действие (в первых двух примерах) Ö Если допущена вычислительная ошибка при правильном применении формул, то ставите себе 1 балл (в первых двух примерах) Ö В третьем примере засчитывается только правильное решение, при правильном выполнении ставите себе на полях 1 балл. Теперь переведите баллы в отметку и поставьте её себе в тетрадь, а прокторы запишите её. в таблицу своей группы (приложение 1а) Выполняя домашнюю работу вы вычисляли приращение функции и находили значение производной функции. А теперь назовите и сформулируйте, пожалуйста, опорные знания и их определения  (учащиеся перечисляют и формулируют): Ö приращение аргумента; Ö приращение функции; Ö ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ; Ö вычисление пределов; Ö алгоритм вычисления производной функции; Ö свойства пределов. Молодцы! Я вижу, вы готовы к практической работе.
	A)  Контроль опорных знаний и умений
4 м + 3м	(Преподаватель предлагает тесты с выбором вариантов ответов для углубления и закрепления полученных ранее знаний, умений учащихся. Объясняет работу с перфокартами.  Объясняет значение темы, её актуальность). 1. Прокторы раздайте, пожалуйста, задания и перфокарты в своих группах. ( приложение 2 – 5 вариантов). Работа выполняется в тетрадях в течение 5 минут, пока звучит музыка, а ответ отмечается в перфокарте. Удачи! (По окончании времени прокторы чётных и нечётных групп меняются местами для проверки работ (перекрёстная проверка), на месте остаётся проктор 3 группы. Результаты прокторы отдают оператору. Оператор вносит их в сводную рейтинговую электронную таблицу, которая расположена на экране и каждый учащийся следит за своими результатами в течение всего урока). 2 (Когда идёт обработка тестовых листов преподаватель беседует с учащимися)  Пока прокторы занимаются своей работой, давайте поговорим об актуальности данной темы и её практической значимости, связью с жизнью. (Учащиеся говорят о практической значимости материала. ПРИЛОЖЕНИЕ 2А).                          МОЛОДЦЫ!
IV. Формирование новых понятий и способов действий
9 м всего 5 м 2м 1-2 мин	1. (Преподаватель активизирует познавательную деятельность учащихся для самостоятельного вывода формулы нахождения производной степенной функции вида f(х) = xр. Создает проблемную ситуацию: направляет учащихся на её решение, организует поиск решения. Задаёт из учебника задания для закрепления введенной формулы. Контролирует работу учащихся у доски и в группах, обеспечивая обратную связь). Посмотрите на доску (открывается запись на доске) и запишите в тетрадь условие примера записанного на ней   Я предлагаю вам решить этот пример, воспользовавшись алгоритмом вычисления производной. Прошу к доске желающего выполнить первые 2 этапа вычислений (выходит учащийся и выполняет решение первых 2х этапов). Следующие 2 этапа выполняет другой желающий ответить и т.д. (6 этапов нахождения производной –  работают у доски 3 учащихся). Теперь сделаем вывод, сравнив вид функции с видом её производной: Ö какие изменения произошли с показателем степени? Ö как изменился коэффициент производной по отношению к коэффици- енту функции? Попробуем использовать эти выводы к записи производной степенной функции f(х) =хn.     (Учащиеся анализируют и приходят к выводу) Молодцы, правильно! Таким образом, мы получили формулу нахождения производной степенной функции вида f(х) = хn, запишите её в тетрадь по центру строчки и возьмите в рамку. (формула появилась на экране) 2. (Методом анализа выводится формула нахождения производной степенной функции вида  f(x) = (kx+b)n.  Решаются задания из учебника для закрепления введенной формулы. Контролирует работу учащихся у доски и в группах, обеспечивая обратную связь с учащимися). Ребята, нам теперь необходимо логическим методом ввести формулу производной степенной функции вида f(х) = (kх + b)n. (Сравнивая и сопоставляя  вид функций и их производных, приходят учащиеся к выводу, что производная данной функции имеет следующий вид) (формула появилась на экране)
V формирование навыков умственного труда
17м всего 1 м 2 м 3 м 3 мин 6 м 2 м	Проверим усвоение нового материала. Научимся применять эти формулы при выполнении упражнений. Откройте учебник на стр.243 и найдите номера, соответствующие закреплению 1 формулы (номера записаны на доске на привычном для учащихся месте) Закрепление I формулы.          № 787-789 (1): А как же нам оформлять решение этих заданий? Внимание на экран! Вам предлагается 2 варианта оформления решения, внимательно  посмотрите и выберите наиболее рациональное (приложение 3) (учащиеся выбирают, дискутируя и обосновывая свою точку зрения, останавливаются на рациональности оформления 2 способом) А теперь запишите решение этих примеров к себе в тетради (2 мин) Одновременно приглашаются к доске трое учащихся, желающих проверить свои силы. (выходят 3 учащихся, решают упражнения и решив комментируют преподавателю на ухо, затем получив за активность на уроке баллы садятся на своё место). Молодцы! Откройте учебник на стр.243 и найдите номера, соответствующие закреплению 2 формулы (номера записаны на доске на привычном для учащихся месте).   Закрепление II формулы.          № 791(1, 3),792(1). Прошу к доске ещё 3х человек, желающих, тоже проверить свои силы. (выходят 3 учащихся, решают примеры и решив комментируют преподавателю на ухо, затем получив за активность на уроке баллы садятся на своё место. При решении 2го и 3го примеров учащимся, работавшим у доски была оказана помощь со стороны других учащихся группы по привычной схеме.  Учащиеся, увидевшие замешательство при решении примеров, молча, т.е без особого разрешения на то преподавателя, сами выходят к доске и оказав помощь садятся на своё место, получив баллы за активность на уроке). Молодцы! В тетрадях запишите самостоятельная работа и внимание на экран. (приложение 4) Решаем данное  задание 6 мин, записывая решение в тетрадь, а ответ на полях, естественно, в столбик буквой соответствующей  ответу данного задания. Удачи! (играет музыка) Время! Проверим правильность выполнения этой с. р. Пожалуйста, какая буква соответствует ответу первого задания? Правильно. У кого так поставьте себе 1 балл на поля. И Т, Д, А теперь прочтите, пожалуйста, слитно  сверху вниз буквы правильных ответов. Пожалуйста, что получилось у вас? (спрашиваю сама, если боятся поднять руку) Если вы решили верно, то у вас должно получиться слово «КОНЕЦ». т.е. конец нашего урока. Прокторы отдайте оператору результаты с.р. и активности на уроке. (На экране появляется электронная рейтинговая таблица, в которую оператор вносит данные полученные от прокторов и появляется так же средняя отметка каждого учащегося за урок)
VI итог урока. Домашнее задание.
2м	Преподаватель подводит итог урока с учащимися в форме беседы, возвращаясь к целевой установке. Учащиеся самостоятельно делают выводы по уроку. Ребята посмотрите, пожалуйста, на экран на результат своей деятельности на уроке, т.е на свои отметки. (Проводится анализ допущенных ошибок) Запишите домашнюю работу. Как всегда, на дом вы берёте те же самые номера только чётные задания, т.е. 2 и 4, аналогичные решённым на уроке. Какие у вас есть вопросы по выполнению д.р.? Нет? На этом наш урок окончен. Спасибо за сотрудничество на уроке! Всего вам доброго!

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Домашняя работа

Дано:                                               Решение.

f(x)=2x² + 3x + 1  1.Найдем значение х₁ :

x = 1                                       х₁=х + ΔX=1+0,1=1,1.

ΔX = 0,1                        2.Вычислим значение f(x):

Найти:                                             f(1)=2۰1²+3۰1+1=6.

Δf(х)                                    3.Вычислим значение f(x+ΔX):

                                                         f(1,1)=2۰1,1²+3۰1,1+1=6,72.

                                                 4.Найдём приращение функции:

                                                         Δf=f(1,1)-f(1)=6,72-6=0,72.

                                               Ответ. Δf(х)=0,72.

                                                                                                        (2 балла)

Дано:                                               Решение.

f(x)=         1.Найдем значение х₁ :

x = 1                                       х₁=х + ΔX=1+0,2=1,2.

ΔX = 0.2                        2.Вычислим значение f(x):

Найти: Δf                                         f(1)=.

                                            3.Вычислим значение f(x+ΔX):

                                               f(1,2)=                                                          4.Найдём приращение функции:

                                                                   Δf=f(1,2)-f(1)=3,39-4=-0,61.

                                               Ответ. Δf(х)=-0,61.

                                                                                                        (2 балла)

Дано:                                               Решение.

Δf(x)=0,64           1.Найдем отношение приращения

ΔX = 0.2                        функции к приращению аргумента:

Найти:                                             Δf/ ΔX=0,64:0,2=3,2.

Δf´(х)                             2.Вычислим предел этого отношения                                                                 при ΔXà0:

                                               Δf´(х)=

                                               Ответ. Δf´(х)=3.2.

                                                                                                        (1 балл)

“5” – 5 баллов, “4” – 4 балла, “3” – 3 балла

ПРИЛОЖЕНИЕ 1А

№ п/п	Список учащихся по группам	Выполнение домашней работы	Тестовая работа по повторению	Самостоятельная работа по новому материалу	Итого	Активность на уроке	Итого за урок
	I группа
1.
2.
3.
4.
5.

№ п/п	Список учащихся по группам	Выполнение домашней работы	Тестовая работа по повторению	Самостоятельная работа по новому материалу	Итого	Активность на уроке	Итого за урок
	II группа
1.
2.
3.
4.
5.

№ п/п	Список учащихся по группам	Выполнение домашней работы	Тестовая работа по повторению	Самостоятельная работа по новому материалу	Итого	Активность на уроке	Итого за урок
	III группа
1.
2.
3.
4.
5.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ЛИСТ ЗАДАНИЙ

I вариант

Задания	Варианты ответов
1. Представить в виде степени с рациональным показателем:                 (3 балла)	а);      б) ;       в)
2. Представить в виде корня из степени с целым показателем степени:  (3 балла)	а) ;    б) ;   в)
3. Определите вид функции:  (1 балл)	а) показательная функция б) степенная функция в)  логарифмическая функция

I вариант

	+ +             +

 

Ответы

1)                б (3 балла);

2)                а (3 балла);

3)                б (1 балл);

Итого: 7 баллов

«5» – 7 баллов

«4» – 6 баллов

«3» – 4 балла

ЛИСТ ЗАДАНИЙ

II вариант

Задания	Варианты ответов
1. Представить в виде степени с рациональным показателем:                    (3 балла)	а);    б) ;    в)
2. Представить в виде корня из степени с целым показателем степени:  (3 балла)	а);  б);   в)
3. Определите вид функции:       (1 балл)	а) показательная функция б) степенная функция в) логарифмическая функция

II вариант

	+                     + +

 

Ответы

1)    б (3 балла);

2)    в (3 балла);

3)    а (1 балл);

Итого: 7 баллов

«5» – 7 баллов

«4» – 6 баллов

«3» – 4 баллов

ЛИСТ ЗАДАНИЙ

III вариант

Задания	Варианты ответов
1. Представить в виде степени с рациональным показателем.                    (3 балла)	а);       б) ;       в)
2. Представить в виде корня из степени с целым показателем степени:  (3 балла)	а);   б) ;   в)
3. Определите вид функции	а) логарифмическая функция б) степенная функция в) показательная функция

   

III вариант

	+                     + +

 

Ответы

1)    а (3 балла);

2)    в (3 балла);

3)    а (1 балл);

Итого: 7 баллов.

«5» – 7 баллов

«4» – 6 баллов

«3» – 4 балла

ЛИСТ ЗАДАНИЙ

IV вариант

Задания	Варианты ответов
1. Представить в виде степени с рациональным показателем:                    (3 балла)	а) ;     б) ;     в)
2. Представить в виде корня из степени с целым показателем степени:  (3 балла)	а) ;      б) ;      в)
3. Определите вид функции: (1 балл)	а) логарифмическая функция б) степенная функция в) показательная функция

IV вариант

 

+ +             +

Ответы

1)    б (3 балла);

2)    а (3 балла);

3)    б (1 балл);

Итого: 7 баллов.

«5» – 7 баллов

«4» – 6 баллов

«3» – 4 балла

ЛИСТ ЗАДАНИЙ

V вариант

Задания	Варианты ответов
1. Представить в виде степени с рациональным показателем                    (3 балла)	а);    б) ;     в)
2. Представить в виде корня из степени с целым показателем степени:                (3 балла)	а) ;   б)  ;    в)
3. Определите вид функции          (1 балл)	а) показательная функция б) тригонометрическая функция в) степенная функция

V вариант

	+ +                     +

 

Ответы

1)    б (3 балла);

2)    а (3 балла);

3)    в (1 балл);

Итого: 7 баллов.

«5» – 7 баллов

«4» – 6 баллов

«3» – 4 балла

Примечание;

Для занятия необходимо 2 комплекта заданий:

	Комплект для прокторов с эталонами ответов и нормами оценивания
	Комплект для учащихся без эталонов ответов и норм оценивания

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2А

ПРИЛОЖЕНИЕ 2А

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ

ПРОИЗВОДНАЯ

 

Приращение функции

Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорцио­нальна удлинению пружины; работа есть изменение энергии;

средняя скорость — это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д.

При сравнении значения функции f в некоторой фиксирован­ной точке Хо со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности Хо, удобно выражать разность f (x)—f (xo) через разность у.—Хо, пользуясь понятиями «приращение аргу­мента» и «приращение функции». Объясним их смысл.

Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрест­ности фиксированной точки Хо.

Разность х—Хо называется при­ращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке Хо и обозначается Δх. Таким образом,

ΔХ=Х—Хо,

откуда следует, что х==хо+Δх.

Говорят также, что первоначальное значение аргумента xo получило приращение Δх. Вследствие этого значение функции / изменится на величину

f(x)-f(x_o)=f(x_o+Δx)-f(x_o).

Эта разность называется приращением функции f в точке Хо, соответствующим приращению Δх, и обозначается символом Δf (читается «дельта эф»), т. е. по определению

Δf=f(x_o+Δx)-f(x_o). (1)

Обратите внимание: при фиксированном Хо приращение Δf есть функция от Δх.

Рассмотрим график функции y=f(x). Геометрический смысл приращении ΔХ и Δ f (приращение Δf обозначают также Δу) можно понять, рассмотрев рисунок 80.

Прямую /, проходящую через любые две точки графика функ­ции f, называют секущей к графику f. Угловой коэффициент  k секущей, проходящей через точки (хо; уо) и (х; у), равен  Его удобно выразить через приращения: ΔХ и Δу

k = tq α=

(Напомним, что угловой коэффициент прямой y==kx + b равен тангенсу угла α, который эта прямая образует с осью абсцисс.)

С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени

Если точка движется по прямой и известна ее координата х (t), то

V _ср( Δt)=

Эта формула верна и для Δt<0 (для промежутка (t₀+Δt; Δto]) В самом деле, в этом случае перемещение точки равно x(to)— x(t₀+Δx'); длительность промежутка времени равна —Δt, и следовательно,

V_cр (Δt)=

Аналогично выражение —называют средней скоростью изменения функции на промежутке с концами -x_о и x₀+Δx.

ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ

Содержание разделов курса, составляющих начала математи­ческого анализа, трудно для изучения. Поэтому их изложение ведется на наглядно-интуитивном уров­не: многие формулы не доказываются, а только поясняются или принимаются без доказательства.

Главное — целесообразность изучения производной и первообразной (интег­рала), так как это необходимо при решении многих практических задач, связанных с исследованием физических явлений, вычисле­нием площадей криволинейных фигур и объемов тел с произволь­ными границами, с построением графиков функций.

Прежде всего, следует сказать, что функции, графиками кото­рых являются кривые, описывают многие важные физические и технические процессы.

По сравнению с прямой кривые постоянно меняют наклон, меняют возрастание на убывание или наоборот;

могут существовать значения у, которым соответствует не одно, а несколько значений х, и т. д., т. е. кривые являются существенно более сложными объектами для изучения, чем прямые. Отсюда возникает идея линеаризации, идея сведения изучения кривых к изучению некоторой ломаной, близкой к этой кривой, и далее к изучению отрезков ломаной, являющихся хордами, соединяющими две точки данной кривой.

Впервые эту мысль высказал Г. Лейбниц (1646—1716), который утверждал, что на небольших промежутках кривая неотличима от прямой, а наклон секущей, проходящей че­рез две точки кривой при сближении этих точек, можно заменить наклоном касательной. Чем ближе концы хорд друг к другу, тем точнее приближение данной кривой к соответствующей ломаной. Следует также иметь в виду, что наклон кривой в той или иной точке промежутка, на котором она рассматривается, определяет многие ее свойства (возрастание, убывание и т.д.).

1. Понятие о касательной к графику функции. Графики практически всех известных вам функций изображались в виде гладких кривых. Рассмотрим, как геометрически устроены такие кривые, на конкретном примере — графике функции у=х² при значениях аргумента, близких к 1.

Для этого увеличим единицу масштаба  в 10 раз; в этом масштабе построим график у=х² на отрезке [0,5; 1,5] (рис. 83). Затем, увеличивая масштаб еще в 10 раз, построим график функции на отрезке [0,95; 1,05] (рис. 84). Видно, что при значениях, близких к 1, график функции у=х² практически не отличает­ся от маленького отрезка прямой у==2х—1, т. е. точки графика данной функции как бы «выстраиваются» вдоль этой прямой.

Аналогичным свойством обладает любая гладкая кривая: про­извольный ее маленький участок практически не отличается от отрезка некоторой прямой /. (Интересно заметить, что графо­построители, применяемые в ЭВМ, «рисуют» графики гладких функций по точкам, проводя в каждой точке маленький отрезок.) Отметим, что для каждой точки гладкой кривой соответствующая этой точке прямая (т. е. прямая, отрезком которой мы представля­ем себе маленький участок кривой) вполне определена. Чтобы по­нять это, обратимся к следующей наглядной иллюстрации.

Допустим, мы хотим изготовить трафарет, чтобы быстро рисо­вать синусоиду, параболу или гиперболу и т. п. Для этого пред­варительно на миллиметровой бумаге строится возможно точнее график этой кривой. Как вы можете убедиться, с помощью нож­ниц удается аккуратно вырезать трафарет, граница которого — нужная нам кривая. Положение ножниц в каждой точке (а оно и задает искомую прямую в этой точке) вполне определено: любое отклонение ножниц в ходе разрезания от этого положения при­водит либо к появлению выступа, либо к прорезу трафарета.

Проходящую через точку (хо, f (xo)) прямую, с отрезком ко­торой практически сливается график функции f при значениях х, близких к Хо, называют касательной к графику функции f в точ­ке (хо; f (л-о)). Возникает естественная задача: определить точное положение касательной к графику данной функции f в заданной точке.

Координаты одной точки прямой / известны — это точка (хо, f (Δх)). Остается найти угловой коэффициент k касательной.

В качестве примера рассмотрим функцию у==х². Ее график в малой окрестности точки хо близок к отрезку касательной ;. Поэтому естественно ожидать, что угловые коэффициенты се­кущих, проходящих через точки (хо; x²₀) и (х_о+Δх; (х_о+Δх)²), бу­дут близки к угловому коэффициенту k, если Лх будет неограни­ченно приближаться к нулю (т. е. точка х приближается к хо).

Угловой коэффициент k (Δх) секущей, проходящей через точки

(х₀; у(х_о)) и (х_о+Δх, у(х_о+Δх) равен  , где Δу— при­ращение функции у в точке Хо, соответствующее приращению Δх: аргумента. Для функции у=х²

'

Чтобы найти угловой коэффициент касательной, остается выяс­нить, к какому значению близко k (Δх), если Δх приближается к нулю. Очевидно, что k (Δх) близко к 2х_о. Следовательно, при очень малых значениях Δх угловой коэффициент секущей близок к 2х_о. При.х_о=1 получаем k=2. Учитывая, что искомая касатель­ная проходит через точку (1; 1), приходим к выводу, что уравнение касательной таково: у=2х—\.

К этому же выводу пришли в на­чале пункта из чисто наглядных соображений.

2. Мгновенная скорость движения.

Обратимся теперь к задаче, известной вам из физики. Рассмотрим движение точки по пря­мой. Пусть координата х точки в момент времени t равна х {t). Как и в курсе физики, предполагаем, что движение осу­ществляется непрерывно и плавно. Иными словами, речь идет о движениях, наблюдаемых в реальной жизни. Для определенности будем считать, что речь идет о движении автомобиля по прямо­линейному участку шоссе.

Поставим задачу: по известной зависимости х (t) определить скорость, с которой движется автомобиль в момент времени t (как вы знаете, эта скорость называется мгновенной скоростью). Если зависимость х {t) линейна, ответ прост: в любой момент вре­мени скорость есть отношение пройденного пути ко времени. Если движение не равномерно, задача сложнее.

Тот факт, что в любой момент времени автомобиль движется с какой-то определенной (для этого момента) скоростью, очевиден. Эту скорость легко найти, сделав в момент времени to фото­снимок спидометра. (Показание спидометра указывает значение мгновенной скорости в момент t.) Чтобы найти скорость v^(to), зная х (t), на уроках физики вы поступали следующим образом.

Средняя скорость за промежуток времени длительностью от t_o до t_o+Δt известна

приложение 3

Образец оформления задания

В учебнике

Найдите производную функции:                      х¹⁷.

Запись в тетраде

I способ оформления решения

Дано:                      Решение.

f(x)= x¹⁷

              f’(x)= (х¹⁷)’= 17٠х^17-1= 17х¹⁶.

Найти:

f’(x).

II способ оформления решения

1)f’(x)= (х¹⁷)’= 17٠х^17-1= 17х¹⁶.

2)

3)

Какое из предложенных оформлений

вы  считаете более рациональным?

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

самостоятельная работа 

Найдите производную функции, записав решение в тетради и сравнив с данными ответами.

Полученный ответ запишите на полях!

Задания	Варианты ответов
1.    х11 2. х- 4         3. 4. ( 3х - 5)3 5.	а)10х11 н) к) 11х10 о) б) 3( 3х - 5)9 е) 9( 3х - 5)2 ц)

Эталон (для преподавателя)

1.     К 2.     О 3.     Н 4.     Е 5. Ц