Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическая разработка урока "Проценты"

Методическая разработка урока "Проценты"

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


СВИДЕТЕЛЬСТВО СРАЗУ ПОСЛЕ ПРОСМОТРА ВЕБИНАРА

Вебинар «Подростковая лень: причины, способы борьбы»

Просмотр и заказ свидетельств доступен только до 22 января! На свидетельстве будет указано 2 академических часа и данные о наличии образовательной лицензии у организатора, что поможет Вам качественно пополнить собственное портфолио для аттестации.

Получить свидетельство за вебинар - https://infourok.ru/webinar/65.html

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_5a7b7a98.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m312b4cf5.gifhello_html_m312b4cf5.gifhello_html_m312b4cf5.gifhello_html_m312b4cf5.gifhello_html_m2a7690f7.gifМЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО УРОКА


Тема: «Проценты»


Цели урока:

обучающая

  • сформировать у учащихся умение решать задачи на проценты;

  • отработать навыки их решения;

  • показать учащимся применение процентных вычислений в профессии;

развивающая

  • развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации;

  • развивать умение осуществлять самоконтроль и самостоятельность;

  • развивать логическое мышление, интерес к предмету;

  • развивать такую профессиональную компетенцию как самостоятельность;

  • развивать навыки работы в группах;


воспитывающая

  • воспитание культуры общения при работе в группах;

  • воспитывать чувство солидарности и здорового сотрудничества;

  • воспитание у учащихся аккуратность;

  • провести диагностику качества знаний учащихся.


Тип урока урок обобщения и систематизации знаний.

Вид урока работа в группах.

ИННОВАЦИОННАЯ ТЕХНОЛОГИЯ - личностно-ориентированная.


Методы обучения:

  • объяснительно-иллюстративный,

  • репродуктивный,

  • частично поисковый.


ОСНАЩЕНИЕ:

  • презентация;

  • дидактический раздаточный материал (тесты, перфокарты);

  • рейтинговые таблицы по группам;

  • сводная рейтинговая таблица.


Технические средства обучения:

  • компьютер;

  • мультимедийный проектор;

  • экран;

  • практические задания;

  • перфокарты.


МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ:

  • химия, технология (тема «Расчет процентной концентрации раствора»).

Ход урока.

ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯ

ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧАЩЕГОСЯ

Предполагаемый ответ учащихся

СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ

ВРЕМЯ

  1. Организационный момент


Приветствие, рапортичка


Готовятся к уроку




1

II. Целевая ориентация

Тема, цель, задачи урока, мотивация урока, порядок проведения урока

Слушают, записывают в тетрадь тему


Слайд

(тема, цель)

1

III.Проверка домашнего задания. Актуализация опорных знаний.

а) Контролирует выполнение домашнего задания. В ходе разбора решения домашнего задания, беседы с учащимися восстанавливает, переносит в новое содержание те понятия и знания, на которые будет опираться при формировании новых понятий (обратная связь с учащимися).

б) Вопросы беседы:

- как разделить на разрядную единицу;


- как умножать десятичные дроби.








в) Контроль знаний - тест (перекрестная проверка).










Анализируют домашнее задание, сверяют свое решение с правильным, проводя самоконтроль.





Руководители групп заполняют рейтинговую таблицу.




Отвечают на вопросы, повторяя опорные знания и умения.











Б)))

В)

В)

А) Б)



А) В)



А) Б)



Выполняют тестовые задания. По окончании сдают тесты руководителям групп, руководители чётных и нечётных групп меняются местами для проверки работ.

Руководители проверяют, выставляют баллы в рейтинговую ведомость

4 × 0,6 = 2,4 0,32 × 100 = 32

5 × 0,8 = 4 0,37 : 10 = 0,037

0,03 × 1,5 = 0,045 20000 : 100 = 200

0,4 × 0,2 = 0,08 160 : 100 = 1,6

0,9 × 1,1 = 0,99 320 : 10 = 32









- перенести запятую влево на столько единиц, сколько нулей в разрядной единице;

- выполнить умножение не обращая внимания на запятые; в результате отделить справа налево столько цифр, сколько их в обоих множителях.

В)

Правильные ответы во всех вариантах:

а) Слайд (ответы)

















б) Слайд (опорные знания и умения)


2


















2














3

IV. Систематизация и обобщение ранее изученного.

Актуализация темы, практическая значимость.








Объяснение понятия процента.


Примеры:

а) устные упражнения;

б) таблица;

в) задачи.

Учащиеся участвуют в беседе.








Слушают объяснение.



Учащиеся говорят об использовании % в повседневной жизни, на уроках физики, химии

(распродажи, тарифы, банковские операции, голосование).





Про-центы

Деся-тичные дроби

Обыкно-венные

дроби

5 %

0,05

1/20

20%

0,2

1/5

25%

0,25

¼

40%

0,4

2/5

50%

0,5

½

75%

0,75

¾

110%

1,1

1 1/10



Слайд (ценники, задачи по физике и химии)






Слайд с определением процента.

Слайд с таблицей.


V. Формирование навыков умственного труда (Углубление и расширение знаний по теме).


а) Подсчитать % качества знаний;


б) Устно:

1)перевести в десятичную дробь:


2) каким из данных % соответствует дробь:


3)как легче найти:


4) при делении на 4; 10 сколько %


5) найти 25 % от


6) число 48 увеличить на 50 %; 100 на 10 %


7) 1 % равен 96;

4% равны 60


8) сколько % составляет 17 от 100; 20 от 200; 5 от 10.


в) Решение задач (поход в магазин. Скидка, распродажа, повышение цен.)






VI. Итог урока (перечислить цели, оценки, комментирование).



VII. Домашнее задание.









































Ход урока.



Время


I.Организационный момент урока

1м

(Преподаватель приветствует учащихся и заполняет рапортичку группы)

  • Здравствуйте дорогие ребята. Садитесь.

  • Староста дайте, пожалуйста, рапортичку (глазами проверяю присутствующих и расписываюсь в ней).

  • Откройте, пожалуйста, тетради и запишите на полях сегодняшнее число.


II. Целевая ориентация


(Преподаватель формулирует тему, цели и задачи урока. Мотивирует учащихся к учебной деятельности. Разъясняет последовательность этапов урока, приводящих к постановке цели).


А теперь, внимание на экран! (презентация урока с помощью программы Microsoft PowerPoint. (3 слайда))

Тема урока «Производная степенной функции». Обратите внимание на цели, которые стоят перед нами на сегодняшнем уроке (учащиеся по просьбе зачитывают эти цели (1 слайд)).

Для усвоения нового материала мы с вами должны вспомнить (2 слайд) (учащиеся читают с экрана)

Для достижения успеха надо помнить!(3 слайд) (учащиеся читают с экрана. Создание ситуации успеха).


Исходя из этого, урок будет проходить по следующей схеме:

  • проверка д.р. ()

  • практическая работа по подготовке к восприятию нового материала (5+3=8м)

  • изучение нового материала

  • применение новых понятий при выполнении упражнений (15м)

  • контроль по усвоению новых знаний и умений (6+2=8м )

  • подведение итога урока (2м)

Работать мы сегодня будем в стационарных группах. Результаты вашей деятельности на уроке прокторы поэтапно будут передавать оператору для внесения их в общую электронную таблицу

III. Актуализация опорных знаний


В начале сегодняшнего урока прошу вас вспомнить понятия и определения, которые мы изучали на предыдущем уроке (учащиеся перечисляют):

  1. понятие приращения аргумента (DХ);

  2. понятие приращения функции (DУ);

  3. определение производной функции ((х)) ).

Сейчас, проверим, как вы готовы к уроку. Начнём с проверки домашней работы. Откройте тетради и внимание на экран (приложение 1). Проверьте самостоятельно выполнение, вами домашней работы, сравнив с решением на экране, и оцените его:

  • Если задание выполнено верно, то ставите себе на полях 2 балла, т.е. 0,5 балла за каждое правильно выполненное действие (в первых двух примерах)

  • Если допущена вычислительная ошибка при правильном применении формул, то ставите себе 1 балл (в первых двух примерах)

  • В третьем примере засчитывается только правильное решение, при правильном выполнении ставите себе на полях 1 балл.


Теперь переведите баллы в отметку и поставьте её себе в тетрадь, а прокторы запишите её. в таблицу своей группы (приложение 1а)

Выполняя домашнюю работу вы вычисляли приращение функции и находили значение производной функции.

А теперь назовите и сформулируйте, пожалуйста, опорные знания и их определения (учащиеся перечисляют и формулируют):

  • приращение аргумента;

  • приращение функции;

  • ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ;

  • вычисление пределов;

  • алгоритм вычисления производной функции;

  • свойства пределов.


Молодцы! Я вижу, вы готовы к практической работе.



  1. Контроль опорных знаний и умений

4 м




+


(Преподаватель предлагает тесты с выбором вариантов ответов для углубления и закрепления полученных ранее знаний, умений учащихся. Объясняет работу с перфокартами. Объясняет значение темы, её актуальность).


1. Прокторы раздайте, пожалуйста, задания и перфокарты в своих группах. ( приложение 2 – 5 вариантов).

Работа выполняется в тетрадях в течение 5 минут, пока звучит музыка, а ответ отмечается в перфокарте. Удачи!

(По окончании времени прокторы чётных и нечётных групп меняются местами для проверки работ (перекрёстная проверка), на месте остаётся проктор 3 группы.

Результаты прокторы отдают оператору. Оператор вносит их в сводную рейтинговую электронную таблицу, которая расположена на экране и каждый учащийся следит за своими результатами в течение всего урока).



2 (Когда идёт обработка тестовых листов преподаватель беседует с учащимися)

Пока прокторы занимаются своей работой, давайте поговорим об актуальности данной темы и её практической значимости, связью с жизнью.


(Учащиеся говорят о практической значимости материала.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2А).

МОЛОДЦЫ!

IV. Формирование новых понятий и способов действий

9 м

всего











5 м







































1-2 мин


1. (Преподаватель активизирует познавательную деятельность учащихся для самостоятельного вывода формулы нахождения производной степенной функции вида f(х) = xр.


Создает проблемную ситуацию: направляет учащихся на её решение, организует поиск решения.

Задаёт из учебника задания для закрепления введенной формулы. Контролирует работу учащихся у доски и в группах, обеспечивая обратную связь).


Посмотрите на доску (открывается запись на доске) и запишите в тетрадь условие примера записанного на ней

Дано: Решение.

f(x)=x2

Найти:

Δf(х)








Я предлагаю вам решить этот пример, воспользовавшись алгоритмом вычисления производной.

Прошу к доске желающего выполнить первые 2 этапа вычислений (выходит учащийся и выполняет решение первых 2х этапов).


Следующие 2 этапа выполняет другой желающий ответить и т.д.

(6 этапов нахождения производной – работают у доски 3 учащихся).

Теперь сделаем вывод, сравнив вид функции с видом её производной:

  • какие изменения произошли с показателем степени?

  • как изменился коэффициент производной по отношению к коэффици- енту функции?

Попробуем использовать эти выводы к записи производной степенной функции f(х) =хn. (Учащиеся анализируют и приходят к выводу)

Молодцы, правильно!

Таким образом, мы получили формулу нахождения производной степенной функции вида f(х) = хn, запишите её в тетрадь по центру строчки и возьмите в рамку.

hello_html_f9b1cd5.gif

(формула появилась на экране)

2.

(Методом анализа выводится формула нахождения производной степенной функции вида f(x) = (kx+b)n. Решаются задания из учебника для закрепления введенной формулы. Контролирует работу учащихся у доски и в группах, обеспечивая обратную связь с учащимися).


Ребята, нам теперь необходимо логическим методом ввести формулу производной степенной функции вида f(х) = (kх + b)n.

(Сравнивая и сопоставляя вид функций и их производных, приходят учащиеся к выводу, что производная данной функции имеет следующий вид)

hello_html_m41d0a701.gif

(формула появилась на экране)


V формирование навыков умственного труда



17м

всего






1 м




2 м




3 м








3 мин

















6 м







2 м





Проверим усвоение нового материала.

Научимся применять эти формулы при выполнении упражнений.

  • х6.

  • Х-2.

  • Х1/2.


Откройте учебник на стр.243 и найдите номера, соответствующие закреплению 1 формулы (номера записаны на доске на привычном для учащихся месте)

Закрепление I формулы.

№ 787-789 (1):



А как же нам оформлять решение этих заданий?

Внимание на экран!

Вам предлагается 2 варианта оформления решения, внимательно посмотрите и выберите наиболее рациональное (приложение 3)

(учащиеся выбирают, дискутируя и обосновывая свою точку зрения, останавливаются на рациональности оформления 2 способом)


А теперь запишите решение этих примеров к себе в тетради (2 мин)

Одновременно приглашаются к доске трое учащихся, желающих проверить свои силы.


(выходят 3 учащихся, решают упражнения и решив комментируют преподавателю на ухо, затем получив за активность на уроке баллы садятся на своё место).

Молодцы!


Откройте учебник на стр.243 и найдите номера, соответствующие закреплению 2 формулы (номера записаны на доске на привычном для учащихся месте).



Закрепление II формулы.

791(1, 3),792(1).


Прошу к доске ещё 3х человек, желающих, тоже проверить свои силы.

(выходят 3 учащихся, решают примеры и решив комментируют преподавателю на ухо, затем получив за активность на уроке баллы садятся на своё место. При решении 2го и 3го примеров учащимся, работавшим у доски была оказана помощь со стороны других учащихся группы по привычной схеме. Учащиеся, увидевшие замешательство при решении примеров, молча, т.е без особого разрешения на то преподавателя, сами выходят к доске и оказав помощь садятся на своё место, получив баллы за активность на уроке).

Молодцы!

В тетрадях запишите самостоятельная работа и внимание на экран.

(приложение 4)

Решаем данное задание 6 мин, записывая решение в тетрадь, а ответ на полях, естественно, в столбик буквой соответствующей ответу данного задания.

Удачи!

(играет музыка)


Время! Проверим правильность выполнения этой с. р.

Пожалуйста, какая буква соответствует ответу первого задания? Правильно. У кого так поставьте себе 1 балл на поля.

И Т, Д,

А теперь прочтите, пожалуйста, слитно сверху вниз буквы правильных ответов.

Пожалуйста, что получилось у вас?

(спрашиваю сама, если боятся поднять руку)


Если вы решили верно, то у вас должно получиться слово

«КОНЕЦ». т.е. конец нашего урока.

Прокторы отдайте оператору результаты с.р. и активности на уроке.

(На экране появляется электронная рейтинговая таблица, в которую оператор вносит данные полученные от прокторов и появляется так же средняя отметка каждого учащегося за урок)


VI итог урока. Домашнее задание.


Преподаватель подводит итог урока с учащимися в форме беседы, возвращаясь к целевой установке. Учащиеся самостоятельно делают выводы по уроку.

Ребята посмотрите, пожалуйста, на экран на результат своей деятельности на уроке, т.е на свои отметки.

(Проводится анализ допущенных ошибок)

Запишите домашнюю работу. Как всегда, на дом вы берёте те же самые номера только чётные задания, т.е. 2 и 4, аналогичные решённым на уроке.

Какие у вас есть вопросы по выполнению д.р.? Нет?

На этом наш урок окончен.

Спасибо за сотрудничество на уроке! Всего вам доброго!



ПРИЛОЖЕНИЕ 1hello_html_6f352454.gif

Домашняя работа


Дано: Решение.

f(x)=2x2 + 3x + 1 1.Найдем значение х1 :

x = 1 х1=х + ΔX=1+0,1=1,1.

ΔX = 0,1 2.Вычислим значение f(x):

Найти: f(1)=2۰12+3۰1+1=6.

Δf(х) 3.Вычислим значение f(x+ΔX):

f(1,1)=2۰1,12+3۰1,1+1=6,72.

4.Найдём приращение функции:

Δf=f(1,1)-f(1)=6,72-6=0,72.

Ответ. Δf(х)=0,72.


(2 балла)

Дано: Решение.

f(x)=hello_html_a94af78.gif 1.Найдем значение х1 :

x = 1 х1=х + ΔX=1+0,2=1,2.

ΔX = 0.2 2.Вычислим значение f(x):

Найти: Δf f(1)=hello_html_m4042b551.gif.

3.Вычислим значение f(x+ΔX):

f(1,2)=hello_html_m162ee8de.gif 4.Найдём приращение функции:

Δf=f(1,2)-f(1)=3,39-4=-0,61.

Ответ. Δf(х)=-0,61.


(2 балла)

Дано: Решение.

Δf(x)=0,64 1.Найдем отношение приращения

ΔX = 0.2 функции к приращению аргумента:

Найти: Δf/ ΔX=0,64:0,2=3,2.

Δf´(х) 2.Вычислим предел этого отношения при ΔXà0:

Δf´(х)=hello_html_1e86a577.gif

Ответ. Δf´(х)=3.2.

(1 балл)

5” – 5 баллов, “4” – 4 балла, “3” – 3 балла

ПРИЛОЖЕНИЕ 1А





п/п

Список

учащихся

по

группам

Выполнение домашней

работы

Тестовая работа по повторению

Самостоятельная работа

по новому материалу

Итого

Активность на уроке

Итого за урок


I

группа










































п/п

Список

учащихся

по

группам

Выполнение домашней

работы

Тестовая работа по повторению

Самостоятельная работа

по новому материалу

Итого

Активность на уроке

Итого за урок


II группа







1.








2.








3.








4.








5.










п/п

Список

учащихся

по

группам

Выполнение домашней

работы

Тестовая работа по повторению

Самостоятельная работа

по новому материалу

Итого

Активность на уроке

Итого за урок


III группа







1.








2.








3.








4.








5.








ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ЛИСТ ЗАДАНИЙ

I вариант



Задания


Варианты ответов

1. Представить в виде степени с рациональным показателем:


hello_html_51bf3c22.gif

(3 балла)


а)hello_html_2c8f91bb.gif; б) hello_html_m35380a2d.gif; в) hello_html_m7dda493.gif


2. Представить в виде корня из степени с целым показателем степени:

hello_html_6339ca1d.gif

(3 балла)


а) hello_html_4904cdea.gif; б) hello_html_e5ec8f8.gif; в)hello_html_6268b720.gif




3. Определите вид функции:


hello_html_m2ab68a10.gif

(1 балл)


а) показательная функция


б) степенная функция


в) логарифмическая функция



I вариант

+


+


+



Ответы

  1. б (3 балла);

  2. а (3 балла);

  3. б (1 балл);


Итого: 7 баллов


«5» – 7 баллов

«4» – 6 баллов

«3» – 4 балла




ЛИСТ ЗАДАНИЙ

II вариант



Задания


Варианты ответов

1. Представить в виде степени с рациональным показателем:


hello_html_1943269a.gif

(3 балла)


а)hello_html_m27853266.gif; б) hello_html_27b1847d.gif; в) hello_html_m36d9763a.gif


2. Представить в виде корня из степени с целым показателем степени:

hello_html_55cc347c.gif

(3 балла)


а)hello_html_1d7fea95.gif; б)hello_html_59100a3a.gif; в)hello_html_m128fdc5f.gif



3. Определите вид функции:

hello_html_51af31ba.gif(1 балл)


а) показательная функция


б) степенная функция


в) логарифмическая функция



II вариант

+


+


+




Ответы

  1. б (3 балла);

  2. в (3 балла);

  3. а (1 балл);



Итого: 7 баллов


«5» – 7 баллов

«4» – 6 баллов

«3» – 4 баллов






ЛИСТ ЗАДАНИЙ

III вариант



Задания


Варианты ответов

1. Представить в виде степени с рациональным показателем.


hello_html_22ec690b.gif

(3 балла)


а)hello_html_m3c4d446c.gif; б) hello_html_1dc7371e.gif; в) hello_html_m677e536e.gif


2. Представить в виде корня из степени с целым показателем степени:

hello_html_cba50a8.gif

(3 балла)


а)hello_html_49510508.gif; б) hello_html_m66753159.gif; в)hello_html_m7bf20115.gif

3. Определите вид функции


hello_html_414e6c70.gif

а) логарифмическая функция


б) степенная функция


в) показательная функция



III вариант

+


+


+



Ответы

  1. а (3 балла);

  2. в (3 балла);

  3. а (1 балл);


Итого: 7 баллов.

«5» – 7 баллов

«4» – 6 баллов

«3» – 4 балла


ЛИСТ ЗАДАНИЙ

IV вариант



Задания


Варианты ответов

1. Представить в виде степени с рациональным показателем:


hello_html_m7e9e60ec.gif

(3 балла)


а) hello_html_m2a7a720a.gif; б) hello_html_ma4726ad.gif; в) hello_html_m729a0c2c.gif


2. Представить в виде корня из степени с целым показателем степени:

hello_html_m6b1a81ea.gif

(3 балла)


а) hello_html_42e68e36.gif; б) hello_html_m4f98b04a.gif; в)hello_html_m7ee2a025.gif


3. Определите вид функции:


hello_html_m6fb9781a.gif

(1 балл)


а) логарифмическая функция


б) степенная функция


в) показательная функция




IV вариант

+


+


+


Ответы


  1. б (3 балла);

  2. а (3 балла);

  3. б (1 балл);

Итого: 7 баллов.


«5» – 7 баллов

«4» – 6 баллов

«3» – 4 балла


ЛИСТ ЗАДАНИЙ

V вариант



Задания


Варианты ответов

1. Представить в виде степени с рациональным показателем


hello_html_m212f93e5.gif

(3 балла)


а)hello_html_m276fd0d0.gif; б) hello_html_4f2b214d.gif; в) hello_html_4026b6d3.gif


2. Представить в виде корня из степени с целым показателем степени:

hello_html_6c3c9ba3.gif

(3 балла)


а) hello_html_m24f48f1d.gif; б) hello_html_208f842a.gif ; в) hello_html_33570969.gif




3. Определите вид функции


hello_html_5d487572.gif

(1 балл)


а) показательная функция


б) тригонометрическая функция


в) степенная функция




V вариант

+


+


+



Ответы

  1. б (3 балла);

  2. а (3 балла);

  3. в (1 балл);


Итого: 7 баллов.

«5» – 7 баллов

«4» – 6 баллов

«3» – 4 балла



Примечание;

Для занятия необходимо 2 комплекта заданий:

Комплект для прокторов

с эталонами ответов и нормами оценивания

Комплект для учащихся

без эталонов ответов и норм оценивания










ПРИЛОЖЕНИЕ 2А



ПРИЛОЖЕНИЕ 2А


ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ

ПРОИЗВОДНАЯ


Приращение функции

Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии;

средняя скорость — это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д.

При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке Хо со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности Хо, удобно выражать разность f (x)—f (xo) через разность у.—Хо, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции». Объясним их смысл.

Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки Хо.

Разность х—Хо называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке Хо и обозначается Δх. Таким образом,


ΔХ=Х—Хо,

откуда следует, что х==хо+Δх.

Говорят также, что первоначальное значение аргумента xo получило приращение Δх. Вследствие этого значение функции / изменится на величину


f(x)-f(xo)=f(xo+Δx)-f(xo).


Эта разность называется приращением функции f в точке Хо, соответствующим приращению Δх, и обозначается символом Δf (читается «дельта эф»), т. е. по определению

Δf=f(xo+Δx)-f(xo). (1)

Обратите внимание: при фиксированном Хо приращение Δf есть функция от Δх.

Рассмотрим график функции y=f(x). Геометрический смысл приращении ΔХ и Δ f (приращение Δf обозначают также Δу) можно понять, рассмотрев рисунок 80.

Прямую /, проходящую через любые две точки графика функции f, называют секущей к графику f. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (хо; уо) и (х; у), равен hello_html_m5b513df5.gif Его удобно выразить через приращения: ΔХ и Δу

k = tq α= hello_html_m3d967173.gif

(Напомним, что угловой коэффициент прямой y==kx + b равен тангенсу угла α, который эта прямая образует с осью абсцисс.)

С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени

hello_html_45aada4e.png


Если точка движется по прямой и известна ее координата х (t), то

V ср( Δt)= hello_html_699d7f7c.gif

Эта формула верна и для Δt<0 (для промежутка (t0t; Δto]) В самом деле, в этом случае перемещение точки равно x(to)— x(t0+Δx'); длительность промежутка времени равна —Δt, и следовательно,

Vcрt)= hello_html_6ac5c2fb.gif

Аналогично выражение —hello_html_mb0eb9e5.gifназывают средней скоростью изменения функции на промежутке с концами -xо и x0+Δx.


ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ


Содержание разделов курса, составляющих начала математического анализа, трудно для изучения. Поэтому их изложение ведется на наглядно-интуитивном уровне: многие формулы не доказываются, а только поясняются или принимаются без доказательства.


Главное — целесообразность изучения производной и первообразной (интеграла), так как это необходимо при решении многих практических задач, связанных с исследованием физических явлений, вычислением площадей криволинейных фигур и объемов тел с произвольными границами, с построением графиков функций.


Прежде всего, следует сказать, что функции, графиками которых являются кривые, описывают многие важные физические и технические процессы.

По сравнению с прямой кривые постоянно меняют наклон, меняют возрастание на убывание или наоборот;

могут существовать значения у, которым соответствует не одно, а несколько значений х, и т. д., т. е. кривые являются существенно более сложными объектами для изучения, чем прямые. Отсюда возникает идея линеаризации, идея сведения изучения кривых к изучению некоторой ломаной, близкой к этой кривой, и далее к изучению отрезков ломаной, являющихся хордами, соединяющими две точки данной кривой.


Впервые эту мысль высказал Г. Лейбниц (1646—1716), который утверждал, что на небольших промежутках кривая неотличима от прямой, а наклон секущей, проходящей через две точки кривой при сближении этих точек, можно заменить наклоном касательной. Чем ближе концы хорд друг к другу, тем точнее приближение данной кривой к соответствующей ломаной. Следует также иметь в виду, что наклон кривой в той или иной точке промежутка, на котором она рассматривается, определяет многие ее свойства (возрастание, убывание и т.д.).


1. Понятие о касательной к графику функции. Графики практически всех известных вам функций изображались в виде гладких кривых. Рассмотрим, как геометрически устроены такие кривые, на конкретном примере — графике функции у=х2 при значениях аргумента, близких к 1.

Для этого увеличим единицу масштаба в 10 раз; в этом масштабе построим график у=х2 на отрезке [0,5; 1,5] (рис. 83). Затем, увеличивая масштаб еще в 10 раз, построим график функции на отрезке [0,95; 1,05] (рис. 84). Видно, что при значениях, близких к 1, график функции у=х2 практически не отличается от маленького отрезка прямой у==2х—1, т. е. точки графика данной функции как бы «выстраиваются» вдоль этой прямой.

Аналогичным свойством обладает любая гладкая кривая: произвольный ее маленький участок практически не отличается от отрезка некоторой прямой /. (Интересно заметить, что графопостроители, применяемые в ЭВМ, «рисуют» графики гладких функций по точкам, проводя в каждой точке маленький отрезок.) Отметим, что для каждой точки гладкой кривой соответствующая этой точке прямая (т. е. прямая, отрезком которой мы представляем себе маленький участок кривой) вполне определена. Чтобы понять это, обратимся к следующей наглядной иллюстрации.

Допустим, мы хотим изготовить трафарет, чтобы быстро рисовать синусоиду, параболу или гиперболу и т. п. Для этого предварительно на миллиметровой бумаге строится возможно точнее график этой кривой. Как вы можете убедиться, с помощью ножниц удается аккуратно вырезать трафарет, граница которого — нужная нам кривая. Положение ножниц в каждой точке (а оно и задает искомую прямую в этой точке) вполне определено: любое отклонение ножниц в ходе разрезания от этого положения приводит либо к появлению выступа, либо к прорезу трафарета.

Проходящую через точку (хо, f (xo)) прямую, с отрезком которой практически сливается график функции f при значениях х, близких к Хо, называют касательной к графику функции f в точке (хо; f (л-о)). Возникает естественная задача: определить точное положение касательной к графику данной функции f в заданной точке.

Координаты одной точки прямой / известны — это точка (хо, f (Δх)). Остается найти угловой коэффициент k касательной.

В качестве примера рассмотрим функцию у==х2. Ее график в малой окрестности точки хо близок к отрезку касательной ;. Поэтому естественно ожидать, что угловые коэффициенты секущих, проходящих через точки (хо; x20) и (хо+Δх; (хо+Δх)2), будут близки к угловому коэффициенту k, если Лх будет неограниченно приближаться к нулю (т. е. точка х приближается к хо).


Угловой коэффициент k (Δх) секущей, проходящей через точки

0; у(хо)) и (хо+Δх, у(хо+Δх) равен hello_html_m1e1b04b4.gif, где Δу— приращение функции у в точке Хо, соответствующее приращению Δх: аргумента. Для функции у=х2


hello_html_525c2214.gif

'

Чтобы найти угловой коэффициент касательной, остается выяснить, к какому значению близко k (Δх), если Δх приближается к нулю. Очевидно, что k (Δх) близко к 2хо. Следовательно, при очень малых значениях Δх угловой коэффициент секущей близок к 2хо. При.хо=1 получаем k=2. Учитывая, что искомая касательная проходит через точку (1; 1), приходим к выводу, что уравнение касательной таково: у=2х—\.

К этому же выводу пришли в начале пункта из чисто наглядных соображений.


2. Мгновенная скорость движения.

Обратимся теперь к задаче, известной вам из физики. Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть координата х точки в момент времени t равна х {t). Как и в курсе физики, предполагаем, что движение осуществляется непрерывно и плавно. Иными словами, речь идет о движениях, наблюдаемых в реальной жизни. Для определенности будем считать, что речь идет о движении автомобиля по прямолинейному участку шоссе.


Поставим задачу: по известной зависимости х (t) определить скорость, с которой движется автомобиль в момент времени t (как вы знаете, эта скорость называется мгновенной скоростью). Если зависимость х {t) линейна, ответ прост: в любой момент времени скорость есть отношение пройденного пути ко времени. Если движение не равномерно, задача сложнее.


Тот факт, что в любой момент времени автомобиль движется с какой-то определенной (для этого момента) скоростью, очевиден. Эту скорость легко найти, сделав в момент времени to фотоснимок спидометра. (Показание спидометра указывает значение мгновенной скорости в момент t.) Чтобы найти скорость v^(to), зная х (t), на уроках физики вы поступали следующим образом.


Средняя скорость за промежуток времени длительностью hello_html_m7b4fb7ba.gifот to до to+Δt известна

hello_html_4f64aa59.gif





приложение 3

Образец оформления задания


В учебнике


Найдите производную функции: х17.



Запись в тетраде

I способ оформления решения



Дано: Решение.

f(x)= x17

f’(x)= (х17)’= 17٠х17-1= 17х16.

Найти:

f’(x).



II способ оформления решения


1)f’(x)= (х17)’= 17٠х17-1= 17х16.


2)hello_html_6076e65a.gif


3)hello_html_m3cb754a2.gif



Какое из предложенных оформлений

вы считаете более рациональным?



ПРИЛОЖЕНИЕ 4

самостоятельная работа

Найдите производную функции, записав решение в тетради и сравнив с данными ответами.


Полученный ответ запишите на полях!


Задания

Варианты ответов


  1. х11


2. х- 4

3. hello_html_m456d2faa.gif


4. ( 3х - 5)3


5. hello_html_m18f50f16.gif

а)10х11


н) hello_html_1e1eafb1.gif


к) 11х10


о) hello_html_6906b1e3.gif


б) 3( 3х - 5)9


е) 9( 3х - 5)2

ц)hello_html_m4e337441.gif



Эталон (для преподавателя)

  1. К

  2. О

  3. Н

  4. Е

5. Ц


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 24.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров192
Номер материала ДВ-092644
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх