Методическая разработка "Задачи с параметрами"

Решение задач  с параметром

Творческая работа

Крухмалевой Марины Николаевны

учителя математики МОУ «СОШ №66 им. Н. И. Вавилова»

г. Саратова

Глава 1  «Теоретические основы изучения  темы «Задачи с параметром» в школьном курсе математики»

Аналитический способ решения задач с параметрами.

      Если уравнение кроме неизвестных содержит числа, обозначенные буквами, то они  называются параметрами, а уравнение параметрическим.

  Параметр – некоторое фиксированное , но неизвестное число.

  Следует иметь ввиду, что параметрическое уравнение задает не одно уравнение, а целое семейство уравнений, определяемых параметром.

   Придавая параметрам различные значения, будем получать различные уравнения с числовыми коэффициентами.

   Преимущественно встречаются уравнения:

  - с одним параметром и одним неизвестным;

  - с двумя параметрами и одним неизвестным;

  - с одним параметром и двумя неизвестными;

  - с двумя параметрами и двумя неизвестными.

Решить уравнение с параметрами означает следующее: 

• исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров;
• найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

Все задачи с параметром можно условно разбить на два класса.

  К первому классу отнесем задачи, в которых требуются решить уравнение при всех значениях параметра. В таких задачах нужно провести полное исследование решения, рассмотреть следующие случаи:

  - случай, при котором задача не имеет смысла;

  - случай, при котором задача не имеет решения;

  - случай, при котором задача имеет единственное решение или конечное число конкретных решений;

  - случай, при котором задача имеет бесчисленное множество решений.

  Ко второму классу относятся задачи, в которых нужно из всех значений параметров выделить те, при которых  уравнение будет обладать  некоторыми задаваемыми  свойствами.  В таких задачах не следует проводить полного исследования решения, а достаточно привести решение, которое приведет к ответу на поставленный вопрос задачи.

1.1.Линейные уравнения с одной переменной, содержащие параметр.

   Уравнение вида ах + в = 0, где а и в – некоторые постоянные, называется линейным уравнением.

  Рассмотрим решение линейных уравнений. Пусть а – любое число неравное нулю, с- любое число.

Уравнение	Решение	Примеры
		Уравнение	Ответ
ах=0	х=0	5х=0	х=0
0х=а	Уравнение не имеет решений.	0=5	Нет
0х=0	Уравнение имеет множество решений	5х=5х	х- любое число
ах=с	Уравнение имеет единственный корень х=	5х=10	х=2

 Приведенная таблица является опорной при решении параметрических задач данного типа.

  Особенностью решения линейного уравнения с параметром является рассмотрение  двух случаев:

   А) коэффициент при  переменной равен нулю;

   Б) коэффициент при переменной не равен нулю.

Пример 1.     ах=1.

  Решение уравнения сводится к рассмотрению двух случаев.

1)   Если а=0, то уравнение имеет вид  0х=1,которое не имеет решений.

2)   Если а0 , то можно разделить обе части уравнения на m, и уравнение имеет единственное решение х=.

Пример 2.     ау=0.

  Решение уравнения сводится к рассмотрению двух случаев.
  1) Если а=0 , то уравнение имеет вид 0у=0, которое имеет бесконечное множество решений, корнем является любое действительное число.

2)Если  а≠0, то у=0.

Пример 3.     ах=а.

  Решение уравнения сводится к рассмотрению двух случаев.

  1)Если а=0, то получим  0х=0, которое имеет бесконечное множество решений.

  2)Если а≠0, то х=, х=1.

Пример 4.      (а-1)х=а.

1)    Если а-1=0, а=1, то получим уравнение 0х=1,которое не имеет решений.

  2)Если а≠1, то х= .

Пример 5.    (а+3)х=а+3.

  1)Если а= -3, то получим 0х=0, которое имеет бесконечное множество решений, корнем является любое действительное число.

  2) Если а≠ -3, то х=  , х=1.

  Пример 6.              (7-3а)х=0.

7-3а=0

а =  = 2.

1)   Если а=2, то 0х=0, которое имеет бесконечное множество решений, корнем является любое действительное число.

2)   Если а≠2,то х=0.

Пример 7. При каком значении параметра, уравнение (3-2а)х=0,имеет единственное решение. Определим значение а.

 3-2а=0

а =1,5.

Ответ:  при а≠1,5 уравнение имеет единственное решение х=0.

Пример 8.    (а² -1)х=2 а² + а -3.
Решение. Приведем данное уравнение к виду (а-1)(а+1)х=(2а+3)(а-1).
Если а=1, то уравнение принимает вид 0х=0, его решением является любое действительное число.
Если а=-1, то уравнение принимает вид 0х=-2, это уравнение не имеет решений.
Если а1, то уравнение имеет единственное решение х=.
Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.
Ответ: если а=1, то х- любое действительное число;

если а=-1, то уравнение не имеет решений;
если а1, то х=  .

Пример 9. При каких значениях параметра а уравнение имеет бесконечное множество решений?
6(ах-1)-а=2(а+х)-7.
Решение. Приведем данное уравнение к виду 2х(3а-1)=3а -1.
Если 3а-10,т.е. а, то х=.
Если 3а-1=0, т.е. а=, то уравнение примет вид 2х0=0, его решением является любое число.
Ответ: уравнение имеет бесконечное множество решений при а=.
Пример 10. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?

=2а.
Приведем данное уравнение к виду х(5+2а)=4а-8.
Если 5+2а_0,т.е. а_-, то х=.
Если 5+2а =0,т.е. а =-, то уравнение примет вид х0=-18, это уравнение не имеет решений.
Ответ. уравнение не имеет решений при а =-.

 1.2.Квадратные уравнения, содержащие параметр.

Пример 11. Решить относительно х:
ах²-2х+4=0
Если а=0, тогда уравнение примет вид -2х+4=0, отсюда х=2.
Если а_{0, то D=4-16а.
Если 4-16а≥0, т.е а≤}, х_1,2= 
_{Если 4-16а<0, т.е. а>}, то уравнение не имеет решений.
Ответ: если а=0, то х=2;
если а0 _и а≤, то уравнение имеет два решения х_1,2= 
_если а0 _и а>, то уравнение не имеет решений.
Пример 12. При каких значениях а уравнение ах²-х+3=0 имеет единственное решение?
Если а=0, тогда уравнение примет вид –х+3=0, отсюда х=3.
Если а_{0, то D=1-12а.
Уравнение будет иметь единственное решение при D=0.
1-12а=0, отсюда а=}.
                                                
Ответ: уравнение имеет единственное решение при а=0 или _а=.
 Пример 13. При каких значениях а уравнение ах²+4х+а+3=0 имеет более одного корня?
Если а=0, то уравнение примет вид 4х+3=0, которое имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию задачи.
Если а_{0, то D=16-4а}²_{-12а.
Уравнение имеет более одного корня при D>0.
16-4а}²_{-12а>0.
Рассмотрим функцию у=16-4а}²_{-12а.
Найдем нули этой функции, решая уравнение 16-4а}²_{-12а=0.
а1=-4; а2=1.
Функция принимает положительные значения, если -4<а<1.
Ответ: уравнение имеет более одного корня, если -4<а<0 и 0<а<1.
Пример 14. Найти коэффициент а, если корни уравнения} х²-2х+а=0.
_{связаны соотношением 2х1+х2=3.}
х²-2х+а=0.
По теореме Виета х₁+х₂=а и х₁х₂=2.
_{Составим систему:}

Решая эту систему, получаем, что х₁=1, х₂=1,тогда а=1.Ответ: а=1.

1.3.Системы линейных уравнений с параметром.

Системы линейных уравнений вида 


1) имеют единственное решение, если ;
2) не имеют решений, если ₌ ;
3) имеют бесконечное множество решений, если ₌₌ .
Пример 15 . Найти все значения параметра а, при котором система имеет бесконечное множество решений:

Система имеет бесконечное множество решений, если выполняется условие:

= = .

1) = ;

ОДЗ: а_0, а_{-3.
(а+1)(а+3)=8а, отсюда а}²_{-4а+3=0.
D>0, а1=1 и а2=3. Оба значения входят в область допустимых значений.}
2) = ;
ОДЗ: а; а-3

 _{4а(а+3)=8(3а-1), отсюда а}²_{-3а+2=0.
D>0, а1=2 и а2=1. Оба значения входят в область допустимых значений.}
3) =;
ОДЗ: а; а0_.
4а²_{=(а+1)(3а-1), отсюда а}²_{-2а+1=0, (а-1)}²_{=0, а=1.   Ответ: при а=1 система имеет бесконечное множество решений.
Пример 16. При каких m и n система} 
а) имеет единственное решение;
б) не имеет решений.

а) система имеет единственное решение, если ;
Это условие выполняется при m_{6.
б) система не имеет решений, если =} ;

1) ₌ , отсюда m=6.

2) , отсюда n8.

₃₎  , отсюда n  ; т.е. при m=6 n8_{.
Ответ: а)} при m6  система имеет единственное решение;
б) при m=6 и n8 система не имеет решений.
                                                       

Глава 2. Методические рекомендации по  теме «Задачи с  параметром». 

Задания для решения в 7 классе.

I вариант 1.     ах= -5; 2.     ах=0; 3.     ах=а; 4.     (а-4)х=а-4; 5.     (6-3а)х=0.

II вариант. 1.     ах=5; 2.     ах=0; 3.     ах= -а; 4.     (4-а)х=4-а; 5.     (3а-6)х=0.

Задания для решения в 8 классе.

I вариант. 1.     2а-сх=1; 2.     ах=с+2; 3.     4+сх=а; 4.     (а+с)х=а+с; 5.     с=а(х-3); 6.     4сх-8с=2ах-4а; 7.     3а2х-ах-с-3с2х=а+сх.

II вариант. 1. 3а+сх=1; 2. сх=а-3; 3. ах-3=с; 4. (а-с)х=а-с; 5. 4= а- (сх-1); 6. ах-6с=3а-2сх; 7. 5с2х+2сх+2ах-а=с+5а2х;

Задания для решения в 9 классе.

I вариант. 1.     найдите все значения k, при каждом из которых верно неравенство: а) x2 - 24x + k > 0 верно при всех, кроме х = 12, 2.    б) 64x2 + kx + 9 > 0 верно при всех х, кроме х = -3/8. 3.     Найдите все значения t, при которых уравнение имеет два различных корня.а) x2 - 6x + t =0; б) (t + 3)x2 + 2(t - 1)x + t = 0.

II вариант. 1.     Найдите все значения t, при которых уравнение имеет два различных корня.а) x2 - 6x + t =0; б) (t + 3)x2 + 2(t - 1)x + t = 0. 2.     При каких значениях t уравнение x2 - 2tx + t2 - 1 = 0 имеет два действительных корня: 3.    Укажите все значения m, при каждом из которых неравенство верно при любом значении х: а) 2x2 - x + m > 0; б) 3x2 + 2x + m > 0.

Рекомендации для обучающихся.

1.     Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами, советуем разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра. Например, возьмите значение параметра а=1 и ответьте на вопрос: является ли значение параметра а=1 искомым для данной задачи. Отметим, что подстановка фиксированного значения параметра позволяет во многих случаях нащупать путь решения задачи.

2.     При решении многих задач с параметрами удобно воспользоваться геометрическими интерпретациями. Если изобразить графики функций, входящих в левые и правые части рассматриваемых уравнений, то тогда точки пересечения графиков будут соответствовать решениям уравнения, а число точек пересечения- числу решений. Аналогично, при решении систем уравнений или неравенств можно изобразить геометрические места точек плоскости, удовлетворяющих рассматриваемым уравнениям или неравенствам. Это часто позволяет существенно упростить анализ задач, а в ряде случаев представляет собой единственный “ключ” к решению.

3.     Решение многих задач с параметрами требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным условиям расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси.

4.     Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы “ветвится” в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения. Также рекомендуем прежде, чем записывать ответ, еще раз внимательно прочитать условие задачи и четко уяснить, что именно спрашивается.

5.     Для того, чтобы освоить приемы решения задач с параметрами, необходимо внимательно разобрать приведенные примеры решения таких задач и постараться прорешать как можно больше задач для самостоятельного решения.

Список литературы

1. Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика.- 1999. № 5- с. 4-9
2. Дорофеев Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы. Математика в школе.- 1983- № 4.- с. 36-40.
3. Егерман Е. Задачи с параметрами.- Математика. № 2, 2003.
4. Мещерякова Г.П. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям. – Математика в школе. № 5, 2001.

5.     http: // int-sch / ru / math