Инфоурок Другое Другие методич. материалыМетодическая разработка «Задачи с процентами»

Методическая разработка «Задачи с процентами»

Скачать материал
Скачать тест к материалу

Глава 1.  Понятие процента

 

1.1. Что такое процент      

Понятие процента очень часто встречается в повседневной жизни:

- цена на товар снижена на 10%;

- бригада строителей перевыполнила план на 40%;

- класс закончил учебный год со 100% - ой успеваемостью;

- банк начисляет 7% годовых;

- майонез «Новосибирский провансаль» имеет 67%  жирности.

 

Дробные числа удобно сравнивать и выполнять арифметические действия с ними, если они выражены в одинаковых долях. На практике удобными оказались сотые доли.

Например, многие единицы измерения легко представить в виде сотых долей.

Так как 1 м = 100 см, то 1 см является сотой частью метра.

Так как 1 ц = 100 кг, то 1 кг является сотой частью центнера.

1 а = 100 , значит, 1   - сотая часть ара (или сотки).

1 р = 100 коп., значит, 1 копейка есть сотая часть рубля.

 

Сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть метра - сантиметром, сотую часть гектара – аром или соткой, и т.д.. Сотую часть любой величины или числа принято называть процентом.

Процентом называют сотую часть числа.

Слово «процент» происходит от латинских слов «pro centum», что означает «с сотни». Раньше процентами называли деньги, которые должник платил дополнительно за каждую занятую сотню рублей. Вместо слова «процент» пишут значок «%». С помощью этого знака можно записать:  или .

Необходимо понимать, что запись «1%» - это просто некий символ. На практике же понятие процента обязательно связано с некоторой величиной. В любой задаче на проценты одна из величин является основной. Значение всей величины принимается за условную единицу, то есть 100% (1=  = 100%).

1.2. Выражение процентов в виде дроби.

 

Любое число процентов можно записать в виде дроби, которая выражает часть величины.

Если необходимо записать проценты в виде дроби, то удобно применить следующее правило:

Знак % заменяет множитель   (или 0,01).

Примеры

Запишите проценты в виде дроби :

5 % =  .

7% =.

23% = .

300% =.

0,2% = .

3,7%= .

Чтобы выразить проценты в виде дроби, нужно число процентов разделить на 100 (знак % при этом отбрасывается).

 

1.3. Выражение числа в процентах

Так как единица содержит сто сотых долей, то . А так как любое число можно представить в виде произведения единицы на это число, то значит, любое число можно выразить в процентах. Например, ,

    ,

    ,

    .

Чтобы выразить число в процентах, нужно это число умножить на 100 и поставить знак %.

При этом удобно сначала выразить число виде десятичной дроби, а затем перенести запятую на два знака вправо и поставить знак %.

Например, 7 = 7,00 = 700%.

    .

Замечание

Если дана обыкновенная дробь, то в некоторых случаях удобно использовать основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на натуральное число, то значение дроби не изменится.

Пример. Выразите обыкновенные дроби в процентах: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение:

 а)   ;  б)  ;

в)  ;  г)  ;    д)

Выясним, какую часть целого составляют: 1%, 5%, 10%, 20%, 25%, 50%.

Для наглядности изобразим квадрат и разделим его на 100 равных частей (смотри рис.1).

Выделим соответствующее количество сотых долей ( маленьких квадратиков).

1% - это сотая часть квадрата. Легко видеть, что 10% - десятая часть квадрата, 5% - двадцатая часть, 20% - пятая часть, 25% - четвёртая часть, а 50% - его половина.

Поэтому при решении задач в дальнейшем очень удобно использовать полученные результаты:

100% =1;

10% - десятая часть ;

20% - пятая часть ;

25% - четверть ;

50% - половина ( );

 

Знание этих фактов позволяет найти рациональное решение задачи.

Задачи для самостоятельного решения

 

1 . Запишите в виде дроби:  7%, 37%,80%,45%, 201%; 0,5%, 130%.

2 . Запишите в виде процентов: 1; 3; 12; 0,04; 0,39; 0,84; 5; 32.

3.  Найдите число, 1% которого равен: а) 27; б) 43; в) 120; г) 0,23; д)1,25.

4 . Запишите в виде десятичной дроби: 70%; 320%; 0,3%; 0,45%; 72,8%.

5 . Найти 1% от: а) 1 тонны; б) 300 граммов; в) 10 рублей; г) 2 центнеров; д) 15 килограммов.

6 .  Найти 1% от чисел: 300, 2400,  3500, 7000, 11000, 50000.

 

7 . Выразите в процентах дроби: .

8. Сравните: а) 7% и ;  б)  и  4%; в)  и 30%; г)  и 20%;

 

Глава 2. Основные типы задач на проценты

 

Рассмотрим решение трёх основных типов задач на проценты:  

1. Нахождение  нескольких процентов от данного числа.

2. Нахождение числа по заданному значению его процентов.

3. Отношение чисел, выраженное в процентах.

 

2.1. Нахождение нескольких процентов от данного числа.

Рассмотрим решение нескольких задач.

 

Обратите внимание, что оформление решения некоторых задач дано тремя способами:

- по действиям (арифметический способ);

- с помощью числового выражения;

- с учётом знания тем «Десятичные и обыкновенные дроби».

 

Задача 1.Сколько квадратных метров составляют: а) 5% гектара;    б) 12% квадратного километра?

Решение:

а) 1 способ ( по действиям).

1 га = 10000.

1) 10000:100 = 100 () – составляет 1% гектара.

2)  - составляют 5% гектара.

С помощью числового выражения оформляем так:

.

 2 способ.

1 га = 10000;                      5% = 0, 05.

.

б) 1 способ (с помощью числового выражения).

1  =1000000

.

2 способ

1  =1000000            12% = 0,12.

.

                                    Ответ: а) 500 : б) 120000 .

 

Задача 2. Банк начисляет доход в размере 7% годовых. Какую сумму будет иметь в конце года вкладчик, если первоначальный взнос составляет 5000 р. ?

Решение:

1)      5000  : 100 = 50 (р) – составляет 1% от вложенной суммы.

2)       - начисленный доход, т. е . 7% годовых.

3)      5000 + 350 = 5350 (р) – сумма на конец года.     

Ответ: 5350 р.

 

Задача 3 При сушке яблоки теряют 84% своей массы. Сколько получится сушёных яблок из 700 кг свежих?

Решение:

Основное значение величины – 700 кг – принимаем за условную единицу   (1= 100%). Поскольку на 100% приходится 700 кг, то на 1% приходится масса, в 100 раз меньшая:

700 : 100 =7 (кг).

При сушке яблоки теряют 84% своей массы (см..рис.), значит, масса сушёных яблок (в процентном виде) составляет:

100 – 84 =16 (%).

Определим массу сушёных яблок:

.

Оформим решение задачи по действиям.

1)      100 – 84 =16 (%) – масса (в процентах) сушёных яблок.

16% = 0,16

2)  - масса сушёных яблок.

                            Ответ: 112 кг.

 

Задача 4. Найдите 25% от: а) 12 км; б) 36 р; в) 60 кг.

Решение:

1 способ.

а) 1 км = 1000 м.

1) 12000 : 100 = 120 (м) – составляет 1%.

2)   - составляет 25% от 12 км.

б) 1 р. = 100 коп.

1)  3600 : 100 = 36 (коп.) - составляет 1%.

2)  - составляет 25% от 36 р.

в) 1 кг = 1000 г.

1) 60000 : 100 = 600 (г) – составляет 1%.

2) составляет 25% от 60 кг.

Решение этой задачи намного упрощается, если мы используем тот факт, что 25% - это четверть.

2 способ.

25% = .

а) 12 : 4 = 3 (км).

б) 36 : 4 = 9 (р.);

в) 60 : 4 = 15 (кг).

                                    Ответ: а)  3 км;  б) 9 р; в) 15 кг.

Задача 5. Что больше: 50% от 4 дм или 10% от 6 м 50 см?

Решение:

Используем известный нам факт: 50% = , 10% = .

1)      40 : 2 = 20 (см) – это 50% от 4 дм.

2)      650 : 10 = 65 (см) – это 10% от 6 м 50 см.

 

Так как 65 см  20 см, то  10% от 6 м 50 см  50% от 4 дм.

                         Ответ: 10% от 6 м 50 см.

Задача 6. Туристы прошли в походе 15 км. До обеда они прошли 60% всего пути. Сколько километров прошли туристы после обеда?

Решение:

Весь пройденный путь составляет 100%.

1 способ.

1) 15000 : 100=150(м)  - составляет 1 % всего пути;

2) 150  60 = 9000(м)=9(км) – пройдено до обеда;

3) 15 – 9 = 6 (км) – пройдено после обеда;

2 способ.

1) 100-60 = 40 (%) – пройденный путь после обеда (в процентах);

2) (15000 : 100)40 = 6000 (м) =6 (км) – пройдено после обеда;

Ответ: 6км.

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения.

 

  1. Найдите: а) 7% от 100; б) 16% от 5000; в) 140% от 20;            г) 300% от 40.
  2. Увеличьте число 400 на 10%, на 25%, на 50%.
  3. Уменьшите число 1600 на 20%, на 25%, на 10%.
  4. Из пшеницы при помоле получается 80% муки. Сколько муки получится из 7 тонн пшеницы?
  5. В кассе кинотеатра было 500 билетов, 75% билетов продано. Сколько билетов осталось продать?
  6. В первый день использовали 35%, а во второй день – 47% привезённого горючего. Сколько процентов горючего осталось?
  7. Рыбаки поймали 32 т рыбы. Судаки составили 25% всего улова, окуни – 30% всего улова, а остальные были лещи. Какова масса пойманных лещей?
  8. Скорость грузовой машины равна 60 км/час, а скорость легкового автомобиля составляет 150% скорости грузовой машины. Чему равна скорость легкового автомобиля?
  9. Начертите квадрат со стороной 5 см и закрасьте указанную часть квадрата: а) 0,06; б) 0,32; в) 0,68. Сколько процентов составляет закрашенная часть от всего квадрата?
  10. Начертите круг. Разделите его на 8 равных частей и закрасьте указанную часть круга: а) 25%; б) 50%; в) 12,5%; г) 37,5%. 
  11. За два дня на склад привезли 1480 т картофеля. В первый день привезли 45% всего картофеля. Сколько картофеля привезли во второй день?
  12. В библиотеке 4600 книг. Книги на иностранном языке составляют 18% всего количества, остальные книги – на русском языке. Сколько в библиотеке  книг на русском языке?
  13. Из 4680 кг собранных груш 35% отправили в столовые, а остальные - в магазины. Сколько килограммов груш отправили в магазины?
  14. При переработке нефти помимо других продуктов получается 30% керосина. Сколько керосина можно получить из 48 т нефти?
  15. Из молока получается 10% творога. Сколько творога получится из 53 кг молока?
  16. Найдите 70% площади прямоугольника со сторонами 12 см и 50 см.
  17. Длина прямоугольника 80см, а ширина составляет 45% его длины. Какова площадь этого прямоугольника?
  18.  В романе 240 страниц. В субботу Ваня прочитал 10% всей книги, а в воскресенье – на 12 страниц больше. Сколько страниц ему осталось прочитать?

 

2.2. Нахождение числа по заданному значению его процентов.

 

Задача 7. Сколько стоит книга, если 45% её цены составляет 180р?

Решение:

Изобразим схематический чертёж к задаче (см рис.).

Цена книги составляет 100%.

 

 

1) 180 : 45 = 4 (р) – составляет 1% цены книги.

2)  - цена книги.

Ответ: 400 р.

Запишем решение задачи короче – с помощью числового выражения:

 - цена книги.

Задача 8. За перевозку мебели заплатили 700рублей, что составило 14 % её стоимости. Сколько рублей заплатили за мебель и её перевозку вместе?

Решение:

1)      700 : 14 = 50 (р) – составляет 1 %;

2)      50   100 = 5000(р) – стоимость мебели;

3)       5000 + 700 = 5700 (р) – общая сумма.

Ответ:  5700р

 

Задачи для самостоятельного решения

 

  1. Найдите число, если:

а) 5% этого числа равны 10;

б) 8% этого числа равны 24;

в) 150% этого числа равны 15;

г) 20% этого числа равны 9.

2.  В корзине 20 яблок, что составляет 40% всех фруктов, лежащих в этой корзине. Сколько всего фруктов в корзине?

3.  В дневной рацион кролика входит 65 г зерна, что составляет 5% от его ежедневного корма. Сколько граммов корма съедает кролик в день?

4.  Улитка забирается на верхушку дерева. За ночь она проползла 9 м, что составляет 75% всей высоты дерева. Сколько метров осталось проползти улитке до вершины дерева?

5. Когда посадили 756 деревьев, то выполнили план посадки деревьев на 72%. Сколько ещё деревьев надо посадить, чтобы выполнить план?

  1. Сколько билетов было запланировано продать, если в кассе кинотеатра уже продано 260 билетов, что составило 65% всех билетов?
  2. Коля израсходовал 60% своих денег, после чего у него осталось 80 рублей. Сколько денег было у Коли?
  3. Начертите на листе бумаги в клетку прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см. Дополните этот прямоугольник до такой фигуры, чтобы площадь прямоугольника составляла 20% площади полученной фигуры.
  4. Ульяна прочитала в первый день 30%, а во второй день 38% книги, что на 4 страницы больше, чем в первый день. Сколько страниц книги  прочитала Ульяна в первый и во второй день в отдельности.
  5. Туристы прошли 10 % намеченного пути. Если бы они прошли ещё 8 км, то прошли бы половину пути. Определите длину всего пути.
  6. Саша прочитал 30 страниц книги. Если бы он прочитал ещё 18 страниц, то прочитал бы 40% книги. Сколько страниц книги ещё должен прочитать Саша?

 

 

2.3.  Отношение чисел, выраженное в процентах.

 

Сначала выясним, что показывает отношение (частное) двух чисел.

Если отношение двух чисел больше 1, то оно показывает во сколько раз первое число больше второго. (12 : 3 =  = 4  1)

Если отношение двух чисел рано 1, то это значит, что числа равны. (7 : 7 = 1 =  1)

Если отношение двух чисел меньше 1, то оно показывает, какую часть составляет делимое от делителя. (6 : 8 =  = < 1)

Чтобы отношение выразить в процентах, нужно умножить его на 100 и приписать знак %.

Отношение двух чисел, выраженное в процентах , показывает сколько процентов составляет делимое от делителя.

Итак, чтобы найти процентное отношение двух чисел, нужно

1)      первое число разделить на второе,

2)      полученное частное выразить в процентах

 

Задача 9. Из 180 деревьев, посаженных в парке, 72 липы. Какой процент всех посаженных деревьев составляют липы?

Решение:

Определим, какую часть всех посаженных деревьев составляют липы:

1)      72 : 180 =  

Выразим эту часть в процентах :

2)      (%)

Ответ: 80%.

 

Обратите внимание на то, что прежде , чем находить отношение величин, необходимо, чтобы величины были выражены в одной единице измерения.

 

Задача 10. Найдите процентное отношение двух величин: 2 часа и 40минут.

Решение:  2 часа = 120минут

1)      120 : 40 = 3 – отношение чисел;

2)      3 100% = 300% - процентное отношение чисел;

Ответ: 300%

 

Задача 11. Из 0,4т винограда получается 128кг изюма. Какой процент своей массы теряет виноград при сушке?

Решение: 0,4т = 400кг

Сначала определим какую массу теряет виноград при сушке, а затем выразим её в процентах.

1)      400-128=272(кг) – потеря массы при сушке;

2)     

Ответ: 68%

 

Задача 12. В новогоднюю коробку положили 16 конфет «Маска», 24 конфеты «Ромашка» и 40 ирисок «Золотой ключик». Определите процентное содержание конфет каждого сорта, содержащихся в коробке.

Решение.

1)16+24+40=80 – всего конфет. Это составляет 100%.

Определим процентное содержание конфет каждого сорта, содержащихся в коробке.

2)  - приходится на конфеты «Маска»,

3)  - приходится на конфеты «Ромашка»,

4)  - приходится на конфеты «Золотой ключик».

Ответ: 20%, 30%, 50%.

 

Задачи для самостоятельного решения

1.      Сколько процентов составляет число: а) 8 от 16; б) 40 от 160; в) 14 от 7; г) 50 от 5; д) 300 от 3?

2.      В классе 25 учащихся, из них 15 занимаются в спортивных секциях. Сколько процентов всего класса составляют ученики, занимающиеся спортом?

3.      Требуется вспахать поле площадью 600 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов всего поля составляет вспаханный участок?

4.      Найдите отношение чисел в процентах: а) 100 и 400; б) 150 и 750; в) 600 и 150; г) 14 и 700.

5.      Кусок латуни массой 10 кг содержит 6 кг меди. Какую часть этого куска составляет медь? Выразите полученную часть в процентах.

6.      Ульяна нашла 40 грибов. Из них 22 оказались подосиновиками. Сколько процентов всех грибов составили подосиновики?

7.      Из 500 изготовленных телевизоров 10 оказались с браком. Какую часть изготовленных телевизоров составляют телевизоры в исправном состоянии? Выразите эту часть в процентах.

8.      В коллекции имеется 80 марок, среди них 60 марок с изображением животных, а остальные с изображениями растений. Какую часть коллекции составляют марки с растениями? Каково процентное содержание этих марок во всей коллекции? Найдите процентное содержание марок с животными во всей коллекции.

9.      Найдите процентное отношение двух величин: а) 15 ц и 6 т;       б) 0,06 т и 20 кг; в) 9 дм и 4 дм 50 см; г) 6 мин и 1 час.

10.  Масса ящика с товаром равна 11кг 500г. Масса товара 9кг 200г. Сколько процентов составляет масса пустого ящика  от массы ящика с товаром?

11.  Полина сначала раскрасила 14 флажков, что составило  всех имевшихся у неё флажков. Сколько флажков необходимо ещё раскрасить Полине? Какой процент составляют нераскрашенные флажки от их общего количества?

12.  Ленту длиной 10 метров разрезали на две части. Длина одной части на 50% больше длины другой. Определите длину каждой части. Найдите процентное отношение большей и меньшей частей.

13.  При кладке печи используется раствор, содержащий по массе 12 частей песка, 4 части цемента, 6 частей глины и 3 части воды. Найдите процентный состав раствора.

14.  В саду посадили вишни и черешню, причём на каждые четыре вишни приходится одна черешня. Сколько процентов от всех посаженых деревьев составляют вишни? Сколько всего посадили деревьев саду, если вишен посадили 480?

15.  Первое число равно 80, а второе число на 25% больше первого. Найдите сумму этих чисел.  Найдите процентное отношение     а) меньшего числа к большему; б) большего числа к меньшему.

 

Глава 3   Изменение величины в процентах.

Изменение величины (увеличение и уменьшение) может выражаться разными способами:

- Величина изменилась на …(несколько единиц) – разностное сравнение;

- Величина изменилась в …(несколько) раз – это кратное сравнение;

- Величина изменилась на несколько процентов.

Попробуем разобраться во взаимосвязи на конкретных примерах. Заметим, что в содержании задач будет фигурировать понятие «величина», которая не будет иметь конкретного значения. Это сейчас не столь важно – главное разобраться в сути вопроса.

Конечную величину будем соотносить с первоначальной величиной , которая принимается за 100%.

Пример 1. Величина  увеличилась на 100%. Что это значит? Чему равна новая величина?

Решение:

Изобразим условие задачи в схематическом виде (см рис.).

Ясно, что длину отрезка   необходимо взять дважды. Получим отрезок, длина которого равна 2. А это означает, что величина увеличилась в два раза и равна 2.

Пример 2. Величина  уменьшилась на 50%. Что это значит? Чему равна новая величина?

Решение:

Изобразим условие задачи в схематическом виде (см рис.).

На схематическом чертеже видно, что если величину  (отрезок АВ соответствует 100%)  уменьшить на 50%, то получим отрезок , который в 2 раза короче отрезка АВ. Значит, уменьшение величины на 50% означает: величина уменьшилась в 2 раза и приняла значение, равное .

Пример 3.   Величина  увеличилась на 50%. Что это значит? Чему равна новая величина?

 Решение:

Согласно схематическому чертежу (см рис.) становится ясно, что отрезок   содержит отрезок  и его половину. Значит, .

Итак, если величина увеличилась на 50%, то это означает, что она увеличилась в полтора раза и равна 1,5.

Пример 4. Величина   увеличилась в 5 раз. На сколько процентов увеличилась эта величина?

Решение:     

 

На схематическом чертеже (см рис) видно, что отрезок , обозначенный за 100%, должен быть отложен 5 раз. Значит, он соответствует 500% и равен 5. Разница между конечным и первоначальным значениями величины равна:

Или в процентном выражении

500% - 100% = 400%.

Итак, увеличение в 5 раз означает, что величина увеличилась на 400%.

Пример 5. Величина  уменьшилась в 4 раза. Сколько процентов составляет уменьшенная величина от первоначальной? На сколько процентов уменьшилась величина?.

Решение:

Изобразим условие задачи в схематическом виде (см рис.).

 

Определим процентное содержание уменьшенной величины:

100 : 4 = 25 (%)

А теперь найдём разницу (в процентах) между первоначальным и конечным значениями величины:

100% -25% = 75%.

Вывод: уменьшение величины в 4 раза означает уменьшение её на 75%, а сама уменьшенная величина составляет 25% от первоначальной.

Пример 6.  Величина  уменьшилась на четверть. Какова теперь новая величина в процентах.

Решение:

Изобразим условие задачи в схематическом виде (см рис.).

1)  - на столько процентов уменьшилась величина.

2) 100 – 25 = 75 (%) – уменьшенная величина ( в процентах).

Итак, уменьшение величины на четверть означает уменьшение на 25%, значит, новая величина составляет 75% от первоначальной.

 

Итак, мы рассмотрели более простые случаи изменения величины в процентах.

Теперь рассмотрим решение типичной задачи на процентное изменение величины. При этом заметим, что при рассмотрении этой и аналогичных ей задач важно учитывать следующее:

1)      Первоначальное значение величины принимается за 100%;

2)      Изменение величины – это разность между конечным и первоначальным значениями этой величины.

 

Задача 13. Магазин получает товар по цене 150 р. и продаёт его по цене 180 р. Какова процентная надбавка на товар?

Решение:

1. Определим, какое значение является первоначальным, а какое – конечным:

150 р. – первоначальная цена,

180 р. – конечная цена.

2. Найдём разность между конечным и первоначальным значениями стоимости товара:

180 – 150 = 30 (р).

3. Разделим полученную разность на первоначальное значение, то есть найдём, какую часть от первоначального значения составляет эта разность:

.

4. Выразим эту часть в процентах:

.  

Итак, процентная надбавка на стоимость товара составляет 20%.

                            Ответ: 20%

 

Обобщая решение этой задачи, попробуем составить алгоритм, с помощью которого достаточно легко можно определить процентное изменение величины. Запишем этот алгоритм вот в таком своеобразном виде:

.

Следует отметить, что эта формула – алгоритм позволяет «увидеть», какое изменение величины происходит – увеличение или уменьшение.

Рассмотрим решение следующей задачи.

 

Задача 14. Набор красок стоил 150 р. После уценки его цена равна 120 р. На сколько процентов снизилась цена набора красок?

Решение:

Действуем согласно алгоритму.

1. 150 р. – первоначальная цена,

    120 р. – конечная цена.

2.  Найдём разницу между конечным и первоначальным значениями стоимости набора красок:

120 – 150 = -30 (р).

Что означает знак минус в этой записи? Знак минус говорит, что происходит  уменьшение цены – удешевление товара или, иными словами, скидка.

Модуль числа  означает разницу в ценах.

Итак, окончательно получаем:

.

Полученный результат говорит о следующем: произошло удешевление товара (скидка) на 20%.

                        Ответ: На 20%.

Вывод: Если цена увеличивается, то разность между конечным и первоначальным значениями положительна и в итоге изменение величины выражается положительным числом процентов.

Если же цена уменьшается, то соответствующая разность является отрицательным числом и конечный результат будет выражаться отрицательным числом. Это говорит о процентной скидке стоимости товара.

 

Несколько изменений величины в процентах

Очень важно понимать следующее:

 Если в условии задачи сказано о нескольких изменениях некоторой величины в процентах, то необходимо каждое изменение рассматривать как отдельную задачу. Необходимо помнить: процентные изменения нельзя ни складывать, ни вычитать, так как эти изменения имеют разные начальные и конечные значения.

Поясним это на решении следующей задачи.

 

Задача 15. Уценка товара производилась в магазине ежемесячно на 10%, начиная с ноября. Какова цена товара в конце декабря, если цена товара на конец октября была 500 р.? На сколько процентов понизилась цена товара на конец декабря?

Решение:

Изобразим схематически чертёж (см. рис.). Начальная цена в 500рублей составляет 100%.

Выясним, сколько рублей составляет 10% - я уценка в ноябре (10% – десятая  часть):

500 : 10 = 50 (р).

Значит, новая цена товара в ноябре составляет 500 -50 = 450 (р).

Определим 10% - ю скидку в декабре. Это второе изменение цены. Теперь начальной ценой является 450 рублей. И поэтому она составляет 100%.

450 : 10 = 45 (р) – скидка за декабрь. 

Значит, цена товара в декабре составляет 450 – 45 = 405 (р).

Определим, на сколько процентов цена товара в декабре ниже первоначальной цены (используем соответствующий алгоритм):  .

Итак, общее снижение цены товара составило 19%.

 Ответ: 405 р., на 19%.

Замечание. Обратите внимание, что это число (19%) отличается от 20%, которые вы получили бы, если бы просто механически сложили две месячные скидки ( 10% + 10%), что является типичной грубой ошибкой.

Действительно, в процессе решения этой задачи вы убедились, что 10% - я скидка в первом случае (ноябрь) составляет 50 р.. Во втором же случае (декабрь) 10% - я скидка составляет 45 р., так как она определяется от меньшей суммы (450 р.), а не от первоначальной.

 

Задачи для самостоятельного решения

 

1)      Спортивный костюм стоил 3600 р. После снижения цены он стал стоить 2700 р. На сколько процентов снизилась цена костюма?

2)      Альбом стоил 80 р. После повышения цены он стоит 96 р. На  сколько процентов возросла цена альбома?

3)      Первое число 200, второе – 800. Сколько процентов второе число составляет от первого? Сколько процентов первое число составляет от второго? Сколько процентов первое число составляет от суммы этих чисел? На сколько процентов первое число меньше второго? На сколько процентов второе число больше первого?

4)      При обработке заготовки её масса уменьшилась со 120 кг до 105 кг. На сколько процентов уменьшилась масса заготовки?

5)      Высота растения увеличилась с 1 дм 2 см до 1 дм 5 см. На сколько процентов увеличилась высота растения?

6)      Ширина прямоугольника равна 8 см, что составляет 40% его длины. Стороны прямоугольника увеличили на 50%. На сколько квадратных метров увеличилась его площадь?

7)      Товар стоимостью 500р продаётся на распродаже за 400р. На сколько процентов снижена цена товара?

8)      В трёх корзинах 80 яблок. В одной из них в 3 раза больше яблок, чем в другой, но в 2 раза меньше, чем в третьей. Сколько яблок в каждой корзине? На сколько процентов больше яблок в третьей корзине, чем во второй? На сколько процентов меньше яблок в первой корзине, чем в третьей?

9)      Зарплату токарю в 20000 р. повысили сначала на 10%, а через год ещё на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата токаря по сравнению с первоначальной?

10)  Пылесос стоил 3000 рублей. Его цена увеличилась на 600 рублей. На сколько процентов увеличилась цена пылесоса? 

11)  Скорости двух пешеходов равны 5км/ч и 4км/ч соответственно. На сколько процентов скорость первого пешехода больше скорости второго? На сколько процентов скорость второго меньше скорости первого?

12)  Метр ткани до повышения цен стоил 96рублей, а после повышения -120 рублей. На сколько процентов повысилась цена?

13)  Сторону квадрата в 25см уменьшили на 40%. На сколько процентов уменьшилась площадь квадрата?

 

 

 

 

 

 

 

Глава 4. Поиск решения задачи

 

4.1  Схематический чертёж к условию задача как средство поиска рационального решения.

Умение анализировать задачу – это главное при решении задач. Результаты предварительного анализа задачи надо как-то зафиксировать, записать. Существует очень удобная, компактная и в то же время достаточно наглядная форма записи результатов анализа задачи. Такой формой является схематическая запись задачи. Главным её достоинством является то, что в ней четко выделены все условия и требования задачи, причем наглядно фиксируется лишь только то, что необходимо для решения данной задачи. При этом можно использовать разного рода рисунки, чертежи и т.д.. Но наиболее простым и удобным является изображение объектов, рассматриваемых в задаче, в виде отрезков. Правильно выполненная схематическая запись задачи фактически заменяет саму формулировку задачи.

При построении чертежа (рисунка) в схематической записи задачи необходимо помнить следующее:

1)      Длина отрезка, принимаемого за основную часть (в большинстве предлагаемых задач) выбирается совершенно произвольно. Также произвольно выбирается дополнительный отрезок, который участвует при разностном сравнении.

2)      Необходимо строго соблюдать соотношение между двумя или тремя объектами при кратном сравнении. Это значит, что если в условии задачи сказано, что один объект, например, в три раза больше другого, то для его изображения ровно трижды откладывается отрезок, принимаемый за одну часть.

3)      Необходимо соблюдать все характеристики и отношения, указанные в условии задачи. Если по условию задачи речь идет, например, о четвёртой части отрезка (количества чего-либо), то и на схематическом чертеже это следует выдержать.

4)      Запись единиц измерения всех величин обязательна.

 

Рассмотрим следующую задачу.

Задача 16. Зубр и лось весят вместе 1300кг. Найти вес каждого, если 20% веса лося равна восьмой части веса зубра.

Решение.

Выполним схематический чертёж согласно условию задачи (см.рис)

20%  - это пятая часть. С помощью чертежа легко видеть, что масса лося содержит пять равных частей, а масса зубра содержит восемь таких же частей.

1)      5 + 8 = 13 (частей) – их общая масса (в частях)

2)      1300 : 13 = 100 (кг) – содержит одна часть

3)      100  5 = 500 (кг) – масса лося

4)      100  8 = 800 (кг) – масса зубра

Ответ:  500кг, 800кг.

Задача 17. Одно число составляет 80% другого, а их разность равна 13. Найдите эти числа.

Решение.

Выполним схематический чертёж (см.рис)

100% - 80% = 20%  - это пятая часть второго числа

Тогда первое число содержит четыре части, а второе пять частей. Находим числа.

1)      13  4 = 52 – первое число;

2)      13  5 = 65 – второе число.

Ответ: 52 и 65.

 

Рассмотрим решения очень сложной задачи, где только правильно выполненный схематический чертёж поможет избежать типичной ошибки в анализе задачи.

 

Задача 18. В первую неделю котельная израсходовала 20% всего завезённого угля, во вторую неделю – на 25% больше, чем в первую, а в третью -  того, что израсходовано за две недели вместе. Оставшиеся 35 т израсходовали за четвёртую неделю.

Сколько угля было завезено первоначально?

Решение:

Сначала хочется предостеречь от весьма типичной ошибки в рассуждениях,  которые приведут к неверному результату.

Высказывание «… во вторую неделю – на 25% больше, чем в первую…» может привести к типичной ошибке:

20%+ 25% = 45% - во вторую неделю.

Тогда за две недели мы получим

20% + 45% = 65%.

Узнаем, сколько процентов угля израсходовали за третью неделю:

.

Итак, за 1 неделю – 20%

          За 2 неделю – 45%

          За 3 неделю – 39%.

Итого имеем 104%, что превышает весь завезённый уголь, который составляет 100%. К тому же ещё не учтён расход угля в течение четвёртой недели.

Получаем парадокс!

Попробуем разобраться более внимательно с условием задачи. В этом самым лучшим помощником является схематический чертёж (см. рис.)

 

 

Вернёмся к высказыванию  «… во вторую неделю – на 25% больше, чем в первую…».

Мы знаем, что 25% = . Значит, во вторую неделю израсходовали угля  на  часть больше, чем в первую неделю.

Это означает: .

Следовательно, во вторую неделю израсходовали 20 + 5 = 25 (%) всего угля.

Далее решение задачи вполне понятно. Приведём решение задачи в полном объёме:   25% = .

1)   - на столько процентов угля во вторую неделю израсходовано больше, чем в первую.

2)  20 + 5 = 25 (%) всего угля израсходовано за вторую неделю.

3)  20 +25 = 45 (%) всего угля – за две недели вместе.

4)   всего угля израсходовано за третью неделю.

5)  100 – (45 + 27) = 28 (%)всего угля израсходовано за четвёртую неделю.

Согласно условию задачи за четвёртую неделю израсходовали 35 т угля. Определим массу первоначально завезенного угля.

6)   - масса всего завезённого угля.

                                   Ответ: 125 т.

Задачи для самостоятельной работы

 

1 . Нина прочитала 30% книги, а если она прочитает ещё 50 страниц, то она прочитает 55% книги. Сколько всего страниц в книге?

2.  От куска материи длиной 13 м отрезали сначала несколько метров, а затем ещё 25% оставшейся части. Сколько метров материи отрезали в первый раз, если за два раза отрезали 7 м?

3 .  Масса одной луковицы на 40% больше массы второй.  Найдите массу второй луковицы, если масса первой луковицы равна 210г.

4 .  Саша сегодня решил на 2 задачи меньше, чем вчера, а завтра он планирует решить на 25% больше задач, чем сегодня. Сколько всего задач решит Саша за три дня, если сегодня он решил 4 задачи?

5 .  Который час в данный момент, если известно, что прошедшая часть суток составляет 20% от оставшейся части?

6 .  Когда Ваня прочитал 30% книги, а затем ещё  часть книги, то это было на 18 страниц меньше половины книги. Сколько страниц было в книге?

7 .  Одно число составляет 75% другого, а сумма их равна 189. Найдите эти числа.

8 .  Длина двух кусков ткани равна 4 м 50 см. Длина одного куска на 50% больше длины другого. Какова длина каждого куска ткани?

9 .  Во второй час пешеход прошёл путь на 20% больший, чем в первый. Сколько километров прошёл пешеход в первый и второй час в отдельности, если в первый час он прошёл на 800 м меньше чем во второй?

10.  В трёх пачках содержится 72 тетради. Во второй пачке на 50% меньше тетрадей, а в третьей – на 50% больше тетрадей, чем в первой пачке. Сколько тетрадей в каждой из трёх пачек?

11.  Возраст дочери составляет 10% возраста отца, а сын в 4 раза младше отца. Определите возраст отца, сына и дочери, если известно, что дочь младше сына на 6 лет.

12.  Сумма трёх углов образует угол в , при этом один из углов на 100% больше второго и в 3 раза меньше третьего. Найдите величину каждого из углов.

13.  Определите, который сейчас час, если оставшаяся часть суток составляет 300% от прошедшей его части.

 

 4.2. Метод «матрёшки».

Рассмотрим решение сложных задач, которые имеют общепринятое название – задачи решаемые «с конца».  В таких задачах некоторые действия с объектами выполняются несколько раз, причем при выполнении очередного действия за основу принимается остаток, получаемый при выполнении предыдущего действия. Если выполнять схематическую запись задачи на одном чертеже – рисунке, то это получается очень громоздко и крайне затрудняет анализ и решение задачи. Гораздо удобнее выполнить схематический чертеж-рисунок методом «матрешки», т.е. каждый остаток от очередного действия выносится каждый раз отдельно (ниже) и на нем показывается очередное действие. Найдя неизвестную величину на последнем чертеже, «вкладывают» её как самую маленькую матрёшку в предыдущий чертёж, затем в следующий по порядку, и, наконец, завершают решение задачи.

Проиллюстрируем применение этого метода на решении следующей задачи.

 

Задача 19. В магазине «Ткани» один покупатель приобрёл 20% имевшейся в рулоне ткани, второй покупатель – 25% остатка, а третий – 40% нового остатка. После этого в рулоне осталось 9 м. Сколько ткани было в рулоне первоначально?

Решение:

Решение задачи начинаем с конца, то есть с последнего вынесенного отрезка на схематическом чертеже (см. рис.). Ясно, что 9 м составляет 60% всего второго остатка.

 

1) 900 : 60 = 15 (см) составляет 1 % второго остатка;

2) 15   100 = 1500 (см) = 15 (м) – длина второго остатка;

Подписываем на чертеже (выше) этот результат  (тем самым мы как бы вкладываем самую маленькую матрёшку в среднюю по величине). Теперь весь первый остаток принимаем за 100%. Очевидно, что эти 15 метров составляют 75% этого остатка.

3)      1500 : 75 = 20 (см) – составляет 1 % первого остатка;

4)      20   100 = 2000 (см) = 20 (м)  длина первого остатка.

Подписываем этот результат на чертеже (выше) – следующая «матрёшка» вложена. Осталось найти первоначальную длину рулона ткани. Теперь его длина принимается за 100%. Концовка решения вполне понятна, так как длина первого остатка 80%:

5) 2000 : 80 = 25(см) – составляет 1 % всего рулона;

6) 25  100 = 2500 (см) = 25 (м)

Итак, 25 м было в рулоне первоначально.

Решение можно оформить короче следующим образом:

1)      100-40 = 60 (%) – составляют 9метров;

2)      9 : 0,6 = 15(м) – длина второго остатка;

3)      100-25 = 75(%) – составляют 15м;

4)      15 : 0,75 = 20 (м) – длина перового остатка;

5)      5) 1000 – 20 = 80 (%) – составляют 20м;

6)      20 : 0,8 = 25 (м) – длина всего рулона.

Ответ: 25м.

 Следующая задача является достаточно сложной, но обратите внимание, как с помощью метода «матрёшки» легко и естественно выстраивается вся цепочка анализа и решения этой задачи.

 

Задача 20. 45% всей земли совхоза занята лугом, 60% остатка – пашней, а остальная часть занята лесом. Найдите площадь всей земли совхоза и площадь леса, если известно, что площадь леса меньше площади пахотной земли на 660 га.

Решение:

Выполним схематический чертёж (см. рис.), причём «остаток земли» вынесем отдельно, ниже. Разберёмся сначала с остатком земли ( вся земля без луга). В условии задачи сказано, что 60% остатка занято пашней. Значит, остаток принимаем за 100%.

Имеем следующее решение:

1)      100 – 60 = 40 (%) остатка занимает лес.

2)      60 -40 = 20 (%) – разница (в процентах) между площадью, занятой пашней, и площадью, занятой лесом.

Согласно условию задачи эта разница в 20% составляет 660 га.

3)      660 : 20 = 33 (га) – составляет 1%.

4)       -  площадь, занятая лесом.

5)       - площадь остатка земли.  Теперь «вкладываем маленькую матрёшку в большую», то есть над «остатком» подписываем числовое значение – 3300 га.

С помощью схематического чертежа видно, что этот остаток земли составляет часть от всей земли совхоза. Значит, теперь за 100% мы принимаем весь земельный участок совхоза. Продолжаем решение:

6) 100 – 45 = 55 (%) – остаток земли (под пашню и лес), выраженный в процентах.

7) 3300: 55 = 60 (га) – составляет 1% всей земли совхоза.

8)  - площадь всей земли совхоза.

                     Ответ: 6000 га, 1320 га.

Задачи для самостоятельной работы

1.      От мотка шпагата отрезали 50% всего мотка, а потом ещё 20% остатка. После этого осталось 60 м шпагата. Сколько метров шпагата было в мотке первоначально?

2.      В цистерне было 35 т бензина. Сначала отлили  всего бензина, затем 40% остатка, а потом отлили  нового остатка. Сколько бензина осталось в цистерне?

3.      Собранный урожай яблок распределили следующим образом: 75% всех яблок высушили,  остатка израсходовали на варенье, а из оставшихся 3 кг яблок сварили компот. Сколько всего яблок собрали?

4.      Бригада косцов в первый день скосила половину луга и ещё 2 га, а во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найдите площадь луга.

5.      Израсходовали сначала 40% имевшихся денег, а затем ещё 30% оставшихся. После этого осталось 105 р. Сколько было денег первоначально?

6.      За 30 минут Сергей выполнил 70% теста по математике, а за следующие 20 минут -   оставшихся заданий. Сколько процентов всего теста осталось выполнить Сергею?

7.      Из полного бака вылили 20% всей воды, а затем вылили 75% оставшейся. Сколько процентов воды осталось в баке?

8.      В магазин привезли 480 кг яблок. В первый день продали  всего количества яблок, во второй день 75% оставшихся, а остальные яблоки продали в третий день. Сколько килограммов яблок продали в третий день?

9.      У Паши было несколько яблок. 50% всех яблок он отдал сестре,  оставшихся – брату, а 2 яблока оставил себе. Сколько всего яблок было у Паши?

10.  В первый час автомобиль прошёл 40% всего пути, во второй час - остатка, а в третий – остальные 35 км. Каков весь путь, пройденный автомобилем за эти три часа? Ответ: 175 км.

11.  В корзинке были апельсины. Сначала из корзинки взяли 50% апельсинов без 6 штук, а затем 25% оставшихся апельсинов. После этого в корзинке осталось 18 апельсинов. Сколько апельсинов было в корзинке первоначально?

 

4.3. Сравнение величин. Что принять за 100%.

Обратите внимание на следующее очень важное правило.

Если речь идёт о сравнении двух величин, то за 100% принимается та величина, с которой сравнивают другую. (на схематическом чертеже удобнее сначала расположить то число, которое составляет 100% - это первоначальное значение величины).

На примере решения следующей задачи попробуем хорошо разобраться в этом.

Задача 21. Даны числа 1200 и 1500.

             а) На сколько процентов число 1200 меньше числа 1500?

             б) На сколько процентов число 1500 больше, чем число 1200?

Решение:

а) Число 1200 сравнивается с числом 1500. следовательно, именно число 1500 принимаем за 100% - первоначальное значение. Тогда 1200 – конечное значение. (см. рис.)

1 способ.

1) 1500 : 100 = 15 – составляет 1% числа 1500.

Выясним, сколько раз число 15 укладывается в числе 1200, иными словами, сколько процентов составляет число 1200.

2) 1200 : 15 = 80 (%) – составляет число 1200.

3) 100 -80 = 20 (%) -   на столько процентов число 1200 меньше, чем 1500.

                                           

б) Теперь число 1500 сравнивается с числом 1200. в этом случае число 1200 составляет 100%. (см. рис.).

1) 1200 : 100 = 12 - составляет 1% числа 1200.

2) 1500 : 12 = 125 (%) – составляет число 1500.

3) 125 -100 = 25 (%) – на столько процентов число 1500 больше, чем 1200.

Решение этой задачи намного упрощается, если использовать алгоритм для определения изменения величины в процентах:

                         

2        способ.

а) 1500 – начальное значение, 1200 – конечное значение.

.

Запись (-20%) означает, что число 1200 на 20% меньше числа 1500.             

 б) «Роль» чисел во втором случае меняется.  1500 сравнивается с числом 1200, поэтому 1200 – начальное значение, а 1500 – конечное значение.                                                      

.                                       

Действительно 25%, то есть четверть, составляет число 300 от числа 1200. Именно на 300 и «возросло» число (1200 + 300 = 1500).

Ответ: а) на 20%; б) на 25%.

Задачи для самостоятельного решения.

1)          На сколько процентов число 75 больше числа 60? На сколько процентов число 60 меньше, чем число 75?

2)          За смену рабочий должен обточить 48 деталей, но, используя усовершенствованный резец, он обточил 60 деталей. На сколько процентов рабочий перевыполнил норму?

3)          Для покраски детской мебели нужна белая, зелёная и синяя краски. Зелёной краски необходимо на 100% больше, чем синей, а белой краски столько, сколько зелёной и синей вместе. Сколько зелёной и сколько синей краски необходимо приобрести, если белой краски нужно 4кг 800г? На сколько процентов число 75 больше числа 60? На сколько процентов число 60 меньше, чем число 75?

4)          Вес Вовы 42 кг, что составляет 210% веса его младшей сестры Ксюши. Найдите вес Ксюши.

5)          Три цеха изготовили 2648 деталей. Второй цех изготовил деталей на 200% больше, чем третий, а первый – столько, сколько второй и третий вместе. Сколько деталей  изготовил каждый цех отдельно?

6)          После уценки компьютера его новая цена составила 0,8 старой. Сколько процентов от старой цены составляет новая? На сколько процентов снизилась цена компьютера?

7)          Две машины рыли канаву. Первая машина за день вырыла канаву длиной 650 м. Это было на 30% больше того, что вырыла вторая. Какой длины канаву вырыли обе машины за день?

8)          Ковёр стоит 1000 р, а палас – 250 р. На сколько процентов ковёр дороже паласа? На сколько процентов палас дешевле ковра?

9)          Книга дороже альбома на 100%. На сколько процентов альбом дешевле книги?

4. 4 Разные способы решения задач

 

Решить задачу разными способами – это гораздо ценнее, нежели решить несколько аналогичных (однотипных) задач. На примере следующей задачи рассмотрим различные подходы к анализу задачи и её решению. Самый рациональный способ решения этой задачи легко выбрать из предложенных.

 

Задача 22. Саша прочитал в первый день 25% книги, во второй день -  книги, после чего ему осталось прочитать 17 страниц. Сколько страниц в книге?

Решение.

1 способ.

Легко видеть, что если во второй день прочитано  книги, то 25% книги и 17 страниц вместе составляют  всей книги. Значит, количество страниц в книге в 3 раза больше, то есть равно сумме 75% книги+51страница. Эта запись говорит о том, что 51 страница составляет 25% книги, т.е. её четвертую часть. Следовательно, в книге в 4 раза больше страниц, т.е. (страницы).

2 способ.

Решим задачу алгебраическим способом (через уравнение).

Пусть в книге страниц, тогда страниц прочитано Сашей в первый день и страниц – во второй день.

Так как осталось прочесть 17 страниц, то имеем уравнение:

, решением которого является .

Значит, в книге 204 страницы.

3 способ.

25% книги составляет  её часть. Узнаем, какую часть книги прочитал Саша за 2 дня: (книги).

Значит, на оставшуюся часть книги приходится 17 страниц.

Очевидно, что вся книга имеет (страниц).

Ответ: 204 страницы.

 

Задача 23. Рабочий выполнил 60% всего задания и ещё 10 деталей, а его ученик – 20% того же задания и остальные 5 деталей. Сколько всего деталей сделал мастер и ученик?

Решение:

1 способ (арифметический). Запишем кратко условие задачи.

Рабочий: 60% и 10 деталей.

Ученик: 20%  и  5 деталей.

Легко заметить, вместе они выполнили 80% всего задания и ещё 15 деталей (10 деталей + 5 деталей). Очевидно, что на эти 15 деталей приходится  20% или пятая часть всего задания. Значит, всё задание в 5 раз больше:

 - всё задание.

2 способ (алгебраический).

Пусть х деталей составляет всё задание. Тогда

(0,6х+10)деталей – сделал рабочий,

(0,2х+5)деталей – сделал ученик.

Согласно условию задачи рабочий и ученик выполнили всё задание. Решаем уравнение: (0,6х+10)+(0,2х+5)=х.

0,2х = 15,

Х = 75.

75 деталей – всё задание.

Ответ: 75 деталей.

 Задача 24. Первое число равно 24. 25% этого числа равны 40% второго числа. Найдите второе число.

Решение:

1 способ (арифметический).

Выполним схематический чертёж (см. рис)

25% =  ;  от 24 равна 6.

Это число 6 составляет 40% второго числа.

6 : 2 = 3 – составляет 20% второго числа.

Так как 20% - это пятая часть, значит,  - второе число.

2 способ (алгебраический).

25% = 0,25;   40% = 0,4.

Обозначим второе число через . Согласно условию задачи имеем уравнение

, решением которого является .

3 способ (с помощью пропорции). Выполните решение самостоятельно.

 Ответ: 15.

 

Задачи для самостоятельного решения.

Решите следующие задачи несколькими способами.

1)      Содержимое копилки Ули составило 75% накоплений Серёжи. Какую сумму денег накопил каждый из них, если вместе они накопили 350 р.?

2)      Набор красок на 84 р. дороже  альбома. Сколько стоит набор красок и сколько стоит альбом, если стоимость альбома составляет 60% стоимости набора красок?

3)      Наташа и Серёжа собирали смородину. Наташа собрала на 25% больше, чем Серёжа. Сколько килограммов смородины собрал каждый из них, если вместе они собрали 27кг?

4)      В трёх мешках лежит крупа: пшено, гречка и рис. Всего 200кг. Рис составляет 34% всей крупы, а гречки в 2 раза больше, чем пшена. Сколько килограммов каждой крупы лежит в мешках?

5)       Даша прочитала сначала 25% книги, потом ещё   книги, после чего ей осталось прочитать 45 страниц. Сколько страниц в книге?

6)      Для приготовления компота требуются ягоды, сахар и вода. Воды нужно взять 60% всей массы компота, а ягод на 20% больше, чем сахара. Сколько килограммов ягод, сахара и воды в отдельности нужно взять, чтобы приготовить 11 кг компота?

7)      В классе 25 учеников. 15 человек из них занимаются спортом. 20% учеников занимаются художественной самодеятельностью. Сколько процентов учеников в классе занимаются спортом? Сколько учеников занимаются художественной самодеятельностью?

8)      Задуманы два числа, одно из которых на 17 больше другого. Известно, что 25% меньшего из этих чисел равны 20% большего из них. Что это за числа?

 

Глава 5. Задачи на смеси и сплавы.

 Табличный метод.

 Чтобы освоить решение задач на смеси и сплавы необходимо прежде всего знать, что такое процентная концентрация вещества в смеси (растворе).

Процентная концентрация по массе выражается числом граммов растворённого вещества содержащегося в 100г раствора.

Процентная концентрация показывает, сколько граммов растворенного вещества находится в 100г раствора.

Например, дан 10-процентный раствор соли. Это значит, что в 100г раствора содержится 10г соли и 90г воды.

 

Задача 25. В растворе массой 140г содержится 28г соли. Какова процентная концентрация этого раствора?

Решение:

Фактически необходимо определить процентное содержание соли в растворе, т.е. ту часть, которую составляют 28г в 140 г раствора, выраженную в процентах.

Итак, это 20-процентный раствор соли.

Ответ: 20%

Рассмотрим довольно подробно решение следующей задачи с помощью табличного метода. Не сомневаемся, что овладение этим методом позволит логически последовательно и достаточно легко справляться даже со сложными задачами на смеси и сплавы. Заметим, что в задачах такого типа удобно проценты записывать десятичной дробью.

 

Задача 26. Подсолнух содержит 25% шелухи, а обработанный 5% шелухи. Сколько обработанной массы получится из 190кг подсолнуха?

Решение.

Анализ задачи.

1 этап. Вносим в таблицу все исходные данные и обозначаем искомую величину.

Обозначим через кг количество обработанной массы, полученной из 190кг подсолнуха (сырья).

Необходимо понимать, что обработанный подсолнух все равно содержит шелуху, но, естественно, в гораздо меньшем количестве, нежели сырье (в сырье - часть всего подсолнуха, а в обработанном - часть всей обработанной массы).

 

 

подсолнух

обработ. масса

общая масса

190кг

кг

чистые семечки

 

 

 

 

шелуха

25%

 

5%

 

 

2 этап. Заполняем все остальные ячейки таблицы согласно условию задачи. Таким образом, мы получаем всю информацию о каждом составляющем компоненте смеси как в процентах (или долевом соотношении), так и в количественном соотношении (в килограммах).

В 190кг подсолнуха (сырья) содержится:

25% шелухи, что составляет кг = 47,5кг,

75% чистых семечек, что составляет кг = 142,5кг.

В обработанной массе содержится:

5% шелухи, что составляет кг,

95% чистых семечек, что составляет кг.

 

 

подсолнух

обработ. масса

общая масса

190кг

кг

чистые семечки

75%

кг

95%

кг

шелуха

25%

кг

5%

кг

 

Замечание. В таблицу обязательно вписываются единицы измерения величин, так как иначе это может привести к грубым ошибкам при составлении уравнения или системы уравнений.

 

3 этап. С помощью заполненной таблицы составляется уравнение (если введена одна переменная) или система уравнений (в случае необходимости введения двух переменных).

Очевидно, что количество чистых семечек, полученных из подсолнуха (сырья) равно количеству чистых семечек в обработанной массе, поэтому получаем уравнение:

, откуда .

Следовательно, 150кг – количество обработанной массы.

 

Проверка.

В 150кг обработанной массы содержится 95% чистых семечек, т.е. кг. Это же количество чистых семечек содержится и в 190кг сырья.

Определим процентное содержание чистых семечек в этом количестве сырья: . Значит, на шелуху остается 100%-75%=25%, что соответствует условию задачи.

Вывод: задача решена верно.

Ответ: 150кг.

 

Задача 27. Смешали некоторое количество 30%-го раствора соляной кислоты с некоторым количеством 10%-го раствора и получили 600г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение.

Решим задачу табличным методом. Для решения задачи достаточно заполнить только первую часть таблицы.

 

 

1 раствор

2 раствор

смесь

общая масса

 г

 г

600 г

кислота (чистая)

30%

г

10%

г

15%

г

вода

 

 

 

 

Пусть смешали  г 30%-го раствора с  г 10%-го раствора. Чистой (безводной) соляной кислоты содержится в первом растворе  г, во втором растворе –  г, а в смеси этих растворов содержится  г. Ясно, что масса чистой кислоты в смеси является суммарной массой кислоты в первом и втором растворах, поэтому имеем уравнение:

 (1) или ,

решением которого является .

Итак, было взято 150 г первого раствора и 450 г второго раствора.

 

Замечание: Если заполнить все ячейки таблицы до конца, то получим следующую таблицу:

 

 

 

1 раствор

2 раствор

смесь

общая масса

 г

 г

600 г

кислота (чистая)

30%

 г

10%

 г

15%

 г

вода

70%

 г

90%

 г

85%

 г

 

Тогда можно составить другое уравнение относительно переменной  (из строки, соответствующей содержанию воды):

            . (2)

Самостоятельно проверьте, что корень уравнения (2) совпадет с корнем уравнения (1).

Ответ: 150 г, 450 г.

 

Задачи для самостоятельной работы

 

  1. К 8кг 70%-го раствора кислоты добавили 2кг воды. Определить процентную концентрацию полученного раствора.  
  2. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 20%, а в другом – 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы получить 10кг нового сплава, содержащего 27% олова?
  3. Свежие яблоки содержат 85% воды, а сухие - 16% воды. Сколько получится сухих яблок из 420кг свежих? 
  4. Имеется пятипроцентный раствор соли. В него добавили ещё 50 г соли, и концентрация соли в нём увеличилась до 24%. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?
  5. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в смеси составило 2%? 

6.      Смешали 30%-ый раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15% раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

  1. Имеется два сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом - 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди?
  2. Если смешать 3литра 20%-ной сметаны с 2литрами 15%-ой, то какова будет процентная жирность сметаны?
  3. Смешали 84 г 5%-го раствора соли и 36 г 15%-го раствора. Сколько процентов соли содержится в получившейся смеси?

10.  Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из неё металл содержит 4% примесей. Сколько получится металла из 24 тонн руды?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы

 

§3

 

1.      на 25%.

2.      на 20%

3.      400%; 25%;      на 75%;на 300%.

4.      на 12,5%.

5.      на 25%.

6.      на 125%.

7.      на 20%.

8.      24; 8; 48 яблок;   на 500%;на 50%.

9.      на 32%.

10.  на 20%.

11.  на 25%; на 20%.

12.  на 25%.

13.  на 64%.

14.  .

15.  .

16.  да.

17.  54км.

18.  26ч.

19.  51км.

20.  42км/ч.

21.  на 12мин 30с.

22.  755км.

23.  3ч; 2ч.

24.  199км.

25.  Баба Яга; в 20ч.

26.  по 11 часов.

27.  на 1м/с.

28.  14ч.

29.  в 15ч.

30.  248км.

31.  462км.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

Глава 1.  Понятие процента

1. 1. Что такое процент          ………………………………………..1

                                                                                                

1. 2. Выражение процентов в виде дроби ………………………….2

 

 

1.3. Выражение числа в процентах            ………………………….2

 

Глава 2. Основные типы задач на проценты

2.1. Нахождение нескольких процентов от данного числа.……….5

2.2. Нахождение числа по заданному значению его процентов ….10

2.3.  Отношение чисел, выраженное в процентах                  . …….12

 

Глава .   Изменение величины в процентах           …….15

 

Глава 4. Поиск решения задачи

 

4.1  Схематический чертёж к условию задача как средство

        поиска рационального решения.                                        …….24

4.2 Метод «матрёшки»                                                                …….29

4.3. Сравнение величин. Что принять за 100%                         .……33

4.4   Разные способы решения задач                                          .……37

Глава 5.Задачи на смеси и сплавы.

          Табличный метод                                              .……33

Ответы                                                                         .……47

Оглавление                                                                    .……48

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал
Скачать тест к материалу
Скачать материал
Скачать тест к материалу

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 884 105 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Скачать материал
Скачать тест к материалу

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    Скачать тест к материалу
    • 26.03.2019 3551
    • DOCX 2.2 мбайт
    • 11 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Бунеева Наталья Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Пожаловаться на материал
  • Автор материала

    Бунеева Наталья Александровна
    Бунеева Наталья Александровна
    • На сайте: 3 года и 2 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 4645
    • Всего материалов: 6

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой