ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА
Образовательные цели: Обобщить знания по теме: «Определенный интеграл, его свойства»;
Систематизировать умения вычисления определенного интеграла;
Отработать навыки вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла;
применять полученные знания при решении задач.
Развивающие цели:
развитие логического мышления;
развитие математической речи;
развитие памяти и внимания.
Воспитательные цели:
развитие навыков вычислительной культуры;
развитие трудолюбия и аккуратности;
развитие самостоятельности и настойчивости.
Тип занятия
По основной дидактической цели: изучение нового материала;
По способу проведения: лекция с элементами беседы.
Общие методы обучения
По источнику знаний: словесный, наглядный, практический;
По характеру познавательной деятельности: эвристический.
Специальные методы обучения
анализ, синтез, обобщение
Формы обучения
фронтальная
Оборудование
меловая доска, мел, карточки с заданиями
Этапы занятия
1) организационный момент (5 мин);
2) актуализация знаний (15 мин);
3) изучение нового материала (35 мин);
4) закрепление нового материала (30 мин);
5) постановка домашнего задания (3 мин);
6) итог занятия (2 мин).
Литература:
Печатные издания:
1) Богомолов, Н. В. Математика: учебник для СПО / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 5-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательство Юрайт, 2018. – 401 с. – (Серия: Профессиональное образование) https://biblio-online.ru/viewer/D70C4F85-E465-42CA-BBD3-F7EC185EB415/matematika#page/1
2) Богомолов, Н.В. Математика. Задачи с решениями. В 2 ч. Часть 1: учеб. Пособие для СПО / Н.В. Богомолов. – 2-е изд., испр. И доп. – М.: Издательство Юрайт, 2018. – 439 с. – (Серия: Профессиональное образование). https://biblio-online.ru/viewer /C1FB 959D-9DE5-43C8-838D-BB7FE441593D/matematika-zadachi-s-resheniyami-v-2-ch-chast-1#page/1
3) Богомолов, Н.В. Математика. Задачи с решениями. В 2 ч. Часть 2: учеб. Пособие для СПО / Н.В. Богомолов. – 2-е изд., испр. И доп. – М.: Издательство Юрайт, 2018. – 439 с. – (Серия: Профессиональное образование).https://biblio-online.ru /viewer/ 69336 BB2-F937-41DD-BD3D-0FACBD8BCB29/matematika-zadachi-s-resheniyami-v-2-ch-chast-2#page/1
Электронные издания (электронные ресурсы):
Электронная библиотека. Форма доступа: www.math.ru/lib
Дополнительные источники:
1) Шипачев, В.С. Математика: учебник и практикум для СПО / В.С. Шипачев; под. Ред. А.Н. Тихонова. - 8-е изд., перераб и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2017. – 447 с. – Серия: Профессиональное образование. https://biblio-online.ru/viewer/3E8EBA19-DC34-4025-B856-A20AC595B921/matematika#page/1
СХЕМА ДОСКИ НА НАЧАЛО ЗАНЯТИЯ
Вычисление площадей плоских фигур, расположенных над и под осью Ох.
ХОД ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ (5 МИНУТ)
Деятельность преподавателя:
Здравствуйте, ребята, присаживайтесь. Сегодня на занятии мы продолжим изучение интегрального исчисления. Понятие определенного интеграла является одним из основных понятий математики. К концу XVII в. Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который составляет основу математического анализа.
На предыдущих занятиях мы научились «брать» неопределенные интегралы, вычислять определенные интегралы. Но куда важнее применение определенного интеграла. Мы знаем, что с его помощью можно вычислять площади криволинейных трапеций. Сегодня мы ответим на вопрос: «Как это сделать?» Откройте свои тетради, запишите дату и тему занятия.
Деятельность обучающихся:
Приветствие преподавателя. Запись в тетради даты и темы занятия: «Вычисление площадей плоских фигур, расположенных над и под осью Ох».
АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ (15 МИНУТ)
Деятельность преподавателя:
Прежде чем приступить к изучению нового материала, я предлагаю заполнить таблицу основных интегралов, которая написана на доске.
Примечания:
Опрос проводится по цепочке, в случае затруднения при ответе вопрос переходит к следующему обучающемуся.
Деятельность обучающихся:
Работают устно, следят за ходом работы у доски, дополняют друг друга. В ходе работы вспоминают формулу Ньютона – Лейбница, поясняют символы, входящие в состав формулы:
a – нижний предел интегрирования;
b – верхний предел интегрирования;
[а; b] – отрезок интегрирования;
f(x) – подынтегральная функция;
- дифференциал,
свойства определенного интеграла, геометрический смысл определенного интеграла.
Примечания:
После окончания работы таблица на доске выглядит следующим образом:
Деятельность преподавателя:
Вот мы с Вами и заполнили таблицу, ответили на вопросы, вспомнили пройденный материал и готовы узнавать новое.
ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА (35 МИНУТ)
Деятельность преподавателя:
Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом занятии мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу – как с помощью определенного интеграла вычислить площадь плоской фигуры. Наконец-то ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла. В действительности, для того чтобы находить площадь фигуры не надо так уж много знаний по неопределенному и определенному интегралу. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа, поэтому гораздо более актуальным вопросом будут ваши знания и навыки построения чертежей. Для начала давайте вспомним, что называют криволинейной трапецией.
Деятельность обучающихся:
Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная отрезками прямых
и графиком непрерывной функции .
Деятельность преподавателя:
Вспомним постановку задачи о площади криволинейной трапеции: нам нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Как мы пытались её решить?
.
Деятельность обучающихся:
Разбили отрезок на n одинаковых отрезков, заменили искомую площадь на площадь поступенчастой линии, сосчитали и получили приближенное решение задачи. Далее устремили в пределе и получили искомую площадь S, что есть определенный интеграл. Вот таким образом мы пытались решить задачу.
Деятельность преподавателя:
Верно, молодцы. Для вычисления определенного интеграла, другими словами, для вычисления площади криволинейной трапеции будем использовать формулу Ньютона-Лейбница: .
Рассмотрим пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – это построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить правильно.
Построим для начала все прямые: а затем построим график функции . Эта функция является квадратичной, а графиком квадратичной функции является парабола.
1. Веточки параболы направлены вверх, так как .
2. Вершина параболы:
Деятельность обучающихся:
Решают пример вместе с преподавателем, отвечают на вопросы, задают вопросы по решению.
Деятельность преподавателя:
На отрезке график функции расположен над осью Ох, поэтому
Ответ: .
После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток.
Деятельность обучающихся:
Решают задачи вместе с преподавателем, отвечают на вопросы по ходу решения, задают вопросы в случае затруднения.
Деятельность преподавателя:
А сейчас Вы получите раздаточный материал. Для начала давайте мы посмотрим на рисунок 1, рисунок 2 и найдем криволинейную трапецию.
Примечание:
Опрос обучающихся продолжается по цепочке, ответ обосновывается.
Деятельность преподавателя:
На оставшихся рисунках Вы можете видеть основные случаи расположения фигуры в координатной плоскости.
Деятельность обучающихся:
Обучающиеся конспектируют материал в тетрадь, задают уточняющие вопросы.
Деятельность преподавателя:
Рассмотрим еще один пример: найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: .
Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:
Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .
Построим графики функций.
А) . Графиком квадратичной функции является парабола.
1. Ветки параболы направлены вверх, так как
2. Вершина параболы:
Б) . Графиком линейной функции является прямая.
А теперь рабочая формула: если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми можно найти по формуле:
Важно какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой - НИЖЕ.
В рассматриваемом примере, очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть , другими словами искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
.
Деятельность обучающихся:
Решают задачи вместе с преподавателем, отвечают на вопросы по ходу решения, задают вопросы в случае затруднения.
ЗАКРЕПЛЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА (30 МИНУТ)
Деятельность преподавателя:
Итак, мы с Вами рассмотрели две задачи, в которых нужно было отыскать площадь плоской фигуры, а теперь попробуем решить задачи, которые указаны на раздаточном материале как «задачи для решения в аудитории».
Примечание:
Приглашается обучающиеся к доске для решения задачи.
Деятельность обучающихся:
Обучающиеся, приглашенный к доске решает, а также решение комментирует, все остальные работаю по мере своих возможностей (либо самостоятельно, сверяя свою работу с тем, что на доске, либо параллельно с отвечающим).
1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение: графиком данной функции служит гипербола.
ООФ: На отрезке график функции расположен над осью Ох, поэтому
Ответ:
2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение: графиком функции является парабола:
а) , т.к. ;
б) ; графиком функции является прямая: На отрезке , по соответствующей формуле
Ответ: .
ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ (3 МИНУТЫ)
Деятельность преподавателя:
Наше занятие подходит к концу, пора записать домашнее задание, чтобы вы самостоятельно закрепили нахождение площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла дома. Обязательно повторите конспект занятия.
Деятельность обучающихся:
Записывают домашнюю работу в тетрадь из раздаточного материала.
ИТОГ ЗАНЯТИЯ (2 МИНУТЫ)
Деятельность преподавателя:
Скажите, у кого остались вопросы? Всё ли у Вас получилось сегодня на занятии? В чем возникли трудности?
Деятельность обучающихся:
Обучающиеся делятся своими впечатлениями о занятии, обсуждают затруднения, возникшие на занятии, методы их устранения.
Деятельность преподавателя:
Вот и подошло к концу наше занятие, благодарю за работу. До свидания.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. РЕШЕНИЕ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Первая функция – парабола, ветви вниз. График второй функции – прямая линия.
Решение:
а) т.к. ;
б) Пределы интегрирования:
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ НА ЗАНЯТИЕ
Задачи для решения в аудитории:
1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Домашняя работа:
1) Повторение теории занятия;
2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.