Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:



Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Луганской Народной республики

«Луганский строительный колледж»








МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ЗАНЯТИЯ

по дисциплине «Высшая математика»

специальность 5.03060101

«Организация производства»


на тему: Асимптоты графика функции. Нахождение асимптот






Разработал:

преподаватель – методист

Еськова Л.В.






2015


Рассмотрено и одобрено на заседании цикловой комиссии естественно – математических дисциплин

Протокол от «____»___________2015 г.

__________

Председатель цикловой комиссии

_____________ Л.Г.Поддубная





































Тема: Асимптоти графіка функції. Знаходження асимптот.


Вид заняття: лекція з практичним закріпленням матеріалу.



Мета: Засвоєння студентами поняття асимптоти графіка функції, вміння знаходити асимптоти графіків функції.

Узагальнити та систематизувати знання знаходження границь функції.

Формувати творчій підхід до вирішення питань, культуру письма та креслення.

Вчити аналізувати, узагальнювати матеріал.

СТРУКТУРА ЗАНЯТТЯ

  1. Організаційна частина.

  2. Повідомлення теми, мети та основних завдань.

  3. Мотивація навчальної діяльності.

  4. Актуалізація опорних знань студентів.

  5. Викладення нового матеріалу.

5.1. Асимптоти графіків функції.

      1. Означення асимптоти.

      2. Види асимптот.

      3. Застосування програмного забезпечення

Advanced Grapher до побудови асимптот графіка функції.

      1. Знаходження асимптот графіка функції.


5.2 Розв’язування прикладів.

  1. Підведення підсумків заняття.

  2. Завдання для самостійної роботи.



Література:

  1. В.П. Лавренчук, Т.І. Готинчан, В.С Дронь, О.С. Кондур Вища математика. Курс лекцій у трьох частинах. Частина 1. Лінійна алгебра, аналітична геометрія, математичний аналіз: Навчальний посібник. – Чернівці: Рута, 2007. – 440 с.

  2. Крамар М.М., Швед О.П. Вища математика (конспект лекцій, частина І).-Луганськ: Вид-во НЦППРК «Ноулідж», 2008

  3. Соколенко О.І.Вища математика : Підручник. – К.: Видавничий центр "Академія", 2003. – 432 с. (Альма-матер)

  4. Крамар М.М., Швед О.П. Вища математика (конспект лекцій, частина І). - Луганськ: Вид-во НЦППРК «Ноулідж», 2008.


Зміст заняття


  1. Організаційна частина.

Привітання, позначення відсутніх.


  1. Повідомлення теми, мети та основних завдань.


Тема сьогоднішнього заняття «Асимптоти графіків функції. Знаходження асимптот». Метою нашого заняття є засвоєння поняття асимптоти графіка функції, видів асимптот, напрацювання вміння знаходити асимптоти графіків функції, повторення матеріалу, який ви вивчали протягом модуля, вдосконалення навичок знаходження границь функції.


  1. Мотивація навчальної діяльності.

Поняття границі та правила диференціювання, які ми вивчали протягом останніх занять мають бути застосовані нами в подальшому вивченні матеріалу, при дослідженні функції та побудові графіків. Раніше Ви вже зустрічались з поняттям асимптоти графіків функції, але як знаходити рівняння асимптоти і які існують види асимптот, вам було не відомо. Сьогодні мі розширюємо знання з цієї теми и застосування їх до розв’язування задач.


  1. Актуалізація опорних знань студентів.

Для вивчення нового матеріалу нам необхідно згадати означення границі і теореми про границі функції, а також пригадати чудові границі.

ОЗН. Число А називають границею функції hello_html_5d3651ff.gif при hello_html_74501ff3.gif, якщо вона визначена у деякому околі точки hello_html_m734afb91.gif, крім можливо самої точки hello_html_m734afb91.gif, і для будь - якого hello_html_me25e267.gifможна знайти таке hello_html_m772f4fd7.gif, що для всіх х, що задовольняють нерівності hello_html_m16e39a70.gif, (1)

функція hello_html_5d3651ff.gif задовольняє нерівність hello_html_m152d712.gif. (2)

Це записують таким чином:

hello_html_m47202f33.gif(3)

Умова hello_html_m1ad935ce.gif означає, що hello_html_m75920b17.gif.

Теорема 1. Якщо для функції hello_html_13ab80b0.gif існує границя приhello_html_58c69ddc.gif, то вона єдина.


Теорема 2. Нехай hello_html_m5f950619.gifфункції, для яких існують границі приhello_html_58c69ddc.gifі hello_html_m47202f33.gif , hello_html_5210effd.gif, тоді

  1. Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) границь цих функцій:

hello_html_286926c2.gif.

  1. Границя добутку двох функцій дорівнює добутку границь цих функцій:

hello_html_m33eff396.gif.

  1. Границя частки двох функцій дорівнює частки границь цих функцій, при умові, що : hello_html_84d3403.gif

hello_html_m71c50713.gif.

  1. Сталий множник можна виносити за знак границі:

hello_html_m1da57b81.gif.


Дві важливі границі.

Перша важлива границя

hello_html_41cae07b.gif; hello_html_2fe5f5f1.gif; hello_html_7dd0b363.gif; hello_html_m626a6e88.gif; hello_html_2bf35fab.gifhello_html_m758380d5.gif

Друга важлива границя

hello_html_4fd9a7b7.gif

  1. Викладення нового матеріалу.

5.1. Асимптоти графіків функції.


5.1.1.Означення асимптоти.


При дослідженні функції при hello_html_m2b08bf51.gif, або в околі точок розриву другого роду, часто виявляється, що графік функції скільки завгодно близько наближається до тієї або іншої прямої. Такі прямі називаються асимптотами графіка функції. Якщо графік функціїhello_html_m47b1a40d.gif має нескінченну гілку, то графік функції можливо має асимптоти. Асимптоти - це прямі, до яких необмежено наближається крива графіка функції при прагненні аргументу функції до безкінечності. Перш ніж приступити до побудови графіка функції, потрібно знайти всі вертикальні і похилі (горизонтальні) асимптоти, якщо вони існують.


Вhello_html_77b2e3f5.gifизначення. Пряма L називається асимптотою графіка функції hello_html_12a392b3.gif, якщо відстань d від змінної точки hello_html_m3f38cad5.gifграфіка до прямої прямує до нуля при прямуванні точки М по кривій у нескінченність.

Визначення. Пряма hello_html_m13ad43a8.gif називається асимптотою графіка функції hello_html_m47b1a40d.gif при hello_html_m71485090.gif, якщо hello_html_m6a47c2f1.gif.

      1. Види асимптот.


Іhello_html_m36cd781c.gifснує три види асимптот: вертикальні, горизонтальні та похилі.


1. Вертикальна асимптота hello_html_13cf0fed.gif .


Визначення. Пряма hello_html_13cf0fed.gifназивається вертикальною асимптотою графіка функції hello_html_12a392b3.gif , якщо хоча б єдина з границь hello_html_m1a6f7f26.gif (границя справа) або hello_html_m1a6f7f26.gif(границя зліва) дорівнює hello_html_m26487343.gif або hello_html_34d3e50a.gif, т. т. hello_html_m27bf5664.gifhello_html_7dec404d.gifОчевидно, пряма hello_html_13cf0fed.gif не може бути вертикальною асимптотою, якщо функція hello_html_12a392b3.gif неперервна в точці hello_html_13cf0fed.gif, тому що в цьому випадку hello_html_m2112cc68.gif. Отже, вертикальні асимптоти hello_html_13cf0fed.gif варто шукати у точках розриву функції hello_html_12a392b3.gif або на кінцях її області визначення hello_html_m5bf86247.gif, якщоhello_html_1eaf171c.gif і hello_html_m6a12df8f.gif- скінченні числа.

hello_html_7ffb93da.gif

2. Горизонтальна асимптота hello_html_5007ce84.gif.


Визначення. Пряма hello_html_5007ce84.gif називається горизонтальною асимптотою графіка функції hello_html_12a392b3.gif, якщо існують кінцеві границі hello_html_32191aa3.gif або hello_html_34b67e99.gif.

Якщо скінчена тільки одна з границь hello_html_6b21dec4.gif або hello_html_m27e2bb25.gif, то функція має лише одну правобічнуhello_html_74bd4e8d.gif або лівобічну hello_html_m7fec32b9.gif горизонтальну асимптоту. Якщоhello_html_m77dcb814.gif=hello_html_58c24a5d.gif =hello_html_m6a12df8f.gif, то говорять просто про горизонтальну асимптоту. У тому у випадку, коли hello_html_69650aa6.gif, то функція не має відповідної горизонтальної асимптоти, але може мати похилу.


3.Похила асимптота hello_html_m13ad43a8.gif.


Вhello_html_77b2e3f5.gifизначення. Пряма hello_html_m13ad43a8.gif називається похилою асимптотою графіка функції hello_html_12a392b3.gif, якщо функція визначена при достатньо великих hello_html_2b8a2485.gif існують кінцеві границі hello_html_m4c98ead5.gifhello_html_a52e542.gif.


Якщо, хоча б одна з границь не існує або нескінченна, то графік досліджуваної функції не має відповідної похилої асимптоти.


      1. Застосування програмного забезпечення Advanced Grapher до побудови асимптот графіка функції.


Advanced Grapher є потужним програмним графічним забезпеченням . Ви можете використовувати його для побудови графіків функцій, рівнянь, нерівностей та таблиць.

Програма також дозволяє виконувати побудову кривих, аналізувати функції, знаходити точки перетину графіків з осями координат, дотичні та нормалі графіків і багато іншого.

Ви можете вказати колір, стиль і ширину ліній, стиль і розмір точок, побудова по лініях та (або) точок, стиль затінювання (для нерівності) для кожного графіка. Ви також можете змінити додаткові властивості графів в залежності від типу графіка, наприклад, кількість точок, побудова інтервалів, сортування (для таблиць), і т.д. Програма має багатомовний інтерфейс. 




hello_html_734fce40.png





      1. Знаходження асимптот графіка функції.


Приклад № 1 . Знайти вертикальні та горизонтальні асимптоти графіка функціїhello_html_m27a54f49.gif

Розв’язок.

Очевидно, що область визначення функції hello_html_a34d6c0.gif. Вертикальні асимптоти hello_html_13cf0fed.gif шукаємо у точках розриву функціїhello_html_m1670fff8.gif. Таким чином, пряма hello_html_m231e745f.gifможе бути вертикальною асимптотою даної функції. Обчислюємо границі

hello_html_m5a20340c.gifhello_html_m54ba4997.gifІз цього випливає, що пряма hello_html_m231e745f.gif є вертикальною асимптотою графіка досліджуваної функції.

Знайдемо горизонтальну асимптоту hello_html_5007ce84.gif. Обчислюємо границі використовуючи правило Лопіталя.

hello_html_689f71d4.gifhello_html_m5915710d.gif =hello_html_5d6c8946.gifhello_html_6f354e3a.gifhello_html_m5915710d.gifhello_html_m66182293.gif. Тому, щоhello_html_m77dcb814.gif=hello_html_58c24a5d.gif =hello_html_m6a12df8f.gif, то графік функції має тільки одну горизонтальну асимптоту. За допомогою програми Advanced Grapher легко побудувати графік функції та асимптоти.


hello_html_1d9b7fce.png


Приклад № 2. Знайти асимптоти графіка функціїhello_html_282723c.gif

Розв’язок.

Очевидно, що графік функції не має ні вертикальних асимптот

( немає точок розриву), ні горизонтальних асимптот (hello_html_6f1244fc.gif).

Знайдемо похилу асимптоту. Обчислюємо границі hello_html_m3162ed3f.gif

hello_html_a52e542.gif, hello_html_56999232.gif.

Таким чином, права похила асимптота має вигляд hello_html_m3488dbda.gif. Очевидно, що ліва похила асимптота буде мати ті ж значення, що й права, а це значить, що графік досліджуваної функції має одну похилу асимптоту.


hello_html_m59ae66f8.png


    1. Розв’язування прикладів.

Приклад № 1. Знайти асимптоти графіка функції hello_html_m52be97e4.gif

Рішення: Дослідимо функцію спочатку на наявність похилої асимптоти. Знайдемо hello_html_m4c98ead5.gifhello_html_m4f477aeb.gif

hello_html_a52e542.gif, hello_html_6bda249c.gif.

Пряма hello_html_m5842fcb6.gif є похилою асимптотою графіка функції hello_html_m52be97e4.gifпри hello_html_m10c6af6e.gif, а також пряма hello_html_m5842fcb6.gif також є асимптотою графіка функції приhello_html_60ffdf0e.gif. Перевіримо наявність вертикальних асимптот.

Точка hello_html_m1b0ddb2.gifє точка розриву функції. Знайдемо границю

hello_html_81efbe1.gif, тому пряма hello_html_m1b0ddb2.gif(вісьhello_html_m5fea9744.gif) є вертикальною асимптотою.


hello_html_m686666c4.png















Приклад № 2. Знайти асимптоти графіка функції hello_html_19d99606.gif.

Рішення: Знайдемо hello_html_m4c98ead5.gifhello_html_f58fe85.gif

hello_html_a52e542.gif, hello_html_m35b1c127.gif.

Підставляючи знайдені значення hello_html_m1ba27cfb.gifв рівняння похилої асимптоти, отримаємо рівняння hello_html_5f5fc820.gif. Точка hello_html_mad908.gifє точка розриву функції. Знайдемо границю hello_html_6f30c3a8.gif, тому пряма hello_html_9e37d47.gifє вертикальною асимптотою.




hello_html_204acaab.png


Приклад № 3. Знайти асимптоти графіка функції hello_html_m17008ea5.gif.

Рішення:

  1. Знайдемо hello_html_m4c98ead5.gifhello_html_m32c73dd6.gif

hello_html_a52e542.gif, hello_html_5fd56f3e.gif.

Підставляючи знайдені значення hello_html_m1ba27cfb.gifв рівняння похилої асимптоти, отримаємо рівняння hello_html_32f8cec5.gif. Точка hello_html_m6ad58a0.gifє точка розриву функції.

Знайдемо границю hello_html_m459b474e.gif, тому пряма hello_html_m6ad58a0.gifє вертикальною асимптотою.


hello_html_4fd726e6.png


Приклад № 4. Знайти асимптоти графіка функції hello_html_m557d92b0.gif.

Рішення:

  1. Знайдемо hello_html_m4c98ead5.gifhello_html_m7fee00be.gif

  2. Знайдемоhello_html_a52e542.gifhello_html_272f2c80.gifhello_html_m7db49336.gifhello_html_m7c8a60bc.gifТаким чином пряма hello_html_4469c31f.gif є асимптотою графіка даної функції при hello_html_m6260bc5b.gif. Аналогічно пряма hello_html_m5ead1262.gif також є асимптотою графіка даної функції при hello_html_m3699f67b.gif.


hello_html_m1075ffb9.png

Приклад № 5. Знайти асимптоти графіка функції hello_html_m4e7a8c97.gif.

Розглянемо точки hello_html_m762d107d.gif та hello_html_14a3abc.gif. Маємо hello_html_60df1382.gif.

Тому прямі hello_html_m762d107d.gif та hello_html_14a3abc.gif є вертикальними асимптотами графіка даної функції. Знайдемо hello_html_m4c98ead5.gifhello_html_4045d771.gifтому вісь

hello_html_7982a725.gifєhello_html_m7b9f65cc.png

горизонтальною асимптотою.


  1. Підведення підсумків заняття.

Висновки: Отож, сьогодні ми ознайомились з означенням асимптоти графіка функції, видами асимптот.

Розглянули деякі приклади знаходження асимптот графіка функції.


  1. Завдання для самостійної роботи.


Опрацювати матеріал підручника Крамар М.М., Швед О.П. Вища математика 198-201 ст. Знайти асимптоти графіків функції:

1). hello_html_4ceab2c7.gif; 2). hello_html_7b3ddb57.gif.



<[Введите текст]>



Автор
Дата добавления 05.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров149
Номер материала ДВ-420991
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх