1057576
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 70%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыМетодическая статья" Испытание на правдоподобие"

Методическая статья" Испытание на правдоподобие"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Попова О.В

МБОУ СОШ №95

Воронеж

OVPOPOVA118@mail.ru


Испытание на правдоподобие

И специалисту-математику, и школьнику приходится встречаться с математическими предложениями, в истинности которых он сомневается. Иногда требуется доказать или опровергнуть ка­кое-либо утверждение или из нескольких предложенных ответов к задаче выбрать единственный правильный.

Если доказательство утверждения упирается в громоздкие вык­ладки, то часто бывает полезно не начинать с попыток доказательства, а постараться отдать себе отчет, насколько данная гипотеза правдоподобна, не приводит ли она к явно ошибочным или сомнительным выводам»

Существуют некоторые простые общие приёмы, которые позволяют обнаружить ошибочный ответ к той или иной задаче, прове­рить, не содержит ли предложенная задача ошибочного утверждения и т.п.

Наиболее простые приёмы для достижения этой цели таковы:

проверка на частных случаях (с построением контрпримеров), про­верка по размерности.

В качестве примеров рассмотрим следующие задачи.

Задача 1.

В древнем Египте для вычисления площади hello_html_3faa6296.gifчетырехугольника, у которого длины последовательных сторон равны hello_html_m734afb91.gif, hello_html_559071c1.gif, hello_html_m12550da.gif, hello_html_m3eb4d443.gif, пользовались формулой:

hello_html_m69c3ba65.gif

Справедлива ли эта формула для всех четырехугольников? Для ответа на этот вопрос в качестве частного случая здесь можно рассмотреть шарнирный квадрат со стороной, равной 1м и площадью 1м2. Из этого квадрата путем сжатия можно получить ромб со стороной 1м, площадь которого будет меньше площади квадрата, а данная формула дает один и тот же результат. Значит, это ошибка.

Задача 2.

Будет ли справедлива для площади четырехугольника формула, сходная с формулой Герона:

hello_html_3f5c1c58.gif?

Если стороны измерены, например, в метрах, то под корнем будет стоять величина размерностью м5, поэтому формула не верна. Эту формулу можно проверить и на предельном случае. Если а4→ 0, то четырехугольник вырождается в треугольник, и для него верна формула Герона, а данная формула имеет вид:

hello_html_m7fede27e.gif

Наличие любого большого числа разнообразных подтверждающих примеров еще не может служить доказательством правильности математического утверждения, но указание на один опровергающий пример («контрпример») полностью доказывает, что утверждение ошибочно. Такова сила «контрпримера».

Задача 3.

Ученику А представляется очевидным, что прямоугольник (рис. 1), описанный около правильного треугольника, имеет вдвое большую площадь, чем сам треугольник. Ученик В полагает, что это утверждение ошибочно. Кто прав?

hello_html_m5b1ae5e3.gif

Для выяснения истины ученики обратились к тому частному случаю, когда одна сторона треугольника целиком лежит на стороне прямоугольника (рис. 2). В этом случае гипотеза ученика А подтверждается. Однако это не значит, что она верна. Ученик В предлагает обратиться к другому частному случаю, когда диагональ описанного прямоугольника ONCK расположена на биссектрисе угла правильного треугольника АВС (рис. 3).

Положим hello_html_2d0551d4.gif. На продолжении отрезка ON отложим отрезок hello_html_7ec5be77.gif, тогда угол ACD = 300, АВ =hello_html_1caef8ee.gif

S ABC =hello_html_m99cc4e0.gif

S AОВ + (S ANC+ S ВKC) = 0,5+ S AСD = 0,5+0,5=1

Отсюда ясно, что S AВС ≠ 0,5 SОNCK. Мы получили контрпример, опровергающий гипотезу ученика А.

Задача 4.

Ученик А убежден, что прямая, проходящая через центр тяжести любого четырехугольника, делит этот четырехугольник на две равновеликие части.

Проверка показала, что это утверждение верно для квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограмма. Требуется либо доказать гипотезу ученика А, либо ее опровергнуть.

В случаях, рассмотренных учеником А, центр тяжести четырехугольника является одновременно и центром симметрии. Поэтому хорошим испытанием на правдоподобие будет рассмотрение какого-либо четырехугольника, не имеющего центра симметрии, например, трапеции.

Выберем такую трапецию, центр тяжести которой было бы не трудно найти (рис. 4)

Тhello_html_137d9907.gifрапеция АBСD составлена из квадрата АВСЕ со стороной а и равновеликого с ним прямоугольного треугольника CED, ED = 2a.



Пусть О, М, Z - соответственно центры тяжести квадрата, треугольника и трапеции, О1, М1, Z1 – проекции этих точек на прямую AD. Тогда Z середина отрезка ОМ, и легко подсчитать, что

hello_html_389bfa14.gif

Следовательно, точка Z1 лежит между Е и D, так что прямая Z1Z не делит трапецию на две равновеликие фигуры. Гипотеза ученика А ошибочна.


Общая информация

Номер материала: ДВ-401110

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.