Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая статья по математике
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая статья по математике

библиотека
материалов

Ямковая Людмила Ивановна

учитель математики

Донецкой ОШ № 88

2015год

ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО АКТИВИЗАЦИИ ТВОРЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ

hello_html_m62a00377.gifhello_html_m73566f7b.gifОлимпиадные задачи – это особый вид математических задач, требующих не только творческих способностей школьника, но и знания классических олимпиадных идей. Для этого необходимо формировать опыт обращения с задачами, отличными от стереотипных упражнений.

Как построить работу над настоящей задачей, чему следует научиться в процессе этой задачи, и как оценить свои успехи, - эти вопросы возникают при решении творческих задач. Не всегда удается решить подобную задачу. Но важно научить ученика устанавливать интересные закономерности, обобщать новые факты, подходы к решению.

Каждая творческая задача должна нести новую математическую информацию, обогащать опыт учащихся новыми методами решения, развивать логическое мышление.

Рассмотрим приемы работы над творческой задачей по теме «Разложение многочленов на множители».

При решении многих алгебраических задач бывает необходимо данный алгебраический многочлен представить в виде произведения двух или более многочленов. Если многочлен не допускает разложение на множители над полем действительных чисел, то такой многочлен называется неприводимым. Разложение на множители считается законченным, все полученные множители неприводимы.

При разложении многочленов на множители применяются различные приемы: вынесение общего множителя за скобки, группировка, использование формул сокращенного умножения и др.

Например:

1. hello_html_3bda2033.gif+hello_html_m123bc43e.gif+hello_html_3a8e06c8.gif-9

Сгруппируем слагаемые:

hello_html_3bda2033.gif+hello_html_1a015dea.gif-9+hello_html_m64ea216c.gif+hello_html_39187b74.gif=(hello_html_1a015dea.gif-1)+(hello_html_m61dc05ef.gif-8)+(hello_html_m77200b0f.gif+hello_html_39187b74.gif)=(hello_html_510b0906.gif+hello_html_4092c16a.gif-hello_html_maae7af9.gif)+(hello_html_4092c16a.gif-2)(hello_html_m77200b0f.gif+hello_html_7e995324.gif+4)+ +(hello_html_m77200b0f.gif+hello_html_7e995324.gif+4)=(hello_html_m77200b0f.gif+hello_html_7e995324.gif+4)(hello_html_4092c16a.gif-2+1)+(hello_html_510b0906.gif+hello_html_4092c16a.gif-5)=(hello_html_m77200b0f.gif+hello_html_7e995324.gif+4)(hello_html_4092c16a.gif-1)+(hello_html_510b0906.gif-hello_html_1b08abd.gif+hello_html_376adfe9.gif-5)= =(hello_html_m77200b0f.gif+hello_html_7e995324.gif+4)(а-1)+(а-1)(4а+5)=(а-1)(hello_html_m77200b0f.gif+hello_html_7e995324.gif+4+4а+5)=(а-1)(hello_html_m77200b0f.gif+6а+9)=(а-1)* *(а+3)hello_html_m76e22bc6.gif.

Анализ решения:

  • Группировка многочлена на три группы слагаемых.

  • Разность кубов главная группа; третью группу дополняем до неполного квадрата суммы.

  • Первую группу дополняем противоположными к веденным слагаемыми.

  • Неполный квадрат суммы вынести за скобки, а оставшуюся сумму разложили на множители.

  • (а-1) вынесли за скобки.

  • (hello_html_2d262ed3.gif+6а+9)=(а+3)hello_html_m76e22bc6.gif представили на множители по формуле квадрата двучлена.

Итак, в данном примере сконцентрировались все стандартные приемы разложения на множители. Самый сложный и не имеющий общей схемы – это группировка слагаемых, требующая такой расстановки слагаемых, которая бы разрешила все последующие шаги.

Нередко случается, что первая попытка группировки оказывается неудачной. Тогда следует строить вторую схему, третью и т.д., до тех пор, пока представление слагаемых даст одинаковые множители.

Рассмотрим пример:

hello_html_5159b34b.gif+hello_html_4a456803.gif-hello_html_7fb3fb0.gif+hello_html_m4ddf00cb.gif-hello_html_m6d86a6eb.gif+hello_html_m2d18a8ce.gif-4авс=(hello_html_4a456803.gif-hello_html_m6d86a6eb.gif)+(hello_html_m4ddf00cb.gif-hello_html_7fb3fb0.gif)+(hello_html_10db7f38.gif- hello_html_3a3490c5.gifавс+hello_html_m2d18a8ce.gif)=4в(а-с)+ас(с-а)+2в(hello_html_3eec04b6.gif-2ас+hello_html_4e48cbc3.gif)=4hello_html_m1720e6f1.gif(а-с)-ас(а-с)+2в(а-с)hello_html_m2201aed1.gif=(а-с)(hello_html_m43bee81b.gif-hello_html_m472f55be.gif+2в(а-с))=(а-с)(hello_html_m43bee81b.gif-ас+2ав-2вс)=(а-с)((hello_html_m43bee81b.gif+2ав)-(ас+2вс))=(а-с)(2в(2в+а)-hello_html_5bbf6f32.gif))=(а-с)(2в+а)(2в-с).

Анализ решения

  • Группировку строили по сходным признакам – общим множителям (метод проб и анализа ситуации, основанный на интуиции).

  • Дальнейшее преобразование приводятся по общей схеме.

Рассмотрим примеры конкурсных задач по данной теме:

3. Разложить на множители:

x(hello_html_381a0d60.gif-hello_html_7fa3a513.gif)+у(hello_html_m3b8e5017.gif-hello_html_m273b71ed.gif)+z(hello_html_56d4eb7.gif-hello_html_381a0d60.gif)=xhello_html_381a0d60.gif-xhello_html_m3b8e5017.gifhello_html_m3b8e5017.gifhello_html_56d4eb7.gif+zhello_html_56d4eb7.gif-zhello_html_381a0d60.gif=(xhello_html_381a0d60.gifhello_html_56d4eb7.gif)+(уhello_html_m3b8e5017.gif-

-zhello_html_381a0d60.gif+zhello_html_56d4eb7.gif-xhello_html_m3b8e5017.gif)=xy(y-x)+((уhello_html_m3b8e5017.gif-xhello_html_m3b8e5017.gif)+(zhello_html_56d4eb7.gif-zhello_html_381a0d60.gif))=xy(y-x)+(hello_html_m3b8e5017.gif(y-x)+z(hello_html_56d4eb7.gif-hello_html_381a0d60.gif)=

=xy(y-x)+hello_html_m3b8e5017.gif(y-x)-z(y-x)(y+x)=(y-x)(xy+hello_html_m3b8e5017.gif-zy-zx)=(y-x)((xy-zу)+(hello_html_m3b8e5017.gif-zх))=

=(y-x)(у(x-z)-z(x-z))=(y-x)(x-z)(y-z).

4. (ОО) Если а+в+с=0, то hello_html_6b3785e2.gif. Доказать.

Пусть с = -а-в;

Имеем

hello_html_37900643.gif

Разложим знаменатели на множители: 1) hello_html_4d811607.gif; 2) hello_html_m6e165187.gif-2ав+ав-hello_html_m64ea216c.gif=2в(в-а)+а(в-а)=(в-а)(2в+а);

3) (hello_html_703afdde.gif)+(hello_html_409d2dd8.gif)=2а(а+2в)+в(2в+а)=(2в+а)(2а+в);

Получаем выражение:

hello_html_m1f91074c.gifПреобразование числитель:

hello_html_13cfcc1c.gifдалее, hello_html_m612bbd64.gif

5. (РО) Разложить на множители:

hello_html_7edcb723.gif

=-(аhello_html_m1720e6f1.gif+ас-2авс)+(hello_html_m24118d8f.gif)+(hello_html_39919810.gif) =-а(hello_html_m1720e6f1.gif-2вс+hello_html_103c3b7d.gif)+hello_html_3eec04b6.gif(в-с)+вс(с-в)=-аhello_html_4f462789.gif+

+hello_html_3eec04b6.gif(в-с)-вс(в-с)=(в- с)(-а (в-с)+ hello_html_3eec04b6.gif-вс)=(в-с)(-ав+ас+hello_html_3eec04b6.gif-вс)=(в-с)((ас+hello_html_3eec04b6.gif)-(ав+вс))=

=(в-с)(а(с+а)-в(а+с))=(в-с)(с+а)(а-в).

6. Упростить выражение:

hello_html_1f906e45.gif

hello_html_31ea889c.gif

Разложение числителя на множители способом группировки:

1-ый этап:

hello_html_m4fb17e31.gif2-ой этап:

hello_html_m60fca6b5.gif

3-ий этап:

hello_html_58e813b.gif

7. Доказать, что сумма дробей hello_html_m2900b561.gifhello_html_3aa23758.gifhello_html_m58705104.gif тождественно равна их произведению:

hello_html_m7e2732f2.gif

Преобразуем левую часть тождества:

hello_html_m4f6f0f01.gif;

Докажем, что числители равны:

hello_html_m1d085d75.gifhello_html_36c71e2f.gifhello_html_2a7617c8.gifСложим выражения 1), 2), 3). В результате имеем:

hello_html_7b5a8425.gifИтак, числители равны, следовательно, и дроби равны.

8. (РО) Доказать, что многочлен hello_html_7b27bc0d.gifhello_html_349280f4.gif делится на многочлен hello_html_m6a77a3ec.gif

Разложим многочлен hello_html_m3d5184ae.gif на множители способом группировки:

hello_html_m7bc4a2ab.gifhello_html_m665a10c8.gifhello_html_7297b3b9.gif

hello_html_461ab311.gif

hello_html_6acf6a54.gif

Итак, hello_html_349280f4.gif=hello_html_m66f5fd35.gif делится на hello_html_m6a77a3ec.gif

9. (РО) Доказать неравенство

hello_html_m44156410.gif16, a,b,c,d>0

Если а≥b, то a-b≥0

hello_html_m411aaf6e.gif0 /abcd, abcdhello_html_7b27bc0d.gif≠0


hello_html_m7968556c.gif0

hello_html_4c1e8fbd.gif+achello_html_m38fc986.gif+abhello_html_m38fc986.gif+abcd-16abcd≥0

hello_html_5912c3d9.gif-

-12abc≥0

Группируем:

hello_html_m662ae239.gifhello_html_90d1f31.gif0

т.к. a,b,c,d>0 условию, а квадрат разности есть число положительное.

10. (РО) Показать, что для любого целого n число hello_html_m2abc0b44.gif делится на 96.

hello_html_140d9294.gif=8n(6n+6)=8n*6(n+1)=48n(n+1);

Т.к. n(n+1) – число четное, то данное число делится на 96.

Итак, работая с многочленами, мы решаем две основные задачи: раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых, т. е. упрощаем выражение; и обратную задачу – разложение на множители многочлена. После таких непростых преобразований у школьников сформируются стойкие учебные навыки представления многочлена на множители, используя формулы сокращённого умножения, вынесение общего множителя за скобки и группировку слагаемых.





Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 15.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров162
Номер материала ДВ-342298
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх