328698
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыМетодическая статья по математике

Методическая статья по математике

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Ямковая Людмила Ивановна

учитель математики

Донецкой ОШ № 88

2015год

ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО АКТИВИЗАЦИИ ТВОРЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ

hello_html_m62a00377.gifhello_html_m73566f7b.gifОлимпиадные задачи – это особый вид математических задач, требующих не только творческих способностей школьника, но и знания классических олимпиадных идей. Для этого необходимо формировать опыт обращения с задачами, отличными от стереотипных упражнений.

Как построить работу над настоящей задачей, чему следует научиться в процессе этой задачи, и как оценить свои успехи, - эти вопросы возникают при решении творческих задач. Не всегда удается решить подобную задачу. Но важно научить ученика устанавливать интересные закономерности, обобщать новые факты, подходы к решению.

Каждая творческая задача должна нести новую математическую информацию, обогащать опыт учащихся новыми методами решения, развивать логическое мышление.

Рассмотрим приемы работы над творческой задачей по теме «Разложение многочленов на множители».

При решении многих алгебраических задач бывает необходимо данный алгебраический многочлен представить в виде произведения двух или более многочленов. Если многочлен не допускает разложение на множители над полем действительных чисел, то такой многочлен называется неприводимым. Разложение на множители считается законченным, все полученные множители неприводимы.

При разложении многочленов на множители применяются различные приемы: вынесение общего множителя за скобки, группировка, использование формул сокращенного умножения и др.

Например:

1. hello_html_3bda2033.gif+hello_html_m123bc43e.gif+hello_html_3a8e06c8.gif-9

Сгруппируем слагаемые:

hello_html_3bda2033.gif+hello_html_1a015dea.gif-9+hello_html_m64ea216c.gif+hello_html_39187b74.gif=(hello_html_1a015dea.gif-1)+(hello_html_m61dc05ef.gif-8)+(hello_html_m77200b0f.gif+hello_html_39187b74.gif)=(hello_html_510b0906.gif+hello_html_4092c16a.gif-hello_html_maae7af9.gif)+(hello_html_4092c16a.gif-2)(hello_html_m77200b0f.gif+hello_html_7e995324.gif+4)+ +(hello_html_m77200b0f.gif+hello_html_7e995324.gif+4)=(hello_html_m77200b0f.gif+hello_html_7e995324.gif+4)(hello_html_4092c16a.gif-2+1)+(hello_html_510b0906.gif+hello_html_4092c16a.gif-5)=(hello_html_m77200b0f.gif+hello_html_7e995324.gif+4)(hello_html_4092c16a.gif-1)+(hello_html_510b0906.gif-hello_html_1b08abd.gif+hello_html_376adfe9.gif-5)= =(hello_html_m77200b0f.gif+hello_html_7e995324.gif+4)(а-1)+(а-1)(4а+5)=(а-1)(hello_html_m77200b0f.gif+hello_html_7e995324.gif+4+4а+5)=(а-1)(hello_html_m77200b0f.gif+6а+9)=(а-1)* *(а+3)hello_html_m76e22bc6.gif.

Анализ решения:

  • Группировка многочлена на три группы слагаемых.

  • Разность кубов главная группа; третью группу дополняем до неполного квадрата суммы.

  • Первую группу дополняем противоположными к веденным слагаемыми.

  • Неполный квадрат суммы вынести за скобки, а оставшуюся сумму разложили на множители.

  • (а-1) вынесли за скобки.

  • (hello_html_2d262ed3.gif+6а+9)=(а+3)hello_html_m76e22bc6.gif представили на множители по формуле квадрата двучлена.

Итак, в данном примере сконцентрировались все стандартные приемы разложения на множители. Самый сложный и не имеющий общей схемы – это группировка слагаемых, требующая такой расстановки слагаемых, которая бы разрешила все последующие шаги.

Нередко случается, что первая попытка группировки оказывается неудачной. Тогда следует строить вторую схему, третью и т.д., до тех пор, пока представление слагаемых даст одинаковые множители.

Рассмотрим пример:

hello_html_5159b34b.gif+hello_html_4a456803.gif-hello_html_7fb3fb0.gif+hello_html_m4ddf00cb.gif-hello_html_m6d86a6eb.gif+hello_html_m2d18a8ce.gif-4авс=(hello_html_4a456803.gif-hello_html_m6d86a6eb.gif)+(hello_html_m4ddf00cb.gif-hello_html_7fb3fb0.gif)+(hello_html_10db7f38.gif- hello_html_3a3490c5.gifавс+hello_html_m2d18a8ce.gif)=4в(а-с)+ас(с-а)+2в(hello_html_3eec04b6.gif-2ас+hello_html_4e48cbc3.gif)=4hello_html_m1720e6f1.gif(а-с)-ас(а-с)+2в(а-с)hello_html_m2201aed1.gif=(а-с)(hello_html_m43bee81b.gif-hello_html_m472f55be.gif+2в(а-с))=(а-с)(hello_html_m43bee81b.gif-ас+2ав-2вс)=(а-с)((hello_html_m43bee81b.gif+2ав)-(ас+2вс))=(а-с)(2в(2в+а)-hello_html_5bbf6f32.gif))=(а-с)(2в+а)(2в-с).

Анализ решения

  • Группировку строили по сходным признакам – общим множителям (метод проб и анализа ситуации, основанный на интуиции).

  • Дальнейшее преобразование приводятся по общей схеме.

Рассмотрим примеры конкурсных задач по данной теме:

3. Разложить на множители:

x(hello_html_381a0d60.gif-hello_html_7fa3a513.gif)+у(hello_html_m3b8e5017.gif-hello_html_m273b71ed.gif)+z(hello_html_56d4eb7.gif-hello_html_381a0d60.gif)=xhello_html_381a0d60.gif-xhello_html_m3b8e5017.gifhello_html_m3b8e5017.gifhello_html_56d4eb7.gif+zhello_html_56d4eb7.gif-zhello_html_381a0d60.gif=(xhello_html_381a0d60.gifhello_html_56d4eb7.gif)+(уhello_html_m3b8e5017.gif-

-zhello_html_381a0d60.gif+zhello_html_56d4eb7.gif-xhello_html_m3b8e5017.gif)=xy(y-x)+((уhello_html_m3b8e5017.gif-xhello_html_m3b8e5017.gif)+(zhello_html_56d4eb7.gif-zhello_html_381a0d60.gif))=xy(y-x)+(hello_html_m3b8e5017.gif(y-x)+z(hello_html_56d4eb7.gif-hello_html_381a0d60.gif)=

=xy(y-x)+hello_html_m3b8e5017.gif(y-x)-z(y-x)(y+x)=(y-x)(xy+hello_html_m3b8e5017.gif-zy-zx)=(y-x)((xy-zу)+(hello_html_m3b8e5017.gif-zх))=

=(y-x)(у(x-z)-z(x-z))=(y-x)(x-z)(y-z).

4. (ОО) Если а+в+с=0, то hello_html_6b3785e2.gif. Доказать.

Пусть с = -а-в;

Имеем

hello_html_37900643.gif

Разложим знаменатели на множители: 1) hello_html_4d811607.gif; 2) hello_html_m6e165187.gif-2ав+ав-hello_html_m64ea216c.gif=2в(в-а)+а(в-а)=(в-а)(2в+а);

3) (hello_html_703afdde.gif)+(hello_html_409d2dd8.gif)=2а(а+2в)+в(2в+а)=(2в+а)(2а+в);

Получаем выражение:

hello_html_m1f91074c.gifПреобразование числитель:

hello_html_13cfcc1c.gifдалее, hello_html_m612bbd64.gif

5. (РО) Разложить на множители:

hello_html_7edcb723.gif

=-(аhello_html_m1720e6f1.gif+ас-2авс)+(hello_html_m24118d8f.gif)+(hello_html_39919810.gif) =-а(hello_html_m1720e6f1.gif-2вс+hello_html_103c3b7d.gif)+hello_html_3eec04b6.gif(в-с)+вс(с-в)=-аhello_html_4f462789.gif+

+hello_html_3eec04b6.gif(в-с)-вс(в-с)=(в- с)(-а (в-с)+ hello_html_3eec04b6.gif-вс)=(в-с)(-ав+ас+hello_html_3eec04b6.gif-вс)=(в-с)((ас+hello_html_3eec04b6.gif)-(ав+вс))=

=(в-с)(а(с+а)-в(а+с))=(в-с)(с+а)(а-в).

6. Упростить выражение:

hello_html_1f906e45.gif

hello_html_31ea889c.gif

Разложение числителя на множители способом группировки:

1-ый этап:

hello_html_m4fb17e31.gif2-ой этап:

hello_html_m60fca6b5.gif

3-ий этап:

hello_html_58e813b.gif

7. Доказать, что сумма дробей hello_html_m2900b561.gifhello_html_3aa23758.gifhello_html_m58705104.gif тождественно равна их произведению:

hello_html_m7e2732f2.gif

Преобразуем левую часть тождества:

hello_html_m4f6f0f01.gif;

Докажем, что числители равны:

hello_html_m1d085d75.gifhello_html_36c71e2f.gifhello_html_2a7617c8.gifСложим выражения 1), 2), 3). В результате имеем:

hello_html_7b5a8425.gifИтак, числители равны, следовательно, и дроби равны.

8. (РО) Доказать, что многочлен hello_html_7b27bc0d.gifhello_html_349280f4.gif делится на многочлен hello_html_m6a77a3ec.gif

Разложим многочлен hello_html_m3d5184ae.gif на множители способом группировки:

hello_html_m7bc4a2ab.gifhello_html_m665a10c8.gifhello_html_7297b3b9.gif

hello_html_461ab311.gif

hello_html_6acf6a54.gif

Итак, hello_html_349280f4.gif=hello_html_m66f5fd35.gif делится на hello_html_m6a77a3ec.gif

9. (РО) Доказать неравенство

hello_html_m44156410.gif16, a,b,c,d>0

Если а≥b, то a-b≥0

hello_html_m411aaf6e.gif0 /abcd, abcdhello_html_7b27bc0d.gif≠0


hello_html_m7968556c.gif0

hello_html_4c1e8fbd.gif+achello_html_m38fc986.gif+abhello_html_m38fc986.gif+abcd-16abcd≥0

hello_html_5912c3d9.gif-

-12abc≥0

Группируем:

hello_html_m662ae239.gifhello_html_90d1f31.gif0

т.к. a,b,c,d>0 условию, а квадрат разности есть число положительное.

10. (РО) Показать, что для любого целого n число hello_html_m2abc0b44.gif делится на 96.

hello_html_140d9294.gif=8n(6n+6)=8n*6(n+1)=48n(n+1);

Т.к. n(n+1) – число четное, то данное число делится на 96.

Итак, работая с многочленами, мы решаем две основные задачи: раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых, т. е. упрощаем выражение; и обратную задачу – разложение на множители многочлена. После таких непростых преобразований у школьников сформируются стойкие учебные навыки представления многочлена на множители, используя формулы сокращённого умножения, вынесение общего множителя за скобки и группировку слагаемых.




Общая информация

Номер материала: ДВ-342298

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.