Методическая копилка "Решение текстовых задач по математике"

Решение текстовых задач по математике (С.Н.Рухлядева, учитель математики МКОУ СОШ с УИОП г.Нолинска Кировской области)

 

 

Введение

В экзаменационные материалы  ЕГЭ по математике за курс основной и средней школы включены текстовые задачи. Учащимся предлагаются задачи на дроби и проценты (смеси и сплавы, изменение цен и банковских вкладов), на сухопутное движение и движение по воде, на совместную работу и др., геометрические задачи разного уровня сложности.

Как правило, с задачами справляются около 40% экзаменуемых. Текстовые задачи - традиционно трудный для значительной части обучающихся материал. Однако в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи и других качеств продуктивной деятельности обучающихся.

 

Гипотеза: Использование математических методов и приемов способствует успешному решению текстовых задач по математике в 9-11-х классах.

 

Цель: Проанализировать причины, вызывающие затруднения при решении задач, и показать пути их преодоления.

 

Задачи:

1.     Подобрать и изучить литературу по обучению решения задач.

2.     Выявить основные трудности, возникшие при решении задач.

3.     Рассмотреть основные типы задач и способы их решения.

4.     Сделать выводы и дать рекомендации.

 

Объект исследования: Текстовые задачи по математике.

 

Предмет исследования: Методы и приемы решения текстовых задач.

 

                 

I. Обзор литературы

 

1.1. Решение задач

Текстовые задачи являются традиционным средством обучения математике. Они дают большой простор в тренировке мышления учащихся, в выполнении ими арифметических действий, связанных с различными практическими или специально придуманными ситуациями. Многие годы совершенствование обучения в школе проводиться под лозунгом приближения обучения к жизни, к практике. При этом большое внимание уделяется тем способам деятельности школьников, которые в большей степени применимы на практике и в дальнейшем обучении.

 

1.2. Трудности

Почему же текстовые задачи трудны для учащихся? Можно выделить четыре основные причины, вызывающие у учащихся затруднения при поиске решения:

1.     Неумение выделить величины, о которых идет речь в задаче;

2.     Неумение установить функциональную зависимость между этими величинами;

3.     Неумение выразить эту зависимость в математических символах;

4.     Слабые навыки схематической и символической записи условия, способствующей анализу задачи, выражению зависимостей между величинами, в задачу.

 

1.3. Понятие о математических моделях

Если попытаться одной фразой ответить на вопрос: «Каким об­разом современная математика применяется к изучению физических, астрономических, биологических, экономических, гуманитар­ных и других явлений?», то ответ будет таким: «С помощью пост­роения и анализа математических моделей изучаемого явления». Что же такое математическая модель? Так называют приближенное описание ка­кого-либо явления внешнего мира, выраженное с помощью матема­тической символики и заменяющее изучение этого явления исследованием и решением математических задач. Tаким образом, математи­ка применяется не непосредственно к реальному объекту, а к его математической модели.

         Хорошо построенная математическая модель обладает удивительным свойством — её изучение дает новые, неизвестные ранее знания об изучаемом объекте или явлении.

Пример I. В 1846 г. французский астроном Ж.Леверье (1811 - 1877) открыл новую планету Солнечной системы и назвал ее Нептуном. Открытие этой планеты было сделано чисто математически, путём вычислений, так сказать, «на кончике пера». Анализируя созданную И.Кеплером и И.Ньютоном модель движения планет Солнечной системы, ученые обнаружили, что фактическая траектория движения планеты Уран отклонялась от теоретически вычисляемого движения. Ж.Леверье предположил, что «возмути­телем порядка» является неизвестная  планета, которая воздейству­ет на планету Уран. Пользуясь моделью Солнечной системы, он определил массу и закон движения новой планеты, так что все про­тиворечия в движении планеты Уран были сняты.

Немецкий астроном И. Г. Галле в 1846 г наблюдал новую плане­ту в точно указанном Лаверье месте.

     Аналогичным методом, благодаря использованию расхождения теоретически вычисленной траектории Нептуна с наблюдаемой, в 1930 г. была открыта еще одна планета Солнечной системы, названная Плутоном.

   Пример 2. Знаменитый английский физик Дж. К. Максвелл (1831 – 1879), изучая построенную им математическую модель классической электродинамики, из анализа уравнений модели предсказал существование электромагнитных волн, которые по­зднее были экспериментально обнаружены немецким физиком Г. Р. Герцем (1857- 1894).

   Пример 3. Русский ученый А.А.Фридман (1888 - 1925), анализируя уравнения обшей теории относительности, составленные А.Эйнштейном (1879-1955), в 1922 г. обнаружил, что кроме ре­шений, не зависящих от времени, уравнения А.Эйнштейна имеют еще и другие решении, которые от времени зависят. Это привело к открытию того, что Вселенная расширяется и сжимается, т.е. пуль­сирует. Представление о пульсировании Вселенной стало основой всей современной космологии.

    Математические модели, с помощью которых исследование яв­лений внешнего мира сводится к решению математических задач, занимают ведущее место среди других методов исследования и позволяют не только объяснить наблюдаемые явления, как это было, например, с движением планеты Уран, но и заглянуть туда, где ещё в принципе не могло быть опытных, экспериментальных данных. Именно так было при проведении первых атомных взрывов. И это ещё не всё. Существуют сферы человеческой деятельности, где проведение экспериментов, получение экспериментальных результатов принципиально невозможны!

    Развитие современного математического аппарата позволило математическому моделированию проникнуть сегодня практически во все области человеческой деятельности. Роль математических моделей изучаемых явлений велика не только в планетарном масштабе. Так хорошо построенная модель стандартной текстовой задачи даёт стопроцентное её решение любому ученику: как сильному, так и слабо разбирающемуся в математике.

 

1.4. Методы решения задач

Задачи являются материалом для ознакомления учащихся с новыми понятиями, для развития логического мышления, формирования межпредметных связей. Задачи позволяют применять знания, полученные при изучении математики, при решении вопросов, которые возникают в жизни человека.

Для решения текстовых задач применяются три основных метода: арифметический, алгебраический и комбинированный. Рассмотрим каждый из этих методов.

 

I. Арифметический метод

Первым этапом решения задач арифметическим методом является разбор условия задачи и составление плана её решения. Этот этап решения задачи сопровождается максимальной мыслительной деятельностью.

Вторым этапом является решение задачи по составленному плану. Этот этап решения проводится учащимися без особых затруднений и в большинстве случаев носит тренировочный характер.

Третьим важным этапом решения задачи является проверка решения задачи. Она проводится по условию задачи. Пренебрежение проверкой при решении задачи, замена её проверкой ответов снижает роль решения задачи в процессе развития логического мышления учащихся.

При решении текстовых задач арифметическим методом у учащихся вырабатываются определённые умения и навыки, которые в процессе дальнейшего обучения должны совершенствоваться и закрепляться.

При арифметическом методе решения задач формируются 56 основных умений и навыков. Из них 38 умений и навыков приобретаются при решении задач как арифметическим, так и алгебраическим методами.

К ним относятся следующие умения и навыки:

1.     Краткая запись условия задачи.

2.     Изображение условия задачи с помощью рисунка.

3.     Логические приёмы мышления: наблюдение и сравнение, анализ и синтез, абстрагирование и конкретизация, обобщение и ограничение, умозаключения индуктивного и дедуктивного характера и умозаключения по аналогии.

4.     Выполнение арифметических действий над величинами (числами).

5.     Изменение (увеличение или уменьшение) величины (числа) в несколько раз.

6.     Нахождение разностного сравнения величин (чисел).

7.     Нахождение кратного сравнения величин (чисел).

8.     Использование свойств изменения результатов действий в зависимости от изменения компонентов.

9.     Изменение (увеличение или уменьшение) величины (числа) на несколько единиц величины (числа).

10. Нахождение дроби от величины (числа).

11. Нахождение величины (числа) по данной её (его) дроби.

12. Нахождение процентов данной величины (данного числа).

13. Нахождение величины (числа) по её (его) проценту.

14. Нахождение процентного отношения двух величин (чисел).

15. Составление пропорций.

16. Понятие прямой и обратной пропорциональной зависимости величин (чисел).

17. Понятие производительности труда.

18. Определение производительности труда при совместной работе.

19. Определение части работы, выполненной в течение некоторого промежутка времени.

20. Определение скорости движения.

21. Определение пути, пройденного телом.

22. Определение времени движения тела.

23. Понятие о собственной скорости (скорости в стоячей воде) движения тела по воде.

24. Нахождение пути, пройденного двумя телами при встречном движении.

25. Нахождение скорости движения тела по течению и против течения реки.

26. Нахождение времени прохождения телом единицы пути при заданной скорости движения.

27. Нахождение скорости сближения тел, движущихся в одном направлении, и скорости удаления.

28. Нахождение скорости сближения или скорости удаления тел, движущихся в противоположных направлениях или при встречном движении.

29. Нахождение части пути, пройденного телом за определённое время, когда известно время прохождения всего пути.

30. Нахождение количества вещества, содержащегося в растворе, смеси, сплаве.

31. Нахождение концентрации, процентного содержания.

32. Нахождение стоимости товара, акции.

33. Нахождение цены товара, акции.

34. Нахождение прибыли.

35. Нахождение количества вредных веществ в воде, воздухе.

36. Нахождение себестоимости продукции.

37. Расчёт начислений банка на вклады.

38. Проверка решения задачи по условию.

Умения и навыки, которые формируются в процессе решения задач только арифметическим методом, можно разбить на две группы. К первой группе относятся умения и навыки, которые необходимы для дальнейшего изучения математики.

             К первой группе относятся следующие умения и навыки:

1.     Перевод календарного времени в арифметическое число.

2.     Перевод арифметического числа в календарное время.

3.     Нахождение времени предыдущего события.

4.     Нахождение времени последующего события.

5.     Нахождение промежутка времени между двумя событиями.

Все умения и навыки этой группы формируются в процессе решения задач на вычисление времени, т.е. тех задач, которые нет смысла решать алгебраически.

  Вторая группа – это те умения и навыки, без знания которых можно решить все текстовые задачи алгебраическим методом.

          Ко второй группе относятся следующие умения и навыки:

1.     Введение понятия "часть".

2.     Выполнение действий сложения и вычитания частей.

3.     Выполнение умножения и деления части на число.

4.     Приём уравнивания большего числа с меньшим и меньшего с большим.

5.     Приём уравнивания прибавлением к меньшему числу и вычитанием из большего числа их полуразности.

6.     Определение числа частей, составляющих данное число.

7.     Введение понятий условной единицы.

8.     Нахождение дроби условной единицы и её частей.

9.     Сравнение частей величин.

10. Сложение и вычитание частей единицы.

11. Метод исключения неизвестного посредством замены одной величины другой.

12. Решение задач методом предположения.

13. Составление плана решения задачи.

 

II. Алгебраический метод

Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, решения неравенства или системы неравенств, составленных по условию задачи. Иногда алгебраическое решение задачи бывает очень сложным.

При решении задач алгебраическим методом основная мыслительная деятельность сосредотачивается на первом этапе решения задачи: на разборе условия задачи и составлении уравнений или неравенств по условию задачи.

Вторым этапом является решение составленного уравнения или системы уравнений, неравенства или системы неравенств.

Третьим важным этапом решения задач является проверка решения задачи, которая проводится по условию задачи.

При алгебраическом методе решения формируются 55 основных умений и навыков. Отличными от тех, которые формируются при арифметическом их решении, являются следующие:

1.     Введение неизвестного.

2.     Введение двух неизвестных.

3.     Введение трёх и более неизвестных.

4.     Выполнение действий сложения и вычитания неизвестных.

5.     Выполнение действий умножения и деления неизвестных.

6.     Запись зависимости между величинами с помощью букв и чисел.

7.     Решение линейных уравнений.

8.     Решение линейных неравенств.

9.     Решение квадратных уравнений и неравенств.

10. Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств.

11. Решение систем уравнений и систем неравенств.

12. Составление одного уравнения (неравенства) с двумя неизвестными.

13. Решение уравнения (неравенства) с двумя неизвестными.

14. Выбор значений неизвестных по условию задачи.

15. Составление уравнений с параметром по условию текстовой задачи.

16. Решение уравнений с параметром.

17. Исследовательская работа.

 

III. Комбинированный метод

Этот метод получается в результате включения в алгебраический метод решения задач решение, в котором часть неизвестных величин определяется с помощью решения уравнения или системы уравнений, неравенств или систем неравенств, а другая часть – арифметическим методом. В этом случае решение текстовых задач значительно упрощается.

 

1.5. Способы и приёмы решения задач

Разрозненные указания учителей по решению задач быстро забываются учениками, они не приобретают навыков решения текстовых задач. Без конкретной программы деятельности учащихся, без алгоритмов, системы приемов поиска решения задачи трудно  решать задачи. Нужны «ускорители» для приобретения навыков решения: иллюстрации, схемы, таблицы, дополнительные символы, условные знаки, стрелки – способствующие более конкретному наглядному представлению об отношениях между частями задачи, порядке этих частей. Решение текстовой задачи путем составления таблицы дает возможность охватить взором отношения между элементами всей задачи. При заполнении таблицы ученик должен подчеркнуть опорные слова и объяснить, что он принимает за неизвестное в задаче. Затем, устанавливая функциональную зависимость между величинами, заполняет все строки и столбцы таблицы. После этого, в зависимости от поставленной задачи, ученик или отвечает на вопрос, или оформляет решение. Работая с таблицей, учащийся должен понимать, что при решении задачи все столбцы и строки должны быть заполнены данными задачи и данными, которые получаются в результате использования функциональной зависимости между величинами.

         Можно выделить семь вопросов, которые дают верное направление решению задач разных типов.

Вопросы к задаче с комментариями к ним:

1.      О каком процессе идёт речь? Какими величинами характеризуется этот процесс? (Количество величин соответствует числу столбцов таблицы).

2.      Сколько процессов в задаче? (Количество процессов соответствует числу строк в таблице).

3.      Какие величины известны? Что надо найти? (Таблица заполняется данными задачи).

4.      Как связаны величины в задаче? (Вписать основные формулы, выяснить связи и соотношения величин в таблице).

5.      Какую величину (величины) удобно выбрать в качестве неизвестной или неизвестных? (Клетки в таблице заполняются в соответствии с выбранными неизвестными).

6.      Какие условия используются для составления «модели»? (Выписать полученную «модель»)

7.      Легко ли решить полученное? (Если решить сложно, ввести новые переменные, использовать другие соотношения)

 

1.6. Задачи.

    ПРИМЕР 1 (Задача на «сухопутное» движение)

Из города А  в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в город В  на 2 ч раньше. Определите скорости велосипедистов.  

 

	Скорость (V)	Время(t)	Расстояние(S)
I       II	на 3 км/ч б               (х+3) км/ч               х км/ч	ч            М                  - 2ч     ч             Б	120  км       120  км

 

Зная, что первый велосипедист прибыл в пункт В на 2 часа раньше второго, составим уравнение:

          –  = 2 | · х (х+3) ≠ 0

                                    х ≠ 0,  х ≠ -3

120х + 360 – 120х = 2х² + 6х | : 2

х² + 3х – 180 = 0

D= b² – 4ac = 9 + 720 = 729

х₁=                  х₂=

х₁=12                              х₂= -15, п.к. (не удовлетворяет условию задачи)

1)    12 + 3 = 15 (км/ч)

Ответ: скорость первого велосипедиста  15 км/ч, а второго -  12 км/ч.

 

Пример 2 (Задача на смеси и сплавы)    

В лаборатории имеется 2 кг раствора кислоты одной концентрации  и 6 кг раствора этой же кислоты другой концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, концентрация которого составляет 36 %. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 32 % кислоты. Какова концентрация  каждого из двух имеющихся растворов? 

 

Пусть х% - концентрация первого раствора,

 y% - концентрация второго раствора

Смоделируем схему процесса:

 

                            +                             =

 

        2кг                         6кг                            8кг                                   

 

                          +                              = 

 

        m кг                        m кг                          2m кг 

         По условию задачи составим систему уравнений:

0,01х·2 + 0,01у·6 = 0,36·8 | · 100

0,01хm + 0,01ym = 0,32·2m |  · 100  |: m

 

2х + 6у = 36·8

х + у = 32·2

 

_    х – 3у = 144                        

           х + у = 64                      

              2у = 80                                        1) х + 40 = 64

   у = 40                                             х = 24

 

Ответ: 24% - концентрация первого раствора, 40% - второго.

Многие задания допускают разные способы решения. Даже текстовые задачи, для которых основным способом решения является алгебраический, в ряде случаев могут быть решены арифметически.

 

Пример 3

Автобус отправился из пункта А в пункт В. Одновременно навстречу ему из В в А выехал велосипедист. Через 40 минут они встретились, и каждый продолжил движение в своем направлении. Автобус прибыл в пункт В через 10 минут после встречи. Через какое время после встречи прибыл в А велосипедист? 

 

А                                С            В

Будем рассуждать так. На путь после встречи автобус затратил в 4 раза меньше времени, чем на путь до встречи. Если точку встречи обозначить точкой С, то из сказанного следует, что АС в 4 раза больше чем ВС. Значит, велосипедист после встречи проехал расстояние в 4 раза больше, чем до встречи, а значит, он затратил на него

40 ×4 = 160 (мин)

Ответ:  через 2 ч 40 мин после встречи велосипедист прибыл  в пункт А.

 

Задачи по планиметрии встречаются в каждом экзаменационном варианте по математике. Отличительная особенность геометрических задач состоит в том, по виду конкретной задачи невозможно сразу понять, простая она или сложная. Такие  задачи требуют совершенно иного мышления,  нежели алгебраические задачи.         Главное место в задаче занимает чертёж, так как он иллюстрирует геометрические свойства объектов в задаче.  Цель следующего примера  - научиться «выжимать» всё, что можно из рисунка.

 

Пример 4

Диагонали трапеции равны 7 см и 8 см, а её основания – 6 см и 3 см. Найти её площадь.   В                С

А                              Д                  Е

Проведём через точку С прямую, параллельную диагонали BD. Она пересечёт прямую АD в точке Е.

Четырёхугольник BCЕD – параллелограмм по построению. Значит, имеем DE = BC  и  CE = BD. В треугольнике АСЕ известны все стороны: АЕ = 6 + 3 = 9 см, 

ВD = 7 см, АС = 8 см. Кроме того, его площадь равна половине произведения АЕ на высоту, опущенную из точки С, т.е. на высоту трапеции. Из того, что АЕ равна сумме оснований трапеции, следует, что  площадь треугольника АСЕ равна площади трапеции. Применяя формулу Герона, находим, что искомая площадь равна 12 см².

     Следующая задача была предложена в одном из  вариантов  демонстрационных ЕГЭ 2010 г.

Пример 5

Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34.

                                   

 

 

Пусть центры окружностей О₁ и О₂, а точки касания А и В. Проведем через точку В прямую, параллельную О₁О₂. Точку пересечения этой прямой с О₁А обозначим К. Треугольник КАВ прямоугольный.

1 случай. Окружности лежат по одну сторону от касательной (рис. 1)

      Обозначим радиусы окружностей R и r, расстояние между центрами окружностей l. АК = R – r

Из прямоугольного треугольника КАВ находим:

АВ =  = = 30

2 случай. Окружности лежат по разные стороны от касательной (рис. 2).

АК = R + r.

Из прямоугольного треугольника КАВ находим:

АВ = √(l² – (R +r)²) = √(34² – 30²) = 16

Ответ: 30 или 16

                     

          II. Материал и методики исследования

 

Исследование проводилось в двух направлениях: путем изучения методов и приемов решения текстовых задач и причин, вызвавших затруднение при решении текстовых задач. В ходе этого был изучена и проанализирована литература по обучению учащихся приёмам и методам  решения математических задач, выявлены основные трудности. Эта работа и свой опыт помогли склассифицировать разные типы задач и показать способы и приёмы их решения.

Для более глубокого исследования этого вопроса было проведено анкетирование с учащимися 9-11-х классов. Данные анкеты приведены в сводной таблице. 

 

III. Результаты исследований и их обсуждение

  Результаты исследований представлены в таблице, а также в Приложении 1.

 

                                                                                              Таблица

Анкета «Чтобы научиться решать задачи - надо их решать»

                                                                                               Д.Пойа                                                                                                       

 

    В таблице представлены три вопроса:

1) Умеешь ли ты решать текстовые задачи по математике?

2)Что вызывает затруднение?

3) Что тебе необходимо знать для того, чтобы  научиться решать задачи?

 Эти вопросы были предложены  учащимся 9-11-х классов, это составило 82 человека (во втором и третьем вопросе можно было выбирать несколько вариантов ответа, поэтому число ответов было не 82, а больше).

I.         Первый вопрос: «Умеешь ли ты решать текстовые задачи по математике?»

25 человек из 82 ответило на вопрос положительно, это составило 30% от всех учащихся. 2 человека ответили отрицательно – 2%. И 55 учеников ответило: «Не всегда». Это оказалось 67%.

II.      Второй вопрос: «Что вызывает затруднение?»

На второй вопрос было получено 90 ответов. Из них 25 были на первый подвопрос - 27% «Не понимают содержание задачи». На вопрос «Умеешь ли ты составлять условие к задаче?» 46%, т.е. 42 человека, ответили, что не умеют. Следующий подвопрос «Не умеешь составлять уравнение (систему уравнений)» был отмечен 19 учениками, что составило 21%. Не умеют решать уравнение 3 человека, это примерно 3%. И затрудняется выписать ответ 1 человек – примерно 1%.

III.Третий вопрос: «Что тебе необходимо знать для того, чтобы научиться решать задачи? » - тоже разделен на пять подвопросов. «Знать формулы» отметило 47 человек – 28%. «Знать приёмы решения различных типов задач» – 62 человека, что составило 37%. Следующий вопрос: «Знакомиться с новыми способами решения задач» приняло во внимание 18% учащихся (30 человек). И 27 человек (16%) отметило, что им нужно научиться «Доводить решение до конца». 

   

Выводы

 

Исследования показали, что решение текстовых задач по математике у большинства учащихся вызывает большое затруднение: несмотря на то, что 30% респондентов ответили, что умеют решать задачи, 46% из всех опрошенных (это почти половина учащихся)  не могут справиться с первым этапом решения любой задачи, т.к. не умеют составлять условие к задаче.

Для успешного решения учащимся необходимо:

·        знать приёмы решения задач (37%);

·        знать формулы (28%), помогающие записать условие к задаче и составить  уравнение (систему уравнений) к ней;

·        знакомиться с новыми способами решения задач (18%);

·        доводить решение задачи до конца (16%)

 

Выдвинутая гипотеза об использовании математических методов и приемов решения задач, как одного из главных факторов успешного их решения каждым учеником,  подтвердилась.

 

    Рекомендации

 

При решении текстовых задач учащимся могут помочь несколько простых и общих советов.

Совет 1. Не просто прочитайте, а тщательно изучите условие задачи. Попытайтесь полученную информацию представить в другом виде – это может быть рисунок, таблица или просто краткая запись условия задачи.

 

Совет 2. Выбор неизвестных.

В задачах "на движение" – это обычно скорость, время, путь. В задачах “на работу” - производительность и т.д. Не надо бояться большого количества неизвестных или уравнений. Главное, чтобы они соответствовали условию задачи и можно было составить соответствующую “математическую модель” (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств).

 

Совет 3. Составление и решение “математической модели”.

При составлении “математической модели” (уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств) ещё раз внимательно прочитайте условие задачи. Проследите за тем, что соответствует каждой фразе текста задачи в полученной математической записи и чему в тексте задачи соответствует каждый “знак” полученной записи (сами неизвестные, действия над ними, полученные уравнения, неравенства или их системы).

Очень важно не только составить уравнение, неравенство, систему уравнений или неравенств, но и решить составленное. Если решение задачи не получается, то нужно ещё раз прочитать и проанализировать задачу (заданный текст и полученную запись).

Иногда по условию задачи достаточно отыскать не сами неизвестные, а их комбинации. Например, не x и y, а  x+y,  ,   и т.п. Если, кажется, что получилось правильное, но очень сложное выражение, то попробуйте ввести другие неизвестные, может быть, изменив их количество, чтобы получилась более простая модель. Иногда неизвестные в задачах выражаются только целыми числами, тогда при решении задач нужно использовать свойства целых чисел.

 

Совет 4. Решение сложной текстовой задачи – процесс творческий. Иной раз требуется вернуться к самому началу задачи, учитывая и анализируя уже полученные результаты. При решении задач краткую запись задачи можно сделать с помощью рисунка или таблицы. Использование алгоритмов, таблиц, рисунков, общих приёмов учит распознавать типы задач и правильно выбирать приём решения.

 

Список литературы

 

1.      Обучение решению задач как средство развития учащихся. Из опыта работы. Под ред. Марковой В.И. – Киров, 2001г.

2.      Шевкин А.В. Обучение решению задач в 5-6 кл. – М.: «Галс Плюс», 1995 г.

3.      Кузнецова Л.В, Суворова С.Б. Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. – М.: Просвещение 2011 г.

4.      Корешкова Т.А. ГИА – 2009. Математика: Тренировочные задания: 9 кл. – М.: Эксмо, 2008 г.

5.      Кузнецова Л.В, Суворова С.Б. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 кл. в новой форме. Алгебра. 2010/ ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2010 г.

6.      Семёнов А.В. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 кл. в новой форме. Математика 2013./Учебное пособие/ – М.: Интеллект-Центр, 2013 г.

7.      Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. Единый государственный экзамен. 2010 г. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2010 г.

8.      Кочагин В.В. ЕГЭ 2012. Математика. Сборник заданий – М.: Эксмо, 2011г.

9.      Высоцкий И.Р. Единый государственный экзамен 2012. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2011г.

 

 

Приложение 1

 

Диаграмма № 1

«Умеешь ли ты решать текстовые задачи по математике»

Диаграмма № 2    «Что вызывает затруднение?»

 

 

Диаграмма № 3     «Что тебе необходимо знать для того,

чтобы  научиться решать задачи?»