Методическая пособие по математике «Комбинаторика»

Приложение 9

 

 

 

Методическая пособие по математике «Комбинаторика»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

                                                              Составитель: Севба Е.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание:

 

 I. Введение. Цели и задачи.                                                                             3 ст.

 II. Немного истории.                                                                                        4 ст.

 1. Комбинаторика                                                                                             5 ст         

1.2Поиск закономерностей                                                                               7 ст          1.3. Перебор возможных вариантов. Дерево возможных вариантов       9 ст

1.4. Правило суммы и правило произведения                                             15 ст

1.5Перестановки                                                                                               18 ст

1.6 Размещения без повторений                                                                    20 ст

1.7Сочетания без повторений.                                                                       28 ст

1.8Практические задания                                                                             31 ст

1.9 Задания для проверочной работы                                                          33 ст

2.Ответы на задания проверочной работы                                                34 ст

III. Заключение.                                                                                                36 ст.

IV. Список использованной литературы.                                                   37 ст.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение. Цели и задачи

Данное  методическое пособие предназначено для студентов очного и

заочного отделений, изучающих дисциплину  «Дискретная математика»,

частью которой является раздел «Комбинаторика». Это студенты

специальностей «250110 «Лесное и лесопарковое хозяйство», 190629 «Техническая эксплуатация подъемно-транспортных строительных, дорожных машин и оборудования». В пособии представлена теоретическая часть, разобраны задачи и даны упражнения для самостоятельного решения.

Цель пособия

Цель создания данного пособия - на разных задачах, имеющих вероятностный характер, показать наиболее типичные алгоритмы их решения. С тем, чтобы не столько научить студента решать подобные задачи, сколько пробудить в нём интерес к теории вероятности.

На базе этого материала можно решать более сложные задачи теории вероятности.

Я на своих уроках стараюсь использовать компетентностный подход при обучении математике. Данный подход не отрицает значения знаний, но акцентирует внимание на способности использовать полученные знания в жизни. Компетентностный подход заключается в привитии и развитии у студентов набора ключевых компетентностей, которые определяют его успешную адаптацию в обществе. Многие идеи компетентностного подхода появились в результате изучения ситуации на рынке труда и в результате определения тех требований, которые складываются на рынке труда по отношению к работнику. Поэтому техникум должен готовить своих студентов к переменам, развивая у них такие качества, как мобильность, динамизм, конструктивность, инициативность, умение самостоятельно принимать решения.

Компетентностный подход позволяет:

1.      научить учиться (определять цели познавательной деятельности, выбирать необходимые источники информации, выбирать оптимальные способы реализации поставленных целей, оценивать полученные результаты);

2.      научить объяснять явления действительности, их сущность, причины, взаимосвязи;

3.      научить ориентироваться в ключевых проблемах современной жизни – экологических, политических и др.;

4.      научить ориентироваться в мире духовных ценностей, отражающих разные культуры и мировоззрения;

5.      научить решать проблемы, связанные с реализацией определенных социальных ролей;

6.      научить решать проблемы, общие для различных видов профессии и иной деятельности.

При изучении статистики и теории вероятностей обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.

Немного истории.

В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.

Поговорим об одном из разделов теории вероятности – комбинаторике.

Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки

предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных

вариантов. Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне

основного русла развития математики.

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы,

располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных

расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху,

выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время

битвы, инструментов - во время работы.

Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно

сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках

появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать ,составлять планы и опровергать планы противника.

Со временем появились различные игры  (нарды, карты, шашки, шахматы и

т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания

фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации

и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для

комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные

службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять

шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных

перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.

Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с

возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных

задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов.

Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским

ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и

французским ученым Б. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма.

Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал

рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе “Об искусстве

комбинаторики”, опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел

термин “комбинаторика”. Значительный вклад в развитие комбинаторики

внес Л. Эйлер.

Различают несколько уровней решения комбинаторных задач. Начальным уровнем является поиск хотя бы одного расположения объектов,

обладающего заданными свойствами (например, отыскание такого

расположения десяти точек на пяти отрезках, при котором на каждом отрезке лежит по четыре точки, или такого расположения восьми ферзей на шахматной доске, при котором они не бьют друг друга). Если комбинаторная

задача имеет несколько решений, то возникает вопрос о подсчете числа таких решений, об описании всех решений такой задачи. Наконец, часто бывает,

что различные решения комбинаторной задачи отличаются друг от друга

некоторыми параметрами. В этом случае возникает проблема отыскания

оптимального решения такой задачи.

В данных методических указаниях мы ограничимся лишь рассмотрением

вопроса о подсчете числа решений комбинаторных задач.

1.1 Комбинаторика

Цели:

· дать понятие науки «Комбинаторика», «Комбинаторные задачи»;

· познакомить учащихся с историей данной науки;

· привести примеры нескольких комбинаторных задач с решениями для привития интереса учащихся к данной науке.

Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в XII веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов - во время битвы, инструментов - во время работы.

Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.

Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.

Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называется комбинаторикой. Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств - любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях

Раздел комбинаторики, в котором рассматривается лишь вопрос о подсчете числа решений комбинаторной задачи, теорией перечислений.

Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым Б. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер.

Перечень тем докладов

1) Дж. Кардано

2) Н. Тарталье

3) Бином Ньютона

4) Б. Паскаль

5) П. Ферма

6) Треугольник Паскаля

7) Л.Эйлер

8) Г. Галилею

9) Г. Лейбниц

10) Некоторые свойства числа сочетаний

11) Правила решения комбинаторных задач

12) Комбинаторная геометрия

13) Историческая справка о науке «Комбинаторике»

14) Магические квадраты

1.2Поиск закономерностей

Цели:

· рассмотреть некоторые виды закономерностей.

1. Выявить закономерности и записать еще 4 числа:

1)

562	(26)	652
369	(__)	963

2) ответ: 36 - сумма цифр в числе

Кто знает, что такое закономерность? Это закон, правило, по которому записаны числа, расположены фигуры.

Теперь давайте попробуем выявлять закономерности в числовых рядах. Тот, кто ответит первым, получит жетон.

2) Вставить пропущенные числа:

1) 24, 21, 19, 18, 15, 13, _ , _ , 7,6 (12, 9);

2) 1, 4, 9, 16, _ , _ , 49, 64, 81, 100 (25, 36);

3) 16, 17, 15, 18, 14, 19, _ , _ (13, 20);

4) 1, 3, 6, 8, 16, 18, _ , _ , 76, 78 (36, 38);

5) 7 26 19; 5 21 16; 9 _ 4 (13);

6) 2 4 8 10 20 22 _ _ 92 94 (44, 48);

7) 24 22 19 15 _ _ (10, 4).

3) Продолжить ряд:

a. 15 16 18 21 25 _ (30);

b. 2 5 8 11 _ (14);

c. 6 9 12 15 18 _ (21);

d. 16 12 15 11 14 10 _ _ (13, 9);

e. 3 7 11 15 18 _ (22).

4) Вставить пропущенное число

a. 2 5 9 (2+4):2=3

4 7 5 (5+7):2=6

3 6 ? (9+5):2=7

b. 7 9 5 11 7+9-5=11

4 15 12 7 4+15-12=7

13 8 11 ? 13+8-11=10

(3*5*8)/10=12

c. 148 (220) 368 368-148=220

243 (___) 397 397-243=154

d. 12 (56) 16 (12+16)•2=56

17 (__) 21 (21+17) •2=76

1.3. Перебор возможных вариантов. Дерево возможных вариантов

Цели:

- дать понятия: комбинаторика, комбинаторные задачи;

- изучить способы решения комбинаторных задач: перебор возможных вариантов, дерево возможных вариантов;

Выявление закономерности. Решение задач

Разбор задач

Давайте рассмотрим такую задачу: сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Решение: для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем записывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4, и, наконец, с цифры 7:

11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77.

Таким образом, их трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел

        

   

Этот метод называется древом  вариантов.

Решение задач.

Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 9 , 7 и 0?

Решение задач.

Попробуйте самостоятельно построить дерево возможных вариантов.

1.Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5?

Ответ: всего 8 чисел.

2.В четверг в первом классе должно быть 3 урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

Ответ: всего можно составить 6 вариантов расписания.

3.Запишите все трехзначные числа, которые можно составить из цифр 0, 5, 9, используя при записи числа каждую цифру только один раз. Сколько всего таких чисел можно составить?

Ответ: всего 4 числа.

4.Данила, Андрей и Коля собрались потренироваться в бросании мяча в баскетбольную корзину. У них только один мяч, и им надо договориться, кто за кем будет бросать мяч в корзину. Сколькими способами они могут занять очередь?

5.В  костюмерной танцевального кружка имеются зелёные и жёлтые кофты, а также синие, красные и чёрные юбки. Сколько можно из них составить различных костюмов?

6. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3?

7. В палатке имеется 3 сорта мороженого: рожок, брикет и эскимо? Наташа и Данил решили купить по одной порции каждого сорта мороженого. Сколько существует вариантов такой покупки?

4. Правило суммы и правило произведения

Цели:

· познакомить учащихся с правилами произведения и суммы в комбинаторике;

· закрепить правила с помощью решения задач;

Правило произведения

Для подсчета числа решений комбинаторных задач существуют различные

формулы – о них пойдет речь в дальнейших пунктах. Все эти формулы

основаны в конечном итоге на двух простых правилах, которые называются

правилами произведения и суммы. В настоящем пункте речь пойдет о

правиле произведения.

Правило произведения заключается в том, что для того, чтобы найти число

всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В,

следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов

испытания В.

Задача 1. В столовой имеется 4 первых блюда и 5 вторых. Сколькими

способами можно составить из них обед?

Решение.

1 способ. Перечислим возможные варианты. Для этого первые блюда

обозначим цифрами 1, 2, 3, 4, а вторые буквами А, Б, В, Г, Д, Е. Тогда любой

обед шифруется комбинацией цифры и буквы. Составим таблицу полученных «шифров»:

Из таблицы наглядно видно, что количество полученных «шифров»

равно 24.

2 способ. Используя правило умножения, получаем: 4х6=24.

Задача 2. Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и

5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими

способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1

куклу?

Решение.

Используя правило умножения, получаем: 2х4х5= 40.

Задача 3. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр

0, 2, 3, 6, 7, 9?

Решение.

1 способ. Составим таблицу чисел, учитывая, что первая цифра числа всегда отлична от нуля и что, четное число всегда заканчивается на четную цифру.

Из таблицы видно, что число таких комбинаций равно 15.

2 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х3=15.

Задача 4. В библиотеке имеется 10 книг А.С.Пушкина , 8 различных книг

И.С. Тургенева, и 7 различных книг Н.В.Гоголя. Сколькими способами

читатель может сделать выбор трех книг так, чтобы среди них была одна

книга А.С.Пушкина, одна книга И.С. Тургенева и одна книга Н.В.Гоголя.

Решите самостоятельно.

Ответ: 720.

Правило сложения: если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можноосуществить m+n способами.

Например: на тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин - четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу сложения, можно осуществить 5+4=9 способами.

Задача 1: сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Решение: составим дерево возможных вариантов.

Эту задачу можно решить по-другому и намного быстрее, не строя дерева возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так как после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4•3•2, т.е. 24.

Сформулируем правило  умножения: если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами,то выбор пары (А, В) в указанном порядке можно осуществить m•п способами.

Например, решите задачу с помощью правила умножения: сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 5, 9, 0, 6?

По правилу умножения получаем: 4•4•4•4=256 чисел.

Правило умножения можно также проиллюстрировать.

Задача 2: из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С - три дороги, из города С до пристани - две дороги. Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

Решение: Пусть из города А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в каждом случае они могут проехать из В в С тремя способами. Значит, имеется 2•3 вариантов маршрута из А в С. Так как из города С на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2•3•2=12 способов выбора туристами маршрута из города А к пристани.

Например: из пункта А в пункт В можно попасть десятью путями, а из пункта В в пункт С - девятью путями. Сколько имеется маршрутов из пункта А в пункт С через пункт В?

Решение: 10•9=90 маршрутов

Задача 3: В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Решение: первое блюдо можно выбрать тремя способами, второе - пятью и третье - двумя, отсюда, по правилу умножения получаем 3•5•2=30 способами.

2. Решите самостоятельно.

1. Сколько различных пятизначных чисел, делящихся на 10 можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4? Каждую цифру можно использовать в записи только один раз.

2. Сколько пятизначных чисел, делящихся на три, можно составить из цифр 3, 4, 6, 7, 9 если каждое число не содержит одинаковых цифр?

3. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы каждое из них начиналось с комбинации «567»?

4. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы каждое из них начиналось с комбинации «45»?

5. Сколько чётных положительных пятизначных чисел можно получить из цифр 5, 9, 6, 0, так, чтобы цифры в числе не повторялись?

6. Сколько чётных положительных пятизначных чисел можно получить из цифр 1, 2, 3, 4?

1.5Перестановки

Определение.

         Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов.

         Перестановки из n элементов обозначают  P_n и вычисляют по формуле

P_n=n!(пэ из эн).

Например, Р₃=6, 3!=1•2•3=6

Пример:

Сколько трехсловных предложений можно составить из трех слов: сегодня, дождь, идет?

1.    Сегодня идет дождь.

2.    Сегодня дождь идет

3.    Идет сегодня дождь

4.    Идет сегодня дождь

5.    Дождь сегодня идет

6.    Дождь идет сегодня

Р ₃=3!=1*2*3=6

Упражнения для закрепления:

1.    Сколькими способами могут сесть в автомобиль 5 человек, каждый из которых может быть водителем?

2.    Собрание сочинений Дж. Лондона состоит из 7 томов. Сколькими способами можно разместить эти тома на книжной полке?

3.    В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно

4.     Определение.

5.     Произведение первых n натуральных чисел, т.е. 1• 2 • 3 •…• n называют «n-факториал» и обозначают n!                                             1•2•3•…•n=n! («эн факториал»)       

6.     Например:

7.     4! = 1•2•3•4=24  

8.     7!-5!=5!(6*7-1)=5!*41= 4920

9.     7!=1*2*3*4*5*6*7

10. 5!=1*2*3*4*5

11. ==

12. 7!=1*2*3*4*5*6*7

13. 5!=1*2*3*4*5

14. 6!=1*2*3*4*5*6

15. Главное свойство факториала следует из определения:

16. (n+1)!=(n+1)•n!  

17. Подставим в эту формулу n=0.

18. Получим: 1!=1•0!, откуда 0!=1

Выполните самостоятельно

 

1.6 Размещения без повторений.

Во многих случаях возникает задача об отыскании числа способов

извлечения из данного множества Х, содержащего n различных элементов, подмножеств из k элементов. Данную задачу можно наглядно представить себе следующим образом. Положим элементы множества Х в мешок и будем извлекать их из него один за другим, записывать извлеченный элемент и откладывать его в сторону. После того, как мы сделаем k извлечений, получим множество, состоящее из k элементов, расположенных в определенном порядке. Такие множества будем называть упорядоченными множествами.

Например, пусть множество Х={1,2,3,4}, то есть множество Х содержит 4 элемента и состоит из цифр от 1 до 4. Найдем сколько двузначных чисел можно составить из элементов множества Х, так, чтобы цифры в числе не повторялись. Для этого составим таблицу.

Из таблицы видим, что число таких вариантов равно 12.

Определение. Упорядоченные k-элементные подмножества данного

множества Х, содержащего n элементов, называют размещениями без

повторений из n элементов по k. Их число обозначают 

. Найдем формулу для вычисления .

Пусть множество Х содержит n элементов. Упорядоченное k-элементное подмножество можно получить, выбирая из Х поочередно элементы х ₁, х ₂... , х_k  , . В качестве первого элемента  х₁  можно выбрать любой из m элементов множества Х, поэтому такой выбор может быть произведен m способами. После того как первый элемент выбран, второй элемент можно выбрать лишь m – 1 способами (можно взять любой элемент, включая уже выбранный). После выбора первых двух элементов остаются m – 2 возможности выбрать третий элемент и т.д. Последний, k-й элемент можно

выбрать m – k +1 способами – ведь до него уже выбрано k – 1 элементов, а

потому осталось лишь m – (k – 1) = m – k +1 элементов.

По правилу произведения получаем, что число упорядоченных k-элементных

подмножеств множества Х, содержащего m элементов, равно произведению

чисел m, m – 1, m – 2, …, m – k +1, т.е. m (m – 1)( m – 2)∙ … ∙( m – k +1). Мы доказали, таким образом, что

Заметим, что для практических вычислений удобно пользоваться формулой

(1), что мы и будем практиковать в дальнейшем.

Задача 5. На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?

 

Можно было решать по-другому. На должность председателя выбираем из 9 человек, на заместителя - из 8, на профорга - из 7. По правилу умножения получаем 9х8х7=504.

Задача 6. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек

нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего

звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно

сделать?

Решение.

На должность директора выбираем из 25 человек, на завуча начальной - из

24, завуча среднего звена - из 23, завуча по воспитательной работе - 22. По

правилу умножения получаем: 25х24х23х22 = 303600

 

Задача 7. В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров.

1) Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?

2) Сколькими способами из коробки можно вынуть два разноцветных шара?

Решение.

2) Сначала найдем число способов выбрать один шар из 10 белых  

Теперь найдем число способов выбрать один шар из 6 черных . По условию задачи требуется выбрать два разноцветных шара. Воспользуемся правилом умножения

Задача 8. В классе 20 мальчиков и 20 девочек. Для участия в концерте нужно выделить танцевальный дуэт, дуэт певцов и гимнастический дуэт (каждый из которых состоит из мальчика и девочки). Сколькими способами можно это сделать (при условии, что все умеют петь, танцевать и выполнять гимнастические упражнения)?

Решение.

Выделить из 20 мальчиков одного танцора, одного певца и одного гимнаста можно столькими способами, сколько существует упорядоченных трехэлементных подмножеств в данном множестве, состоящем из 20 элементов, т.е.   способами. Точно так же получаем, что имеется  способов выделить из множества девочек танцовщицу, певицу и гимнастку.

По правилу произведения находим, что число способов выделить

танцевальный дуэт, дуэт певцов и гимнастический дуэт равно:

Задача 9. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7,

9, если цифры в числе не повторяются?

Решение.

Ответ: 120 способов.

Задача 10. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4,

6, 8,если цифры в числе не повторяются?

Решение.

Сначала найдем количество всевозможных комбинаций из 5 цифр по четыре:

Найдем количество комбинаций, начинающихся на

ноль: (после фиксации нуля на первом месте, у нас остается множество, состоящее из 4 элементов, из которого мы выбираем комбинации по 3 элемента). Итак, количество искомых чисел равно

Задача 11. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?

Решите самостоятельно.

Ответ: 336 способов.

Задача 12. Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт).

Решите самостоятельно.

Ответ: 42840 способов.

Задача 13. Ученику необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней.

Сколькими способами может быть составлено расписание его экзаменов?

Решите самостоятельно.

Ответ: 1680 способов.

Задача 14. Сколькими способами может расположиться семья из трех

человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

Решите самостоятельно.

Ответ: 24 способа.

Задача 15. Из 30 участников собрания необходимо выбрать председателя и

секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Решите самостоятельно.

Ответ: 870 способов.

Задача 16. Сколькими способами организаторы конкурса могут определить,

кто из 15 его участников будет выступать первым, вторым и третьим?

Решите самостоятельно.

Ответ: 2780 способов.

Задача 17. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места

8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

Решите самостоятельно.

Ответ: 336 способа.

Задача 18. На плоскости отметили 5 точек. Их необходимо обозначить

латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать, если в

латинском алфавите 26 букв?

Решите самостоятельно.

Ответ: 7893600 способов.

Задача 19. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если цифры в числе не повторяются?

Решите самостоятельно.

Ответ: 120 способов.

Задача 20. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в

которых все цифры разные и первая цифра отлична от нуля?

Решите самостоятельно.

Ответ: 544320 способа.

Задача 21. Сколько разных трехзначных чисел (без повторения цифр)

можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы полученные числа были:

1) четными; 2) кратными 5?

Решите самостоятельно.

Ответ: 12; 48.

Перестановки без повторений.

Пусть множество Х содержит m элементов. Рассмотрим его различные упорядочивания. Получаемые при этом упорядоченные множества отличаются друг от друга лишь порядком входящих в них элементов и называются перестановками без повторений из m элементов. Число перестановок без повторений обозначается m Р (от французского слова permutation – перестановка). Например, Р3 6 , так как из трех элементов a, b, c можно составить 6 перестановок:

(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a).

Чтобы найти выражение для Р m, заметим, что перестановка без повторений из m элементов – это тоже самое, что размещение без повторений из m элементов по m

Задача 22. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз,

обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это

сделать без повторения?

Решение.

1 способ. Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем

считать, что они рассаживаются поочередно:

№1 - Саша - есть возможность выбрать из 5 вариантов (стульев)

№2 - Петя - 4 варианта

№3- Денис - 3 варианта

№4- Оля - 2 варианта

№5 - Настя- 1 вариант

Используя правило умножения, получаем: 5х4х3х2х1=120

2 способ.

Задача 23. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие

россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы.

Сколькими способами могут распределиться места по окончании

соревнований?

Решение.

1 способ. Обозначим участников по первой заглавной букве страны и

пронумеруем: Р1, И2, У3, Н4,К5, Ф6

Р1 - имеют возможность занять с1-6 места, т.е. 6 вариантов

И2 - 5 вариантов

У3- 4 варианта

Н4- 3 варианта

К5- 2 варианта

Ф6- 1 вариант

Используя правило умножения, получаем: 6х5х4х3х2х1= 720

2 способ.

Ответ: 720.

Задача 24. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно

составить из цифр:1) 1, 2, 5, 6, 7, 8; 2) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

Решение.

Задача 32*. Из пяти различных цифр можно составить 5 Р пятизначных

чисел. По условию задачи эти числа не должны быть кратны пяти, т.е.

последней цифрой числа не должна быть цифра 5. Если цифру 5 записать на последнем месте, то остальные цифры могут распределиться по разрядам числа Р ₄  способами. Таким образом, всем условиям задачи удовлетворяют Р 5Р 4 чисел. Воспользовавшись формулой  для числа перестановок,

находим:

Задача 26. 30 книг – 27 книг различных авторов и трехтомник одного

автора – расположены на одной книжной полке. Сколькими способами

можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли

рядом?

Решение.

Будем считать три книги трехтомника за одну книгу. Тогда получим 28 книг, которые можно расположить на полке  Р₂₈ способами. Учтем, что 3 книги одного автора можно переставлять друг с другом  Р₃ способами. Воспользовавшись правилом произведения, находим следующее число способов расстановки книг при указанном условии:

 

Задача 27. Сколькими способами 4 мужчины могут расположиться на

четырехместной скамейке?

Решите самостоятельно.

Ответ: 24 способа.

Задача 28. Курьер должен разнести пакеты в 7 разных учреждений. Сколько

маршрутов он может выбрать?

Решите самостоятельно.

Ответ: 5040 способа.

Задача 29. Сколько существует выражений, тождественно равных

произведению abcde, которые получаются из него перестановкой

множителей?

Решите самостоятельно.

Ответ: 120.

Задача 30. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя

цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены.

Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

Решите самостоятельно.

Ответ: 6 вариантов.

Задача 31. Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без повторения цифр), есть такие, которые: 1) начинаются с цифры 3; 2) кратны 5?

Решите самостоятельно.

Ответ: 1) 6; 2) 6.

Задача 32*. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, иностранный язык, история, физкультура, химия. Сколькими способами

можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока

математики стояли подряд?

Решите самостоятельно.

Ответ: 48.

Задача 33*. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники стихотворений, чтобы сборники

стихотворений стояли рядом в случайном порядке?

Решите самостоятельно.

Ответ: 604800.

Задача 34*. Найдите, сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10. Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных?

Решите самостоятельно.

Ответ: 3628800; 14400.

 

1.7Сочетания без повторений.

Задача 35. В классе 40 учеников. Сколькими способами можно выделить из

них трех человек для участия в праздничной демонстрации?

Если вызвать трех учеников А, Б, В одного за другим и построить их в

шеренгу в том порядке, как их вызвали, то получим, очевидно, размещение без повторений из 40 по 3. Число таких размещений равно

 

Задача 36. Сколькими способами можно расставить на 32 черных полях шахматной доски 12 белых 12 черных шашек?

Решение.

Задача 40. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11

художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если: 1) словарь ему нужен обязательно; 2) словарь ему не нужен?

Решите самостоятельно.

Ответ: 55; 165.

Задача 41. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки

территории необходимо выделить четырех мальчиков и трех девочек.

Сколькими способами это можно сделать?

Решите самостоятельно.

Ответ: 400400.

Решите задачи 42-55, используя известные вам формулы и правила

комбинаторики.

Задача 42. Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?

Ответ: 120.

Задача 43. Группа учащихся из 30 человек решила обменяться

фотографиями.

Ответ: 870.

Задача 44. Сколько перестановок можно сделать из букв слова “Харьков”?

Ответ: 4320.

Задача 45. Бригадир должен откомандировать на работу бригаду из 5

человек.

Ответ: 3960.

Задача 46. Сколькими разными способами собрание из 40 человек может выбрать из числа своих членов председателя собрания, его заместителя и секретаря?

Ответ: 59280.

Задача 47. Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, из

которых никакие три не лежат на одной прямой?

Ответ: 28.

Задача 48. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью

цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без их повторения?

Ответ: 126.

Задача 49. Определите число всех диагоналей правильного:

1) пятиугольника; 2) восьмиугольника; 3) двенадцатиугольника;

4) пятнадцатиугольника.

Ответ: 10; 66; 28; 105.

Задача 50. Сколько разных трехцветных флагов можно сшить, комбинируя синий, красный и белый цвета?

Ответ: 6.

Задача 51. Сколько разных плоскостей можно провести через 10 точек, если ни какие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости?

Ответ: 360.

1.8 Практические задания

1 В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник — и четыре  вторых  блюда: гуляш,   котлеты,   сосиски,   пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать по­сетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возмож­ных вариантов.

2 .У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите всевозможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?

3. Стадион имеет четыре входа: А, В, С и D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов?

4. Укажите все способы, какими можно разложить три яблока в две вазы (учтите при этом случаи, когда одна из ваз ока­жется пустой).

5. Составьте все возможные двузначные числа из указанных цифр, используя в записи числа каждую из них не более одного раза:
а)  1, 6, 8;         б) О, 3, 4.

6. Из цифр 1, 2, 3 составьте все возможные двузначные числа при условии, что:

а) цифры в числе не повторяются;

б) допускается повторение цифр в числе.

7. Используя цифры 0, 2, 4, 6, составьте все возможные трех­значные числа, в которых цифры не повторяются.

 8. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий бы­ло сыграно?

9. Сколько   существует   семизначных  телефонных   номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

10. Сколько   различных   трехзначных   чисел   (без   повторения цифр) можно составить из цифр  1, 2, 3, 4, 5, таких, кото­рые являются:

а) четными; б) кратными 5?

11. В   классе   7   человек   успешно   занимаются   математикой. Сколькими   способами   можно   выбрать   из   них  двоих  для участия в математической олимпиаде?

12. В  магазине  «Филателия»  продается   8   различных  наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими спо­собами можно выбрать из них 3 набора?

13. Учащимся дали список из  10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

14. Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников,   надо   отправить   5   человек   в   командировку. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий лабораторией должен остаться?

15. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 худо­жественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если:

а) словарь нужен ему обязательно;

б) словарь ему не нужен?

16. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

17. Сколько среди всех перестановок букв слова «высота» таких, которые :

       А) начинаются с буквы «в» ;

       Б) начинаются с буквы  «а», а оканчиваются буквой «т» ?

18 . Номер машины в некотором городе состоит из двух различных букв, взятых из набора М, Н, К, Т, С, и трех различных цифр. Сколько машин можно обеспечить такими номерами?

19. Пять мальчиков и четыре девочки хотят сесть на девятиместную скамейку так, чтобы каждая девочка сидела между двумя мальчиками. Сколькими способами они могут это сделать?

20. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами можно выбрать из них 6 книг?

Задания для проверочной работы

 

 

 

 

 

 

 

Ответы на задания проверочной работы

Вариант	№1	№2	№3
1	1	3	4
2	496	4	1
3	4	3	2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

     

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Без знания понятий и методов теории вероятностей и статистики невозможна организация эффективного конкурентоспособного производства, внедрения новых лекарств и методов лечения в медицине, обеспечение страховой защиты граждан от непредвиденных обстоятельств, проведение обоснованной социальной политики. Современное общество меняет взгляд на содержание математического образования.

Знакомство со стахостическими процессами обогащает знание учащихся о мире, в котором мы живём. Традиционные школьные разделы математики – это математика жёстких связей и закономерностей, теория вероятностей – это математика в условиях неопределённых процессов, что важно для применения к прикладным вопросам современности. Если ощутить в полной мере мировоззренческую важность преподавания этого предмета, понять, что мир случайного будет открыт в техникуме именно преподавателем математики, то должны появиться силы для преодоления перечисленных выше трудностей.

Труднодостижимые цели всегда больше радуют, приносят большее чувство удовлетворения. Успехи наших студентов , их заинтересованный взгляд отбрасывают прочь все колебания и внутренние сомнение, являются демонстрацией нашего умения достичь поставленной цели. Чем больше «вложено» себя, своего времени, своего вдохновения, тем сильнее ощущение своей профессиональной компетентности, радости преодоления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А., Комбинаторика. –

М.: ФИМА, МЦНМО, 2006

2. Тишин В.В., Дискретная математика в примерах и задачах. – СПб.:

БХВ, 2012 - 352 с.

3. С.А. Генкин, И.В. Итенберг, Д.В. Фомин. Ленинградские

математические кружки. Киров: «АСА», 1994. Главы

«Комбинаторика-1», «Комбинаторика-2».

4. Н.Б. Алфутова, А.В. Устинов. Алгебра и теория чисел. Сборник

задач для математических школ. М: МЦНМО, 2002. Глава 2.

Комбинаторика. В свободном доступе: http://www.mccme.ru/freebooks/

pdf/alfutova.pdf.

5. В.В. Прасолов. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. М:

МЦМНО, 2007, Глава 14. Комбинаторика. В свободном доступе:

ftp://ftp.mccme.ru/users/prasolov/algebra/algebra.pdf

.