Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка " Сборник задач и упражнений по математике.

Методическая разработка " Сборник задач и упражнений по математике.

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:



hello_html_m46eb6819.gif

hello_html_m6f455e88.gif




hello_html_m7b714f4d.gif














hello_html_3a336324.gif
















hello_html_m5c32c66a.jpg





С Б О Р Н И К


задач и упражнений по предмету

«Алгебра и начала математического анализа»

для студентов сельскохозяйственного техникума

по специальности: « Электромонтер по ремонту и обслуживанию устройств сигнализации, централизации и блокировки»


( учебно-методическое пособие)












с. Калиновка 2015 г.

ИБРАГИМОВА АНИФЕ РИШАТОВНА

преподаватель математики, специалист высшей категории, преподаватель-методист

Калиновского техникума механизации, сельского хозяйства и сферы обслуживания Джанкойского района.




Настоящее методическое пособие является методическим руководством для подготовки квалифицированных работников сельскохозяйственного профиля.

В сборник включены: краткий курс лекции, освещающий все вопросы, вынесенные на тематическое оценивание; тренинг умений; задачи и упражнения по алгебре и начала математического анализа; материалы, необходимые для подготовки и успешной сдачи тематического оценивания.

Цель сборника - научить учащихся свободно владеть методикой решения задач по курсу «Алгебра и начала математического анализа» изучающей массовые явления в электротехнике.

Сборник предназначен для учащихся по специальности «Электромонтер по ремонту и обслуживанию устройств сигнализации, централизации и блокировки».


П Р Е Д И С Л О В И Е


Предлагаемый студентам и преподавателям сборник задач представляет собой дополнительное пособие, которое должно способствовать установлению связей между математикой как учебным предметом и ее приложением при обучении по специальности « Электромонтер по ремонту и обслуживанию устройств сигнализации, централизации и блокировки».

Комментарии, которыми снабжены условия и решения задач, должны помочь студентам разобраться как в математической стороне рассматриваемых ситуаций, так и в той роли, которую предлагаемые методы играют в практических приложениях. В сборник включены также задачи по экономике сельскохозяйственного производства.

В соответствие с программой для средней школы в пособие входят задачи по алгебре и начала математического анализа.

В каждом разделе имеется теория, тренинг умений, задания и вопросы тематического оценивания. Задачи имеют производственное содержание. В отдельные задачи введена профессиональная терминология, тем не менее, их математическая сущность достаточно ясна. Раскрывается сущность используемых при решении задач производственных категорий.





В В Е Д Е Н И Е


Важнейшая роль математики в общеобразовательном фундаменте профессиональной подготовки современного молодого рабочего особенно ярко проявляется в настоящее время.

Современный квалифицированный рабочий должен хорошо представлять положение своего рабочего места, участка в деятельности всего цеха, предприятие, за повышение эффективности и качества работы. Квалифицированный рабочий должен непрерывно совершенствовать профессиональные навыки и умения, развивать в себе способность изменять характер и содержание трудовых функций в изменяющейся производственной ситуации, творчески применять полученные во время обучения в техникуме и самостоятельно приобретенные знания, активно участвовать в рационализаторской деятельности, повышать культуру труда, которая требует и определенной культуры мышления. И здесь будущим молодым рабочим существенно поможет знание математических методов и умение применять их в своей деятельности. Рабочему нужно уметь подставить числовые данные в формулу, построить график, осмыслить и проконтролировать полученный результат. Такое освоение и применение математики дисциплинирует ум, вносит элементы порядка, оказывается полезным при изучении других наук. И если ограничиться этим, то теория усваивается пассивно. В лучшем случае активность учащихся будет направлена на установление порядка в знаниях, а не на установление порядка в деятельности. В результате знания забудутся. Конечно, знания по математике будут низкими.

Важнейшую роль в сборнике играют формулы.

Отыскание формулы - это раскрытие характера общей зависимости между рассматриваемыми величинами.

Данный сборник как задачник по прикладной математике - использование большого разнообразия ситуаций электротехники. Известно, что эффективным обучением следует считать обучение, которое наряду с изложением знаний обеспечивает активизацию мыслительной деятельности всех обучающихся, побуждает у них потребность в знаниях и вызывает интерес к предмету.

Прикладная направленность обучения математике – это ориентация содержания и методов обучения на применение математики в технике и смежных науках; в профессиональной деятельности; в народном хозяйстве и в быту.

Прикладная направленность обучения математики включает в себя его политехническую направленность, в том числе реализацию связей с курсами физики, химии, географии, черчения; широкое использование ЭВМ, формирование математического стиля мышления и деятельности.

Эффективному обучению во многом способствует решение задач с практическим содержанием и прикладных задач.

Прикладная задача – это задача, поставленная вне математики и решаемая математическими методами. При решении любой прикладной задачи можно выделить три этапа:

  1. создание математической модели, то есть перевод фактического содержания на язык математических формул;

  2. решение собственно математической задачи внутри построенной модели;

  3. перенос полученных результатов в практику (этап интерпретации)



Об использовании сборника необходимо сказать лишь то, что, когда студент самостоятельно получит решение задачи, ему полезно ознакомиться и с авторским. Но для активного режима учебной работы студентам рекомендуется воздерживаться от желания заглянуть в ответы до тех пор, пока они сами не вникли в условие задачи, не поработали над ним, не попытались найти собственный путь решения.















  1. Повторение. Проценты.

Сотая часть числа называется процентом.

Нахождение процентов данного числа.

Чтобы найти несколько процентов данного числа, надо процентную запись числа заменить записью этого числа в виде дроби, затем данное число умножить на эту дробь.

Например: Найти 7,2 % от 860.

7,2% = 0,072

860∙0,072 = 61,92

Нахождение числа по его проценту.

Чтобы найти число по его процентам, надо процентную запись числа заменить дробью, а затем данную часть искомого числа разделить на полученную дробь.

Задача. В первый день рабочий выполнил 35 % всего задания, во второй день- 60 % от того, что сделал в первый день, а в третий день- всю оставшуюся часть задания. Во второй день рабочий изготовил на 184 детали меньше, чем в третий день. Сколько деталей изготовил рабочий за три дня?

Решение. В первый день рабочий выполнил 35 % всего задания. Во второй- 60 %, от числа деталей, изготовленных в первый день. Найдем

60 % от 35 %, т.е. 0,6 от 0,35.

0,6∙0,35 = 0,21= 21 %

За два первых дня рабочий выполнил

35 % + 21 % = 56 % всего задания. В третий день он выполнил 100% -56 % = 44 % всего задания.

Теперь найдем, на сколько процентов задания больше было сделано, в третий день, чем во второй. 44 % - 21 % = 23 %.

Но по условию в третий день было изготовлено на 184 детали больше, чем во второй день. Следовательно, 184 детали составляют 23 %, или 0,23 всего задания. Наконец, можно ответить на главный вопрос задачи – определить все задания. Имеем, 184 . 0,23 = 800.

Итак, задание на все три дня составляло 800 деталей.

Нахождение процентного отношения двух чисел.

Задача. Бригаде электриков была установлена норма-протягивание электропровода по 2,5 км. В день. В первый день бригада протянула 2 км. Провода, во второй день 3 км. Найти процент выполнения нормы в первый день и во второй день.

Решение. Для решения задачи найдем отношения чисел 2 к 2,5 и 3 к 2,5 и выразим их в процентах.

2/2,5= 0,8= 80% 3/2,5= 1,2= 120%

Следовательно, в первый день задание было выполнено на 80 %, а во второй- на 120 %.

Формула простых процентов S=P (1+n i), где P- первоначальный вклад, i- процентная ставка ( десятичная дробь), S – суммарная величина вклада в конце n-го периода, величина ( 1+ n i)- множитель наращения простых процентов.

Тренинг умений


Задача. Первый рабочий производит продукцию на одну копейку в течении одной секунды. Второй – на одну грн за одну минуту. Во сколько раз производительность второго рабочего больше первого?

Решение:

Под производительностью труда понимаем стоимость продукции, изготовленной рабочим за единицу времени. Поэтому производительность первого рабочего равна 1 коп/с . Производительность второго рабочего, выражена в тех же единицах измерения, равна 100 коп/60 с. Поделив одно на другое получим ответ 5/3.

Задача. В цехе работают 20 рабочих, из них 8 электриков. Сколько процентов от всего числа рабочих составляют электрики?

Решение: 20 - 100 %

8 - x %

х = (8∙100)/20=40 %

Задача. Зарплата электрика составляла 1000 грн. Затем её повысили на 20 %, а вскоре понизили на 20 %. Сколько стал получать электрик?

Решение: 1000 – 100%

х - 20%

х=(1000∙20)/100=200 грн

1200 – 100%

х – 20%

х=(1200∙20)/100=240

240-100=140 грн

1000-140=860

Задачи и упражнения для самопроверки.

1.1.Цену товара сначала снизили на 20 %, затем новую цену снизили еще на 15 % и, наконец, после перерасчета произвели снижение еще на 10 %. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?


1.2.Рабочий день электрика уменьшился с 8 до 7 ч. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата возросла на 5 %?


1.3.В январе завод выполнил 105 % месячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4 % больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?

1.4.На монтаж прибора уходило 225 м. провода. После внедрения новой схемы монтажа на этот же прибор стали расходовать 198 м. провода. На сколько процентов уменьшилась затрата провода?


2. ФУНКЦИИ, УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ.


2.1. ФУНКЦИИ.


Переменная у является функцией от переменной х, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого, значения х однозначно определить значение у.

Для того чтобы задать функцию, нужно:

  1. указать множество всех возможных значений переменной х.

Это множество, которое мы будем обозначать D, называют

областью определения функции;

  1. указать правило, по которому каждому числу х из множества D

сопоставляется число у, определяемое числом х. Это число у называется

значением функции в точке х. Переменную х называют аргументом.

Графиком функции f называется множество точек плоскости с координатами (x;f (x)), где х пробегает область определения функции f.

Функция f, у которой для всех х из ее области определения f(-x)=f(x) называется четной.

Функция f, у которой для всех х из ее области определения f(-x)=-f(x) называется нечетной.

Функция у = f(x), для которой большему значению аргумента из (а, в) соответствует большее (меньшее) значении функции, т.е. для х < x следует f(x)<f(x), ( f(x) > f(x) ) называется функция монотонно возрастающей (убывающей) на интервале (а, в).


Основные элементарные функции:

  1. Степенная у = хn, где n- действительное число;

  2. Показательная у = аx, где а- положительное число;

  3. Логарифмическая у =logаx, где а>0;

  4. Тригонометрические: у = sin x; у = cos x;

  5. у = tg x;

у = ctg x.

  1. Обратные тригонометрические: у = arcsin x; у = arccos x; у = arctg x;

у = arcctg x


Тренинг умений.


Задача. Проволоку длиной 135 м разрезали на две части так, что одна из них короче другой в 2 раза. Найти длину каждой части.

Решение: х+2х=135

3х=135

х=135/3

х=45

Ответ: I = 45 м П= 90 м.


Задача. Купим 9 м проволоки двух видов (алюминиевую и медную) по цене 2 грн за метр и 3 грн за метр. За всю покупку заплатили 22 грн. Сколько метров проволоки купили каждого вида?

Решение:


2hello_html_7fb3c877.gifх+3у=22

х+у=9

х=9-у

2(9-у)+3у=22

18-2у+3у=22

у=4 (медная)

х=9-4

х=5 (алюминиевая)

Ответ: у=4 (медная); х=5 (алюминиевая).


Задача. Бригада монтеров могла окончить электропроводку в 4 ч. Дня, прокладывая в час по 8 м. После выполнения половины всего задания один рабочий выбыл из бригады; в связи с этим бригада стала прокладывать в час по 6 м. и закончила запланированную на день работу в 6 ч. Вечера. Сколько метров провода было проложено и за сколько часов?


Решение:

Пусть первоначально планировалось проложить электропроводку за t часов. Прокладывая по 8 м. электропроводки в час, было бы проложено 8 t метров. Проложив половину электропроводки в 4 t метров за t /2 часов, из-за уменьшения состава бригады пришлось в дальнейшем работать на 2 часа дольше ( работа была закончена в 6 ч. Вечера вместо планируемых 4 ч. вечера). Стало быть, бригада работала ( t/2+ 2) часа, прокладывая по 6 метров электропроводки в час, и проложила оставшиеся 4 t метров электропроводки. Поэтому

4 t + 6( t/2 + 2 ), t=12 ч.

Следовательно, было проложено 8∙t=96 м. электропроводки за t+2=14 часов.

Ответ: 96 м, 14 ч.




Вопросы и задания для самопроверки.

2.1.Обратите внимание на встретившиеся в тексте следующие ключевые слова и обозначения: функция, область определения функции, график функции, у = f(x). Приведите примеры их использования.

2.2.Какие способы задания функции вы знаете?

2.3.Двое рабочих за смену вместе изготовили 72 детали. После того как первый рабочий повысил производительность труда на 0,15, а второй – на 0,25, вместе за смену они стали изготовлять 86 деталей. Сколько деталей изготовляет каждый рабочий за смену после повышения производительности труда?


2.2.УРАВНЕНИЯ.

Равенство с переменной называется уравнением.

Решить уравнение- значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Решение уравнений:

1. а) С помощью уравнений-следствий;

- преобразования, гарантирующие сохранение верного равенства.

в) Проверка корней;

- подстановкой в исходное уравнение.

2. С помощью равносильных преобразований. Учесть ОДЗ исходного

уравнения;

- сохранять на ОДЗ верное равенство при прямых и обратных преобразованиях.

3. Применением свойств функций;

- исходное уравнение;

- уравнение, полученное в результате преобразования исходного;

- символическое изображение направления выполненных преобразований.

Тренинг умений.

Задача. Имеется два куска кабеля разных сортов. Масса первого куска равна 65 кг; другой, длина которого на 3 м. больше длины первого и масса каждого метра которого на 2 кг больше массы каждого метра первого куска, имеет массу 120 кг. Вычислить длину этих кусков.

Решение:

Пусть х - длина первого куска кабеля в метрах, тогда масса одного метра этого кабеля равна 65/х кг. Следовательно, масса одного метра второго кабеля равна ( 65/х+2) кг, а длина второго кабеля равна (х+3) м. Стало быть, масса второго кабеля, с одной стороны, равна

( 65/х+2)(х+3) кг, а , с другой стороны, равна 120 кг. Получаем уравнение (65/х+2)(х+3)=120

х=5, х=19,5

х=8, х=22,5

Задача. Двое электриков, работая вместе, выполняют некоторую работу за 8 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 12 ч. скорее, чем второй, если тот будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая порознь, может выполнить работу?

Решение.

Пусть первый электрик может самостоятельно выполнить работу за х ч., тогда второй- за (х+12) ч. Скорость работы первого рабочего ( в долях от всей работы за час) 1/х (1/ч), а второго 1/х+1 (1/ч), а скорость при совместной работе равна 1/х + 1/х+12 (1/ч)

Так как рабочие вместе выполняют всю работу за 8 часов,

то(1/х + 1/х+12)·8=1

х = 12, х=24

Задача. Себестоимость единицы изделия и количество выработанной продукции находятся в обратно пропорциональной зависимости. При тех же производственных затратах количество выработанной продукции увеличилось на определенную часть. На какую часть уменьшится себестоимость изделия ?


Решение:

Обозначим количество продукции через х, себестоимость единицы изделия через у, производственные затраты через V. Тогда у=V/x. Пусть количество продукции увеличилось на определенную часть, равную mx/n, тогда новое количество продукции станет равным x1=x+ (m/n) x. При тех же затратах новая себестоимость у1 = v/x1= v/(x+(mx/n))=yn/n+m.

y-y1=y-yn/(n+m)=ym/(m+n).

Следовательно, если количество выработанной продукции увеличить на m/n часть, то при тех же производственных затратах себестоимость единицы изделия уменьшится на m/(m+n) ее часть.

Задача. Планом было предусмотрено, что предприятие на протяжении нескольких месяцев изготовит 6000 насосов. Увеличив производительность труда, предприятие стало изготовлять в месяц 70 насосов больше, чем было предусмотрено и на один месяц раньше установленного срока перевыполнило задания на 30 насосов. На протяжении скольких месяцев было предусмотрено выпустить 6000 насосов.

Решение. Пусть планом было предусмотрено выпускать Х насосов в месяц. На выпуск 6000 насосов ушло бы 6000/x месяцев. При выпуске х+70 насосов в месяц предприятие выпустило 6030 насосов за 6030/x+70 месяцев. Так как при этом был сэкономлен месяц, то 6000/x=6030/x+70+1,

Х=600. Выпуская по плану 600 насосов в месяц, предприятие потратило бы на выпуск 6000 насосов 10 месяцев.



Вопросы и задания для самопроверки.

2.4.Объясните на примерах , как можно использовать свойства функций при решении уравнений.

2.5.Бригада рабочих должна была изготовить за смену 7200 деталей, причем каждый рабочий делал одинаковое количество деталей, однако в бригаде заболело трое рабочих и поэтому из оставшихся рабочих пришлось сделать на 400 деталей больше. Сколько рабочих было в бригаде?

2.6.При включении в электрическую цепь дополнительного сопротивления R ом, сила тока уменьшается на J А. Напряжение в цепи равно U в. Найти первоначальное сопротивление. Напряжение U, сила тока J и сопротивление R электрической цепи связаны законом Ома: U=J R


2.3.НЕРАВЕНСТВА.

Если два выражения с переменной соединить одним из знаков>,<, то получим неравенство с переменной.

f (x)> g (x)

Решением неравенства с переменной называется значение переменной, которое обращает заданное неравенство в верное числовое неравенство.

Решение неравенств: 1. С помощью рациональных преобразований;

- учесть ОДЗ исходного неравенства;

-сохранять на ОДЗ верное неравенство при прямых и обратных преобразованиях.

2. С помощью метода интервалов f (x)>0, f (x)< 0;

-найти ОДЗ;

-найти нули функции: f (x)=0;

-отметить нули на ОДЗ и найти знак функции на каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ;

-записать ответ, учитывая знак заданного неравенства.

Тренинг умений.

Задача. На станции технического обслуживания установлено несколько электродвигателей общей мощностью N кВт. Расстояние от места ввода до магистрали равно l км, а удельное сопротивление проводов, соединяющих ввод с магистралью,- p. Определить допустимое сечение этих проводов, если напряжение в магистрали U в., а потери напряжения в линии не должны превышать U в.




Решение.



Пусть S-искомое сечение проводов, R1- сопротивление подводящей линии, R2- внутреннее сопротивление двигателей.

По формуле R=l ρ/s, то R2=2l ρ /s. На основании закона Ома I=U/(R1 + R2). По условию U R1< U1 ,так как напряжение двигателя равно U-U1 то, учитывая, что N=(U-U1 )2/R2, будем иметь R2= (UU1 )2/ N . Отсюда 2U ρ l/s(2 ρ l/s+(U-U1)2/N)≤U1, откуда S≥ 2 ρ lN/U1(U-U1).

Вопросы и задания для самопроверки:

    1. Объясните на примерах смысл понятий: « решение неравенства»,

« решить неравенство», « область допустимых значений неравенства»,

« равносильные неравенства».

    1. Прямой коридор элеватора, длина которого равна А=20 м., освещается тремя электрическими лампочками, расположенными по прямой на высоте h=4 м. над полом. Две лампочки размещены по концам коридора и имеют одинаковую силу света, а третья находится точно в середине коридора. Формула освещенности

E=(J/R2) cos α Определить, какую силу света должна иметь каждая лампочка, чтобы в конечных точках коридора освещенность составляла не менее 8 лк., а в его средней точке - не более 10 лк.



2.4.СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ.

Решить систему уравнений - значит найти множество всех ее решений.

Решение системы линейных уравнений:

- способ сложения уравнений; -способ подстановки.

Тренинг умений.

Задача. Два электрика, работая одновременно на одном объекте 12 ч. За какое время каждый электрик по отдельности выполнит работу, если скорость выполнения работы относится, как 3:2?

Решение. Пусть х - время работы первого электрика, у – второго.

Скорость работы за час первого и второго электрика: 1/x +1/y.

За час два электрика вместе выполнят работу 1/x+1/y, следовательно, будут работать 1/(1/x+1/y) часов. Как известно, это время равно 12 часам. Возникает система уравнений.

yhello_html_m446a684d.gifhello_html_m446a684d.gif/x=3/2 y=3x/2

1/(1/x+1/y)= 12, xy= 12(x+y), x= 0,

y=30 x=20

Задача. В магазин для продажи поступили лампочки 60V и 100V. Когда продали 50 % лампочек 60 V и 20 % лампочек 100 V, что составили в общей сложности 390 лампочек, то лампочек 60 V осталось в 3 раза больше, чем 100V. Сколько поступило в магазин лампочек 60V и 100V.

Решение: Пусть в продажу поступило m лампочек 60V и n-лампочек 100V. Первая распроданная партия лампочек состояла из 390 штук. В партию входили 50 % всех лампочек 60V, то есть 0,5 m лампочек, и 20 % всех 100V, то есть 0,2 n лампочек.

Следовательно, 0,5m+0,2n= 390.

Оhello_html_2f3a3180.gifтношение количества оставшихся лампочек 60V (0,5m) к количеству оставшихся лампочек 100V (0,8n) равно 3. Решим получившуюся систему уравнений 0,5m+0,2n=390

m=720, n=150

0,5m/0,8n= 3

Задачи для самопроверки:

    1. Бригада рабочих должна была изготовить 8000 одинаковых деталей в определенный срок. Фактически эта работа была окончена на 8 дней раньше срока, т.к. бригада делала ежедневно на 50 деталей больше, чем было намечено по плану. В какой срок должна была быть окончена работа и каков ежедневный процент перевыполнения плана ?

    2. Двум электрикам была поручена работа. Второй приступил к работе на час позже первого. Через 3 часа после того, как первый приступил к работе, им осталось выполнить 9/20 всей работы. По окончании работы оказалось, что каждый выполнил половину всей работы. За сколько часов каждый, работая отдельно, может выполнить всю работу?

    3. Двум рабочим было поручено изготовить партию одинаковых деталей. После того, как первый проработал 2 ч., а второй 5 ч., оказалось, что они выполнили половину всей работы. Проработав совместно еще 3 ч., они установили, что им осталось выполнить 0,05 всей работы. За какой промежуток времени каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

hello_html_m72c1be29.png



3.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Синус и косинус, а также тангенс и котангенс являются функциями величины угла, которые называются тригонометрическими функциями.

Основные параметры и формы представления переменного тока.

е = Вlvsinα = Esinwt (1), где В - магнитная индукция поля, Тл; V- скорость движения (м/с) проводников рамки длиной l, м; α- угол между плоскостью рамки и силовыми линиями поля.

Задача. Квадратная рамка вращается вокруг оси, расположенной посередине, с постоянной частотой n = 3000 об/ мин в равномерном магнитном поле, имеющем индукцию В= 1 Тл. Длина одной стороны рамки l = 0,4 м, а число витков w= 10. Записать выражение для мгновенного значения э д с, определить период и частоту.

Решение. Мгновенное значение э д с соответствует выражению (1). Амплитудное значение, учитывая, что э д с наводится в двух проводниках рамки, равно Еm = 2ωBlυ, где угловая частота ω= 2πn/60 = 314 рад/с. Для нахождения линейной скорости рамки определяем радиус вращения, который в данном случае равен l/2, т.е. υ= ωl/2= 62,8 м/с.

Амплитудное значение э д с Еm= 2.10.1.0,4.62,8= 502 В, мгновенное значение е= 502sin 314t. Период и частоту можно найти по формулам f= ω/2π= 50 Гц и Т= 1/f= 0,02 c= 20 мс.

Задача. К трем источникам с одинаковым напряжением, мгновенное значение которого определяется по выражению u= 59sin(314t-450) В, подключены резистор, катушка индуктивности и конденсатор. Найти выражения для мгновенных значений токов в каждом случае и определить их действующие значения, если R= 10 Oм; L= 10 мГн и С= 1 мкФ.

Решение. В цепи с резистором мгновенное значение тока совпадает по фазе с напряжением и по закону Ома iR= u/R= 5?9sin(314t-450) A. Действующее значение соответственно равно I= Um/hello_html_1caef8ee.gifR= 4,2 A.

В цепи с катушкой индуктивности ток отстает по фазе от напряжения на 90o, ее реактивное сопротивление ХL= ω L= 3,14 Ом, а мгновенное значение тока

iL= 18,8sin(314t-450) А, действующее значение

I= Um hello_html_1caef8ee.gifXL= 13,3 A.

В цепи с конденсатором ток опережает по фазе напряжение на 900, его реактивное сопротивление

Хc= 1/ ω C= 3,18 кОм, мгновенное значение тока

i= 18,5sin(314t+45o) A, а действующее значение

I= Um hello_html_1caef8ee.gif Xc= 13,1 A.

Задачи для самопроверки.

3.1. Проводник длиной 0,5 м равномерно вращается с линейной скоростью v= 50 м/с в магнитном поле с индукцией В= 1,5 Тл . Определить э д с, наводимую в проводнике, если радиус вращения составляет 0,2 м, а ось вращения параллельна проводнику.

3.2. Действующие значения напряжения и тока потребителя электрической энергии в комплексной форме изображаются в виде U= 150+j160, B и

I= 4-j3,A. Записать выражения для мгновенных значений тока и напряжений при частоте f= 50 Гц, определить в комплекс ной форме полное сопротивление.


hello_html_m372303fe.png

4. ПРОИЗВОДНАЯ

Протекание тока в электрической цепи ( задача о мгновенной величине тока).

Представим себе электрическую цепь с некоторым источником тока. Обозначим через q= q(t) количество электричества ( в кулонах), протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Тогда q(t)-q(t) есть количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t . Средней силой тока за указанный промежуток времени называется число

Iср= q(t1)-q(t0)/ t1-t0

В случае постоянного тока средняя сила тока I будет одинаковой для любых различных, но одинаковых по длительности промежутков времени. Если в цепи переменный ток, то I ,будет различной для различных, но одинаковых по длительности промежутков времени. Поэтому для характеристики цепи переменного тока вводят понятие мгновенной силы тока, или силы тока в данный момент времени: мгновенной силой тока I(t) в момент времени t называется предел ( если он существует), к которому стремится средняя сила за промежуток времени от t до t,

I= lim q(t)-q(t0)/t-t0

tt0

Производной функцией в точке х называется предел функции к приращению аргумента при стремлении х к нулю: у'=f' (x)=limΔyx.

Тренинг умений. Δx→0

Задача. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента t=0, выражено формулой Q= 5t2+2t ( кулонов). Вывести формулу для вычисления силы тока в любой момент времени и определить силу тока в конце третьей секунды.

Решение. I= dQ/dt = 10t + 2, I(3) = 10.3 = 30 (A).

Задача. Пусть электрическая лампочка движется с помощью блока вдоль вертикальной прямой ОВ. На каком расстоянии от горизонтальной плоскости следует ее разместить, чтобы в точке А этой плоскости освещенность была наибольшей ( ОА = а).

Решение. Освещенность Е= к sinx/r, где к- коэффициент пропорциональности, х = ОВ, sinx= x/r, cледовательно,

E = k·sinφ/r2, sinφ=x/r, r=hello_html_m3ee0e60f.gif, 0‹х‹∞. Следовательно,

Е=кх/( х22)3/2; Е1(х)= ( ка2-2х2)/(х22)5/2;

к( а2-2х2)/(х22)5/2=0

x=а/hello_html_1caef8ee.gif


Задача. Изменение силы тока в зависимости от времени выражено уравнение I= 2t2-5t. ( I- в амперах, t- в секундах). Найти скорость изменения силы тока в конце 10-й с.

Решение: V = 4t-5, V(10) = 4.10-5 = 35 A/c

Задача. Найти силу тока I, если количество изменяется по закону Q(t)=2t2 + 1 электричества, проходящее через поперечное сечение проводника за 10 с.

Решение: I = 4t , I(10) = 4.10 = 40 ( A ).

Задача. Над центром круглого стола радиуса висит лампа. На какой высоте следует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность.

Решение: Е = к sin α/ (h2 + r2) ,

sin α = h/ hello_html_m14ab84ce.gif,

Вместо функции E = kh/(h2 + r2)3/2 рассмотрим функцию T = E2/ k2 = h2 /( h2 + r2)3,

вместо h2 = z.

T' =( z/( z + r2)3) ' =( z + r2 – 3z)/( z + r2 )4, T' = 0,

r2 – 2z = 0 , z = r2 /2 ,

h2 = r2/ 2.

Освещенность максимальна, если h = r/hello_html_1caef8ee.gif, т.е., если tg φ = h/r = 1 / hello_html_1caef8ee.gif


Вопросы и задачи для самопроверки.


    1. . При равномерном протекании заряда по проводнику силой тока

называется заряд, протекающий за единицу времени. Дайте определение

силы тока в общем случае.

4.2. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента t= 0, задается формулой q = 3t2 + t + 2 .Найдите силу тока в момент времени t= 3.

4.3. В какие моменты времени ток в цепи равен нулю, если количество электричества, протекающего через проводник, задается формулой:

а) q = t + k/t , b) q = 4t + 2

4.4. Измерения величины заряда на обкладках конденсатора показали, что заряд меняется со временем по закону q(t)= 3,05 + 6,11 t2 – 0,8t+1. Найдите закон изменения силы тока.

4.5. Установлено, что энергия, отдаваемая электрическим элементом, определяется по формуле

W = E R / ( r + R ), где E- электродвижущая сила элемента; r- внутреннее сопротивление; R- внешнее сопротивление. Каким должно быть сопротивление цепи, чтобы отдаваемая элементом энергия W была наибольшей?

4.6. Определить сопротивление внешней цепи, при котором батарея из двух последовательно соединенных аккумуляторов сможет развить максимальную полезную мощность. ЭДС батареи 2,5 В, внутреннее сопротивление 0,16 Ом. Чему равна максимальная полезная мощность?






  1. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Если функция f(x) в точке х имеет производную , то произведение f(x) . X называется дифференциалом функции f в точке х и обозначается df(x).

Дифференциальные уравнения- это уравнения, связывающие неизвестную функцию и ее производные.

Электрическая цепь.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных сопротивления и конденсатора. Будем считать, что в цепи сделано короткое замыкание и конденсатор, имевший начальный заряд, начинает разряжаться. Напряжение на конденсаторе в момент времени t обозначим через U(t). Заряд q(t) связан с напряжением U формулой q= CU, где С- емкость конденсатора. Через сопротивление пойдет ток, который связан с напряжением U формулой U= - RI, где R-величина сопротивления ( закон Ома), а знак «- » связан с направлением тока. Появление тока связано с изменением заряда q ,и , значит, величина I является скоростью изменения заряда во времени: I= dq/dt. Подставляя в эту формулу вместо I выражение –U/R, а вместо q выражение CU, получим уравнение для напряжения: CdU/dt= -U/R, dU/dt= -IU/RC

Решение дифференциального уравнения- это функция, при подстановке которой уравнение превращается в тождество.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора (с емкостью С) и катушки ( с индуктивностью L). Будем считать, что на конденсаторе есть начальное напряжение, в цепи сделано короткое замыкание и пошел ток через катушку. Обозначим через U= U(t) напряжение на конденсаторе в момент времени t. Напряжение на катушке пропорционально скорости изменения тока I, проходящего через катушку, т.е. U= -LdI/dt. Выражая обычным образом, ток I через заряд I= dq/dt и заменяя заряд q через CU, получим: U= -LdI/dt= - LC d U/ dt = - U/LC

Тренинг умений.

Задача. Изолированному проводнику сообщен заряд Q единиц. Вследствие несовершенства изоляции проводник постепенно теряет свой заряд. Скорость потери заряда в данный момент пропорциональна наличному заряду проводника. Какой заряд останется на проводнике по истечении t мин?

Решение: Пусть к моменту t заряд проводника равен Q. Скорость потери заряда в этот момент равна- dQ/dt. Так как эта скорость пропорциональна заряду Q, то получим следующее дифференциальное уравнение:

- (dQ/dt)= kQ, k- коэффициент пропорциональности. Интегрируя это уравнение, получим общее решение:

Q= C e-kt . Используем начальное условие: при t=0, Q=Q0; тогда Q= C l-k*0u C=Q0. Следовательно, закон протекающего процесса записывается так: Q= Q0e-kt



Задачи для самопроверки.

5.1 Электрическая цепь состоит из последовательно включенного источника постоянного тока, дающего напряжение V, сопротивления R, самоиндукции L и выключателя, который включается при t=0. Найдите зависимость силы тока от времени.

5.2 Электрическая цепь состоит из последовательно включенного источника т ока, напряжение которого меняется по закону

E=V sinwt, сопротивления R и самоиндукции L. Найдите силу тока в

цепи при установившемся режиме.

hello_html_89e650.png


6. ИНТЕГРАЛ.

Дифференцируемая функция F(x), x принадлежит отрезку (а; б ), называется первообразной функцией для функции f(x) на интервале (а; б), если F(x)= f(x) для каждого х принадлежит отрезку (а; б ).

Совокупность всех первообразных, т.е. выражение вида F(x) + C, где F(x)- первообразная функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x): f(x)dx= F(x) + C/

Определенным интегралом называется число, равное площади криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y= f(x) ( f(x)>0 на отрезке [a,b], осью ОХ, и прямыми х = а, х = б.

Тренинг умений.

Зhello_html_17fbf708.gifадача. Найти количество электричества, проходящее через поперечное сечение проводника за 10 с, если сила тока изменяется по закону I(t)= (4t+ 1)

Рhello_html_2da9faa.gifешение.Q= hello_html_5f75e608.gif(4t+1) dt= (2t2 +1) │10 =210 Kл.

Задача. Экспериментально установлено, что продуктивность труда работника приближенно выражается формулой: f(t)= -0,0033t2 – 0,089t+ 20,96, где t- рабочее время в часах. Вычислить объем выпуска продукции за квартал, считая рабочий день 8-часовым, а количество рабочих дней в квартале- 62.

Решение: Объем выпуска продукции V=hello_html_599cbdc0.giff(t)dt. В течение квартала объем выпуска продукции составит:

V= 62hello_html_599cbdc0.gif f(t)dt= 62hello_html_599cbdc0.gif(0,0033t2-0,089t+20,96)dt=

62(-0,001.512-2,848+167,68)=10185(ед).

Задача. Предположим, что в точку О помещен единичный электрический заряд. Он создает электрическое поле. Найти работу электрического поля по перемещению единичного заряда из точки х в точку х.

Решение: Мы знаем, что на другой единичный заряд, помещенный в точку х, действует сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния, т.е. F(x)=k/x2. Применяем формулу для работы, получим:

А=hello_html_188d694d.gifk dx/x2 = khello_html_188d694d.gifdx/x2,для функции F(x)=k'/x2 первообразную U(x) можно найти по таблице: U(x)=-k/x. Получим: A=U(x) hello_html_m5ab8f77a.gif=-k/xhello_html_m5ab8f77a.gif=k/x1-k/x2

Функция U(x)= -k/x называется потенциалом электрического поля.

Задачи для самопроверки.

6.1.Найти количество электричества, проходящее через поперечное сечение проводника за 20 с., если сила тока изменяется по закону I(t)= 2t+ 1

6.2.Продуктивность труда бригады рабочих на протяжении смены приближенно определяется формулой f(t)=-2,53 t2 +24,75t+111,1, где t- рабочее время в часах. Определить объем продукции, изготовленной бригадой за 5 рабочих часов.

6.3. Производительность труда рабочего в течение смены приблизительно выражается функцией

y= 0,1t-t+17, t-часы работы. Определить среднюю производительность рабочего.


hello_html_78e2d5e0.png





7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.


Теория вероятностей - математическая наука, которая изучает закономерности в случайных событиях.

К основным понятиям теории вероятностей относятся испытания и события.

Под испытанием понимают реализацию данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие.

Например: бросание монеты- испытание; появление цифры- события.

Случайным событием называется событие, связанное с данным испытанием, которое при осуществлении испытания может произойти. А может и не произойти.

Например: выстрел по цели- это испытание, случайные события в этом испытании- попадания в цель или промах.

Математической вероятностью события А называют отношение числа m случаев, благоприятствующих появлению события А, к числу n всех равновозможных единственно возможных и несовместных случаев.

Р(А)= m/n

Эта формула носит название классического определения вероятности.

Задача. Телефонная линия, соединяющая два пункта А и В, расположенных один от другого на расстоянии 2 км, оборвалась в неизвестном месте. Какова вероятность того, что обрыв находится не дальше 450 м. от пункта А?

Решение: Р(А)= m/n= 450/2000= 0,225

Задача. На 8 карточках напечатана одна из следующих букв е, г, т, ф, е, р, л, а. Вынимая последовательно из ящика наугад и выкладывая их в одну линию, можно получить слово телеграф. Какова вероятность этого события.

Решение: m=1, n=Р равно числу перестановок из 8 букв.

Р 8=8!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8= 40320 Р=m/n= 1/40320

Задача. В коробке находятся электролампы 5 шт. по 75 Вт и 6 шт. по 100 Вт . Из коробки вынимают одновременно две электролампы. Какова вероятность того, что обе лампочки 100 вт.

Решение. Здесь число равновозможных независимых исходов составляет

n=hello_html_33e57a8e.gif=11!/2!9!=(9!10·11)/2·9!=55

Событию А благоприятствуют hello_html_m99c8eb8.gif=6!/2!4!=(4!5·6)/2·4!=15 исходов. Следовательно, P(A)=15/55=3/11.

Задача. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и , помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

Решение: Две последние цифры можно набрать hello_html_m513f94c.gif способами, а благоприятствовать событию А ( цифры набраны правильно) будет только один способ. Поэтому P(A)=1/hello_html_m513f94c.gif=1/10!/8!=1/90


Задача. Среди 100 электроламп 5 бракованных. Какова вероятность того, что выбранные наудачу з электролампы окажутся не бракованными?

Решение: Из 100 электроламп 3 лампы можно выбратьhello_html_78f1f669.gif способами. Три не бракованных электроламп из общего числа 95 рабочих электроламп можно выбрать. hello_html_m354e2355.gif способами, следовательно искомая вероятность равна

Р=hello_html_m354e2355.gif/hello_html_78f1f669.gif=(95·94·93)/(100·99·98)=0.86




Вопросы и задачи для самопроверки.

7.1.В цеху работают 6 мужчин и 4 женщины. В смену отобрали подряд 7 человек из 10. Какова вероятность того, сколько женщин и мужчин попадут в смену?

7.2. На каждой из восьми карточек напечатаны буквы с, ь, в, з, а, в, у,я. Карточки перевернуты и перемешаны. Какова вероятность, что, взяв 5 из них, можно получить слово « связь»?

7.3. В партии из 20 изделий четыре бракованных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий окажется два бракованных.(событие В).

7.4. Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру и набрал ее наугад. Найти вероятность того, что номер набран правильно. Решить задачу для случаев, если последняя цифра номера а) четная; б) не более 6.


ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.

В рассмотренных выше задачах вероятность событий вычислялась непосредственно исходя из определения. К сожалению, этот путь приводит к успеху только в самых простых случаях. Обычно же прямой подсчет, как всех исходов, так и тех из них, которые являются благоприятствующими, оказывается неудобным, а иногда и практически невозможным из-за своей чрезмерной сложности. Вычисление вероятностей событий, как правило, можно существенно упростить, если использовать теоремы, устанавливающие связи между вероятностями событий.

Вероятность наступления какого- либо одного из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей Р= Р(А1)+…+Р(Аn).

Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна произведению вероятностей Р( А и В)= Р(А)·РA(В), РA(В)-условная вероятность события В, при условии, что событие А уже наступило. Если события независимы, то Р(А и В)= Р(А)·Р(В).

Пусть события А1, А2…Аn образуют полную группу. Если событие В может наступить совместно с одним из событий А образующих группу, то вероятность события А определяется по формуле P(B)=P(A1PA1(B)+P(A2PA2(B)+…+P(AnPAn(B)

Формула носит название формулы полной вероятности.


Тренинг умений.

Задача. На склад поступили электроутюги, 80 % с первого завода и 20 % со второго. Среди продукции первого завода 90 % выдерживают гарантийный срок, со второго завода- 95 %. Какова вероятность, что взятый наугад со склада утюг выдерживает гарантийный срок? Какова вероятность, что утюг с первого завода?

Решение:

Р (A1) =0,8- вероятность, что утюг поступил на склад с первого завода.

Р (A2) =0,2- со второго.

Условные вероятности Р A1(B) =0,9 и РA2(B) =0,95- что утюг выдержит гарантийный срок с первого завода и со второго.

1) Полная вероятность, что он прослужит определенное время, независимо с какого он завода равна P(B)=P(A1PA1(B)+P(A2PA2(B)=0,8·0,9+0,2·0,95=0,91 2)Вероятность, что утюг с первого завода равна

PB(A1)=P(A1)·PA1(B)/P(B)=0,8·0,9/0,91=0,79


Задача. Автомат штампует детали. Вероятность того, что за одну смену не будет изготовлено ни одной нестандартной детали, равна 0,9. Какова вероятность того, что будут стандартными все детали, изготовляемые за три смены?

Решение: Р(А)= 0,9 По теореме о вероятности независимых событий,

Р(В)= Р(А)·Р(А)·Р(А)= 0,9·0,9·0,9= 0,729

Задача. Радиостанция 1, 2,3 независимо одна от другой посылают по одной передаче радиостанции 4. Вероятности приема передачи радиостанцией 4 от станции 1, 2, 3 соответственно равны Р1=0,4, Р2=0,5, Р3=0,7. Найти вероятность того, что станцией 4 будет принята: а) только одна передача; б) хотя бы одна передача.

Рhello_html_m682ac218.gifhello_html_m682ac218.gifhello_html_m1ad00f9e.gifhello_html_m1ad00f9e.gifhello_html_m1ad00f9e.gifhello_html_m1ad00f9e.gifешение.: а) Вероятность того, что станцией и будет принята только одна передача: P(A)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3) +P(A1A2A3)=0,4·0,5·0,3+0,6·0,5·0,3+

+0,6·0,5·0,7=0,06+0,09+0,21=0,36

б) Прием передачи радиостанцией 4 от станции 1, 2, 3- взаимно независимые события. По теореме о вероятности осуществления хотя бы одного независимого события, вероятность того, что станцией 4 будет принята хотя бы одна передача:

P(A)=(1-P(A1))·(1-P(A2))·(1-P(A3))=

1-(1-0,4)·(1-0,5)·(1-0,7)=1-0,6·0,5·0,3=

=1-0,09=0,91




ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ.

Если производится n независимых испытаний, при каждом которых вероятность осуществления события А постоянна и равна Р, а затем противоположного события А равна q= 1- p, то вероятность Pn(m) того, что при этом событие А осуществляется ровно m, вычисляется по формуле Бернулли

Pn(m)=hello_html_m354ec6c6.gifpmqn-m

Задача. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,9. Чему равна вероятность того, что из 5 изготовленных на нем дeталей 3 будут нестандартными?

Решение: Воспользуемся формулой Бернулли для n=5, m=3, p=0,9, q= 0,1.

P3,5=hello_html_mbf28f76.gif·0,90,12=(4·5·0,729·0,01)/2=0,0729


Задачи для самопроверки.


    1. При проверке готовой продукции различают брак по форме и размерам. Вероятность брака по форме равна 0,05, по размерам- 0,01. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь будет бракованной и по форме и по размерам?

    2. В магазин поступает 30 % электроламп с одного завода и 70 %- с другого завода. Среди ламп, с первого завода 85 % стандартных, а со второго завода- 75 % стандартных. Какова вероятность того, что купленная электролампа будет стандартной?

    3. Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20-во втором, остальные- в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех- с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

    4. Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок за 6 часов работы несколько раз останавливается, и общая продолжительность остановок составляет 0,5 ч., причем остановки станков в любой момент времени одинаково вероятны. Найти вероятность, что в данный момент времени работает один станок.

    5. Рабочий обслуживает 50 станков. Вероятность того, что в течение смены станов потребует регулировки, равна 1/3. Что более вероятно:

а) регулировки потребуют 17 станков;

б) регулировки потребует 16 станков?



СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайной называют величину, которая в результате испытания может принять одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное.

Законом распределения случайной величины Х называют соответствие между ее значением х и вероятностью р появления этого значения.

Если х принимает отдельные числовые значения принадлежащие числовой оси, то случайная величина Х называется дискретной.

Если х принимает всевозможные значения принадлежащие интервалу (а, в) числовой оси, то она называется непрерывной.

Математическое ожидание: М(Х)= n· р

Дисперсия: Д(Х)= n· p· q

Среднее квадратичное отклонение:σ=hello_html_m147209bb.gif


Тренинг умений.

Задача. Найти математическое ожидание , дисперсию числа бракованных изделий в партии из 10000 изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,005.

Решение. Число бракованных изделий- это случайная величина Х, распределенная по биномиальному закону. Поэтому по формуле М(Х)= n ·р = 10000· 0,005= 50; Д(Х)= npq= 10000·0,005·0,995= 49,75 ;


Задачи для самопроверки.


    1. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в партии из 5000 изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,02.

    2. Из всей выпускаемой заводом продукции 98 % составляют изделия со знаком качества. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа изделий со знаком качества в партии из 5000 изделий.

    3. Имеются 4 лампы, каждая из которых с вероятностью 1/3 имеет дефект. При ввинчивании в патрон дефектная лампа сразу перегорает, и тогда ввинчивается следующая. Рассмотрите случайную величину Х- число ввинченных ламп. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

hello_html_6225df1e.png








ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЯМ.

1.1.Пусть а- первоначальная цена товара, тогда а- 0,2а= 0,8 а- цена товара после первого снижения цен, 0,8а- 0,15.0,8а= 0,68 а- после второго снижения и 0,68а- 0,1.0,68а= 0,612а- после третьего снижения.

В результате цена была снижена на а-0,612а= 0,388а единиц стоимости, что составляет 0,388а/a. 100%= 38,8 %

1.2. Будем измерять производительность труда заработной платой p за час работы. Заработная плата за 8-часовый рабочий день равно 8p. Пусть х- прирост производительности труда в долях от первоначальной. Тогда р + рх- новая заработная плата за час работы, и 7( р + рх)- новая заработная плата за 7-часовый рабочий день. Прирост заработной платы равен 7(р + рх)- 8р= (7х-1)р, что составляет 5 % (0,05 доли) первоначальной заработной платы 8 р. Поэтому

(7х- 1)р/8p= 0,05, x= 0,2, x= 20 %.

1.3. Пусть х- количество продукции, выпускаемый по плану за месяц. Тогда в январе было выпущено 1,05х продукции, а в феврале 1,05х + 0,04.1,05х. Всего за 2 месяца при плане 2х выпущено 2,142х продукции, что составляет 2,142х/2x.100%= 107,1 %

1.4.( 1 способ) Прежде всего узнаем, на сколько сократились затраты провода в метрах.

225-198= 27 (м).

Затем определим, сколько процентов составляют 27 м. от 225 м.

27/225= 0,12= 12%

Следовательно, расход провода после внедрения новой схемы монтажа сократился на 12 %.

(2 способ) Сначала определим, сколько процентов от 225 м. составляет 198 м.

198/225= 0,88= 88 %

Теперь можно узнать, на сколько процентов уменьшились затраты т.к. 225 м. составляют 100 %, а 198 м.- 88 %, то находим 100 %- 88 %= 12 %

2.3. Пусть первоначальная производительность труда первого рабочего была х деталей за смену, тогда второго рабочего- 72-х деталей за смену. После повышения производительности труда первый начал производить 1,15х деталей за смену, а второй 1,25 ( 72-х) деталей за смену. Так как при этом они произвели 86 деталей, то 1,15х+1,25(72-х)= 86, откуда находим х=40. Следовательно, после повышения производительности труда, первый рабочий начал производить 1,15х= 1,15.40= 46 деталей за смену, а второй рабочий 1,25( 72-х)= 1,25.32= 40 деталей за смену. То есть 46, 40.

2.5. Пусть в бригаде было n рабочих, тогда норма изготовленных деталей каждому рабочему за смену равна 7200/n деталей. При увеличенной норме до 7200/n + 400 деталей за смену на рабочего, с изготовлением 7200 деталей справились n- рабочих ( 3 рабочих болели), поэтому

(7200/n + 400)(n- 3)= 7200, n=9

2.6.( I R + 4 I R V) + IR)/2I

2.9. Пусть срок выполнения работы должен был быть равным t дням при изготовлении n деталей в день. Следовательно, t.n= 8000.

При ежедневном перевыполнении плана бригада изготавливала по n+50 деталей в день и изготовила все детали за t-8 дней, стало быть

(t-8)(n+50)= 8000

Мы получаем систему уравнений, которую легко преобразовать к виду:

thello_html_mb63e1a2.gifn= 8000

t n-8n + 50t-400= 8000, t= 40, n= 200

2.10. Пусть первый рабочий может выполнить работу за х часов, а второй- за у часов. Тогда скорость работы первого рабочего 1/x, а второго 1/y.

Через 3 часа после того, как первый рабочий приступил к работе, он выполнил 3/x работы, а второй 2/x работы, т.к. он приступил к работе на час позже. Вместе они выполнили 11/20 работы, поэтому 3/x + 2/y= 11/20.

Пусть до конца работы первый рабочий проработал t часов, тогда второй t- 1 час. И первый и второй рабочий, как оказалось, выполнил половину всей работы. Поэтому t/x= ½ u (t- 1)/y= 1/2

t = x/2 (x/2- 1)/y= ½

x-2= y

xhello_html_688dbd3b.gif-2= y

3/x + 2/y = 11/20, x= 10, y = 8

2.11. Пусть первый рабочий выполняет работу за х ч., второй за у часов. Тогда скорость работы за час для первого рабочего равна 1/x, а для второго 1/y.

За 2 часа первый рабочий выполнил 2/x работы, а второй за 5 часов выполнил 5/y работы, то 2/x+5/y= 1/2.

Проработав совместно еще 3 часа, они выполнили еще 3 (1/x+1/y) работы, что, как оказалось, на 0,05 меньше оставшейся половины работы. Поэтому 3/x+3/y= 9/20.

2hello_html_m44305148.gifhello_html_mb63e1a2.gif/x+5/y= 1/2 1/x=u, 1/y=v,

1/x+1/y=3/20, 2u+5v= 1/2

u+v= 3/20, u=1/12, v=1/15, x=12, y=15.

То есть первый рабочий может самостоятельно за 12 ч., а второй за 15 ч.

3.1. Эдс проводника e= 37,5 sin 250 t.

3.2. Для нахождения мгновенных значений токов и напряжений запишем их в показательной форме U=hello_html_m107d93da.gif·еjarctg 160/150=220 ej47 B и

J=hello_html_m18a4e976.gif еj arctg (-3/4=5e-j37A.

Амплитудные значения напряжения и тока Um=hello_html_1caef8ee.gifU=311B и Jm=7,1A

Так как начальные фазы ψu=47o и ψi=-37o , то окончательно получаем

i =7,1 sin (314t-37o)A и U=311 sin (314t+47o)B

Комплекс полного сопротивления равен отношению напряжения и тока:

Z=220ej47/5ej37=44j84Oм

4.2. I(t)= 6t+1, I(3)= 6·3+1= 19 (A).

4.3. а) t= hello_html_70fb3382.gif, b) t= 0

4.4. I= 12,22t- 0,8 (A).

4.5. Энергия, отдаваемая электрическим элементом, будет наибольшей, когда R=r.

4.6. W= (E2R)/(R+r)2

R=r=0,16 , Wmax =9,8 Вт.

5.1. Указание. Задача сводится к интегрированию уравнения L dI/dt + RI= V при начальном условии I(0)=0. I=V·(1-e-Rt/L)/R

5.2. Указание. Задача сводится к отысканию периодического решения уравнения

LdI/dt+ RI= V sin wt. I=V·sin(ωt-arctg ωl/R)/hello_html_2bd3dd72.gif

6.1. Q=hello_html_d9c6797.gif(2t+1)dt=t2+thello_html_m77118d72.gif=400+20=420КЛ

6.2. V=hello_html_m60843243.giff(t)dt, V=hello_html_m60843243.gif(-2,53t2+24,75t+111,1)dt=

=-2,53t3/3+24,75t2/2+111,1thello_html_m5e54106.gif=

=-105,42+206,25+555,5=656,33(ед)

6.3. Используем теорему о среднем значении интеграла, определим среднюю производительность рабочего μ=hello_html_m375e98ee.gifYdt/(b-a)=[ hello_html_599cbdc0.gif(0,1t2-t+17)dt]/8-0+[(0,1t3/3)-(t2/2)+17t)/8hello_html_m7bb1863c.gif=15,2единицы продукции в 1 час

7.1. hello_html_7b05249e.gif=10!/7!3!=(7!·8·9·10)/(7!·1·2·3)=120

Среди отобранных три женщины из четырех и четыре мужчины из шести. Таким образом, m=hello_html_6f116996.gif=4!/3!1!·6!/4!2!=60

Р=m/n= 60/ 120= 0,5

7.2. m=1, n= hello_html_1bea2a26.gif равно числу размещений из 8 по 5.

hello_html_1bea2a26.gif=8!/(8-5)!=(3!·4·5·6·7·8)/3!=6720, p=m/n=1/6720

7.3. Здесь число равновозможных независимых исходов есть n=hello_html_m3338622e.gif=(20·19·18·17·16)/(1·2·3·4·5)=15504

Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию В. Два бракованных изделия из четырех можно выбрать hello_html_7ef8c3ad.gif=(4·3)/(1·2)=6 способами, а три стандартных изделия из 16 можно выбрать hello_html_m3a2374eb.gif =(16·15·14)/(1·2·3) =560 способами. Каждая комбинация бракованных изделий может сочетаться с каждой комбинацией стандартных изделий, поэтому m= 560·6= 3360.

Следовательно Р(В)= 3360/15504= 0,2

7.4. Цифры на телефонном аппарате образуют множество А={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, n=10. Значит, вероятность того, что номер набран правильно Р(А)= 1/10.

а) Четные цифры на телефонном аппарате образуют множество В= {0,2,4,6,8}, n=5. Значит, Р(В)= 1/5.

7.5. Событие А- взятая наугад деталь будет бракованной и по форме и по размерам А= A1·A2 . По теореме о вероятности произведения независимых событий, Р(А)=P(A1P(A2) =0,05·0,01= 0,0005

7.6. А- купленная лампа будет стандартной;

А1 -лампа, поступившая с первого завода будет стандартной.

Вероятность P(A1)=0,85, P(A1)=0,15,

А2 –лампа, поступившая со второго завода, будет стандартной.

Вhello_html_m2fe76a9.gifhello_html_153d2c52.gifероятность P(A2)=0,75, P(A2)=0,25

Вhello_html_4b411f8b.gif магазин поступает 30 %= 0,3 ламп с первого завода и 70 %= 0,7- со второго завода, тогда, P(A)=0,3·0,15+0,7·0,25=0,22

Phello_html_m70fc4668.gif (A)=1-P(A)=1-0,22=0,78

7.7.P(H1)=18/50, P(H2)=20/50, P(H3)=12/50

P(A/H1)=0,9, P(A/H2)=0,6, P(A/H3)=0,9

По формуле полной вероятности находим искомую вероятность P(A)=P(H1P(A/H1)+P(H2P(A/H2)+P(H3P(A/H3)=

=(9·18)/(10·50)+(6·20)/(10·50)+

+(9·12)/(10·50)=39/50=0,78

7.8. Вероятность остановки одного станка 0,5 / 6=1/12, а вероятность того, что станок работает, 1- 1/12=11/12. Воспользуемся формулой Бернулли

Pm,n=hello_html_m354ec6c6.gifpmqn-mA1-работает один станок

P(A1)= hello_html_m2d4854a7.gif·11/12·(1/12)3=(4·11)/124=11/5184=0,0021

7.9. Вероятность одна и та же.

(hello_html_m741e0738.gif·(1/3)17·(2/3)33=hello_html_m3d675533.gif·(1/3)16·(2/3)34)

    1. М(Х)== 100, Д(Х)= 8

    2. М(Х)= 4900, Д(Х)= 98



1 2 3 4

2/3 2/9 2/27 1/27

М(Х)=40/27, D(X)=452/729










О Г Л А В Л Е Н И Е


Предисловие…………………………………………4

Введение……………………………………………..5

  1. Повторение. Проценты………………………6

  2. Функции, уравнения, неравенства и системы уравнений………..........................................................8

    1. Функции………………………………………8

    2. Уравнения……………………………………10

    3. Неравенства………………………………….12

    4. Системы уравнений…………………………13

  1. Тригонометрические функции…………….14

  2. Производная………………………………..15

  3. Дифференциальная функция………………17

  4. Интеграл…………………………………….19

  5. Элементы теории вероятностей……………21

Ответы и указания к решениям………………….26

28



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Краткое описание документа:

 Настоящее методическое пособие является методическим руководством для подготовки квалифицированных работников сельскохозяйственного профиля.

В сборник включены: краткий курс лекции, освещающий все вопросы, вынесенные на тематическое оценивание; тренинг умений; задачи и упражнения по алгебре и начала математического анализа; материалы, необходимые для подготовки и успешной сдачи тематического оценивания.

Цель сборника - научить учащихся  свободно владеть методикой решения задач по курсу «Алгебра и начала математического анализа» изучающей массовые явления в электротехнике.

Сборник предназначен для учащихся по специальности «Электромонтер по ремонту и обслуживанию устройств сигнализации, централизации и блокировки».

Автор
Дата добавления 28.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров836
Номер материала 547780
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх