ГБОУ СПО Тольяттинский машиностроительный колледж

Методическая разработка

урока математики

по теме

«Применение производной к исследованию функций и решению задач»

Подготовила:

Нарженкова Марина Анатольевна

преподаватель математики

г. Тольятти

Тема: Применение производной к исследованию функций и решению задач.

1)      Математика — наука молодых. Занятия математикой — это такая гимнастика ума, для которой нужна вся гибкость и вся выносливость молодости.

2)      Наши знания никогда не могут иметь конца именно потому, что предмет познания бесконечен.

Б. Паскаль

Тип урока: Беседа, самостоятельная работа.
Метод обучения: Диалогический (практический).
Виды педагогической технологии:

—   технология личностной ориентации учебного процесса;

—   технология развивающего обучения;

—   технология индивидуализации и интенсификации деятельности студента.

Ход урока

               I.    Организационный момент (5 мин);

            II.    Проверка усвояемости нахождения производной (тестирование) (10 мин);

         III.    Выступление студента с докладом о развитии теории функции (5 мин);

        IV.    Повторение:

а)     Повторение основных этапов исследования функции (10 мин);

б)    Отработка основных методов и способов исследования функций и построение графиков (10 мин);

в)     Работа по готовым таблицам (5 мин).

           V.    Применение производной к решению задач с профессиональным содержанием (10 мин);

        VI.    Связь математики со спецпредметами (выступление студентов) (5 мин);

     VII.    Самостоятельная работа студентов по технологической карте №2 (Д₃)

(по методу В.М. Монахова) (10 мин);

  VIII.    Занимательная страница (10 мин);

        IX.    Подведение итога урока (5 мин).

Задание на дом (5 мин).

Литература.

I. Организационный момент

1)    Количество присутствующих;

2)    Наличие учебно-письменных принадлежностей;

3)    Готовность к уроку.

II. Проверка усвояемости нахождения производной

Тесты

Вариант 1

1.      Найдите производную функции:

1)   

7)

8)

9)

2)   

12)

11)

10)

3)   

4)

1)

2)

4)   

3)

5)

6)

2.      Найдите производную в точке :

1)     ,

13)

7)

2)

2)     ,

1)

8)

13)

Ответ: НЬЮТОН

Вариант 2

1.      Найдите производную функции:

1)   

7)

14)

8)

2)   

2)

11)

15)

3)   

17)

10)

4)

4)   

3)

20)

5)

2.      Найдите производную в точке :

3)     ,

7)

16)

12)

4)     ,

18)

6)

5)

Ответ: ЕВКЛИД

III. Выступление студента с докладом о развитии теории функции

Начиная с 6 класса, строим графики функций по точкам. Вначале составляем таблицу значений, отмечаем эти точки на плоскости, соединяем и получаем график данной функции. Таким способом можно построить графики простейших функций. Графики более сложных функций таким образом построить невозможно. При этом приходится составлять большие таблицы значений функции и главное можно не заметить существенных особенностей функции и в итоге ошибиться при построение графика.

Для того чтобы избежать ошибок, надо научиться выявлять характеристические особенности функции, т.е. провести исследование. И вот с помощью производной это сделать проще и быстрее.

В развитии теории функций большой вклад внесли великие математики Н. И. Лобачевский. Ему принадлежит ряд весьма ценных работ по алгебре. Он раньше других дал точное определение одного из основных понятий — понятий функции; оно сформировано в такой безупречной форме, что мы фактически пользуемся до настоящего времени. Он первый установил различие между понятиями непрерывности и дифференцируемости функций. Выдающийся русский математик первая в мире женщина — профессор Софья Васильевна Ковалевская. Она внесла вклад в развитие теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (16 в.) также занимался в области теории дифференциального исчисления.

Первая его работа была напечатана в 1684 году и называлась «Метод максимумов и минимумов», потом чуть позже он публикует статью об интегральном исчислении. Впервые он установил связь между дифференциальным и интегральным исчислением.

Таким образом, развитием теории дифференциального исчисления мы пользуемся в настоящее время.

Производная применяется не только в математике, но и в физике (нахождение скорости и ускорения). Исследование с помощью производной находит применение в электротехнике в других областях науки.

IV. Повторение основных этапов исследования функции

а)        Применение технических средств: использование компьютера.

1.      Область определения функции:

2. Четность функции:

 — четная, симметричен графику относительно ;
 — нечетная, симметричен относительно начала координат.

Примеры:

3.      Точки пересечения с осями координат:

а) с осью : ; ; ;

б) с осью : ;

4. Знакопостоянства функции

;  и

;

Убывание и возрастание функции.

5.     Если на данном промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.
Если на данном промежутке, то функция убывает на этом промежутке.

6.     Точки экстремума:

, т. к. знак производной меняется с «+» на «–»;

, т.к. знак производной меняется с «–» на «+».

7.     Таблица и график.

б)         Отработка основных методов и способов исследования функций и

                                                  построение графиков

Исследовать и построить график функции: .

1. , т. к.  — многочлен.

2. Четность функции:

 — нечетная.

4.  при  и ;

 при  и .

5. Возрастание и убывание функции:

;

 при  и .

;

;

;

.

6. ; .

; .

 — точка перегиба .

7. Таблица:

График:

в)                                         Работа по готовым таблицам

Построить график:

V. Применение производной к решению задач с профессиональным содержанием

Задача № 1

Конденсатор имеет пластины прямоугольной формы. Периметр одной пластины 16 см. При каких размерах сторон пластины емкость конденсатора будет наибольшей?

Решение:

Пусть одна сторона равна  см, другая  см, тогда площадь равна: .

Емкость конденсатора прямо пропорциональна площади пластины, исследуем эту функцию с помощью производной на отрезке .

; .

Найдем знак производной в промежутках от  и .

В точке  функция достигает наибольшее значение, значит, при равных сторонах пластины площадь будет наибольшей. Следовательно, и емкость конденсатора будет наибольшей.
Ответ: 4 см; 4 см.

Задача № 2

Железный прямоугольный сердечник трансформатора тока погружен в цилиндрическую катушку с радиусом сечения  см. Найти размеры сторон сечения сердечника, при которых он наиболее полно заполняет внутреннюю область катушки.

VI. Связь математики со спецпредметами

Выступление студентов о применении производной на уроках спецпредмета.

а) Производная применяется на уроках электротехники.
Например:

, .

Эта мощность определяет скорость расхода электроэнергии за единицу времени.

Если исследовать и построить график этой функции можно сделать вывод:

В различные моменты времени выделяемая  мощность не равномерна она
максимальна при углах ;  и достигает минимальные значения при ; ;, т.е. график изменения мощности представляет верхнюю часть синусоиды с периодом. Еще применены исследования функции с помощью производной:

1) Асинхронный двигатель переменного тока;

2) Зависимость вращательного момента ротора от скольжения.

Исследования зависимости: устойчивых и неустойчивых режимов работы.

б) Знание математики нужно во многих предметах, не оворя уж о многих, если не во всех профессиях. Математика применяется в электротехнике, а значит в нашей специальности электромонтера по ремонту электрооборудования.

Законы и другие сведения, сообщаемые в ЭТ недостаточны для полного понимания электрических явлений. Кто хочет по настоящему владеть ЭТ и стать хорошим электромонтером, тот должен заниматься своим общим образованием. Не одна, даже самая простая задача из области ЭТ не может быть решена сколько-нибудь сознательно без серьезного и глубокого понимания ее законов и хорошего знания математики. Следовательно, если нет хороших знаний по математике, то и нет хороших знаний в области ЭТ. В любой области знаний измерение имеет исключительно большое значение, но особенно они важны в ЭТ. Например, мы видим форму проводника, его цвет, но наши органы чувств не позволяет оценить величину тока. Точно также мы совершенно равнодушны к магнитному полю. Наиболее сложным и ответственным является математическая и конструктивная сборка электрических машин. Каждый узел рассматривается как отдельная часть электрической машины. Каждой детали предъявляется свои требования. Сборка электрических машин требует больших усилий. Наиболее из распространенных электрических машин в повседневной жизни является электродвигатель. Сборщику электромонтеру необходимы обширные знания по математике и физике. Следует отметить, что неправильная сборка, какой либо детали электромашины может вывести ее из строя. Допущенная разработчиками ошибка, неверны расчет, некачественная сборка приводят к неисправностям электромашины. Следовательно, электромашину нужно собирать качественно.

Вывод: Знания математики необходимо каждому квалифицированному рабочему. Каким бы специалистом человек не был, как то электромонтером, модельщиком и т.д., он сталкивается с математикой, производит расчеты, измерения, вычисления, сравнения. Знание математики необходимы каждому человеку. В нашей профессии математика является источником различных вычислений и расчетов. ЭТ — это наука, которую нельзя показать, ее необходимо понять, в чем заключается ее трудность. Можно сказать, что математика и ЭТ в нашей будущей профессии неразделимы. Одна наука связана с другой.

Инструкция к технологической карте № 2 (Д3)

Тема: Производная. Применение производной.

1. Построить график функции по готовой таблице: .

Решение:

а)     Чтобы построить график данной функции надо отметить точку экстремума: .

б)    Так как  на промежутке , то на этом промежутке функция убывает; а  на промежутке , то она возрастает на этом промежутке.

в)     Отметить точку пересечения графика с осью: .

г)                  

д)    Отмечаем на координатной плоскости полученные точки  и соединяем их.

2. Построить график функции по готовой таблице.

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

Решение:

а) Найдем производную функции .

.

б) Найдем критические точки функции. Так как производная определена для любого , то ; ; ; .

в) Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках, которые входят в данный промежуток.

;

;

.

г) Среди найденных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее.

д) Наименьшее значение достигается в точке 2, а наибольшее — в точках 0 и 4.

Ответ:; .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

План решения

а)     Найдем производную функции.

;

б)    Найдем критические точки функции. Так как производная определена для любого , то ;

;

;

;     или    ;

;                    .

в)      вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке .

;

;

.

г)     Среди найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: ; .

3.   Задача: представьте число 12 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была положительной.

План решения

1)  Пусть  — первое слагаемое, .

2)   — второе слагаемое.

3)  Составим функцию: .

4)  Исследуем функцию с помощью производной на отрезке . ;

    при ;

                   ;

                   ;

;

;

.

          Наименьшее значение функция достигает внутри отрезка , т. е. при , следовательно, 12 надо представить в виде двух равных слагаемых, т. е. 6, при этом сумма их квадратов будет наименьшей.

Ответ: 6; 6.

4.   Исследовать функцию  и построить график.

План решения.

1.        Область определения ;

2.        Вычисляем четность функции:

 — четная;  — нечетная.

 — нечетная.

 — непериодическая.

3.   а) Точки пересечения графика с осью :

; ; ; ; .

б) Точку пересечения с осью :

; ; .

4. Знакопостоянство: ,  и ;

,  и .

5. Возрастание и убывание:

; ;

Критические точки:

Возрастает при  и , т. к. ;

убывает при , т. к. .

6. ; .

; .

7. Таблица и график:

;

.

Дополнительные материалы к технологической карте  № 2

Тема: «Производная. Применение производной».

D1 1. Найдите производные функций:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

2. Найдите значение производной в точке ; .

D2 1. Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой , если ; .

Напишите уравнение касательной к графику функции.

2. Точка движется прямолинейно по закону  (расстояние в метрах). Определите: а) скорость точки к концу 2-ого часа; б) ускорение движения.

D3 1. Исследуйте функцию и постройте график: .

2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

; .

3. Задача. Найдите положительное число, которое будучи сложенным с обратным ему числом, дает наименьшую сумму. Найдите эту сумму.

4. Из всех прямоугольных треугольников, сумма катетов которых равна 16 см, найдите катеты того, который имеет наибольшую площадь.

VIII. Занимательная страница

Предмет математики настолько серьезен,
что полезно не упускать случаев делать
его немного занимательным.
Б. Паскаль

Содержание:

1)     Сказка-вопрос;

2)     Викторина.

Сказка-вопрос

Собрались все функции на лесной поляне:

;

;

;

;

;

;

.

И стали обсуждать вопрос о выборе своей королевы. Долго спорили и никак не могли придти к единому мнению. И вот одна функция сказала: «Давайте отправимся все в царство функций. Кто первым придет, тот и будет королевой». Все согласились.

Рано утром отправились все в далекое путешествие. На пути путешественников повстречалась река, которая сказала «Переплывут меня только те, у кого область определения функции равна множеству всех действительных чисел». Часть функций осталась на берегу, остальные благополучно переплыли и отправились дальше. На пути встретилась высокая гора, которая сказала, что дает пройти только тем, у кого только одна критическая точка.

Несколько путешественников осталось у горы, остальные продолжили путь. Дошли до большого обрыва, где был узкий мост. Мост сказал, что пропустить только тех, у кого критическая точка является точкой максимума.

По мосту прошла только одна функция, которая первая добралась до царства функций и была провозглашена королевой.
Вопросы:

1)   Какие функции первые вышли из соревнования?

2)   Какая функция стала королевой?

Ответ:

Викторина

 Вопросы серии: «Ну-ка, смекни!»

1.     На руках десять пальцев. Сколько пальцев на десяти руках?

2.     На березе шестнадцать сучков, на каждом сучке по десять веток, на каждой
ветке по четыре яблока. Сколько яблок всего?

3.     Шел Кондрат в Ленинград, на встречу ему сорок ребят. У каждого из них по
корзинки, а в каждой корзине по четыре котенка. Сколько ребят и сколько
котят шли в Ленинград?

4.     Произведение каких трех чисел равно их сумме?

5.     Есть ли разница между числом и цифрой?

6.     Какой знак надо поставить между 2 и 3, чтобы получить число больше 2 и
меньше 3?

7.     Кирпич весит 1,5 кг. И еще полкирпича. Сколько весит 1 кирпич?

8.     За столом сидят два отца и два сына. Подали три яйца. Как они распределили их между собой?

9.     Хозяйка несла корзину яиц. Одно упало. Сколько осталось?

10.     Что больше: произведение или сумма десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

11. Что больше:  или ?

12. Четыре яблока, не разрезая их, нужно разделить между тремя приятелями так, чтобы никто из них не получил больше, чем остальные. Как это сделать?

13. Сколько будет трижды сорок и пять?

14. числа равняется его. Какое это число?

15. Который сейчас час, если оставшаяся часть суток вдвое больше прошедшей?

IX. Подведение итога урока:

1)    Комментирование оценок;

2)    Награждение студентов;

3)    Домашнее задание:

1)    Стр. 147 п. 24;

2)    Стр. 150 № 300 (в);

3)    Дополнительно — 302 (а).

Литература

1.     B. C. Крамов; Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа; — М.:  «Просвещение», 2000;

2.     В. Н. Монахов, В. Н. Любичева, Т. В. Малкова; Преподавание математики и экономическая подготовка учащихся техникумов; — М.:  «Высшая школа», 2004;

3.     Алгебра и начала анализа, под редакцией А. Н. Колмогорова; — М.:  «Просвещение», 2002;

4.     Ю. М. Колягин, Г. М. Яковлем; Математика; — М.: «Новая Волна», 2005;

5.     И. Л. Соловейчик; Сборник задач по математике для техникума; —М.: «Оникс 21 век».