методическая разработка элективного курса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Средние величины и соотношения между ними»

 

 

Методическая разработка

элективного курса  для 9 класса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                      Рагина Нина Ивановна-учитель

                                                          математики МБОУ СОШ №2

 

                                                                                             

 

 

 

 

 

 

План:

 

 

1.Средние величины, их сущность и значение. Историческая справка

 

2.Определение средних величин

 

3.Доказательство теорем, связанных со средними величинами

 

4. Геометрическая интерпретация связи средних величин

 

5.Применение средних величин при решении некоторых

    геометрических и алгебраических задач 

       

6.Средние величины, используемые в математической статистике и  

    экономике

 

 

 

 

                                                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Средние величины, их сущность и значение. Историческая справка

Понятие средней величины знакомо каждому из нас, так как они имеют большое значение   в повседневной жизни. С помощью среднего можно, например, определить:

а) среднее потребление витаминов в течение года;

б) средний возраст учителей в школе;

в) средний процент качества знаний и т.д.

В экономике средние – это важнейшие показатели товарооборота, запасов, цен, прибыли, рентабельности и других показателей работы отраслей народного хозяйства.

   Почему средние так прочно вошли в нашу жизнь?  Потому что ,средняя – это один из приемов обобщений. Важность средних величин для науки и экономики отмечалась в работах многих ученых. Весьма широко применял средние и относительные величины английский ученый Кинг (1648-1712) при анализе данных населения Англии (средний доход на семью, средний подушевой доход и др.) Не обошлось и без курьезов. Так английский ученый Петти (1623-1673)  предлагал использовать в качестве меры стоимости – затраты на среднее дневное пропитание одного взрослого работника. И его не смущала абстрактность средней, то, что данные конкретного человека могут с ней не совпадать. В качестве еще одного яркого примера приведу рассказ Г. Успенского «Живые цифры». Там средний доход определялся сложением 1 млн. рублей миллионера Колотушкина и 1 гроша просвирни Кукушкиной и получалось, что он составлял 0,5 млн. рублей. Есть еще теория среднего человека» - это идеал человека, но в природе такого человека не существует.

Хотя средние – это обобщающие показатели, но они не всегда типичны и верны. Таким образом, средняя величина может быть как почти объективна, так и фиктивна, если она не рассчитана по однородной совокупности и теряет всякий смысл.

Школьникам средние знакомы как числовые величины. О них было известно еще более 2000 лет назад. Именно тогда стало известно неравенство, содержащееся в десятой книге «Начал» Евклида и гласящее: Среднее геометрическое двух неотрицательных чисел не больше среднего арифметического этих чисел. Доказательство основывалось на фундаментальном неравенстве, которое выражает неотрицательность квадрата любого числа

(l-m)²≥0( если(l-m)²=0 , то l=m);

l²+m²≥2lm, ≥lm;  l²=a, m²=b, значит, ≥

Обобщив для 3,4,…,п неотрицательных чисел Огюстен Луи Коши в 1821 году доказал, что ;

Классическое доказательство основано на методе математической индукции

 

2.Определение средних величин

 

 

Общее определение средней величины:

Средней величиной действительных чисел называют число х, удовлетворяющее условию m < x < M, где

m– наименьшее среди этих чисел,

M – наибольшее.

Средняя одна, если эти числа равны.

Наиболее знакомы в школьной математике следующие средние величины:

Среднее- арифметическое:

Средним арифметическим действительных чисел  а₁ ,а₂,…а_п ; (п2) называется действительное число А=А(а₁ ,а₂,…а_п)=

Пример:

Среднее геометрическое:

Средним геометрическим действительных неотрицательных  чисел  

а₁ ,а₂,…а_п ; (п2)называют действительное неотрицательное число

G = G(а₁ ,а₂,…а_п)=  ;

 Если a₁=a₂=…=a_n ,то G=a

 

Пример:   ;

 

Для двух положительных чисел равенство двух отношений  a:d=c:b, называют геометрической пропорцией, а числа с и d – средними членами пропорции.

Если с = d = х, то а : х = х : в;    х²=ав;   х = √ав – среднее геометрическое (или среднее пропорциональное) положительных чисел а и в.

Если а = в, то х = а.

С помощью G(а; в), где а›0, в›0  можно определить:

а) длину высоты прямоугольного треугольника, опущенную из вершины прямого угла на гипотенузу;

б) по заданному отрезку строить отрезки длины √а и др.

Между средним арифметическим и средним геометрическим есть замечательное соотношение - неравенство Коши, о котором упоминалось выше. Однако, наиболее знакомо неравенство Коши для п=2 (реже п=3).

В школьном курсе математики среднее арифметическое и среднее геометрическое встречаются довольно часто, например:

а) каждый член (кроме первого и последнего) арифметической прогрессии является средним арифметическим равноотстоящих от него членов прогрессии;

б) каждый член (кроме первого и последнего) геометрической прогрессии является средним геометрическим равноотстоящих от него членов прогрессии;

в) свойство средней линии трапеции;

г) свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу из вершины прямого угла.

Учителю на уроке желательно проиллюстрировать примеры и заодно повторить теорию.

Гораздо меньше известны в школьном курсе математики такие средние как среднее гармоническое и среднее квадратическое (квадратичное).

Средним гармоническим действительных положительных  чисел

а₁ ,а₂,…а_п ; (п2) называют число Н = Н(а₁ ,а₂,…а_п) = ;

Пример:;

 

Средним квадратичным действительных  чисел а₁ ,а₂,…а_п ; (п2) называют число Q = Q(а₁ ,а₂,…а_п) = .

 

Пример: Q = ;

 

Эти 2 средние присутствуют в школьном курсе как бы анонимно и даже, когда мы в задачах их явно используем, то чаще всего не называем. Однако, в учебнике алгебры за 8 класс под редакцией М.И Башмакова эти средние рассматриваются достаточно подробно на физических и геометрических задачах (беседа «Продолжим изучение средних величин» стр. 116-117)

Примеры:

1) Определить среднюю скорость туриста на всем пути, если он из пункта А

     до пункта В шел со скоростью V₁ км/ч, а обратно со скоростью V₂ км/ч.

Решение:

Пусть S – расстояние между А и В. V_cр=  ;

Т.е. V_ср = Н- среднее гармоническое.

 

2) Определить общее сопротивление R параллельно соединенных проводников, если их сопротивления R₁ и R_2.

Решение:

;  ;

 

 

Желательно дать учащимся два вида записи среднего гармонического, в частности при п=2:

;

 

 

3) Построить по заданным отрезкам а и в отрезок длины ;

4) Доказать, что в последовательности 1,1/2,1/3, …,1/п,  (п3) каждый член, кроме первого и последнего является средним гармоническим соседних с ним членов.

Решение: рассмотрим последовательность (а_п), где а₁=1, а₂=1/2, …,а_п=1/п, надо показать, что а_к= Н(а_к-1;а_к+1)= 1/к .

Н(1/к-1;1/к+1) =  .

Последовательность 1,1/2,1/3, …,1/п,  (п3) – пример гармонической последовательности ( каждый член,  кроме первого и последнего – среднее гармоническое равноотстоящих от него членов).

 

3.Доказательство теорем, связанных со средними величинами

 

 

   В каком же соотношении находятся все средние величины?

Сравнивая результаты примеров, получаем:

 А (3,4,9,12) = 7

 G (3,4,9,12) = 6

 Н (3,4,9,12) =

 Q (3,4,9,12) = 2,5

На основании числовых примеров выдвигаем гипотезу, что Н  G  A  Q

Желательно, чтобы учащиеся сами сформулировали теорему для любых 

положительных  чисел а и в:

Теорема 1:

 Для любых  положительных  чисел а и в справедливы следующие соотношения:

min {а,в} Н(а.в) G(а,в)  А(а,в) Q(а,в) max(а,в),

где max(а,в) – наибольшее из чисел а и в,

     min {а,в}- наименьшее  из чисел а и в.

 

Доказательство:

1. Обоснование крайних соотношений достигается методом оценок  заменить оба числа а и в соответственно на меньшее, точнее, на не большее) и на большее ( на не меньшее) в выражениях для среднего гармонического и среднего квадратического, а соотношение G(а,в) А(а,в) уже было доказано.

 

 

2. Докажем, что Н(а.в) G(а,в), т.е что ;

Для чисел   применим неравенство Коши:

;  по свойству числовых неравенств а ›0, в ›0 и а ≥ в, то

1/а 1/в, значит, .

3. Докажем, что А(а,в) Q(а,в), т.е .

Перейдя к равносильному неравенству (а  + в)²  2(а²+ в²) и используя частный случай неравенства Коши - Буняковского:

(1а+1в) ²  ((а²+в²)(1²+1²), значит, .

Теперь можно предложить ученикам сформулировать теорему для п положительных чисел:

Теорема 2: Для любого числа положительных чисел а₁ ,а₂,…а_п ; (п2)веры следующие соотношения: 

min { а₁ ,а₂,…а_п ; } Н(а₁ ,а₂,…а_п ; ) G(а₁ ,а₂,…а_п ;)  А(а₁ ,а₂,…а_п ;) Q(а₁ ,а₂,…а_п ;) max {а₁ ,а₂,…а_п ; }

 

Доказательство аналогично случаю для двух чисел .

 

Применение теоремы можно рассмотреть на примерах.

 

1.Докажите, что для любых положительных чисел а, в, с справедливо неравенство:

 

Доказательство:

Используя теорему 2: Н  А

 

Имеем:   ; отсюда .

 

 

 

 

 

2.Доказать, что для любых положительных а и в , а≠в и nєN справедливо:

;

 

Доказательство:

;

 3.  Доказать, что последовательности (1+1/п)^п и (1-1/п)^п- возрастающие, а последовательность (1+1/п)^п+1 – убывающая.

Доказательство:

а) пусть а=1, в=1+1/п,  тогда  ( доказано выше),

, т.е (1+1/п)^п < (1+1/(п+1))^п+1, значит, последовательность (1+1/п)^п  возрастает (по определению);

б) аналогично доказывается, что последовательность(1-1/п)^п-возрастающая,

(можно предложить учащимся доказать самостоятельно);

в) .

Последовательность а_п=возрастает, значит, последовательность 1/а_п – убывает.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Геометрическая интерпретация связи средних величин

 

 

Геометрическая интерпретация неравенств, связывающих средние величины, очень важна. Достаточно показать ее для двух положительных чисел на примере трапеции.

Рассмотрим произвольную трапецию MNPK с основаниями а и в.

                                                                   Проведем прямые, параллельные 

                                                                  основаниям трапеции так, что

                                                                1) Прямая НН ₁ проходит через точку 

                                                                    пересечения диагоналей трапеции,

   2) Прямая GG₁ делит трапецию на две подобных трапеции,

   3)   Прямая АА₁ проходит через  середины боковых сторон трапеции,

   4) Прямая НН ₁ делит трапецию на две равновеликие трапеции.

1)

a) Пусть  НН ₁=х.

  Треугольники MNK и HNO подобны (ученики самостоятельно доказывают)

MK:HO = NK:NO = b : HO ;

(NO+OK):NO =1+(из подобия треугольниковNOP и KOM)

Отсюда: MK:HO = ( a+ b) : a; HO=;

б)  Треугольники OH₁K и NPK подобны,

   значит, HP: OH₁ =(NO+OK):OK,

  NP: OH₁= ON:OK +1; т.е a: OH₁ = ;

в) OH+OH₁ = = H(a; b)        НН ₁ = H(a; b) 

 

2) Пусть GG₁= х

    Из подобия трапеций GNPG_! и MG G_!K:

   а : x =  x : b;  отсюда, х =      GG_{1 =} G(a; b)  

 

3)  АА₁ – средняя линия трапеции по определению, АА₁=, АА₁=А(a;b)  

 

4) Пусть QQ₁= х, по условию:

      (1) , с другой стороны,

 (2).    Имеем:  ;

b²-x²=x²-a²,  х²=; т.е  QQ₁=Q(a; b)

Таким образом, мы доказали, что в трапеции есть все вышеупомянутые средние. Осталось доказать что,

.

 

Можно привести такое доказательство:   

a)  NH:HM = a: b, a <b; ;

     NG:GM=a: GG₁= ; 1›  › , т.к <1, значит, НН ₁ GG₁,

 

б)    GG₁<АА_1, т.к  АА₁=1 , т.о НН ₁ GG₁  АА₁,

 

в) NQ:QM= h₁:h₂=, т.о

 

 НН ₁ GG₁  АА₁  QQ₁, т.е   .  (ч. т. д )

 

Равенство будет, когда а = b, тогда фигура- параллелограмм и доказательство неинтересно, но можно задать ученикам вопрос: какая фигура будет в случае равенства а и b.

 

Вторая интерпретация теоремы 1 связана с прямоугольным треугольником. Целесообразно привести и ее, с целью повторить геометрию и показать красоту математических заключений.

       

1. Возьмем полуокружность с центром в точке О и диаметром ВС.

2. Проведем О Д ВС.

3.  На продолжении ВС возьмем точку А произвольно и проведем АЕ – касательную к окружности.

4. Проведем ЕF BC/

5. Пусть АВ=а₁, АС=а₂, (а₁ а₂),  тогда АО = (ВС= а₁ - а₂,

  ОС = ½( а₁  -а₂), ОА = а₂-½( а₁  -а₂) =

6. Из треугольника ОЕА: АЕ = 

7. Из треугольника ОДА: АД =

8. AF=AE²/OA,  AF=.

Таким образом, АЕ - среднее геометрическое полож. чисел а₁   и а₂

                           АО - Среднее- арифметическое полож. чисел а₁   и а₂

                          АД - Среднее квадратичное полож. чисел а₁   и а₂

                         АF - среднее гармоническое полож. чисел а₁   и а₂

Предложить учащимся самим доказать (исходя из чертежа), что

AF<AE<OA<AD, а равенство при ?.

Замечание: Средним геометрическим двух положительных чисел является также среднее геометрическое между их средним арифметическим и средним гармоническим.                  (Предложить сам-но в этом убедиться).

 

5.Применение средних величин при решении некоторых

    геометрических и алгебраических задач 

 

Есть много интересных геометрических интерпретаций  частных случаев теоремы 1.                                 

Пример 1.

 a²/2 +b²/2 ≥ ab  ( и далее ) 

 

Пример 2.

 

Можно предложить задачи:

1)  Окружности диаметров а и в касаются внешним образом. Доказать, что отрезок их общей внешней касательной, заключенный между точками касания,  равен среднему геометрическому их диаметров.

 

2.  Окружности диаметров а и в не имеют общих точек, а отрезок их общей внешней касательной, заключенный между точками, равен среднему арифметическому диаметров. Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно среднему гармоническому диаметров.

 

3). Подумайте, как с помощью рисунка к задаче 1 доказать, что

Н(а; в) G(а; в)                        

( найти расстояние от точки касания окружностей до внешней касательной, а треугольник с вершинами в трех точках касания – прямоугольный).

 

 

Пример3. Неравенство Коши и объемы.

 

Ниже пример доказательства неравенства Коши применительно для трех положительных чисел, которое приведено в журнале « Квант», кроме этого еще некоторые задачи и упражнения, опубликованные в 1975-2000г в этом же журнале.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применение средних величин при решении уравнений, неравенств и других задач.

 

1) Решить уравнение:

.

 

Решение:

Применим неравенство Коши к левой части уравнения:

 

 (1)

    

Сложив (1) и (2):  ;

Таким образом, х²-х+2х+1; (х-1)²0;  х=1  Ответ: х=1.

 

2) Решить уравнение:

;о.о.у:

 

Решение:

Подстановка:

Уравнение принимает вид: ;

Применим н. Коши: ; значит, слагаемые равны (т.к неравенство обратилось в равенство)

; у≥0;  у+3›0

 

3-у=; 4(3-у)²=1/4;  3-у=1/2;     1) у=5/22, , х =/2

                                                                  2) у=7/2,  х²=-13/4- корней нет.

                                                                     Ответ:  х =/2

3) Решить уравнение:

 

2х⁴+2у⁴ = 4ху – 1.  (*)

 

Решение:

Применяя н. Коши: 2х⁴+2у⁴≥2, 2х⁴+2у⁴≥4х²у²,  (2ху-1)²0,

                                                                                              xy =1/2,  у =1/2х.

Подставляя в уравнение (*) и решив его, получим:

4)   Решить уравнение:

х²+6х+11.

 

Решение:

Применяя н. Коши: ,

                                  ,

Сложим обе части неравенств и получим, что 2.

а   х²+6х+11=(х-3)²+2 ≥2 ,

Значит, уравнение имеет решение только тогда, когда его левая и правая части равны 2. Легко заметить, что х=3.

 

5) Доказать, что log₁₇19>log₁₉20.

 

Доказательство:

Докажем, что log₁₉20·log₁₉17<1.

По н. Коши log₁₉20·log₁₉17

Т.е  log₁₇19>log₁₉20.  

 

6) Решить неравенство: ((sin² ( x+ y )+ 2 sin(x + y)+2)log₂ (3^x+3^-x) 1.

 

Решение:

Перепишем неравенство: (sin(x + y)+1)²+1≥1,  3^x+3^-x ≥ 2 (н. Коши), значит, 

log₂ (3^x+3^-x) ≥1.

Таким образом, неравенство имеет решение только в случае равенства:

((sin² ( x+ y )+ 2 sin(x + y)+2)log₂ (3^x+3^-x) = 1, значит,

         .sin(x + y)=-1,   а    3^х = 1.

 

                                                                    Ответ:(0; -П/2+Пк; к є Z).

 

7) При каких х функция f(x)=(1+2х)⁴(1-2х)достигает

 на отрезке[0; 1/2]наибольшего значения?

 

Решение:

f(x)=¼·(1+2х) (1+2х) (1+2х) (1+2х)(4-8х),

Найдем среднее арифметическое :

((1+2х)+ (1+2х)+ (1+2х)+ (1+2х)+ (4-8х))=,

f(x) , значит,

 f(x) достигает своего наибольшего значения, когда(1+2х)= (4-8х),  х = 0,3

 

8) Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=.

Решение:

 

Записать =и применить н. Коши для знаменателя этой дроби.

                                                    Ответ: наименьшее значение f(x) равно 0

                                                                    наибольшее значение (x )равно ½.

 

Предложить ученикам решить самостоятельно или на усмотрение учителя такие задачи:

а)Найти  наименьшее значение f(x)=; где х - положительное число;

б) Найти наибольшее значение f(x)=на отрезке [-2;2].

 

 9)Доказать, что если А+В+С= π, то ( sin)^-1 + (  sin)^-1 + (sin)^-1 1

 

При доказательстве воспользоваться неравенством Коши для левой части, а произведение sin sin sin преобразовать и записать как

и т. д.

Аналогичные задания можно дать домой, например:

 

а) если А+В+С= π, то 8cosA cosB cosC1;

 

б) если А+В+С= π, то tg²A+ tg²B+ tg²C ≥ 9.

 

Очень хороша задача прикладного характера про дешевый ящик:

 

2 стенки ящика, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда и объем 1м³, изготавливаются из одного материала , 4 другие из материала, который в 8 раз дешевле.

При каких размерах x, y, z ящика стоимость материалов, нужных для его изготовления, минимальна ?

 

Решение:

1) по условию xyz = 1;

2) пусть стоимость второго материала р рублей;

3) возможны случаи: а) стенки смежные,

                                     б) стенки не смежные.

а) пусть стенки смежные

и стоимость 1м³ второго материала – Р рублей, тогда стоимость всего материала , необходимого для изготовления ящика:

 S₁ = 8p( xy + yz) + p( xy + yz + 2xz) = pxyz (9/z + 9/x +2/y) = p ((9/z + 9/x 2/y).

 

б) пусть стенки не смежные, тогда стоимость всего материала , необходимого для изготовления ящика:

S₂ = 8p2xy + p( 2xz + 2yz)=2pxyz( 8/z + 1/y + 1/x) = 2p( 8/z + 1/y + 1/x).

 

Применим н. Коши:

(9/z + 9/x +2/y) ≥  3,       S₁ ≥ 9 p ; 

 

( 8/z + 1/y + 1/x) ≥ 3= 6,           S₂ ≥ 12p,

 Но  9 p ≥ 12p, значит, стоимость S₂ будет  минимальна тогда и только тогда, когда будет минимальна сумма ( 8/z + 1/y + 1/x), а это будет, когда в неравенстве Коши будет равенство, т.  е:

 8/z = 1/y = 1/x, учитывая, что xyz=1, получаем: x=0,5; y=0,5; z=4.

 

Ответ: стоимость всего материала , необходимого для изготовления ящика минимальна, если его стенки имеют форму квадрата со стороной 0,5м, а расстояние между ними равно 4м.

 

 На усмотрение учителя число примеров на применение средних величин(в основном, неравенства Коши) можно увеличить или уменьшить.

 

 

В математике существуют и другие средние величины, например, среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое.

Есть способ введения понятия средней величины с помощью так называемого предельного перехода. Его суть – определить среднюю величину нового вида как предел последовательности, члены которой формируются с помощью уже введенных и изученных средних величин.

 

 

   Пусть а>в, а>0, в>0, тогда образуем две последовательности:

 

которые обладают следующими свойствами:

А) (а_п)- убывающая и ограниченная снизу,

Б) (в_п)-возрастающая и ограничена сверху

В) обе последовательности сходятся к конечным пределам и они совпадают.

 

Определение:

Общий предел последовательностей (а_п) и (в_п) называют средним арифметико-геометрическим чисел а и в.

 

Если повторить такое построение, но среднее геометрическое заменить на среднее гармоническое, то получим (а_п ) и (в_п), обладающие свойствами А-В, но общий предел равен , то это арифметико-гармоническое.

 

Есть еще симметрические средние величины, но их определение достаточно сложно для учеников и учитель должен сам решить давать в конкретном классе эти величины подробно или нет.

 

 

6.Средние величины, используемые в математической статистике и экономике

 

       В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеются особенности изучаемых явлений, и поэтому для их решения требуются различные сведения, которые получают, применяя средние величины.

    Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется в статистике общей средней. Средние, вычисленные для каждой группы, называются групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, а групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Например, статистическое изучение рождаемости и среднего количества детей в семье на территории бывшего СССР проводилось по регионам. Традиционно более высокая рождаемость была в Средней Азии и Закавказье по сравнению с центральными районами России. Среднее количество детей в семье, исчисленное по каждому региону – это групповые средние, а соответственно исчисленной по всей территории СССР – это общая средняя.                                      Сравнительный анализ групповых и общих средних используется для характеристики социально-экономических типов изучаемого общественного явления.

   Существуют две категории средних величин:

1. Степенные средние.

К ним относятся:

Средняя  арифметическая

Средняя гармоническая

Средняя геометрическая

2. Структурные средние:

Мода

Медиана.

Выбор того или иного вида средней производится в зависимости от целей исследования, экономической сущности усредняемого характера имеющихся исходных данных.

Если учитель захочет дать более подробно материал по этой теме, то

источников достаточно.