Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическая разработка элективного курса
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка элективного курса

библиотека
материалов










«Средние величины и соотношения между ними»



Методическая разработка

элективного курса для 9 класса













Рагина Нина Ивановна-учитель

математики МБОУ СОШ №2








План:



1.Средние величины, их сущность и значение. Историческая справка


2.Определение средних величин

3.Доказательство теорем, связанных со средними величинами


4. Геометрическая интерпретация связи средних величин


5.Применение средних величин при решении некоторых

геометрических и алгебраических задач

6.Средние величины, используемые в математической статистике и

экономике






















1.Средние величины, их сущность и значение. Историческая справка

Понятие средней величины знакомо каждому из нас, так как они имеют большое значение в повседневной жизни. С помощью среднего можно, например, определить:

а) среднее потребление витаминов в течение года;

б) средний возраст учителей в школе;

в) средний процент качества знаний и т.д.

В экономике средние – это важнейшие показатели товарооборота, запасов, цен, прибыли, рентабельности и других показателей работы отраслей народного хозяйства.

Почему средние так прочно вошли в нашу жизнь? Потому что ,средняя – это один из приемов обобщений. Важность средних величин для науки и экономики отмечалась в работах многих ученых. Весьма широко применял средние и относительные величины английский ученый Кинг (1648-1712) при анализе данных населения Англии (средний доход на семью, средний подушевой доход и др.) Не обошлось и без курьезов. Так английский ученый Петти (1623-1673) предлагал использовать в качестве меры стоимости – затраты на среднее дневное пропитание одного взрослого работника. И его не смущала абстрактность средней, то, что данные конкретного человека могут с ней не совпадать. В качестве еще одного яркого примера приведу рассказ Г. Успенского «Живые цифры». Там средний доход определялся сложением 1 млн. рублей миллионера Колотушкина и 1 гроша просвирни Кукушкиной и получалось, что он составлял 0,5 млн. рублей. Есть еще теория среднего человека» - это идеал человека, но в природе такого человека не существует.

Хотя средние – это обобщающие показатели, но они не всегда типичны и верны. Таким образом, средняя величина может быть как почти объективна, так и фиктивна, если она не рассчитана по однородной совокупности и теряет всякий смысл.

Школьникам средние знакомы как числовые величины. О них было известно еще более 2000 лет назад. Именно тогда стало известно неравенство, содержащееся в десятой книге «Начал» Евклида и гласящее: Среднее геометрическое двух неотрицательных чисел не больше среднего арифметического этих чисел. Доказательство основывалось на фундаментальном неравенстве, которое выражает неотрицательность квадрата любого числа

(l-m)20( если(l-m)2=0 , то l=m);

l2+m22lm, hello_html_6056161c.giflm; l2=a, m2=b, значит, hello_html_9cc1001.gifhello_html_m70d4a4d0.gif

Обобщив для 3,4,…,п неотрицательных чисел Огюстен Луи Коши в 1821 году доказал, что hello_html_m5bcf477f.gif;

Классическое доказательство основано на методе математической индукции


2.Определение средних величин



Общее определение средней величины:

Средней величиной действительных чисел называют число х, удовлетворяющее условию m < x < M, где

m– наименьшее среди этих чисел,

M – наибольшее.

Средняя одна, если эти числа равны.

Наиболее знакомы в школьной математике следующие средние величины:

Среднее- арифметическое:

Средним арифметическим действительных чисел а1 2,…ап ; (пhello_html_m78774d40.gif2) называется действительное число А=А(а1 2,…ап)= hello_html_m6c382c9d.gif

Пример: hello_html_6b9d711c.gif

Среднее геометрическое:

Средним геометрическим действительных неотрицательных чисел

а1 2,…ап ; (пhello_html_m78774d40.gif2)называют действительное неотрицательное число

G = G1 2,…ап)= hello_html_m4c99a764.gif;

Если a1=a2=…=an ,то G=a


Пример: hello_html_m3b1084e5.gif;


Для двух положительных чисел равенство двух отношений hello_html_m53d4ecad.gif a:d=c:b, называют геометрической пропорцией, а числа с и d – средними членами пропорции.

Если с = d = х, то а : х = х : в; х2=ав; х = ав – среднее геометрическое (или среднее пропорциональное) положительных чисел а и в.

Если а = в, то х = а.

С помощью G(а; в), где а0, в0 можно определить:

а) длину высоты прямоугольного треугольника, опущенную из вершины прямого угла на гипотенузу;

б) по заданному отрезку строить отрезки длины а и др.

Между средним арифметическим и средним геометрическим есть замечательное соотношение - неравенство Коши, о котором упоминалось выше. Однако, наиболее знакомо неравенство Коши для п=2 (реже п=3).

В школьном курсе математики среднее арифметическое и среднее геометрическое встречаются довольно часто, например:

а) каждый член (кроме первого и последнего) арифметической прогрессии является средним арифметическим равноотстоящих от него членов прогрессии;

б) каждый член (кроме первого и последнего) геометрической прогрессии является средним геометрическим равноотстоящих от него членов прогрессии;

в) свойство средней линии трапеции;

г) свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу из вершины прямого угла.

Учителю на уроке желательно проиллюстрировать примеры и заодно повторить теорию.

Гораздо меньше известны в школьном курсе математики такие средние как среднее гармоническое и среднее квадратическое (квадратичное).

Средним гармоническим действительных положительных чисел

а1 2,…ап ; (пhello_html_m78774d40.gif2) называют число Н = Н(а1 2,…ап) = hello_html_m2cff2831.gif;

Пример:hello_html_39dde6b.gif;


Средним квадратичным действительных чисел а1 2,…ап ; (пhello_html_m78774d40.gif2) называют число Q = Q1 2,…ап) = hello_html_1391b6dd.gif.


Пример: Q = hello_html_m65d13e2.gif;


Эти 2 средние присутствуют в школьном курсе как бы анонимно и даже, когда мы в задачах их явно используем, то чаще всего не называем. Однако, в учебнике алгебры за 8 класс под редакцией М.И Башмакова эти средние рассматриваются достаточно подробно на физических и геометрических задачах (беседа «Продолжим изучение средних величин» стр. 116-117)

Примеры:

1) Определить среднюю скорость туриста на всем пути, если он из пункта А

до пункта В шел со скоростью V1 км/ч, а обратно со скоростью V2 км/ч.

Решение:

Пусть S – расстояние между А и В. Vcр= hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m6296d392.gif;

Т.е. Vср = Нhello_html_32672bdd.gif- среднее гармоническое.


2) Определить общее сопротивление R параллельно соединенных проводников, если их сопротивления R1 и R2.

Решение:

hello_html_m2d148e53.gif; hello_html_m2ff73032.gif;



Желательно дать учащимся два вида записи среднего гармонического, в частности при п=2:

hello_html_4166961b.gif;hello_html_m53d4ecad.gif


3) Построить по заданным отрезкам а и в отрезок длины hello_html_4662bb67.gif;

4) Доказать, что в последовательности 1,1/2,1/3, …,1/п, (пhello_html_m78774d40.gif3) каждый член, кроме первого и последнего является средним гармоническим соседних с ним членов.

Решение: рассмотрим последовательность п), где а1=1, а2=1/2, …,ап=1/п, надо показать, что ак= Н(ак-1;ак+1)= 1/к .

Н(1/к-1;1/к+1) = hello_html_m5b24d1b7.gif .

Последовательность 1,1/2,1/3, …,1/п, (пhello_html_m78774d40.gif3) – пример гармонической последовательности ( каждый член, кроме первого и последнего – среднее гармоническое равноотстоящих от него членов).


3.Доказательство теорем, связанных со средними величинами



В каком же соотношении находятся все средние величины?

Сравнивая результаты примеров, получаем:

А (3,4,9,12) = 7

G (3,4,9,12) = 6

Н (3,4,9,12) = hello_html_m262b6d07.gif

Q (3,4,9,12) = 2,5hello_html_7056ef2f.gif

На основании числовых примеров выдвигаем гипотезу, что Н hello_html_m7ceebba.gifG hello_html_m7ceebba.gif A hello_html_m7ceebba.gif Q

Желательно, чтобы учащиеся сами сформулировали теорему для любых

положительных чисел а и в:

Теорема 1:

Для любых положительных чисел а и в справедливы следующие соотношения:

min {а,в}hello_html_m7ceebba.gif Н(а.в) hello_html_m7ceebba.gifG(а,в) hello_html_m7ceebba.gif А(а,в) hello_html_m7ceebba.gifQ(а,в) hello_html_m7ceebba.gifmax(а,в),

где max(а,в) – наибольшее из чисел а и в,

min {а,в}- наименьшее из чисел а и в.


Доказательство:

1. Обоснование крайних соотношений достигается методом оценок заменить оба числа а и в соответственно на меньшее, точнее, на не большее) и на большее ( на не меньшее) в выражениях для среднего гармонического и среднего квадратического, а соотношение G(а,в) hello_html_m7ceebba.gifА(а,в) уже было доказано.



2. Докажем, что Н(а.в) hello_html_m7ceebba.gifG(а,в), т.е что hello_html_m5a3372c0.gif;

Для чисел hello_html_7d8f104d.gif применим неравенство Коши:

hello_html_meba96b5.gif; по свойству числовых неравенств а 0, в 0 и а в, то

1/а hello_html_m7ceebba.gif1/в, значит, hello_html_m5a3372c0.gif.

3. Докажем, что А(а,в) hello_html_m7ceebba.gifQ(а,в), т.е hello_html_m22d052b3.gif.

Перейдя к равносильному неравенству (а + в)2hello_html_m7ceebba.gif 2(а2+ в2) и используя частный случай неравенства Коши - Буняковского:

(1а+1в) 2 hello_html_m7ceebba.gif((а22)(12+12), значит, hello_html_m22d052b3.gif.

Теперь можно предложить ученикам сформулировать теорему для п положительных чисел:

Теорема 2: Для любого числа положительных чисел а1 2,…ап ; (пhello_html_m78774d40.gif2)веры следующие соотношения:

min { а1 2,…ап ; }hello_html_m7ceebba.gif Н(а1 2,…ап ; ) hello_html_m7ceebba.gifG1 2,…ап ;) hello_html_m7ceebba.gif А(а1 2,…ап ;) hello_html_m7ceebba.gifQ1 2,…ап ;) hello_html_m7ceebba.gifmax {а1 2,…ап ; }

Доказательство аналогично случаю для двух чисел .

Применение теоремы можно рассмотреть на примерах.


1.Докажите, что для любых положительных чисел а, в, с справедливо неравенство:

hello_html_2bad3367.gif


Доказательство:

Используя теорему 2: Н hello_html_m7ceebba.gif А

hello_html_m667f7210.gif


Имеем: hello_html_m6d43e7b4.gif; отсюда hello_html_2bad3367.gif.






2.Доказать, что для любых положительных а и в , ав и nєN справедливо:

hello_html_2015a1a8.gif;

Доказательство:

hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m27996908.gif;

3. Доказать, что последовательности (1+1/п)п и (1-1/п)п- возрастающие, а последовательность (1+1/п)п+1– убывающая.

Доказательство:

а) пусть а=1, в=1+1/п, тогда hello_html_3d4a9de6.gif ( доказано выше),

hello_html_20a47da7.gif, т.е (1+1/п)п < (1+1/(п+1))п+1, значит, последовательность (1+1/п)п возрастает (по определению);

б) аналогично доказывается, что последовательность(1-1/п)п-возрастающая,

(можно предложить учащимся доказать самостоятельно);

в) hello_html_6912ca6d.gif.

Последовательность ап=hello_html_mcf04f9e.gifвозрастает, значит, последовательность 1/ап – убывает.











4. Геометрическая интерпретация связи средних величин


Геометрическая интерпретация неравенств, связывающих средние величины, очень важна. Достаточно показать ее для двух положительных чисел на примере трапеции.

Рассмотрим произвольную трапецию MNPK с основаниями а и в.

Проведем прямые, параллельные

основаниям трапеции так, что

1) Прямая НН 1 проходит через точку

hello_html_m24641531.pngпересечения диагоналей трапеции,

2) Прямая GG1 делит трапецию на две подобных трапеции,

3) Прямая АА1 проходит через середины боковых сторон трапеции,

4) Прямая НН 1 делит трапецию на две равновеликие трапеции.

1)

a) Пусть НН 1=х.

Треугольники MNK и HNO подобны (ученики самостоятельно доказывают)

MK:HO = NK:NO = b : HO ;

(NO+OK):NO =1+hello_html_3de040a5.gif(из подобия треугольниковNOP и KOM)

Отсюда: MK:HO = ( a+ b) : a; HO=hello_html_1e8df7ca.gif;

б) Треугольники OH1K и NPK подобны,

значит, HP: OH1=(NO+OK):OK,

NP: OH1= ON:OK +1; т.е a: OH1= hello_html_1e8df7ca.gif;

в) OH+OH1 = hello_html_m427770fe.gif= H(a; b) НН 1 = H(a; b)

2) Пусть GG1= х

Из подобия трапеций GNPG! и MG G!K:

а : x = x : b; отсюда, х = hello_html_m70d4a4d0.gif GG1 = G(a; b)


3) АА1средняя линия трапеции по определению, АА1=hello_html_9cc1001.gif, АА1=А(a;b)


4) Пусть QQ1= х, по условию:

hello_html_m2a5f6ea1.gif(1) , с другой стороны,

hello_html_55a0581f.gif(2). Имеем: hello_html_m7bc7e2b0.gif ;hello_html_36fcd31d.png

b2-x2=x2-a2, х2=hello_html_m48ebbeb1.gif; т.е QQ1=Q(a; b)

Таким образом, мы доказали, что в трапеции есть все вышеупомянутые средние. Осталось доказать что,

hello_html_m427770fe.gifhello_html_m7ceebba.gifhello_html_m70d4a4d0.gifhello_html_m7ceebba.gifhello_html_9cc1001.gifhello_html_m7ceebba.gifhello_html_4662bb67.gif.


Можно привести такое доказательство:

a) NH:HM = a: b, a <b; hello_html_4a00dc91.gif;

NG:GM=a: GG1=hello_html_m4125f3ce.gif ; 1 hello_html_m4125f3ce.gif , т.к hello_html_eb1efe.gif<1, значит, НН 1 hello_html_m7ceebba.gifGG1,


б) GG1<АА1, т.к АА1=1 , т.о НН 1 hello_html_m7ceebba.gifGG1 hello_html_m7ceebba.gif АА1,

в) NQ:QM= h1:h2=hello_html_m6f6ab0d2.gif, т.о


НН 1 hello_html_m7ceebba.gifGG1 hello_html_m7ceebba.gif АА1 hello_html_m7ceebba.gif QQ1, т.е hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m427770fe.gifhello_html_m7ceebba.gifhello_html_m70d4a4d0.gifhello_html_m7ceebba.gifhello_html_9cc1001.gifhello_html_m7ceebba.gifhello_html_4662bb67.gif. (ч. т. д )


Равенство будет, когда а = b, тогда фигура- параллелограмм и доказательство неинтересно, но можно задать ученикам вопрос: какая фигура будет в случае равенства а и b.


Вторая интерпретация теоремы 1 связана с прямоугольным треугольником. Целесообразно привести и ее, с целью повторить геометрию и показать красоту математических заключений.

hello_html_7eb7258.png

1. Возьмем полуокружность с центром в точке О и диаметром ВС.

2. Проведем hello_html_m53d4ecad.gifО Дhello_html_m3369453f.gif ВС.

3. На продолжении ВС возьмем точку А произвольно и проведем АЕ – касательную к окружности.

4. Проведем ЕF hello_html_m3369453f.gifBC/

5. Пусть АВ=а1, АС=а2, (а1hello_html_3750bfcb.gif а2), тогда АО =hello_html_m2fb02cfd.gif (ВС= а1 - а2,

ОС = ½( а1 2), ОА = а2-½( а1 2) = hello_html_m2fb02cfd.gif

6. Из треугольника ОЕА: АЕ = hello_html_m7b0345a4.gif

7. Из треугольника ОДА: АД =hello_html_71b2b745.gif

8. AF=AE2/OA, AF=hello_html_6c56658f.gif.

Таким образом, АЕ - среднее геометрическое полож. чисел а1 и а2

АО - Среднее- арифметическое полож. чисел а1 и а2

АД - Среднее квадратичное полож. чисел а1 и а2

АF - среднее гармоническое полож. чисел а1 и а2

Предложить учащимся самим доказать (исходя из чертежа), что

AF<AE<OA<AD, а равенство при ?.

Замечание: Средним геометрическим двух положительных чисел является также среднее геометрическое между их средним арифметическим и средним гармоническим. (Предложить сам-но в этом убедиться).


5.Применение средних величин при решении некоторых

геометрических и алгебраических задач


Есть много интересных геометрических интерпретаций частных случаев теоремы 1.

Пример 1.

hello_html_m4bd4c6af.png

a2/2 +b2/2 ab ( и далее )

Пример 2.


Можно предложить задачи:

1) Окружности диаметров а и в касаются внешним образом. Доказать, что отрезок их общей внешней касательной, заключенный между точками касания, равен среднему геометрическому их диаметров.


2. Окружности диаметров а и в не имеют общих точек, а отрезок их общей внешней касательной, заключенный между точками, равен среднему арифметическому диаметров. Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно среднему гармоническому диаметров.


3). Подумайте, как с помощью рисунка к задаче 1 доказать, что

Н(а; в) hello_html_m7ceebba.gifG(а; в)

( найти расстояние от точки касания окружностей до внешней касательной, а треугольник с вершинами в трех точках касания – прямоугольный).



Пример3. Неравенство Коши и объемы.


Ниже пример доказательства неравенства Коши применительно для трех положительных чисел, которое приведено в журнале « Квант», кроме этого еще некоторые задачи и упражнения, опубликованные в 1975-2000г в этом же журнале.







hello_html_3a39d57f.jpg




hello_html_m6abbf48f.jpg






hello_html_m469e2c37.jpg

hello_html_m63018994.jpg






hello_html_me9ce39a.jpg




Применение средних величин при решении уравнений, неравенств и других задач.


1) Решить уравнение:

hello_html_1d0599.gif.


Решение:

Применим неравенство Коши к левой части уравнения:


hello_html_m4a9f255d.gif(1)

hello_html_mc3ce576.gifhello_html_5dac39f9.gif

Сложив (1) и (2): hello_html_5ba70501.gif;

Таким образом, х2-х+2hello_html_m7ceebba.gifх+1; (х-1)2hello_html_m7ceebba.gif0; х=1 Ответ: х=1.


2) Решить уравнение:

hello_html_dc914dd.gif;о.о.у: hello_html_m2e57553f.gif


Решение:

Подстановка: hello_html_m755b332b.gif

Уравнение принимает вид: hello_html_73faa465.gif;

Применим н. Коши: hello_html_522035c8.gif; значит, слагаемые равны (т.к неравенство обратилось в равенство)

hello_html_m54a4fe2f.gifhello_html_m34e857a.gif; у0; у+30


3-у=hello_html_m34e857a.gif; 4(3-у)2=1/4; 3-у=hello_html_m5dd5f8b1.gif1/2; 1) у=5/22, , х =hello_html_m5dd5f8b1.gifhello_html_m39bbebd5.gif/2

2) у=7/2, х2=-13/4- корней нет.

Ответ: х =hello_html_m5dd5f8b1.gifhello_html_m39bbebd5.gif/2

3) Решить уравнение:


4+2у4 = 4ху – 1. (*)


Решение:

Применяя н. Коши: 2х4+2у4≥2hello_html_129d8604.gif, 4+2у42у2, (2ху-1)2hello_html_m7ceebba.gif0,

xy =1/2, у =1/2х.

Подставляя в уравнение (*) и решив его, получим: hello_html_4f43a30f.gif

4) Решить уравнение:

hello_html_4ffb3678.gifх2+6х+11.


Решение:

Применяя н. Коши: hello_html_2cb82b6a.gif,

hello_html_4bf64089.gif,

Сложим обе части неравенств и получим, что hello_html_4ffb3678.gif2.

а х2+6х+11=(х-3)2+2 ≥2 ,

Значит, уравнение имеет решение только тогда, когда его левая и правая части равны 2. Легко заметить, что х=3.

5) Доказать, что log1719>log1920.


Доказательство:

Докажем, что hello_html_17c63b06.giflog1920·log1917<1.

По н. Коши log1920·log1917hello_html_m7ceebba.gifhello_html_539c35d8.gif

Т.е log1719>log1920.


6) Решить неравенство: ((sin2 ( x+ y )+ 2 sin(x + y)+2)log2(3x+3-x) hello_html_m7ceebba.gif1.


Решение:

Перепишем неравенство: (sin(x + y)+1)2+1≥1, 3x+3-x ≥ 2 (н. Коши), значит,

log2(3x+3-x) ≥1.

Таким образом, неравенство имеет решение только в случае равенства:

((sin2 ( x+ y )+ 2 sin(x + y)+2)log2 (3x+3-x) = 1, значит,

.sin(x + y)=-1, а 3х = 1.


Ответ:(0; -П/2+Пк; к є Z).


7) При каких х функция f(x)=(1+2х)4(1-2х)достигает

на отрезке[0; 1/2]наибольшего значения?


Решение:

f(x)=¼·(1+2х) (1+2х) (1+2х) (1+2х)(4-8х),

Найдем среднее арифметическое :

hello_html_63234fa9.gif((1+2х)+ (1+2х)+ (1+2х)+ (1+2х)+ (4-8х))=hello_html_16b667da.gif,

f(x) hello_html_m7ceebba.gifhello_html_m1a785d3e.gif, значит,

f(x) достигает своего наибольшего значения, когда(1+2х)= (4-8х), х = 0,3

8) Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=hello_html_m1234d74f.gif.

Решение:


Записать hello_html_m1234d74f.gif=hello_html_40533c3a.gifи применить н. Коши для знаменателя этой дроби.

Ответ: наименьшее значение f(x) равно 0

наибольшее значение (x )равно ½.


Предложить ученикам решить самостоятельно или на усмотрение учителя такие задачи:

а)Найти наименьшее значение f(x)=hello_html_m51fb11c7.gif; где х - положительное число;

б) Найти наибольшее значение f(x)=hello_html_3baafeee.gifна отрезке [-2;2].


9)Доказать, что если А+В+С= π, то ( sinhello_html_54ac23ba.gif)-1 + ( sinhello_html_7a898d99.gif)-1 + (sinhello_html_787284c1.gif)-1hello_html_m7ceebba.gif 1


При доказательстве воспользоваться неравенством Коши для левой части, а произведение sinhello_html_54ac23ba.gif sinhello_html_7a898d99.gif sinhello_html_787284c1.gifпреобразовать и записать как

hello_html_m458b69f3.gifи т. д.

Аналогичные задания можно дать домой, например:


а) если А+В+С= π, то 8cosA cosB cosChello_html_m7ceebba.gif1;


б) если А+В+С= π, то tg2A+ tg2B+ tg2C 9.


Очень хороша задача прикладного характера про дешевый ящик:


2 стенки ящика, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда и объем 1м3, изготавливаются из одного материала , 4 другие из материала, который в 8 раз дешевле.

При каких размерах x, y, z ящика стоимость материалов, нужных для его изготовления, минимальна ?


Решение:

1) по условию xyz = 1;

2) пусть стоимость второго материала р рублей;

3) возможны случаи: а) стенки смежные,

б) стенки не смежные.

а) пусть стенки смежныеhello_html_m54773e8a.png

и стоимость 1м3 второго материала – Р рублей, тогда стоимость всего материала , необходимого для изготовления ящика:

S1 = 8p( xy + yz) + p( xy + yz + 2xz) = pxyz (9/z + 9/x +2/y) = p ((9/z + 9/x 2/y).


б) пусть стенки не смежные, тогда стоимость всего материала , необходимого для изготовления ящика:

S2 = 8p2xy + p( 2xz + 2yz)=2pxyz( 8/z + 1/y + 1/x) = 2p( 8/z + 1/y + 1/x).


Применим н. Коши:

(9/z + 9/x +2/y) ≥ 3hello_html_2e7bfdf.gif, S1 ≥ 9 hello_html_mbcf9d26.gifp ;

( 8/z + 1/y + 1/x) 3hello_html_2ee415db.gif= 6, S2 12p,

Но 9 hello_html_mbcf9d26.gifp ≥ 12p, значит, стоимость S2 будет минимальна тогда и только тогда, когда будет минимальна сумма ( 8/z + 1/y + 1/x), а это будет, когда в неравенстве Коши будет равенство, т. е:

8/z = 1/y = 1/x, учитывая, что xyz=1, получаем: x=0,5; y=0,5; z=4.


Ответ: стоимость всего материала , необходимого для изготовления ящика минимальна, если его стенки имеют форму квадрата со стороной 0,5м, а расстояние между ними равно 4м.


На усмотрение учителя число примеров на применение средних величин(в основном, неравенства Коши) можно увеличить или уменьшить.



В математике существуют и другие средние величины, например, среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое.

Есть способ введения понятия средней величины с помощью так называемого предельного перехода. Его суть – определить среднюю величину нового вида как предел последовательности, члены которой формируются с помощью уже введенных и изученных средних величин.



Пусть а>в, а>0, в>0, тогда образуем две последовательности:

hello_html_26e9fbeb.gif


hello_html_m59b6ecc.gif

которые обладают следующими свойствами:

А) (ап)- убывающая и ограниченная снизу,

Б) (вп)-возрастающая и ограничена сверху

В) обе последовательности сходятся к конечным пределам и они совпадают.


Определение:

Общий предел последовательностей (ап) и (вп) называют средним арифметико-геометрическим чисел а и в.


Если повторить такое построение, но среднее геометрическое заменить на среднее гармоническое, то получим (ап ) и (вп), обладающие свойствами А-В, но общий предел равен hello_html_m70d4a4d0.gif, то это арифметико-гармоническое.


Есть еще симметрические средние величины, но их определение достаточно сложно для учеников и учитель должен сам решить давать в конкретном классе эти величины подробно или нет.



6.Средние величины, используемые в математической статистике и экономике


В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеются особенности изучаемых явлений, и поэтому для их решения требуются различные сведения, которые получают, применяя средние величины.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется в статистике общей средней. Средние, вычисленные для каждой группы, называются групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, а групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Например, статистическое изучение рождаемости и среднего количества детей в семье на территории бывшего СССР проводилось по регионам. Традиционно более высокая рождаемость была в Средней Азии и Закавказье по сравнению с центральными районами России. Среднее количество детей в семье, исчисленное по каждому региону – это групповые средние, а соответственно исчисленной по всей территории СССР – это общая средняя. Сравнительный анализ групповых и общих средних используется для характеристики социально-экономических типов изучаемого общественного явления.

Существуют две категории средних величин:

1. Степенные средние.

К ним относятся:

Средняя арифметическая

Средняя гармоническая

Средняя геометрическая

2. Структурные средние:

Мода

Медиана.

Выбор того или иного вида средней производится в зависимости от целей исследования, экономической сущности усредняемого характера имеющихся исходных данных.

Если учитель захочет дать более подробно материал по этой теме, то

источников достаточно.
































25


Краткое описание документа:

1.Средние величины, их сущность и значение. Историческая справка

Понятие средней величины знакомо каждому из нас, так как они имеют большое значение   в повседневной жизни. С помощью среднего можно, например, определить:

а) среднее потребление витаминов в течение года;

б) средний возраст учителей в школе;

в) средний процент качества знаний и т.д.

В экономике средние – это важнейшие показатели товарооборота, запасов, цен, прибыли, рентабельности и других показателей работы отраслей народного хозяйства.

Автор
Дата добавления 13.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров338
Номер материала 295918
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх