«Средние
величины и соотношения между ними»
Методическая разработка
элективного курса для 9 класса
Рагина Нина Ивановна-учитель
математики МБОУ СОШ №2
План:
1.Средние величины,
их сущность и значение. Историческая справка
2.Определение средних
величин
3.Доказательство теорем,
связанных со средними величинами
4. Геометрическая
интерпретация связи средних величин
5.Применение средних
величин при решении некоторых
геометрических и
алгебраических задач
6.Средние величины,
используемые в математической статистике и
экономике
1.Средние величины, их сущность и значение.
Историческая справка
Понятие средней величины знакомо каждому из
нас, так как они имеют большое значение в повседневной жизни. С помощью
среднего можно, например, определить:
а) среднее потребление витаминов в течение года;
б) средний возраст учителей в школе;
в) средний процент качества знаний и т.д.
В экономике средние – это важнейшие показатели товарооборота, запасов,
цен, прибыли, рентабельности и других показателей работы отраслей народного
хозяйства.
Почему средние так прочно вошли в нашу жизнь? Потому
что ,средняя – это один из приемов обобщений. Важность средних величин для
науки и экономики отмечалась в работах многих ученых. Весьма широко применял
средние и относительные величины английский ученый Кинг (1648-1712) при анализе
данных населения Англии (средний доход на семью, средний подушевой доход и др.)
Не обошлось и без курьезов. Так английский ученый Петти (1623-1673) предлагал
использовать в качестве меры стоимости – затраты на среднее дневное пропитание
одного взрослого работника. И его не смущала абстрактность средней, то, что
данные конкретного человека могут с ней не совпадать. В качестве еще одного
яркого примера приведу рассказ Г. Успенского «Живые цифры». Там средний доход
определялся сложением 1 млн. рублей миллионера Колотушкина и 1 гроша просвирни
Кукушкиной и получалось, что он составлял 0,5 млн. рублей. Есть еще теория
среднего человека» - это идеал человека, но в природе такого человека не
существует.
Хотя средние – это обобщающие показатели, но они не всегда типичны и
верны. Таким образом, средняя величина может быть как почти объективна, так и
фиктивна, если она не рассчитана по однородной совокупности и теряет всякий
смысл.
Школьникам средние знакомы как числовые величины. О них было известно
еще более 2000 лет назад. Именно тогда стало известно неравенство, содержащееся
в десятой книге «Начал» Евклида и гласящее: Среднее геометрическое двух
неотрицательных чисел не больше среднего арифметического этих чисел.
Доказательство основывалось на фундаментальном неравенстве, которое выражает
неотрицательность квадрата любого числа
(l-m)2≥0(
если(l-m)2=0 ,
то l=m);
l2+m2≥2lm, 
≥lm;
l2=a, m2=b,
значит, 
≥
Обобщив для 3,4,…,п неотрицательных чисел Огюстен Луи Коши в 1821 году
доказал, что 
;
Классическое доказательство основано на методе математической индукции
2.Определение средних величин
Общее определение средней величины:
Средней величиной действительных чисел называют число х,
удовлетворяющее условию m < x <
M, где
m– наименьшее среди этих чисел,
M – наибольшее.
Средняя одна, если эти числа равны.
Наиболее знакомы в школьной математике следующие средние величины:
Среднее- арифметическое:
Средним арифметическим действительных чисел а1 ,а2,…ап ; (п
2) называется действительное число А=А(а1
,а2,…ап)= 
Пример:
Среднее геометрическое:
Средним геометрическим действительных неотрицательных
чисел
а1 ,а2,…ап ; (п2)называют действительное неотрицательное
число
G = G(а1
,а2,…ап)= 
;
Если a1=a2=…=an ,то G=a
Пример:
;
Для двух положительных чисел равенство двух отношений 
a:d=c:b, называют геометрической пропорцией, а числа с и d – средними
членами пропорции.
Если с = d = х, то а : х = х : в; х2=ав;
х = √ав – среднее геометрическое (или среднее
пропорциональное) положительных чисел а и в.
Если а = в, то х = а.
С помощью G(а; в), где а›0, в›0
можно определить:
а) длину высоты прямоугольного треугольника, опущенную из вершины
прямого угла на гипотенузу;
б) по заданному отрезку строить отрезки длины √а и др.
Между средним арифметическим и средним геометрическим есть
замечательное соотношение - неравенство Коши, о котором упоминалось выше.
Однако, наиболее знакомо неравенство Коши для п=2 (реже п=3).
В школьном курсе математики среднее арифметическое и среднее
геометрическое встречаются довольно часто, например:
а) каждый член (кроме первого и последнего) арифметической прогрессии
является средним арифметическим равноотстоящих от него членов прогрессии;
б) каждый член (кроме первого и последнего) геометрической прогрессии
является средним геометрическим равноотстоящих от него членов прогрессии;
в) свойство средней линии трапеции;
г) свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу
из вершины прямого угла.
Учителю на уроке желательно проиллюстрировать примеры и заодно
повторить теорию.
Гораздо меньше известны в школьном курсе математики такие средние как среднее
гармоническое и среднее квадратическое (квадратичное).
Средним гармоническим действительных положительных
чисел
а1 ,а2,…ап ; (п2) называют число Н = Н(а1 ,а2,…ап)
= 
;
Пример:
;
Средним квадратичным действительных чисел а1 ,а2,…ап ;
(п2) называют число Q = Q(а1 ,а2,…ап) = 
.
Пример:
Q = 
;
Эти 2 средние присутствуют в школьном курсе как бы анонимно и даже,
когда мы в задачах их явно используем, то чаще всего не называем. Однако, в учебнике
алгебры за 8 класс под редакцией М.И Башмакова эти средние рассматриваются
достаточно подробно на физических и геометрических задачах (беседа «Продолжим
изучение средних величин» стр. 116-117)
Примеры:
1) Определить среднюю скорость туриста на всем пути, если он из пункта
А
до пункта В шел со скоростью V1
км/ч, а обратно со скоростью V2 км/ч.
Решение:
Пусть S – расстояние между А и В. Vcр=
;
Т.е. Vср
= Н
- среднее гармоническое.
2) Определить общее сопротивление R параллельно соединенных проводников, если их
сопротивления R1 и R2.
Решение:
; 
;
Желательно дать учащимся два вида записи среднего гармонического, в
частности при п=2:
;
3) Построить по заданным отрезкам а и в отрезок длины 
;
4) Доказать, что в последовательности 1,1/2,1/3, …,1/п, (п
3) каждый член, кроме первого и
последнего является средним гармоническим соседних с ним членов.
Решение: рассмотрим последовательность (ап), где а1=1,
а2=1/2, …,ап=1/п, надо показать, что ак=
Н(ак-1;ак+1)= 1/к .
Н(1/к-1;1/к+1) = 
.
Последовательность 1,1/2,1/3, …,1/п, (п3)
– пример гармонической последовательности ( каждый член, кроме первого и
последнего – среднее гармоническое равноотстоящих от него членов).
3.Доказательство теорем, связанных со средними
величинами
В каком же соотношении находятся все средние величины?
Сравнивая результаты примеров, получаем:
А (3,4,9,12) = 7
G (3,4,9,12) = 6
Н
(3,4,9,12) = 
Q (3,4,9,12)
= 2,5
На основании числовых примеров выдвигаем гипотезу, что Н 
G A Q
Желательно, чтобы учащиеся сами сформулировали теорему для любых
положительных чисел а и в:
Теорема 1:
Для любых положительных чисел а и в справедливы
следующие соотношения:
min {а,в}
Н(а.в) G(а,в) А(а,в) Q(а,в) max(а,в),
где max(а,в) – наибольшее из чисел а и в,
min
{а,в}- наименьшее из чисел а и в.
Доказательство:
1. Обоснование крайних соотношений достигается методом оценок заменить
оба числа а и в соответственно на меньшее, точнее, на не большее)
и на большее ( на не меньшее) в выражениях для среднего гармонического и
среднего квадратического, а соотношение G(а,в) А(а,в)
уже было доказано.
2. Докажем, что Н(а.в) G(а,в),
т.е что 
;
Для чисел 
применим неравенство Коши:
; по свойству числовых неравенств а ›0, в ›0 и а ≥ в, то
1/а 1/в, значит, .
3. Докажем, что А(а,в) Q(а,в),
т.е 
.
Перейдя к равносильному неравенству (а + в)2 2(а2+ в2) и
используя частный случай неравенства Коши - Буняковского:
(1а+1в) 2 ((а2+в2)(12+12),
значит, .
Теперь можно предложить ученикам сформулировать теорему для п
положительных чисел:
Теорема 2: Для любого числа положительных чисел а1 ,а2,…ап
; (п
2)веры следующие соотношения:
min { а1 ,а2,…ап ; } Н(а1 ,а2,…ап
; ) G(а1 ,а2,…ап ;) А(а1 ,а2,…ап
;) Q(а1 ,а2,…ап ;) max
{а1 ,а2,…ап ; }
Доказательство аналогично случаю для двух чисел .
Применение теоремы можно рассмотреть на примерах.
1.Докажите, что для любых положительных чисел а, в, с
справедливо неравенство:
Доказательство:
Используя теорему 2: Н А
Имеем: 
; отсюда 
.
2.Доказать, что для любых положительных а и в , а≠в и nєN справедливо:
;
Доказательство:
;
3. Доказать, что последовательности (1+1/п)п и
(1-1/п)п- возрастающие, а последовательность (1+1/п)п+1 –
убывающая.
Доказательство:
а) пусть а=1, в=1+1/п, тогда 
(
доказано выше),
, т.е (1+1/п)п <
(1+1/(п+1))п+1, значит, последовательность (1+1/п)п возрастает
(по определению);
б) аналогично доказывается, что последовательность(1-1/п)п-возрастающая,
(можно предложить учащимся доказать самостоятельно);
в) 
.
Последовательность ап=
возрастает,
значит, последовательность 1/ап – убывает.
4. Геометрическая интерпретация связи средних величин
Геометрическая интерпретация неравенств, связывающих средние величины, очень
важна. Достаточно показать ее для двух положительных чисел на примере трапеции.
Рассмотрим произвольную трапецию MNPK
с основаниями а и в.
Проведем прямые, параллельные
основаниям
трапеции так, что
1) Прямая НН 1 проходит через точку
пересечения диагоналей трапеции,
2) Прямая GG1 делит
трапецию на две подобных трапеции,
3) Прямая АА1 проходит через середины
боковых сторон трапеции,
4) Прямая НН 1 делит трапецию на две равновеликие трапеции.
1)
a) Пусть НН 1=х.
Треугольники MNK и HNO
подобны (ученики самостоятельно доказывают)
MK:HO
= NK:NO = b : HO ;
(NO+OK):NO
=1+
(из подобия треугольниковNOP
и KOM)
Отсюда:
MK:HO = ( a+ b) : a; HO=
;
б) Треугольники OH1K и NPK подобны,
значит, HP: OH1 =(NO+OK):OK,
NP: OH1= ON:OK +1; т.е a: OH1 = ;
в) OH+OH1 = 
= H(a; b) НН 1 =
H(a; b)
2) Пусть GG1= х
Из подобия трапеций GNPG! и MG G!K:
а : x =
x : b; отсюда, х = 
GG1 = G(a; b)
3) АА1 – средняя
линия трапеции по определению, АА1=
, АА1=А(a;b)
4)
Пусть QQ1= х, по условию:
(1) , с другой
стороны,
(2). Имеем: 
;
b2-x2=x2-a2, х2=
; т.е
QQ1=Q(a;
b)
Таким образом, мы доказали, что в трапеции есть все
вышеупомянутые средние. Осталось доказать что,
.
Можно привести такое доказательство:
a)
NH:HM = a: b, a <b; 
;
NG:GM=a:
GG1=
; 1› › , т.к 
<1, значит, НН
1 GG1,
б) GG1<АА1, т.к АА1=1
, т.о НН 1 GG1 АА1,
в) NQ:QM= h1:h2=
, т.о
НН 1 GG1 АА1 QQ1, т.е 
. (ч. т. д )
Равенство будет, когда а = b, тогда фигура- параллелограмм и
доказательство неинтересно, но можно задать ученикам вопрос: какая фигура будет в случае равенства а и b.
Вторая интерпретация теоремы 1 связана с прямоугольным треугольником.
Целесообразно привести и ее, с целью повторить геометрию и показать красоту
математических заключений.
1. Возьмем полуокружность с центром в точке О и
диаметром ВС.
2. Проведем О Д
ВС.
3. На продолжении ВС возьмем точку А произвольно и
проведем АЕ – касательную к окружности.
4. Проведем ЕF BC/
5. Пусть АВ=а1, АС=а2, (а1
а2),
тогда АО =
(ВС= а1 - а2,
ОС = ½( а1 -а2), ОА = а2-½(
а1 -а2) =
6. Из треугольника ОЕА: АЕ = 
7. Из треугольника ОДА: АД =
8. AF=AE2/OA,
AF=
.
Таким образом, АЕ - среднее геометрическое полож.
чисел а1 и а2
АО - Среднее- арифметическое
полож. чисел а1 и а2
АД - Среднее квадратичное
полож. чисел а1 и а2
АF
- среднее гармоническое полож. чисел а1 и а2
Предложить учащимся самим доказать (исходя из
чертежа), что
AF<AE<OA<AD,
а равенство при ?.
Замечание: Средним геометрическим двух положительных чисел
является также среднее геометрическое между их средним арифметическим и средним
гармоническим. (Предложить сам-но в этом убедиться).
5.Применение средних величин при решении некоторых
геометрических и алгебраических задач
Есть много интересных геометрических интерпретаций частных случаев
теоремы 1.
Пример 1.
a2/2
+b2/2 ≥ ab
( и далее )
Пример 2.
Можно предложить задачи:
1) Окружности диаметров а и в касаются внешним
образом. Доказать, что отрезок их общей внешней касательной, заключенный между
точками касания, равен среднему геометрическому их диаметров.
2. Окружности диаметров а и в не имеют общих точек, а
отрезок их общей внешней касательной, заключенный между точками, равен среднему
арифметическому диаметров. Докажите, что расстояние между центрами окружностей
равно среднему гармоническому диаметров.
3). Подумайте, как с помощью рисунка к задаче 1 доказать,
что
Н(а; в) G(а; в)
( найти расстояние от точки касания окружностей до
внешней касательной, а треугольник с вершинами в трех точках касания –
прямоугольный).
Пример3. Неравенство Коши и объемы.
Ниже пример доказательства неравенства Коши
применительно для трех положительных чисел, которое приведено в журнале « Квант»,
кроме этого еще некоторые задачи и упражнения, опубликованные в 1975-2000г в
этом же журнале.
Применение средних
величин при решении уравнений, неравенств и других задач.
1) Решить
уравнение:
.
Решение:
Применим
неравенство Коши к левой части уравнения:
(1)
Сложив (1) и (2): 
;
Таким образом, х2-х+2
х+1; (х-1)20; х=1 Ответ: х=1.
2) Решить
уравнение:
;о.о.у: 
Решение:
Подстановка: 
Уравнение
принимает вид: 
;
Применим н. Коши: 
; значит, слагаемые равны (т.к неравенство
обратилось в равенство)
; у≥0; у+3›0
3-у=; 4(3-у)2=1/4; 3-у=
1/2; 1) у=5/22, , х =
/2
2) у=7/2, х2=-13/4- корней нет.
Ответ: х =/2
3) Решить
уравнение:
2х4+2у4 = 4ху – 1. (*)
Решение:
Применяя н. Коши:
2х4+2у4≥2
, 2х4+2у4≥4х2у2, (2ху-1)2
0,
xy =1/2, у =1/2х.
Подставляя в
уравнение (*) и решив его, получим: 
4) Решить
уравнение:
х2+6х+11.
Решение:
Применяя н. Коши: 
,
,
Сложим обе части
неравенств и получим, что 
2.
а х2+6х+11=(х-3)2+2 ≥2 ,
Значит, уравнение
имеет решение только тогда, когда его левая и правая части равны 2. Легко
заметить, что х=3.
5) Доказать,
что log1719>log1920.
Доказательство:
Докажем, что 
log1920·log1917<1.
По н. Коши log1920·log1917
Т.е log1719>log1920.
6) Решить
неравенство: ((sin2 ( x+
y )+ 2 sin(x + y)+2)log2 (3x+3-x) 
1.
Решение:
Перепишем
неравенство: (sin(x + y)+1)2+1≥1, 3x+3-x ≥ 2 (н. Коши), значит,
log2 (3x+3-x) ≥1.
Таким образом,
неравенство имеет решение только в случае равенства:
((sin2 ( x+ y )+ 2 sin(x
+ y)+2)log2 (3x+3-x) = 1, значит,
.sin(x + y)=-1,
а 3х = 1.
Ответ:(0; -П/2+Пк; к є Z).
7) При каких х
функция f(x)=(1+2х)4(1-2х)достигает
на отрезке[0;
1/2]наибольшего значения?
Решение:
f(x)=¼·(1+2х) (1+2х) (1+2х) (1+2х)(4-8х),
Найдем среднее
арифметическое :
((1+2х)+ (1+2х)+ (1+2х)+ (1+2х)+ (4-8х))=
,
f(x) 
, значит,
f(x)
достигает своего наибольшего значения, когда(1+2х)= (4-8х), х = 0,3
8) Найти
наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=
.
Решение:
Записать 
=
и
применить н. Коши для знаменателя этой дроби.
Ответ: наименьшее значение f(x) равно 0
наибольшее значение (x )равно ½.
Предложить
ученикам решить самостоятельно или на усмотрение учителя такие задачи:
а)Найти
наименьшее значение f(x)=
; где х - положительное
число;
б) Найти
наибольшее значение f(x)=
на отрезке [-2;2].
9)Доказать, что если А+В+С= π, то (
sin
)-1
+ ( sin
)-1 + (sin
)-1 1
При доказательстве
воспользоваться неравенством Коши для левой части, а произведение sin sin sin преобразовать и записать как
и т. д.
Аналогичные
задания можно дать домой, например:
а) если А+В+С= π, то 8cosA cosB cosC1;
б) если А+В+С= π, то tg2A+
tg2B+ tg2C ≥ 9.
Очень хороша
задача прикладного характера про дешевый ящик:
2 стенки ящика,
имеющего форму прямоугольного параллелепипеда и объем 1м3,
изготавливаются из одного материала , 4 другие из материала, который в 8 раз
дешевле.
При каких
размерах x, y, z ящика стоимость материалов, нужных для его
изготовления, минимальна ?
Решение:
1) по условию xyz
= 1;
2) пусть стоимость
второго материала р рублей;
3) возможны
случаи: а) стенки смежные,
б) стенки не смежные.
а) пусть стенки
смежные
и стоимость 1м3
второго материала – Р рублей, тогда стоимость всего материала , необходимого
для изготовления ящика:
S1 = 8p( xy
+ yz) + p( xy + yz + 2xz) = pxyz (9/z + 9/x +2/y) = p ((9/z + 9/x 2/y).
б) пусть стенки не
смежные, тогда стоимость всего материала , необходимого для изготовления ящика:
S2 = 8p2xy + p(
2xz + 2yz)=2pxyz( 8/z + 1/y + 1/x) = 2p( 8/z + 1/y + 1/x).
Применим н. Коши:
(9/z + 9/x +2/y) ≥ 3
,
S1 ≥ 9 
p ;
( 8/z + 1/y + 1/x) ≥ 3
= 6, S2 ≥ 12p,
Но 9 p ≥ 12p, значит, стоимость S2 будет минимальна тогда и только тогда, когда будет
минимальна сумма ( 8/z + 1/y +
1/x), а это будет, когда в
неравенстве Коши будет равенство, т. е:
8/z = 1/y = 1/x, учитывая, что xyz=1, получаем: x=0,5; y=0,5; z=4.
Ответ: стоимость
всего материала , необходимого для изготовления ящика минимальна, если его
стенки имеют форму квадрата со стороной 0,5м, а расстояние между ними равно 4м.
На усмотрение
учителя число примеров на применение средних величин(в основном, неравенства
Коши) можно увеличить или уменьшить.
В математике
существуют и другие средние величины, например, среднее
арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое.
Есть способ введения
понятия средней величины с помощью так называемого предельного перехода. Его
суть – определить среднюю величину нового вида как предел последовательности,
члены которой формируются с помощью уже введенных и изученных средних величин.
Пусть а>в,
а>0, в>0, тогда образуем две последовательности:
которые обладают
следующими свойствами:
А) (ап)-
убывающая и ограниченная снизу,
Б) (вп)-возрастающая
и ограничена сверху
В) обе
последовательности сходятся к конечным пределам и они совпадают.
Определение:
Общий предел
последовательностей (ап) и (вп) называют средним
арифметико-геометрическим чисел а и в.
Если повторить такое
построение, но среднее геометрическое заменить на среднее гармоническое, то
получим (ап ) и (вп), обладающие свойствами А-В, но общий
предел равен 
, то это арифметико-гармоническое.
Есть еще
симметрические средние величины, но их определение достаточно сложно для
учеников и учитель должен сам решить давать в конкретном классе эти величины
подробно или нет.
6.Средние величины, используемые в математической
статистике и экономике
В практике
статистической обработки материала возникают различные задачи, имеются
особенности изучаемых явлений, и поэтому для их решения требуются различные
сведения, которые получают, применяя средние величины.
Средняя,
рассчитанная по совокупности в целом, называется в статистике общей средней.
Средние, вычисленные для каждой группы, называются групповыми средними. Общая
средняя отражает общие черты изучаемого явления, а групповая средняя дает
характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной
группы.
Например,
статистическое изучение рождаемости и среднего количества детей в семье на
территории бывшего СССР проводилось по регионам. Традиционно более высокая
рождаемость была в Средней Азии и Закавказье по сравнению с центральными
районами России. Среднее количество детей в семье, исчисленное по каждому
региону – это групповые средние, а соответственно исчисленной по всей
территории СССР – это общая средняя. Сравнительный
анализ групповых и общих средних используется для характеристики
социально-экономических типов изучаемого общественного явления.
Существуют две
категории средних величин:
1. Степенные
средние.
К ним относятся:
Средняя арифметическая
Средняя гармоническая
Средняя
геометрическая
2. Структурные
средние:
Мода
Медиана.
Выбор того или иного
вида средней производится в зависимости от целей исследования, экономической
сущности усредняемого характера имеющихся исходных данных.
Если учитель
захочет дать более подробно материал по этой теме, то
источников
достаточно.
