краевое государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования «Минусинский медицинский техникум»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА теоретических занятий

 для преподавателя

 

Дисциплина: «Математика»

Специальность: 060501 «Сестринское дело»

Год обучения: первый

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разработчик: преподаватель дисциплины «Математика»  Игай С.Ю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Минусинск, 2013

                 

ББК 22.1я723                                                 УТВЕРЖДАЮ                                             

         Зам.директора по УР          __________/______________

                                                                                        «___»_____________ 201__ г.

 

 

 

 

 

 

 

 Рекомендовано методическим советом КГБОУ СПО ММТ

 

Математика: методическая разработка (специальность: 060501 «Сестринское дело») / Разработчик: преподаватель дисциплины «Математика» Игай С.Ю. – Минусинск: КГБОУ СПО ММТ, 2013. – 64 с.

 

Содержание методической разработки соответствует примерной программе по математике для специальностей среднего профессионального образования. Рассмотрены основы дискретной математики, математический анализ, теория вероятностей, математическая статистика и основные численные методы. Изложение теоретического материала сопровождается примерами и задачами. 

Разработка предназначена для студентов медицинского техникума специальности: 060501 «Сестринское дело». 

 

ББК И26                                                                                        ББК 22.1я723

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© Игай С.Ю., 2013

© КГБОУ СПО ММТ, 2013

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Настоящая методическая разработка составлена в соответствии с ФЗ «Об образовании в РФ» от 01 сентября 2013 года №273-ФЗ.

Методическая разработка состоит из четырех разделов.

Первый раздел посвящен математическому анализу. Рассматриваются основы дифференциального и интегрального исчисления. Приводятся примеры решения задач на нахождение производных, вычисление интегралов функций. В конце каждой темы данного раздела имеется домашнее задание на закрепление пройденного материала.

Во втором разделе говорится о последовательности и рядах. Даны понятия пределов функции и последовательности. Приводятся примеры вычисления пределов функций в точке и на бесконечности.

В третьем разделе рассматриваются основы дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики. Даются определения множества, способы задания множеств и операции над множествами, а также понятия случайного события и его вероятности, приведены формулы определения математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины. Рассматриваются примеры решения задач по данным темам, а также задачи для самостоятельного решения.

Последний – четвертый раздел посвящен основным численным математическим методам. Основное внимание уделяется применению численных методов в профессиональной деятельности среднего медицинского работника. Даны понятие процента, способы расчета питания. Приведены примеры решения задач на проценты, расчет прибавки роста и массы детей.  По итогам изучения дисциплины студент должен:

 

Ø     знать:

-   основные понятия и методы дискретной математики, математического анализа, теории вероятностей и математической статистики;

-   основные численные методы решения прикладных задач;

 

Ø     уметь:

-   решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчисления;

-   решать обыкновенные дифференциальные уравнения;

-   решать простейшие задачи, используя элементы теории вероятностей;

-   находить аналитическое выражение производной по табличным данным; - находить относительные и средние величины, показатели деятельности поликлиники и стационара, медико-демографические показатели; - применять математические методы в профессиональной деятельности среднего медицинского персонала.

 

Ø     владеть компетенциями:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения возложенных на него профессиональных задач, а также для своего профессионального и личностного развития.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать и осуществлять повышение своей квалификации. ОК 9. Быть готовым к смене технологий в профессиональной деятельности.

 

ПК 1.3. Участвовать в проведении профилактики инфекционных и неинфекционных заболеваний.

ПК 2.1. Представлять информацию в понятном для пациента виде, объяснять ему суть вмешательства.

ПК 2.2. Осуществлять лечебно-диагностические вмешательства, взаимодействуя с участниками лечебного процесса.

ПК 2.3. Сотрудничать со взаимодействующими организациями и службами. ПК 2.4. Применять медикаментозные средства в соответствии с правилами их использования.

ПК 3.1. Оказывать доврачебную помощь при неотложных состояниях и травмах.

ПК 3.3. Взаимодействовать с членами профессиональной бригады и добровольными помощниками в условиях чрезвычайных ситуаций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел 1. Математический анализ.

 

Тема: Дифференциальное исчисление.

 

Мотивация. До недавнего времени биологи, медики  и ученые смежных наук едва ли испытывали необходимость в математике. Однако за прошедшие десятилетия бурно развивались приложения самых различных математических средств к изучению многих типов биологических и медицинских явлений. Этот процесс достиг такой стадии, когда студентов, изучающих биологию и медицину, уже не нужно убеждать, что математика играет важную роль и в их науках. Основная задача нашего курса  - приобрести необходимые математические знания за разумный срок и развить способность применять эти знания в области биологии и медицины.

Одним из основных математических методов, применяемых в медицинских науках,  является описание многих процессов как в окружающем нас мире, так и в нашем организме, при помощи дифференциальных уравнений.  Но их изучение невозможно без знания теории пределов, основ дифференциального и интегрального исчисления.  В процессе  ознакомления с  темой этого занятия вы познакомитесь с  теорией пределов, основами дифференциального исчисления.

 

Цели занятия:

Образовательная:

1.    Дать представление о роли и месте математики в современном мире.

2.    Познакомить студентов с основными математическими методами, применяемыми в медицине и биологии.

3.    Дать студентам понятие о дифференциале функции, основываясь на понятие производной, опираясь на знания, полученные в школе.

Воспитательная: 

1.    Воспитание умения математически исследовать явления реального мира.

2.    Добиваться осознанности необходимости математических знаний в профессии среднего медицинского работника.

Развивающая: 

1.    Способствовать развитию абстрактно-логического мышления и памяти.

2.    Развивать математические способности студентов.

Методическая: 

Закрепить методику проведения лекционного занятия.

Методы обучения: репродуктивный с формированием новых умений и компетенций.

Форма организации учебного процесса:  лекция  №1  установочная информационная.

Интеграция обучения:

Внутрипредметные связи: лекция №2,  практическое занятие №1, №2.

Межпредметные связи: микробиология, физиология.

Оснащение занятия:  мел, доска, таблицы, раздаточный материал для студентов.

Продолжительность занятия: 90 мин.

Место проведения занятия: лекционный зал.

Рекомендуемая литература для студентов:

1.    Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. – М.: АЙРИС, 2010.

2.    Данко П.Е. Попов А.Г. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 2011.

3.    Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа. – М.: Наука, 2010.

Рекомендуемая литература для преподавателя:

1.    Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для студентов химико-биологических специальностей педагогических вузов. – М.: Просвещение, 2011.

2.    Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. – М.: Высшая школа, 2011. – т.2.

3.    Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Наука, 2010.

4.    Никольский С.М. Элементы математического анализа. – М.: Наука, 2011.

 

Ход занятия

Основные этапы занятия		Время	Форм-мые компетенции	Методические указания
1.	Организационный момент	3 мин.	ОК.1	Отметка отсутствующих, проверка готовности студентов к занятию
2.	Мотивация учебной деятельности	5 мин.	ОК.1-4	Преподаватель сообщает тему, цели, план занятия, отмечает значение данного занятия в будущей учебной и практической деятельности с целью побуждения студентов к предстоящей работе.
3.	Изложение материала	75 мин.	ОК.1-4, 8, 9	Преподаватель излагает материал согласно плану, по ходу лекции ставит вопросы перед группой с целью активизации внимания, определения уровня мыслительной деятельности
4.	Систематизация и закрепление материала	5 мин.	ОК.2-4, 8	Преподаватель задает вопросы по теме, слушает ответы студентов, уточняет ответы, задает дополнительные вопросы, просит студентов дополнить ответ, исправить ответ с целью определения уровня усвоения учебного материала, развития речи, логического мышления.
5.	Задание к следующей лекции	2 мин.	ОК.3, 4, 8	Преподаватель называет тему следующей лекции, сообщает основные и дополнительные источники информации, отвечает на вопросы студентов.

 

 

 

Конспект лекции №1.

Дифференциальное исчисление.

 

План:

1.      Роль и место математики в современном мире.

2.      Понятие функции, способы задания функции, область определения и область значения функции. 3. Производная и дифференциал функции.

 

1) Роль и место математики в современном мире.

 

Роль  математики в различных областях естествознания  в разное время была неодинакова. Она складывалась исторически, и существенное влияние на нее оказали два фактора: уровень развития математического аппарата и степень зрелости знаний об изучаемом объекте, возможность описать его основные черты и свойства на языке математических понятий и соотношений, или, как теперь принято говорить, возможность построить «математическую модель» изучаемого объекта.

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, идеализации, никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей, а является его приближенным отражением. Однако благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Это аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в разных условиях, т. е. прогнозировать результаты будущих наблюдений. Математические модели давно и весьма успешно применяются механике, физике, астрономии, биологии и медицине.

Приведем простейший пример математической модели. Представим себе, что требуется определить площадь пола комнаты. Для выполнения такого задания измеряют длину и ширину комнаты, а затем перемножают полученные числа.  Эта элементарная процедура фактически означает следующее. Реальный объект – пол комнаты заменяется абстрактной математической моделью – прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь.

Сейчас уже никто не сомневается в том, что математические методы, наряду с физическими и химическими, являются мощным инструментом при исследовании биологических и медицинских проблем. Современные биологи и медики  получают (по крайней мере, в идеале) достаточно серьезную математическую подготовку.

Математическое образование медиков и биологов должно, с одной стороны, давать им понятие об основных идеях и языке математики, о том, что может и чего не может математика, а с другой – дать им такой набор «ремесленных» приемов и методов, которые позволяли бы им самим решать свои задачи, обращаясь к профессионалам лишь в сложных и нестандартных случаях.

 

2) Понятие функции, способы задания функции, область определения и область значения функции.

 

При изучении природных и технических процессов исследователи  сталкиваются с величинами, одни из которых сохраняют одно и то же значение – они называются постоянными, а другие могут  принимать различные численные значения и называются переменными. Примерами постоянных величин: температура кипения воды при нормальном давлении,  скорость тела, движущегося равномерно и прямолинейно. Скорость камня брошенного вверх, есть переменная величина: сначала она уменьшается и, когда камень достигает наивысшей точки полета, скорость его становится равной 0. затем начинается свободное падение под действием силы тяжести, скорость камня увеличивается.

В практических задачах изменение переменной величины обычно связано с изменением одной или нескольких переменных величин. Например, путь, пройденный телом с постоянной скоростью прямо пропорционален времени движения: S  vt . Этой формулой выражена зависимость переменной S – пути, пройденного телом, от переменной t  - времени движения. Видно, что переменные S и t  не могут принимать произвольные значения независимо друг от друга. Придавая определенные значения переменной t , мы тем самым единственным образом определим значение переменной S.

Опр. 1. Функцией называется такая зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению х соответствует единственное значение у. Обозначают: y=f (х). 

х – независимая переменная или аргумент.

у – зависимая переменная или функция переменной х.

Значение у, соответствующее данному значению х называют значением функции.

Опр. 2. Совокупность всех значений аргумента х, для которых функция y  f (x) определена, называется областью определения этой функции.

Опр. 3. Совокупность всех значений, которые принимает переменная у, называют областью значений функции y  f (x). Способы задания функции:

•      Аналитический;

•      Табличный     (широко          используется в          различного     рода    экспериментах           и наблюдениях);

•      Графический (используется при работе различных самопишущих приборов, например, работа сердца анализируется с помощью кардиографа).

 

3) Производная и дифференциал функции.

 

Понятие производной возникло как результат многовековых усилий, направленных на решение таких задач, как задача о проведении касательной к кривой или о вычислении скорости неравномерного движения и др.

 

Производная функции.

 

x  x₂  x₁ - приращение  аргумента   x₂  x₁  x

y  y₂  y₁  f x₂ f x₁ - приращение функции на отрезке x1;x2.

Опр. 4. Производной от функции y  f (x) по аргументу x называется предел отношения приращения функции  к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

y  lim y или f x _lim ^f ^{x  x}^{ f} ^x

                                                                                                            x0 x                        x0                         x

 

Примечание: производная обозначается также ^dy

dx

è  Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции y  f x в точке x , т.е. y ^'  tg.

è  Производная есть скорость изменения функции в точке x .

è  Отыскание производной называется дифференцированием функции.

è  Формулы дифференцирования основных функций:

 

 

è  Правила  вычисления производных:

1)                   k u^'  ku^' , где k const.

2)                   u v^'  u ^' v^' ; 3) uv^'  u ^'v uv^' ; u' u 'vuv' .

4)            

                 v          v2

 

è  Формула для вычисления сложной функции:

f gx^'  f ^' gx g ^' x

 

Дифференциал  функции.

 

Опр. 5. Дифференциалом  (первого порядка) функции  y  f x называется главная часть ее приращения, линейная, относительно приращения аргумента.

 

Опр. 6. Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента dx x.

 

è  Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента: df x f ^' xdx или dy  y ^'dx .

è  Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке касания.

 

 

Практическое задание:

 

Найти дифференциалы функций:

1)                    f x 3x ² ;

2)                    f x 7 x ;

3)                    f x 7x³ 9x²  4

 

è Формула для вычисления приближенных значений функции:

 

f x  x f x f xx

 

 

Вычислить приближенное значение:

99.5

Решение: Рассмотрим функцию f x x , f ^' x_ ¹        .

2 x

 

 

Практическое задание:

 

Вычислить приближенное значение:

 

1)             ³⁶⁵⁴ ;



2)             4.0123 .

 

Задание для самостоятельной работы: 1. Найти дифференциал функции:

a)      у = 2х⁵ – 3х + 11;

b)      у ;

c)      у ;

х

d)      у = (х³ – 2)¹⁰.

 

2. Вычислить: 

a)             9,5 ;

b)             .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема: Интегральное исчисление.

 

Мотивация. До недавнего времени биологи, медики  и ученые смежных наук едва ли испытывали необходимость в математике. Однако за прошедшие десятилетия бурно развивались приложения самых различных математических средств к изучению многих типов биологических и медицинских явлений. Этот процесс достиг такой стадии, когда студентов, изучающих биологию и медицину, уже не нужно убеждать, что математика играет важную роль и в их науках. Основная задача нашего курса  - приобрести необходимые математические знания за разумный срок и развить способность применять эти знания в области биологии и медицины.

Одним из основных математических методов, применяемых в медицинских науках,  является описание многих процессов как в окружающем нас мире, так и в нашем организме, при помощи дифференциальных уравнений.  Но их изучение невозможно без знания теории пределов, основ дифференциального и интегрального исчисления.  В процессе  ознакомления с  темой этого занятия вы познакомитесь с  основами интегрального исчисления.

 

Цели занятия:

Образовательная:

1.    Выявить уровень знаний, умений и навыков по изучаемой теме, полученных в школе.

2.    Закрепить, обобщить и дополнить учебный материал по изучаемой теме с учетом содержания программы.

3.    Дать понятия неопределенного и определенного интегралов и их свойств.

Воспитательная: 

1.    Воспитание умения математически исследовать явления реального мира.

2.    Добиваться осознанности необходимости математических знаний в профессии среднего медицинского работника.

Развивающая: 

1.    Способствовать развитию абстрактно-логического мышления и памяти.

2.    Развивать математические способности студентов.

Методическая: 

Закрепить методику проведения лекционного занятия.

Методы обучения: репродуктивный с формированием новых умений и компетенций.

Форма организации учебного процесса:  лекция  №2   информационная.

Интеграция обучения:

Внутрипредметные связи: лекция №1,  практическое занятие №1, 2.

Межпредметные связи: микробиология, физиология, терапия.

Оснащение занятия:  мел, доска, таблицы, раздаточный материал для студентов.

Продолжительность занятия: 90 мин.

Место проведения занятия: лекционный зал.

 

 

Рекомендуемая литература для студентов:

1.    Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. – М.: АЙРИС, 2010.

2.    Данко П.Е. Попов А.Г. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 2011.

3.    Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа. – М.: Наука, 2010.

Рекомендуемая литература для преподавателя:

1.    Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для студентов химико-биологических специальностей педагогических вузов. – М.: Просвещение, 2011.

2.    Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. – М.: Высшая школа, 2011. – т.2.

3.    Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Наука, 2010.

4.    Никольский С.М. Элементы математического анализа. – М.: Наука, 2011.

 

Ход занятия

Основные этапы занятия		Время	Форм-мые компетенции	Методические указания
1.	Организационный момент	3 мин.	ОК.1	Отметка отсутствующих, проверка готовности студентов к занятию
2.	Мотивация учебной деятельности	5 мин.	ОК.1-4	Преподаватель сообщает тему, цели, план занятия, отмечает значение данного занятия в будущей учебной и практической деятельности с целью побуждения студентов к предстоящей работе.
3.	Изложение материала	75 мин.	ОК.2-4, 8, 9	Преподаватель излагает материал согласно плану, по ходу лекции ставит вопросы перед группой с целью активизации внимания, определения уровня мыслительной деятельности
4.	Систематизация и закрепление материала	5 мин.	ОК.2-4, 8	Преподаватель задает вопросы по теме, слушает ответы студентов, уточняет ответы, задает дополнительные вопросы, просит студентов дополнить ответ, исправить ответ с целью определения уровня усвоения учебного материала, развития речи, логического мышления.
5.	Задание к следующей лекции	2 мин.	ОК.3, 4, 8	Преподаватель называет тему следующей лекции, сообщает основные и дополнительные источники информации, отвечает на вопросы студентов.

 

Конспект лекции №2.

Неопределенный и определенный интегралы и их свойства.

 

План:

1.         Понятие неопределенного интеграла и его свойства.

2.         Понятие определенного интеграла и его свойства.

 

1) Понятие неопределенного интеграла и его свойства.

 

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной функции. Разнообразные вопросы математического анализа, его многочисленные приложения к геометрии, механике, физике приводят к решению обратной задачи: по данной функции f (x) найти такую функцию F(x), производная которой была бы равна функции f (x) , т.е. F(x)  f x. Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.

 

Опр. 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f (x) , если F(x)  f x или dFx f xdx.

Если функция f (x) имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении F(x)С , где С – постоянная.

Опр. 2. Неопределенным интегралом от функции f (x) (или от выражения f xdx) называется совокупность всех ее первообразных. Обозначение: 

 f xdx  FxC .

Здесь  - знак интеграла, f (x) - подынтегральная функция, f xdx - подынтегральное выражение, x - переменная интегрирования.  Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

 

Свойства неопределенного интеграла (правила интегрирования):

 

1) Сf xdx С f xdx ,  где С - постоянная; 2) f x gxdx  f xdxgxdx.



3)         ^ f xdx  f x;

4)         d^ f xdx f xdx ;

 

Таблица основных интегралов 

 

1. 2. 3. 4. 5.

dx  x C; m1 x xmdx  m 1C; dx  x  ln x  C; exdxex C; x a axdx  lna C;

6. 7. 8. 9.

dx          1      x  a  x 2  a 2  2a ln x  a C; sin xdxcosxC; cos xdx  sin xC; dx 2  tgx C;  cos x

dx 10.     sin2 x  ctgx C; dx 11.     1 x 2  arctgx C; 12.       arcsin x  C; x 13.       arcsin a C.

Практическое задание.

 

Найти неопределенный интеграл:

 

1)          5dx² ;     7) ^ xdx1 ;

2)          6x dx ; dx

3)          4x² x3dx ;           8)  6x 5 ;

4)          x³³3x ²1dx;              9) ^ e₂x dx ; x 3x

5)          ^ _x        dx ;        10) e^3xdx .

3dx

6)           x ;

 

 

2) Понятие определенного интеграла и его свойства.

 

Пусть функция f (x) определена на  отрезке a,b. Разделим отрезок a,b на n произвольных частей точками a  x₀  x₁  x₂ ...x_n1  x_n  b, выберем на каждом ^{элементарном отрезке} x_k1,x_k , произвольную точку l_k и найдем  длину каждого такого отрезка: x_k  x_k  x_k1 .

Опр. 3. Интегральной суммой для функции f (x)  на  отрезке a,b называется сумма вида:

n

 f l_k x_k  f l₁x₁ f l₂x₂ ...f l_nx_n .

k1

Опр. 4. Определенным интегралом от функции f (x)  на  отрезке a,b называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

                                                      b                                                n

 f xdx  maxlimx 0^ f l_k x_k

                                                      a                                     k          k1

 

Теорема существования определенного интеграла: Если  функция f (x) непрерывна на  отрезке a,b, то предел интегральной суммы  существует и не зависит от способа разбиения отрезка a,b на элементарные, и от выбора точек l_k .

 

Если f (x)  0 на  отрезке a,b, то определенный интеграл

b

                                                              f x_dx    геометрически      представляет      собой      площадь

a

криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями:

y  f (x), x  a, x  b, y  0.

 

 

 

 

 

Основные свойства определенного интеграла:

                 b                                      a

1.           f xdx  f xdx .

a                    b a

2.           f xdx 0;

a

                 b                                 c                                 b

3.           f xdx  f xdx  f xdx ;

a                    a c b               b

4. Cf xdx C f xdx,    где С - постоянная;

a                                                         a

b                                                         b         b

5. f x gxdx  f xdxgxdx.

                 a                                                          a                               a

 

Правило вычисления определенных интегралов

 

             - формула Ньютона-Лейбница 

 

 

 

Практическое задание.

 

Вычислить определенный интеграл:

 

1

1.      xdx  ;

0

3

2.     x ² dx  ;

2

2

3.     _x ² 2x1dx9.

1

 

 

Задание для самостоятельной работы: 1. Найти неопределенный интеграл:

       5dx       5

^ 2x 1  2 ln 2x 1 C .

 

2. Вычислить определенный интеграл:

1

_x³ 3x1dx2

1

 

 

 

 

 

 

Раздел 2. Последовательности и ряды.

 

Тема: Последовательности, пределы и ряды.

 

Мотивация. До недавнего времени биологи, медики  и ученые смежных наук едва ли испытывали необходимость в математике. Однако за прошедшие десятилетия бурно развивались приложения самых различных математических средств к изучению многих типов биологических и медицинских явлений. Этот процесс достиг такой стадии, когда студентов, изучающих биологию и медицину, уже не нужно убеждать, что математика играет важную роль и в их науках. Основная задача нашего курса  - приобрести необходимые математические знания за разумный срок и развить способность применять эти знания в области биологии и медицины.

Одним из основных математических методов, применяемых в медицинских науках,  является описание многих процессов как в окружающем нас мире, так и в нашем организме, при помощи дифференциальных уравнений.  Но их изучение невозможно без знания теории пределов, основ дифференциального и интегрального исчисления.  В процессе  ознакомления с темой этого занятия вы познакомитесь с  теорией пределов.

 

Цели занятия:

Образовательная:

1.    Познакомить студентов с основными математическими методами, применяемыми в медицине и биологии.

2.    Дать понятие предела функции в точке и на бесконечности.

3.    Познакомить студентов с видами пределов и правилами вычисления пределов, опираясь на знания, полученные в школе.

Воспитательная: 

1.    Воспитание умения математически исследовать явления реального мира.

2.    Добиваться осознанности необходимости математических знаний в профессии среднего медицинского работника.

Развивающая: 

1.    Способствовать развитию абстрактно-логического мышления и памяти.

2.    Развивать математические способности студентов.

Методическая: 

Закрепить методику проведения лекционного занятия.

Методы обучения: репродуктивный с формированием новых умений и компетенций.

Форма организации учебного процесса:  лекция  №3  информационная.

Интеграция обучения:

Внутрипредметные связи: лекция №1,  практическое занятие №1, №2.

Межпредметные связи: микробиология, физиология.

Оснащение занятия:  мел, доска, таблицы, раздаточный материал для студентов.

Продолжительность занятия: 90 мин.

Место проведения занятия: лекционный зал.

Рекомендуемая литература для студентов:

1.    Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. – М.: АЙРИС, 2010.

2.    Данко П.Е. Попов А.Г. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 2011.

3.    Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа. – М.: Наука, 2010.

Рекомендуемая литература для преподавателя:

1.    Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для студентов химико-биологических специальностей педагогических вузов. – М.: Просвещение, 2011.

2.    Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. – М.: Высшая школа, 2011. – т.2.

3.    Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Наука, 2010.

4.    Никольский С.М. Элементы математического анализа. – М.: Наука, 2011.

 

Ход занятия

Основные этапы занятия		Время	Форм-мые компетенции	Методические указания
1.	Организационный момент	3 мин.	ОК.1	Отметка отсутствующих, проверка готовности студентов к занятию
2.	Мотивация учебной деятельности	5 мин.	ОК.1-4	Преподаватель сообщает тему, цели, план занятия, отмечает значение данного занятия в будущей учебной и практической деятельности с целью побуждения студентов к предстоящей работе.
3.	Изложение материала	75 мин.	ОК.1-4, 9	Преподаватель излагает материал согласно плану, по ходу лекции ставит вопросы перед группой с целью активизации внимания, определения уровня мыслительной деятельности
4.	Систематизация и закрепление материала	5 мин.	ОК.2-4	Преподаватель задает вопросы по теме, слушает ответы студентов, уточняет ответы, задает дополнительные вопросы, просит студентов дополнить ответ, исправить ответ с целью определения уровня усвоения учебного материала, развития речи, логического мышления.
5.	Задание к следующей лекции	2 мин.	ОК.3, 4, 9	Преподаватель называет тему следующей лекции, сообщает основные и дополнительные источники информации, отвечает на вопросы студентов.

 

Конспект лекции №3.

Последовательности, пределы и ряды.

 

План:

1.    Предел функции в точке и его свойства.

2.    Предел функции на бесконечности.

3.    Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

 

1) Предел функции в точке и его свойства.

 

Введем важнейшее понятие предела функции, играющее фундаментальную роль в математике.

Пусть независимая переменная х неограниченно приближается к числу x₀ , т.е. мы придаем х значение максимально мало отличающееся от x₀ x  x₀ .

Пусть также функция y  f (x) определена в некоторой окрестности точки x₀ , т.е. в некотором интервале с центром в точке x₀ , кроме этого, может быть самой точки x₀ .

 

Опр. 1.  Число А называется пределом функции y  f (x) при x  x₀ , если для всех х достаточно мало отличающихся от числа x₀ соответствующие значения функции f (x) максимально мало отличаются от числа А.  Обозначается  lim ^f ^x A

xx₀

x₀ - предельная точка.

Функция f (x) должна быть определена при всех х, близких к x₀ , но не обязательно в самой точке x₀ .

 

Свойства пределов:

 

1)                    lim C  C;

xx₀

2)                    limf x gx lim f x lim gx;

                  xx₀                                                    xx₀                           xx₀

3)                    limf xgx lim f xlim gx;

xx₀       xx₀                       xx_{0 f} _x      xlimx0 f x

4)                    lim                ;

                ^xx₀ gx  lim gx

xx₀

n

5)                    limf xⁿ  ^lim f x^ ;

                  xx₀                               xx₀           

6)                    lim С f x С lim f x.

                  xx₀                                              xx₀

 

Все правила имеют смысл, если пределы функций  f x и gxсуществуют.

Опр. 2. Функция f x непрерывна в точке x₀ , если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке, т.е.  lim f x ^f x₀.

xx₀

2) Предел функции на бесконечности.

 

Опр. 3. Число А называется пределом функции y  f (x) при x , если для всех достаточно больших значений х

соответствующие значения функции f (x) максимально  мало отличаются  от числа А. Обозначается  lim ^f ^x A.

x

Свойства те же самые, что и для предела функции в точке.

 

 

Контрольные примеры:

 

I.                   Если старшая степень х числителя равна старшей степени х знаменателя, то предел функции f (x) при x  равен отношению коэффициентов при старших степенях х.

                  2x ² 3x  4     2

      limx          2                           ;

                         7x 5          7

 

II.                Если старшая степень х числителя больше старшей степени х знаменателя, то предел функции f (x) при x  равен бесконечности.

3x³  x ² 1

      lim_x 2   ;

5x 1

 

III.            Если старшая степень х числителя меньше старшей степени х знаменателя, то предел функции f (x) при x  равен нулю.

9x³  x² 1

lim^x 7x5  x3 _2  0.

 

 

3) Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

 

Опр. 4. Функция y  f (x)называется бесконечно малой функцией при x  x₀ , если lim f x0.

xx₀

 

Свойства бесконечно малой функции:

1.      если функции f x и gx являются бесконечно малыми, то функция f x+ gx также бесконечно малая;

2.      если функции f x и gx являются бесконечно малыми, то функция f x gx также бесконечно малая;

3.      если функция f x является бесконечно малой, то функция С f x также бесконечно малая;

4.      если функция f x является бесконечно малой, то функция f (x)ⁿ также бесконечно малая, где n – целая положительная степень;

 

Опр. 5. Функция y  f (x)называется бесконечно большой функцией при x  x₀ , если lim f x.

xx₀

 

Свойства бесконечно большой функции:

1

1.      если функция f x является бесконечно большой, то      есть бесконечно малая;

f (x)

1

2.      если функция f x является бесконечно малая и f x 0, то  есть бесконечно f (x) большая.

 

В дальнейшем будем использовать символические записи для любого числа а >0:

 ^а =     , ^а =0.

0            

 

sinx Первый замечательный предел: lim        1. x0 x

x

Второй замечательный предел: ^lim_1^ 1x^_ e .

_x_

 

Практическое задание.

 

Найти пределы функций:

1.          lim5x³ 6x ²  x 513;

x2

2.          lim2x15x2 2;

x0

3.          lim x 2  x 1  3; x2                       x 3

4.          ^limx0 3x ²2  2x  2 ;

2x 5x           5 x ² 5x  6    1

5.          ^limx3               2                                ; 3x 9x           9 x  4  2      1

6.          lim                     ;

            x0                  x            4

7.          lim^3 ^1 3; x        x

8.          limx ²  x1 .

x

 

Задание для самостоятельной работы:

 

Найти пределы функций:

а)  limx0  2x       4;     б)         lim^x3 x 2 2 5x 6  1 ;            x 11           3x 9x 9

                 

 

 

9x ²  x³ 12x ⁴

                                                                                                                                            в) limx 5x ₄  x ₂ = - 2,4.

Раздел 3. Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении.

 

Тема: Операции с множествами. Основные понятия теории графов. Комбинаторика.

 

Мотивация. До недавнего времени биологи, медики  и ученые смежных наук едва ли испытывали необходимость в математике. Однако за прошедшие десятилетия бурно развивались приложения самых различных математических средств к изучению многих типов биологических и медицинских явлений. Этот процесс достиг такой стадии, когда студентов, изучающих биологию и медицину, уже не нужно убеждать, что математика играет важную роль и в их науках. Основная задача нашего курса  - приобрести необходимые математические знания за разумный срок и развить способность применять эти знания в области биологии и медицины.

Почти каждому социальному или природному событию присущи неопределенности, анализировать которые люди пытаются с помощью интуитивного понятия вероятности. 

У теории вероятностей крайне широкий диапазон применений – от предсказания погоды до азартных игр и генетики. Вероятность – это фундаментальное понятие, возникающее в любой области человеческой деятельности. В сущности, даже современные теории структуры материи сами формулируются в терминах теории вероятностей. Чтобы охватить такое разнообразие областей приложения, нужно было разработать весьма общую теорию.

В медицине приходится иметь дело с большими и сложно организованными объектами, поэтому трудность исследования состоит в выборе специфических предпосылок и исходных положений для последующей математической  обработки, а также в  толковании результатов, получаемых  с помощью математических методов. Одними из таких   методов являются методы теории вероятности.

Методы теории вероятности  получили широкое распространение в практике медико-экспериментальных и клинических исследований, например при обработке лабораторных и клинических данных (в т.ч. при анализе ЭКГ, получении распределений  микрообъектов по оптико-геометрическим параметрам в гистологических препаратах и т.д.), в ходе  эпидемиологических исследований, в санитарной статистике,  аптечной сети и т.д.

 

Цели занятия:

Образовательная:

1.      Познакомить студентов с базовыми элементами математической логики, комбинаторики, теории вероятностей.

2.      Рассказать о применении теории вероятностей в науке и технике, в организации производства.

Воспитательная: 

Добиваться осознанности необходимости математических знаний в профессии среднего медицинского работника.

Развивающая: 

1.      Способствовать развитию абстрактно-логического мышления и памяти.

2.      Развивать математические способности студентов.

3.      Воспитание умения математически исследовать явления реального мира.

Методическая: 

            Закрепить методику проведения лекционного занятия.

Методы обучения: репродуктивный с формированием новых умений и компетенций.

Форма организации учебного процесса:  лекция  №4   информационная.

Интеграция обучения:

            Внутрипредметные связи: лекция №5,  практическое занятие №3, №4.

 Межпредметные связи: генетика, социология, политология, клинические дисциплины.

Оснащение занятия:  мел, доска, таблицы, раздаточный материал для студентов, калькулятор.

Продолжительность занятия: 90 мин.

Место проведения занятия: лекционный зал.

Рекомендуемая литература для студентов:

1.      Данко П.Е. Попов А.Г. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:

Высшая школа, 2010.

2.      Гмурман         В.Е.     Руководство   к          решению        задач   по теории       вероятности и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2011.

Рекомендуемая литература для преподавателя:

1.      Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для студентов химико-биологических специальностей педагогических вузов. – М.: Просвещение, 2010.

2.      Колде П.К. Практикум по теории вероятности и математической статистике. – М.:

Высшая школа, 2011.

3.      Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 2011.

4.      Гроссман С. Тернер Дж. Математика для биологов: Пер. с англ. – М.: Высшая школа, 2010.

 

Ход занятия

Основные этапы занятия		Время	Форм-мые компетенции	Методические указания
1.	Организационный момент	3 мин.	ОК. 1	Отметка отсутствующих, проверка готовности студентов к занятию
2.	Мотивация учебной деятельности	5 мин.	ОК. 1-4	Преподаватель сообщает тему, цели, план занятия, отмечает значение данного занятия в будущей учебной и практической деятельности с целью побуждения студентов к предстоящей работе.
3.	Изложение материала	75 мин.	ОК. 2-4, 9	Преподаватель излагает материал согласно плану, по ходу лекции ставит вопросы перед группой с целью активизации внимания, определения уровня мыслительной деятельности
4.	Систематизация и закрепление материала	5 мин.	ОК. 3, 4, 9	Преподаватель задает вопросы по теме, слушает ответы студентов, уточняет ответы, задает дополнительные вопросы, просит студентов дополнить ответ, исправить ответ с целью определения уровня усвоения учебного материала, развития речи, логического мышления.
5.	Задание к следующей лекции	2 мин.	ОК. 3, 9	Преподаватель называет тему следующей лекции, сообщает основные и дополнительные источники информации, отвечает на вопросы студентов.

 

Конспект лекции №4.

Основные понятия дискретной математики. Элементы теории вероятностей.

 

План:

1.      Элементы математической логики.

2.      Элементы комбинаторики.

3.      Вероятность случайного события.

 

1. Элементы математической логики.

 

В каждой математической теории изучаются утверждения об объектах этой теории.

Например, в геометрии изучаются утверждения о точках и прямых, в арифметике о числах.  Объектом теории множеств является множество. Основные объекты теории являются неопределяемыми  понятиями.

Математическая логика изучает некоторые объекты, которые называются высказываниями.

Высказывание – это основное неопределяемое понятие математической логики.

Под высказыванием понимается утверждение, относительно которого имеет смыл говорить, что оно истинно, т.е. верно или ложно, т.е. неверно.

Таким образом, высказываниями не являются вопросительные, восклицательные предложения, а также определения и предложения, содержащие неизвестную или переменную величину.

Для математики не важен смысл высказывания, а важно только то, истинно оно или ложно.

Каждому высказыванию, которые обозначают большими латинскими буквами (А, В, С) приписывают значение истинности (И), если это высказывание истинно или (Л), если оно ложно.

Любое высказывание либо истинное, либо ложное и одновременно оно истинным и ложным быть не может.

 

Практическое задание.

 

Определите, какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие нет. Укажите значение истинности высказываний.

1)     Москва – столица России.(и)

2)     8 – целое число.(и)

3)     42 при делении на 5 дает остаток 3.(л) 4) А.С. Пушкин родился в 1799 г.(и) 5) Какой чудесный день!

6) При умножении нуля на любое число получится нуль.(и) 7) Х – однозначное число.

8) 511 50.(л) 9) х514.

10) Вы любите мороженое?

 

Логические операции.

 

Опр.1. Операции над высказываниями, при помощи которых получаются новые высказывания, называются логическими операциями.

 

 

1)      Отрицание.

Опр.2. Отрицанием высказывания А называется такое новое высказывание, которое принимает значение И, если А-Л, и принимает значение Л, если А-И. 

Обозначается А - «не А».

Таблица истинности значений

А	А
И	Л
Л	И

Практическое задание.

 

Сформулируйте отрицание для высказываний.

•      Сегодня воскресенье.

•      Все лекарственные препараты выпускаются в виде таблеток.

•      5 – целое число.

 

2)      Дизъюнкция.

Опр.3. Дизъюнкцией высказываний А и В называется такое новое высказывание, которое принимает значение Л, тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложные. Обозначается А В - «А или В».

Таблица истинности значений

А	В	А В
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Практическое задание.

 

Сформулируйте высказывание, которое является дизъюнкцией высказываний А и В и определите его значение истинности.

            А: Москва – столица России.           В: Лондон – столица Франции.

 

3)      Конъюнкция.

Опр.4. Конъюнкцией высказываний А и В называется такое новое высказывание, которое принимает значение И, тогда и только тогда, когда оба высказывания  А и В  - И.

Обозначается  АВ - «А и В».

Таблица истинности значений.

А	В	А В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

 

Практическое задание.

 

Сформулируйте высказывание, которое является конъюнкцией высказываний А и В и определите его значение истинности.

 А: Анальгин – успокаивающий препарат.  В: Земля – планета солнечной системы.

 

Практическое задание.

Сформулируйте и запишите в виде конъюнкции и дизъюнкции условия истинности каждого предложения.

1.      аb  0a  0b  0.

2.      ab  0a  0b  0.

3.      a² b²  0a  0b  0.

 

Определите значение истинности высказывания, если известно, что А-и, В-л, С-л. a) АСВ;

b) ВСА.

 

2. Элементы комбинаторики.

 

Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества.

 

Основные формулы комбинаторики.

 

1.                  Перестановки – комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок определяется по формуле: 

P_n  n!,      где n!123...n.

Например: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз? Решение: n=3   P₃ 123  6.

 

2.                  Размещения – комбинации, состоящие из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений определяется по формуле:

A_n^m  nn 1n 2...n m1 m                  n!        

A_n 

n  m!

Например: Найти количество двузначных чисел.

                            ²                   10!       910  90

Решение: A₁₀                 

10 2!

 

3.                  Сочетания – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число всех возможных сочетаний  определяется по формуле:

Cnm  n! m!n  m!

Например: Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей.

Решение: С₁₀² _ ^10!  45,    где n 1! n!n 1.

2!8!

 

 

3. Вероятность случайного события.

 

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на 3 вида: достоверные, невозможные и случайные.

Опр.5. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. 

§  Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении, и температуре 20⁰, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное событие. Атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий.

§  Смерть живого организма – достоверное событие.

Опр.6. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий.

§  Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность предыдущего примера.

Опр.7. Случайным называют событие, которое может произойти либо не произойти при осуществлении совокупности условий.

§  Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо «орел», либо «решка». Поэтому событие «при бросании монеты выпал «орел» – случайное.

 

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений.

Методы теории вероятностей широко применяются в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории массового обслуживания и других теоретических прикладных науках. Теория вероятностей служит для обоснования математической и прикладной статистики, которая используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, приемочном контроле качества продукции и других целей.

Опр.8. Случайным называется событие, которое может произойти, а может и не произойти в результате некоторого испытания. Обозначаются:   А, В, С,…

Опр.9. Испытание – это процесс, включающий определенные условия и приводящий к одному из возможных исходов.

ИСПЫТАНИЕ	ИСХОД ИСПЫТАНИЯ
Подбрасывание монеты	Орел, решка
Контроль качества деталей	Годная, бракованная
Продажа квартиры	Продана, не продана
Результат футбольного матча	Победа, проигрыш, ничья

 

Опр.10. События называют несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них (наступление зимы или лета).

Опр.11. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании (снег и дождь).

Под вероятностью в широком смысле понимают количественную меру неопределенности или число,  которое выражает степень уверенности в наступлении того или иного случайного события.

Опр.12. Вероятностью случайного события А называется отношение числа исходов  (m), благоприятствующих наступлению события А к числу (n) всех исходов.

0 Р(А) 1

P,

 

Если  Р(А) = 0, то имеем невозможное  случайное событие (событие, которое не  может произойти не при одном испытании).

Если Р(А) = 1, то имеем достоверное случайное событие (событие, которое должно произойти при каждом испытании).

             

В теории вероятностей очень распространена урновая схема, которая непосредственно реализуется при розыгрышах лотереи или  при жеребьевке.

Урновую схему можно использовать в выборочном приемочном контроле массовой продукции. Пусть имеется партия N изделий, из которых М бракованных. Часто сплошной контроль всех изделий или слишком дорог или невозможен. В этом случае прибегают к выборочному контролю, выбирая из партии в N изделий n изделий, n<N, и подвергая их контролю. Если в этой выборке будет небольшое число бракованных изделий, то можно считать, что и общее число М бракованных изделий невелико. В противном случае либо бракуют всю партию, либо подвергают ее сплошному контролю.

 

Практическое задание.

 

1.      В урне 20 шаров с номерами  от 1 до 20. Какова вероятность вынуть шар с № 37.  (Р(А)=0)

2.      В ящике 10 пронумерованных шаров с номерами  от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10.  (Р(А)=1) 

3.      Брошена монета. Какова вероятность того, что выпадет герб?   (Р(А)= )

4.      Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет 5. ( P(A)   ) 5. В урне 15 шаров:5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар.  (Р(А)=0)

6.      В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных, 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар, белый шар, красный шар.

¨     m = 4, n = 12, P(A) =  ;

¨     m = 3, P(A) =  

¨     m = 5, P(A) =  

7.      В лотереи из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный.

¨     m = 200, n = 1000, P(A) =  

 

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Например: Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из двух событий: попадание, промах. Эти 2 несовместных события образуют полную группу.

 

Сумма вероятностей событий А₁, А₂, А₃,..., А_n , образующих полную группу равна 1.

P(A₁)P(A₂)...P(A_n) 1

Опр.13. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из этих событий обозначено через А, то другое

принято обозначать А.

Например: Попадание и промах при выстреле по цели – противоположные события.

А – попадание, А - промах.

 

Задание для самостоятельной работы:

1.      Найти значение истинности высказывания, если А-и, В-л, С-и. ACBAи.

2.      В забеге участвуют 5 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться 3 первых места. (число размещений = 60).

3.      Сколькими способами можно расставить 4 книги на полке. (число перестановок = 24).

4.      Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифру

5.      (0.81)

5. Вероятность того, сто стрелок попадет в цель = 0.7. какова вероятность, что он промахнется. (0.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема: Основные понятия теории вероятности и математической статистики.

 

Мотивация. До недавнего времени биологи, медики  и ученые смежных наук едва ли испытывали необходимость в математике. Однако за прошедшие десятилетия бурно развивались приложения самых различных математических средств к изучению многих типов биологических и медицинских явлений. Этот процесс достиг такой стадии, когда студентов, изучающих биологию и медицину, уже не нужно убеждать, что математика играет важную роль и в их науках. Основная задача нашего курса  - приобрести необходимые математические знания за разумный срок и развить способность применять эти знания в области биологии и медицины.

Почти каждому социальному или природному событию присущи неопределенности, анализировать которые люди пытаются с помощью интуитивного понятия вероятности. 

У теории вероятностей крайне широкий диапазон применений – от предсказания погоды до азартных игр и генетики. Вероятность – это фундаментальное понятие, возникающее в любой области человеческой деятельности. В сущности, даже современные теории структуры материи сами формулируются в терминах теории вероятностей. Чтобы охватить такое разнообразие областей приложения, нужно было разработать весьма общую теорию.

В медицине приходится иметь дело с большими и сложно организованными объектами, поэтому трудность исследования состоит в выборе специфических предпосылок и исходных положений для последующей математической  обработки, а также в  толковании результатов, получаемых  с помощью математических методов. Одними из таких   методов являются методы теории вероятности

Методы теории вероятности  получили широкое распространение в практике медико-экспериментальных и клинических исследований, например при обработке лабораторных и клинических данных (в т.ч. при анализе ЭКГ, получении распределений  микрообъектов по оптико-геометрическим параметрам в гистологических препаратах и т.д.), в ходе  эпидемиологических исследований, в санитарной статистике,  аптечной сети и т.д.

 

Цели занятия:

Образовательная:

1.      Познакомить студентов с основными теоремами теории вероятностей.

2.      Рассказать о применении теории вероятностей в науке и технике, в организации производства.

Воспитательная: 

Добиваться осознанности необходимости математических знаний в профессии среднего медицинского работника.

Развивающая: 

1.      Способствовать развитию абстрактно-логического мышления и памяти.

2.      Развивать математические способности студентов.

3.      Воспитание умения математически исследовать явления реального мира.

Методическая: 

 Закрепить методику проведения лекционного занятия.

Методы обучения: репродуктивный с формированием новых умений.

Форма организации учебного процесса:  лекция  №5   информационная.

Интеграция обучения:

 Внутрипредметные связи: лекция №4,  практическое занятие №3.

 Межпредметные связи: генетика, социология, политология, клинические дисциплины.

Оснащение занятия:  мел, доска, таблицы, раздаточный материал для студентов, калькулятор.

Продолжительность занятия: 90 мин.

Место проведения занятия: лекционный зал.

Рекомендуемая литература для студентов:

1.      Данко П.Е. Попов А.Г. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:

Высшая школа, 2010.

2.      Гмурман         В.Е.     Руководство   к          решению        задач   по теории       вероятности и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2011.

Рекомендуемая литература для преподавателя:

1.      Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для студентов химико-биологических специальностей педагогических вузов. – М.: Просвещение, 2010.

2.      Колде П.К. Практикум по теории вероятности и математической статистике. – М.:

Высшая школа, 2011.

3.      Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 2011.

4.      Гроссман С. Тернер Дж. Математика для биологов: Пер. с англ. – М.: Высшая школа, 2010.

 

Ход занятия

Основные этапы занятия		Время	Форм-мые компетенции	Методические указания
1.	Организационный момент	3 мин.	ОК. 1	Отметка отсутствующих, проверка готовности студентов к занятию
2.	Мотивация учебной деятельности	5 мин.	ОК. 1-4	Преподаватель сообщает тему, цели, план занятия, отмечает значение данного занятия в будущей учебной и практической деятельности с целью побуждения студентов к предстоящей работе.
3.	Изложение материала	75 мин.	ОК. 2-4, 8, 9	Преподаватель излагает материал согласно плану, по ходу лекции ставит вопросы перед группой с целью активизации внимания, определения уровня мыслительной деятельности
4.	Систематизация и закрепление материала	5 мин.	ОК. 3, 4, 8	Преподаватель задает вопросы по теме, слушает ответы студентов, уточняет ответы, задает дополнительные вопросы, просит студентов дополнить ответ, исправить ответ с целью определения уровня усвоения учебного материала, развития речи, логического мышления.
5.	Задание к следующей лекции	2 мин.	ОК. 8, 9	Преподаватель называет тему следующей лекции, сообщает основные и дополнительные источники информации, отвечает на вопросы студентов.

 

Конспект лекции №5.

Основные понятия теории вероятности и математической статистики.

 

План:

1.      Теоремы сложения и умножения вероятностей.

2.      Формула полной вероятности.

3.      Случайные величины и их характеристики.

 

1) Теоремы сложения и умножения вероятностей.

 

Опр.1. Объединением (или суммой) нескольких случайных событий А₁, А₂ , А₃ ,..., А_n называется событие, состоящее в осуществлении, по крайней мере, одного из данных событий. Объединение обозначается A₁  A₂  A₃ ... A_n.

             Опр.2.    Совмещением    (или    произведением)    нескольких    случайных    событий

А₁, А₂ , А₃ ,..., А_n называется сложное событие , заключающееся в одновременном или последовательном осуществлении этих событий. Совмещение обозначается А₁  А₂  А₃...А_n .

 

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.

 

ТЕОРЕМА. Вероятность  появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

 

P(AB)P(A)P(B) или

P(A₁ A₂ ...A_n) P(A₁)P(A₂)...P(A_n)

 

Практическое задание.

В урне 10б, 15ч, 20с, 25к шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар б, ч, с, к,  б или ч,  с или к,  б, ч или с.

n = 10 + 15 + 20 + 25 = 70

 P(б) =  =  

 Р(ч) =    

 Р(с) =    

 Р(к) =    

Применив теорему  сложения, получим:  Р(б + ч) = Р(б) + Р(ч) =  +  =  

 

 Р(с + к) = Р(с) + Р(к) =      

 Р(б + ч + с) = Р(б) + Р(ч) + Р(с) =  

 

Теорема умножения вероятностей для независимых событий.

 

Опр.3. Событие В называют независимым от события А, если появление события А, не изменяет вероятности события В.

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи.

 

ТЕОРЕМА. Вероятность  совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Р(АВ) = Р(А)Р(В) или

 

Р( А₁  А₂  А₃...А_n )  =  P(A₁ )P(A₂ )P(A₃ )...P(A_n )

 

Практическое задание.

1.      В одной урне 4б и 8ч шаров, в другой 3б и 9ч. из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара белые.

 

А – появление белого шара из 1 урны.

В – появление белого шара из 2 урны. А и В независимые события.

 

P(A)    ,P(B)    ,P(AB)  P(A)P(B)       0.083

 

2.      Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для 1 стрелка равна 0.75, для 2 – 0.8, для 3 – 0,9. Определить вероятность того, что все 3 стрелка одновременно попали в цель.

 

А – попадание в цель 1.

В – попадание в цель 2. С – попадание в цель 3.

 

Р(А) = 0.75, Р(В) = 0.8, Р(С) = 0.9

Р(АВС) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = 0.75 + 0.8 + 0.9 = 0.54

 

3.      Бросается игральная кость и монета. Найти вероятность того, что одновременно выпадет «6» и «орел».

А – при бросании кости «6».

В – при бросании монеты «орел».

А и В независимы, поэтому P(AB)  P(A)P(B)      

 

Теорема сложения вероятностей для совместных событий.

 

ТЕОРЕМА. Вероятность  появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

 

Р(А B)  P(A) P(B) P(AB) 

 

Практическое задание.

             Вероятности    попадания    в    цель    при    стрельбе    первого    и    второго    орудий 

соответственно равны p₁ = 0.7; p₂ = 0.8. Найти  вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

 

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит  от результата стрельбы из другого орудия, поэтому событие А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы.

 Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание) PAB PAPB 0.70.8  0.56.

Искомая вероятность

PA B PA PB PAB 0.70.80.56  0.94.

Теорема умножения вероятностей для зависимых событий.

Опр.4. Условной вероятностью P_A(B) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

 

ТЕОРЕМА. Вероятность  совместного  появления двух зависимых  событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго.

P(AB)  P(A) P_A(B)  P(B) P_B(A) 

 

Практическое задание.

В ящике 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет на удачу 2 детали одну за другой. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

 

А -  первая взятая деталь стандартная. В – вторая взятая деталь стандартная.

 

Вероятность того, что 1 деталь стандартная составляет P(A)     .

Вероятность того, что вторая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е. условная вероятность события  В  равна  P_A (B)   . Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными:

 

P(AB)  P(A)P_A(B)       0.424

 

2) Формула полной вероятности.

 

Если  известно, что событие А может произойти  вместе с одним из событий

H₁,H ₂ ,...H_n , образующими полную группу несовместных событий. И при наступлении каждого из них, например H_i , событие А может наступить с некоторой условной вероятностью ^P_Hi (A) . Тогда вероятность события А  вычисляется по  формуле:

P(A) P(H₁)P_H1 (A)P(H₂)P_H2 (A)...P(H_n)P_Hn (A) , 

 

где  P(H₁ ) P(H ₂ ) ... P(H_n ) 1.

 

Практическое задание.

 Имеется 3 урны: I – 3б, 3ч, II – 3б, 5ч, III – 2б, 6ч. Наугад  выбирают урну и шар. Найти вероятность того, что вынутый шар белый.

H₁ – выбор 1 урны. H₂ - выбор 2 урны.

H ₃ - выбор 3 урны.

А – вынутый шар белый.

                P(H₁ )                        P_H1 (A)  

                     P(H ₂ )                    P_H2 (A) 

                P(H ₃ )                        P_H3 (A)  

P(A)              0.525

 

3) Случайные величины и их характеристики.

 

Если случайные события  (СС) в ходе эксперимента принимают числовые значения, то будем говорить о случайной величине (СВ).

Мы рассматривали события, состоящие в появлении  того или иного числа. Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1,2,3,4,5,6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих  случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная, а числа 1,2,3,4,5,6 – возможные значения этой величины.

 

Опр.5. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые не могут быть учтены.

Например: число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 1, 2, 3, …100.

Обозначаются случайные величины прописными буквами: X, Y, Z, а их возможные значения: x, y, z.

 

Практическое задание.

Выяснить, какие из следующих примеров являются СВ. a) Бросание двух монет.

b)    Произведение очков при бросании двух игральных костей.

c)     Число пар обуви, проданной магазином за день в течение года.

d)    Вынимание наудачу  карты из колоды.

e)     Исход игры в шахматы.

f)     Стрельба по мишени.

g)    Длина болта, изготовленного станком.

h)    Число зерен в початке кукурузы. Примеры:

1)    Число попаданий при трех выстрелах (0, 1, 2, 3).

2)    Число вызовов, поступивших на телефон стационара за сутки (0, 1, 2, …).

3)    Число очков при бросании игральной кости.

4)    Число машин, проезжающих через перекресток за 1 час.

5)    Количество писем, поступающих ежедневно на почтовое отделение в течение года.

В этих примерах случайные величины могут принимать отдельные изолированные значения, которые можно заранее перечислить.

 

Опр.6. Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные возможные значения (т.е. между двумя соседними возможными значениями нет других возможных значений). Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

 

Примеры:

1)          Скорость летательного аппарата в момент выхода на заданную высоту.

2)          Вес новорожденного ребенка.

3)          Вес наугад взятого зерна пшеницы.

4)          Время «годности»  электролампочки. 5) Рост всех пациентов детской поликлиники.

 

Возможные значения таких случайных величине не отделены друг от друга, они непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Опр.7. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

 

Опр.8. Законом распределения ДСВ называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

При табличном задании закона распределения ДСВ первая строка таблицы содержит возможные значения, а второе их вероятности:

Х	x1	x2	…	xn
р	p1	p2	…	pn

Где  p₁  p₂ ... p_n 1 (полная группа событий).

 

Практическое задание.

В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 5000 рублей и десять по 100 рублей. Найти закон распределения стоимости возможного  выигрыша для владельца одного лотерейного билета (ДСВ Х). Решение: 

Возможные значения: x₁  5000, x₂ 100, x₃  0.

Вероятности: p₁  0.01, p₂  0.1, p₃  0.89. Закон распределения: 

Х	5000	1000	0
р	0.01	0.1	0.89

 

Графический способ задания СВ Х:

 

 

Практическое задание.

ДСВ задана законом распределения. Построить многоугольник распределения.

Х	2	4	5	6
р	0.3	0.1	0.2	0.4

 

Числовые характеристики ДСВ.

 

Характеристикой среднего значения СВ служит математическое ожидание.

Опр.9. Математическим ожиданием (средним значением) ДСВ называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Mxx₁p₁ x₂p₂ ...x_n p_n

Свойства математического ожидания:

1)             MCC ;

2)             MCXCMX;

3)             MX₁  X₂ ... X_n MX₁ MX₂... MX_n;

4)             MX₁  X ₂ ... X _n  MX₁  MX ₂ ... MX _n ,  где X₁,X₂,...X_n - взаимно независимые случайные величины.

Характеристикой рассеяния  возможных значений СВ вокруг математического ожидания служит дисперсия.

 

Опр.10. Дисперсией ДСВ Х называют математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания.

DXMXMX² или DXMX ² MX²

X  MX - отклонение СВ Х от математического ожидания.

 

Свойства дисперсии:

1)     DC 0 ;

2)     DCXC ² DX;

3)     DX₁  X ₂ ... X _n  DX₁  DX ₂ ... DX _n .

 

Практическое задание.

Найти  математическое ожидание и дисперсию ДСВ, заданной законом распределения:

Х	-5	2	3	4
р	0.4	0.3	0.1	0.2

 

MX 50.4  20.3 30.1 40.2  0.3 Закон распределения  X ² :

X 2	25	4	9	16
р	0.4	0.3	0.1	0.2

 

MX ²  250.440.390.1160.2 15.3

DX MX ²MX² 15.3  0.3² 15.21

 

Задание для самостоятельной работы:

 

1.                  Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0.45, во вторую 0.35. найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область. (0.8).

2.                  В читальном зале имеется 6 учебников по С/д, из которых 3 в переплете. Библиотекарь наудачу взял 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете

(0.2) 3. В первой коробке содержится 20 стандартов лекарственных препаратов, из них 15 – это обезболивающие препараты; во второй – 30 стандартов, из них 24 обезболивающие препараты; в третьей – 10 стандартов, из них 6 обезболивающие препараты. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный стандарт из наудачу взятой коробки – обезболивающий препарат. (0.72)

4. Пусть ДСВ Х распределена по закону. Найти M(X), D(X). Построить многоугольник распределения.

Х	0	1	3	4	8
р	0.1	0.2	0.5	0.1	0.1

 

М=2.9, D=4.29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема: Математическая статистика и еѐ роль в медицине и здравоохранении.

 

Мотивация. До недавнего времени биологи, медики  и ученые смежных наук едва ли испытывали необходимость в математике. Однако за прошедшие десятилетия бурно развивались приложения самых различных математических средств к изучению многих типов биологических и медицинских явлений. Этот процесс достиг такой стадии, когда студентов, изучающих биологию и медицину, уже не нужно убеждать, что математика играет важную роль и в их науках. Основная задача нашего курса  - приобрести необходимые математические знания за разумный срок и развить способность применять эти знания в области биологии и медицины.

Применение статистических методов в практической деятельности среднего медицинского персонала является повседневным обязательным и ответственным делом. При этом отдельные элементы статистических операций тесно сочетаются с множеством видов медицинской деятельности.

Статистическая работа среднего медицинского персонала по обеспечению  достоверных первичных сведений является тем фундаментом, на который опирается вся система государственной медико-статистической информации, определяющая эффективность планирования, управления и организации служб здравоохранения в стране.

 

Цели занятия:

Образовательная:

1.                    Познакомить студентов с базовыми элементами математической статистики и ее практическим приложением в медицинской статистике.

2.                    Дать студентам понятие о медико-демографических показателях.

Воспитательная: 

1.                    Добиваться осознанности необходимости математических знаний в профессии среднего медицинского работника.

2.                    Воспитывать интеллектуальную культуру.

Развивающая: 

1.    Способствовать развитию абстрактно-логического мышления и памяти.

2.    Развивать математические способности студентов.

3.    Развитие  умения математически исследовать явления реального мира.

Методическая: 

Закрепить методику проведения лекционного занятия.

Методы обучения: репродуктивный с формированием новых умений, проблемный.

Форма организации учебного процесса:  лекция  №6.

Интеграция обучения:

            Внутрипредметные связи: лекция № 4, 5,  практическое занятие №3.

            Межпредметные связи: клинические дисциплины, социология, политология.

Оснащение занятия:  мел, доска, таблицы, калькулятор.

Продолжительность занятия: 90 мин.

Место проведения занятия: лекционный зал.

Рекомендуемая литература для студентов:

1.      Данко П.Е. Попов А.Г. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:

Высшая школа, 2010.

2.      Гмурман         В.Е.     Руководство   к          решению        задач   по теории       вероятности и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2011.

Рекомендуемая литература для преподавателя:

1.      Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для студентов химико-биологических специальностей педагогических вузов. – М.: Просвещение, 2010.

2.      Колде П.К. Практикум по теории вероятности и математической статистике. – М.:

Высшая школа, 2011.

3.      Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 2011.

4.      Гроссман С. Тернер Дж. Математика для биологов: Пер. с англ. – М.: Высшая школа, 2010.

 

Ход занятия

Основные этапы занятия		Время	Форм-мые компетенции	Методические указания
1.	Организационный момент	3 мин.	ОК. 1-4	Отметка отсутствующих, проверка готовности студентов к занятию
2.	Мотивация учебной деятельности	5 мин.	ОК. 1-4	Преподаватель сообщает тему, цели, план занятия, отмечает значение данного занятия в будущей учебной и практической деятельности с целью побуждения студентов к предстоящей работе.
3.	Изложение материала	75 мин.	ОК.1-4, 8; ПК.1.3; ПК.2.1-2.4; ПК.3.1	Преподаватель излагает материал согласно плану, по ходу лекции ставит вопросы перед группой с целью активизации внимания, определения уровня мыслительной деятельности
4.	Систематизация и закрепление материала	5 мин.	ОК. 3, 4, 8; ПК.1.3	Преподаватель задает вопросы по теме, слушает ответы студентов, уточняет ответы, задает дополнительные вопросы, просит студентов дополнить ответ, исправить ответ с целью определения уровня усвоения учебного материала, развития речи, логического мышления.
5.	Задание к следующей лекции	2 мин.	ОК. 3, 8; ПК.2.1-2.4	Преподаватель называет тему следующей лекции, сообщает основные и дополнительные источники информации, отвечает на вопросы студентов.

 

                 

Конспект  лекции №6.

 

Математическая статистика и ее роль в медицине и здравоохранении.

Медико-демографические показатели.

 

План:

1.                       Предмет  и задачи математической статистики.

2.                       Применение статистических методов в практической деятельности среднего медицинского работника.

3.                       Медицинская (санитарная) статистика  и статистическая совокупность.

4.                       Этапы статистического исследования.

5.                       Статистические показатели.

6.                       Медико-демографические показатели.

 

1) Предмет и задачи математической  статистики.

 

Термин «статистика» произошел от латинского слова «статус», что означает «определенное положение вещей».

Статистика является общественной наукой, которая помогает выявить важнейшие закономерности количественных соотношений различных процессов в жизни общества в неразрывной связи с количественными характеристиками.

С вопросом о методе статистики связан вопрос о ее связи с математикой. Эта связь объясняется тем, что для измерения и анализа количественных отношений необходимо применение математических приемов и методов. При изучении массовых случайных процессов статистика  использует специальные математические дисциплины – теорию вероятностей и математическую статистику.

Опр.1. Математическая статистика – раздел математики, изучающий математический методы обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов.

 

Задачи математической статистики:

1)        Указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

2)        Разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.

Значение математики для развития статистики резко возросло в современных условиях в связи с широким использованием вычислительной техники. Внедрение математики в статистику позволяет упорядочить систему статистической информации, обеспечивает возможность создания стандартных программ для «перевода» фактических данных на формализованный язык для проведения массовых расчетов, осуществляемых вычислительными машинами.

Однако использование сложного математического аппарата не может превратить статистику в математику.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Структура статистической науки

 

 

 

Для статистики, изучающей явления социально-экономической жизни в их конкретном своеобразии, математика имеет значение лишь как инструмент исследования.

 

2) Применение статистических методов в практической деятельности среднего медицинского работника.

 

Статистическая  работа среднего медицинского персонала проводится как самостоятельно, так и под методическим руководством врача и состоит в следующем:

1.    Ведение первичной регистрации (учета):  случаев заболеваний, травм, смерти, инвалидности, временной нетрудоспособности и др.

 элементов разнообразной лечебно-профилактической деятельности медицинского персонала, потока обследуемого населения при диспансеризации больных и др. Этот  вид статистической деятельности требует знания и умения работы с официальной учетной медицинской документацией и обеспечивает полноту и достоверность первичной информации о здоровье населения и деятельности медицинских учреждений

2.    Осуществление антропометрических измерений и их регистрация, оценка уровней физического развития индивидуумов и коллективов по специальным стандартам, основанным на статистических величинах. Эти данные являются основным источником сведений об уровнях физического развития разных групп населения.

3.    Участие в составлении по единым методикам ежегодных официальных форм отчетов ЛПУ.

4.    Оказание помощи врачу в организации и проведении статистической работы при специальных обследованиях различных групп населения.

5.    Осмысливание полученных статистических материалов:  правильная подготовка их к обработке с использованием вычислительной техники, разработка, группировка данных, составление таблиц, расчет статистических показателей и графическое их оформление.

Т.о. статистическая работа среднего медицинского персонала по обеспечению достоверных первичных сведений является тем фундаментом,   на который опирается вся система государственной медико-статистической информации, определяющая эффективность планирования, управления и организации служб здравоохранения в стране.

 

3) Медицинская (санитарная) статистика и статистическая совокупность.

 

Опр.2. Медицинская (санитарная) статистика – отрасль статистики, изучающая количественные закономерности состояния и динамики здоровья населения и системы здравоохранения, а так же разрабатывающая методы статистического анализа клинических и лабораторных данных.

В задачи медицинской статистики входит изучение важнейших проблем медицины, гигиены, здравоохранения:

1.    Определение уровня и сдвигов в здоровье отдельных групп населения.

2.    Оценка влияния социально-биологических факторов на здоровье населения.

3.    Анализ данных о сети, кадрах, деятельности ЛПУ.

4.    Определение эффективности лечебно-профилактических мероприятий.

5.    Использование статистических методов в экспериментальных клиникобиологических, социально-гигиенических исследованиях.

Важнейшим принципом статистики является применение ее для изучения не единичных, а массовых явлений, объединенных в группы (совокупности) для выявления общих свойств и закономерностей.

Например: о результатах того или иного метода операции нельзя судить по осложнениям у одного - двух больных. Только наблюдение за группой оперированных больных достаточной численности позволит выявить и измерить уровень послеоперационных осложнений как важный критерий качества работы хирурга и его операционной  сестры.

Т.о. при наблюдении за массой (группой)  явлений  (конкретными видами операций) отдельные, случайные, индивидуальные отклонения (последствия операций) как бы взаимно погашаются,  и на этом фоне выступает основная закономерность (уровень послеоперационных осложнений).

Опр.3. Статистическая совокупность – группа, состоящая из множества относительно однородных элементов. Например, группа оперированных, население на врачебном участке, больные стационара, новорожденные в данном районе, пациенты поликлиники, больные на дому и др.

Опр.4. Единица наблюдения – каждое отдельное явление, подлежащее учету, наделенное признаками сходства (признаками единицы наблюдения).

Опр.5. Численность единиц наблюдения составляет объем статистической совокупности и обозначается  n .

В большинстве социально-гигиенических исследований учитываемыми признаками являются: пол, возраст, семейное положение, уровень образования (описательные учитываемые признаки), масса тела, рост, длительность пребывания в стационаре и др. (количественные учитываемые признаки, выраженные числом).

Различают также факторные и результативные признаки в зависимости от характера влияния: какой признак, на какой влияет (возраст – факторный признак, а рост – результативный).

 

4) Этапы статистического исследования.

 

Строгая  методическая последовательность выполнения элементов статистической работы складывается из 4-х этапов. Перед началом статистического исследования необходимо  сформулировать его цель.

1  этап. Составление программы и плана.

Программа исследования включает: 

•       программу сбора  материала, которая представляет собой карту (бланк, документ), в которой указана единица наблюдения (на кого она будет заполняться) и перечислены учитываемые признаки (вопросы); • программу разработки;

•       макеты таблиц. 

Например, листок  нетрудоспособности является официальной программой сбора материала при изучении заболеваний работающих. На каждый случай потери трудоспособности (единицу наблюдения) заполняют листок нетрудоспособности. Учитываемыми признаками будут: пол, возраст, диагноз, даты потери трудоспособности и др. сведения.

 

2  этап. Сбор материала. Регистрация наблюдений осуществляется различными методами: 

 

По времени наблюдения различают два метода:

1)   Текущая регистрация – запись каждого явления по мере его возникновения и за определенный период (например, за  год). Таким путем собирают сведения о динамике заболеваний, рождений, случаев смерти.

2)   Единовременная регистрация – запись явлений, осуществляемая одновременно путем:

•           переписи, в результате которой определяют численность и состав населения, число и характер больниц, численность врачей, среднего медперсонала и т.д. 

•           медицинского осмотра, в процессе которого собирают материал о состоянии здоровья определенных групп населения (призывники, рабочие). 

•           антропометрических  измерений, с помощью которых собирают материал о физическом развитии населения. 

 

По объему можно 2-мя методами: 

1)                 Сплошной метод предусматривает регистрацию всех объектов совокупности, интересующих исследователя – генеральная совокупность.  

Например, обязательной регистрации подлежит каждый случай рождения, смерти, инфекционного заболевания в стране.

2)                 Выборочный метод предусматривает регистрацию не всех случаев, а только их части – выборочная совокупность. Выборочная совокупность должна удовлетворять следующим основным требованиям: она должна включать достаточное число случаев  и быть типичной для всей генеральной совокупности, из которой эта выборка сделана.

 

По способу: 

•       Регистрация при непосредственном наблюдении;

•       Выписка из документов;

•       Анамнестический;

•       Опрос;

•       Анкетный.

 

3 этап. Разработка материала. Проводится в несколько этапов:

1)   Шифровка материала. Шифр – условный знак, которым обозначают ту или иную группу признаков. Шифровку часто проводит средний медработник под руководством врача. Например, шифровка болезней, как правило, проводится в соответствии с Международной статистической классификацией болезней, травм, и причин смерти, в которой для каждого заболевания имеется номер. 

2)   Группировка по основным учитываемым признакам.

3)   Сводка. Данные по  каждой группе заносят в макеты таблиц, составленных на 1 этапе.

Таблицы могут быть:

 

Простая таблица  составляется только по одному признаку (например, по возрасту). Распределение больных детей по возрасту.

Возраст в годах	Число больных детей
0-4 5-6 7-9 10-14
Всего:

 

Групповая таблица может иметь 2 и более признаков: заболевание, возраст, пол срок госпитализации и т.д. При этом, сочетаться должны только 2 признака: заболевание и возраст, заболевание и пол и т.д.

Заболеваемость детей инфекционными болезнями в зависимости от возраста в г. Минусинске в 2002 году.

Название болезни		Возраст в годах			Всего
	0-4	5-6	7-9	10-14
Корь Скарлатина Инфекционный гепатит…
Итого:

 

Комбинационная таблица содержит комбинации 3-х и более признаков.

Заболеваемость детей инфекционными болезнями в зависимости от возраста и пола в г.

Минусинске в 2002 году.

 

Название болезни			Возраст в годах						Всего
	0-4		5-6		7-9		10-14
Корь Скарлатина …

 

В таблице различают подлежащее и сказуемое.

Статистическое подлежащее – это основной признак изучаемого явления, оно располагается, как правило, по горизонтальным строкам таблицы.

Статистическое сказуемое – признаки, характеризующие подлежащее, оно располагается по вертикальным графам таблицы.

В официальных отчетах о деятельности учреждений здравоохранения представлены различные типы макетов таблиц, которые заполняются средними медработниками в результате разработки ими первичной медицинской  документации.

4) Расчет показателей. 5) Графическое изображение.

 

4 этап. Анализ, выводы, предложения, внедрение в практику.

Заключительная часть статистического исследования проводится в основном врачами с привлечением средних медработников.

 

 

 

5) Статистические показатели.

 

Относительные величины и их графическое изображение.

 

Задача.  Главный педиатр города М поставил перед медицинским работниками детских поликлиник данного города следующие вопросы:

1)   Какую долю занимает корь среди всех инфекционных заболеваний у детей в возрасте от 0 до 4 лет?

2)   Какой уровень заболеваемости корью детей 0-4 лет.

3)   Сколько медицинских сестер приходится на 1000 детей?

Для решения этих задач по городу М за 2002 г. был собран следующий статистический материал: численность детей 0-4 лет составила 8000. Случаев инфекционных заболеваний – 1600, из них случаев кори – 320. Медицинских сестер в детских поликлиниках города – 150, а всех детей в возрасте 0-14 лет насчитывалось 25000. 

Для ответа на запрос главного педиатра необходимо было определить 3 вида относительных  и изобразить их графически.

 

I.                   Экстенсивный показатель или показатель распределения целого на части, указывает, какую долю занимает данное явление в общей совокупности. Экстенсивный показатель характеризует структуру. Он может быть выражен в процентах (%), в промиллях (%₀), реже продецимиллях (%00) в зависимости от того за 100, 1000 или 10000 принимается целое явление.

 

                                   Часть явления 100               Случаи кори                      100 100  20%

                                     Целое явление              Все инфекционные заболевания

 

Ответ на 1-й вопрос: в городе М в 2002 году корь среди всех инфекционных заболеваний у детей в возрасте 0-4 лет составила 20%, следовательно, другие инфекции – 80%.

Экстенсивные показатели изображаются только секторной или внутристолбиковой диаграммой.

 

II.                Интенсивный показатель или показатель частоты, указывает на уровень, распространенность явления во взаимосвязанной с ним среде. Интенсивный показатель может исчисляться  на 100 в процентах (%); на 1000 в промиллях  (%0); на 10000 в продецимиллях (%₀₀).

 

                                  Явление                       Случаи кори у детей 04 лет

                                                100                                                                             1000 1000  40%о

                                    Среда                Численность детей в возрасте 04 лет

 

Ответ на 2-й вопрос: в городе М в 2002 году уровень заболеваемости корью детей 0-4 лет составил 40%₀.   Этот показатель характеризует распространенность кори среди детей.

Интенсивные показатели  могут быть представлены графически в виде столбиковых, линейных, радиальных диаграмм.

 

III.            Показатель соотношения. Характеризует отношение двух самостоятельных совокупностей и выражается в процентах (%), в промиллях (%0), в продецимиллях (%00).

 

СовокупностьА 10000Число медицинскихсестер 10000 60%оо .

                              Совокупность Б                         Численностьдетей

 

Ответ на 3-й вопрос: на каждые 10 тыс. детей (в возрасте 0-14 лет) приходится 60 медицинских сестер.

Средние величины

 

Каждая статистическая совокупность имеет особые групповые свойства, в частности  средний уровень (количественного) учитываемого признака. Средний уровень признака измеряется средними величинами при анализе физического развития группы (средний рост, средняя масса тела); при анализе деятельности медицинского учреждения (средняя длительность пребывания больного на койке, средняя продолжительность обследования больного); при анализе атмосферного воздуха на предприятии (средняя запыленность воздуха в цехе).

Средняя арифметическая величина (М) наиболее часто используется в медицине для характеристики среднего уровня признака.

Для расчета средней М надо построить вариационный ряд – ряд чисел, в котором в возрастающем порядке будут расположены варианты (V) и соответствующая каждой варианте частота случаев (Р) (табл. 1).

Таблица 1 Длительность лечения больных после аппендэктомии.

Длительность лечения, дни (V)	9	10	11	12	13	14	15	16	V 100
Частота случаев (р)	1	1	1	1	1	1	1	1	n  8

 

Средняя арифметическая простая М ^V _12.5 дня. n

 

Различают среднюю арифметическую простую и среднюю арифметическую взвешенную. Если в вариационном ряду каждая варианта не повторяется, а встречается лишь один раз (р=1), вычисляют среднюю арифметическую простую.

Например, медицинская сестра хирургического отделения зарегистрировала учитываемый признак – длительность лечения после аппендэктомии у 8 человек и получила вариационный ряд, из которого видно, что каждый больной имел определенный срок послеоперационного лечения.

Т.о., больным после аппендэктомии проводят лечение в среднем 12,5 дня, хотя в отдельных случаях были колебания от 9 до 16 дней. 

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется в том случае, если в вариационном ряду каждая варианта встречается один и более раз - p 1  (табл.2). 

Таблица 2 Длительность пребывания в стационаре 46 детей, больных скарлатиной.

Длительность пребывания, дни (V)	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36
Частота (р)	2	4	4	5	7	10	6	4	3	1	n  46
Vр	54	112	116	150	217	320	198	136	105	36	Vp 1444

 

Vp

Средняя арифметическая взвешенная М        31.4 дня. n

Средняя длительность пребывания в стационаре ребенка, больного скарлатиной, составила 31,4 дня.

При этом колебания составили от 27 до 36 дней. Для расчета средней арифметической взвешенной существует упрощенный метод – способ моментов (табл. 3).

 

Последовательность расчета:

1.    Найти А – условную среднюю арифметическую. Она представляет собой варианту, которая встречается у большинства: А 32 дня .

2.    Определить отклонение а вариант от условной средней:  а V  А  2732  5 и т.д.

Таблица 3

Длительность пребывания в стационаре детей,  больных скарлатиной

Длительность пребывания, дни (V)	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36
Частота (р)	2	4	4	5	7	10	6	4	3	1	n  46
а V  A	-5	-4	-3	-2	-1	0	+1	+2	+3	+4
a p	-10	-16	-12	-10	-7	0	+6	+8	+9	+4	ap 28

 

Средняя арифметическая по способу моментов М  A a p_. n

3.    Перемножить отклонение а на частоту р: a p  5.2  10  и т.д.

4.    Получить сумму:  ap28;

5.    Определить М по формуле:  _М  A_ ^{a p} _ 32_ ^{ 28} _ 320.6  31.4 дня..

                                                                                               n                     46

Средняя арифметическая равна 31,4 дня – это среднее число дней, которое больные скарлатиной проводят в инфекционном отделении. Средняя величина дает обобщающую характеристику всей группы одним числом. Это абстрактная величина. Фактически же каждым больным проведено от 27 до 36 дней, но почти половина больных проводят в отделении от 31 до 33 дней, что подтверждается величиной средней арифметической.

 

Показатели деятельности поликлиники

 

Пример. Определите качественные показатели деятельности поликлиники №2 города М, обслуживающей 50 тыс. населения.

В отчете за 1999 год указано, что жителями за год к терапевтам сделано 130000 посещений, из них к своим участковым врачам – 90000. Оказана медицинская помощь 8000 жителям сельских пригородов (приписанных к больнице). Проведен целевой осмотр для выявления туберкулеза – 2500 человек. Из 300 зарегистрированных больных взято на диспансерное наблюдение 150 больных язвенной болезнью желудка и двенадцатиперстной кишки.

1)   Соблюдение принципа участковости в работе участковых врачей в поликлинике:

число посещений жителями участка

 

своего участкового врача

                                         100             100  69%

число посещений, сделанных жителями района

обслуживания поликлиники к терапевтам

Вывод. Участковость в поликлинике организована недостаточно (чем выше процент участковости, тем правильнее организована работа поликлиники. Хорошим показателем надо считать 80-85%  и более).

 

2)   Удельный вес посещений, сделанных  сельскими жителями:

число посещений сельскими жителями терапевтов 100 100  5.8%

общее число посешщений к терапевтам

Этот показатель  не должен быть больше 7%, он свидетельствует об объеме лечебной помощи, получаемой сельскими жителями в городских больницах.

 

3)   Охват населения целевыми осмотрами для выявления туберкулеза:

число осмотренных лиц (на туберкулез) 100  100  5%. численность населения

Полученный показатель довольно низкий. В соответствии с программой борьбы с туберкулезом надо проводить осмотры населения не реже одного раза в год с целью активного выявления скрытых форм болезни.

4)   Охват диспансерным наблюдением (язвенная болезнь):

число больных, состоящих на диспансерном учете на конец отчетногогода100 100  50%.

число больных подлежащих диспансеризации

Этот показатель свидетельствует о том, что диспансеризацией охвачена лишь половина больных, что также свидетельствует о недостатках профилактической работы в данной поликлинике.

 

Показатели деятельности стационара.

 

Пример.  4088 больными (их них 143 умерших) проведено 65410 койко-дней, число среднегодовых развернутых коек было 190.

Замечание. Объем работы стационара определяется обычно в койко-днях. Например, 1 января в больнице было 150 больных, 2 января – 160, а 3 января – 128. За эти 3 дня проведено койко-дней:  150160128  438.

 

1) Среднегодовая занятость койки или показатель использования койки, или среднее число дней работы койки в году.

число койкодней фактически проведенное больными в стационаре  344.3 дня

число среднегодовых коек

Работа койки в городских больницах менее 340 дней в году указывает на плохую, недостаточную оперативную работу больницы. Для сельских участковых больниц и родильных отделений принята более низкая норма: 310-320 дней.

Но бывает и так, что показатель использования койки превышает 365 дней, т.е. больше, чем число дней в году. Это может случиться, если все койки в больнице заняты и вновь поступающих больных помещают в палатах или в коридорах, раскладывая дополнительно запасные кровати. Это койки вне плана и сметы, и время, проведенное больными на  этих койках, входит в число проведенных койко-дней. Это свидетельствует о перегрузке больницы.

 

2)   Средняя длительность пребывания больного на койке:

число койкодней, фактическипроведенное больными в стационаре 16 дней.

число выбывших больных (выписанныхумерших)

Один больной в среднем провел в стационаре 16 дней.

 

3)   Оборот койки:

число выбывших больных  4088  21.5.больной число среднегодовых коек 190

На каждой койке в течение года лежал 21 больной. Этим показателем определяется эффективность использования койки.

 Хотя длительность пребывания в больнице определяется в основном характером и течением заболевания, однако уменьшение этого показателя, а следовательно, и увеличение оборота койки во многом зависят от применения новых, наиболее эффективных средств лечения и диагностики.

 

4)   Больничная летальность:

                                                                         число умерших                       100  143  3.5%.

                                      числовыбывшихбольных (выписанных  умерших)       4088

Показатель летальности исчисляют на основании отчета по отдельным важнейшим заболеваниям.

 

 

Виды относительных величин и их графическое изображение

 

 

6) Медико-демографические показатели.

 

Главной задачей каждого медработника является содействие всеобщему оздоровлению населения. Для этого необходимо глубокое понимание проблемы здоровья не только отдельного человека, но и общественного здоровья в целом.

               Здоровье населения     –             сложное собирательное понятие, характеризующееся:

демографическими показателями (рождаемость, смертность и др.), физическим развитием, заболеваемостью, травматизмом и инвалидностью.

Данные  о здоровье населения представляют основу для определения потребности людей в различных видах медицинской помощи, расчета нормативов необходимой численности кадров, сети ЛПУ, а также объема и эффективности деятельности медицинского персонала.

Демографическая статистика (статистика населения) – совокупность статистических данных о численности, плотности, составе населения и его движении.

Демографическая статистика (Д.С.) в то же время является методом демографии (наука о народонаселении), поставляя для нее обобщенный фактический материал. Данные Д.С. о численности, возрастно-половом составе, размещении населения и др. имеют важное значение для организации медпомощи населению  и определения перспективных планов развития здравоохранения. Получаемые Д.С.  показатели смертности (общей, по возрастнополовым группам, по причинам смерти и ряд др.) используются для оценки работы органов здравоохранения.

Основным источником данных о населении служат переписи населения, текущая регистрация рождений, смертей, браков, разводов и миграций. Переписи населения дают сведения о численности, размещении и структуре населения.

Механическое движение населения – передвижение (миграция) отдельных групп людей из одной местности в другую или за пределы страны имеет большое экономическое, медико-социальное значение. Этот вид движения населения вызывается социальноэкономическими условиями.

 Например, в дореволюционной России наблюдалось постоянное стихийное движение мужского рабочего населения из деревни в город (на заработки). В советское время миграционные процессы определялись плановым распределением рабочей  силы в создающиеся индустриальные и с/х центры – на Урал, в Сибирь, Казахстан, на целинные земли, на БАМ и др.

Механическое движение населения оказывает большое влияние на санитарное состояние страны и органы здравоохранения призваны принимать необходимые меры для медико-санитарного обслуживания мигрирующего населения, чтобы предупредить распространение инфекционных, сердечнососудистых и др. заболеваний.

Естественное движение населения – рождаемость, смертность, естественный прирост.

Рождаемость и смертность исчисляются на основе регистрации каждого случая рождения и смерти в ЗАГСах, которые вносятся в специальные книги.

Эти записи производятся только на основе медицинской документации, подписанной врачом или, при его отсутствии (в сельской местности) – средним медицинским работником (на ФАПе).

 

Основные показатели естественного движения населения

 

число родившихся живыми за год

I.          Коэффициент рождаемости            1000

среднегодовая численность населения

 

> 25%₀  показатель высокий, 

< 15%₀  низкий уровень рождаемости.

 

число умерших за год

II.       Коэффичиент смертности   1000  

среднегодовая численность населения

< 9%₀ – низкий уровень

> 15%₀ – высокий уровень.

 

III.    Естественный прирост населения коэффициент рождаемостикоэффициентсмертности

             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел 4. Основные численные математические методы в профессиональной деятельности среднего медицинского работника.

 

Тема: Численные методы математической подготовки среднего медицинского персонала.

 

Мотивация. До недавнего времени биологи, медики  и ученые смежных наук едва ли испытывали необходимость в математике. Однако за прошедшие десятилетия бурно развивались приложения самых различных математических средств к изучению многих типов биологических и медицинских явлений. Этот процесс достиг такой стадии, когда студентов, изучающих биологию и медицину, уже не нужно убеждать, что математика играет важную роль и в их науках. Основная задача нашего курса  - приобрести необходимые математические знания за разумный срок и развить способность применять эти знания в области биологии и медицины.

Применение статистических методов в практической деятельности среднего медицинского персонала является повседневным обязательным и ответственным делом. При этом отдельные элементы статистических операций тесно сочетаются с множеством видов медицинской деятельности.

Статистическая работа среднего медицинского персонала по обеспечению  достоверных первичных сведений является тем фундаментом, на который опирается вся система государственной медико-статистической информации, определяющая эффективность планирования, управления и организации служб здравоохранения в стране.

 

Цели занятия:

Образовательная:

1.                    Познакомить студентов с базовыми элементами математической статистики и ее практическим приложением в медицинской статистике.

2.                    Дать студентам понятие о медико-демографических показателях.

Воспитательная: 

1.                    Добиваться осознанности необходимости математических знаний в профессии среднего медицинского работника.

2.                    Воспитывать интеллектуальную культуру.

Развивающая: 

1.    Способствовать развитию абстрактно-логического мышления и памяти.

2.    Развивать математические способности студентов.

3.    Развитие  умения математически исследовать явления реального мира.

Методическая: 

Закрепить методику проведения лекционного занятия.

Методы обучения: репродуктивный с формированием новых умений, проблемный.

Форма организации учебного процесса:  лекция  №7.

Интеграция обучения:

            Внутрипредметные связи: лекция №6,  практическое занятие №4.

            Межпредметные связи: клинические дисциплины, социология, политология.

Оснащение занятия:  мел, доска, таблицы, калькулятор.

Продолжительность занятия: 180 мин.

Место проведения занятия: лекционный зал.

Рекомендуемая литература для студентов:

1.      Данко П.Е. Попов А.Г. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:

Высшая школа, 2010.

2.      Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д.: Феникс, 2011.

Рекомендуемая литература для преподавателя:

1.      Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д.: Феникс, 2011.

2.      Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для студентов химико-биологических специальностей педагогических вузов. – М.: Просвещение, 2010.

3.      Гроссман С., Тернер Дж. Математика для биологов: Пер. с англ. – М.: Высшая школа, 2010.

 

Ход занятия

Основные этапы занятия		Время	Форм-мые компетенции	Методические указания
1.	Организационный момент	3 мин.	ОК. 1-4	Отметка отсутствующих, проверка готовности студентов к занятию
2.	Мотивация учебной деятельности	5 мин.	ОК. 1-4, 8	Преподаватель сообщает тему, цели, план занятия, отмечает значение данного занятия в будущей учебной и практической деятельности с целью побуждения студентов к предстоящей работе.
3.	Изложение материала	75 мин.	ОК.2-4, 8, 9; ПК.1.3; ПК.2.1-2.4; ПК.3.1, 3.3	Преподаватель излагает материал согласно плану, по ходу лекции ставит вопросы перед группой с целью активизации внимания, определения уровня мыслительной деятельности
4.	Систематизация и закрепление материала	5 мин.	ОК. 3, 4, 8; ПК.1.3	Преподаватель задает вопросы по теме, слушает ответы студентов, уточняет ответы, задает дополнительные вопросы, просит студентов дополнить ответ, исправить ответ с целью определения уровня усвоения учебного материала, развития речи, логического мышления.
5.	Задание к следующей лекции	2 мин.	ОК. 8;  ПК.2.1-2.4	Преподаватель называет тему следующей лекции, сообщает основные и дополнительные источники информации, отвечает на вопросы студентов.

 

                 

Конспект лекции №7.

Численные методы математической подготовки среднего медицинского персонала.

 

План:

1.         Математические методы в фармакологии.

2.         Математические методы в педиатрии.

 

1. Математические методы в фармакологии.

 

Раствор – жидкая лекарственная форма, получаемая путем растворения лекарственного вещества (твердого или жидкого) в растворителе.

Концентрация – величина, характеризующая относительное содержание данного компонента в смеси или растворе.

Само слово «процент» происходит от лат. «procentum», что означает в переводе «сотая доля».  Процент – сотая доля целого, принимаемого за единицу (%).

Тысячная доля целого, т.е. десятая часть процента, имеет специальное название промилле (%_о).

Задачи на проценты можно решать разными способами:

Ø    составляя пропорцию;

Ø    по действиям;

Ø    обозначив неизвестное за х;

Ø    составляя и решая уравнения;

Ø    используя логические рассуждения. Задачи в фармакологии решаются через пропорции.

 

Расчет концентрации  растворов в различных объемах жидкости.

 

Концентрацию раствора в сокращенной прописи можно обозначить тремя способами:

1.                  В процентах (н-р 5%). Процентная концентрация по объему указывает, сколько объемов вещества приходится на 100 объемов раствора или смеси.

2.                  В отношениях (н-р 1:500). Концентрация в отношениях показывает, в каком количестве единиц раствора содержится единица растворимого вещества.

3.                  В виде соотношений по массе и объему (н-р 0.6 г – 200 мл). Концентрация в виде соотношений по массе и объему указывает, сколько по массе растворимого вещества содержится в данном количестве раствора.

 

Практическое задание.

 

Задача 1. 500 мл водного раствора содержит 0.1 г сухого вещества. Найти концентрацию в отношениях и в процентах.

Решение:

•      в отношениях.

Согласно условию задачи и определению  концентрации в отношениях составим  пропорцию:

 

0,1 г – 500 мл

1 г    – х  мл

 

х    5000, т.о. концентрация 1:5000

•      в процентах.  Согласно условию задачи и определению  процентной концентрации составим  пропорцию: 500 мл – 0.1 г 100 мл  –  х г

х    0.02, т.о. концентрация равна 0.02%.

Расчет количества лекарственного вещества в растворе.

Задача 2. Сколько необходимо взять сухого вещества чтобы приготовить 5% раствор из расчета на 1л.

Решение: Согласно условию задачи составим пропорцию:

5 г – 100 мл

х г – 1000 мл

 

х    50г .

Задача 3. Сколько необходимо взять сухого вещества чтобы приготовить 2% раствор из расчета на 300 мл.

Решение: Согласно условию задачи составим пропорцию:

2 г – 100 мл

х г – 300 мл

 

х    6г .

Задача 4. Сколько необходимо взять сухого вещества чтобы приготовить 7% раствор из расчета на 900 мл.

Решение: Согласно условию задачи составим пропорцию:

7 г – 100 мл

х г – 900 мл

 

х    63г

Расчет разовой и суточной доз, выписанных в рецепте.

Растворы          для      внутреннего   применения   обычно           дозируют        градуированными стаканами, столовыми, десертными, чайными ложками и каплями.

 

                                                           1 ст. л.  15 мл раствора

                                                         1 дес. л.  10 мл раствора

 

Зная разовую дозу лекарственного вещества и разовое количество раствора, вычисляют его концентрацию.

 

Практическое задание.

 

Задача 5. Разовая доза лекарственного вещества – 0.6 г. лекарственный раствор дозируют столовыми ложками. Найти его процентную концентрацию.

Решение: Согласно условию задачи составим пропорцию:

15 мл   – 0.6 г 100 мл – х г 

 

0. х  4, т.е. раствор 4%.

Задача 6. Зная, что разовая доза лекарственного вещества – 0.5 г и что больной принимает лекарство десертными ложками, найти концентрацию в отношениях.

Решение: Согласно условию задачи составим пропорцию:

0.5 г – 10 мл

1 г    – х мл

х    20, т.е. концентрация 1:20.

Если требуется определить общий объем раствора, то исходят из его количества на один прием и общего числа приемов.

 

Задача 7. Известно, что больной должен принимать лекарственный раствор 4 дня с таким расчетом, что, принимая раствор по 1 ст. л. он будет получать по 0.15 г. лекарственного вещества. Необходимо назначить по 1 ст. л . 3 раза в день. Найти общее количество раствора и его процентную концентрацию.

Решение: 

1)      общее количество раствора находится исходя из числа приемов лекарственного раствора в день и дней приема:

(3ст.л.4дня)15мл 180мл

2)      процентная концентрация раствора находится из пропорции:

0.15 г – 15 мл

х г      – 100 мл

 

0. х 1, т.е. раствор 1%.

Задача 8. Найти разовую дозу лекарственного вещества, которая содержится в 3% растворе в 1 ст. л. 

Решение: Согласно условию задачи составляем пропорцию:

3 г – 100 мл

х г – 15 мл

 

х    0.45 г

2. Математические методы в педиатрии.

 

Физическое развитие  - это совокупность морфологических и функциональных признаков, определяющих запас физических сил, выносливость и работоспособность организма Антропометрическими показателями физического развития являются длина и масса тела, окружность грудной клетки, окружность головы.

 

Показатели физического развития

 

1) Расчет прибавки массы детей.

 

Масса тела отражает степень развития костной и мышечной систем и зависит как от генетической заданности, определяющей конституционные особенности ребенка, так и от факторов внешней среды (в том числе и от физической нагрузки).

После периода новорожденности начинается энергичное увеличение массы тела ребенка. Ориентировочно оценивать прибавку в весе ребенка в течение 1 года жизни можно по таблице:

1-й месяц	600 гр.	7-й месяц	600 гр.
2-й месяц	800 гр.	8-й месяц	550 гр.
3-й месяц	800 гр.	9-й месяц	500 гр.
4-й месяц	750 гр.	10-й месяц	450 гр.
5-й месяц	700 гр.	11-й месяц	400 гр.
6-й месяц	650 гр.	12-й месяц	350 гр.

 

Практическое задание.

 

Задача 9. Ребенок  родился массой 3100 г. Найти ориентировочную массу тела ребенка в 5 месяцев.

Решение: Используя данные таблицы, имеем:

 

Масса тела ребенка  3100 600800800 750 700  6750г .

Задача 10. Ребенок родился с массой тела 3400 г. Найти его ориентировочный вес в 8 месяцев.

Решение: Используя данные таблицы, имеем:

Масса тела ребенка  3400 600800800750700650 600550  8850г

 

 

 

Массу  тела ребенка после года подсчитывают по следующим формулам:

В возрасте от 2 до 5 лет	Масса	тела	ребенка 19 25 n
В возрасте от 6 до 11 лет	Масса	тела	ребенка 193n 5
В возрасте от 12 до 16 лет	Масса	тела	ребенка  5n  20

где n -  число лет ребенка

 

Задача 11. Найти массу тела ребенка в возрасте 5 лет.

Решение:         Масса тела ребенка 19 255 19кг

Более точные оценки массы тела ребенка можно провести по таблицам.

2)   Расчет  прибавки роста детей.

 

Для правильной оценки физического развития ребенка  наряду с  массой тела необходимо учитывать и его рост, т.е. длину тела,  т.к. сопоставление этих величин дает представление об особенностях физического развития. Длина тела доношенного ребенка в среднем равна 50 см. Длина тела наиболее интенсивно увеличивается в грудном возрасте.

 За первый год жизни длина тела увеличивается примерно на 25 см. Прирост за каждый месяц 1-го года жизни составляет:

В I четверть года (1-3 мес.)	по 3 см каждый месяц
Во II четверть года (4-6 мес.)	по 2,5 см каждый месяц
В III четверть года (7-9 мес.)	по 2 см каждый месяц
В IV  четверть года (10-12 мес.)	по 1,5 см каждый месяц

 

Задача 12.  Ребенок родился с длиной тела 48 см. Посчитать его рост в 8 месяцев.

Решение: Согласно таблице длина тела равна:

L = 48 +3+3+3+2.5+2.5+2.5+2+2 =68.5 см.

 

К 4 годам рост удваивается, к 12 – утраивается.

 

 

 

Для ориентировочного подсчета роста детей старше 1 года используются формулы:

В возрасте от 1 года до 4 лет	Рост	ребенка 10084 n
В возрасте старше 4 лет	Рост	ребенка 100 6n  4

 где n -  число лет ребенка.

 

Задача 13. Определить ориентировочный рост 5-летнего ребенка.

Решение: По таблице имеем:

Рост ребенка 100 65 4 106см

3)   Расчет окружности головы.

 

Ø  При рождении окружность головы ребенка в среднем равна 34-36 см.

Ø  У детей до 6-месячного возраста окружность головы ежемесячно увеличивается в среднем на 1,5 см.

Ø  В последующие месяцы (до 1 года) окружность увеличивается в среднем на 0,5 см ежемесячно.

Ø  В возрасте от 1 года до 5 лет окружность головы ребенка в среднем увеличивается на 1 см в год.

Ø  После  5 лет окружность головы ежегодно увеличивается на – 0,6 см

 

Более полные данные имеются в таблицах.

Задача 14. Определить приблизительную окружность головы ребенка в возрасте 2 г. 3 мес., если при рождении у ребенка была окружность головы 34,5 см

Решение: Окружность головы ребенка  34.51.56 0.561 47.5см

 

4) Расчет окружности грудной клетки

 

Окружность груди – параметр, отражающий изменения поперечных размеров тела. Окружность груди показывает степень развития грудной клетки тесно коррелирует с функциональными показателями дыхания, развития мышечного аппарата грудной клетки, подкожного жирового слоя на груди. 

При рождении окружность грудной клетки ребенка обычно меньше окружности головы на 1-2 см  и равна 32-34 см. В 4 месяца окружности головы  и груди  становятся примерно одинаковыми, а затем окружность грудной клетки увеличивается быстрее, чем окружность головы. 

Ориентировочный расчет окружности грудной клетки у детей до 1 года можно провести следующим образом:

 

Задача 15. Найти ориентировочную величину окружности грудной клетки 4-месячного ребенка.

Решение:    Окружность грудной клетки  4522  41см

 Для ориентировочного расчета окружности грудной клетки для детей старше 1 года  (в см) используются формулы:

В возрасте от 2 до 10 лет	Окружность грудной клетки  631.510 n
В возрасте от 10 до 15 лет	Окружность грудной клетки  633n 10

где n -  число лет ребенка.

 

Задача 16. Найти ориентировочную величину окружности грудной клетки 11-летнего ребенка.

Решение:    Окружность грудной клетки  6331110  66см

5) Пропорциональность размеров тела.

 

Оценить  пропорциональность размеров тела можно по индексу Кетле:

P

I  2

L

где P – вес; L – длина тела.

Если индекс больше 22, то вес избыточен.

Если больше 25 – ожирение.

Если меньше 14 – дефицит массы тела.

 

Способы расчета питания.

Расчет необходимого для ребенка количества молока производится двумя способами:

1)      Объемный (учитывая возраст и вес ребенка).

В течение первого года жизни ребенок должен получать молока:

От 2 до 6 недель	1/5 массы своего тела
От 6 нед. до 4 мес.	1/6 массы своего тела
От 4 до 6 мес.	1/7 массы своего тела
Более 6 мес.	1/8 массы своего тела

 

Запомнить!

Объем пищи ребенка до 1 года не должен превышать 1 литр в сутки.

 

Задача 17.  Определить сколько мл молока должен получать ребенок в возрасте 3-х месяцев и имеющий массу 5700 г.

Решение. Согласно таблице ребенок в возрасте 3-х месяцев должен получать молоко из расчета 1/6 массы тела, т.е. 5700 : 6 = 950 мл молока.

 

2)      Калорийный (энергетический) расчет.

На 1 кг массы тела ребенок должен получать:

В  I четверть года	120 ккал на 1 кг массы в сутки
Во II - III четверти года	115 ккал на 1 кг массы в сутки
В IV четверть года	110 ккал на 1 кг массы в сутки
В 1 год	100 ккал на 1 кг массы в сутки

 

1000 мл грудного молока = 700 ккал

Суточная калорийность пищевого рациона ребенка:

Q = 1000 + 100 ∙ n,

где 1000 – суточная калорийность рациона для годовалого ребенка; 100 – ежегодная прибавка; n – возраст ребенка.

Задача 18. Найти суточный объем питания ребенку 2 месяцев, имеющий массу 5 кг.

Решение:  Согласно таблице ребенок в возрасте 2 мес.  и массой 5 кг должен получать 120 ккал в сутки на 1 кг массы, тогда количество калорий в сутки:

1205  600 ккал

Составлением пропорции переводим количество калорий в объем молока, учитывая, что 1 литр женского молока в среднем содержит 700 ккал:

1000 мл – 700 ккал х мл       – 600 ккал

х    857мл.