Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка по теме "Площадь"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка по теме "Площадь"

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ площадь.doc

библиотека
материалов

Решение задач по теме «Площадь»


§1. Использование аддитивности площади.

При решении задач, связанных с площадями фигур, часто помогает следующее свойство. Площадь плоской фигуры, разрезанной на несколько частей, равна сумме площадей этих частей.

Задача 1. Доказать, что площадь трапеции равна произведению длины одной из её боковых сторон на длину перпендикуляра к этой стороне, опущенного на неё из середины другой стороны.

hello_html_m25cac45f.png


Доказательство.


hello_html_m4c18545f.gif

hello_html_4ad2aae4.gif

Задача 2. hello_html_m53d4ecad.gifВ равностороннем треугольнике АВС стороны равны 2. Точка М середина стороны АВ.

hello_html_m6dd8fdc4.gif

Решение.

hello_html_864478.gif



hello_html_m4b6d6573.png


hello_html_m254e5362.gif

Задача 3.

hello_html_m34c4e965.gif


hello_html_137fc8fa.png

Проведем через точку М прямую, перпендикулярную основаниям трапеции. Пусть L и К точки её пересечения с прямыми ВС и AD соответственно. Положим ВС=а, тогда AD=3а. Если высота трапеции равна h, то площадь трапеции ABCD равна h. По условию MN трапецию на две равновеликие части, площадь каждой части равна аh.

Учитывая, что BM=2AM, находим ML=2h/3, МК=h/3. Следовательно, площадь треугольника МВС составляет аh/3, а треугольника AMDah/2.

Поскольку четырехугольники MBCN и AMND равновеликие и площадь каждого равна аh, то оставшиеся их части – треугольники MCN и MND имеют соответственно площади h/3 и ah/2. Высота, проведенная из вершины М, для этих треугольников общая, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований CN и ND, то есть CN :ND=4:3.

Ответ: 4:3.

Задача 4. В треугольнике АВС биссектриса СD и медиана ВЕ перпендикулярны, причем ВЕ=m, CD=l.

Найти площадь треугольника АВС.

Решение.


hello_html_6894a33c.pnghello_html_m237f78b5.gifЗадача 5. Две медианы треугольника перпендикулярны между собой. Их длины равны m и n.

Найти площадь треугольника АВС.

hello_html_m4bf40a57.png

Решение.

hello_html_67c9d68d.gif


§2. Использование формул площади.

Задача 6. Дан треугольник АВС. Точка L делит ВС пополам. Точка К делит ВL пополам. Из вершины А через точки К и L проведены лучи и на них отложены вне треугольника отрезки LD и KF, причем LDL, KF=hello_html_m3eb1f794.gifАК. Найти отношение площадей треугольника АВС и четырехугольника КLDF.



hello_html_m7dd18461.png

Решение.

hello_html_m50ad03ef.gif

Задача 7. В треугольнике АВС две стороны равны 3 и 7, а медиана к третьей стороне равна 4. Найти площадь треугольника АВС.

Решение.

hello_html_4807ec0.png

hello_html_m57099552.gif

Задача 8. В треугольнике АВС угол АВС равен 60º. Радиус вписанной окружности равен hello_html_m323b49ff.gif, а радиус описанной окружности равен hello_html_m7de972e6.gif. Найти hello_html_26b45c52.gif

Решение

hello_html_4e9b0062.pnghello_html_4dfe2a4f.png


hello_html_m461ac543.gif

Задача 9. В треугольнике АВС радиус вписанной окружности равен hello_html_m2c77b1d5.gif, расстояние от её центра до вершины С равно hello_html_4395f87a.gif. Найти сумму длин сторон АС и ВС, если известно, что площадь треугольника АВС равна 30.hello_html_m53d4ecad.gif

Решение.

hello_html_5abfb2.png

Пусть О – центр вписанной окружности, М, N, К – точки касания со сторонами АВ, АС и ВС соответственно. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки равны, то АМ=АN, ВМ=ВК. Значит, АВ=АМ+ВМ= АN +ВК=АС+ВС-СN-СК= =АС+ВС-2hello_html_57242f15.gif

hello_html_m3d6f5703.gif

Задача 10. Равнобедренная трапеция ABCD описана около окружности радиуса 1 с центром в точке О. Найти площадь трапеции, если известно, что ОА=3.

Решение.

Пусть М, N и Р – точки касания окружности со сторонами ВС, AD и AB соответственно.

М – середина ВС, N – середина AD. Найдем положение точки Р.

hello_html_mdded45d.png

hello_html_6442c6f5.gif

§3. Отношения отрезков и площадей.

Задача 11. Точка К делит медиану AD в отношении 3 : 1, считая от вершины. В каком отношении прямая ВК делит площадь треугольника АВС?

Решение.

hello_html_483eb45a.png



hello_html_m5a0772bd.gif


Задача 12. Основание АС треугольника АВС равно 3см, а медиана АD равна 4см. Высота ВЕ делит АD пополам. Найти площадь треугольника АВС.

Решение.


hello_html_md208be6.png

hello_html_d007063.gif

hello_html_m2b273082.gif


Задача 13. В треугольнике АВС AD и CF – биссектрисы. Найти отношение площадей треугольников АВС и АFD, если АВ=21, АС=28, СВ=20.

Решение.

hello_html_m67254c8e.png



hello_html_5e0d79c.gif

Задача 14. В треугольнике АВС на стороне АС выбрана точка М и на стороне ВС выбрана точка L так, что АМ=МС, ВL=2LС. Отрезки ВМ и АL пересекаются в точке К. Найти отношение площадей треугольника АКМ и треугольника ВКL.

Решение.

hello_html_8f75539.png

hello_html_m61efffbe.gif

Задача 15. На сторонах ВС и CD параллелограмма АВСD расположены точки Е и F так, что ВЕ=2ЕС, СF=3FD. Диагональ ВD пересекает отрезки АЕ и АF в точках Р и Q. Найти отношение площади треугольника АРQ к площади параллелограмма.

Решение.

hello_html_3c069676.png



hello_html_m7f6504e9.gif


Задача 16. В треугольнике АВС АВ=13, ВС=21, АС=20. Найдите площадь треугольника, образованного стороной АС, медианой ВМ и биссектрисой ВК данного треугольника.

Решение.hello_html_130a4258.png


hello_html_42ccd867.gif

Задача 17. В треугольнике АВС, площадь которого равна S, точки М и К – середины медиан АF и СН. Найти площадь треугольника ВМК.

Решение.

hello_html_mead4a41.png

hello_html_622564c8.gif

hello_html_m53d4ecad.gif

§4. Использование свойств замечательных линий в треугольнике, подобия треугольников и других теорем.


Задача 18. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD выбраны соответственно точки М и N. Прямые ВN и АМ пересекаются в точке К, при этом КN=3ВК, DN=2СN. Найти отношение ВМ:МС.

Решение.


hello_html_m73b6ab1d.png

Решение. Выполним дополнительное построение. hello_html_m3d8681fe.gif.

hello_html_m34a437a5.gif


Задача 19. В параллелограмме АВСD диагональ АС образует со стороной АD угол в 30º. Точка К – середина стороны СD. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Е. Найти длину диагонали АС, если расстояние от точки Е до прямой ВС равно 1.

Решение.

hello_html_m2a123b62.png

hello_html_601c658b.gif

Задача 20. Прямоугольный треугольник АВС с катетами АС=3, ВС=1 вписан в прямоугольник AMNK. Известно, что вершина С лежит на стороне MN, МС:СN=2:1, а точка В лежит на стороне NК прямоугольника. Найти площадь треугольника АВК.

Решение.

hello_html_m6d4782e.png

hello_html_m314e03d0.gif

Для решения следующих задач напомним базовые знания и факты:

  • Высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентр).

  • Отрезок, соединяющий основания высот, отсекает треугольник, подобный данному.

hello_html_76a913af.png

  • В остроугольном треугольнике ортоцентр – центр вписанной окружности для треугольника, образованного основаниями высот.

  • Вершина треугольника, основания двух высот и ортоцентр лежат на одной окружности.

Задача 21. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AH, BN, CL. Точка М симметрична точке H Относительно прямой АС. Докажите, что М принадлежит прямой NL.

Доказательство.

hello_html_m4ba8bd3a.png

hello_html_9fcbc88.gif

Задача 22. Высоты AD и BL пересекаются в точке H. Через точку М, симметричную середине отрезка ВH относительно прямой ВС, провели прямую, перпендикулярную прямой АС. Докажите, что эта прямая пересекает ВС в точке D.

Доказательство.


hello_html_m1e0fbebf.png

Для решения задачи достаточно доказать, что прямая МD перпендикулярна прямой АС. Точки М и N симметричны относительно прямой АС. Отрезки МN и DH параллельны и равны (два перпендикуляра к одной прямой параллельны, МN – средняя линия треугольника ВDH). В таком случае MNDH – параллелограмм. Одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей, значит и вторая прямая ей перпендикулярна. Итак, прямая МD перпендикулярна прямой АС. Тогда прямые МD и перпендикуляр к АС совпадают.

Краткое описание документа:

Первоочередные цели разработки: познакомить обучающихся с методикой решения задач на нахождение площади плоских фигур.  Рассматриваются классы задач, объединённых общей идеей: использование аддитивности площади, использование формул площади, а также отношение отрезков и площадей.Задачи сопровождаются подробным решением, показываются приёмы решения каждого класса. Материал можно применять для работы на уроках геометрии в 8 и 9 классах, а также при повторении в 10 классе.Некоторые задачи можно использовать для индивидуальной работы с одарёнными детьми при подготовке к олимпиадам. 

Автор
Дата добавления 19.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров423
Номер материала 399659
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх