Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическая разработка по теме "Многочлены"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка по теме "Многочлены"

библиотека
материалов



Методическая разработка темы «Многочлены»

















Многочлены


Под многочленом понимается выражение вида: а0хn + а1хn-1 + … + аn-1х + аn, где а0, а1, аn – произвольные действительные числа называемые коэффициентами многочлена, х – переменная, n – целое неотрицательное число.

Такая запись называется каноническим видом многочлена.

Если коэффициент а0 при хn отличен от нуля, то одночлен а0хn называют старшим членом многочлена, а0 - старшим коэффициентом, аn называют свободным членом многочлена.

Любое число, отличное от нуля, можно считать многочленом.

Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то такой многочлен называется нулевым. Многочлен со старшим коэффициентом равным 1 называют приведенным.

Пусть P(х) = а0хn + а1хn-1 + … + аn, а0 ≠ 0, то число n называют степенью многочлена. Многочлены нулевой степени – это просто числа. Нулевые многочлены не имеют степени.

Два многочлена считаются равными, если их каноническая запись одинакова, то есть многочлены имеют одну и ту же степень и коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных совпадают.

Если вместо переменной х в многочлен Р(х) подставить число с, то получится число, которое называется значением многочлена при х = с.

Значение любого многочлена при х = 0 равно его свободному члену, а сумма коэффициентов многочлена есть его значение в точке 1.

Корнем многочлена Р(х) называется такое число , что Р(a) = 0.



Упражнения


  1. Выполните действия: (х3 + х – 1)(х2 + х + 1) – (х – 1)(х4 + х2 – 1).

  2. Найдите свободные члены и суммы коэффициентов:

а) (х2 + х – 1)2005

б) (3х2 – 4х + 2)100

  1. Докажите тождества:

а) (х – 1)(х + 1)(х2 + 1) = х4 – 1

б) (х – 1)(х + 1)(х2 – х + 1)(х2 + х + 1) = х6 – 1

  1. Доказать, что (х + а)(х + 2а)(х + 3а)(х + 4а) + а4 – полный квадрат.










Деление многочленов


Определение: Многочлен Р(х) делится на многочлен Q(х) ≠ 0, если существует такой многочлен R(х), что выполняется равенство Р(х) = Q(х)∙R(х).


Свойства делимости многочленов


  1. Если два многочлена делятся на Q(х), то и их сумма и разность также делятся на Q(х).

  2. Если Р(х) делится на Q(х), то и любое произведение Р(х)∙N(х) делятся на Q(х).

  3. Если Р(х) делится на Q(х), а Q(х) делится на N(х), то и Р(х) делится на N(х).


Теорема 1 (о делении с остатком)

Пусть Р(х) и В(х) – два произвольные многочлена, причем многочлен В(х) ≠ 0. Тогда существует единственная пара многочленов Q(х) и R(х) таких, что выполняется равенство Р(х) = В(х) Q(х) + R(х) и многочлен R(х) либо равен нулю, либо имеет меньшую степень, чем многочлен В(х)

Q(х) – называется неполным частным,

Р(х) – остаток.

При делении многочленов можно использовать деление «углом».

Пример 1. hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifх4 – 11х2 + 3х + 1 х2 + х + 1

hello_html_438e1b6b.gifhello_html_m9534073.gifх4 + х3 + х2 х2 – х – 11 – неполное частное

hello_html_7d227518.gif- х3 – 12х2 + 3х

hello_html_m59492c59.gif- х3 – х2 – х

-11х2 + 4х + 1

- 11х2 – 11х – 11

hello_html_7d227518.gif15х + 12 – остаток

х4 – 11х2 + 3х + 1 = (х2 + х + 1)(х2 – х – 11) + (15х + 12)


Пример 2. hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gif6 + 2х4 – 2х3 + х - 6 х4 + 2х + 2

hello_html_438e1b6b.gifhello_html_m9534073.gif6 + 6х3 + 6х22 + 2

hello_html_7d227518.gif4 – 8х3 – 6х2

hello_html_m59492c59.gif4 + 4х + 4

3 – 6х2 – 3х – 10

6 + 2х4 + х – 6 = (х4 + 2х + 2)(3х2 + 2) – (8х3 + 6х2 + 3х + 10)


Пример 3. х4 – 10х3 + 35х2 – 50х + 24 = (х – 1)(х3 – 9х2 + 26х – 24)

Многочлен Р(х) делится на многочлен В(х) тогда и только тогда, когда существует многочлен Q(х) такой, что Р(х) = В(х) ∙ Q(х)

Пишут Р(х) hello_html_222902f.gif В(х).







Упражнения


  1. Найти неполное частное и остаток от деления:

а) х2 – 2х + 1 на х – 1

б) х5 – 6х3 + 2х2 – 4 на х2 – х + 1

в) х4 + х2 + 1 на х + 5

г) х7 – 1 на х3 + х + 1

  1. При каком значении k выполняется деление без остатка многочлена

х3 + 6х2 + kх + 12 на х + 4?

  1. Делится ли многочлен х5 + 3х4 + 4х3 – 2х2 + 5 – 5 без остатка на х2 – 3х + 2?


Теорема Безу. Схема Горнера.


Число α называется корнем многочлена Р(х), если Р(α) = 0.


Теорема 2. Если многочлен Р(х) делится на х – α, то α является корнем многочлена Р(х).


Теорема 3 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х – α равен Р(α), т.е. значению этого многочлена при х = α.


Пример 1. Найдите остаток от деления многочлена х4 + 5х3 – 3х + 6 на х + 3

α = - 3 Р(-3) = (-3)4 + 5(-3)3 – 3 ∙ (-3) + 6 = -39. Ответ: - 39.


Пример 2. Докажите, не выполняя деление, что 3х5 + 4х4 – х2 – 18х делится на х + 2: α = -2 Р(-2) = 0. Т.к. остаток равен 0, то многочлен делится на х + 2.


Пример 3. Делится ли многочлен х100 – 3х + 2 на х2 – 1

х2 – 1 = (х + 1)(х – 1)

Для того, чтобы многочлен делился на х2 – 1, он должен делиться на х – 1 и на х + 1. Найдем остатки от деления

α = 1, Р(1) – 1100 – 3 + 2 = 0; Р(х) hello_html_222902f.gif х – 1

αhello_html_be45e8f.gif = -1, Р(-1) = (-1)100 + 3 + 2 = 6 Р(х) hello_html_222902f.gif х + 1. Ответ: х100 – 3х + 2 не делится на х2 – 1


Пример 4. При каких а и в выполняется деление без остатка многочлена

х4 + 3х3 – 2х2 + ах + в на многочлен х2 – 3х + 2?

х2 – 3х + 2 = (х – 1)(х – 2)

α = 1 Р(1) = 2 + а + в

α = 2 Р(2) = 32 + 2а + в.

По условию остатки равны 0, получаем

hello_html_24d6f9c5.gif2 + а + в = 0 а = -30

32 + 2а + в = 6 в = 28






Схема Горнера


Деление многочлена Р(х) = а0хn + а1хn – 1 + … + аn на двучлен х – α удобно выполнять по схеме Горнера

Р(х) = (х – α) ∙ Q(х) + вn, где Q(х) = в0хn – 1 + в1хn – 2 + … + вn – 1 вn –остаток от деления



а0

а1

а2

аn - 1

аn

α

в0 = а0

в1 = а1 + αв0

в2 = α2 + αв1

вn – 1 = аn – 1 + αвn – 2

вn = аn + αвn - 1


в1, в2 … заполняются так: берутстоящие над ней число первой строки и прибавляют к нему произведение α и предыдущего элемента второй строки:


Пример 1. Выполните деление многочлена

а) х3 + 4х2 – 24 на х – 2 α = 2


1

4

0

-24

2

1

6

12

0

х3 + 4х2 – 24 = (х – 2)(х2 + 6х + 12)

б) х4 – 5х3 + 2х2 + 3х – 7 на х – 2


1

-5

2

3

-7

2

1

-3

-4

-5

-17

х4 – 5х3 + 2х2 + 3х – 7 = (х – 2)(х3 – 3х2 – 4х – 5) – 17

в) 4х5 – 7х4 + 5х3 – 2х + 1 на х – 3


4

-7

5

0

-2

1

3

4

5

20

60

178

535

5 – 7х4 + 5х3 – 2х + 1 = (х – 3)(4х5 + 5х3 + 20х2 + 60х + 178) + 535


Пример 2.

Найти по схеме Горнера значение многочлена х5 – 2х4 – х3 + 2х + 5 при х = 7


1

-2

-1

0

2

5

7

1

5

34

238

1668

11667

Р(7) = 11667


Упражнения


  1. Докажите, что

а) (3х5 + 4х4 – х2 – 18х) hello_html_222902f.gif (х + 2)

б) (х9 + х8 + х7 + х6 + х5 + х4 + х3 + х2 + х + 1) hello_html_222902f.gif (х + 1)

  1. При каких а и в многочлен х4 – 2х3 – 13х2 + ах + в делится на х2 – 5х + 1

  2. Найдите Р(-1) и Р(hello_html_m4bf21f14.gif), если Р(х) = 2х4 – 7х3 – 3х2 + 5х – 1

  3. Разделите 21 + у – 2у2 – у3 на у + 3, используя схему Горнера.





Многочлены с целыми коэффициентами.


Теорема Безу и ее следствия дают способ разложения многочлена на множители, если известны его корни. Как отыскать эти корни?

Для многочлена с целыми коэффициентами помогает решить эту задачу теорема Эйзенштейна:

Если Р(х) = а0хn + … + аn – многочлен с целыми коэффициентами, а х = hello_html_m37c33ae7.gif - его рациональный корень (дробь hello_html_m37c33ae7.gif - несокращаемая, g > 0), то р является делителем старшего коэффициента а0.

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

Следствие 2. Если старший коэффициент многочлена с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни многочлена, если они существуют, целые.


Пример 1. Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен

Р(х) – 2х4 – 7х3 – 3х2 + 5х + 1.

Ищем сначала целые корни среди делителей свободного члена: ±1

Р(1) = 2 – 7 – 3 + 5 – 1 ≠ 0

Р(-1) = 2 + 7 – 3 – 5 – 1 = 0; х = -1 – корень многочлена.

Делим Р(х) на х + 1


2

-7

-3

5

-1

-1

2

-9

6

-1

0

Р(х) = (х + 1)(2х3 – 9х2 + 6х – 1)

Далее раскладываем на множители многочлен Q(х) = 2х3 – 9х2 + 6х – 1

Q(1) ≠ 0; Q(-1) ≠ 0, т.е. целых корней нет.

Тогда ищем дробные корни: ±hello_html_m4bf21f14.gif

Q(hello_html_m4bf21f14.gif) = 0


2

-9

6

-1

hello_html_m4bf21f14.gif

2

-8

2

0

Р(х) = (х + 1)(х - hello_html_m4bf21f14.gif)(2х2 – 8х + 2) = (х + 1)(2х – 1)(х2 – 4х + 1)

Для отыскания корней многочлена можно применять следующие свойства:

  1. Многочлен с положительными коэффициентами не может иметь положительных корней.

  2. Число 1 является корнем многочлена тогда и только тогда, когда сумма его коэффициентов равна 0.

  3. Для того, чтобы число -1 являлось корнем многочлена необходимо и достаточно, чтобы сумма его коэффициентов, стоящих на четных местах, равнялась сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

Пример 2. Разложите на множители многочлен х4 + 2х3 – 2х2 – 6х + 5.

Т.к. сумма коэффициентов равна нулю, то х =1 является корнем многочлена


1

2

-2

-6

5

1

1

3

1

-5

0

Р(х) = (х – 1)(х3 + 3х2 + х – 5)

И снова сумма коэффициентов Q(х) = х3 + 3х2 + х – 5 равна нулю, значит х = 1 – корень


1

3

1

-5

1

1

4

5

0

Р(х) = (х – 1)22 + 4х + 5)


Кратные корни


Может случиться, что Р(х) делится не только на х – α, но и на (х – α)k, где k > 1.

В этом случае говорят, что α является кратным членом многочлена Р(х).

Если многочлен Р(х) делится на (х – α)k и не делится на (х – α)k + 1, то α называют конем многочлена Р(х) кратным k.

Пример 1. Р(х) = х3 – х2 – 8х + 12 х = 2 является корнем многочлена.

Подставим вместо х = 2, получаем Q(2) = 0

Р(х) = (х – 2)2(х + 3). 2 не является корнем многочлена х + 3, т.е. многочлен делится на (х – 2)2, а не делится на (х – 2)3, т.е. 2 – корень многочлена второй кратности.


Упражнения


  1. Разложите на множители:

а) х3 – х2 – 28х + 45

б) х3 – 6х2 – х + 30

в) х4 – 7х3 + 8х2 + 28х – 48

г) х3 – 2х2 – 5х + 6

  1. Сократите дробь: hello_html_m1aa0ddc4.gif

  2. Какую кратность имеет корень:

а) х = 2 многочлена х5 – 5х4 + 7х3 – 2х2 + 4х – 8

б) х = 5 многочлена х5 – 15х4 + 76х3 – 140х2 + 75х – 125












Подстановка делителей свободного члена может оказаться очень утомительным занятием. Чтобы уменьшить число проверяемых корней полезно воспользоваться следующей теоремой:

Пусть Р(х) – приведенный многочлен с целыми коэффициентами, α – его целый корень. Тогда для любого целого числа k число Р(k) делится на α – k.

Отбор проводят так: сначала берут делители свободного члена. Пусть это будут числа α1, α2, … αn. После этого вычисляют Р(1). Если αm – корень многочлена Р(х), то αm – 1 должно быть делителем Р(1). Поэтому из чисел α1, α2, … αn выбирают те, для которых αm – 1 является делителем Р(1). После этого вычисляют Р(-1). Если и после этого осталось слишком много «претендентов», то вычисляют Р(2) и берут из оставшихся чисел, для которых αm – 2 – делители Р(2).





Пример 1.

Найти целые корни многочлена Р(х) = х4 + х 3 – 11х2 – 5х + 30.

Делители свободного члена: ±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±10; ±15; ±30. Р(1) = 16

Вычитаем из чисел единицу, получаем 0; -2; 1; -3; 2; -4; 4; -6; 5; -7; 9; -11; 14; -16; 29; -31.

Из них находим делители 16. Это -2; 1; 2; -4; 4; -16.

Получаем -1; 2; 3; -3; 5; -15 (среди них нужно искать корни).

Находим Р(-1) = 24.

К оставшимся числам прибавляем единицу, получаем 0; 3; 4; -2; 6; -14

Из них делители 24: 3; 4; -2; 6

Получаем: 2; 3; -3; 5

Р(2) = 16 + 8 – 44 – 10 + 30 = 0; х = 2 – корень многочлена


1

1

-11

-5

30

2

1

3

-5

-15

0

Р(х) = (х – 2)(х3 + 3х2 – 5х – 15)

Р(3) ≠ 0

Р(-3) = 0 х = -3 – корень


1

3

-5

-15

-3

1

0

-5

0

Р(х) = (х – 2)(х + 3)(х2 – 5)

Ответ: целые корни 2 и -3.











Пример 2.

Разложите многочлен на множители Р(х) = х4 – 7х3 + 8х2 + 28х – 48

±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±16; ±24; ±48 – делители свободного члена

Р(1) = 1 – 7 + 8 + 28 – 48 = -18

0; -2; 1; -3; 2; -4; 3; -5; 5; -7; 7; -9; 11; -13; 15; -17; 23; -25; 47; -49

Делители -18: -2; 1; -3; 2; 3; -9

Получаем -1; 2; -2; 3; 4; -8

Р(-1) = 1 + 7 + 8 – 28 – 48 = - 60

0; 3; -1; 4; 5; -7

Делители -60: 3; -1; 4; 5

Получаем 2; -2; 3; 4

Р(2) = 16 – 56 + 32 + 56 – 48 = 0 х = 2 – корень


1

-7

8

28

-48

2

1

-5

-2

24

0

Р(х) = (х – 2)(х3 – 5х2 – 2х + 24)

Р(-2) = -8 – 20 + 4 + 24 = 0 х = -2 – корень


1

-5

-2

24

-2

1

-7

12

0

Р(х) = (х – 2)(х + 2)(х2 – 7х + 12)

Р(3) = 0


1

-7

12

3

1

-4

0

Р(х) = (х – 2)(х + 2)(х – 3)(х – 4)
























Самостоятельная работа


  1. Разделите многочлены с остатком:

а) х4 – 4х3 + 6х2 – 7х + 2 на х2 – х + 2

б) 2х3 + 3х2 – 8 на х + 1

  1. Найдите остаток от деления многочлена х5 – 17х + 1 на х + 2

  2. Докажите, что многочлен (х + 1)6 – х6 – 2х – 1 делится на х(х + 1)(2х + 1)

  3. Разложите многочлены на множители:

а) х5 – 2х4 – 4х3 + 4х2 – 5х + 6

б) х3 – 6х2 – х + 30


Ответы к самостоятельной работе

  1. а) х4 – 4х3 + 6х2 – 7х + 2 = (х2 – х + 2)(х2 – 3х + 1)

б) 2х3 + 3х2 – 8 = (х + 1)(2х2 + х – 1) - 7

  1. Остаток равен 3.

  2. (х + 1)6 – х6 – 2х – 1 hello_html_222902f.gif х(х + 1)(2х + 1), т.к. Р(0) = 0, Р(-1) = 0, Р(-hello_html_m4bf21f14.gif) = 0

  3. а) х5 – 2х4 – 4х3 + 4х2 – 5х + 6 = (х – 1)(х + 2)(х – 3)(х2 + 1)

б) х3 – 6х2 – х + 30 = (х + 2)(х – 3)(х – 5)























Уравнения высших степеней.


Уравнение вида Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен, степень которого выше второй.

Для решения таких уравнений используются два основных метода решения: разложения на множители и метод введения новой переменной.


Метод разложения на множители


Р(х) = 0

Р1(х) ∙ Р2(х) … Рn(х) = 0

Р1(х) = 0 или … Рn(х) = 0


Пример 1.

Решить уравнение: х3 + 4х2 – 24 = 0

Найдем хотя бы один целый корень уравнения

х = 2 – корень

(х – 2)(х2 + 6х + 12) = 0

х – 2 = 0 или х2 + 6х + 12 = 0 D < 0, корней нет. Ответ х = 2


Пример 2.

3 – 7х2 + 5х – 1 = 0

Делители свободного члена ±1

Р(1) ≠ 0, Р(-1) ≠ 0. целых корней нет.

Ищем рациональные корни : ± hello_html_m4bf21f14.gif

Р(hello_html_m4bf21f14.gif) = 0 х = hello_html_m4bf21f14.gif - корень

(х - hello_html_m4bf21f14.gif)(2х2 – 6х + 2) = 0

х1 = hello_html_m4bf21f14.gif или х2 – 3х + 1 = 0

х2,3 = hello_html_m36d2a006.gif Ответ: hello_html_m4bf21f14.gif; hello_html_m36d2a006.gif


Пример 3.

4 – 5х3 + 5х2 – 2 = 0

Т.к. сумма коэффициентов равна 0, то число 1 – корень уравнения


2

-5

5

0

-2

1

2

-3

2

2

0

(х – 1)(х + hello_html_m4bf21f14.gif)(х2 – 2х + 2) = 0

х1 = 1 или х2 = -hello_html_m4bf21f14.gif или х2 – 2х + 2 = 0 D < 0, корней нет. Ответ: 1; - hello_html_m4bf21f14.gif





Пример 4.

х4 + х3 + 3х2 + 2х + 2 = 0

1 способ.

Т.к. все коэффициенты многочлена положительные, то многочлен не может иметь положительных корней. Т.к. многочлен приведенный, то все рациональные корни, если они существуют, целые.

Делители свободного члена ±1; ±2.

Значит, нужно проверить только -1 и -2. Р(-1) ≠ 0; Р(-2) ≠ 0. Значит уравнение корней не имеет.

2 способ.

Представим 3х2 как х2 + 2х2

4 + х3 + х2) + (2х2 + 2х + 2) = 0

х22 + х + 1) + 2/х2 + х + 1) = 0

2 + х + 1)(х2 + 2) = 0

х2 + х + 1 = 0 или х2 + 2 = 0

D < 0, корней нет х2 ≠ -2, корней нет

Ответ: корней нет.


Многочлен P(х) = а0хn + а1хn-1 + … + аn называется возвратным, если его коэффициенты, одинаково удаленные от начала и от конца, равны между собой.

Тогда уравнение Р(х) = 0 называется возвратным, где Р(х) – возвратный многочлен.

Уравнение вида ах3 + вх2 + вх + а = 0 называют возвратным уравнением 3-й степени.

Уравнение вида ах4 + вх3 + сх2 + вх + а = 0 называют возвратным уравнением 4-й степени.

Пример 5. 2х3 + 7х2 + 7х + 2 = 0

Это возвратное уравнение 3-й степени, у него сумма коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах. Значит число 1 является корнем уравнения

(х + 1)(2х2 + 5х + 2) = 0

х1 = -1; х2 = -hello_html_m4bf21f14.gif; х3 = -2.


Метод введения новой переменной



Пример 1. х4 – 2х2 – 15 = 0

Такое уравнение называют биквадратным.

х2 = t, t ≥ 0

t2 - 2 t – 15 = 0; t1 = -3; t2 = 5

-3 исключаем, получаем х2 = 5; х = ±hello_html_m59c8c0fc.gif.

Ответ: ±hello_html_m59c8c0fc.gif



Пример 2 х(х – 1)(х – 2)(х – 3) = 24


2 – 3х)(х2 – 3х + 2) = 24

х2 – 3х = у; у(у + 2) = 24

у1 = 4; у2 = -6

х2 – 3х = 4 и х2 – 3х = -6

х1 = 4; х2 = -1 х2 – 3х + 6 = 0 корней нет.

Ответ: -1; 4.


Пример 3 (х2 + х + 1)2 – 3х2 – 3х – 7 = 0

2 + х + 1)2 – 3х2 – 3х – 3 – 4 = 0

2 + х + 1)2 – 3(х2 + х + 1) – 4 = 0

х2 + х + 1 = t

t2 – 3t – 4 = 0

t1 = -1; t2 = 4

х2 + х + 1 = -1 и х2 + х + 1 = 4

D < 0, корней нет х1,2 = hello_html_1dc355ff.gif

Ответ: hello_html_1dc355ff.gif


Пример 4. х4 + х3 – 4х2 + х + 1 = 0

Это возвратное уравнение 4-й степени, х = 0 не является его корнем; тогда разделим обе его части на х2

х2 + х – 4 + hello_html_6fe4202.gif + hello_html_6912c132.gif = 0

2 + hello_html_6912c132.gif) + (х + hello_html_6fe4202.gif) – 4 = 0

х + hello_html_6fe4202.gif = у

Возведем обе части в квадрат

х2 + 2 ∙ х ∙ hello_html_6fe4202.gif + hello_html_6912c132.gif = у2, отсюда х2 + hello_html_6912c132.gif = у2 – 2

у2 – 2 + у – 4 = 0

у2 + у – 6 = 0, у1 = -3; у2 = 2

х + hello_html_6fe4202.gif = -3 и х + hello_html_6fe4202.gif = 2

х1,2 = hello_html_m495f2fbe.gif х3,4 = 1

Ответ: 1; hello_html_m495f2fbe.gif .







Пример 5. 6х4 – 35х3 + 62х2 – 35х + 6 = 0 / : х2

2 – 35х + 62 - hello_html_39671da7.gif + hello_html_2986ff2b.gif = 0

6(х2 + hello_html_6912c132.gif) – 35(х + hello_html_6fe4202.gif) + 62 = 0

х + hello_html_6fe4202.gif = у

6(у2 – 2) – 35у + 62 = 0

2 – 35у + 50 = 0; у1 = hello_html_22a74e83.gif; у2 = hello_html_m26329a36.gif


х + hello_html_6fe4202.gif = hello_html_22a74e83.gif и х + hello_html_6fe4202.gif = hello_html_m26329a36.gif

х1 = 2; х2 = hello_html_m4bf21f14.gif х3 = 3; х4 = hello_html_m51ce4be7.gif

Ответ: hello_html_m51ce4be7.gif; hello_html_m4bf21f14.gif; 2; 3.


Пример 6. 4х3 – 10х2 + 14х – 5 = 0 / ∙2

3 – 5 ∙ 4х2 + 14 ∙ 2х – 10 = 0

(2х)3 – 5(2х)2 + 14(2х) – 10 = 0

2х = у

у3 – 5у2 + 14у – 10 = 0

Сумма коэффициентов равна нулю, значит х = 1 – корень уравнения.

(у – 1)(у2 – 4у + 10) = 0

у1 = 1 или у2 – 4у + 10 = 0

D < 0, корней нет

2х = 1

х = hello_html_m4bf21f14.gif

Ответ: hello_html_m4bf21f14.gif
















Упражнения

  1. Решите уравнения:

а) х3 – 5х + 4 = 0

б) 8х3 – 4х + 1 = 0

в) 2х4 – 5х3 – х2 + 3х + 1 = 0

г) (х + 1)(х + 3)(х + 5)(х + 7) = 9

д) х4 – 2х3 – х2 – 2х + 1 = 0

е) х4 + х3 – 16х2 + 2х + 4 = 0

ж) 5х + hello_html_m12890a38.gif = 2х2 + hello_html_m53d243a5.gif + 4

  1. Найдите а и решите уравнение

а) 6х3 – 2(а – 9)х2 – 3(а – 1)х + а = 0, если х = hello_html_m51ce4be7.gif - корень уравнения

б) 2х3 – (а + 4)х2 + 2(а – 1)х + а = 0, х = 0,5

  1. Многочлен Р(х) = 2х3 + х2 + ах + в при делении на х + 1 дает остаток 18,

а на х – 2 делится без остатка. Найти корни многочлена.

  1. Многочлен Р(х) = х3 + ах2 + вх + с при делении на х + 1 и на х + 2 дает остаток 12, один из корней Р(х) равен 1. Найти остальные корни.

  2. Решите уравнения

а) х4 + х3 – 4х2 + х + 1 = 0

б) 6х4 + 5х3 – 38х2 + 5х + 6 = 0

в) х3 – 3х2 – 3х + 1 = 0

г) 3х3 – 7х2 – 7х + 3 = 0

























Контрольная работа по теме «Многочлены»


  1. Разложите многочлен х4 + 2х3 – 13х2 – 38х – 24 на множители.

  2. Решите уравнения:

а) х3 – 5х2 + 3х + 1 = 0

б) х4 – 7х3 + 14х2 – 7х + 1 = 0

  1. При каких значениях а и в многочлен 2х4 + 3х3 – ах2 + вх – 3 делится без остатка на х + 3, а при делении на х – 2 дает остаток, равный 5?

  2. Выполните деление с остатком х3 –3х + 2 на х – 2.


Ответы:

  1. Р(х) = (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х – 4)

  2. а) 1; 2 ±hello_html_m59c8c0fc.gif б) 2 ± hello_html_m980c3de.gif; hello_html_m36d2a006.gif

  3. а = 10; в = -4.

  4. х3 –3х + 2 = (х – 2)(х2 + 2х + 1) + 4.









Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Под многочленом понимается выражение вида: а0хn + а1хn-1 + … + аn-1х + аn, где а0, а1, аn – произвольные действительные числа называемые коэффициентами многочлена, х – переменная, n – целое неотрицательное число.

Такая запись называется каноническим видом многочлена.

Если коэффициент а0 при хn отличен от нуля, то одночлен а0хn называют старшим членом многочлена, а0  - старшим коэффициентом, аn называют свободным членом многочлена.

Любое число, отличное от нуля, можно считать многочленом.

 

Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то такой многочлен называется нулевым. Многочлен со старшим коэффициентом равным 1 называют приведенным.

Автор
Дата добавления 05.06.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров791
Номер материала 556757
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх