Инфоурок Математика КонспектыМетодическая разработка темы "Многогранники"

Методическая разработка темы "Многогранники"

Скачать материал

Пояснительная записка

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов любых специальностей, изучающих математику на 1  курсе КГА ПОУ ПКЛТТ. Пособие представляет собой полную разработку темы в соответствии с программой и календарно-тематическим планом по дисциплине «Математика» на первом курсе.

Пособие разбито на три блока:

1.      Теоретический блок – содержит необходимую теоретическую информацию по каждому рассматриваемому типу многогранника.

2.      Практический блок – содержит примеры решенных задач и типовые задачи, предназначенные для закрепления изученных тем.

3.      Контрольный блок – состоит из заданий для самостоятельных работ и практической работы по теме «Многогранники»

Такая форма изложения материала позволяет сначала познакомиться с теоретическими данными и основными приѐмами решения типовых задач, оформлением записи их решения, а затем приступить к выработке навыков в  самостоятельном решении и проверке полученных навыков в ходе выполнения практической работы.

 

           

Оглавление

1.  Теоретическая часть.................................................................................................................................... 4

1.1  Двугранный угол................................................................................................................................... 4

1.2  Трехгранный и многогранный углы.................................................................................................... 4

1.3  Многогранник........................................................................................................................................ 5

1.4  Призма.................................................................................................................................................... 6

Изображение призмы и построение ее сечений....................................................................................... 7

1.5  Прямая призма....................................................................................................................................... 7

1.6  Пирамида............................................................................................................................................. 10

1.7  Правильная пирамида......................................................................................................................... 12

1.8  Правильные многогранники.............................................................................................................. 12

2.  Практическая часть................................................................................................................................... 14

2.1  Задачи по теме «Призма»................................................................................................................... 14

2.2  Задачи по теме «Пирамида»............................................................................................................... 18

3.  Контроль.................................................................................................................................................... 23

3.1  Тест по теме «Многогранники»......................................................................................................... 23

3.2  Тест по теме « Призма»...................................................................................................................... 25

3.3  Тест по теме « Пирамида».................................................................................................................. 26

3.4  Самостоятельная работа (по карточкам)......................................................................................... 27

3.5  Практическая работа по теме  «Многогранники»............................................................................ 27

 

 

           

1.                 Теоретическая часть

1.1              Двугранный угол

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя "полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой (рис. 1). Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая — ребром двугранного угла.

Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным. углом двугранного угла. 

За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Все линейные углы двугранного угла совмещаются параллельным переносом, а значит, равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.

 

1.2  Трехгранный и многогранный углы

Рассмотрим три луча а, Ь, с, исходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная "из трех плоских углов (аЬ), (Ьс) и (ас) (рис. 2). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны — ребрами, общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

 

Аналогично определяется понятие многогранного угла (рис. 3).

1.3  Многогранник

В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

Многогранник — это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 4). 

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника.

Поясним сказанное на примере знакомого вам куба (рис. 5). Куб есть выпуклый многогранник. Его поверхность состоит из шести квадратов: ABCD, BEFC, .... Они являются его гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов: АВ, ВС, BE,... . Вершинами куба являются вершины квадратов:  А, В, С, D, Е, .... У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин.

Простейшим многогранникам — призмам и пирамидам, которые будут основным объектом нашего изучения,— мы дадим такие определения, которые, по существу, не используют понятие тела. Они будут определены как геометрические фигуры с указанием всех принадлежащих им точек пространства. Понятие геометрического тела и его поверхности в общем случае будет дано позже.

1.4  Призма

Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (рис. 6). 

Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины,— боковыми ребрами призмы

Так как параллельный перенос есть движение, то основания призмы равны.

Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у призмы основания лежат в параллельных плоскостях.

Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у призмы боковые ребра параллельны и равны.

Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов. У каждого из этих параллелограммов две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие — соседними боковыми ребрами.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями еѐ оснований. 

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.

Призма называется n-угольной, если ее основания — n-угольники.

В дальнейшем мы будем рассматривать только призмы, у которых основания — выпуклые многоугольники. Такие призмы являются выпуклыми многогранниками.

На рисунке 6 изображена пятиугольная призма. У нее основаниями являются пятиугольники А1А2...А5, А1А'2...А'5.  XX' — отрезок, соединяющий соответствующие точки оснований. Боковые ребра призмы—отрезки А1А'2, А1А'2, ..., А5А'5. Боковые грани призмы — параллелограммы  А1А2А'2А1 ,

А2А3А3А'2, ... .

Изображение призмы и построение ее сечений

В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение призмы строится следующим образом. Сначала строится одно из оснований Р (рис. 7). Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин многоугольника Р проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основание призмы. Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями.

Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым ребрам, являются параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (рис. 8).

1.5  Прямая призма

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной.

У прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками. При изображении прямой призмы на рисунке боковые ребра обычно проводят вертикально (рис. 9).

Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.

Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.

Теорема 1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е.

.на длину бокового ребра.

                                                                                                                                                                  

Доказательство. Боковые грани прямой призмы — пря-

моугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна

S=a1l+a1l+...+anl=pl или  

где a1,..., an — длины ребер основания, р — периметр основания призмы, а 1 — длина боковых

ребер. Теорема доказана.

Параллелепипед

Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом.  У параллелепипеда все грани — параллелограммы.

На рисунке 12, а изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 12, б — прямой параллелепипед.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

 

 

 

Теорема 2. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны, и равны.

Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда, например А1А2А'2А'1 и A3A4A'4A'3. (рис. 13). Так как все грани параллелепипеда — параллелограммы, то прямая A1A2 параллельна прямой А4А3, а прямая А1А'1 параллельна прямой А4А4'. Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.

Из того, что грани параллелепипеда — параллелограммы, следует, что отрезки А1А4, А1'А4', A'2A'3 и A2A3 — параллельны и равны. Отсюда заключаем, что грань А1А2А'2А'1 совмещается параллельным переносом вдоль ребра А1А4. с гранью А3А4А'4А'3. Значит, эти грани равны.

Аналогично доказывается параллельность и равенство любых других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.

 

 

Теорема .3. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например А1А'3 и A4A'2 (рис. 14). Так как четырехугольники А1А2А3А4   и A2A'2A'3A3 — параллелограммы с общей стороной A2A3, то их стороны А1А4 и A'2A'3 параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней параллелепипеда по параллельным прямым A1A'2 и A4A'3. Следовательно, четырехугольник A4A1A'2A'3— параллелограмм. Диагонали параллелепипеда A1A'3 и A4A'2 являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам.

Аналогично доказывается, что диагонали A1A'3 и A2A'4, а также диагонали A1A'3 и A3A'1 пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.

Из теоремы 3 следует, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его

центром симметрий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прямоугольный параллелепипед

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники. равны, называется кубом.

Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). У прямоугольного параллелепипеда три измерения.

   

Теорема 4. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

    Доказательство. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA'B'C'D' (рис. 15). Из прямоугольного треугольника AC'C по теореме Пифагора получаем: AC'2 = AC2 + CC'2.

Из прямоугольного треугольника АСВ по теореме Пифагора получаем АС2 = АВ2 + ВС2.

Отсюда    AC'2 =CC'2 +AB2 + BC2.

Ребра АВ, ВС и СС' не параллельны, а, следовательно, их длины являются линейными размерами параллелепипеда. Теорема доказана.

 

1.6  Пирамида

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,— вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (рис. 18). 

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань — треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды.

Высотой пирамиды, называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

У пирамиды, изображенной на рисунке 18, основание — многоугольник А1А2 …An, вершина

пирамиды – S, боковые ребра — SА1, S А2, …, S Аn, боковые грани – SА1А2, SА2А3, ... .

В дальнейшем мы будем рассматривать только пирамиды с выпуклым многоугольником в основании. Такие пирамиды являются выпуклыми многогранниками.

Построение пирамиды и ее плоских сечений

В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник.

Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания. На рисунке 18 показано изображение пятиугольной пирамиды.

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. 19). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два не соседних боковых ребра пирамиды (рис. 20).

                                                                                    

 

Усеченная пирамида

Теорема 5. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.

Доказательство. Пусть S — вершина пирамиды, А — вершина основания и А'— точка пересечения секущей плоскости с боковым ребром SA (рис. 23). Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии относительно вершины S с коэффициентом гомотетии k= SA'/ SA

При этой гомотетии плоскость основания переходит в параллельную плоскость, проходящую через точку А', т. е. в секущую плоскость, а следовательно, вся пирамида — в отсекаемую этой плоскостью часть. Так как гомотетия есть преобразование подобия, то отсекаемая часть пирамиды является пирамидой, подобной данной. Теорема доказана.

По      теореме          19.5 плоскость,          параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой (рис. 24). Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями; остальные грани называются боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные (более того, гомотетичные) многоугольники, боковые грани — трапеции.

1.7  Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту. Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из еѐ вершины, называется апофемой. Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Теорема 6. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

                                                                                                                 

Доказательство. Если сторона основания а, число сторон п, то боковая поверхность пирамиды равна:

(аl/2)ап = аlп/2 = рl/2' где l — апофема, a p — периметр основания пирамиды. Теорема доказана.

Усеченная пирамида, которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобокие трапеции; их высоты называются апофемами.

1.8  Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. )

Существует пять типов правильных выпуклых многогранников (рис.25): правильный тетраэдр (1), куб (2), октаэдр (3), додекаэдр (4); икосаэдр (5).

У правильного тетраэдра грани — правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.

У куба все грани — квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

У октаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.

У додекаэдра грани — правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.

У икосаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.

 

 

 

 

 

         

2.     Практическая часть

 

2.1  Задачи по теме «Призма»

Задача 1.

Из точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры АА\ и ВВ\ на

ребро угла. Найдите длину отрезка АВ, если АА1=а, ВВ1=b, А1В1=с и двугранный угол равен а (рис. 26).

Решение. Проведем прямые A1C||BB1 и ВС||А1В1. Четырехугольник А1В1ВС - параллелограмм, значит АА1==ВВ1=b. Прямая А1В1 перпендикулярна плоскости треугольника АA1C, так как она перпендикулярна двум прямым в этой плоскости АА1 и СА1. Следовательно, параллельная ей

прямая ВС тоже перпендикулярна этой плоскости. Значит, треугольник АВС — прямоугольный с прямым углом С. По теореме косинусов

AC2=AA12+A1C2—2AA1•A1C•cos =a2+b2—2abcos .

По теореме Пифагора

АВ =AC2 + ВС2 = a2 + b2— 2ab cos  + с2.

 

Задача 2.

У трехгранного угла (abc) двугранный угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре b равен , а плоский угол (bс) равен  ( ,  < /2). Найдите два других плоских угла: =

(ac).

 

 

 

Задача 3.

   В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны  l.

Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 28). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны l. Эта призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность исходной призмы равна pl.

 

Задача 4.

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой AС1 и плоскостью BСC1.

                

Решение.

Из точки А опускаем перпендикуляр.

Т.к. ABBC , ABBB1, то AB(BCC1) и ABBС1

Тогда AC1 – наклонная, ВС1 – проекция прямой AC1 на плоскость BСC1. Т.к. угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и еѐ проекцией на плоскость, то AC1B - искомый. 

Треугольник ABC1- прямоугольный. AB tg.

BC1

Пусть сторона куба равна a. Тогда BC

tg.       Ответ:

2

Задача 5.

Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 600. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см2. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

 

ДД1В1В-меньшее диагональное сечение Т.К. ДВ меньшая диагональ основания (параллелограмма) и оно является прямоугольником (ДД1=ВВ1;ДД1ВВ1 и ДД1 ДВ)

Решение

Sпов = Sбок+2 Sосн         

  Sбок = Рh    

Р=(АД+АВ)·2,   Р=(8+15)·2=46 h=?

S=130,   S=Д1Д·ДВ,     Д1Д= h

ДВ найдем из треугольника ДВА по теореме косинусов  ДВ2=АД2+АВ2-2АД·АВ·cos600 ДВ2 = 152+82 - 2·15·8·1/2 = 289-120=169

ДВ==13 (см)

Д1Д= h=130÷13=10(см.)

Sбок = Рh =46·10=460(см)       

Sосн   =АД·АВ·sin600       

                  Sосн=8·15·         =60      cм2

                  Sпов=460+120     =20(23+6     ) см2

 

Задача 6:  сторона основания правильной треугольной призмы равна 6см, а диагональ боковой грани равна 10см. Найти площадь боковой и полной поверхности призмы.

План решения:

1.      Внимательно прочитать задачу.  Помни, каждое слово задачи несет информацию, необходимую для ее решения.

2.      Выполни рисунок к задаче и отметь на нем все, что известно.

3.      Запиши  что дано и что надо найти

4.      Сделай обоснование рисунка, если нужно.

5.      Начинай решение с ответа на главный вопрос задачи.

6.      Запиши нужную формулу или выдели треугольник, в который входит неизвестное.

7.      Запиши все, что известно (в этой формуле)  об этом треугольнике и если достаточно данных найди неизвестное, пользуясь правилами решения прямоугольных треугольников (теорема Пифагора, значение синуса, косинуса,  тангенса  острого угла и т.д.)  или просто треугольников (например: теорема синусов, теорема косинусов и т.д.). Задача решена.

8.      В противном случае у тебя  появится новое неизвестное, которое необходимо найти, рассматривая уже другой треугольник.

9.      И так до тех пор, пока  рассматриваемый треугольник не будет решен.

10.  Найди ответ на главный вопрос задачи, для этого вернись  к  первому,  рассматриваемому  тобой треугольнику п.6  и реши его.

Дальнейшие задачи предназначены для самостоятельного решения.

1. В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат со стороной а = 4 см.

диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 600 . Найдите:

a)      Диагональ основания призмы;

b)      Диагональ призмы;

c)      Высоту призмы;

d)      Площадь диагонального сечения призмы;

e)      Площадь сечения, проходящего через середины двух смежных сторон нижнего основания параллельно диагональному сечению;

f)       Площадь сечения, проходящего через середины двух противоположных сторон основания параллельно боковой грани.

2.      В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием, равным 6 см., и углом при вершине 120º. Диагональ боковой грани, содержащей основание равнобедренного треугольника, равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности.        (48 +32 3 )

3.      Основание прямой призмы АВСА1В1С1- треугольник АВС, в котором А С , ВС=2, sinА=0,3. Высота призмы равна 5 . Найдите синус угла между прямой ВС1 и плоскостью АСС1.  (0,2)

4.      Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, сторона основания которой 3 см, диагональ боковой грани 5 см.

5.      Найдите высоту и объем правильной четырехугольной призмы, если сторона основания 2 см, а диагональ составляет с плоскость основания угол 450.

6.      Основание прямой призмы равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 13 см. найдите объем призмы, если ее высота 2 см.

 

7.      Основание прямой призмы ромб с диагоналями 6см и 8 см. меньшая диагональ призмы 10 см. найдите площадь полной поверхности.

8.      Основание прямой призмы ромб со стороной 4 см и углом 600. Найдите высоту и объем призмы, если большая диагональ призмы 7 см

9.      Площадь поверхности куба 36√2 см2. Найдите площадь диагонального сечения.

10.  Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат. Диагональ параллелепипеда

равна 4 см и составляет с боковой гранью угол 300. Найдите объем параллелепипеда.

 

2.2  Задачи по теме «Пирамида»

 

Задача 1.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вер-

 

 

 

 

 

 

Задача 2.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а высота — 12 см.

Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

 

 

Задача 3.

  В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной  230м, тангенс угла наклона боковой грани к основанию равен 1,2. Найти высоту самой высокой египетской  пирамиды.

Решение                                                                                7. SО = ОЕ •  tg E = 1,2 • 115 = 138 м 

1.               AC        ВD = О          Ответ:  138м

2.               Пирамида правильная           SО  (АВС)     S

3.               ОЕ        АD      ОЕ  СD                       

4.               SЕ  СD (по теореме о 3 перпендикулярах)  Чему равен тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике? (отношению противолежащего катета к прилежащему катету)

5.               SОЕ – п\у     tg E = SО : ОЕ = 1,2  С

6.               ОЕ = 0,5АD =115м 

                                                                                                        230      D

Задача 4.

В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной  230м, высота пирамиды 138 м. Найти боковое ребро самой высокой египетской пирамиды. 

 

 

                                                       S Решение.

1.  ∆ АSO – прямоугольный (SO (ABC)    SO AO ). 

2.  По теореме Пифагора AS2 = SO2 + AO2.

В

                                                              О     С         3. AO =  AC, т. к. АО = ОС;   АС = 230; А                                                                   АО =115

               230      D

4. AS2 = 138 + (115           )2 = 19044+26450 = 45494

5. AS =       213(м.)

                                                         Ответ: AS 213(м.)  

Задача 5. 

 Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол 600 с помощью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.

Решение:

a.         Запишите формулу площади полной поверхности пирамиды.

b.        SАО=600   АО ...,тогдаАС

c.         Вычислите стороны основания и Sосн, Росн

d.        ОК= АД . По теореме Пифагора найдите апофему SK.

e.         Подставьте найденные величины в формулу

Ответ: Sпир = 72(1+ 7 ) см2

 

Задача 6.

В правильной четырехугольной пирамиде известны длина стороны основания 2 и длина высоты 2. Найдите: угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение:

a.    Найдите длину диагонали основания, учитывая то, что в основании лежит квадрат.

b.    Высота пирамиды подает в центр симметрии квадрата, т.е. в точку пересечения диагоналей,

значит, нам нужно найти половину длины диагонали.

c.    Рассмотрите прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды и

половина диагонали основания, а гипотенузой – ребро пирамиды.

d.    Найдите длину гипотенузы, а затем синус 

 

 

 

 

Задача 7.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а боковое ребро 10 см.

Найдите:

a.       Высоту пирамиды;

b.      Угол, образованный боковым ребром и плоскостью основания пирамиды;

c.       Угол между  боковой гранью и плоскостью основания пирамиды;

d.      Площадь сечения, проходящего через высоту основания и высоту пирамиды;

Задача 8.

Дано: DABC- правильная пирамидаАВ=3, AD=23. Найти:S полное.

Решение:

1.  Учтите, что в основании равносторонний треугольник. Найдите площадь основания.

2.  Из треугольника АМС найдите медиану МС.

3.  Вспомните свойство точки пересечения медиан. Найдите длину АС.

4.  Из треугольника DOC найдите высоту пирамиды DO.

5.  Найдите полную площадь пирамиды. 

Предложите свое решение. 

 

Дальнейшие задачи предназначены для самостоятельного решения.

2.    В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а боковое ребро 10 см. Найдите:

a.       Высоту пирамиды;

b.      Угол, образованный боковым ребром и плоскостью основания пирамиды;

c.       Угол между  боковой гранью и плоскостью основания пирамиды;

d.      Площадь боковой поверхности пирамиды;

e.       Площадь полной поверхности пирамиды;

f.        Объем пирамиды;

g.      Площадь сечения, проходящего через высоту основания и высоту пирамиды;

h.      Площадь сечения, проходящего через середину высоты пирамиды, параллельно  основанию;

i.        Площадь сечения, проходящего через высоту основания и середину боковой стороны.

3.    Через вершину квадрата АВСД ( АВ = 6√2) проведен к его плоскости перпендикуляр ВК, равный 4см. найдите расстояние от точки К до  а) вершины Д,  б) прямых, содержащих сторону СД и диагональ АС,  в) расстояние от точки пересечения диагоналей до КД.

4.    Основание пирамиды квадрат АВСД со стороной 3 см. высота пирамиды, равная 4 см, проходит через вершину В. а) докажите, что все боковые грани пирамиды – прямоугольные треугольники;      б) вычислите площадь поверхности пирамиды.

5.    Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды  6√2 см, боковая грань             наклонена к плоскости основания под углом 600. Найдите : а) площадь боковой          поверхности пирамиды; б) объем пирамиды.

6.    Основание пирамиды прямоугольник  со сторонами 6см и 8 см, высота пирамиды 12см, боковые ребра равны. Найдите: а) площадь поверхности пирамиды; б) объем пирамиды.

7.    В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 10 см и образует угол 600 с плоскостью основания. Найдите : а) площадь поверхности пирамиды; б) объем пирамиды.

8.    Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см. боковые ребра пирамиды образуют углы 450 с плоскостью основания. Найдите высоту пирамиды.

 

 

           

3.     Контроль  

 

3.1  Тест по теме «Многогранники»

1.Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называется:

а) четырехугольник

б) многоугольник

в) многогранник

г) шестиугольник 2. Вершины многогранника обозначаются:

а) а, в, с, д ...

б) А, В, С, Д ...

в) ав, сд, ас, ад ...

г) АВ, СВ, АД, СД ...

3.               К многогранникам относятся:

а) параллелепипед

б) призма

в) пирамида

г) все ответы верны

4.               Многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, совмещенных параллельным переносом, называется:

а) пирамидой

б) призмой

в) цилиндром

г) параллелепипедом

5.               Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани называется:

а) диагональю

б) ребром

в) гранью

г) осью 6. Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, то призма является: а) наклонной

б) правильной

в) прямой

г) выпуклой 7. У призмы боковые ребра:

а) равны

б) симметричны

в) параллельны и равны

г) параллельны 8. Если в основании призмы лежит параллелограмм, то она является:

а) правильной призмой

б) параллелепипедом

в) правильным многоугольником

г) пирамидой 9. Грани параллелепипеда не имеющие общих вершин, называются:

а) противолежащими

б) противоположными

в) симметричными

г) равными

10.           Многогранник, который состоит из плоского многоугольника, точки и отрезков соединяющих их, называется: 

а) конусом

б) пирамидой

в) призмой

г) шаром

11.           Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, называется:

а) медианой

б) осью

в) диагональю

г) высотой 12. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются: а) гранями

б) сторонами

в) боковыми ребрами

г) диагоналями 13. Треугольная пирамида называется:

а) правильной пирамидой

б) тетраэдром

в) наклонной пирамидой

г) призмой

14. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется:

а) медианой

б) апофемой

в) перпендикуляром

г) биссектрисой 15. К правильным многогранникам не относится: а) куб

б) тетраэдр

в) икосаэдр

г) пирамида 16. У куба все грани:

а) прямоугольники

б) квадраты

в) трапеции

г) ромбы 17. Высота пирамиды является:

а) осью

б) медианой

в) перпендикуляром

г) апофемой 18. Грани выпуклого многогранника являются выпуклыми:

а) треугольниками

б) углами

в) многоугольниками

г) шестиугольниками  19. Основания призмы:

а) параллельны

б) равны

в) перпендикулярны

г) не равны 20. Боковая поверхность призмы состоит из:

а) параллелограммов

б) квадратов

в) ромбов

г) треугольников

21. Площадью боковой поверхности призмы называется:

а) сумма площадей боковых многоугольников

б) сумма площадей боковых ребер

в) сумма площадей боковых граней

г) сумма площадей оснований 22. Боковая поверхность прямой призмы равна:

а) произведению периметра на длину грани призмы

б) произведению длины грани призмы на основание

в) произведению длины грани призмы на высоту

г) произведению периметра основания на высоту призмы 23.Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его: а) центром

б) центром симметрии

в) линейным размером

г) точкой сечения 24. К правильным многогранникам относятся:

а) тетраэдр

б) куб и додекаэдр

в) октаэдр и икосаэдр

г) все ответы верны

3.2  Тест по теме « Призма»

Вариант 1

1.Сколько ребер у шестиугольной призмы?

А) 18;  б) 6;  В) 24;  г) 12;  д) 15

2.                Какое наименьшее число граней может иметь призма?

А) 3;  б) 4;  в) 5;  г) 6;  д) 9.

3.                Выберите верное утверждение:

А) у n-угольной призмы 2n граней;

Б) призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники;

В) у треугольной призмы нет диагоналей;

Г) высота призмы равна ее боковому ребру;

Д) площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

4.                Чему равны градусные меры двугранных углов, образованных боковыми гранями правильной пятиугольной призмы?

А) 900 ,    б) 1050,       в) 1200,     г) 1080,      д)720.

  

Вариант 2

1.                Сколько граней у шестиугольной призмы?

А) 6;  б) 8;  в) 10;  г) 12;  д) 16.

2.                Какое наименьшее число ребер может иметь призма?

А) 9;  б) 8;  в) 7;  г) 6;  д) 5

3.                Выберите верное утверждение:

А) у п-угольной призмы 2п ребер;

Б) площадью полной поверхности призмы называется снмма площадей ее боковых граней;

В) у треугольной призмы две диагонали;

Г) высота прямой призмы равна ее боковому ребру;

Д) призма называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник.

4.                Чему равны градусные меры двугранных углов, образованных боковыми гранями правильной шестиугольной призмы?

А) 720 ,    б) 1080,       в) 900,     г) 1200,      д)1050.

3.3  Тест по теме « Пирамида»

 Вариант 1

 1.Сколько ребер у шестиугольной пирамиды?

А) 6;  б) 12;  В) 18;  г) 24;  д) 8

2. Какое наименьшее число граней может иметь пирамида?

А) 5;  б) 12;  в) 10;  г) 6;  д) 4

. 3. Выберите верное утверждение:

А) многогранник, составленный из п треугольников, называется пирамидой;

Б) все боковые ребра усеченной пирамиды равны;

В) пирамида называется правильной, если ее основание правильный многоугольник;

Г) высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой;

Д) площадью боковой поверхности  усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

4. Боковые ребра треугольной пирамиды 7 см, 12 см, 5 см. одно из них перпендикулярно к плоскости основания. Чему равна высота пирамиды?

 А) нельзя определить;  б) 12;  в) 15  г) 7;  д) 8

Вариант 2

 1.Сколько граней у шестиугольной пирамиды?

А) 6;  б) 7;  В) 8;  г) 10;  д) 12

2. Какое наименьшее чисел ребер может иметь пирамида?

А) 6;  б) 5;  в) 4;  г) 7;  д) 8

. 3. Выберите верное утверждение:

А) высота пирамиды называется апофемой;

Б)  боковые грани усеченной пирамиды - прямоугольники;

В) пирамида называется правильной, если ее основание правильный многоугольник;

Г) площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению периметра основания на высоту;

Д)  усеченная пирамида называется  правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

4. Боковые ребра треугольной пирамиды 3 см,  4 см,  7 см. одно из них перпендикулярно к плоскости основания. Чему равна высота пирамиды?

 А) нельзя определить;  б) 7  в) 5  г) 4;  д) 3

 

3.4     Самостоятельная работа (по карточкам)

 

Вариант 1

Высота правильной треугольной пирамиды равна a 3 ; радиус окружности, описанной около

ее основания, 2а. Найдите : а) апофему пирамиды; б) площадь боковой поверхности. [а) 2а; б) 6а2 3 ]

 

Вариант 2

Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 2а. высота пирамиды равна a 3 .

Найдите: а) сторону основания пирамиды; б) площадь поверхности пирамиды.          [а) 2а 2 ; б) 8а2(

2 1)]

 

3.5  Практическая работа по теме  «Многогранники».

 

Цель: проверить и закрепить ЗУН по решению задач по теме «Многогранники».

План работы.

1.    Повторить  теоретический материал по теме.

2.    Выполнить тест по теме «Многогранники»

3.    Внимательно ознакомиться с заданием практической работы.

4.    Выполнить задания.

5.    Ответить на вопросы для контроля.

 

1 вариант.

1.               Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань – квадрат.

2.               Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45º. Найдите  высоту пирамиды и  площадь боковой поверхности пирамиды.

2 вариант.

1.               Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань – квадрат.

2.               Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60º. Найдите  боковое ребро  пирамиды и  площадь боковой поверхности пирамиды.

3 вариант.

1.               Основание прямого параллелепипеда – ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45 º. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

2.               Основание пирамиды – правильный треугольник с площадью 9 3 см2. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а третья – наклонена к ней под углом 30º.

а)  найдите длины боковых ребер пирамиды.

б)  найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

 

4 вариант.

1.   Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6см и 8см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13см. Вычислите высоту пирамиды.

2.   Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8см, сторона ее основания 12см.

Вычислите длину бокового ребра пирамиды и площадь боковой поверхности пирамиды.

 

Вариант 5.

1.   В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания 8 м боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . Найдите высоту пирамиды.

2.   В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 3см и 8 см, а угол между ними .

Боковая поверхность равна 220 . Найдите полную поверхность параллелепипеда.

 

Контрольные вопросы.

1.    Какой многогранник называется призмой?

2.    Сколько вершин, ребер, граней имеет шестиугольная призма?

3.    У какой призмы высота совпадает с боковым ребром?

4.    Как называется прямая призма, основание которой - прямоугольник?

5.    Закончите предложения:

а) высотой пирамиды называется ….;

б) пирамида называется правильной, если …;

в) апофемой правильной пирамиды называется …;

г) боковой поверхностью пирамиды называется …

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Методическая разработка темы "Многогранники""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Теолог

Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов любых специальностей, изучающих математику на 1  курсе КГА ПОУ ПКЛТТ. Пособие представляет собой полную разработку темы в соответствии с программой и календарно-тематическим планом по дисциплине «Математика» на первом курсе.

Пособие разбито на три блока:

1.      Теоретический блок – содержит необходимую теоретическую информацию по каждому рассматриваемому типу многогранника.

2.      Практический блок – содержит примеры решенных задач и типовые задачи, предназначенные для закрепления изученных тем.

3.      Контрольный блок – состоит из заданий для самостоятельных работ и практической работы по теме «Многогранники»

 

Такая форма изложения материала позволяет сначала познакомиться с теоретическими данными и основными приёмами решения типовых задач, оформлением записи их решения, а затем приступить к выработке навыков в  самостоятельном решении и проверке полученных навыков в ходе выполнения практической работы.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 624 521 материал в базе

Скачать материал

Другие материалы

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 30.05.2015 814
    • PDF 0 байт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Токарская Майя Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Токарская Майя Сергеевна
    Токарская Майя Сергеевна
    • На сайте: 9 лет и 4 месяца
    • Подписчики: 2
    • Всего просмотров: 48559
    • Всего материалов: 21

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Фитнес-тренер

Фитнес-тренер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Развитие предметных навыков при подготовке младших школьников к олимпиадам по математике

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 42 человека из 16 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Учитель математики

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 1218 человек из 84 регионов

Курс повышения квалификации

Психолого-педагогические аспекты развития мотивации учебной деятельности на уроках математики у младших школьников в рамках реализации ФГОС НОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Электронный архив: нормативно-правовые требования и основы оцифровки

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Сельский и индустриальный туризм

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Методология и организация образовательного процесса по информатике

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе