Методическая разработка творческой группы учителей математики района РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА

АВТОНОМНОЙ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ

ПЕРВОМАЙСКОЙ РАЙОННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ АДМИНИСТРАЦИИ

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ

 

 

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пгт. Первомайское

2013

 

 

 Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

 Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x|=a–1 не следует неотрицательность значений выражения a–1, и если a–1<0, то мы обязаны констатировать, что уравнение не имеет решений.

 Что означает «решить задачу с параметром»?

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Более доступное понимание того, что означает решить задачу с параметром, сформируется после ознакомления с примерами решения задач на последующих страницах.

Основные типы задач с параметрами

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

 Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.

Основные способы (методы) решения задач с параметром

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x; y).

 

Применение параметра в школьном курсе математики

Известно, что в программах по математике для неспециализированных школ задачам с параметром отводится незначительное место. Так, с параметрами мы встречаемся:

 - при введении некоторых понятий (например, при введении понятий функции прямая пропорциональность y = kx (x и y – переменные, k – параметр, k ≠ 0); линейной функция y = kx + b (x и y – переменные, k и b – параметры); линейного уравнения ax + b = 0, где x – переменная, a и b – параметры; квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, где x – переменная, a, b, c – параметры, a ≠ 0);

- при поиске решений линейных и квадратных уравнений в общем виде;

- при исследовании количества их корней в зависимости от значений параметров (например, решая относительно x уравнение ax² + bx +c , мы фактически решаем не одно, а множество уравнений относительно x, при каждом наборе значений параметров a, b, c получается определенное уравнение относительно x).

Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью.   Трудности решения задач с параметром вызваны прежде всего тем, что в любом случае, даже при решении простейших уравнений, содержащих параметры, как мы видим, приходится производить ветвление всех значений параметров на отдельные классы, при каждом из которых задача имеет решение. При этом следует четко и последовательно следить за сохранением равносильности решаемых уравнений с учетом области определения выражений, входящих в уравнение, а также учитывать выполнимость производимых операций. Однако школьная программа не предусматривает выработки прочных навыков решения таких задач, хотя практика, показывает, что такие задачи стали традиционными, и совершенно очевидно, что к «встрече» с ними надо специально готовиться. Поэтому необходимо знакомить учащихся с параметром и начать это знакомство можно в 7 классе.

Изучение заданий с параметрами  предполагает углубленное изучение предмета по данной теме, но предлагаемый материал дополняет стандартную программу школьного курса математики, что, безусловно, будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических умений, предусмотренных программой.

Задачи с параметрами практически не представлены в школьном курсе математики. Между тем они включены в  задачах на ВНО. Для решения задач с параметрами не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы. Однако непривычность формулировки обычно ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач.

   Задания с  параметрами, встречаются в школьных учебниках алгебры 7 - 9 классов, в дидактических  сборниках, рассмотрение решений линейных, квадратных, дробно-рациональных уравнений с одной неизвестной и одним параметром и рассмотрение основных методов и приемов их решения, в том числе и графического метода, необходимо для того, чтобы в дальнейшем, обучаясь в старших классах, ребята смогли применить полученные навыки для решения более сложных задач с параметрами.

Естественно, что такой небольшой класс задач, позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную сущность. Во-первых, предполагаемая известность позволяет обращаться с параметром, как с числом, а во-вторых, такое обращение ограничено неизвестностью параметра.

Существенным этапом является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение ветвится в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения и в логически правильной последовательности.   

Цели:

- расширение и углубление знаний по предмету с учетом интересов и склонностей учащихся;

- создание основы для выбора профиля;

- расширение кругозора учащихся;

- развитие математического мышления;

- формирование активного познавательного интереса к предмету;

- развитие исследовательской и проектной деятельности обучающихся;

- улучшение подготовки к  олимпиадам и ВНО.

Использование блок-схем для решения линейных уравнений с параметром

Применение блок-схем помогает построить логическую цепочку для решения подобных задач:

 

 

 

                                                                              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ следует записывать в таком виде:

- если  а≠0,   то  ;

- если а=0 и b=0, то х - любое число;

- если а=0 и b≠0, то – корней нет.

Линейные уравнения с параметром

№1

            

         №2

      

№3

№4

№5

№6

Дробно-рациональные уравнения с параметром

№1

№2

 

№3

№4

 

№5

№6

№7

При каких значениях а уравнение  не имеет корней?

Решение:

;

 

№8

При каких значениях а уравнение   имеет один корень?

Иррациональные уравнения с параметром

№ 9

Решить уравнения

№1

 

Решение:

ОДЗ: х≥1;

при а=0,  0∙  х – любое число из ОДЗ;

при а≠0,    х=1.

Ответ:    при а=0, х≥1;

при а≠0,    х=1.

№2

 

Решение:

при а=1,   х- любое число;

при а≠1,    х=0.

Ответ: при а=1,  х- любое число;

при а≠1,    х=0.

№3

Решение:

ОДЗ: х≥1;

при а=0,   х – любое число из ОДЗ;

при а≠0,  х=2.

Ответ: при а=0,  х≥1;

при а≠0, х=2.

№4

Решение:

ОДЗ: х≥2;

при а=0,   х=2;

при а>0,    х=а²+2;

при а<0, нет решений.

Ответ: при а=0,  х=2;

при а>0,    х=а²+2;

при а<0, нет решений.

Квадратные уравнения с параметром

№ 1

При каком значении параметра а уравнение  является: линейным, приведенным квадратным, неполным неприведенным квадратным и   неполным приведенным квадратным:

Решение:

1)    Уравнение является линейным, если  а-2=, а=: 3х=0;

2)    Приведенным квадратным, если – а-2=1; а=3: х²+5х+5=0.

3)    Неполным неприведенным квадратным уравнением, если а-2≠1 и 2а-1=0 или а²-4=0. а≠3 а=0,5 или а=±2.

4)       Неполным приведенным квадратным уравнением, если а-2=1, 2а-1=0 или а²-4=0. а=3, а=0,5 или а=±2.  Решения нет.

№ 2

Установите, при каком значении а один из корней квадратного уравнения равен 0, и найдите второй корень уравнения:

1)    х²+ах+а-4=0;

 

Решение:

По теореме Виета имеем:

 х₁₊ х₂=-а;

 х_1∙ х₂=а-4.

Так как х₁=0, то:

 0₊ х₂=-а;             х₂=-а;         х₂=-4;

 0 _∙ х₂=а-4,            а-4=0,        а=4.

Ответ: при а=4.

2)    4х²+(а-8)х+а²+а=0;

Решение:

-       при а²+а=0; а(а+1)=0; а=0 или а=-1.

-       при а=0 4х²-8х=0; 4х(х-2)=0; х₁=0 и х₂=2.

-       при а=-1; 4х²-9х=0; х(4х-9)=0; х₁=0 и х₂=2,25.

Ответ: при а=0, а=-1.

3)    ах²+(а+3)х+а²-3а=0;

Решение:

-     при а²-3а=0; а(а-3)=0; а=3 (а≠0);

-    при а=3; 3х²+6х=0; 3х(х+2)=0; ; х₁=0 и х₂=2.

Ответ: при а=3.

PS: при решении подобных примеров  можно воспользоваться теоремой Виета (см.пример №1).

 №3

Решить уравнения:

1)      х²-(3а+1)х+2а²+а=0;

Решение:

a)    3а+1=0;3а=-1;

х²+2а²+а=0; х²=-2а²-а.

х²=

b)    2а²+а=0; а=0 или а=

х²-(3а+1)х=0; х(х-3а-1)=0; х=0 или х=3а+1.

Если а=0, то х=0 или х=1.

Если а=

c)     Если а≠0, а≠

D=(3а+1)²-4(2а²+а)=9а²+6а+1-8а²-4а=а²+2а+1=(а+1)²;

Если D=0, то уравнение имеет один корень.а+1=0, а=-1,

Если D>0, то уравнение имеет  два корня: (а+1)²>0 при любом а≠-1.

2)      х²-(2а+4)х+8а=0- Решается аналогично.

3)      а²х²-24ах-25=0;   

Решение:

при а=0 – решений нет.

при а≠0:

D=(24а)²-4∙а²∙ (-25) =576а²+100 а²=676а²=(26а)²;

      

4)    3(2а-1)х²-2(а+1)х+1=0;   

Решение:

a)    при а= : -2(+1)х+1=0; -3х+1=0; х=;

b)    а+1=0, а=-1,

3(2а+1)х²+1=0, х²=

Если а=-1, то х=

c)     при а≠и а≠-1:

D=(2(а+1))²-4∙3∙(2а-1)=4а²+8а+4-24а+12=4а²-16а+16=(2а-4)²

     

       № 4

Найти корни полного квадратного уравнения:

1)           х²-(2а-5)х-3а²+5а=0;

Решение:

D=(2а-5)²-4(-3а²+5а)=4а²-20а+25+12а²-20а=16а²-40а+25=(4а-5)²;

a)    D=0. 4а-5=0, а=1,25.

х=

b)    D>0 при любом а≠1,25.

 

2)           х²+(3а-4)х-12а=0;

Решение:

D=(3а-4)²-4(-12а)=9а²-24а+16+48а=9а²-24а+16=(3а+4)²;

1)    D=0. 3а+4=0,

х=

2)    D>0 при любом

3)           ах²-(а+1)х+1=0;

Решение:

при а=0    х=1;

при а=-1, х=±1.

при а≠0:

D=(а+1)²-4а=а²+2а+1-4а=а²-2а+1=(а-1)²;

 

 

 

№5

При каком значении b уравнение имеет единственный корень:

1)           bх²-6х-7=0;

Решение:

  при b=0, -6х-7=0; х=-1;

при b≠0:

D=(-6)²-4∙b∙(-7)=0;

28b+36=0; b=.

Ответ: при b=0 или b=

2)           (b+5)х²-(b+6)х+3=0; 

Решение:

при b=-5      -х+3=0,  х=3;

если  b≠-5:

D=(b+6)²-4∙3∙(b+5)=b²+12b+36-12b-60=b²-24=0;

b²=24;

 

№ 6

Для каждого значения а решите уравнения:

1)   

Решение:

если а=1,   х=7;

если а=7,   х=1;

если а≠1 и а≠7, то х=1 или х=7.

Ответ: если а=1, то   х=7;

если а=7, то  х=1;

если а≠1 и а≠7, то х=1 или х=7.

если а=1,   решения нет;

если а=7,   решения нет;

если а≠1 и а≠7, то х=а.

Ответ: если а=1 или а=7, то  решений нет;

если а≠1 и а≠7, то х=а.

 

D=(3а+2)²-4∙6а=9а²+12а+4-24а=9а²-12а+4=(3а-2)²;

 

№7

При каких значениях а уравнение  имеет один корень?

Решение уравнений с параметром с использованием блок-схем

№1

Решить уравнение ах²+1=x+a.

Решение:

Запишем уравнение в виде ax=b:

ах²-x=a-1,

х(х-1)(а+1)=а-1.

Используем для данного примера нижеприведенную схему:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

если  а=1,   то  х- любое число;

если а≠1 и а≠-1, то ;

      если а=-1, то – корней нет.

№2

Решить уравнение а²х+1=x+a.

Запишем уравнение в виде ax=b:

а²х-х=а-1,

х(а-1)(а+1)=а-1,

Воспользуемся блок-схемой:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

если  а=1,   то  х- любое число;

если а≠1 и а≠-1, то

 если а=-1, то – корней нет.

Другие задания уравнений с параметрами

1)    Найти все корни уравнения ах=а+5х,  кратные 3 (а – любое число, не равное 5).

Решение:

х(а-5)=а.

  

По условию корни должны быть кратны 5, поэтому:

 

Ответ:

2)    При каких значениях параметра а уравнение  имеет целые корни?

Решение:

 Значения  и а=1 не принадлежат области допустимых значений параметра, х≠1. Поэтому:

(а-1)(х+1)=2(2а-1),

При условии х – целое число (х=k, k∊Z).

 

Если k≠3, то  Проверим условие: а≠.

Ответ:

 

 

3)    Решить уравнение ах+b=сх+d;

Решение:

ax-cx=d-b,

x(a-c)=d-b.

- если а-с≠0, то 

- если а-с=0 и d-b≠0, то получим уравнение х∙0=d-b, которое корней не имеет;

-  если а-с= d-b=0, то получим уравнение 0∙х=0, где х – любое число.

Ответ:

- если а-с≠0, то 

- если а=с и d≠b, то  корней нет;

-  если а-с= d-b=0, то  х – любое число.

4)    График функции y=ax2 проходит через точку N(0,5;1). Проходит ли этот график через точку  K(-4;64)?

Решение:

Поскольку график функции y=ax² проходит через точку N(0,5;1), то ее координаты удовлетворяют уравнению функции т.е.:

 1=а∙0,5²;

а=4, следовательно, функция имеет вид y=4x². Проверим, удовлетворяют ли уравнению функции координаты точки К:

64=4∙(-4)²;

64=64. Следовательно, точка К(-4;64) принадлежит графику функции у=х².

Ответ: да.

5)    Корни х₁ и х₂ уравнения х²-3х+m=0  удовлетворяют условию                       2х₁-3 х₂=16. Найдите корни уравнения и значение m.

Решение:

По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения, имеем: х₁+х₂=3. Решим систему уравнений:

 

 2х₁-3 х₂=16,                  х₁=5,

         х₁+ х₂=3;                 х₂=-2.

По теореме Виета найдем значение m:

m=5∙(-2)=-10.

Ответ: х₁=5; х₂=-2; m=-10.

6)     Найти значения m при которых один из корней уравнения 8x²-6x+m=0 вдвое больше второго.

Решение:

8x²-6x+m=0;

D=36-32m;

Поскольку х₁=2х₂, то:

Ответ: m=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение уравнений с параметром графическим способом

ПАМЯТКА

Алгоритм построения графиков  функций, содержащих знак модуля

1. у = f(|x|)	1. Отобразить график функции у = f(x) симметрично относительно оси Оу.
2. у = |f(x)|	2. Отобразить график функции у = f(x) симметрично относительно оси Ох.
3. у = |f(|x|)|	3. Последовательно отобразить график функции у = f(x) симметрично относительно осей координат.
4. у = |f(x)|+ a	4. Параллельный перенос  графика функции у = |f(x)| по оси ОY на а единиц.

                          

 

1)      Найдите все значения а, при которых уравнение |1-x²|=a имеет три корня.

Решение:

Рассмотрим функцию y=|1-x²|, построим ее график (для построения графиков воспользуемся программой GRAN2):

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построив в данной системе координат график функции y=a, имеем (количество точек пересечения двух графиков – число корней исходного уравнения). При а=1 – уравнение имеет три корня.

Ответ: при а=1.

1)      Решить уравнение |x²-4|x|+3|=а.

Сначала построим график функции y=x²-4x+3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку функция y=x²-4|x|+3 четная, то ее график симметричен относительно оси ординат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отображая часть графика, находящуюся ниже оси абсцисс, получим график функции y=|x²-4|x|+3| :

 

 

Для того, чтобы исходное уравнение имело шесть корней, прямая y=a должна пересекать график функции y=|x²-4|x|+3|  в шести точках т.е. а=1.

Ответ:

- если а<0, то уравнение корней не имеет;

- если а=0, х=-3; х=-1; х=1; х=3;

- если а∊(0;1), то уравнение  имеет 8 корней;

- если а=1, то уравнение имеет 6 корней;

- если а∊(1;3), то уравнение  имеет 4 корня;

- если а=3, то уравнение  имеет 3 корней;

- если а>3, то уравнение  имеет 2 корня.