Методическая разработка урока по математике по теме "Решение тригонометрических уравнений"

ГАОУ СПО Тольяттинский колледж сервисных технологий и предпринимательства

 

 

 

 

 

 

 Методическая разработка

 урока математики

 по теме «Решение тригонометрических уравнений»

на городской конкурс педагогического мастерства

«Фестиваль инновационных педагогических идей»

Номинация «Педагог – педагогу»

 

 

 

 

 

 

 

 

                      Автор работы:

Агаева Ольга Ивановна, преподаватель

 

 

 

Тольятти

2012 г

Цели урока:

 

Образовательные:

актуализировать знания учащихся по теме урока;

закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

познакомить  с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

 

Развивающие:

- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

- формировать и  развивать  общеучебные  умения и навыки:  обобщение, поиск способов решения;

- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора  задания, соответствующего их уровню развития.

 

Воспитательные:

-     вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

 

Продолжительность урока: 2 часа

 

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

 

Оборудование:  компьютер и мультимедийный проектор.

 

Методическое обеспечение урока: презентация к уроку, справочные таблицы, таблицы для устного счета, тексты самостоятельных работ

 

Структура урока:

 

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

1.2. Устная работа:

1.2.1. Решение линейных и квадратных уравнений.

1.2.2. Использование основных формул тригонометрии.

 

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания):

2.1.1.Свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения,  значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

2.1.2. Определения обратных тригонометрических функций.

2.1.3. Решение простейших тригонометрических уравнений.

2.1.4. Тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным.

2.1.5. Однородные тригонометрические уравнения.

2.2.  Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений:

2.2.1. Введение нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений

2.2.2. Метод разложения на множители.

 

 

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

3.2. Информация о домашнем задании.

3.3. Подведение итогов урока.

 

Ход урока:

 

1. Вводно-мотивационная часть

 1.1.Организационный момент.

 

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

 

Содержание этапа:

 

1. Приветствие.

Преподаватель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме  «Общие методы решения тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются как в вариантах внутреннего экзамена по математике, так и вариантах ЕГЭ.

 

2. Проверка готовности учащихся к уроку.

Преподаватель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Приготовились к уроку. Начинаем! И пусть эпиграфом к нашему уроку будут слова Пуассона С. Д. «Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием»

3. Озвучивание целей урока и  плана его проведения.

Преподаватель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений.

Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того,  познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

В начале урока мы вспомним решение линейных и квадратных уравнений, основные формулы тригонометрии.

Далее работа будет чередоваться: мы повторим числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений.  Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения,  уравнения вида

a sinx + b cosx = c. После каждого блока заданий проводим  разноуровневые проверочные работы, задания которых вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания,  умения и навыки. Проверяем решения, и вы выставляете себе оценку за каждый вид заданий. 

После чего познакомимся  с решением симметричных тригонометрических уравнений, решением тригонометрических уравнений путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей. Обсудим полученные результаты работы на уроке,  оценим  индивидуальную работу. Затем  получите инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока. Итак, приступаем.

 

1.2. Устная работа.

 

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

 

Содержание этапа:

 

Преподаватель:  1.2.1.Первое задание для устной работы -  решите уравнения:

 На экране проецируется задание, затем  появляются ответы(слайд 2)

a) 3 х – 5 = 7  б) х2  –  8 х + 15 = 0 в) 4 х2 – 4 х + 1= 0 г) х4   –  5 х2 + 4 = 0 д) 3 х2 – 12 = 0

Ответы 4 3; 5 0,5 -2; -1; 1; 2 -2; 2

Преподаватель: 1.2.2.Второе задание – используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы(слайд 3)

а) (cos a – 1) (cos a + 1) б) sin2 a + 1 +  cos2 a в) sin2 a - tg a ctg a +  cos2 a

Ответы - sin2 a 2 0

2. Основная часть урока.

 

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

 

Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора разноуровневого задания.

Содержание этапа:

 

Преподаватель: 2.1.1.Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения

Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

Преподаватель: А теперь выполним самостоятельную работу. Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверим правильность ее выполнения.

Найдите значения тригонометрических выражений:

На экране проецируется задание (слайд 4 и 5)

1 вариант		2 вариант
sin (-π/3) cos  2π/3 tg  π/6 ctg π/4 cos (-π/6) sin 3π/4	Ответы - √3/2 -  1/2   √3/3      1   √3/2   √2/2	cos  (-π/4 ) sin π/3 ctg π/6 tg π/4 sin  (-π/6) cos 5π/6	Ответы   √2/2   √3/2  √3     1   - 1/2  - √3/2

Преподаватель:  Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:  

количество верных ответов	оценка
6	5
5	4
4	3
< 4	2

На экране проецируются ответы

Преподаватель:  2.1.2.А теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Учащиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.

Преподаватель:  Выполняем следующую работу также самостоятельно.  Вычислите:

На экране проецируется задание (слайд 6 и 7)

1 вариант		2 вариант
arcsin   √2/2 arccos  1 arcsin (- 1/2 ) arccos (- √3/2) arctg  √3	Ответы   π/4  0  - π/6     5π/6    π/3	arccos   √2/2 arcsin 1 arccos (- 1/2) arcsin (- √3/2) arctg  √3/3	Ответы   π/4   π/2   2π/3   -  π/3    π/6

Преподаватель:  Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:                                                                                   

количество верных ответов	оценка
5	5
4	4
3	3
< 3	2

  На экране проецируются ответы

Преподаватель:  2.1.3.Ребята, а теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а,  cosx = а, tg х=а.

Учащиеся называют формулы решения уравнений (слайд 8)

sinx =а	х = (-1)k arcsin а + π k,  k   Z
cosx = а	х = ±  arccos а + 2 π k,  k   Z
tg х = а	х = arctg а + π k,  k  Z.

Преподаватель: Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений

 по известным алгоритмам.

 2.1.4. Тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

а sin² х + b sin х + с =0 или

а sin² х + в cos х + с =0

Решим уравнение:

sin² х + 5 sin х - 6 =0.

Учащиеся решают уравнение,  вводят замену sin х = у, решая квадратное уравнение

у² + 5 у - 6 = 0, находят у₁  = 1; у₂  = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х =  π/2  +2 π n, n Z.

Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как  -6   Е ( sin х ),

                                                                         т.е.   -6    [-1; 1]

Преподаватель: При решении  уравнения вида а sin² х + в cos х + с =0 вводим замену

 sin² х  = 1 - cos² х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение    2 sin² х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin² х  = 1 - cos² х, получили        

   2 (1 - cos² х) +3 cos х -3 =0.

 - 2 cos² х + 3 cos х - 1 = 0   | (-1)

    2 cos² х  - 3 cos х  + 1 = 0 

 Замена cos х= t

Решая квадратное уравнение 2 t ² - 3t +1 = 0,

 находят t₁  = 1; t₂  = 0,5

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k   Z.

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида  х =  ± arccos 0,5+ 2π n,  n   Z,т.е.

x=±+πn, n Z

Преподаватель:  А теперь  выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его.

 На экране проецируется задание (слайд 9 и 10)

На оценку	1 вариант		2 вариант
«3»   «4»       «5»	2 cos2х + 5 sin х - 4=0   cos 2х + cos х =0     √2 sin (x/2) + 1 = cos х	Ответы (-1)k π/6 + πk, k  Z    π + 2πk, k   Z ± π/3 + 2 πn, n   Z    2 πk, k   Z (-1)k π/2+2πn,n   Z	3 sin x - 2 cos2x =0    cos 2x + sin x =0     √2cos(x/2) + 1=cos x	Ответы (-1)k π/6 + πk, k   Z   π/2 + 2πk, k   Z (-1)k+1 π/6 + πn, n   Z    π + 2πk, k   Z ±  π/2 + 4πn, n   Z

Преподаватель:   Ребята, проверьте свое решение с  ответами

На экране проецируются ответы

 

 

Преподаватель:  Продолжим вспоминать основные методы решения тригонометрических уравнений.

2.1.5.Однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени:                               а sin x+ b cos x = 0. Разделив обе части уравнения на  cos x ≠ 0, получим уравнение вида 

tg x = с.

Решите уравнение  2 sin x+ 3 cos x = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk,  k Z  или  х = - arctg 1,5 + πk,  k   Z

Преподаватель:   Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: а sin² х + b sinх cos х + с cos²х = 0. Разделив обе части уравнения на  cos² x ≠ 0, получим уравнение вида  а tg ²x + в tg x + с = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите  уравнение 2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0 

Учащиеся решают уравнение  2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0

                           2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0  | : cos²х ≠ 0

                           2 tg ²x - 3 tg x - 5 = 0

      замена    tg x = t

                             2 t² – 3 t – 5 =0

                              t₁  = -1;  t₂  = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k   Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида  х = arctg 2,5+ πn,  n  Z.

Преподаватель: К  однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: а sin² х  + b sinх cos х + с cos²х = d, преобразуем данное уравнение а sin² х  + b sinх  cos х + с  cos²х =d (sin² х  +   cos²х)

или           (a –d) sin² х  + bsinх cos х + (c-d)  cos²х =0.

Уравнение a sin x+ b cos x = c также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

      a sin x+ b cos x = c

       a sin 2 (x/2) + b cos 2(x/2)  = c

       2 a sin(x/2)  cos(x/2)   + b (cos²(x/2)  - sin²(x/2)  )= c (sin²(x/2)   +   cos²(x/2)).  А теперь  выберите два уравнения и   самостоятельно решите их.

 На экране проецируется задание (слайд 11 и 12)

На оценку	1 вариант	2 вариант
«3»   «4»   «5»	3 sin x+ 5 cos x = 0 5 sin2 х  - 3 sinх  cos х - 2 cos2х =0  3 cos2х + 2 sin х cos х =0 5 sin2 х  + 2 sinх  cos х - cos2х =1 2 sin x -  5 cos x = 3 1- 4 sin 2x + 6 cos2х  = 0	2 cos x+ 3 sin x = 0 6 sin2 х  - 5 sinх  cos х + cos2х =0  2 sin2 x – sin x  cosx =0 4 sin2 х  -  2sinх  cos х - 4 cos2х =1 2 sin x - 3 cos x = 4 2 sin2 х  -  2sin 2х  +1 =0

 

Преподаватель:   Ребята, проверьте свое решение с  ответами.

На экране проецируются ответы

	1 вариант	2 вариант
«3»     «4»     «5»	- arctg 5/3+ πk,  k   Z. π/4 + πk;   - arctg 0,4 + πn,   k, n   Z.   π/2 + πk;   - arctg 1,5 + πn,   k, n   Z. π/4 + πk;   - arctg 0,5 + πn,   k, n  Z.    arctg ( - 1 ± √5) + πk,   k   Z. π/4 + πk;    arctg 7 + πn,   k, n   Z.	- arctg 2/3+ πk,  k   Z. arctg 1/3+ πk;    arctg 0,5 + πn,   k, n   Z.   πk;    arctg 0,5 + πn,   k, n   Z. -π/4 + πk;   - arctg 5/3 + πn,   k, n   Z.   arctg ( 2 ± √11) + πk,   k   Z. π/4 + πk;    arctg 1/3 + πn,   k, n   Z.

 

 2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

 

Задачи этапа: организовать деятельность учащихся по применению знаний, умений и навыков при решении тригонометрических уравнений незнакомыми способами.

 

Содержание этапа:

 

Преподаватель: А сейчас познакомимся  с решением тригонометрических уравнений новыми способами (слайд 13):

2.2.1. Введение нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений

Введем понятие симметричного уравнения

Пусть R (х; у) – выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) =  R (у; х).

Рассмотрим уравнение  4 sin х  - 6 sinх  cos х + 4  cosх + 1 = 0 ,

т.к. (sin x + cos x)² = 1 + 2 sin x  cos x, то  sinx ·cos x =  (sin x + cos x)² - 1   , получим

                                                                                                        2

4 sin х  + 4  cosх -  6   (sin x + cos x)² - 1   + 1 = 0 ,

                                               2

4 sin х  + 4  cosх  -  3  ( (sin x + cos x)² – 1) + 1  = 0 ,

Введем обозначение  t = sin x + cos x, получим

4 t – 3 (t² -1) + 1  = 0

– 3 t²  + 4 t + 4 = 0

3 t²  - 4 t - 4 = 0 . Решая квадратное уравнение, найдем t ₁   =  2, t ₂  = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sin х  +  cosх    = 2   и   sin х  +   cosх  = -2/3

2.2.2. Метод разложения на множители.

Рассмотрим уравнение:

sin х  +  sin 3 х  + sin 5 х = 0

 сгруппируем слагаемые:

  (sin х  +  sin 5 х)  + sin 3 х   = 0

2 sin  3х  cos 2х  +  sin  3х  = 0

sin  3х   ( 2 cos 2х + 1 ) = 0

переходим к решению простейших тригонометрических уравнений:

sin  3х  = 0     или      2 cos 2х + 1 = 0

                                   cos 2х  = - 1/2

Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:

4 sin ³ х  + 3 sin  х  - 7 = 0.

Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или   4 ·1 ³   + 3 · 1  - 7 = 0.

Выполним преобразование

4 sin ³ х  + 3 sin  х   - 7 – (4 · 1 ³   + 3 · 1   - 7 ) = 0

или  4 ( sin ³ х  - 1 )  + 3 ( sin  х  - 1 )  = 0 .

Разложим на множители:   4 ( sin  х  - 1 )  ( sin ² х   + sin  х  +1 ) + 3 ( sin  х  - 1 ) =0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4 ( sin ² х   + sin  х  + 1) + 3 ) = 0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4  sin ² х   + 4  sin  х  + 4 + 3 ) = 0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4  sin ² х   + 4  sin  х  + 7 ) = 0, откуда

                                                   sin  х  - 1  = 0            или           4  sin ² х   +4  sin  х  + 7  = 0

                                                 х = π/2 + 2пk,  k  Z                           решений нет

 

 

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

1 – находили значения тригонометрических функций;

2 – находили значения обратных тригонометрических функций;

3 – решение уравнений по известным алгоритмам;

4 – решение однородных тригонометрических уравнений;

5 – решение уравнений вида a sinx+b cosx = c

 

Найдите среднее арифметическое всех  четырех выставленных оценок, округлите результат,  и эти оценки я вам выставляю в журнал.  

 

3.2. Информация о домашнем задании.

 

Задачи этапа: сообщить  учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.

 

Содержание этапа:

Учитель

Преподаватель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений новыми способами я предлагаю вам выполнить домашнее задание (слайд 14) следующего содержания:

1.  введением нетрадиционной замены решите  симметричное тригонометрическое уравнение   cos⁶х  + sin⁶ х   = 16 sin² х  cos²х ;

2. выражение sin³ х  + 3 sin х  - 4 разложить на множители различными способами;

3. методом разложения на множители решите тригонометрическое уравнение

sin³ х  + 3 sin х  - 4 = 0

 

3.3. Подведение итогов урока.

Задачи этапа: вспомнить основные моменты урока, проанализировать усвоение предложенного материала и умение применить полученные знания  в дальнейшем

 

Содержание этапа:

 

Преподаватель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

 

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

- Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?

- Какие из способов решения тригонометрических уравнений  из рассмотренных оказались наиболее трудными?

- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Преподаватель: Ребята! Нарисуйте на листочках, которые лежат у вас  на парте, смайлик, выражающий ваше настроение на уроке и передайте их мне (слайд 15).Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен. До свидания!