Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка урока по математике по теме "Решение тригонометрических уравнений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка урока по математике по теме "Решение тригонометрических уравнений"

библиотека
материалов

ГАОУ СПО Тольяттинский колледж сервисных технологий и предпринимательства







Методическая разработка

урока математики

по теме «Решение тригонометрических уравнений»

на городской конкурс педагогического мастерства

«Фестиваль инновационных педагогических идей»

Номинация «Педагог – педагогу»









Автор работы:

Агаева Ольга Ивановна, преподаватель




Тольятти

2012 г

Цели урока:


Образовательные:

актуализировать знания учащихся по теме урока;

закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.


Развивающие:

- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

- формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.


Воспитательные:

- вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.


Продолжительность урока: 2 часа


Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний


Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.


Методическое обеспечение урока: презентация к уроку, справочные таблицы, таблицы для устного счета, тексты самостоятельных работ


Структура урока:


1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

1.2. Устная работа:

1.2.1. Решение линейных и квадратных уравнений.

1.2.2. Использование основных формул тригонометрии.


2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания):

2.1.1.Свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

2.1.2. Определения обратных тригонометрических функций.

2.1.3. Решение простейших тригонометрических уравнений.

2.1.4. Тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным.

2.1.5. Однородные тригонометрические уравнения.

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений:

2.2.1. Введение нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений

2.2.2. Метод разложения на множители.



3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

3.2. Информация о домашнем задании.

3.3. Подведение итогов урока.


Ход урока:


1. Вводно-мотивационная часть

1.1.Организационный момент.


Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.


Содержание этапа:


1. Приветствие.

Преподаватель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются как в вариантах внутреннего экзамена по математике, так и вариантах ЕГЭ.


2. Проверка готовности учащихся к уроку.

Преподаватель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Приготовились к уроку. Начинаем! И пусть эпиграфом к нашему уроку будут слова Пуассона С. Д. «Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием»

3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Преподаватель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений.

Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

В начале урока мы вспомним решение линейных и квадратных уравнений, основные формулы тригонометрии.

Далее работа будет чередоваться: мы повторим числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения, уравнения вида

a sinx + b cosx = c. После каждого блока заданий проводим разноуровневые проверочные работы, задания которых вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания, умения и навыки. Проверяем решения, и вы выставляете себе оценку за каждый вид заданий.

После чего познакомимся с решением симметричных тригонометрических уравнений, решением тригонометрических уравнений путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей. Обсудим полученные результаты работы на уроке, оценим индивидуальную работу. Затем получите инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока. Итак, приступаем.


1.2. Устная работа.


Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.


Содержание этапа:


Преподаватель: 1.2.1.Первое задание для устной работы - решите уравнения:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы(слайд 2)


a) 3 х – 5 = 7

б) х2 – 8 х + 15 = 0

в) 4 х2 – 4 х + 1= 0

г) х4 – 5 х2 + 4 = 0

д) 3 х2 – 12 = 0

Ответы

4

3; 5

0,5

-2; -1; 1; 2

-2; 2

Преподаватель: 1.2.2.Второе задание – используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы(слайд 3)


а) (cos a – 1) (cos a + 1)

б) sin2 a + 1 + cos2 a

в) sin2 a - tg a ctg a + cos2 a


Ответы

- sin2 a

2

0

2. Основная часть урока.


2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).


Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора разноуровневого задания.

Содержание этапа:


Преподаватель: 2.1.1.Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения

Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

Преподаватель: А теперь выполним самостоятельную работу. Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверим правильность ее выполнения.

Найдите значения тригонометрических выражений:

На экране проецируется задание (слайд 4 и 5)

1 вариант

2 вариант


sin (-π/3)

cos 2π/3

tg π/6

ctg π/4

cos (-π/6)

sin 3π/4

Ответы

- √3/2

- 1/2

√3/3

1

√3/2

√2/2


cos (-π/4 )

sin π/3

ctg π/6

tg π/4

sin (-π/6)

cos 5π/6

Ответы

√2/2

√3/2

√3

1

- 1/2

- √3/2

Преподаватель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

количество верных ответов

оценка

6

5

5

4

4

3

< 4

2

На экране проецируются ответы

Преподаватель: 2.1.2.А теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Учащиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.

Преподаватель: Выполняем следующую работу также самостоятельно. Вычислите:

На экране проецируется задание (слайд 6 и 7)

1 вариант

2 вариант


arcsin √2/2

arccos 1

arcsin (- 1/2 )

arccos (- √3/2)

arctg √3

Ответы

π/4

0

- π/6

5π/6

π/3


arccos √2/2

arcsin 1

arccos (- 1/2)

arcsin (- √3/2)

arctg √3/3

Ответы

π/4

π/2

2π/3

- π/3

π/6

Преподаватель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

количество верных ответов

оценка

5

5

4

4

3

3

< 3

2

На экране проецируются ответы

Преподаватель: 2.1.3.Ребята, а теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а, cosx = а, tg х=а.

Учащиеся называют формулы решения уравнений (слайд 8)

sinx

х = (-1)k arcsin а + π k, k hello_html_m79f24a27.gif Z


cosx = а

х = ± arccos а + 2 π k, k hello_html_m79f24a27.gif Z


tg х = а

х = arctg а + π k, k hello_html_m79f24a27.gif Z.


Преподаватель: Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений

по известным алгоритмам.

2.1.4. Тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

а sin2 х + b sin х + с =0 или

а sin2 х + в cos х + с =0

Решим уравнение:

sin2 х + 5 sin х - 6 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin х = у, решая квадратное уравнение

у2 + 5 у - 6 = 0, находят у1 = 1; у2 = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 π n, nhello_html_m79f24a27.gif Z.

Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как -6 hello_html_71101c4a.gif Е ( sin х ),

т.е. -6 hello_html_71101c4a.gif [-1; 1]

Преподаватель: При решении уравнения вида а sin2 х + в cos х + с =0 вводим замену

sin2 х = 1 - cos2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение 2 sin2 х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin2 х = 1 - cos2 х, получили

2 (1 - cos2 х) +3 cos х -3 =0.

- 2 cos2 х + 3 cos х - 1 = 0 | (-1)

2 cos2 х - 3 cos х + 1 = 0

Замена cos х= t

Решая квадратное уравнение 2 t 2 - 3t +1 = 0,

находят t1 = 1; t2 = 0,5

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k hello_html_m79f24a27.gif Z.

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2π n, n hello_html_m79f24a27.gif Z,т.е.

xhello_html_2f060c37.gif+πn, nhello_html_m79f24a27.gif Z

Преподаватель: А теперь выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его.

На экране проецируется задание (слайд 9 и 10)

На оценку

1 вариант

2 вариант


«3»


«4»




«5»


2 cos2х + 5 sin х - 4=0


cos 2х + cos х =0



√2 sin (x/2) + 1 = cos х

Ответы

(-1)kπ/6 + πk, k hello_html_m79f24a27.gifZ


π + 2πk, k hello_html_m79f24a27.gifZ

± π/3 + 2 πn, n hello_html_m79f24a27.gifZ


2 πk, k hello_html_m79f24a27.gifZ

(-1)kπ/2+2πn,n hello_html_m79f24a27.gifZ


3 sin x - 2 cos2x =0


cos 2x + sin x =0



√2cos(x/2) + 1=cos x


Ответы

(-1)kπ/6 + πk, k hello_html_m79f24a27.gifZ


π/2 + 2πk, k hello_html_m79f24a27.gifZ

(-1)k+1 π/6 + πn, n hello_html_m79f24a27.gifZ


π + 2πk, k hello_html_m79f24a27.gifZ

± π/2 + 4πn, n hello_html_m79f24a27.gifZ

Преподаватель: Ребята, проверьте свое решение с ответами

На экране проецируются ответы



Преподаватель: Продолжим вспоминать основные методы решения тригонометрических уравнений.

2.1.5.Однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени: а sin x+ b cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида

tg x = с.

Решите уравнение 2 sin x+ 3 cos x = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk, k hello_html_m79f24a27.gifZ или х = - arctg 1,5 + πk, k hello_html_m79f24a27.gif Z

Преподаватель: Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: а sin2 х + b sinх cos х + с cos2х = 0. Разделив обе части уравнения на cos2x ≠ 0, получим уравнение вида а tg 2x + в tg x + с = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите уравнение 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0

Учащиеся решают уравнение 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0

2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0 | : cos2х ≠ 0

2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0

замена tg x = t

2 t2 – 3 t – 5 =0

t1 = -1; t2 = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k hello_html_m79f24a27.gif Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n hello_html_m79f24a27.gif Z.

Преподаватель: К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: а sin2 х + b sinх cos х + с cos2х = d, преобразуем данное уравнение а sin2 х + b sinх cos х + с cos2х =d (sin2 х + cos2х)

или (ad) sin2 х + bsinх cos х + (c-d) cos2х =0.

Уравнение a sin x+ b cos x = c также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

a sin x+ b cos x = c

a sin 2 (x/2) + b cos 2(x/2) = c

2 a sin(x/2) cos(x/2) + b (cos2(x/2) - sin2(x/2) )= c (sin2(x/2) + cos2(x/2)). А теперь выберите два уравнения и самостоятельно решите их.

На экране проецируется задание (слайд 11 и 12)

На оценку

1 вариант

2 вариант

«3»


«4»


«5»


3 sin x+ 5 cos x = 0

5 sin2 х - 3 sinх cos х - 2 cos2х =0

3 cos2х + 2 sin х cos х =0

5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1

2 sin x - 5 cos x = 3

1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0

2 cos x+ 3 sin x = 0

6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0

2 sin2 x – sin x cosx =0

4 sin2 х - 2sinх cos х - 4 cos2х =1

2 sin x - 3 cos x = 4

2 sin2 х - 2sin 2х +1 =0


Преподаватель: Ребята, проверьте свое решение с ответами.

На экране проецируются ответы


1 вариант

2 вариант

«3»



«4»



«5»


- arctg 5/3+ πk, k hello_html_m79f24a27.gifZ.

π/4 + πk; - arctg 0,4 + πn, k, n hello_html_m79f24a27.gifZ.


π/2 + πk; - arctg 1,5 + πn, k, n hello_html_m79f24a27.gifZ.

π/4 + πk; - arctg 0,5 + πn, k, n hello_html_m79f24a27.gifZ.


arctg ( - 1 ±√5) + πk, k hello_html_m79f24a27.gifZ.

π/4 + πk; arctg 7 + πn, k, n hello_html_m79f24a27.gifZ.

- arctg 2/3+ πk, k hello_html_m79f24a27.gifZ.

arctg 1/3+ πk; arctg 0,5 + πn, k, n hello_html_m79f24a27.gifZ.


πk; arctg 0,5 + πn, k, n hello_html_m79f24a27.gif Z.

-π/4 + πk; - arctg 5/3 + πn, k, n hello_html_m79f24a27.gif Z.


arctg ( 2 ± √11) + πk, k hello_html_m79f24a27.gif Z.

π/4 + πk; arctg 1/3 + πn, k, n hello_html_m79f24a27.gif Z.


2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.


Задачи этапа: организовать деятельность учащихся по применению знаний, умений и навыков при решении тригонометрических уравнений незнакомыми способами.


Содержание этапа:


Преподаватель: А сейчас познакомимся с решением тригонометрических уравнений новыми способами (слайд 13):

2.2.1. Введение нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений

Введем понятие симметричного уравнения

Пусть R (х; у) – выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) = R (у; х).

Рассмотрим уравнение 4 sinх - 6 sinх cos х + 4 cosх + 1 = 0 ,

т.к. (sin x + cos x)2 = 1 + 2 sin x cos x, то sinx ·cos x = (sin x + cos x)2 - 1 , получим

2

4 sin х + 4 cosх - 6 (sin x + cos x)2 - 1 + 1 = 0 ,

2

4 sin х + 4 cosх - 3 ( (sin x + cos x)2 – 1) + 1 = 0 ,

Введем обозначение t = sin x + cos x, получим

4 t – 3 (t2 -1) + 1 = 0

– 3 t2 + 4 t + 4 = 0

3 t2 - 4 t - 4 = 0 . Решая квадратное уравнение, найдем t 1 = 2, t 2 = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sinх + cosх = 2 и sinх + cosх = -2/3

2.2.2. Метод разложения на множители.

Рассмотрим уравнение:

sinх + sin3 х + sin5 х = 0

сгруппируем слагаемые:

(sinх + sin5 х) + sin3 х = 0

2 sincos 2х + sin3х = 0

sin3х ( 2 cos 2х + 1 ) = 0

переходим к решению простейших тригонометрических уравнений:

sin3х = 0 или 2 cos 2х + 1 = 0

cos 2х = - 1/2

Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:

4 sin 3 х + 3 sinх - 7 = 0.

Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или 4 ·1 3 + 3 · 1 - 7 = 0.

Выполним преобразование

4 sin 3 х + 3 sinх - 7 – (4 · 1 3 + 3 · 1 - 7 ) = 0

или 4 ( sin 3 х - 1 ) + 3 ( sinх - 1 ) = 0 .

Разложим на множители: 4 ( sinх - 1 ) ( sin 2 х + sinх +1 ) + 3 ( sinх - 1 ) =0

( sinх - 1 ) ( 4 ( sin 2 х + sinх + 1) + 3 ) = 0

( sinх - 1 ) ( 4 sin 2 х + 4 sinх + 4 + 3 ) = 0

( sinх - 1 ) ( 4 sin 2 х + 4 sinх + 7 ) = 0, откуда

sinх - 1 = 0 или 4 sin 2 х +4 sinх + 7 = 0

х = π/2 + 2пk, k hello_html_m79f24a27.gifZ решений нет



3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

1 – находили значения тригонометрических функций;

2 – находили значения обратных тригонометрических функций;

3 – решение уравнений по известным алгоритмам;

4 – решение однородных тригонометрических уравнений;

5 – решение уравнений вида a sinx+b cosx = c


Найдите среднее арифметическое всех четырех выставленных оценок, округлите результат, и эти оценки я вам выставляю в журнал.


3.2. Информация о домашнем задании.


Задачи этапа: сообщить учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.


Содержание этапа:

Учитель

Преподаватель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений новыми способами я предлагаю вам выполнить домашнее задание (слайд 14) следующего содержания:

1. введением нетрадиционной замены решите симметричное тригонометрическое уравнение cos6х + sin6 х = 16 sin2 х cos2х ;

2. выражение sin3 х + 3 sin х - 4 разложить на множители различными способами;

3. методом разложения на множители решите тригонометрическое уравнение

sin3 х + 3 sin х - 4 = 0


3.3. Подведение итогов урока.

Задачи этапа: вспомнить основные моменты урока, проанализировать усвоение предложенного материала и умение применить полученные знания в дальнейшем


Содержание этапа:


Преподаватель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.


Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

- Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?

- Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?

- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Преподаватель: Ребята! Нарисуйте на листочках, которые лежат у вас на парте, смайлик, выражающий ваше настроение на уроке и передайте их мне (слайд 15).Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен. До свидания!






Краткое описание документа:

Данный урок является уроком обобщения и систематизации знаний. Цели урока: актуализировать знания учащихся по теме урока,закрепить навыки решения тригонометрических уравнений, познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений; содействовать развитию у учащихся мыслительных операций:умение анализировать, синтезировать, сравнивать, формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знани и умений, выбора заданий. соответствующих их уровню развития; вырабатывать внимание, самостоятельность работы на уроке.

Автор
Дата добавления 04.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров274
Номер материала 172728
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх