Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка "Задачи на проценты"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка "Задачи на проценты"

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ задачи на проценты.doc

библиотека
материалов


МБОУ лицей «Технико-экономический»

г.Новороссийск




ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ПРОЦЕНТАМИ



Автор: Бершак Л.М.


Первоочередные цели разработки: познакомить обучающихся с методикой решения задач на нахождение процента от числа и числа по его проценту, на вычисление производительности труда, на вычисление концентрации вещества и процентное содержание, разобраться в типах и методах решения текстовых задач, рассмотреть нетрадиционные задачи, решаемые нестандартными методами.

Задачи на составление уравнений относятся к традиционному разделу элементарной математики. Решение задач подобного рода способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, умения самостоятельно осуществлять небольшие исследования. В разработке рассматриваются классы задач, объединенные общей идеей, анализируются особенности этих классов, показываются приемы решения задач каждого класса и дается методика решения более сложных задач. При изучении данной темы полезно сделать акцент на самостоятельной работе обучающихся с последующим общим обсуждением методов решения задач.

















§1. Понятие о проценте. Нахождение процента от числа и числа по его проценту. Решение задач.


Слова «на сто» звучали по латыни «про центум», то сотую часть и стали называть процентом. Для вычисления процента от числа, например 5% от 17, нужно выполнить действие: hello_html_m7259d8fe.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Перейдём к решению задач.

Задача №1. Свежие грибы содержат 90% влаги, сушеные – 12%. Сколько сушеных грибов получится из 10 килограммов свежих?

Решение.

В 10 килограммах свежих грибов 9 килограммов влаги и 1 килограмм сухой массы. 1 килограмм сухой массы составляет 88% сухих грибов, а 12% - влаги

Нужно найти число по его проценту: 1: 0,88=1hello_html_701511bc.gif.

Ответ: 1hello_html_701511bc.gif.

Задача№2. Стоимость 70 экземпляров первого тома и 60 экземпляров второго тома составила 230 рублей. В действительности за все эти книги уплатили 191 рубль, так как была произведена скидка за первый том 15%, за второй том – 20%. Найдите первоначальную цену каждого тома.

Решение.

Пусть х рублей стоил первый том. 70 книг стоили 70х рублей. 60 книг второго тома стоили (230 – 70х) рублей. Цена первого тома после снижения 0,85х р. Цена второго тома hello_html_3be4dbc2.gif р. Составляем уравнение

hello_html_367cb60a.gif+hello_html_m39dcc604.gifhello_html_m53d4ecad.gif= 191. После решения этого уравнения устанавливаем, что первоначальная цена книг 2 и 1.5 рубля.

Ответ: 2р. и 1,5р.

Задача№3. Найти отношение двух чисел, если известно, что разность первого числа и 10% второго числа составляет 50% суммы второго числа и 50% первого.

Решение.

Обозначим первое число х, второе число у. х – 0,1у=0,5( у + 0,5х).

0,75х = 0,6у.

hello_html_m508c73ba.gif

Ответ: 0,8.

Задача№4. Антикварный магазин, купив два предмета за 225 рублей, продал их, получив 40% прибыли. За какую цену был куплен магазином каждый предмет, если при продаже одного предмета было получено 25% прибыли, а второго 50%.

Решение.

hello_html_m437e20ff.gifрублей получил магазин при продаже двух предметов, при этом прибыль составила 90 рублей. Если 1 предмет куплен за х рублей, второй за (225-х) рублей, то прибыль от первого предмета 0,25х рублей, от второго (225-х)0,5 рублей и прибыль составила 90 рублей. Получаем уравнение:

0,25х + ( 225 – х )0,5 = 90; х=90;

За 90 рублей был куплен первый предмет, 225-90 = 135 ( р.) – цена второго предмета.

Ответ: 90 р.,135 р.

Задача № 5. На овощной базе имелся крыжовник, влажность которого составляла 99%. За время хранения его влажность уменьшилась на 1%, (стала 98%). На сколько процентов уменьшилась масса крыжовника?

Решение.

Пусть х –масса крыжовника. 0,99х – масса воды, 0,01х- сухая масса. После хранения масса воды 0.98х, 0,02х-сухая масса. hello_html_m75b1c88c.gif.

Ответ: 50%.

Задача № 6. В букинистическом магазине антикварное собрание сочинений стоимостью 350 рублей уценивали дважды на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что после двойного снижения цен собрание сочинений стоит 283,5 рубля.

Решение.

Пусть собрание сочинений уценили на а %, его стоимость стала ( 100 – а )%.

hello_html_67d12a0d.gifрублей стоимость собрания сочинений после первой уценки. Эта сумма опять составляет 100% и после второй уценки на а% стоимость собрания сочинений составляет hello_html_9bd577.gif рублей или 283,5 р.

Решим уравнение:

hello_html_m531e12a9.gif; (1 – 0,01а)2 350 = 283.5; 0,035а2- 7а =66,5 =0; а = 10

Ответ: на 10%.

Задача № 7. Малина содержит 80% воды. Сколько останется от 20 кг малины, если представить, что вода испарилась?

Решение. Если малина содержит 80% воды, то сухой массы 20%. Вычислим 20% от 20 кг: hello_html_mbdbec75.gif

Ответ: от 20 кг малины останется 4 кг.

Задача № 8. Добытая руда содержит 21% меди, обогащённая- 45%. Известно, что при обогащении 60% добытой руды идёт в отходы. Определить процентное содержание меди в отходах.

Решение.

Обозначим массу добытой руды – х т. В этой руде меди –0,21х т. В отходы идёт 0,6х т. В обогащённой руде 45% меди, то есть hello_html_m61d2b82.gif т. меди.

Содержание меди в отходах: 0,21х – 0,18х = 0,03х ; hello_html_m54659aba.gif

Ответ: 5%.

Задача № 9. Имеется сталь двух сортов с содержанием олова 5% и 40%. Сколько нужно взять стали каждого сорта, чтобы получить 140 тонн стали с содержанием 30% олова?

Решение.

Возьмём х тонн стали первого сорта и у тонн стали второго сорта. Содержа-

ние олова соответственно 0,05х и 0.4у тонн. Составляем систему уравнений:

hello_html_622c9f6.gif; hello_html_m4d6852c2.gif; hello_html_f0a6409.gif ;

Ответ: 40 тонн и 100 тонн.

Задача № 10. В корзине лежало не более 70 грибов. После разбора оказалось, что 52% из них – белые. Если отложить три самых малых гриба, то среди оставшихся будет ровно половина белых. Сколько грибов было в корзине?

Решение.

Обозначим через х общее число грибов. Тогда среди них 0,52х белых. 0,52х – целое число, причём hello_html_4fc42794.gif Значит число х может быть либо 25, либо 50.

hello_html_md9f13c7.gif, х кратно 25. Из (х – 3) грибов половина белых, поэтому (х – 3)- чётное число, тогда х – нечётное число, х=25. Из 25 грибов отложили 3 гриба, осталось 22, из них 11 белых, 11 других.

Ответ: 25 гриба.


Задача № 11. Число коров на одной молочной ферме на 12,5% меньше, чем на другой, но средний удой каждой коровы на 8% выше. На какой ферме получают молока меньше и на сколько процентов?

Решение.

Пусть на второй ферме 1000 коров и удой коровы в среднем 10 литров, тогда общий удой hello_html_m2bfe6642.gif. Общий удой на первой ферме составляет

hello_html_m7e598822.gifЭто на 5,5% меньше, чем на второй ферме.

Ответ: на 5,5%.

В Париже в 1685 году была напечатана книга «Руководство по коммерческой арифметике», где впервые был напечатан знак %. После этого знак % получил всеобщее признание.

Задачи, связанные с понятием «концентрация» и «процентное содержание».

В условиях таких задач речь идёт о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ. Основные допущения, как правило, принимаемые в задачах подобного рода, состоят в следующем:

  1. все получающие сплавы или смеси однородны;

  2. при слиянии двух растворов, имеющих объемы V1 и V2, получается смесь, объем которой равен V0 = V1 + V2, причем последнее соотношение является именно допущением, поскольку не всегда выполняется в действительности; при слиянии двух растворов не объем, а масса смеси равняется сумме масс составляющих её компонент.

Рассмотрим для определенности смесь двух компонент А и В. Объем смеси складывается из объемов чистых компонент: V0 = VA + VB, а два отношения,

cA = VA : V0, cB = VB: V0, показывают, какую долю полного объема смеси составляют объемы отдельных компонент. Отношение объема чистой компоненты (VA) в растворе ко всему объему смеси (V0) называется объемной концентрацией этой компоненты. Сумма концентрации всех компонент равна единице: сАВ=1.

Объемным процентным содержанием компоненты А называется концентрация этого вещества, выраженная в процентах. Например, если процентное содержание составляет 70%, то соответствующая концентрация составляет 0.7. Таким же способом определяются массовая концентрация и процентное содержание, а именно, как отношение массы чистого вещества А в сплаве к массе всего сплава.

Задача № 1. В каких количествах нужно смешать жидкость с её растворителем, чтобы получить 100 граммов 20 – процентного раствора этой жидкости?

Решение.

В 100 г 20-процентного раствора жидкости содержится 20 г самой жидкости и 80 г растворителя. Именно в таких количествах и нужно смешать жидкость с её растворителем.

Задача № 2. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50-процентной и раствор 70-процентной кислоты, чтобы получить раствор 65-процентной кислоты?

Решение. Пусть мы смешиваем х г раствора 50-процентной и у г раствора 70-процентной кислоты. Тогда в первом растворе содержится чистой кислоты 0,5х г, а во втором 0,7у г. В полученной смеси массой (х + у) г будет содержаться (0.5х + 0,7у) г чистой кислоты, что должно составлять 65% от смеси, то есть hello_html_307ad120.gifг. Таким образом, получаем уравнение:

hello_html_35d777c5.gifоткуда имеем 5у = 15х и находим искомое отношение

х : у = 5 : 15 = 1 : 3. Это означает, что смешивать надо 1 часть первого раствора с 3 частями второго.

Задача № 3. Смешали 30-процентный и 10-процентный раствор соляной кислоты и получили 600 г 15-процентного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение.

Пусть взято х г 30-процентного раствора и у г 10-процентного, что в сумме составляет 600 г раствора. Кислоты должно быть hello_html_m1222ab12.gifг или 0,3х+0,1у

Получаем систему уравнений: hello_html_7bc6fb67.gif, решение которой hello_html_281f6113.gif

Значит, 30-процентного раствора взяли 150 г, а 10-процентного-450 г.

Рассмотрим другое решение этой задачи. Пусть hello_html_61b821a.gif- коэффициент пропорциональности, тогда 10-процентного раствора взяли hello_html_5cf6361c.gif, а 30%-ного hello_html_61b821a.gif

hello_html_m59e760f4.gif; hello_html_m7e914780.gif; hello_html_1c320890.gif; hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_6931617.gif; Приходим к тому же результату.

Ответ: 150 г и 450 г.

Задача №4. В домну, содержащую 1000кг сплава меди и олова, в котором медь составляет 10%, из одного ковша со скоростью 100кг в минуту льётся сплав тех же металлов, содержащий 12% меди, а из другого ковша со скоростью 200кг в минуту льётся сплав тех же металлов, содержащий 5% меди. Через какое время в домне окажется сплав, содержащий 8% меди?

Решение. В домне 100кг меди и 900кг олова. Пусть пройдёт t минут. Из первого ковша в домну нальётся 100t кг сплава, в котором 12t кг меди и 88t кг олова. Из второго ковша нальётся 200t кг сплава, в котором 10t кг меди и 190t кг олова. В домне стало 100 + 12t + 10t = 100 + 22t(кг) меди, что составляет 8%, 1000 + 100t + 200t =1000 + 300t(кг) сплава, что составляет 100%. Получаем уравнение: 0,08(1000 + 300t) = 100 + 22t; t = 10.

Ответ: через 10 минут в домне окажется сплав, содержащий 8% меди.

Задача № 5. В резервуар, содержащий 2 тонны водного раствора соли, в котором соль составляет 8,2%, по трубе со скоростью 100 кг в час начинает поступать раствор, содержащий 5% соли, и в то же время из резервуара испаряется по 2 кг воды за каждый час. Через какое время в резервуаре окажется раствор, содержащий 6% соли?

Решение. В резервуаре через t часов будет 2000 + 100t – 2t = 2000 +98t(кг) раствора, в котором находится соли 164 + 5t(кг). hello_html_m33641768.gif; hello_html_m794731c8.gif

Исходя из условия задачи, составляем уравнение:

164 + 5t = 0,06(2000 + 98t); t = 50.

Ответ: через 50 часов в резервуаре окажется 6%-ный раствор соли.

Задача № 6. В резервуар, содержащий 100 кг водного раствора соли, в котором соль составляет 15%, по одной трубе со скоростью 20 кг в минуту поступает раствор, содержащий 5%соли, а по другой трубе со скоростью 10 кг в минуту поступает раствор, содержащий 15% соли. Через какое время в резервуаре окажется раствор, содержащий 10% соли?

Ответ: через 10 минут.

Задачи № 5 и № 6 предлагаются для самостоятельного решения.

Задача № 7. Из колбы, в которой имеется 80 г 10%-ого раствора соли, отливают некоторую часть в пробирку и выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли не повысится втрое. После этого выпаренный раствор выливают обратно в колбу. В результате содержание соли повышается на 2%. Какое количество раствора отливали из колбы в пробирку

Решение.

По условию в пробирке находится 80 г 10%-ного раствора соли, это означает, что в пробирке 8 г соли и 72 г воды. Пусть х г раствора отлили в пробирку. В пробирке будет 0,1х г соли и 0,9х г воды. В колбе останется (8 – 0.1х) г соли и (72 – 0,9х) г воды. При выпаривании воды из пробирки до получения 30%-ного раствора соли нужно достичь того, чтобы соотношение воды и соли стало 7 : 3. Пусть z- количество оставшейся воды,

z : 0,1х = 7 : 3; z = 0,7х : 3;

Перельём из пробирки в колбу, получили смесь: 8 – 0,1х + 0,1х = 8 ( г) соли;

hello_html_m42d22b2a.gifПолучаем 12%-ный раствор соли. hello_html_17c4978d.gif

х=20.

Ответ: из колбы отлили в пробирку 20 г раствора.

Задача № 8. Даны три сплава. Состав первого сплава: 60% алюминия, 40% хрома. Состав второго сплава: 10% хрома и 90% титана. Состав третьего сплава: 20% алюминия, 50% хрома, 30% титана. Из них нужно приготовить новый сплав, содержащий 45% титана. Какие значения может принимать процентное содержание хрома в этом сплаве?

Решение.

Рассмотрим новый сплав. В единице нового сплава содержится а, в, с единиц первого, второго третьего сплавов.

Рассмотрим содержание титана: 0,9в + 0,3с =0,45; 9в +3с =4,5; 3в + с =1,5;

Рассмотрим содержание хрома: 0,4а +0,1в +0,5с =x;

Выразим величины в и с через а: hello_html_m16163fbb.gif; hello_html_1a44fa28.gif; hello_html_1a4dc29b.gif;

hello_html_52558ec2.gif; hello_html_78200803.gif; hello_html_m41227a22.gif;

Учитывая, что величины а, в, с неотрицательные, рассмотрим в каком промежутке находится величина а: hello_html_39defb92.gifhello_html_m2639e4cb.gif тогда минимальное значение а равно 0.4, максимальное значение а равно 0,25.

Ответ: процентное содержание хрома в этом сплаве от 25% до 40%.

Задача № 9. Морская вода содержит 5% соли. Сколько кг пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в смеси составило 2% ?

Решение. hello_html_263d8009.gif-соли в 40 кг морской воды. Добавим к 40 кг морской воды х кг пресной , содержание соли в смеси 2 кг, что составляет 2%.

( 40 + х ) : 2 = 100 : 2; х = 60.

Ответ: нужно добавить 60 кг пресной воды.

Процентное отношение двух чисел.

Чтобы найти процентное отношение одного числа к другому (важен порядок)

нужно первое число разделить на второе и результат умножить на сто.

Задача № 1. Цех по месячному плану должен выпустить продукции на сумму 12500000 рублей. За первую неделю он выпустил её на сумму 27500000 р.

На сколько процентов цех выполнил месячный план в первую неделю?

Решение.

hello_html_m6a539e09.gif

Ответ: 22%.

Задача № 2. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 500 кг целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу, содержащую 75% воды?

Решение.

Пусть х кг- количество выпаренной воды, тогда (500 – х) кг – количество целлюлозной массы после выпаривания, которое содержит 75% воды.

Отметим, что количество «сухой» массы в целлюлозе, соответствующее 15% от 500 кг в процессе выпаривания остаётся неизменным, меняется только процентное содержание «сухой» массы. После выпаривания «сухая» масса составляет 25% от (500 – х) кг. Составляем уравнение:

hello_html_77c9d330.gif, решив которое, получим х=200.

Ответ: необходимо выпарить 200 кг воды.

Задача № 3. Цену товара сначала повысили на 20%, затем новую цену повысили на 15% и, наконец, после пересчёта произвели повышение ещё на 10%. На сколько процентов всего повысили первоначальную цену товара?

Решение.

Пусть первоначальная цена товара х рублей. После первого повышения цена товара 1,2х рублей. После второго повышения цена товара hello_html_4331eaf7.gif рублей. После третьего повышения - hello_html_7b0fb296.gifрублей. Выясним, сколько процентов составляет число 1,518х от числа х : hello_html_m66edd790.gif.

151,8-100=51,8(%).

Ответ: первоначальную цену товара повысили на 51,8%.

Задача № 4. Вследствие инфляции цены выросли на 25%. Дума потребовала от правительства возвращения цен к прежнему уровню. Насколько процентов для этого следует уменьшить цены?

Решение.

Пусть первоначальная цена х рублей, цена после повышения 1,25х р.

Примем новую цену за 100% и узнаем, сколько процентов составляет величина х. hello_html_2181c07a.gif

Ответ: уменьшить на 20%.hello_html_m53d4ecad.gif

Задача № 5. Если смешать 3 л 20%-ной сметаны с 2 л 15%-ной, то сколько процентов составит жирность сметаны?

Решение.

В трёх литрах сметаны 0,6 л жира, в двух литрах сметаны 0,3 л жира, в пяти литрах сметаны 0,9 л жира. hello_html_10f8120b.gif.

Ответ: жирность сметаны 18%.

Задача № 6. Цену товара сначала повысили на 30%, а затем понизили на 30%. Как изменилась цена товара?

Решение.

Пусть х –первоначальная цена товара, тогда 1,3х- цена товара после повышения. 1,3х принимаем за 100%, а цена товара после понижения составляет 70%.

hello_html_7ef54389.gif. Если первоначальная цена 100%, то в итоге цена изменилась на 9%.

Ответ: на 9%.

Задача № 7. Вода, содержащая после использования на производстве 5% примесей, поступает на очистку. После очистки часть её, содержащая 1,5% примесей, возвращается на производство, а остальная часть с 29,5% примесей сливается в отстойник. Какой процент воды, поступающей на очистку, возвращается на производство?

Решение.

Пусть х- количество воды, возвращаемой на производство и 0,015х – количество примесей в ней. За y обозначим количество воды, сливаемой в отстойник, тогда 0,295у – количество примесей в этой воде.

Составляем систему уравнений: hello_html_m3b72ecee.gif ; hello_html_m1f1861e0.gif; х=0,875=87,5%.

Ответ: 87,5%.

Задача № 8. Поезд прошел за две минуты 4 км, а мотоцикл за 3 минуты-4 км

Сколько процентов составляет скорость мотоцикла от скорости поезда?

Решение. Скорость поезда 2 км в минуту, скорость мотоциклиста 4/3 км в минуту. Находим отношение скорости мотоциклиста к скорости поезда и умножаем на 100.

Ответ: 200/3%.


Задача № 9. Лена печатает на 20% быстрее Маши. Печатая совместно доклад, Лена работала 4 часа, а Маша-3,2 часа. Какую часть всей работы выполнила Маша?



hello_html_m53d4ecad.gifКонтрольный тест по теме «Проценты».

Вариант 1.

  1. Найти число, если 13% его составляют 32,5% от 8,5.

а) 63,75; б) 42,5; в) 106,25; г) 10,625; д) 21,25.

  1. Яблоки при сушке потеряли 84% своей массы. Из 400кг свежих яблок сушеных получится:

а) 75 кг; б) 64 кг; в) 51 кг; г) 36 кг; д) 45кг;hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gif

  1. Вследствие инфляции цены выросли на 150%. Дума потребовала от правительства возвращения цен к прежнему уровню. Для этого цены должны быть уменьшены на:

а) 60%; б) 33,(3)%; в) 66,(6)%; г)122,(2)%; д)150%.

  1. Если смешать 3 л 20%-ной сметаны с 2 л 15%-ной, то сколько процентов составит жирность полученной сметаны?

а) 16%; б) 16,5%; в) 17%; г) 18%; д) 19%.

  1. Если число 1500 разделить на две части так, чтобы 4% первой части в сумме с 12% второй части составили 10,4% всего числа, то меньшая часть числа равна:

а) 200; б) 250; в) 93,75; г) 300; д) 150.

  1. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5% ?

а) 75кг; б) 70,5кг; в) 60кг; г) 70кг; д) 60,5кг.

  1. В классе 30 учеников, 20% из них – отличники. Сколько отличников в классе?

а) 5; б) 6; в) 10; г) 2; д) 3.

  1. Если числитель дроби уменьшить на 20%, то на сколько процентов надо изменить знаменатель этой дроби, чтобы дробь увеличилась в 2 раза?

а) увеличить на 80% б) увеличить на 120% в) уменьшить на 40%

г) уменьшить на 60 д) увеличить на 60%.


Вариант 2.

  1. Найти число, если 13% его составляют 65% от 4,25

а) 63,75; б) 42,5; в)105,25; г) 10,625; д) 21,25.

2. Кофе при жарении теряет 12% своей массы. Чтобы получить 176 г жареного, следует взять свежих зёрен:

а) 0,2кг; б) 3,25кг; в) 4кг; г) 3,1кг; д) 921,6кг.

  1. Вследствие инфляции цены выросли на 25%. Дума потребовала от правительства возвращения цен к прежнему уровню. Для этого цены должны быть уменьшены на:

а) 12,5%; б) 20%; в) 15%; г)30%; д) 25%.

  1. Если смешать 3 л 15%-ной сметаны с 2 л 25%-ной, то сколько процентов составит жирность сметаны?

а ) 16% ; б ) 16,5% ; в ) 17% ; г ) 18% ; д ) 19%.

  1. Если число 375 разделить на две части так, чтобы 16% первой части в с

сумме с 48% второй части составили 24% всего числа, то меньшая часть числа равна

а) 100; б) 103,75; в) 93,75; г) 300; д) 150.

6. Цену товара сначала повысили на 20%, а затем понизили на 20%. В итоге цена

изменилась на а) 4%; б) 9%; в) 16% г) 20%; д) не изменилась.

7. Из полного бака вылили 60% всей воды, потом вылили 25% оставшейся. Сколько

процентов всей воды осталось в баке?

а) 20%; б) 30%; в) 15%; г) 18%; д) 35%.

  1. Если числитель дроби увеличить на 10%, то на сколько процентов надо изменить

знаменатель дроби, чтобы дробь уменьшилась в 2 раза?

а) увеличить на 220% б) увеличить на 120% в) уменьшить на 80%

уменьшить на 60% г)увеличить на 60%.



Сложный процент. Решение задач.


Мы говорим, что имеем дело со «сложными» процентами, в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз её изменение составляет определённое число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе. Рассмотрим сначала случай, когда в конце каждого этапа величина изменяется на одно и то же постоянное число р процентов. Некоторая величина А, исходное значение которой равно А0, в конце первого этапа будет равна

А1 = А0+ hello_html_ba11f25.gifА0 = А0 ( 1 + hello_html_4188dae.gif ). В конце второго этапа её значение станет равным: А2 = А1 + hello_html_4188dae.gifА1 = А1( 1 + hello_html_4188dae.gif ) = А0 ( 1 + hello_html_4188dae.gif)2. Здесь множитель hello_html_m69144b93.gif показывает, во сколько раз величина увеличилась за один этап. В конце третьего этапа: А3 = А2 + hello_html_ba11f25.gifА2 = А2 ( 1 + hello_html_4188dae.gif) = А0(1+hello_html_4188dae.gif)3 и т.д.

Нетрудно понять, что в конце n-го этапа значение величины А определяется формулой: Аn = А0 ( 1+hello_html_4188dae.gif)n. Эта формула показывает, что значение величины А растёт (или убывает, если р < 0 ) как геометрическая прогрессия, первый член которой А0, а знаменателем прогрессии служит величина hello_html_m69144b93.gif. Формула является исходной формулой при решении задач на проценты.

Задача № 1. Сберкасса выплачивает 3% годовых. Через сколько лет внесённая сумма удвоится?

Решение. Пусть вклад составляет А0 рублей. Тогда через n лет размер вклада станет равным 2А0 рублей. Имеем: А0 ( 1+hello_html_m3c3300c7.gif )n = 2А0, n = 23hello_html_m53d4ecad.gif

Ответ: через 23 года.

Пусть прирост величины А на каждом этапе свой. В конце первого этапа величина А испытывает изменение на р1%, в конце второго этапа на р2%, в конце третьего этапа на р3% и т.д.

Аn=А0( 1+р1/100) ( 1+р2/100)…( 1+рn/100).

Задача № 2. Выработка продукции за год работы предприятия возросла на 4%. На следующий год она увеличилась на 8%. Определить средний ежегодный прирост продукции за этот период.

Решение. Средний процент прироста q % определяется формулой:

А0( 1+ р1/100 ) ( 1 + р2/100…( 1 + pn/100 ) = А0 ( 1 + q/100 )n

Тогда ( 1 + 4/100 ) ( 1 + 8/100) = ( 1 +q/100 )2. q =hello_html_47a3e79e.gif - 100=5,98.

Ответ: средний ежегодный прирост 5,98.

Средний процент прироста не равен среднему арифметическому величин.

Аналогия с определением «средняя скорость движения».

Задача № 3. В сберегательный банк поместили некоторую сумму, и через два года она возросла на 512, 5 р. Сколько денег было положено в банк, если вкладчикам выплачивается 5% годовых?


Решение. Пусть первоначальный денежный вклад составил х р. Тогда через 1год сумма вклада будет равна х ( 1 + hello_html_e6bb0fe.gif ) рублей, а через 2 года hello_html_59807442.gif2 р. По условию задачи через два года сумма вклада возросла на 512,5 р. и стала равной ( х + 512,5 ) р. Составим уравнение и решим его. hello_html_m79740546.gif; hello_html_39594727.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2549c9be.gif; х=5000

Ответ: в банк было положено 5000р.

Задача № 4. Два вкладчика положили в сберкассу одинаковые суммы. Первый из них взял вклад по истечении 10 месяцев и получил 10000 рублей, второй взял вклад по истечении 6 месяцев и получил 9840р. Сколько рублей положил каждый из них и сколько процентов выплачивает сберкасса?


Решение. Пусть х рублей сумма вклада, а у% выплачивает сберкасса в год. Тогда с суммы х рублей за 10 месяцев первый вкладчик получитhello_html_m4a783071.gifрублей дохода. В результате общая сумма, полученная первым вкладчиком, составит hello_html_m44b1f695.gif рублей. По условию задачи эта сумма равна 10000р. Можно составить уравнение: hello_html_5e5a19b6.gifВторой вкладчик с суммы х рублей за 6 месяцев получит hello_html_m674c2566.gifрублей дохода, а общая сумма, полученная вторым вкладчиком составила hello_html_m703c13cf.gifрублей или 9840р. Учитывая, что первое и второе уравнения выполняются одновременно, можно составить систему уравнений: hello_html_1d454278.gif Поделим первое уравнение на второе, получим: hello_html_m1b088f75.gif; решив это уравнение, получим у=5. Подставим вместо у число 5 в одно из уравнений системы, получим х=9600.

Ответ: первоначальная сумма вклада составляет 9600р., сберкасса выплачивает 5% годовых.

Задача № 5.hello_html_m53d4ecad.gif Население города увеличилось за 2 года с 200000 человек до 22050 человек. Найти средний ежегодный процент прироста населения этого города.

Решение. Пусть х% -ежегодный прирост населения в данном городе. Тогда через 2 года в городе станет 22050 человек или hello_html_5f1ba5ce.gif. Решая уравнение hello_html_m359519e6.gif получим х=5 или х = -205. Число процентов отрицательным быть не может, поэтому х = 5.

Ответ: средний ежегодный прирост населения составляет 5%. Как видите эта задача легко решается с помощью сложных процентов.

Задача № 6. Предприниматель взял кредит под 50% в год и купил акции предприятия с более высоким процентом годового дохода. Через год он выплатил проценты по кредиту, а оставшуюся сумму вновь вложил в такие же акции. Еще через год он получил ровно столько дохода, чтобы вернуть весь кредит с процентами. Какой процент выплачивался на акции?

Решение. Пусть предприниматель взял сумму -а рублей. Через год он должен вернуть 0,5а %. На а рублей он купил акции под р % годовых. Через год у него было денег hello_html_20652ba9.gif.Он вернул проценты и у него стало hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m2c1a1b64.gif. Эти деньги , равные hello_html_m45fc47d8.gif он вложил в акции и через год у него стало hello_html_587690f8.gif рублей. Доход составил hello_html_524be807.gif, то есть ровно столько, чтобы вернуть кредит с процентами. После преобразований получаем уравнение:hello_html_m20ef40ee.gif, затем hello_html_189fd524.gif. Если допустить, что hello_html_m6efb553a.gif , то получим квадратное уравнение hello_html_2cd445aa.gif. Далее следует решение: hello_html_652f5e68.gif ; hello_html_7562023f.gif ,где hello_html_m1d27de4b.gif , а hello_html_m7eb5c9ff.gif. Учитывая , что искомый корень уравнения не может иметь отрицательного значения по условию задачи , следовательно hello_html_m202df0aa.gif , а значит hello_html_m735d5a43.gif. Проверка: hello_html_35769903.gif.

Ответ: hello_html_m504378b1.gif.

Задача № 7. За два месяца вклад, сделанный в банк, увеличился на 21%. Сколько процентов в месяц банк платит вкладчику? ( процент по договору начисляется каждый месяц).

Решение. Пусть hello_html_347c04f0.gif-ежемесячный процент, hello_html_5c4c257b.gif-сумма вклада. После первого месяца в банке находится сумма: hello_html_m7baa3b1f.gif. После второго месяца: hello_html_m29f783eb.gif; Нужно решить уравнение: hello_html_m8c11c1.gifhello_html_m3a45d0ba.gif

Ответ: банк платит вкладчику 10% в месяц.

Задача № 8. Вкладчик внес некоторую сумму в сбербанк под определенный процент годовых. Через год он взял половину получившейся суммы и переложил ее в коммерческий банк, процент годовых которого был в 2 раза выше, чем в сбербанке. Еще через год сумма вкладчика в коммерческом банке превысила первоначальную сумму на 4%. Каков процент годовых в сбербанке?

Решение. Пусть hello_html_m3f7a7b0a.gif- первоначальный вклад, hello_html_6e571605.gif-годовой процент в сбербанке. Через год в сбербанке накопилась сумма hello_html_m75f08b30.gif денежных единиц. Через один год сумма денежных единиц в коммерческом банке составила

hello_html_4a1cad73.gif. Вклад hello_html_m3e71ed5f.gif превысил первоначальный вклад hello_html_m3f7a7b0a.gif на 4%. Тогда hello_html_m7f70c7f1.gif; hello_html_260e1456.gif. После преобразований получим квадратное уравнение: hello_html_m37b3baf5.gif; hello_html_449a986e.gif

Ответ: 30% годовых в сбербанке.


Задача № 9. Фермер положил в банк некоторую сумму денег под определённый процент годовых. Через год он снял 1/3 получившейся суммы. Банк увеличил процент годовых в 2 раза по сравнению с первоначальным, и ещё через год получившаяся сумма превысила первоначальный вклад на 12%. Какой новый процент годовых?

Решение. Пусть фермер положил в банк некоторую сумму hello_html_m3f7a7b0a.gifпод определённый процент hello_html_3d8e188a.gif. Через год в банке находилась сумма денег: hello_html_718adac2.gif Фермер снял третью часть суммы, то есть hello_html_4dab7b0e.gif; осталось hello_html_388695eb.gif. Через год в банке лежала сумма: hello_html_adc8a80.gif; По условию hello_html_m43dfce4d.gif на 12%, тогда hello_html_2b4bb0a2.gifhello_html_m22446612.gif; hello_html_5bd2762b.gif; В результате преобразований получим уравнение: hello_html_m32fb9cc6.gif; hello_html_m6fe33f79.gif; hello_html_1e0816b8.gif.

Ответ: новый процент 40%.

Задача № 10. Население города ежегодно увеличивается на 0,02 наличного числа жителей. Через сколько лет население утроится?

Решение. 0,02=2%. hello_html_3dee3223.gif; hello_html_ad41f0a.gif

Ответ: население города утроится через 55 лет.


Решение задач содержащие понятия акции, дивиденды, банковские проценты, кредит и т.д.

Задача № 1. Работник акционерного предприятия приобрёл на некоторую сумму акции двух видов. Акции первого вида стоят 1000р. и дают 50% дохода в год. Акции второго вида стоят 10000р. за одну и дают 200% дохода в год. Какую сумму за год он получит в качестве дохода за акции, если всего он приобрёл 19 акций, и сумма дохода превысила стоимость акций на 85%?

Решение. Пусть акций первого вида приобретено hello_html_347c04f0.gif штук, а второго вида hello_html_5c4c257b.gif штук. Тогда за акции первого вида работник уплатил hello_html_743e61de.gif рублей, а за акции второго вида hello_html_2b0e16a9.gif рублей. Стоимость акций первого и второго видов составила hello_html_59a7ca5d.gif рублей. Доход за акции первого вида составил hello_html_m17ade12.gif, а за акции второго вида составил hello_html_497d30f7.gif(р.). Сумма за год в качестве дохода за акции составила hello_html_7237c6e1.gif рублей. Найдём разность между суммой дохода и стоимостью акций: hello_html_m5b38c035.gif. По условию задачи эта разность составила 85% стоимости акций, то есть hello_html_12d1e756.gif или hello_html_154e8c74.gif; hello_html_20a870f9.gif. Учтём, что по условию задачи всего куплено 19 акций, то есть hello_html_m5165590b.gif и получим систему уравнений hello_html_mbba2e95.gif Решим эту систему и получим: hello_html_27c74f38.gif

Подсчитаем сумму дохода: hello_html_2961f179.gif

Ответ: 185000 рублей.

Задача № 2. В двух банках в конце года на каждый счёт начисляется прибыль: в первом банке – 50% к текущей сумме на счете, во втором – 75% к текущей сумме на счёте. Вкладчик в начале года часть имеющихся у него денег положил в первый банк. А остальные во второй банк, с таким расчетом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих счетах утроилось. Какую долю денег вкладчик положил в первый банк?

Решение. Пусть вкладчик положил в первый банк hello_html_e1c33a8.gifденег, во второй банк hello_html_46bf2ce0.gifденег, а всего у него было hello_html_m3045e455.gifденег. Через два года у вкладчика в первом банке hello_html_mab17f76.gifденег, а во втором банке hello_html_6305e443.gifденег. Всего у вкладчика hello_html_m241f9413.gif (денег). hello_html_m10c8be71.gif; hello_html_29f20a6d.gif;

hello_html_67d832c0.gif.

Ответ: в первый банк вкладчик положил hello_html_13b1c852.gifчасть денег.

Задача № 3. Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк hello_html_m324906d0.gif от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год в счёт полного погашения кредита он внёс сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение. Обозначим сумму полученного кредита: hello_html_e1c33a8.gif; процент годовых: hello_html_3d8e188a.gif. Через год фермер должен банку hello_html_9610a7.gif. В счет погашения кредита фермер вернул банку: hello_html_4a320003.gif. Долг фермера: hello_html_279926a8.gif. Ещё через год фермер должен банку: hello_html_m5b744f83.gif. В это время фермер внёс сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита в счёт полного погашения кредита, то есть hello_html_502928ce.gif. В результате рассуждений получаем уравнение: hello_html_5bcc375c.gif; hello_html_m57f1d1c5.gif; hello_html_m696859d5.gif.

Ответ: годовой процент по кредиту в данном банке 120%.

Задача № 4. Из общего количества товара hello_html_1dc81419.gif продано с прибылью hello_html_m3ef3457b.gif, а из оставшейся части hello_html_63ca6bca.gif продано с прибылью в hello_html_m611112b4.gif. C какой прибылью продана вся оставшаяся часть товара, если общий процент прибыли составлял hello_html_m6ca3c16c.gif.

Решение. Пусть hello_html_cf73747.gifhello_html_m53d4ecad.gifисходная стоимость товара. Тогда hello_html_12460963.gif продано с прибылью hello_html_m3ef3457b.gif. hello_html_m323eee60.gif продано с прибылью hello_html_m611112b4.gif. Оставшаяся часть hello_html_7bcaeeb.gif продано с прибылью hello_html_m43c14af1.gif. Составим уравнение: hello_html_7bd01d10.gif. Выразим hello_html_347c04f0.gif из этого уравнения: hello_html_m61d3ccf8.gif. Это и есть ответ.

Задача № 5. Прирост продукции на заводе по сравнению с предыдущим годом за первый год составлял р%, за второй год у%. Какой должен быть процент прироста продукции за третий год, чтобы средний годовой прирост продукции за три года был равен х%.


Производительность труда.

Производительность труда – это количество товаров, которое может быть изготовлено за определённый период времени (час, месяц, год).

Задача № 1. На заводе рабочий день уменьшился с 8 до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы количество продукции за день работы увеличилось более, чем на 5%?

Решение. Пусть первоначально производство продукции за 1 час составляло hello_html_e1c33a8.gif единиц, тогда за 8- часовой рабочий день объём продукции составит hello_html_m643db26c.gif, где hello_html_e1c33a8.gif- положительное число. Пусть производительность труда необходимо повысить на hello_html_m43c14af1.gif. Тогда объём продукции за 1 час составит hello_html_m67b34e4c.gif единиц, а за 7- часовой рабочий день hello_html_6afdf6d.gif.

По условию задачи количество продукции за день работы должно увеличиться более, чем на 5%, то есть количество продукции должно быть больше, чем hello_html_11e436bb.gif. Составим неравенство и решим его:

hello_html_4a6293d8.gif> hello_html_13a76ef5.gif; hello_html_m11bdbf12.gif> hello_html_11a902f2.gif; hello_html_m57aa8acf.gif.

Ответ: производительность труда при семичасовом рабочем дне необходимо повысить более, чем на 20%.

Задача № 2. Два завода А и В взялись выполнить заказ в 12 дней. Через два дня завод А был закрыт на ремонт, и в дальнейшем над выполнением заказа работал только завод В. Зная, что производительность завода В составляет hello_html_1fb02390.gif от производительности завода А, определить, через сколько дней будет выполнен заказ.

Решение. Объём заказа примем за 1. Оба завода могли выполнить в день hello_html_37008090.gifчасть заказа. Пусть hello_html_347c04f0.gifдней выполняет заказ завод А, hello_html_5c4c257b.gif дней выполняет заказ завод В. hello_html_26c0089.gif производительности заводов А и В. hello_html_m4be34c0a.gif совместная производительность заводов или hello_html_37008090.gif. Зная, что производительность завода В составляет hello_html_7256c917.gif от производительности завода А, получим, что hello_html_77972c18.gif;

hello_html_24add9c4.gif; После того, как остановили завод А, заводу В осталось выполнить hello_html_m92376c9.gif заказа. Решим уравнение: hello_html_m6a82eef2.gif; hello_html_m7ed95009.gif; hello_html_a8d3fac.gif;

hello_html_7271a3e6.gif. С учётом двух дней совместной работы заказ был выполнен за 27 дней.

Ответ: через 27 дней.

Задача № 3. Рукопись в 80 страниц отдана двум машинисткам. Если первая машинистка начнёт перепечатывать рукопись через 3 часа после второй, то каждая из них перепечатает по половине рукописи. Если же обе машинистки начнут работать одновременно, то через 5 часов останутся не перепечатанными 15 страниц. За какое время может перепечатать рукопись каждая машинистка в отдельности?

Решение. Пусть первая машинистка может перепечатать рукопись за hello_html_347c04f0.gif часов, а вторая за hello_html_5c4c257b.gifчасов, тогда производительность первой машинистки hello_html_m25ceab27.gif; производительность второй машинистки hello_html_53532cd9.gif. Как обычно работу обозначим за 1. Если первая начнёт печатать через 3 часа после второй, то каждая сделает по половине. Следовательно, hello_html_73593d8c.gif. Если они начнут работать одновременно, то через 5 часов будет перепечатано 65 страниц. Работу, которую они выполняют вместе равна hello_html_m59105c1e.gif.

hello_html_m7ebf7fb1.gif; hello_html_f6b249d.gif; Решая эту систему, получим квадратное уравнение: hello_html_6240b298.gif; hello_html_m27596aa6.gif; hello_html_46bbbcd6.gif;

Ответ: первая машинистка перепечатает рукопись за 16 часов, а вторая за 10 часов.

Задача № 4. Три автоматические линии выпускают одинаковую продукцию, но имеют различную производительность. Производительность всех трёх одновременно действующих линий в 1,5 раза выше производительности первой и второй линий, работающих одновременно. Задание для первой линии вторая и третья линии, работая одновременно, могут выполнить на 4часа 48 минут быстрее, чем его выполнит первая линия. Это же задание вторая линия выполнит на 2 часа быстрее по сравнению с первой линией. Найти время выполнения первой линией своего задания.

Решение. Обозначим через hello_html_m54f186ef.gifвремя, за которое 1, 2, 3 линии выполняют задание первой линии. По тексту задачи составляем уравнение: hello_html_m48ae7d0e.gif; Вторая и третья линии за 1 час работы выполняют hello_html_175ea998.gifчасть задания для первой линии. Чтобы выполнить всё задание для первой линии, им потребуется hello_html_m4e789da.gifчасов, что меньше hello_html_347c04f0.gif на 4,8 часов, то есть hello_html_m37ee7d.gif. Так как вторая линия выполнит это задание на 2ч. быстрее, то hello_html_m6de59fd3.gif. hello_html_m6fe5a9f7.gif. Ответ: 8ч.

Задача № 5. Для отправки груза было предложено три состава, состоящие из вагонов грузоподъёмностью соответственно 80, 60, 50 тонн. Если груз погрузить в состав, состоящий из вагонов вместимостью 80 тонн, то один вагон окажется загруженным не полностью. Если груз разместить в вагоны вместимостью по 60 тонн, то таких вагонов понадобится на 8 больше, чем в первом составе, и при этом всё равно один вагон будет не полностью загруженным. Наконец, если груз разместить в вагоны вместимостью по 50 тонн, то понадобится ещё на 5 вагонов больше, при этом все такие вагоны будут загружены полностью. Сколько тонн груза было?

Решение. Обозначим через hello_html_347c04f0.gif тонн количество груза, а через hello_html_3d8e188a.gif количество вагонов в составе, состоящим из вагонов грузоподъёмностью 80 тонн. Тогда по условию задачи можно составить систему неравенств:

hello_html_m36f86661.gif; hello_html_2b228410.gif ; hello_html_m25ae68f5.gif ;

hello_html_4ed09633.gif; hello_html_55bd2b93.gif ; hello_html_m41abb859.gif ; hello_html_3d8e188a.gif- натуральное число. hello_html_3f06024b.gifhello_html_4cf92a67.gif

Ответ: груза было 1750 тонн.

Задача № 6. Первый рабочий изготовил 60 деталей на 3 часа быстрее второго. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если, работая вместе, они изготовят за 1 час 30 деталей.

Решение. Пусть hello_html_347c04f0.gif деталей в час делает первый рабочий. hello_html_m59897945.gif деталей в час делает второй рабочий. hello_html_m693584cd.gif часов работал первый рабочий. hello_html_2c9d517d.gif ч. работал второй рабочий. hello_html_46829a12.gif ; hello_html_m3649b542.gif ; hello_html_m7ed95009.gif .

20 деталей делает в час первый рабочий, 10 деталей делает в час второй.

90 деталей второй рабочий сделает за 9 часов.

Ответ: 9 часов.

Задача № 7. Баржа была разгружена с помощью двух подъёмных кранов в течение 15 часов, причём первый кран приступил к работе на 7 часов позже второго. Известно, что первый кран, работая один, может разгрузить баржу на 5 часов быстрее, чем второй кран, работающий отдельно. За сколько часов может разгрузить баржу каждый кран, работая отдельно? Ответ: 20 часов работает первый кран, 25 часов второй кран.


23


Краткое описание документа:

Первоочередные цели разработки: познакомить обучающихся с методикой решения задач на нахождение процента от числа и числа по его проценту, на вычисление производительности труда, на вычисление концентрации вещества и процентное содержание, разобраться в типах и методах решения текстовых задач, рассмотреть нетрадиционные задачи, решаемые нестандартными методами. Задачи на проценты относятся к традиционному разделу элементарной математики. Решение задач подобного рода способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, умения самостоятельно осуществлять небольшие исследования.  В разработке рассматриваются классы задач, объединенные общей идеей, анализируются особенности этих классов, показываются приемы решения задач каждого класса и дается методика решения более сложных задач. При изучении данной темы полезно сделать акцент на самостоятельной работе обучающихся с последующим общим обсуждением методов решения задач.

 

 

Автор
Дата добавления 20.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2172
Номер материала 401273
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх