Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Методические аспекты в изучении темы вычисления конечных и бесконечных сумм

Методические аспекты в изучении темы вычисления конечных и бесконечных сумм

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Содержание








Введение

Бесконечность — категория человеческого мышления, которая используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, для которых невозможно указание границ или количественной меры. Применяется в противоположность конечному, исчисляемому, имеющему предел; систематически исследуется в математике, логике и философии, также изучаются вопросы о восприятии, статусе и природе бесконечности в психологии, теологии, физике соответственно.

Исторически первые проблемы бесконечности — вопросы конечности пространства и времени, количества вещей в мире, более сложные проблемы — возможность бесконечного деления континуума, возможность оперирования с бесконечными объектами (проблема актуальной бесконечности), природа и поведение бесконечно малых величин — инфинитезималей, наличие различных типов бесконечности и соотношение между ними. Наиболее глубокое исследование бесконечности предпринято в математической теории множеств, в которой построено несколько систем измерений различных видов бесконечных объектов, однако без дополнительных искусственных ограничений такие построения вызывают многочисленные парадоксы, пути их преодоления, статус теоретико-множественных построений, их обобщений и альтернатив являются основным направлением исследований бесконечности у философов современности. [15]

Ряды широко используются в математике и ее приложениях как в теоретических исследованиях, так и при приближенных численных решениях задач. Многие числа могут быть записаны в виде специальных рядов, с помощью которых удобно вычислять их приближенные значения с нужной точностью.

Метод разложения в ряды является эффективным методом изучения функций. Он применяется для вычисления приближенных значений функций, для вычисления и оценок интегралов, для решения всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных).

Учащиеся должны уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач с применением аппарата математического анализа.

Тема «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в курсе алгебры средней школы изучается обособленно, лишь в девятом классе, мало перекликаясь с другими разделами школьной программы. Но несмотря на это задачи, для решения которых необходимо знать не только формулы п-го члена и суммы первых п членов, но и свойства арифметической и геометрической прогрессий, предлагаются на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы. А для того, чтобы знания ученика были на достаточно высоком уровне, необходимо активизировать его познавательную деятельность при изучении прогрессий. Поэтому теоретические и практические исследования по данной теме представляются актуальными в настоящее время и обусловлены насущными потребностями средних школ различного уровня: как общеобразовательных, так и с математическим уклоном.

Как же поступать преподавателю? С одной стороны, он ограничен рамками программы, с другой преподаватель понимает, что без прочных и глубоких знаний его ученики не смогут в дальнейшем стать полноценными студентами, им труднее будет усваивать высшую математику. Выход один: разрабатывать и проводить элективные занятия. Все выше сказанное определило актуальность исследования.

Объект исследования – процесс изучения дополнительных разделов математического анализа в средней старшей школе и в системе среднего профессионального образования.

Предметом исследования методы вычисления конечных и бесконечных сумм.

Цель исследования – разработка тематики и содержания элективных занятий «Методы вычисления конечных и бесконечных сумм».

Гипотеза исследования заключается в необходимости изучения объявленной выше темы на элективных занятиях для достижения более высокого уровня математической подготовки учащихся, развития их индивидуальных способностей, формирования целостного мировоззрения, обеспечения лучшей адаптации учащихся к процессу дальнейшего обучения ВУЗе.

Для реализации поставленной цели и проверке выдвинутой гипотезы необходимо решить следующие задачи:

1. Рассмотреть исторические и теоретические основы темы.

2. Продемонстрировать парадоксы суммирования и зависимость сходимости от полученных результатов.

3. Подобрать материалы для подготовки проведения элективного курса по теме: "Методы вычисления конечных и бесконечных сумм".

Для достижения поставленной цели нами использовались следующие методы исследования: 

1. Анализ математической и методической литературы, работ по истории математики.

2.     Наблюдение за учащимися во время проведения элективного курса. 










Глава 1. Теоретические основы изучения методов вычисления конечных и бесконечных сумм

    1. Применение метода математической индукции

Различные утверждения (теоремы) о последовательностях часто доказывают рассуждением, которое называется математической индукцией.

По мнению Н.Я. Виленкина [1], естественным моментом введения метода математической индукции в школе могло бы оказаться изучение прогрессий и последовательностей. Прогрессии определяются рекуррентными соотношениями, т. е. соотношениями, позволяющими найти следующий член последовательности по одному или нескольким предыдущим ее членам. Арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением ,  а геометрическая прогрессия — рекуррентным соотношением . Иными словами, само определение этих прогрессий дается с помощью индукции от n к n+1. Поэтому и большинство формул, относящихся к прогрессиям, было бы целесообразно выводить при помощи метода математической индукции.

Пусть нам надо доказать утверждение вида: для каждого натурального числа n верно утверждение P(n).

Метод математической индукции, применяемый для его доказательства, состоит в следующем.

  1. Утверждение проверяется для начального значения n, то есть доказывается утверждение P(1);

  2. Доказывается условное утверждение: если верно P(n), то верно P(n+1): P(n) P(n+1).

Первый шаг в этом доказательстве называется базой индукции, второй шаг называется индукционным переходом.

Пример 1.

При выводе формулы общего члена арифметической прогрессии замечаем, что .

Эти формулы позволяют предположить, что для любого натурального числа n истинно равенство

Докажем его с помощью математической индукции. При n=1 оно истинно, поскольку и и при n=1 равно .

Предположим теперь, что d . Тогда . Равенство можно переписать так: Полученное равенство является не чем иным, как равенством при n=k+1. Значит, оно истинно при всех натуральных значениях n.

Точно так же доказывается, что общий член геометрической прогрессии выражается формулой

Пример 2.

Выведем теперь с помощью математической индукции формулы для сумм членов арифметической и геометрической прогрессий.

а) Для арифметической прогрессии имеем:

.

Таким образом, нам надо вывести формулу для суммы 1+2+…+(n-1) первых (n-1) натуральных чисел. Обозначим сумму первых n натуральных чисел через . Имеем: 22 2 2. Этого достаточно, чтобы сделать предположение индукции: 2, т. е.

Поскольку , а при n=1 тоже равно 1, то наше предположение истинно при n=1.

Пусть оно истинно при n=k, т.е. пусть . Тогда имеем: . Полученное равенство есть равенство  при n=k+1.  Пользуясь методом математической индукции, мы доказали формулу .

Таким образом, , а потому

Так как 2,  то эту формулу можно переписать следующим образом:

б) Аналогично выводится формула для суммы членов геометрической прогрессии. Сначала замечаем, что в силу формул сокращенного умножения имеем: (мы считаем, что q) и . Поскольку и  можно записать в виде , то приходим к индуктивному предположению: .

Равенство позволяет сделать переход от k к k+1. Метод математической индукции позволяет выводить и формулы для многих других сумм.

Пример 3.

Доказать, что сумма первых n (n) нечетных чисел равна квадрату их числа, т. е. 1+3+5+…+(2n-1)=n2.

Решение. Т.к. утверждение зависит от натурального параметра n, то воспользуемся для его доказательства методом математической индукции.

1) Проверим справедливость данного утверждения для  n=1, если n=1, то 1=12;

2) предположим, что сумма первых k ( ) нечетных чисел равна квадрату числа этих чисел, т. е. 1+3+5+…+(2k-1)= k 2(*). Другими словами, предположим, что наше утверждение истинно для всех, значит n от 2 до включительно;

3) установим, исходя из равенства (*), что сумма первых k+1 нечетных чисел равна (k+1), т. е.  1+3+5+…+(2∙(k+1)–1)=(k+1).  Действительно, 1+3+5+…+(2∙(k+1)–1)=1+3+5+…(2k+1)=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)= =[1+3+5+…+(2k –1)+(2k+1)=+2k +1=(k+1); (k+1)=(k+1) (истина).

На основании принципа математической индукции делаем вывод, что сумма первых n нечетных чисел равна  nдля любого натурального n.

Пример 4.

Доказать формулу: 1+2+3+…+n=.

1) Проверим справедливость данного утверждения для  n=1, если n=1, то 1=, 1=1;

2) Пусть она истиннa при n=k, т.е. пусть 1+2+3+…+k=.

3) Проверим равенство для n=k+1: 1+2+…+k+(k+1)= +(k+1)=. Ч.Т.Д.

Пример 5.

Доказать формулу: .

1) Проверим справедливость данного утверждения для  n=1, если n=1, то ;

2) Пусть она истиннa при n=k, т.е. пусть

.

3) Проверим равенство для n=k+1:


Пример 6.

Доказать формулу

1) Проверим справедливость данного утверждения для  n=1, если n=1, то .

2) Пусть она истиннa при n=k, т.е. пусть

.

3) Проверим равенство для n=k+1:


Пример 7.

Доказать формулу: 1∙2+2∙3+3∙4+…+(n-1) ∙n=.

1) Проверим справедливость данного утверждения для  n=2, если n=2, то

2) Пусть она истиннa при n=k, т.е. пусть

1∙2+2∙3+3∙4+…+(k-1) ∙k=.

3) Проверим равенство для n=k+1:

1∙2+2∙3+3∙4+…+(k-1) ∙k+k∙(k+1)==


1.2. Методы вычисления тригонометрических сумм

Рассмотрим на примерах методы суммирования некоторых конечных рядов.

1. Вычисление суммы косинусов и синусов дуг, образующих арифметическую прогрессию.

Первый способ. Рассмотрим сумму:

; имеем




сложив почленно и разделив на получим:

Откуда окончательно:


Если в этой формуле заменить на и h на h, то получим:


Второй способ. Вычислим по формуле Муавра k-ую степень комплексного числа z=и умножим ее на число

Искомые суммы () и () суть действительная и мнимая части суммы n+1 членов геометрической прогрессии:

имеем:


Умножив на получим в произведении: . Действительная часть есть сумма (), а коэффициент при i-сумма ().

Следствие. Положим, в частности, тогда получим:



2. Разделив почленно () на (), получим:


3. Вычислить сумму: Имеем:


Воспользовавшись формулой (), получим (после преобразований):

Так, в частности,


4. Вычислить суммы: ()

().

Решение. Положив в формулах () и () и заменив n на n-1, получим: и


5. Вычислить сумму:

Решение. Достаточно в формуле () положить :


Преобразуем числитель в сумму:


откуда . ()

Примечание. Этим же способом вычисляется сумма .

6. Вычислить суммы:

и


Решение. Выразим каждое слагаемое через косинус двойного аргумента. Имеем: .

Для вычисления последней суммы достаточно в формуле () заменить на 2, h на 2h, тогда получим: и, следовательно,

В частности, Посредством тригонометрических преобразований правой части получим другую формулу для этой же суммы . Подобным же образом вычисляется вторая сумма

().

Примечание. Зная одну из рассматриваемых сумм, нетрудно найти другую, так как:

7. Вычисление сумм вида: и (где р - натуральное число).

Обозначим через и следующие суммы:

Эти суммы вычисляются по формулам () и () (заменить h на ph):

и . Для вычисления суммы

выразим степени косинуса посредством тригонометрических функций кратных дуг:

положив последовательно k=0,1,2,…,n и просуммировав по k, получим:

. ()

Тем же методом вычисляется

Положив, в частности, р=3, вычислим суму

Имеем . Просуммировав по k, получим:

. [5]

1.3. Применение комплексных чисел

Комплексное число – это двумерное число. Оно имеет вид z=a+bi, где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица. Число a называется действительной частью (Rez) комплексного числа z, число b называется мнимой частью(Imz) комплексного числа z.

Суммой двух комплексных чисел есть комплексное число, действительная и мнимая части которого есть суммой действительных и мнимых частей чисел-слагаемых соответственно.

1. Рассмотрим сумму . Положим тогда имеем: , и, следовательно,

.

Вычисляем правую часть последнего равенства

а) ;

б)


с)

d)

е)

Следовательно, .

Отсюда найдем выражения для и .

2. Вычислить суммы: ;

.

Решение. Рассмотрим сумму n+1 первых членов геометрической прогрессии .

Если положить , то последнее равенство примет вид:

.

Вычислим правую часть последнего равенства:


Действительная часть полученного выражения равна а коэффициент при i равен : ()

()

Различные частные приемы вычисления сумм показаны на примерах 3 и 4.

3. Вычислить сумму .

Решение. Исходим из тождества

Полагая последовательно , получим:

1


3




Умножив последовательно эти равенства на 1,3,,…, и сложив почленно, получим после сокращения: , откуда

()

4. Вычислить суммы:


Решение. Рассмотрим равенство:

При это равенство примет вид:

но .

Следовательно, , откуда

, .

1.4 Понятие ряда и его суммы. Свойства сходящихся рядов

Исторически первый неочевидный (как говорят математики, нетривиальный) пример суммирования бесконечного числа слагаемых принадлежит Архимеду. Архимед вычислил «квадратуру параболы», т. е. подсчитал площадь фигуры, ограниченной частью квадратичной параболы.

Архимед разбил площадь параболического сегмента на треугольники. При этом он подсчитал, что площадь каждого нового треугольника в четыре раза меньше площади предыдущего. Зная площадь первого треугольника a1 = 1, они пришел к необходимости подсчитать бесконечную сумму: 1+

hello_html_m7ed05873.gif

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел (1). Составленный из этих чисел символ (2) называется бесконечным рядом, а сами числа (1) - членами ряда. Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так: (2а); указатель n пробегает здесь все значения от 1 до .

Станем последовательно складывать члены ряда, составляя (в бесконечном количестве) суммы; …, ,…; (3) их называют частными суммами (или отрезками) ряда. Эту последовательность частичных сумм {} мы всегда будем сопоставлять с рядом (2): роль этого символа и заключается в порождении упомянутой последовательности.

Конечный или бесконечный предел А частичной суммы ряда (2) при : называют суммой ряда и пишут А==, придавая тем самым символу (2) или (2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае (т.е. если сумма равна, либо же суммы вовсе нет) – расходящимся.

Таким образом, вопрос о сходимости ряда (2) , по определению, равносилен вопросу о существовании конечного предела для последовательности (3). Обратно, какую бы варианту (n=1,2,3,…) наперед не взять, вопрос о наличии для нее конечного предела может быть сведен к вопросу о сходимости ряда (4), для которого частичными суммами как раз и будут последовательные значения варианты: При этом сумма ряда совпадает с пределом варианты.

Иными словами, рассмотрение бесконечного ряда и его суммы есть просто новая форма изучения варианты (или последовательности) и ее предела. Но эта форма представляет неоценимые преимущества как при установлении самого существования предела, так и при его вычислении. Это обстоятельство делает бесконечные ряды важнейшим орудием исследования в математическом анализе и его приложениях.

Пусть Если то ряд (2) называют положительным; если , то ряд (2) называют строго положительным.[7]

Свойства сходящихся рядов:

  1. Пусть с – комплексное число. Если ряд сходится, то ряд , называемый произведением данного ряда на число, также сходится и . Эта теорема означает, что числовой множитель «можно выносить за скобку» и в случае бесконечного числа слагаемых, если они образуют сходящийся ряд. «Можно» в том смысле, что справедливо равенство.

  2. Пусть ряды и сходятся, тогда ряд , называемый суммой данных рядов, также сходится и +.

Эта теорема означает, что сходящиеся ряды «можно складывать почленно» (n- ый член с n- м). «Можно» в том смысле, что справедливо равенство+.

  1. Если ряд сходится, то любой его остаток сходится. Если какой-либо остаток ряда (2) сходится, то и сам ряд также сходится. [Кудрявцев, 2003, с. 480]

1.5 Вычисление бесконечных сумм по определению

Пример 1. Исследуем на сходимость геометрический ряд .

Последовательность членов ряда есть геометрическая прогрессия. 

Составим n-ю частичную сумму ряда

  (). Если q=1, то  и - ряд расходится.

Если q =-1,то ряд имеет вид .  Последовательность частичных сумм данного ряда такова: , т.е.  

Поскольку две подпоследовательности {}, {} имеют различные пределы , то предел последовательности  частичных сумм рассматриваемого ряда при n→∞ не существует, и ряд  расходится. 

Далее возможны следующие случаи:

1) . Последовательность членов есть, так называемая, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Поскольку при

2) . 

Поскольку , то при  будет , тогда , т.е. , и в этом случае не выполнен необходимый признак сходимости ряда. 

Таким образом, геометрический ряд ()  сходится тогда и только тогда, когда , и в этом случае его сумма равна .

Пример 2. Рассмотрим ряд известный под именем гармонического ряда.

Имеем очевидное неравенство: (1). Если, отбросив первые два члена, остальные члены гармонического ряда последовательно разбить на группы, по 2,4,8,…,,… членов в каждой ;…; …, то каждая из этих сумм в отдельности будет больше ; в этом легко убедиться, полагая в (1) поочередно n=2,4,8,…, ,… Обозначим n- ю частичную сумму гармонического ряда через ; тогда очевидно, . Мы видим, что частичные суммы не могут быть ограничены сверху: ряд имеет бесконечную сумму.

с возрастанием n возрастает очень медленно. Эйлер, например, вычислил, что и т.д.

Пример 3. (*).

Этот ряд не удовлетворяет условиям сходимости. Докажем по определению, что ряд расходится.


Значит, ряд расходится.

Пример 4.

Вычислите .



Пример 5.

Вычислите .

.

Пример 6.

Вычислить а) ; б) .

. Применим формулу Эйлера :

; т.к. , то , значит =0. .

Пример 7.

Вычислить


.[7]

    1. Вычисление бесконечных сумм с помощью определенного

интеграла

Ряд (1) (f(n) – значение при x=n некоторой функции f(x), определенной для функцию эту предположим непрерывной, положительной и монотонно убывающей) сходится или расходится в зависимости от того, имеет ли функция F(x)=при конечный предел или нет.

Первообразную функцию F(x) можно взять и в форме определенного интеграла F(x)=Предел его при называют «интегралом от 1 до +» и обозначают так:

Итак, предложенный ряд (1) сходится или расходится, смотря по тому, имеет ли этот интеграл конечное значение или нет. [7]

Дифференцируя или интегрируя известные разложения в ряд Тейлора, можно получать разложения новых функций в степенные ряды. Так, например, интегрируя формулу геометрической прогрессии (1) в пределах от 0 до x, ( что допустимо, ибо ряд (1) равномерно сходится на отрезке с концами в точках 0 и x при ), получим формулу

: .

Дифференцируя или интегрируя заданный степенной ряд, иногда удается получить ряд, сумма которого уже известна; это позволяет вычислить и сумму исходного степенного ряда.[5]

Например, вычислить , рассматривая определенный интеграл как предел интегральных сумм.

1-ый способ.

Разделим отрезок интегрирования [1;2] на n равных частей длины . Точки деления:.

В качестве точек выберем, например, левые концы каждого частичного отрезка. Тогда .

Следовательно,

Применяя формулу суммы квадратов целых чисел , находим , откуда


2-ой способ.

Разобьем отрезок [1;2] на части так, чтобы абсциссы точек деления образовали геометрическую прогрессию: (где ). Точку выбираем на левом конце k-ого отрезка. Тогда

Следовательно,

1.7 Понятие о суммировании расходящихся рядов

Какова сумма всех натуральных чисел? Интуиция подсказывает, что ответ — бесконечность. В математическом анализе сумма натуральных чисел является простым примером расходящегося ряда. Тем не менее, математики и физики сочли полезным придать дробные, отрицательные и даже нулевые значения суммам таких рядов. 

В ряде задач математического анализа, представляющих как теоретический, так и практический интерес, приходится оперировать с рядами, у которых последовательность частичных сумм не сходится и сумма в указанном выше обычном смысле не существует. Естественно, возникает вопрос об обобщении понятия суммы ряда и о суммировании расходящегося в обычном смысле ряда с помощью каких-либо обобщенных методов.

Когда пишут , то говорят, что ряд из  имеет сумму А по правилу суммирования F.

Для правил суммирования требуется выполнение некоторых условий.

1. Линейность:

Если , , то.

2. Перманентность (регулярность): если   (ряд имеет сумму в обычном смысле), то .

3. Эффективность: должны существовать ряды, которые суммируются с помощью hello_html_3e7f98de.png, но не имеют суммы в классическом смысле.

Прежде всего дадим общую характеристику тем методам суммирования, которые будут рассматриваться. Разумно требовать, чтобы обобщенное понятие суммы включало в себя обычное понятие суммы. Точнее, ряд, сходящийся в обычном смысле и имеющий обычную сумму S должен иметь обобщенную сумму, и притом также равную S Метод суммирования, обладающий указанным свойством, называется регулярным.

Далее естественно подчинить понятие обобщенной суммы следующему условию: если ряд (1) имеет обобщенную сумму U, а ряд имеет обобщенную сумму V , то ряд ,  где А и В — любые постоянные, имеет обобщенную сумму (AU+BV).

Метод суммирования, удовлетворяющий указанному условию, называется линейным, В анализе и в его приложениях, как правило, имеют дело лишь с регулярными линейными методами суммирования. Остановимся на двух методах обобщенного суммирования, представляющих особый интерес для приложений.

1. Метод Чезаро (метод средних арифметических).

Говорят, что ряд (1) суммируем методом Чезаро, если существует предел средних арифметических сумм этого ряда: (2).

При этом предел (2) называется обобщенной в смысле Чезаро суммой ряда (1).

Линейность метода суммирования Чезаро очевидна. Его регулярность вытекает из леммы: Если последовательность сходится к пределу l , то к тому же пределу сходится и последовательность средних арифметических чисел .

В самом деле, из указанной леммы вытекает, что если последовательность частичных сумм ряда (1) сходится к числу S, то предел (2) существует и также равен S.

Необходимый признак: Если ряд суммируется методом средних арифметических , то .

  1. Метод суммирования Пуассона-Абеля.

По данному ряду (1) составим степенной ряд (3)

Если этот ряд сходится для всех х из интервала (0;1)  и если его сумма S(x)  имеет левое предельное значение  в точке x=1, то говорят, что ряд (1) суммируем методом Пуассона—Абеля. При этом указанное предельное значение называется суммой ряда (1) в смысле Пуассона-Абеля.

Линейность метода Пуассона—Абеля не вызывает сомнений. Докажем регулярность этого метода. Пусть ряд (1) сходится в обычном смысле и имеет сумму, равную S. Требуется доказать что:

  1. ряд (3) сходится для любого х из интервала (0;1);

  2. сумма S(x)  ряда (3) имеет в точке x=1 левое предельное значение, равное S.

Докажем сначала утверждение 1). Так как ряд (1) сходится, то последовательность его членов является бесконечно малой и, следовательно, ограниченной, т. е. найдется такое число М, что для всех номеров k .

Используя это неравенство, оценим модуль k-ого члена ряда (3), считая, что х-  любое число из интервала (0;1). Получим .

Так как то ряд сходится. Поэтому сходится и ряд (3). Докажем теперь утверждение 2). Пусть - n-ая частичная сумма ряда (1), а S - его обычная сумма. С помощью преобразования Абеля легко убедиться в том, что для любого х из интервала  (0;1) справедливо тождество (4)

Вычтем тождество (4) из следующего очевидного тождества:

При этом, обозначая через r k-ый остаток ряда (1) будем иметь или (5)

Наша цель — доказать, что для любого  найдется такое, что левая часть (5) меньше для всех х удовлетворяющих неравенствам Так как остаток rряда (1) стремится к нулю при , то для положительного числа найдется номер такой, что при Таким образом, .

Остается доказать, что для х, достаточно близких к единице, но это очевидно, так как сумма, стоящая в последнем неравенстве, ограничена. Регулярность метода Пуассона—Абеля доказана.

В качестве примера снова рассмотрим расходящийся ряд . Для этого ряда составим степенной ряд вида (3) .

Очевидно, что последний ряд сходится для всех х из интервала (0;1) и имеет сумму, равную . Так как то ряд суммируем методом Пуассона — Абеля и его сумма в смысле Пуассона—Абеля равна 0,5.

Обратим внимание на то, что сумма ряда в смысле Пуассона — Абеля совпадает с его суммой в смысле Чезаро. Этот факт не является случайным: можно доказать, что если ряд суммируем методом Чезаро, то он суммируем и методом Пуассона — Абеля, причем сумма этого ряда в смысле Чезаро совпадает с его суммой в смысле Пуассона—Абеля. Более того, существуют ряды, суммируемые методом Пуассона—Абеля, но не суммируемые методом Чезаро.[6]

Важное место в анализе занимают, так называемые, тауберовы теоремы: пусть ряд сходится по некоторому методу F, какие условия нужно на него наложить, чтобы он сходился в классическом смысле?

Сформулируем одну из важнейших тауберовых теорем: Теорему Харди: Тогда если существует такое , что , то .

Некоторые вычисления с расходящимися рядами.

Как известно, 1+x+(*) при Представляется очевидным, что если мы пожелаем приписать этому ряду «сумму»(в каком-либо смысле)для других значений x, то эта сумма должна быть формально той же. Действительно,

    1. было бы весьма неудобно, если бы формула менялась при переходе к другим случаям;

    2. естественно ожидать, что сумма S должна удовлетворять уравнениям

    3. левая часть формулы (*) есть результат выполнения деления, указанного в правой части, так что во всяком случае имеется такой смысл знака «=», который дает возможность считать формулу (*) верной для всех х.











Глава 2. Изучение методов вычисления конечных и бесконечных сумм

2.1 Психолого-педагогические основы активизации познавательной деятельности при изучении прогрессий

Изучение прогрессий в средней общеобразовательной школе происходит в 9 классе. В соответствии с возрастной периодизацией - это дети подросткового и раннего юношеского возраста. В 9 классе средней общеобразовательной школы развитие познавательных процессов детей достигает такого уровня, что они оказываются практически готовыми к выполнению всех видов умственной работы взрослого человека, включая самые сложные. Познавательные процессы школьников приобретают такие качества, которые делают их совершенными и гибкими, причем развитие средств познания несколько опережает собственно личностное развитие детей [22].

В подростковом и юношеском возрасте активно идет процесс познавательного развития. В это время оно происходит в основном в формах, мало заметных как для самого ребенка, так и для внешнего наблюдателя.

Подростки и юноши уже могут мыслить логически, заниматься теоретическими рассуждениями и самоанализом. У девятиклассников уже отмечается способность делать общие выводы на основе частных посылок и, напротив, переходить к частным умозаключениям на базе общих посылок, т.е. способность к индукции и дедукции. Именно поэтому при изучении формул общего члена арифметической и геометрической прогрессий, а также формул суммы п первых членов прогрессий, для их доказательства нужно использовать метод математической индукции.

К этому возрасту дети усваивают многие научные понятия, обучаются пользоваться ими в процессе решения различных задач. Это означает сформированность у них теоретического или словесно-логического познавательных процессов. Поэтому изложение темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» преподается на достаточно высоком уровне абстракции.

Особенно заметным в эти годы становится рост сознания и самосознания детей, представляющий собой существенное расширение сферы осознаваемого и углубление знаний о себе, о людях, об окружающем мире. Развитие самосознания ребенка находит свое выражение в изменении мотивации основных видов деятельности: учения, общения и труда. Прежние «детские» мотивы, характерные для младшего школьного возраста, теряют свою побудительную силу. На месте их возникают и закрепляются новые, «взрослые» мотивы, приводящие к переосмыслению содержания, целей и задач деятельности. Хотя игра и является «детским» мотивом, но при изучении прогрессий она способствует активизации познавательной деятельности учащихся, способствует увеличению заинтересованности учеников в результатах своей деятельности по усвоению материала.

В подростковом возрасте активно совершенствуется самоконтроль деятельности, являясь вначале контролем по результату или заданному образцу, а затем - процессуальным контролем, т.е. способностью выбирать и избирательно контролировать любой момент или шаг в деятельности, что можно использовать при организации проверки знаний учащихся по вопросам прогрессий. Вплоть до юношеского возраста у многих детей еще отсутствует способность к предварительному планированию деятельности, но вместе с тем налицо стремление к саморегуляции. Оно, в частности, проявляется в том, что на интересной, интеллектуально захватывающей деятельности или на такой работе, которая мотивирована соображениями престижности, подростки могут длительное время удерживать внимание, быть в состоянии переключать или распределять его между несколькими действиями и поддерживать довольно высокий темп работы. Именно поэтому при изучении темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в девятом классе необходимо использовать методы активизации познавательной деятельности учащихся, рекомендовать творческие задания, подготовку рефератов, докладов, проведение исследовательской работы по данной теме. Например, на уроках решения задач на прогрессии можно использовать нестандартные задачи (практического, экономического или исторического характера, а также в виде кросснамберов).

В подростковом возрасте происходят важные процессы, связанные с перестройкой памяти. Активно начинает развиваться логическая память, и скоро она достигает такого уровня, что ребенок переходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредствованной памяти. Как реакция на более частое практическое употребление в жизни логической памяти замедляется развитие механической памяти. У подростков возникают проблемы с запоминанием, и жалобы на плохую память намного чаще, чем у младших школьников. Наряду с этим появляется интерес подростков к способам улучшения запоминания. Поэтому при рассмотрении теоретического материала по прогрессиям необходимо использовать схемы, позволяющие облегчить процесс запоминания теоретических аспектов изучения темы.

А.Н.Леонтьев исследовал, как идет развитие двух основных видов памяти - непосредственной и опосредственной - в течение детства и установил особенности их преобразования в старшем школьном возрасте. Он показал, что с увеличением возраста идет постепенное улучшение непосредственного запоминания, причем быстрее, чем опосредствованного. Одновременно с этим от дошкольного к младшему школьному возрасту увеличивается разрыв, существующий между продуктивностью непосредственного и опосредствованного запоминания. Затем - уже в подростковом и юношеском возрасте - прирост продуктивности непосредственного запоминания замедляется, и одновременно с этим увеличивается продуктивность опосредствованного запоминания [20].

С возрастом меняются и отношения между памятью и мышлением. В раннем детском возрасте память является одной из основных психических функций, и в зависимости от нее строятся все остальные психические процессы. Мышление ребенка в этом возраста во многом определяется его памятью: мыслить - значит вспоминать. В младшем школьном возрасте мышление обнаруживает высокую корреляцию с памятью и развивается в непосредственной зависимости от нее. Решающий сдвиг в отношениях между памятью и другими психическими функциями происходит в подростковом возрасте. Исследования памяти детей данного возраста показали, что для подростка вспоминать - значить мыслить. Его процесс запоминания сводится к мышлению, к установлению логических отношений внутри запоминаемого материала, а припоминание заключается в восстановлении материала по этим отношениям, поэтому при изучении формул, свойств важно, чтобы ученики понимали идею, смысл, логику их получения.

Характерной особенностью подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам обучения, причем как в практическом плане (трудовые умения и навыки), так и в теоретическом (умение мыслить, рассуждать, пользоваться понятиями). Еще одной чертой, которая впервые полностью раскрывается именно в подростковом возрасте, является склонность к экспериментированию, проявляющаяся, в частности, в нежелании все принимать на веру. Подростки обнаруживают широкие познавательные интересы, связанные со стремлением все самостоятельно перепроверить, лично удостовериться в истинности. К началу юношеского возраста такое желание несколько уменьшается, и вместо него появляется больше доверия к чужому опыту, основанного на разумном отношении к его источнику. Следовательно, при изучении прогрессий с сильными учениками полезна исследовательская работа, успешно рассматривается поиск применения прогрессий к решению текстовых задач практического характера.

Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью подростков, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны. В этой связи подростки на людях стремятся брать на себя наиболее сложные и престижные задачи, нередко проявляют не только высокоразвитый интеллект, но и незаурядные способности. Для них характерна эмоционально-отрицательная аффективная реакция на слишком простые задачи. Такие задачи их не привлекают, и они отказываются их выполнять из-за соображений престижности. Именно поэтому на уроках, посвященных решению задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», необходимо использовать нестандартные задачи: исторического и практического характера, повышенной трудности, из сборников по подготовке к ЕГЭ.

В основе повышенной интеллектуальной и трудовой активности подростков лежат не только указанные выше мотивы. За всем этим можно усмотреть и естественный интерес, повышенную любознательность детей данного возраста. Вопросы, которые задает подросток взрослым детям, учителям и родителям, нередко достаточно глубоки и касаются самой сути вещей [8].

Подростки могут формулировать гипотезы, рассуждать предположительно, исследовать и сравнивать между собой различные альтернативы при решении одних и тех же задач, поэтому при изучении прогрессий целесообразно применение методов проблемного обучения (эвристический, исследовательский, проблемного изложения). Сфера познавательных, в том числе учебных, интересов подростков выходит за пределы школы и приобретает форму познавательной самодеятельности - стремления к поиску и приобретению знаний, к формированию полезных умений и навыков. Подростки находят занятия и книги, соответствующие их интересам, способные дать интеллектуальное удовлетворение. Стремление к самообразованию - характерная особенность и подросткового, и раннего юношеского возраста.

Самостоятельность мышления проявляется в независимости выбора способа поведения. Подростки и особенно юноши принимают лишь то, что лично им кажется разумным, целесообразным и полезным. Именно поэтому можно давать учащимся задания, углубляющие и расширяющие тему с использованием современных средств обучения таких, например, Internet.

В подростковом и раннем юношеском возрасте завершается формирование мышления. В эти годы мысль окончательно соединяется со словом, в результате чего образуется внутренняя речь как основное средство организации мышления и регуляции других познавательных процессов. Интеллект, в своих высших проявлениях, становится речевым, а речь - интеллектуализированной. Возникает полноценное теоретическое мышление. Наряду с этим идет активный процесс формирования научных понятий, содержащих в себе основы научного мировоззрения человека в рамках тех наук, которые изучаются в школе. Приобретают окончательные формы умственные действия и операции с понятиями, опирающиеся на логику рассуждений и отличающие словесно-логическое, абстрактное мышление от наглядно-действенного и наглядно-образного [22].

Ускоренного формирования понятий по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» можно добиться на уроках алгебры, где соответствующие понятия вводятся и изучаются. При представлении учащемуся любого из этих понятий важно обратить внимание на следующие моменты:

а) почти каждое понятие имеет несколько значений;

б) обычные слова из повседневно используемого языка, который употребляется и для определения научных понятий, многозначны и недостаточно точны для того, чтобы определить объем и содержание научного понятия. Поэтому любые определения понятий через слова обыденного языка могут быть только приблизительными;

в) отмеченные свойства допускают как вполне нормальное явление существование различных определений одних и тех же понятий, не полностью совпадающих друг с другом;

г) для одного и того же человека по мере его развития, а также для науки и представляющих ее ученых по мере их проникновения в суть изучаемых явлений объем и содержание понятий, естественно, меняются. Произнося одни и те же слова через значительный период времени, мы обычно вкладываем в них несколько различный, со временем меняющийся смысл.

Из этого следует, что учащиеся не должны механически учить и повторять застывшие определения научных понятий. Необходимо добиваться того, чтобы сами учащиеся находили и давали определения этих понятий. Это, несомненно, ускорит процесс развития понятийной структуры мышления у девятиклассников, что мы наблюдаем в процессе изучения прогрессий.

Становлению внутреннего плана действий могут помочь специальные упражнения, направленные на то, чтобы одни и те же действия как можно чаще совершались не с реальными, а с воображаемыми предметами, т.е. в уме. Например, при решении задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» следует побуждать учащихся к тому, чтобы они больше считали не на бумаге или с помощью калькулятора, а про себя, находили и четко формулировали принцип и последовательные шаги в решении задачи прежде, чем практически приступят к реализации найденного решения. Надо придерживаться правила: до тех, пор, пока решение до конца не продумано в уме, пока не составлен план включенных в него действий и пока он не выверен на логичность, к практическому осуществлению решения не следует приступать. Этими принципами и правилами необходимо пользоваться на уроках математики, тогда и внутренний план действий будет формироваться у учащихся быстрее.

Три представленных основных направления ускоренного развития теоретического интеллекта, конечно, не существуют независимо друг от друга, и формировать каждое из них в отдельности вне связи с остальными нельзя. Развитие речевого мышления так или иначе сказывается на развитии понятий и внутреннего плана действий. Изменения, происходящие во внутреннем плане действий, связаны с развитием внутренней речи, положительно влияют на речевое мышление и на формирование понятий. И так далее. Поэтому всю работу по интеллектуальному развитию подростков и юношей необходимо вести комплексно, подбирая упражнения и рассчитывая предлагаемые задания таким образом, чтобы они развивали интеллект по всем его важнейшим направлениям.

У практического интеллекта, кроме связанной с этим названием способности решать практические задачи, есть и другие атрибуты: здравый смысл, смекалка, «золотые руки», интуиция. Долгое время развитием этих сторон интеллекта ребенка школа относительно пренебрегала или сводила их главным образом к приобретению учащимися элементарных трудовых умений и навыков, относящихся к малоквалифицированной работе. В условиях перехода к рыночным отношениям и самостоятельной экономической деятельности людей значение практического интеллекта особенно возрастает, так как каждому человеку теперь необходимо вести расчетливый и продуманный образ жизни [8].

В структуру практического интеллекта входят следующие качества ума: предприимчивость, экономность, расчетливость, умение быстро и оперативно решать возникающие задачи. Предприимчивость на уроках математики проявляется в том, что при решении сложной, нестандартной задачи ученик способен находить несколько ее решений, а главное - в том, что какая бы задача перед ним ни возникла, он всегда способен отыскать ее оптимальное решение [7].

Экономность как качество практического ума состоит в том, что обладающий этим качеством человек в состоянии найти такой способ действия, который в сложившейся ситуации с наименьшими затратами и издержками приведет к нужному результату.

Расчетливость проявляется в умении заглядывать далеко вперед, предвидя последствия тех или иных решений и действий, точно определять их результат и оценивать, чего он может стоить.

Наконец, умение оперативно решать поставленные задачи - это динамическая характеристика практического интеллекта, проявляющаяся в количестве времени, которое проходит с момента возникновения задачи до ее практического решения.

Развитым можно считать такое практическое мышление, которое обладает всеми указанными свойствами. Насколько развит этот вид мышления можно проверить во время нестандартных уроков, проводимых, например, в виде дидактической игры «Восхождение на пик Знаний», описанной далее в §5.

Подростковый и ранний юношеский возраст характеризуется продолжающимся развитием общих и специальных способностей детей на базе основных ведущих видов деятельности: учения, общения и труда. В учении формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Это происходит за счет усвоения понятий, совершенствования умения пользоваться ими, рассуждать логически и абстрактно. Значительный прирост предметных знаний создает хорошую базу для последующего развития умений и навыков в тех видах деятельности, где эти знания практически необходимы. Таким образом, учителю при изучении прогрессий нужно четко знать указанные ориентиры и использовать упомянутые возможности при обучении школьников [23].

В труде подростков идет активный процесс становления тех практических умений и навыков, которые в будущем могут понадобиться для совершенствования профессиональных способностей [20].

Подростковый и ранний юношеский возраст является достаточно сензитивным для развития всего комплекса разнообразных способностей, и степень практического использования имеющихся здесь возможностей влияет на индивидуальные различия, которые к концу этого возраста, как правило, увеличиваются.

Подростковый и ранний юношеский возраст - это время профессионального самоопределения. Очень важно именно в эти годы окончательно выявить и по мере возможностей развить те способности, на основе которых юноше можно было бы разумно и правильно осуществить выбор профессии. Общие положения, лежащие в основе развития способностей в эти годы, следующие.

1. За предшествующие годы жизни организм ребенка физически окреп и созрел. Из этого с учетом длительного опыта обучения и участия ребенка в различных видах деятельности следует, что имеющиеся у него задатки так или иначе уже могли проявиться, и вся дальнейшая его судьба в основном будет зависеть от их эффективного использования.

Осознание имеющихся задатков и способностей предполагает их специальное исследование. Такое обследование должен пройти каждый ребенок не позже шестого-седьмого класса школы.

Использование имеющихся задатков и уже проявивших себя способностей означает необходимость их развития в процессе специальным образом организованного обучения. Начиная со средних классов школы наряду с общеобразовательным должно быть организовано и специальное обучение детей, профессионально ориентирующее их в соответствии с имеющимися задатками и способностями на выбор вида и рода занятий, причем на добровольной основе.

Это не означает, что необходимо уменьшать или сокращать количество часов, отводимых на изучение общеобразовательных предметов. Без них не будут должным образом развиваться общие интеллектуальные способности как одна из основ будущей любой профессиональной работы. Это означает лишь то, что профессионализация обучения с одновременной его дифференциацией по способностям должна вводиться параллельно и в дополнение к общеобразовательной программе.

2.2Элективные занятия в средних специальных учебных заведениях

Элективные курсы – это обязательные для посещения учащимися курсы по выбору, целями которых является развитие, дополнение, углубление содержания базового и профильного курсов математики, удовлетворение познавательных интересов учащихся, развитие различных сторон математического мышления, воспитание мировоззрения и личностных качеств средствами углублённого изучения математики. При разработке содержания, выборе форм и методов работы с учащимися различных профилей на занятиях элективного курса должны быть учтены психолого-педагогические особенности, типы мышления, склонности и способности учеников. 

Последние десятилетия ХХ в. Охарактеризовались значительными

изменениями в образовательной практике России, коснувшимися не только основной и старшей школы, но и учреждений среднего профессионального образования. Произошла смена парадигм: от знаниевой к развивающей, от

авторитарной педагогики к личностно ориентированной, гуманистической. Обновилось содержание образования, появились вариативные программы,

различные технологии обучения. Обновление старшей ступени общего образования призвано сделать его более индивидуальным, функциональным и эффективным. В решении задач, поставленных перед школой, с одной стороны, учащимися и их родителями, а с другой – Правительством Российской Федерации, школа ориентируется на концепцию профильного образования.[25]

Факультативы в течение длительного времени являлись одним из важных компонентов учебного процесса, проведение которых способствовало расширению и углублению математических знаний школьников, а также развитию их способностей, интереса к предмету и т. д. В настоящее время согласно новой концепции математического образования, ориентированной на предпрофильную и профильную подготовку учащихся средней школы, в учебный план школ были включены наряду с факультативами элективные курсы. На современном этапе элективные курсы выступают как составная часть предпрофильной подготовки учащихся школ и в тоже время они являются обязательными курсами по выбору учащихся обучающихся на старшей ступени школы или в техникуме.

Обучение математике предполагает, во – первых, прочное овладение учащимися необходимым минимумом математических знаний, умений и навыков, во – вторых, развитие математического мышления учащихся, их кругозора. Решение второй задачи немыслимо без более детального изучения математики, в том числе и через элективные курсы.

Одним из основных направлений модернизации является дифференциация и индивидуализация обучения. Этой цели служит элективный курс.

Элективные занятия (от лат. Electus – избранный, то есть занятия по выбору) составляют компонент образовательного учреждения базисного учебного плана. Для элективных занятий не существует образовательных стандартов.

Элективные занятия давно зарекомендовали себя как отличный способ дать учащемуся дополнительные знания в интересующей его области. В чем особенность элективных занятий, и что общего у элективных занятий с курсами дополнительного образования? Элективные курсы выбирает учащийся. В процессе выбора элективных занятий учащийся и его семья встают перед необходимостью не только отбора «полезных» для них знаний, но и отказа от некоторого набора других. Это позволяет расширить территорию общения, что в настоящее время уже имеет самостоятельную ценность.

Элективные занятия – обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, которые выполняют две функции:

Поддержание изучения основных профильных предметов на заданном стандартом уровне;

Служение средством для внутрипрофильной специализации обучения и для построения индивидуальных образовательных траекторий.

Такие занятия не должны повторять программу базового среднего образования или так называемых профильных курсов. Схема обучения на элективных занятиях достаточно проста. Преподаватель предлагает учащимся выбрать несколько предметов, после чего подростки получают необходимый багаж знаний по интересным им направлениям. Например, учащийся может выбрать «Математическую статистику» или «Бизнес – английский».

Внедрение элективных занятий приобретает особое значение для обучения основополагающим дисциплинам, в частности, математике. Необходимо отметить, что в последние годы наметился разрыв между уровнем математических знаний выпускников школы и требованиями вузов. По словам профессора МФТИ, члена – корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева, это вызвано:

неумением студентов отличить то, что они понимают от того, что они не понимают;

неумением логически мыслить, отличая истинное рассуждение от ложного;

неумением вести диалог: понять вопрос преподавателя и ответить на него;

стереотипностью восприятия информации, снижением общего культурного уровня.

Выбирая методику проведения элективных занятий, необходимо вспомнить о богатом наследии древнегреческих философов. Основатель одной из известнейших школ того времени Сократ ввел в процесс обучения диалог – систему вопросов и ответов, направленных на то, чтобы приблизить ученика к истине. Сократическая беседа, получившая впоследствии название эвристической, заняла достойное место в системе современных методов, хотя ее потенциал используется современной педагогикой недостаточно.

Важно помнить, что применяемая методика обучения должна постепенно развивать у учащихся навыки организации умственного труда и самообразования. Так как программа элективных занятий чаще всего является авторской, ее усвоение потребует от ученика умения слушать и воспринимать материал, легко его конспектировать, а также использовать дополнительную литературу. С другой стороны, элективные занятия должны способствовать развитию навыков самостоятельной работы, поэтому особое внимание необходимо уделить организации исследовательской деятельности. С этой целью в программу должны быть включены различные практикумы:

групповая работа с научным текстом с последующим коллективным анализом для определения основных понятий, для выделения проблемы, постановки целей и задач исследования;

работа в библиотеке: подбор литературы по заданной теме с помощью каталогов;

работа в компьютерном классе, использование электронных энциклопедий и справочников, использование поисковых серверов Интернет для подбора информации;

публичные выступления по заданной проблеме.

Можно условно выделить следующие типы элективных занятий:

I. Предметные, задача которых – углубление и расширение знаний по предметам, входящих в базисный учебный план.

II. Межпредметные, цель которых – интеграция знаний учащихся о природе и обществе.

III. Элективные курсы по предметам, не входящим в базисный учебный план.

Элективные занятия, хотя и различаются целями и содержанием, но во всех случаях они должны соответствовать запросам учащихся, которые их выбирают.

Для самостоятельного творческого овладения знаниями следует формировать способность к открытиям нового в известном, содействовать превращению этой способности в инструмент человеческой деятельности во всех сферах жизни. В связи с этим процесс обучения необходимо все больше ориентировать на развитие способности к творческой и эвристической деятельности. Еще недавно основная цель обучения состояла в основном в освоении готовых знаний, обобщении результатов созданного предшествующими поколениями. Приобретение опыта творческой деятельности, развитие креативности личности не рассматривалось в качестве актуальной задачи. Настоящее время потребовало перехода именно к творческой доминанте, так как основная цель образования связывается с развитием личности и ее способности к активной деятельности.

При проведении элективных занятий можно использовать новые технические возможности, в частности, электронные учебные пособия. Это обусловлено меньшей наполняемостью групп и большей общностью интересов учащихся. В настоящее время имеется достаточно большое количество весьма качественных CD – дисков, создаются электронные библиотеки, разрабатывается методика использования электронных материалов, как на занятиях, так и в процессе самообразования.

Реализация элективных занятий в профильной подготовке предполагает использование следующих потенциальных возможностей повышения готовности учащихся к самообразовательной деятельности:

  1. Самостоятельное изучение основной и дополнительной учебной литературы, а также иных источников информации;

  2. Семинарами, дискуссиями, творческими встречами;

  3. Информационная поддержка образовательной деятельности учащегося с помощью учебных видеофильмов, электронных тестов, телекоммуникационных средств;

  4. Проведение творческих конкурсов, публичных защит проектов, эвристических контрольных работ;

  5. Социальные и профессиональные практики на адаптационных рабочих местах и другое.

Требования к занятиям: одно из важных требований – полнота. Элективные занятия в пределах конкретной образовательной территории должны быть представлены по всем имеющимся профилям.

Набор предлагаемых занятий должен носить вариативный характер, то
есть по каждому профилю их количество должно быть избыточным
для обеспечения реальной свободы выбора курсов учащимися. Содержание также должно быть привлекательным для учащихся. Это не значит, что курсы должны превращаться в шоу, но научный по содержанию
материал надо стремиться подать в интересной, занимательной форме
с включением оригинальных, важных и интересных для учащихся сведений. Занятия не должны быть длительными. Их продолжительность может варьироваться, но оптимальная находится в пределах 8 – 16 часов. Таким образом, создаются условия в организации учебного процесса, которые позволяли бы учащемуся менять «пакет курсов», по крайней мере, два раза за учебный год.

Содержание элективных занятий должно не только
включать информацию, расширяющую сведения по учебным
предметам, но и знакомить учащихся со способами деятельности,
связанными с обучением по программе того или иного профиля.

Учебные занятия в рамках курсов по выбору должны проводиться
преимущественно в активной форме.

Занятия должны быть предложены учащимся в конце учебного года, чтобы к следующему учебному году можно было дать
информацию для учащихся о предлагаемых им курсах и сформировать
муниципальную образовательную сеть.

Элективные курсы могут быть весьма разнообразными и выбираются исходя из конкретных условий. Программа элективных курсов должна соответствовать ряду требований. В педагогической науке есть теория написания программ. Но никакой учебник не научит структурировать материал, связывать все необходимые структурные элементы программы в строгой логической последовательности. Это – результат многолетнего опыта и серьезных умственных усилий. Программа не может и не должна быть просто отпиской, бумажкой. Составление программы – серьезная научная работа. С помощью программы преподаватель повышает уровень обобщенности знаний, совершенствует мышление.

Программа выполняет важные функции в учебном процессе. Первая функция – это функция планирования. Программа показывает пути достижения запланированных результатов в пределах конкретно определенного временного промежутка. Вторая функция – это функция контроля. Программа раскрывает средства контроля достижения результатов. Третья функция – научная. Программа способствует переводу научных знаний в плоскость усвоения их учащимися, делает научные знания предметом образования. Причем в основе программы может быть не только теоретическое обобщение научных знаний, но и эмпирическое обобщение, и обобщение опыта практической деятельности.

Разработаны основные требования к программам элективных курсов. Программа курса по выбору должна соответствовать концепции профильного обучения. То есть, в рамках каждого курса мы должны учить учащихся объективно оценивать свои способности к обучению по определенному профилю, осуществлять выбор профиля соответственно своим способностям и интересам, прикладывать усилия для получения качественного образования.

В разработке программы, автор должен для себя четко уяснить, какого вида его программа. Она может быть представлена в пассивном или активном виде. Программа пассивного вида нацелена на передачу учащимся дополнительной информации и на овладение этой информацией. Активная программа призвана вооружить учащегося определенными умениями, деятельностными навыками. Один и тот же курс занятий можно подавать как в активном, так и в пассивном виде. Определение вида программы – необходимое предварительной условие ее составления.

Организация учебной работы (форма занятий, виды деятельности учащихся).

Формы занятий и виды деятельности учащихся подробно расписываются в учебно – тематическом плане. То есть надо показать, как специфика выбранной темы и способ разворачивания содержания в рамках данной темы влияют на выбор форм обучения.

Ожидаемые результаты. Надо указать, к каким деятельностным, ценностным, профориентационным и результатам в знаниях стремитесь вы вместе с учащимися в рамках вашего курса.

Формы контроля (текущего и итогового), критерии успешного освоения материала. Собственно, главной общей целью любого курса по выбору является подготовка учащихся к обоснованному выбору профиля обучения и углубление знаний по определенным предметам профильной ориентации. Поэтому формы контроля могут быть самыми разнообразными. Курсы по выбору могут завершаться как экзаменационными испытаниями, так и защитой выполненного проектного или исследовательского задания. Текущий и итоговый результат может быть подтвержден рейтинговой оценкой или выполнением тестовых заданий, волонтерством и социальной практикой.

В учебном плане материал курса распределяется по модулям. Определяется количество часов на освоение каждого блока и формы контроля.

В учебно – тематическом плане раскрывается содержание каждого блока по темам с указанием количества часов, форм учебных занятий и видов деятельности учащихся.

Краткие методические указания к проведению занятий. Даются методические указания к проведению отдельных занятий, приводятся задания для самостоятельной работы учащихся, раскрываются формы контроля знаний учащихся.

Элективные курсы в системе СПО, когда учащиеся уже определились с профилем и приступили к обучению по конкретному профилю, должны быть более систематичными (раз или два раза в неделю), более долгосрочными.

Элективные курсы выполняют три основных функции:

1) надстройки профильного учебного предмета, превращающей его в полной мере в углубленный;

2) развития содержания одного из базовых учебных предметов, изучение которого осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет поддерживать изучение смежных учебных предметов на профильном уровне или получить дополнительную подготовку по выбранному предмету на профильном уровне;

3) удовлетворение познавательных интересов в различных областях деятельности человека.

Так как элективные курсы выбираются самими учащимися, они должны соответствовать их потребностям, целям обучения и мотивам выбора курса.

2.3 Тематическое планирование элективного курса

Пояснительная записка.

Тема «Вычисление конечных и бесконечных сумм» изучается в течение 16 часов и имеет основной целью познакомить учащихся с понятиями числовой последовательности, арифметической и геометрической прогрессий, с формулами n-го члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий, а также перейти к понятию ряда и его суммировании. Материал, содержащийся в данном элективном курсе, тесно связан с программным материалом, углубляет его и позволяет помочь учащимся научиться уверенно решать как стандартные, так и нестандартные задачи.

Элективный курс "Методы вычисления конечных и бесконечных сумм" предназначен как для учащихся, проявляющих интерес к изучению математики, так и для учащихся, желающих повысить свой уровень математической подготовки.

На изучение данного элективного курса отводится 16 часов. Курс предназначен для учащихся техникумов и училищ с математическим уклоном.

Цели элективного курса:

  1. Создание целостного представления о различных видах числовых последовательностей.

  2. Овладение навыками применения теоретических положений данной темы для решения задач прикладного характера.

Основные задачи курса:

  • повторить основные понятия и формулы по теме «Прогрессии»;

  • добиться эффективности применения знаний по теме «Прогрессии» в решении задач повышенного уровня сложности, задач олимпиадного характера и геометрических задач;

  • овладеть элементами исследовательской работы;

  • научиться находить конечные и бесконечные суммы.

Занятия могут быть организованы в виде семинаров и практикумов по решению задач. Ведущими являются групповые, индивидуальные формы работы. При направляющей роли учителя ученики могут самостоятельно выдвинуть гипотезу решения задания, провести анализ данных и определить пути решения. Всё должно располагать к самостоятельной деятельности и повышать интерес к изучению предмета.

Освоение элективного курса заканчивается итоговой проверочной работой.

Задания, предлагаемые в данном элективном курсе, интересны и оригинальны в решении. Это влияет на повышение учебной мотивации учащихся и помогает им проверить свои способности к математике. Вместе с тем в курсе заложена возможность дифференцированного обучения, что позволяет различным группам учеников решать сложные математические задачи просто, красиво и понятно.

Календарно-тематическое планирование элективного курса

занятия

Тема

Количество часов

1.

Вводное занятие. Прогрессии в задачах с древнейших времен до наших дней

1

2.

Решение нестандартных задач по теме «Прогрессии»

1

3.

Применение метода математической индукции при вычислении конечных сумм

1

4.

Методы вычисления тригонометрических сумм

1

5.

Применение комплексных чисел при вычислении конечных сумм

1

6.

Понятие ряда и его суммы. Сходящиеся и расходящиеся ряды.

2

7.

Вычисление бесконечных сумм по определению

2

8.

Абсолютно и условно сходящиеся

Ряды

1

9.

Использование функциональных рядов при вычислении бесконечных сумм

2

10

Вычисление бесконечных сумм с помощью определенного интеграла

1

11

Понятие о суммировании расходящихся рядов

2

12

Итоговое занятие

1


Содержание курса

Тема 1. Вводное занятие. Прогрессии в задачах с древнейших времен до наших дней.

На этом занятии учащимся сообщаются цель, задачи элективного курса, требования к итоговому отчету и итоговой аттестации. Проводится вводная диагностика школьников по выявлению их степени подготовленности к изучению курса (с последующим обсуждением результатов диагностики), повторяются и систематизируются знания учащихся об арифметической и геометрической прогрессиях, рассматриваются задачи, дошедшие до нас с древнейших времен. Именно данный материал позволяет повысить мотивацию учащихся с низким и средним уровнями способностей к изучению математики.

Тема 2. Решение нестандартных задач по теме «Прогрессии».

Данная тема посвящена рассмотрению коллекции нестандартных задач на прогрессии и определению основных подходов к решению задач повышенной трудности и задач олимпиадного характера.

Тема 3. Применение метода математической индукции при вычислении конечных сумм.

Изложение сути метода математической индукции; запись алгоритма. Решение заданий по алгоритму. На занятиях демонстрируется рациональность использования теоретического материала темы для решения определенного круга математических задач.

Тема 4. Методы вычисления тригонометрических сумм.

Понятие тригонометрических сумм. Разбор интересных задач и многообразие их решений. Доказательство теорем сложения для тригонометрических функций.

Тема 5. Применение комплексных чисел при вычислении конечных сумм.

Запись комплексных чисел, их применение. Разбор примеров, иллюстрирующих применение комплексных чисел при вычислении конечных сумм.

Тема 6. Понятие ряда и его суммы. Сходящиеся и расходящиеся ряды.

Бесконечные суммы. Ряд и его запись. Суммируемость ряда. Частичная сумма ряда. Положительные, строго положительные, отрицательные и строго отрицательные ряды. Понятие сходимости и расходимости. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование функций на сходимость. Достаточные признаки сходимости рядов.

Тема 7. Вычисление бесконечных сумм по определению.

Разбор заданий по теме. В параграфе 2.2. предложены и решены задания, которые обязательно нужно продемонстрировать учащимся.

Тема 8. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Понятия абсолютно и условно сходящихся рядов, их сходство и различия. Определение абсолютной и условной сходимости рядов, начиная с простых примеров, продолжая более сложными.

Тема 9. Использование функциональных рядов при вычислении бесконечных сумм.

Понятие функционального ряда, функциональной последовательности и их сходимости. Применение изученного на примерах. Равномерная и поточечная сходимость ряда.

Тема 10. Вычисление бесконечных сумм с помощью определенного интеграла.

Понятие и свойства определенного интеграла. Использование интегральной суммы при вычислении определенного интеграла.

Тема 11. Понятие о суммировании расходящихся рядов.

Методы суммирования расходящихся рядов и применение их на практике. Задания сначала выполняет и оформляет учитель, а учащиеся решают самостоятельно уже по образцу.

Тема 12. Итоговое занятие.

Учащимся для проверки усвоения знаний предлагается проверочная работа.

В результате изучения данного элективного курса учащиеся должны знать:

  • понятие арифметической и геометрической прогрессии;

  • формулы n-ого члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий;

  • методы решения задач на прогрессии;

  • теоретические основы и практические приложения темы ряды

уметь:

  • применять полученные знания и умения при решении заданий олимпиадного характера, задач геометрической и практической направленности;

  • моделировать явления и процессы, самостоятельно составлять задания по аналогии с решенными;

  • формулировать и доказывать основные результаты дисциплины



















Заключение

В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

1. Помимо того, что вычисление конечных и бесконечных сумм применимо во многих разделах математики в целом, при его изучении укрепляются внутрипредметные и межпредметные связи, что является одним из условий повышения эффективности учебного процесса и совершенствования качества знаний учащихся.

2. Приведённый набор задач содействует более полному пониманию основных понятий и теорем и подводит учащихся к осознанию факта огромной значимости суммирования «бесконечности» в различных областях науки и техники, а также деятельности человека.

3. Разработанный элективный курс "Методы вычисления конечных и бесконечных сумм" доступен учащимся техникумов, проявляющим интерес к математике, позволяет повторить, систематизировать, углубить и расширить знания учащихся по математическому анализу; способствует установлению взаимосвязи между отдельными содержательно-методическими линиями курса математики.

4. Предложенная тематика элективного курса "Методы вычисления конечных и бесконечных сумм" ориентирует учащихся на самостоятельное расширение и углубление их знаний, учит сопоставлять новые факты с ранее изученным материалом и искать возможные применения новых знаний.

5. Изучение дополнительных разделов математики развивает стремление учащихся продолжить своё образование.





Список используемых источников

1. Босс В. Интуиция и математика. -М.: Ленанд, 2015. - 224с.

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – СПб.: Профессия, 2007. – 432с.

3. Бурбаки Н. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики/ И.Г. Башмакова /пер. с фр. – М.: Издательство иностранной литературы, 1963. – 37-53с. – 292с.

4. Виленкин Н.Я. В поисках бесконечности. – М.: Наука, 1983. – 5-93с.

5. Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1976. – 48с.

6. Гордон Е.И., Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Инфинитезимальный анализ: избранные темы. — М.: Наука, 2011. — 398 с.

7. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики / пер. с фр. А. А. Брядинской под редакцией И. Г. Башмаковой. — М.: Мир, 1986. — С. 394—402. — 432 с.

8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., Данко С.П. Высшая математика в упражнениях и задачах, / П.Е.Данко и др.– М.: АСТ: Мир и образование, 2014 – 816 с.

9. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: Учебное пособие для втузов / Б.П.Демидович и др.– М.: АСТ: Астрель, 2007 – 495с.

10. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие для вузов.– М.: ООО «Издательство АСТ», 2004 – 558с.

11. Ефимов А.В., Каракулин А.Ф., Коган С.М., Поспелов А.С. Шостак Р.Я. Учебное пособие для втузов – 4-е изд. Перераб и доп. – М.:Издательство Физико-математической литературы, 2004. – 144-146с.

12. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика: решебник / Под ред. А.И. Кириллова. – М.: Физматлит, 2005. - 368 с.

13. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1. – М.: Физматлит, 2008. – 648 с.

14. Катасонов В. Н. Бесконечность // Новая философская энциклопедия. — 2-е изд., испр. и допол. — М.: Мысль, 2010. Т. 1. — 216 с.

15. Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — 446 с.

16. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М.: Дрофа, 2003. Т.1. – 473с.

17. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Краткий курс математического анализа. Т.1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды. Учебник. – М.: Физматлит, 2010. – 400 с.

18. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа в 3-х томах. Учебник для бакалавров. Т.1 – М.: Издательство Юрайт, 2014. 703 с.

19. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента. – М.: УРСС, 1998. – 100с.

20. Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.Т. 1. – 358с.

21. Новоселов С.И. Специальный курс тригонометрии. – М.: Издание пятое - Высшая школа, 1967. 129-135с. – 136-137с.

22. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. Т.2. – 257с. – 259с. – 282с.

23. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа в 2-х частях, ч. 1 – М.: Лань, 2005. 464 с.


24. Харди Г. Расходящиеся ряды. – М.: Издательство иностранной литературы, 1951 – 14с.

25. Элективные курсы в профильном обучении./под ред. Каспржака А.Г. – М.: Вита-Пресс. – 2004. – 5-21с.

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 04.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров57
Номер материала ДБ-237421
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх