Методические материалы для проведения школьного этапа олимпиады по математике.

Ответы к заданиям

І (школьного) этапа всероссийской олимпиады школьников

по МАТЕМАТИКЕ

10 класс

1. Ответ:

2. Ответ: 828 см², 575 см².

Указание. S₁+S₂=1403, S₁/S₂=(6/5)².

3. Ответ: 9.

Указание. Пусть а₁=26 – первый член арифметической прогрессии, d = -2 – разность этой прогрессии, n – количество членов. Тогда используя формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии и учитывая условие задачи, получим S_n + 40 =. После упрощения получается квадратное уравнение 9n²-41n-360=0, где n₁ = , n₂ = 9. условию задачи удовлетворяет 9.

4. Ответ: (1; 3), (3; 1).

Указание. Ввести новые переменные х + у = u, ху = v.

5. Ответ: 20 различных маршрутов.

Решение. Как бы ни ползла муха, она должна сделать всего 6 шагов: три шага вправо (П) и три шага вниз (Н). Маршрут мухи можно записать в виде последовательности 6 букв. Например, ПППННН. Таким образом, вопрос сводится к тому, сколько существует способов расставить буквы П в последовательности шести букв, т.е. .

Ответы к заданиям

І (школьного) этапа всероссийской олимпиады школьников

по МАТЕМАТИКЕ

11 класс

1. Ответ: .

Указание. Используя формулу преобразования произведения в сумму и приведя подобные слагаемые, получим уравнение . Откуда . Решение уравнения (2) входит в решение уравнения (1).

2. Ответ: 3ав/4.

Указание. Проведем через С прямую СМ, параллельную АК Из условия следует, что АМ=МВ=МС. Значит, М – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Таким образом, АСВ = 90^о. Кроме того, треугольник АКС равен треугольнику АМС, а его площадь равна половине площади треугольника АСВ, т.е., площадь трапеции АВСК составляет 3/2 площади треугольника АВС.

3. Ответ: существуют.

Указание. Положим а +=m, =n, где m и n - целые числа. Тогда Если , то равенство невозможно, поскольку в этом случае оказывается рациональным числом. Следовательно, . Таким образом, данные числа являются целыми лишь при .

4. По условию ОА=ОВ=ОС, Пусть ВАС=, тогда ОВС = 90^о(ОВС+ОСВ) = 1/2(180^о-ВАС-ОВА-ОАС)=90^о-1/2(ВАО+ОВА)-1/2(ОАС+ОСА)=90-. ПоэтомуКЕА=. Отсюда следует, что КЕАD. Аналогично, КDАЕ, значит, АDКЕ – параллелограмм.

5. Ответ: 126 различных маршрутов.

Указание. См. решение аналогичной задачи за 10 класс.

Критерии проверки

Ответы к заданиям

І (школьного) этапа всероссийской олимпиады школьников

по МАТЕМАТИКЕ

8 класс

1. Ответ: -1,6

2. Ответ: .

3. Указание. Построить график функции

Возможно .

4. Ответ: 9 см.

5. Ответ: придется, т.к. сумма цифр на одном листе всегда четна, вырванных листов – четное число, и сумма будет четна.

Ответы к заданиям

І (школьного) этапа всероссийской олимпиады школьников

по МАТЕМАТИКЕ

9 класс

1. За каждый обоснованный ответ – 1 балл.

2. Ответ: а = 4, b = -8, с = 2.

3. Ответ: а² + 4; 5, 21.

4. Ответ: 60^о, 30^о, 90^о.

Решение. Прямая, проходящая через середины катетов, делит высоту СН пополам, поэтому искомая точка РМК, где М и К – середины катета и гипотенузы соответственно, т.е. МК – средняя линия треугольника АВС.

Тогда МКВС, следовательно, Р=ВСН (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых), следовательно, ВСН=КРН (СНВ=РНК=90^о, СН=РН – по стороне и острому углу), следовательно, ВН=КН, СК=СВ=а (в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой). Но СК – медиана прямоугольного треугольника АВС, поэтому СК=ВК, следовательно, ВСК – равносторонний, значит, В=60^о.

5. Ответ: 1996.

Решение. Первая цифра числа может быть любой из четырех (2, 4, 6, 8), вторая и третья – любой из десяти каждая, а четвертая, если отказаться от условия «не делящихся на 1000», любой из пяти (0, 2, 4, 6, 8). Следовательно, четырехзначных чисел, в записи которых первая и последняя цифры четны, всего имеется =2000. Так как среди них четыре числа (2000, 4000, 6000, 8000) делятся на 1000, то чисел удовлетворяющих условию задачи, окажется 2000-4=1996.

Задания І (школьного) этапа Всероссийской олимпиады школьников

по МАТЕМАТИКЕ

10 класс

2015 года

Уважаемый участник олимпиады! Внимательно познакомьтесь с каждым заданием. В скобках указано максимальное количество баллов за выполнение каждого задания. Желаем успеха!

1. Решите неравенство . (7 баллов)

2. Сумма площадей двух подобных многоугольников равна 1403 см². Соответственные стороны этих многоугольников относятся между собой, как 6:5. Определите площади каждого многоугольника. (7 баллов)

3. За изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 26 рублей, а за каждое следующее кольцо платили на 2 рубля меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы было уплачено еще 40 рублей. Средняя стоимость изготовления и установки одного кольца оказалась равной рубля. Сколько колец было установлено? (7 баллов)

4. Решите систему уравнений(7 баллов)

5. Муха ползет по решетке размером 3х3 из точки А в точку В (см. рисунок), двигаясь все время вправо или вниз. Сколько различных маршрутов может выбрать муха? (7 баллов)

А

В

Задания І (школьного) этапа Всероссийской олимпиады школьников

по МАТЕМАТИКЕ

10 класс

2015 года

Уважаемый участник олимпиады! Внимательно познакомьтесь с каждым заданием. В скобках указано максимальное количество баллов за выполнение каждого задания. Желаем успеха!

5. Решите неравенство . (7 баллов)

6. Сумма площадей двух подобных многоугольников равна 1403 см². Соответственные стороны этих многоугольников относятся между собой, как 6:5. Определите площади каждого многоугольника. (7 баллов)

7. За изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 26 рублей, а за каждое следующее кольцо платили на 2 рубля меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы было уплачено еще 40 рублей. Средняя стоимость изготовления и установки одного кольца оказалась равной рубля. Сколько колец было установлено? (7 баллов)

8. Решите систему уравнений(7 баллов)

5. Муха ползет по решетке размером 3х3 из точки А в точку В (см. рисунок), двигаясь все время вправо или вниз. Сколько различных маршрутов может выбрать муха? (7 баллов)

А

В

Задания І (школьного) этапа Всероссийской олимпиады

школьников

по МАТЕМАТИКЕ

11 класс

2015 год

Уважаемые участники олимпиады! Внимательно познакомьтесь с каждым заданием. В скобках указано максимальное количество баллов за выполнение каждого задания. Желаем успеха!

1. Решите уравнение .(7 баллов)

2. Основание АВ трапеции АВСК вдвое длиннее боковой стороны АК, АК = КС. Диагональ АС равна а, боковая сторона ВС равна с. Найдите площадь трапеции. (7 баллов)

3. Существует ли хотя бы одно а, при котором числа а + и целые? (7 баллов)

4. В остроугольном треугольнике АВС через центр О описанной окружности и вершины В и С проведена окружность S. Пусть ОК – диаметр окружности S, D и Е – соответственно точки ее пересечения с прямыми АВ и АС. Докажите, что АDЕК – параллелограмм. (7 баллов)

5. Муха ползет по решетке размером 4х5 из точки А в точку В (см. рисунок), двигаясь все время вправо или вниз. Сколько различных маршрутов может выбрать муха. (7 баллов)

А

В

Задания І (школьного) этапа Всероссийской олимпиады

школьников

по МАТЕМАТИКЕ

11 класс

2015 год

Уважаемые участники олимпиады! Внимательно познакомьтесь с каждым заданием. В скобках указано максимальное количество баллов за выполнение каждого задания. Желаем успеха!

1. Решите уравнение .(7 баллов)

2. Основание АВ трапеции АВСК вдвое длиннее боковой стороны АК, АК = КС. Диагональ АС равна а, боковая сторона ВС равна с. Найдите площадь трапеции. (7 баллов)

3. Существует ли хотя бы одно а, при котором числа а + и целые? (7 баллов)

4. В остроугольном треугольнике АВС через центр О описанной окружности и вершины В и С проведена окружность S. Пусть ОК – диаметр окружности S, D и Е – соответственно точки ее пересечения с прямыми АВ и АС. Докажите, что АDЕК – параллелограмм. (7 баллов)

5. Муха ползет по решетке размером 4х5 из точки А в точку В (см. рисунок), двигаясь все время вправо или вниз. Сколько различных маршрутов может выбрать муха. (7 баллов)

А

В

Задания І (школьного) этапа Всероссийской олимпиады школьников
по МАТЕМАТИКЕ

5 класс

2015 год

Уважаемый участник олимпиады! Максимальное количество баллов за выполнение каждого задания- 7 баллов. Желаем успеха!

Задания І (школьного) этапа Всероссийской олимпиады школьников
по МАТЕМАТИКЕ

5 класс

2015 год

Уважаемый участник олимпиады! Максимальное количество баллов за выполнение каждого задания- 7 баллов. Желаем успеха!

Задания І (школьного) этапа Всероссийской олимпиады школьников
по МАТЕМАТИКЕ
6 класс
2015 год
Уважаемый участник олимпиады! Максимальное количество баллов за выполнение каждого задания- 7 баллов. Желаем успеха!

Задания І (школьного) этапа Всероссийской олимпиады школьников
по МАТЕМАТИКЕ
6 класс
2015 год
Уважаемый участник олимпиады! Максимальное количество баллов за выполнение каждого задания- 7 баллов. Желаем успеха!

Задания І (школьного) этапа Всероссийской олимпиады школьников
по МАТЕМАТИКЕ

7 класс

2015 год

Уважаемый участник олимпиады! Максимальное количество баллов за выполнение каждого задания- 7 баллов. Желаем успеха!

Задания І (школьного) этапа Всероссийской олимпиады школьников
по МАТЕМАТИКЕ

7 класс

2015 год

Уважаемый участник олимпиады! Максимальное количество баллов за выполнение каждого задания- 7 баллов. Желаем успеха!

Задания І (школьного) этапа всероссийской олимпиады школьников

по МАТЕМАТИКЕ

8 класс

2015 год

Уважаемый участник олимпиады! Внимательно познакомьтесь с каждым заданием. В скобках указано максимальное количество баллов за выполнение каждого задания. Желаем успеха!

1. Решите систему неравенств:
   (7 баллов)

2. Разложите на множители выражение . (7 баллов)

3. Постройте график функции .

(7 баллов)

4. В треугольнике МНР проведена высота НК, равная 23 см, и перпендикуляр к стороне НР через ее середину. Точка их пересечения находится на расстоянии 14 см от вершины Р. На каком расстоянии находится эта точка от стороны МР?.
   (7 баллов)

5. Примерный ученик Саша купил тетрадь 48 листов и пронумеровал страницы от 1 до 192. Хулиган Вася вырвал из тетради какие-то 25 листов. Саша предложил ему поиграть в такую игру: Вася вырывает еще один любой лист из тетради, они складывают номера страниц на этих листах, и если получится четный результат, то Вася покупает ему новую тетрадь, а если нечетный, то Саша решает за него контрольную по математике. Придется ли Васе покупать Саше тетрадь?
   (7 баллов)

Задания І (школьного) этапа всероссийской олимпиады школьников

по МАТЕМАТИКЕ

8 класс

2015 год

Уважаемый участник олимпиады! Внимательно познакомьтесь с каждым заданием. В скобках указано максимальное количество баллов за выполнение каждого задания. Желаем успеха!

1. Решите систему неравенств:
   (7 баллов)

2. Разложите на множители выражение . (7 баллов)

3. Постройте график функции .

(7 баллов)

4. В треугольнике МНР проведена высота НК, равная 23 см, и перпендикуляр к стороне НР через ее середину. Точка их пересечения находится на расстоянии 14 см от вершины Р. На каком расстоянии находится эта точка от стороны МР?.
   (7 баллов)

5. Примерный ученик Саша купил тетрадь 48 листов и пронумеровал страницы от 1 до 192. Хулиган Вася вырвал из тетради какие-то 25 листов. Саша предложил ему поиграть в такую игру: Вася вырывает еще один любой лист из тетради, они складывают номера страниц на этих листах, и если получится четный результат, то Вася покупает ему новую тетрадь, а если нечетный, то Саша решает за него контрольную по математике. Придется ли Васе покупать Саше тетрадь?
   (7 баллов)

Задания І (школьного) этапа Всероссийской олимпиады школьников

по МАТЕМАТИКЕ

9 класс

2015 год

Уважаемый участник олимпиады! Внимательно познакомьтесь с каждым заданием. В скобках указано максимальное количество баллов за выполнение каждого задания. Желаем успеха!

1. В числе 47589667* напишите последнюю цифру такую, чтобы число делилось на 2, 5, 3, 9, 4, 25, 11. Ответы обоснуйте.
   (7 баллов)

2. Найдите значения коэффициентов а, b и с , если известно, что точка А(1; -2) является вершиной параболы у = ах² + bх + с и что парабола пересекает ось ординат в точке В(0; 2). (7 баллов)

3. Упростите выражение и найдите его значение при а = -1,1. (7 баллов)

4. Найдите углы прямоугольного треугольника, если известно, что точка, симметричная вершине прямого угла относительно гипотенузы, лежит на прямой, проходящей через середины двух сторон треугольника. (7 баллов)

5. Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 100, у которых первая и последняя цифры четны? (7 баллов)

Задания І (школьного) этапа Всероссийской олимпиады школьников

по МАТЕМАТИКЕ

9 класс

2015 год

Уважаемый участник олимпиады! Внимательно познакомьтесь с каждым заданием. В скобках указано максимальное количество баллов за выполнение каждого задания. Желаем успеха!

1. В числе 47589667* напишите последнюю цифру такую, чтобы число делилось на 2, 5, 3, 9, 4, 25, 11. Ответы обоснуйте.
   (7 баллов)

2. Найдите значения коэффициентов а, b и с , если известно, что точка А(1; -2) является вершиной параболы у = ах² + bх + с и что парабола пересекает ось ординат в точке В(0; 2). (7 баллов)

3. Упростите выражение и найдите его значение при а = -1,1. (7 баллов)

4. Найдите углы прямоугольного треугольника, если известно, что точка, симметричная вершине прямого угла относительно гипотенузы, лежит на прямой, проходящей через середины двух сторон треугольника. (7 баллов)

5. Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 100, у которых первая и последняя цифры четны? (7 баллов)

Краткое описание документа:

Материалы содержат задания 5-11 классы и ключи для проверки. После того, как прошли школьный и муниципальный туры олимпиады по математике, считаю полезным опубликовать методические материалы для проведения школьного этапа олимпиады по математике. Участники этого тура могут разобраться в ошибках, а те. у кого всё впереди, могут начать готовиться уже сейчас!