Методические материалы по алгебре и началам анализа 11 класс

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ 11 КЛАССА

учебник «Алгебра – 11кл»

авторы: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева , Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин

Вариант 1. Тестовой работы

1.Найдите сумму корней уравнения    х³ +2х² -9х –18 = 0.

       1) -2                            2) -8                        3) 2                    4) 8

2. Найдите сумму корней уравнения   . 

       1) 1,5                    2) 8                  3) 8,5                4) 6,5

3. Решите уравнение   .

   1) 4                           2) 12                      3) 2                            4) 8  

4. Найдите сумму корней уравнения   . 

       1) 1                     2) 3                         3) 5                        4) 6

5. Решите уравнение   .2

6. Сколько корней имеет уравнение:  х⁴+9х²+4=0.

   1) 2                        2) ни одного                3) 4                      4) 1

7. Решите уравнение   .

   1) 1                           2) 2                      3) 3                            4) 8  

8. Найдите сумму корней уравнения   .

1)                             2)                             3) 15                          4)

9. Решите уравнение   .

   1) 100                           2) 1                      3) 0,1                            4) 10  

10. Решите уравнение   .1

11. Сколько корней имеет уравнение     

   1) 4                        2) 2                     3) 1                           4) ни одного  

12.  Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения     

   1) (-;0)                    2) (0; 5)                 3) (5; 50)               4) (50;100).

13. Решите уравнение   .

   1)                  2)                 3) 3                       4)    

14. Найдите сумму корней уравнения   . 

       1) -1,25                     2) -3,25                         3) -1                        4) 1

15. Сколько целых корней имеет уравнение            ?

   1) 4                        2) 2                     3) 1                           4) ни одного  

Глава I «Тригонометрические функции» содержат материал, который поможет учащимся глубже понять применение математических методов в задачах физики и геометрии.

Основная цель — изучение свойств тригонометрических функций; обучение построению графиков тригонометрических функций. К свойствам функции, известным учащимся в связи с изучением тригонометрических функций, добавляется свойство периодичности, оно позволяет строить графики тригонометрических функций в два этапа: сначала на отрезке (или интервале), равном по длине периоду функции, а затем — на всей числовой прямой. Свойства каждой конкретной тригонометрической функции формулируются с опорой на графическую иллюстрацию. Обязательным является навык построения графиков тригонометрических функций, полученных в результате сдвигов и сжатий (растяжений) вдоль координатных осей. Особое внимание уделяется решению тригонометрических неравенств и свойства обратных тригонометрических функций.

Контрольная работа № 1.

1. Построить график функции  и найти ее промежутки убывания. 2. С помощью графика функции выяснить, сколько корней имеет уравнение . 3. Доказать, что функция  периодическая с наименьшим положительным периодом   и найдите ее область определения. 4. Выяснить, является ли функция  четной или нечетной, и найти множество её значений. 5. Построить график функции .

1. Построить график функции  и найти ее промежутки возрастания. 2. С помощью графика функции выяснить, сколько корней имеет уравнение . 3. Доказать, что функция  периодическая с наименьшим положительным периодом  и найдите ее область определения. 4. Выяснить, является ли функция  четной или нечетной, и найти множество её значений. 5. Построить график функции .

Вторая глава «Производная и её геометрический смысл». Содержание разделов курса, составляющих начала математического анализа, трудно для изучения в средней школе. Поэтому их изложение ведется на наглядно-интуитивном уровне: многие формулы не доказываются, а только поясняются или принимаются без доказательств.

Основная цель — формирование понятия производной; обучение нахождению производных с использованием формул и правил дифференцирования; формирование начальных умений в применении методов дифференциального исчисления к решению практических задач.

Понятие производной функции первоначально рассматривается как мгновенная скорость движения материальной точки, затем вводится общее определение производной через предел разностного отношения. Закреплению понятия производной способствует вывод производных отдельных функций «по определению» и отрабатывается навык нахождения производной сложной функции. Усвоение геометрического смысла производной и написание уравнения касательной к графику функции в заданной точке является обязательным для всех учащихся.

В результате изучения II главы все учащиеся должны знать определение производной, основные правила дифференцирования и формулы производных элементарных функций, приведенные в учебнике; понимать геометрический смысл производной; уметь записывать уравнение касательной к графику функции в заданной точке, решать упражнения типа 104—110, 94.

Иметь представление о пределе последовательности, пределе и непрерывности функции и уметь решать упражнения типа 119—121, 116—118, 128.

Контрольная работа № 2.

№1. Найти производную функции:                         №1. Найти производную функции:

                                      

№2. Найти значение производной функции  в точке : 

                                           

№3. Записать уравнение касательной к графику функции  в точке :    

                                    

№4. Найти значения х, при которых значения производной функции

положительны;                              отрицательны.

№5. Найти точки графика функции y = f (x), в которых касательная к нему имеет заданный угловой коэффициент k, если

                                            

№6. Найти все значения а, при которых неравенство f ′ (x) > 0  не имеет действительных решений, если                                        

№6. Найти все значения а, при которых неравенство f ′ (x) < 0  не имеет действительных решений, если

Третья глава «Применение производной к исследованию функций».

Основная цель — является демонстрация возможностей производной в исследовании свойств функций и построении их графиков и  применение производной к решению прикладных задач на оптимизацию.

С помощью теоремы Лагранжа обосновывается достаточное условие возрастания и убывания функции. Вводятся понятия критических и стационарных точек. Должное внимание уделяется теореме Ферма и ее геометрическому смыслу, а также достаточному условию экстремума. Рассматривается построение графиков функций, не являющихся непрерывными на всей области определения. Вводится  понятие асимптоты, производной второго порядка и ее приложение к выявлению интервалов выпуклости функции. Предполагается  знакомство с различными прикладными программами, позволяющими построить график функции и исследовать его с помощью компьютера. Содержание прикладного аспекта в нахождении наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке или интервале (при решении геометрических и физических задач) соответствует целям  обучения в профильном классе.

В результате изучения главы все учащиеся должны знать, какие свойства функции выявляются с помощью производной; уметь строить графики функций в упражнениях типа 57, 58, решать задачи нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции типа 59, 60, 67, 68, 71.

Контрольная работа №3.

№1. Установить, при каких значениях параметра а функция

 убывает на всей области определения.

возрастает на всей области определения.

№2.  Найти асимптоты графика функции:

.                                                         

№3. Построить график функции:                           №3. Построить график функции:

.                                                        

№4 .

Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около цилиндра с высотой h..

Найти высоту правильной четырехугольной призмы наибольшего объема, вписанной в конус с высотой H. 

№5. Построить на отрезке [−π; π] график функции:

.                                                     .

Четвертая глава  «Первообразная и интеграл».

Основная цель — ознакомление учащихся с понятием первообразной и обучение нахождению площадей криволинейных трапеций.

Понятие первообразной вводится после рассмотрения физической задачи о нахождении закона движения точки по заданной скорости. Рассматриваются первообразные конкретных функций и правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции определяется как предел интегральных сумм. Большое внимание  уделяется  приложениям интегрального исчисления к физическим и геометрическим задачам. Планируется знакомство с простейшими дифференциальными уравнениями.

В результате изучения главы все учащиеся должны знать правила нахождения первообразных основных элементарных функций, формулу Ньютона — Лейбница и уметь их применять к вычислению площадей криволинейных трапеций при решении задач типа 39, 40 (1, 2), 41 и из рубрики «Проверь себя!». Уметь решать задачи типа 40, 44, 45 (1, 2).

Контрольная работа №4.

№1. Найти первообразную для функции  если №2. Тело движется прямолинейно со скоростью Вычислить путь, пройденный телом за промежуток времени от t = 1 до t = 3. №3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями №4. Вычислить интеграл

№1. Найти первообразную для функции  если №2. Тело движется прямолинейно со скоростью Вычислить путь, пройденный телом за промежуток времени от t = 2 до t = 5. №3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями №4. Вычислить интеграл

Глава V «Комбинаторика».  В них изучаются основные формулы комбинаторики, применение знаний при выводе формул алгебры, вероятность и статистическая частота наступления события. Тема не насыщена теоретическими сведениями и доказательствами, она имеет прежде всего общекультурное и общеобразовательное значение.

Основная цель — ознакомление с основными формулами комбинаторики и их применением при решении задач; формирование элементов комбинаторного мышления, формирование умения находить вероятность случайных событий в простейших случаях, используя классическое определение вероятности и применяя при необходимости формулы комбинаторики.

Основой при выводе формул числа перестановок и размещений является правило умножения, понимание которого формируется при решении различных прикладных задач. Свойства числа сочетаний доказываются и затем применяются при организации и исследовании треугольника Паскаля.

В результате изучения главы V все учащиеся должны уметь решать упражнения типа 15, 21, 24, 37, 49, 53, 69.

Контрольная работа №5.

№1. Найти №2. Сколькими способами из числа 15 учащихся класса можно выбрать культорга и казначея? №3. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7 таким образом, чтобы все цифры в числах были различны? №4. Сколько существует различных кодов, состоящих из двузначного числа, цифры которого выбираются из цифр 1, 2, 3, и следующего за ним трехбуквенного слова, буквы которого выбираются из гласных букв русского алфавита? (Цифры и буквы в коде могут повторяться.) №5. Используя свойства числа сочетаний, найти . №6. Сколькими способами 6 игроков команды могут рассесться на двух скамейках таким образом, чтобы ни одна из скамеек не пустовала (на одной скамейке могут уместиться не менее 6 человек)? №7. Найти коэффициент при х4 в разложении

№1. Найти №2.Сколькими способами 7 детей ясельной группы можно рассадить на 7 стульях? №3.Сколькими способами можно составить набор из 5 карандашей, выбирая их из 8 имеющихся карандашей восьми различных цветов? №4. Шифр сейфа образуется из двух чисел. Первое, двузначное число, образуется из цифр 1, 2, 3, 4 (цифры в числе могут повторяться). Второе, трехзначное число, образуется из цифр 7 и 6. Сколько различных шифров можно использовать в таком сейфе? №5. Используя свойства числа сочетаний, найти  №6. Сколькими способами можно разложить 7 монет по двум карманам так, чтобы ни один карман не был пустым? №7. Найти коэффициент при х4 в разложении

Глава VI «Элементы теории вероятности».

Основная цель – исследование простейших взаимосвязей между различными событиями, а также нахождению вероятностей некоторых видов событий через вероятности других событий.

Классическое определение вероятности случайного события вводится после рассмотрения относительной частоты (статистической вероятности) события «выпал орел» в опыте с подбрасыванием монеты. Предполагается организация реальных экспериментов или компьютерных  с целью установления того факта, что при увеличении числа экспериментов (например, при подбрасывании монеты или кости) относительная частота рассматриваемого события «все более приближается» к некоторому числу, являющемуся вероятностью события. Такая работа поможет осознать и понятие элементарного события.

В результате изучения главы все учащиеся должны уметь находить вероятности случайных событий с помощью классического определения вероятности при решении упражнений типа 5, 7; иметь представление о сумме и произведении двух событий, уметь находить вероятность противоположного события (решать упражнения типа 16); интуитивно определять независимые события и находить вероятность одновременного наступления независимых событий в задачах, аналогичных 31, 34, 35, 39, 42.

Контрольная работа №6.

№1. В вазе лежат 7 яблок и 4 груши. Не глядя из вазы, последовательно берут 2 фрукта, не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что второй извлечена груша, при условии, что первой также была извлечена груша? №2. В ящике лежат 15 красных и 5 синих шаров. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что вынуты шары разных цветов? №3. В коробке лежат 10 деталей, среди которых 4 легче остальных. Случайным образом на 6 из них сделали напыление. Какова вероятность того, что вынутая из коробки деталь окажется легкой без напыления? №4. В вазе стоят 5 гвоздик и 6 нарциссов. Какова вероятность того, что среди трех случайным образом вынутых цветков окажется, по крайней мере, одна гвоздика? №5. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,9. Какова вероятность того, что после четырех выстрелов мишень будет поражена хотя бы двумя пулями? №6. Среди 10 деталей 4 бракованных. Наугад вынимают 3 детали. Какова вероятность того, что среди вынутых деталей две окажутся бракованными?

№1. В вазе лежат 7 яблок и 4 груши. Не глядя из вазы, последовательно берут 2 фрукта, не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что второй извлечена груша, при условии, что вторым извлечено яблоко, при условии, что первой была извлечена груша? №2. В ящике лежат 15 красных и 5 синих шаров. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара оказались красными? №3. В коробке лежат 10 деталей, среди которых 3 легче остальных. Случайным образом на 7 из них сделали напыление. Какова вероятность того, что вынутая из коробки деталь окажется тяжелой с напылением? №4. В вазе стоят 5 гвоздик и 6 нарциссов. Какова вероятность того, что среди трех случайным образом вынутых цветков окажется, по крайней мере, один нарцисс? №5. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,9. Какова вероятность того, что после пяти выстрелов мишень будет поражена хотя бы четырьмя пулями? №6. Среди 12 деталей 5 бракованных. Наугад вынимают 3 детали. Какова вероятность того, что среди вынутых деталей две окажутся бракованными?

Последняя тема курса «Уравнения и неравенства с двумя переменными» не нова для учащихся старших классов. Решение систем уравнений с помощью графика знакомо школьникам с основной школы. Теперь им предстоит углубить знания, полученные ранее, и ознакомиться с решением неравенств с двумя переменными и их систем. Учащиеся изучают различные методы решения уравнений и неравенств, в том числе с параметрами.

Основная цель — обобщить  основные приемы решения уравнений и систем уравнений, научить учащихся изображать на координатной плоскости множество решений линейных неравенств и систем линейных неравенств с двумя переменными, сформировать навыки решения задач с параметрами, показать применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики.

В результате изучения главы все учащиеся должны уметь решать упражнения типа 36, 37, 38, 41, 43 и из рубрики «Проверь себя!», а также уметь отвечать на вопросы к главе.

Контрольная работа №7.

№1. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению

                                               

№2. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству

                                                                       

№3. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой неравенств

                                              

№4. Найти все значения а, при которых система уравнений имеет ровно два решения

                                                    

Замечание. Последнее задание может быть выполнено на отдельную оценку.

Итоговое повторение курса алгебры.  Уроки итогового повторения имеют своей целью не только восстановление в памяти учащихся основного материала, но и обобщение, уточнение и систематизацию знаний по алгебре и началам математического анализа за курс средней школы.

Повторение предполагается проводить по основным содержательно-методическим линиям и  целесообразно выстроить в следующем порядке: вычисления и преобразования,  уравнения и неравенства, функции, начала математического анализа.

При проведении итогового повторения предполагается широкое использование и комбинирование различных типов уроков (лекций, семинаров, практикумов, консультаций и т. д.) с целью быстрого охвата большого по объему материала. Необходимым элементом уроков итогового повторения является самостоятельная работа учащихся. Она полезна как самим учащимся, так и учителю для осуществления обратной связи. Формы проведения самостоятельных работ разнообразны: от традиционной работы с двумя, тремя заданиями до тестов и работ в форме рабочих тетрадей с заполнением пробелов в приведенных рассуждениях.

В результате обобщающего повторения курса алгебры и начала анализа за 11 класс создать условия учащимся для выявления: 

·         Владения понятием степени с рациональным показателем, умение выполнять тождественные преобразования и находить их значения.

·         Умения выполнять тождественные преобразования тригонометрических, иррациональных, показательных, логарифмических выражений.

·         Умения решать системы уравнений, содержащих одно или два уравнения (логарифмических, иррациональных, тригонометрических); решать неравенства с одной переменной на основе свойств функции.

·         Умения использовать несколько приемов при решении уравнений; решать уравнения с использованием равносильности уравнений; использовать график функции при решении  неравенств (графический метод).  

·         Умения находить производную функции; множество значений функции; область определения сложной функции; использовать четность и нечетность функции. 

·         Умения исследовать свойства сложной функции; использовать свойство периодичности функции для решения задач; читать свойства функции по графику и распознавать графики элементарных функций

·         Умения решать и проводить исследование решения текстовых задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значения величины с применением производной; умения решать задачи параметрические на оптимизацию.

·         Умения решать комбинированные уравнения и неравенства; использовать несколько приемов при решении уравнений и неравенств.

·         Умения решать неравенства с параметром; использовать график функции при решении  неравенств с параметром (графический метод).

·         Умения извлекать необходимую информацию из учебно-научных текстов; привести примеры, подобрать аргументы, сформулировать выводы;  составлять текст научного стиля.