Фонды оценочных средств предназначены для проверки результатов обучения по учебной дисциплине ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика образовательной программы по специальности среднего профессионального образования 09.02.07 Информационные системы и программирование.
|
Результаты обучения |
Критерии оценки |
Методы оценки |
|
Перечень знаний, осваиваемых в рамках дисциплины: · Элементы комбинаторики. · Понятие случайного события, классическое определение вероятности, вычисление вероятностей событий с использованием элементов комбинаторики, геометрическую вероятность. · Алгебру событий, теоремы умножения и сложения вероятностей, формулу полной вероятности. · Схему и формулу Бернулли, приближенные формулы в схеме Бернулли. Формулу(теорему) Байеса. · Понятия случайной величины, дискретной случайной величины, ее распределение и характеристики, непрерывной случайной величины, ее распределение и характеристики. · Законы распределения непрерывных случайных величин. · Центральную предельную теорему, выборочный метод математической статистики, характеристики выборки. · Понятие вероятности и частоты. |
«Отлично» - теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, умения сформированы, все предусмотренные программой учебные задания выполнены, качество их выполнения оценено высоко. «Хорошо» - теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, некоторые умения сформированы недостаточно, все предусмотренные программой учебные задания выполнены, некоторые виды заданий выполнены с ошибками. «Удовлетворительно» - теоретическое содержание курса освоено частично, но пробелы не носят существенного характера, необходимые умения работы с освоенным материалом в основном сформированы, большинство предусмотренных программой обучения учебных заданий выполнено, некоторые из выполненных заданий содержат ошибки. «Неудовлетворительно» - теоретическое содержание курса не освоено, необходимые умения не сформированы, выполненные учебные задания содержат грубые ошибки. |
• Компьютерное тестирование на знание терминологии по теме; • Тестирование; • Контрольная работа • Самостоятельная работа; • Защита реферата; • Семинар; • Выполнение проекта; • Наблюдение за выполнением практического задания (деятельностью студента); • Оценка выполнения практического задания (работы) • Подготовка и выступление с докладом, сообщением, презентацией; • Решение ситуационной задачи; • Экзамен.
|
|
Перечень умений, осваиваемых в рамках дисциплины: · Применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач · Использовать расчетные формулы, таблицы, графики при решении статистических задач · Применять современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа |
|
|
ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ
1. Алгебра вероятностей событий.
2. Стохастическая независимость и зависимость событий.
3. Условные вероятности. Формула полной вероятности и формула Байеса.
4. Алгебра случайных величин.
5. Биномиальное и полиномиальное распределения.
6. Экспоненциальные распределения и распределение Пуассона.
7. Центральная предельная теорема для последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин.
8. Неравенство Чебышева и его следствия.
9. Закон больших чисел в форме Бернулли.
10. Закон больших чисел в форме Чебышева.
11. Коэффициент информации и его свойства.
12. Измерение стохастической зависимости случайных величин.
13. Простые однородные марковские цепи с конечным множеством состояний. Свойства матриц переходных вероятностей.
14. Классификация состояний марковской цепи. Предельные вероятности.
15. Марковские модели в физике.
ТЕМЫ ГРУППОВЫХ РАБОТ
1. Распределения. Стохастическая независимость и зависимость случайных величин, ковариация.
2. Среднее значение и дисперсия, их свойства. Условные средние. Формула полного среднего.
3. Коэффициент корреляции и его свойства.
4. Коэффициенты регрессии случайных величин и событий.
5. Ранговые коэффициенты корреляции. Стохастическая близость событий.
6. Нормальное распределение и его свойства.
7. Хи-квадрат распределение и распределение Стьюдента.
8. Информация и энтропия. Их основные свойства.
9. Коэффициент информации и его свойства.
10. Вероятность и информация событий. Предсказание и энтропия текста.
11. Простые однородные марковские цепи с конечным множеством состояний. Свойства матриц переходных вероятностей.
12. Классификация состояний марковской цепи. Предельные вероятности. Марковские модели в физике.
Рекомендации по выполнению исследовательской работы
1. Выберите проблему исследования методами математической статистики. Работу можно проводить как индивидуально, так и в микрогруппах (научных обществах). Найдите по выбранной проблеме статические данные либо в периодической печати, либо с помощью социологического опроса, взяв за основу изменение некоторой варианты.
2. Рассмотрите выборку из полученных статических данных и в каждом проекте выполните следующие задания:
1) Постройте вариационный ряд, эмпирическую функцию распределения и её график- кумуляту;
2) Постройте полигон и гистограмму;
3) Вычислите точечную и интервальную оценки параметров распределения;
4) Вычислите точечную несмещённую оценку для дисперсии;
5) Найдите интервал, в который с заданной вероятностью попадает СВ, распределённая нормально или по Стьюдент, с помощью статических таблиц;
6)
Вычислите
доверительный интервал для математического ожидания 
нормального
распределения;
7)
Вычислите
доверительный интервал для генеральной дисперсии 
и
среднеквадратического отклонения 
;
8) Проверьте статическую гипотезу о числовом значении среднего, если выборка производится из одной совокупности.
3. Оформите свой проект по правилам оформления исследовательских работ. Для этого необходимо:
· Аргументировать актуальность темы;
· Определить проблему исследования, объект, предмет исследования;
· Определить цели и задачи исследования;
· Сформулировать гипотезу исследования;
· Выбрать методы исследования;
· Обработать эмпирические данные;
· Сформулировать аргументированный вывод по проблеме исследования;
· Провести презентацию проекта.
“Метод Монте-Карло”
Найдите
значение числа 
четырьмя способами,
моделируя попадания чисел на указанный интервал:
1) Механическим путём; рассыпать на квадратном листе бумаги крупу (рис или гречку), подсчитать отношение числа зёрен в четверти единичного круга, радиус которого совпадает со стороной квадрата, к числу зёрен во всем квадрате. Полученное отношение останется лишь увеличить в четыре раза;
2) С помощью таблицы случайных чисел; для этого случайно формируется координаты точек для пары чисел, взятых из ТСЧ, затем точки строятся всё в том же квадрате, содержащем четверть единичного круга;
3) С помощью ЭВМ как генератора случайных чисел по описанному ранее плану;
4) С помощью иглы Бюффона.
Для обеспечения действия закона больших чисел необходимо большое число испытаний, что довольно трудно осуществить в одиночку.
Поэтому данное задание также рекомендуется выполнять в микрогруппе-“научном обществе” и представить результат общих наблюдений, обобщив полученные данные.
КОМПЬТЕРНОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ НА ЗНАНИЕ ТЕРМИНОЛОГИИ
1. Определение события.
2. Определение комплекса условий S.
3. Определение испытания.
4. Определение случайного события.
5. Определение невозможного события.
6. Определение достоверного события.
7. Определение элементарного события.
8. Определение пространства элементарных событий.
9. Определение составного события.
10. Определение суммы событий.
11. Определение произведения событий.
12. Определение совместных и несовместных событий.
13. Вероятность суммы совместных событий.
14. Вероятность хотя бы одного события.
15. Определение равновозможных событий.
16. Определение полной группы событий.
17. Определение противоположных событий.
18. Классическое определение вероятности.
19. Свойства вероятности.
20. Геометрическое определение вероятности.
21. Статистическое определение вероятности.
22. Теорема суммы событий.
23. Свойства суммы событий (3 теоремы).
24. Условная вероятность.
25. Независимые события.
26. Вероятность произведения событий.
27. Формула полной вероятности.
28. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.
29. Формула Бернулли для повторных испытаний.
30. Локальная теорема Лапласа.
31. Интегральная теорема Лапласа.
32. Дайте определение случайной величины.
33. Что такое дискретная случайная величина.
34. Закон распределение дискретной случайной величины.
35. Биномиальное распределение.
36. Распределение Пуассона.
37. Числовые характеристики положения случайных величин (мода, медиана) и их свойства.
38. Числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и их свойства.
39. Какие случайные величины называются непрерывными?
40. Что называется плотностью вероятности НСВ?
41. Что называется функцией распределения НСВ?
42. Как связаны между собой плотность вероятности и функция распределения?
43. Что называется медианой НСВ и как ее найти?
44. Что называется модой НСВ и как ее найти?
45. Как найти математическое ожидание НСВ?
46. Приведите формулу для вычисления дисперсии НСВ.
47. Как найти среднеквадратическое отклонение НСВ?
48. В каких случаях применяется закон равномерного распределения НСВ?
49. Как вычисляются числовые характеристики равномерного распределения НСВ?
50. Как вычисляются числовые характеристики нормального распределения НСВ?
51. В каких случаях применяется нормальный закон распределения НСВ?
52. В каких случаях применяется показательный закон распределения НСВ?
53. Как вычисляются числовые характеристики показательного распределения НСВ?
54. Как зависит форма кривой Гаусса от параметров нормального распределения?
55. Как вычисляется вероятность попадания в заданный интервал при нормальном распределении НСВ?
56. Как вычисляется вероятность попадания в заданный интервал при равномерном распределении НСВ?
57. Как вычисляется вероятность попадания в заданный интервал при показательном распределении НСВ?
58. В чем заключается смысл закона больших чисел?
59. Формула Бернулли для повторных испытаний.
60. Локальная теорема Лапласа.
61. Интегральная теорема Лапласа.
62. Биномиальное распределение.
63. Распределение Пуассона.
64. Непрерывные случайные величины.
65. Функция распределения случайной величины и ее свойства. График функции распределения.
66. Функция плотности распределения и ее свойства.
67. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.
68. Связь между дифференциальной и интегральной функциями распределения.
69. Равномерное распределение.
70. Нормальное распределение. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.
71. Показательное распределение. Числовые характеристики показательного распределения.
72. Числовые характеристики непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты и их свойства.
73. Массовые явления и закон больших чисел.
74. Теорема Чебышева.
75. Теорема Бернулли.
76. Теорема Муавра-Лапласа.
77. Теорема Пуассона.
78. Генеральная и выборочная совокупности.
79. Статистическое распределение выборки.
80. Эмпирическая функция распределения.
81. Полигон и гистограмма относительных частот.
82. Статистическая оценка математического ожидания.
83. Статистическая оценка дисперсии.
84. Точечные и интервальные оценки.
85. Доверительный интервал, доверительная вероятность, надежность доверительного интервала.
86. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии.
87. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии.
88. Оценка вероятности биномиального распределения.
ТЕСТИРОВАНИЕ
Тестирование
1.
и 
- независимые события. Тогда справедливо
следующее утверждение: а) они являются взаимоисключающими событиями
б) 
в) 
г) 
д) 
|
а |
б |
в |
г |
д |
2.
, 
, 
-
вероятности событий , , 
соответственно – приведены в таблице.
Отметьте в первом столбце знаками плюс и минус те ситуации, которые могут иметь
место, и те, которые не могут произойти, соответственно.
|
|
|
|
|
|
а |
0.1 |
0.3 |
0.2 |
|
б |
0.5 |
0.5 |
0.5 |
|
в |
0.8 |
0.9 |
0.5 |
|
г |
0.5 |
0.6 |
0.6 |
|
д |
0.9 |
0.8 |
0.8 |
3.
Вероятности событий 
и 
равны 
, 
. Тогда наименьшая возможная вероятность
события 
есть:
а) 1,25 б) 0,3886 в) 0,25 г) 0,8614
д) нет правильного ответа
|
а |
б |
в |
г |
д |
4. Докажите равенство 
с
помощью таблиц истинности или покажите, что оно неверно.
5. Бросаем одновременно две игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков не больше 6?
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) нет правильного ответа
|
а |
б |
в |
г |
д |
6. Каждая буква слова «РЕМЕСЛО» написана на отдельной карточке, затем карточки перемешаны. Вынимаем три карточки наугад. Какова вероятность получить слово «ЛЕС»?
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) нет правильного ответа
|
а |
б |
в |
г |
д |
7. Среди студентов второго курса 50% ни разу не пропускали занятия, 40% пропускали занятия не более 5 дней за семестр и 10% пропускали занятия 6 и более дней. Среди студентов, не пропускавших занятия, 40% получили высший балл, среди тех, кто пропустил не больше 5 дней – 30% и среди оставшихся – 10% получили высший балл. Студент получил на экзамене высший балл. Найти вероятность того, что он пропускал занятия более 6 дней.
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) нет правильного ответа
|
а |
б |
в |
г |
д |
8. Дискретные случайные величины X и Y заданы своими законами
|
X |
-1 |
1 |
3 |
|
(Х) |
0.3 |
0.4 |
0.3 |
распределения
|
Y |
0 |
1 |
|
Р(Y) |
0.5 |
0.5 |
9. Случайная
величина Z = X+Y. Найти вероятность 
а) 0.7; б) 0.84; в) 0.65; г) 0.78; д) нет правильного ответа
|
а |
б |
в |
г |
д |
10. X, Y, Z –
независимые дискретные случайные величины. Величина X
распределена по биномиальному закону с параметрами n=20 и p=0.1.
Величина Y
распределена по геометрическому закону с параметром p=0.4.
Величина Z
распределена по закону Пуассона с параметром 
=2.
Найти дисперсию случайной величины U= 3X+4Y-2Z
а) 16.4 б) 68.2; в) 97.3; г) 84.2; д) нет правильного ответа
|
а |
б |
в |
г |
д |
11. Двумерный случайный вектор (X,Y) задан законом распределения
|
|
X=1 |
X=2 |
X=3 |
|
Y=1 |
0.12 |
0.23 |
0.17 |
|
Y=2 |
0.15 |
0.2 |
0.13 |
Событие 
, событие 
. Какова вероятность события А+В?
а) 0.62; б) 0.44; в) 0.72; г) 0.58; д) нет правильного ответа
|
а |
б |
в |
г |
д |
|
|
|
|
|
|
12. Независимые
непрерывные случайные величины X и Y равномерно распределены на отрезках: X на 
Y на 
13. Случайная величина Z = 3X +3Y +2. Найти D(Z)
а) 47.75; б) 45.75; в) 15.25; г) 17.25; д) нет правильного ответа
|
а |
б |
в |
г |
д |
14. Непрерывная
случайная величина X задана
своей функцией распределения 
Найти
а) 0.5; б) 1; в) 0; г) 0.75; д) нет правильного ответа
|
а |
б |
в |
г |
д |
15. Непрерывная случайная
величина X задана своей плотностью вероятности 
. Найти 
.
а) 0.125; б) 0.875; в )0.625; г) 0.5; д) нет правильного ответа
|
а |
б |
в |
г |
д |
16. Случайная величина X распределена нормально с
параметрами 
8 и 
3.
Найти 
а) 0.212; б) 0.1295; в) 0.3413; г) 0.625; д) нет правильного ответа
|
а |
б |
в |
г |
д |
17. Дисперсия каждого
измерения в предыдущей задаче есть 
. Тогда наиболее
эффективной из полученных в первой задаче несмещенных оценок будет оценка
|
а |
б |
в |
г |
д |
18. Полуширина 90% доверительного интервала,
построенного для оценки неизвестного математического ожидания нормально
распределенной случайной величины X для объема выборки n=120, выборочного среднего 
=23 и известного
значения 
=5, есть
а) 0.89; б) 0.49 ; в) 0.75; г) 0.98; д) нет правильного ответа
|
а |
б |
в |
г |
д |
1. Классификация событий. Определение случайного события. Элементарные события, составные события.
2. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности.
3. Основные комбинаторные схемы: перестановки, размещения, сочетания.
4. Сумма событий. Несовместные события. Вероятность суммы несовместных событий.
5. Произведение событий. Условная вероятность. Независимые события. Вероятность произведения событий.
6. Вероятность хотя бы одного события.
7. Вероятность суммы совместных событий.
8. Формула полной вероятности.
9. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.
10. Формула Бернулли для повторных испытаний.
11. Локальная теорема Лапласа.
12. Интегральная теорема Лапласа.
13. Определение случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины.
14. Закон распределение дискретной случайной величины.
15. Биномиальное распределение.
16. Распределение Пуассона.
17. Числовые характеристики положения случайных величин (мода, медиана) и их свойства.
18. Числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и их свойства.
19. Непрерывные случайные величины.
20. Функция распределения случайной величины и ее свойства. График функции распределения.
21. Функция плотности распределения и ее свойства.
22. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.
23. Связь между дифференциальной и интегральной функциями распределения.
24. Равномерное распределение.
25. Нормальное распределение. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.
26. Показательное распределение. Числовые характеристики показательного распределения.
27. Числовые характеристики непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты и их свойства.
28. Условные и безусловные законы распределения двумерных случайных величин. Функция распределения двумерной случайной величины.
29. Зависимые и независимые случайные величины. Коэффициент корреляции и его свойства.
30. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
31. Массовые явления и закон больших чисел.
32. Теорема Чебышева.
33. Теорема Бернулли.
34. Теорема Муавра-Лапласа.
35. Теорема Пуассона.
36. Генеральная и выборочная совокупности.
37. Статистическое распределение выборки.
38. Эмпирическая функция распределения.
39. Полигон и гистограмма относительных частот.
40. Статистическая оценка математического ожидания.
41. Статистическая оценка дисперсии.
42. Точечные и интервальные оценки.
43. Доверительный интервал, доверительная вероятность, надежность доверительного интервала.
44. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии.
45. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии.
46. Оценка вероятности биномиального распределения.
47. Статистические гипотезы и их разновидности.
48. Уравнение регрессии линейной регрессии.
49. Групповые средние.
50. Понятие корреляционной зависимости.
51. Виды корреляционной связи.
52. Функции регрессии. Уравнение линейной регрессии.
53. Метод наименьших квадратов.
Задания для проведения экзамена
Задача 1.
Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется:
а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.
Задача 2.
Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».
Задача 3.
В коробке шесть одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.
Задача 4.
В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.
Задача 5.
Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
Задача 6.
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
Задача 7.
Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.
Задача 8.
В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
Задача 9.
В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей - на заводе № 2 и 18 деталей - на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.
Задача 10.
В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Задача 11.
Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
Задача 12.
Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.
Задача 13.
Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если:
а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0,1 и устройство отказывает, если работает менее трех элементов.
Задача 14.
В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.
Задача 15.
Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X — числа появлений «герба» при двух бросаниях монеты.
Задача 16.
Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X — числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях.
Задача 17.
Из двух орудий поочередно ведется стрельба по цели до первого попадания одним из орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием равна 0,3, вторым — 0,7. Начинает стрельбу первое орудие. Составить законы распределения дискретных случайных величин X и Y — числа израсходованных снарядов соответственно первым и вторым орудием.
Задача 18.
Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин поступит: а) три вызова; б) менее трех вызовов; в) не менее трех вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.
Задача 19.
Найти доверительный
интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания а
нормально распределенной случайной величины, если даны генеральное среднее
квадратическое отклонение
, выборочная средняя
хв и объем выборки n: 
= 4, хв = 10,2, n
= 16.
Задача 20.
Дан перечень
возможных значений дискретной случайной величины X: х1 = 1, х2
= 2, х3 = 3 , а также известны математические ожидания этой величины
и ее квадрата: М(Х) = 2,3, М(
) = 5,9. Найти
вероятности, соответствующие возможным значениям X.
Задача 21.
Бросают 
игральных костей. Найти математическое
ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно m шестерок, если общее число бросаний равно 
.
Задача 22.
Бросают 
игральных костей. Найти математическое
ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.
Задача 23.
Задана плотность
распределения непрерывной случайной величины
:
.
Найти 
.
Задача 24.
Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
Найти .
Задача 25. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
Найти .
Задача 26.
Найти эмпирическую функцию по данному распределению.
|
хi |
4 |
7 |
8 |
|
ni |
5 |
2 |
3 |
Задача 27.
Построить полигон частот по данному распределению.
|
хi |
2 |
3 |
5 |
6 |
|
ni |
10 |
15 |
5 |
20 |
Задача 28.
Случайная величина
X задана плотностью распределения 
. в интервале 
, вне этого интервала 
. Найти математическое ожидание функции 
(не находя предварительно плотности распределения
Y).
Задача 29. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
.
Найти .
Задача 30.
Случайная величина X задана функцией распределения F(x).
Найти 
.
Задачи для самостоятельного решения по статистике
1. Постройте вариационный режим ряд, полигон частот, полигон относительный частот и график функции распределения по данным выборки:
1) 2, 4, 2, 4, 3, 3, 3, 2, 0, 6, 1, 2, 3, 2, 2, 4, 5 , 6 , 6, 1, 1, 2, 3, 6, 8;
2) 5, 8, 7, 6, 7, 8, 9, 10, 5, 8, 7, 5, 6, 6, 9, 7, 8, 10, 9, 8, 5, 6, 8;
3) 10, 12, 15, 13, 16, 17, 18, 12, 10, 15, 13, 15, 17, 18, 15, 16, 17, 17, 18, 15;
4) 16, 20, 23, 18, 24, 18, 23, 25, 24, 24, 25, 18, 16, 16, 23, 25;
5) 32, 35, 38, 33, 39, 35, 36, 36, 38, 35, 32, 33, 33, 33, 39, 39;
6) 46, 45, 48, 45, 43, 43, 43, 48, 45, 44, 44, 48, 48, 44, 45, 43, 44, 48.
2. По данным выборки постройте гистограмму частот, эмпирическую функцию распределения и её график - кумуляту:
1) 23,5; 26,4; 48,6; 35,8; 32,9; 41,1; 33,3; 46,3; 49,9; 34,1; 45,2; 34,5; 42,4; 47,3; 32,4; 33,3; 34,4; 30,8; 43,7; 46,9; 41,3; 34,6;
2) 50,5; 65,4; 51,6; 69,8; 65,9; 57,1; 67,3; 64,3; 54,9; 54,9; 56,1; 61,2; 67,2; 64,4; 63,3; 62,4; 60,3; 69,4; 55,8; 53,7; 58,9; 57,3; 50,6;
3) 45,4; 51,4; 56,5; 47,8; 53,5; 47,2; 49,7; 48,3; 45,9; 51,3; 54,9; 54,8; 56,3; 56,4; 53,4; 53,9; 45,8; 57,4; 54,8; 48,7; 46,3; 49,6; 58,6; 54,7;
4) 30,8; 28,7; 36,5; 28,4; 27,5; 36,5; 34,2; 39,6; 30,8; 32,7; 28,7; 25,5; 26,1; 35,1; 38,1; 39,2; 37,0; 34,2; 36,1; 26,1; 28,9; 25,2; 32,5; 37,8; 34,2; 36,5; 37,3; 38,1; 29,0; 30,2;
5) 82,5; 79,8; 76,9; 74,8; 84,7; 85,2; 80,9; 80,7; 76,9; 75,8; 85,7; 82,5; 82,4; 75,9; 79,6; 83,6; 89,5; 84,7; 76,9; 78,6; 79,5; 89,4; 82,2; 86,7; 78,9;
6) 98,6; 87,6; 94,7; 86,5; 85,9; 82,3; 85,6; 83,9; 89,0; 96,8; 95,8; 95,9; 94,8; 84,9; 89,5; 83,9; 86,5; 87,9; 82,0; 84,8; 95,7; 84,3; 84,9; 82,5; 85,7.
3. Запишите статистические распределения
дискретного признака 
и найдите его
числовые характеристики:
1) Сведения о числе пропущенных уроков по математической статистике у 25 студентов третьего курса имеют вид: 4, 3, 6, 0, 0, 0, 5, 0, 2, 2, 4, 5, 3, 0, 0, 2, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 0, 0, 0;
2) В колледже проводилось тестирование по теории вероятностей, содержащее 60 вопросов. Данные о результате тестирования группы из 25 студентов имеют вид: 44, 35, 56, 60, 50, 48, 55, 60, 52, 52, 54, 45, 43, 60, 40, 52, 54, 56, 49, 59, 58, 56, 50, 60, 60;
3) Для практического занятия по математической статистике студенты провели исследование о затратах времени на ежедневную подготовку к следующему учебному дню среди однокурсников. Статические данные, выраженные в часах, имели вид: 4,3; 2,5; 3,4; 2,7; 1,9; 2,5; 3,5; 2,8; 3,4; 2,5; 2,5; 3,5; 2,8; 3,8; 1,9; 2,3; 1,9; 2,7; 4,0; 2,8;
4) Для практического занятия по математической статистике студенты провели исследование, вычисляя число клиентов сберкассы в период с 18 до 19 ч. Полученные статистические данные за октябрь имеют вид: 12, 16, 24, 15, 21, 16, 19, 32, 28, 27, 29, 34, 28, 17, 15, 16, 20, 21, 24, 16, 14, 18, 25, 21;
5) Наблюдения за числом посетителей сайта колледжа за последние 25 дней дали следующие результаты: 22, 12, 26, 24, 15, 11, 28, 21, 16, 29, 32, 28, 37, 29, 34, 28, 37, 15, 16, 24, 16, 14, 18, 25, 27;
6) На контрольной работе по математике отобрали случайным образом 16 студентов и провели хронометраж временных затрат для выполнения одного задания. Статические наблюдения, выраженные в минутах, имели вид:
7) Проверьте собственное исследование и решите аналогичную задачу.
4. По данному распределению выборки найдены 
и дайте оценки
генеральных совокупностей:
|
|
1 |
4 |
8 |
9 |
|
|
5 |
10 |
15 |
20 |
|
|
1 |
3 |
5 |
7 |
|
|
8 |
12 |
16 |
14 |
|
|
1 |
2 |
3 |
5 |
|
|
5 |
15 |
10 |
20 |
|
|
2 |
4 |
6 |
8 |
|
|
15 |
10 |
20 |
5 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
8 |
16 |
12 |
14 |
|
|
5 |
6 |
8 |
9 |
|
|
3 |
21 |
29 |
17 |
5. По выборке объёмом 
найдена смещённая
оценка выборочной дисперсии. Найдите несмещённую оценку генеральной
совокупности 
:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
6. По известным 
с помощью функции
Лапласа найдите доверительный интервал для оценки неизвестного математического
ожидания 
с заданной
надёжностью, предполагая, что измеряемая величина распределена нормально:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7. По известным 
и неизвестным 
найдите
доверительный интервал с помощью распределения Стьюдента, предполагая, что
измеряемая величина распределена нормально.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
8. Перечислите все возможные значения вариант случайной величины и их вероятности. Постройте распределение частот возможных результатов, полученных в этой задаче:
1) Три человека отвечают на вопрос в форме “Да” и “Нет”. Перечислите все возможные варианты положительных ответов;
2) При подбрасывании двух игральных костей сумма цифр;
3) При подбрасывании двух игральных костей разность цифр;
4) При подбрасывании двух монет выпадение орла;
5) При подбрасывании трёх монет выпадения орла;
6) При подбрасывании двух предметов: игральной кости и монеты выпадение чётной цифры и орла одновременно.
Задания для проведения практических работ
Задача 1. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого попадания. Вероятность попадания равна 0.6.
1. У охотника четыре патрона. Он стреляет по зайцу до тех пор, пока не попадает или пока не закончатся патроны. Известно, что вероятность попадания равна 0.25.
2. У дежурного гостиницы в кармане шесть ключей от разных комнат. Вынув наугад ключ, он пробует открыть дверь ближайшей комнаты.
3. Вероятность связаться с абонентом по телефону при каждой попытке ранка 0.8.
4. Автомобиль встречает по дороге четыре светофора, каждый из которых пропустит его с вероятностью ¼.
5. Для испытания пряжи на крепость. Для таких испытаний берут образец стандартной длины одного мотка (одной партии). Пусть вероятность прочности нити этой партии равна 0.9. Обычно берут не более четырех образцов нити.
Задача 2. Из 1000 смартфонов, поступивших на базу, 200 было реализовано, и среди них 25 оказались бракованными. По этим данным как по случайной выборке определите вероятность того, что во всей партии окажется не более 15 и не менее 10% бракованных смартфонов.
Задача 3. Вероятность появления нестандартного элемента питания равна 0.05. Найдите вероятность того, что среди случайно отобранных 500 элементов питания относительная частота появления нестандартного элемента питания отклонится от вероятности не более чем на 0.03.
Задача 4. Интервал движения автобусов составляет 21 мин. Человек подходит к остановке в случайный момент времени. T - время ожидания автобуса на остановке. Найдите:
1) Функцию распределения;
2) Среднюю продолжительность времени ожидания автобуса;
3) Среднеквадратическое отклонение времени ожидания автобуса;
4) Вероятность того, что время ожидания превысит 3 минуты;
5)
Среднее
значение 
;
6) Вероятность того, что время ожидания составит от 7 до 17 минут.
Задача 5. Найдите распределение, моду и математическое ожидание случайной величины:
1) Суммы S очков, выпавших при подбрасывании двух кубиков;
2) Разность D очков, выпавших при подбрасывании двух кубиков;
3) Произведение M числа очков, выпавших при подбрасывании двух кубиков;
4)
Целой
части 
(M из предыдущего
примера);
5) Отношения R числа очков, выпавших при подбрасывании первого кубика, к числу очков второго;
6) Целой части 7R (R из предыдущего примера).
Задача 6. Сколько в среднем очков выпадает при подбрасывании игральной кости?
Задача 7. Какая в среднем сумма очков выпадает при подбрасывании N игральных костей?
Задача 8. На новогодней ёлке погасла гирлянда, состоящая из 20 лампочек. Для отыскивания перегоревшей лампочки проверяются по очереди все лампочки и гирлянды.
1. Сколько лампочек придется проверить, чтобы обнаружить перегоревшую лампочку?
2. Какова вероятность того, что для обнаружения перегоревшей лампочки придется проверить не менее половины всех лампочек?
Задача 9. Из колоды карт (52 карты) наугад без возвращения достают по одной карте до тех пор, пока не попадется дама пик.
1. Сколько в среднем карт придется извлечь из колоды?
2. Какова вероятность того, что доставать потребуется не более половины карт?
Задача 10. Имеется 6 ключей, из которых только один подходит к замку. Найдите ряд распределения и постройте многоугольник распределения СВ – числа проб при открывании замка. С какой вероятностью замок будет открыт до того, как будут использованы 3 ключа?
Задача 11. Сколько в среднем раз нужно подбрасывать игральную кость до тех пор, пока хотя бы по одному разу не выпадет каждая из цифр 1 – 6?
Задача 12. Монету бросают до тех пор, пока не будет зафиксирована серия орел – решка. Сколько раз в среднем придется бросать монету?
Задача 13. Какова
вероятность того, что нормально распределенная СВ отстоит от математического
ожидания не более чем на 2.5
?
Задача 14.
Нормально распределенная случайная величина X
удовлетворяет условию 
. Вычислите 
.
Задача 15. Пусть
задана нормально распределенная случайная величина 
. Какую
наименьшую длину может иметь интервал ∆, если 
?
Задача 16. Пусть 
. При каком значении D вероятность 
будет наибольшей?
Задача 17. Пусть
задана нормально распределенная случайная величина 
. При
каком значении D наименьшая длина интервала ∆,
удовлетворяющего условию 
, будет равна 5?
Задача 18. Найдите
математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины
X, если 
.
Задача 19. Вероятность появления нестандартного элемента питания равна 0.01. Найдите вероятность того, что среди случайно отобранных 1000 батареек относительная частота появления нестандартной батарейки отклонится от вероятности не более чем на 0.05.
Задача 20. Всхожесть
зерен составляет 70%. Определите вероятность того, что для отобранных случайным
образом 2000 зерен относительная частота всхожести будет колебаться в пределах 
Задача 21. Вероятность того, что человек в период страхования будет травмирован, равна 0.008. Компанией застраховано 1500 человек. Годовой взнос с человека составляет 200 руб. В страховом случае застрахованный получает 12000 руб. Какова вероятность того, что сумма страховых выплат превысит сумму страховых взносов?
Задача 22. Дисперсия каждой из 2500 независимых случайных величин равна 5. Оцените вероятность того, что отклонение средней арифметической этой случайной величины от средней арифметической этой случайной величины от средней арифметической их математических ожиданий не превысит 25%.
Задача 23. Сколько человек необходимо отобрать для определения удельного веса лиц с высшим образованием, чтобы с вероятностью 0.95 можно было утверждать, что отклонение относительной частоты лиц с высшим образованием от их доли, принимаемой за постоянную вероятность, не превышало по модулю 0.05?
В лототроне 2 красных, 10 белых и 8 черных шаров. По результатам розыгрыша должен выпасть один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет:
1) белым;
2) не черным;
3) не красным;
4) не белым и не красным;
5) либо не белым, либо не черным;
6) или белым, или не черным?
Задача 24. Рей Аллен исполняет трехочковые броски с игры с процентом 40. Определите более вероятную ситуацию – попадание трех мячей при четырех бросках мяча или попадание четырех мячей при пяти бросках мяча или попадание четырех мячей при пяти броска мяча, если броски считаются независимыми.
1. Шакил О’Нил забивает 60% бросков из трехсекундной зоны. В первой четверти матча против «Клипперс» он выполнил четыре броска из «краски». Какова вероятность того, что при этом было ровно три попадания?
2. Среди коконов некоторой партии содержится 20% цветных. Какова вероятность того, что среди шести случайно отобранных из партии коконов четыре окажутся цветными?
3. Вероятность того, что замаскированный «противник» находится на обстреливаемом участке, равна 0.3; вероятность попадания в этом случае при каждом отдельном выстреле равна 0.2. Для поражения достаточно одного попадания. Какова вероятность поражения при двух выстрелах?
4. Применимый метод лечения приводит к выздоровлению в 90% случаев. Каков вероятность того, что из пяти больных поправится не менее четырех человек?
5. Случайно встреченный человек с вероятностью 0.2 может оказаться брюнетом, с вероятностью 0.3 – шатеном, с вероятностью 0.4 – блондином, с вероятностью 0.1 – рыжим. Какова вероятность того, что среди случайно встреченных лиц окажется:
а) не менее четырех блондинов;
б) хотя бы один рыжий;
в) три блондина и три брюнета?
Задача 25. Решите задачи.
1. Среди семян пшеницы 0.6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить:
а) не менее трех
семян сорняков;
б) не более 16 семян сорняков;
в) ровно шесть семян сорняков;
г) только семена пшеницы?
2. Книга в 500 страниц содержит 50 опечаток. Оцените вероятность того, что на случайно выбранной странице:
а) не менее трех
опечаток;
б) не более восьми опечаток;
в) ровно четыре опечатки;
г) ни одной опечатки.
3. Вероятность быть зарегистрированной счетчиком у частицы, вылетевшей из радиоактивного источника, равно 1/10000. Предположим, что за время наблюдения из источника вылетело 30000 частиц. Какова вероятность того, что счетчик:
а) зарегистрировал
более 10 частиц;
б) не зарегистрировал ни одной частицы;
в) зарегистрировал ровно три частицы;
г) зарегистрировал менее трех частиц?
4. В ходе
аудиторской проверки фирмы случайным образом были отобраны пять счетов.
Согласно статистике, известно, что 2% счетов содержат ошибки. Найдите
вероятность того, что аудитор найдет:
а) только один счет с ошибкой;
б) хотя бы один счет с ошибкой;
в) не более одного счета с ошибкой;
г) все счета без ошибок.
5. Продавец
ювелирного магазина заметил, что вероятность продажи украшения при единичном
контакте с покупателем равна приблизительно 0.02. В течение рабочего дня к
продавцу обратилось 100 посетителей. Чему равна вероятность того, что:
а) он продал ровно одно изделие;
б) ни одно изделие не продано;
в) он продал по крайней мере одно изделие;
г) он продал не более одного изделия?
6. В столовой
сварили компот из 300 абрикосов и разлили его в 450 стаканов. С какой
вероятностью в вашем стакане:
а) окажутся два абрикоса;
б) не окажется ни одного абрикоса;
в) окажется не менее двух абрикосов;
г) окажется не более двух абрикосов?
Задача 26. Решите задачи.
Сколько изюма в среднем должны содержать калорийные булочки для того, чтобы вероятность иметь в белочке хотя бы одну изюминку была не менее 0.99?
1. Известно, что вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0.02. Сверла укладывают в коробки по 100 штук. Какое наименьшее количество сверл нужно класть в коробку для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.9, в ней было не менее 1000 исправных?
2. Пусть вероятность быть зарегистрированной счетчиком у частицы, вылетевшей из радиоактивного источника, равна 1/10000. Предположим, что за время наблюдения из источника вылетело 30000 частиц. Какое наименьшее число частиц должно вылететь из источника для того, чтобы с вероятностью, большей 0.99, счетчик зарегистрировал более трех частиц?
В магазин зашли 12 покупателей. Вероятность того, что из любой из них не уйдет без покупки, равна 0.2. Какова вероятность того, что покупку сделают четыре покупателя?
Из всей продукции обувной фабрики 42% составляют изделия высшего сорта. Сколько пар сапог высшего сорта можно надеяться найти среди 75 пар сапог, поступивших с этой обувной фабрики в магазин?
3. С помощью станка-автомата изготовлено 90 деталей. Вероятность изготовления деталей высшего сорта составляет 78%. Какое среднее число деталей первого сорта ожидается получить на этом станке, если 95% продукции составляют детали первого и высшего сортов?
Задача 27. Решите задачи.
1. Станок-автомат изготавливает 80 деталей в день. Какова вероятность того, что изготовленная деталь высшего сорта, если обычно в течение рабочей смены 68 деталей высшего сорта?
2. Обычно число ясных дней в ноябре в нашей местности равно 12. В этом году синоптики предсказали на ноябрь 10 ясных дней. Какова степень вероятности прогноза?
3. Обычно в партии из 20 принтеров три принтера бракованные. Поставщик гарантирует, что в новой партии наиболее вероятен брак у двух принтеров. Какова степень гарантии поставщика?
4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.8. Найдите наиболее вероятное число попаданий при пяти выстрелах и соответствующую этому вероятность.
5. Вероятность того, что покупателю нужна мужская обувь 42 размера, равно 0.2. Найдите наиболее вероятное число покупателей, интересующихся 42 размером обуви, из шести человек, находящихся в данный момент в магазине, и соответствующую этому числу вероятность.
6. Вероятность рождения мальчиков равна 0.515. Найдите наиболее вероятное число девочек из 300 новорожденных и соответствующую этому числу вероятность.
Задача 28. Придя
наутро в учительскую, директор начальной школы № 1 г. Спрингфилд Сеймур Скиннер
обнаружил пренеприятнейший сюрприз: разбитое камнем окно без сопроводительной
бумаги о мотивах преступления.
По статистике подобных случаев, это могло быть:
1. Божественное озарение Барта Симпсона: 65%;
2. Грязные проделки Нельсона Мунца и его компании: 30%;
3. Попадание Милхауса Ван Хутена, которого подговорили вышеперечисленные: 2%;
4. Случайное попадание сантехника Вилли, обычно не имевшего преступных умыслов;
Найдите вероятность, что преступление совершили вышеперечисленные подозреваемые, если при этом точность попаданий исходя из данных окулиста, у злоумышленников такова:
1) Барт – 50%. Нельсон и сотоварищи – 70%, Милхаус – 10%, Вилли – 0.5%;
2) Барт – 55%. Нельсон и сотоварищи – 75%, Милхаус – 5%, Вилли – 0.5%;
3) Барт – 50%. Нельсон и сотоварищи – 60%, Милхаус – 10%, Вилли – 0.4%;
4) Барт – 50%. Нельсон и сотоварищи – 80%, Милхаус – 15%, Вилли – 1%;
5) Барт – 60%. Нельсон и сотоварищи – 60%, Милхаус – 5%, Вилли – 5%;
6) Барт – 60%. Нельсон и сотоварищи – 50%, Милхаус – 15%, Вилли – 2%;
Задача 29. Известно, что в каждой из трех урн по одному черному и одному белому шару. Урны выбираются произвольно и достаются шары. Запишите события символически и найдите вероятности событий:
1) Извлечь белый шар из второй урны;
2) Выбрать вторую или третью урну и затем из неё извлечь белый шар;
3) Выбрать вторую или третью урну и затем из неё извлечь белый шар;
4) Достали белый шар, а он оказался из первой урны;
5) Достали черный шар, который оказался из первой урны;
6) Выбрать третью урну и затем вынуть из неё белый шар.
Задача 30. В урне белых и b черных шаров (a, b≥2).
1. Из урны наугад извлекают шар. Найдите вероятность того, что извлечен белый шар.
2. Из урны наугад извлекают шар и, не глядя, откладывают в сторону. После этого из урны взяли ещё один шар. Он оказался белым. Найдите вероятность того, что первый раз был извлечен белый шар.
3. Из урны наугад извлекают шар и откладывают в сторону. Шар оказался белым. После этого из урны взяли ещё один шар. Найдите вероятность того, что во второй раз был извлечен тоже белый шар.
4. Из урны, не глядя на цвет, один за другим извлекают все шары, кроме одного. Найдите вероятность того, что последним извлечен из урны будет белый шар.
5. Из урны извлекают одновременно два шара. Найдите вероятность того, что оба шара белого цвета.
6. Пусть дополнительно известно, что (a≥3). Из урны извлекают одновременно пять шаров. Найдите вероятность того, что три шара белого цвета, в два черного.
Задача 31. Решите задачи.
1. За последние 100 дней курс доллара понижался 25 раз. Какова вероятность, что на следующих торгах курс доллара понизится?
2. Статистика показала, что из последних 1000 новорожденных 560 – мальчики. Какова вероятность того, что следующий новорожденный будет мальчик.
3. Из 1000 случайно отобранных семей у 350 доходы были выше 1000 усл.ед. Какова вероятность того, что отдельная семья имеет доход выше 1000 усл.ед.?
4. При аттестации 100 сотрудников неаттестованными оказались 8. Какова вероятность пройти аттестацию у данной категории сотрудников.
5. Из 1000 проверочных изделий оказалось, что 130 из них – «подделки». Какова вероятность, что приобретенный товар является «подделкой»?
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Методические материалы предназначены для изучения дисциплины ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика учащимися специальности 09.02.07 Информационные системы и программирование СПО.
Материалы содержат задания для проведения практических занятий, самостоятельных работ, а также вопросы и задания для проведения экзамена по дисциплине.
6 656 258 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Воронина Лидия Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
8 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.