Методические материалы по теме "Использование бесконечно малых и бесконечно больших величин при вычислении пределов".

Использование бесконечно малых и бесконечно больших величин

 при вычислении пределов.

                                                              Танабаш А. В., учитель математики УВК                                                                                                   

                                                                      «Общеобразовательная школа I-III ступеней № 12 -                                                                              

                                                                    многопрофильный лицей», г. Горловка       

                                                                    Донецкой обл.

Число a называется пределом последовательности , если для всякого сколь угодно малого положительного числа є найдется такое положительное число N, что                   | х_п —a| < є  при  п > N.

В этом случае записывают: 

Число А называется пределом функции f(x) при х® а, если для любого e>0 найдется такое d >0, что | f(x)— A |< є при |x-a| < d.

Записывают:  = A.                      

Аналогично  = A. если    | f(x)— A |< є при |x| >N.

        Условно   записывают    = ,   если    |f(x)| >M при |x-a|<d, где М — произвольное положительное число. В этом случае функция f(x) называется бесконечно
большой величиной при х ®  а.

Если  = 0, то функция (х) называется бесконечно малой величиной при х ®  а.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.

Если функция α(x) есть бесконечно малая величина при , то функция  является бесконечно большой при . И обратно, если функция   бесконечно большая  при , то функция  есть величина бесконечно малая при  .

       При вычислении пределов часто используют следующие отношения эквивалентностей:

 a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + … + a_n  ~    a₀xⁿ                 при n ®

        ~           при n ®

Первый замечательный предел    

и следствия из него:

sin a(x)  ~  a(x),                         arcsin a(x)   ~  a(x);

tg a(x)   ~  a(x),                          arctg a(x)    ~  a(x).

Второй замечательный предел      

и следствия из него:

  ~   a(x),                    ln( 1+a(x)) )        ~   a(x);

  ~   a(x)lna,                  ~   ma(x).

где  a(x) – бесконечно малая величина;

        b(х) – бесконечно большая величина.

Примеры использования бесконечно малых и бесконечно больших величин

 при вычислении пределов.

1.               

2.               

3.      

4.         

5.                    

6.       

7.       

8.       

9.                 

Примечание. При вычислении неопределённостей вида  можно показать, что

                                                        0,    если  n < m, 

           ,  если  n = m,

                                                                    ,   если  n > m,     

т.е. предел отношения двух многочленов  равен 0, отношению коэффициентов при старших степенях или , если показатель степени числителя  n соответственно меньше, равен или больше показателя степени знаменателя m.