Использование
бесконечно малых и бесконечно больших величин
при
вычислении пределов.
Танабаш А. В., учитель математики
УВК
«Общеобразовательная школа I-III ступеней № 12 -
многопрофильный лицей», г.
Горловка
Донецкой обл.
Число a называется пределом последовательности , если для всякого сколь угодно малого положительного
числа є найдется такое положительное число N, что | хп —a| < є при п
> N.
В этом случае
записывают:
Число А называется пределом
функции f(x) при х® а, если
для любого e>0
найдется такое d
>0, что | f(x)— A
|< є при |x-a| < d.
Записывают: = A.
Аналогично = A. если | f(x)— A |< є при |x| >N.
Условно записывают = , если |f(x)| >M при |x-a|<d, где М — произвольное положительное число. В этом случае функция f(x) называется бесконечно
большой величиной при х ® а.
Если = 0, то функция (х) называется бесконечно малой величиной при
х ® а.
Связь между бесконечно малыми и бесконечно
большими величинами.
Если функция α(x) есть бесконечно малая величина при , то функция
является бесконечно
большой при .
И
обратно, если функция бесконечно большая при ,
то
функция есть величина бесконечно малая при .
При вычислении пределов часто используют следующие
отношения эквивалентностей:
a0xn + a1xn-1
+ a2xn-2 + … + an ~ a0xn
при n ®
~ при n ®
Первый замечательный предел
и следствия из него:
sin a(x) ~ a(x), arcsin a(x) ~ a(x);
tg a(x) ~ a(x), arctg a(x) ~ a(x).
Второй замечательный предел
и следствия из него:
~
a(x), ln( 1+a(x)) ) ~
a(x);
~
a(x)lna, ~ ma(x).
где a(x) – бесконечно малая величина;
b(х) – бесконечно большая величина.
Примеры
использования бесконечно малых и бесконечно больших величин
при
вычислении пределов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Примечание. При вычислении неопределённостей вида можно показать, что
0,
если n < m,
, если n = m,
, если n > m,
т.е. предел отношения двух
многочленов равен 0, отношению
коэффициентов при старших степенях или , если
показатель степени числителя n соответственно меньше, равен или больше показателя степени знаменателя m.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.