Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ НАВЫКОВ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ОБОБЩЕННЫМ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ ПРИ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ К ЕГЭ.
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ НАВЫКОВ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ОБОБЩЕННЫМ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ ПРИ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ К ЕГЭ.

библиотека
материалов

Методические основы формирования навыков решения неравенств обобщенным методом интервалов

при подготовке учащихся к егэ.


При подготовке учащихся к итоговой аттестации в форме и по материалам ЕГЭ необходимо вырабатывать навыки решения неравенств. Существует много методов их решения. Ученики не всегда могут правильно определить, каким именно способом наиболее рационально решать конкретное неравенство.

Обобщенный метод интервалов наиболее универсален при решении неравенств практически любого типа. Поэтому именно ему я отдаю предпочтение, вместе с тем рассматриваю и другие методы и не ограничиваю своих учеников в их выборе.

Первое знакомство с обобщенным методом интервалов можно начать уже в 9 классе. На этом этапе можно решать неравенства, содержащие модули, иррациональные выражения. В 10 классе – показательные и логарифмические неравенства, в 11 – смешанные неравенства.


Схема решения выглядит следующим образом:

  1. Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция hello_html_m7ab13190.gif, а в правой 0.

  2. Найти область определения функции hello_html_m7ab13190.gif

  3. Найти нули функции hello_html_m7ab13190.gif, то есть – решить уравнение hello_html_mbc071d9.gif (а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство)

  4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.

  5. Определить знаки функции hello_html_m7ab13190.gif на полученных интервалах.

  6. Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения, и записать ответ.

Рассмотрим примеры решения неравенств обобщенным методом интервалов, некоторые нюансы в определении знака и особенности упрощенной записи.


9 КЛАСС


Пример 1. hello_html_m110a1d8c.gif


Решение:

Перенесем 1 в левую часть неравенства и приведем к общему знаменателю. Имеем hello_html_50978e25.gif. Для того чтобы разложить на множители числитель данной дроби, решим уравнение:hello_html_m3da1d890.gif

hello_html_m3055680d.gif, где hello_html_1e28c485.gif, т.е. hello_html_m65461221.gif

hello_html_7218cd67.gifпервое уравнение не имеет корней, из второго получим hello_html_23d960a5.gif

Т. о. получим неравенство hello_html_m9ba4951.gif

Ответ: hello_html_7007507.gif


Пример 2. hello_html_mfcd6814.gif


При решении этого примера хочу обратить внимание на возможный упрощенный вариант оформления.

Решение:

hello_html_m48124fac.gif

hello_html_m334869d8.gif

hello_html_6207009a.gifhello_html_m507657ef.gif



Ответ: hello_html_m29ec84fa.gif

hello_html_edeae97.gif

hello_html_54eeae25.gif

hello_html_m376d1791.gif


Пример 3. hello_html_m6b89abbd.gif


Решение:

Перейдем к системе неравенств: hello_html_m583c1481.gif

Первое неравенство получено из области определения выражения в числителе дроби. Согласно схеме метода решения надо найти нули функции, т. е. hello_html_2bdfaee1.gif, откуда имеем hello_html_60cbdf91.gif Соответственно получим второе неравенство системы.

Ответ: hello_html_m1624930e.gif).


Замечание: В 9 классе с обобщенным методом интервалов лучше знакомить наиболее подготовленных учащихся на факультативных занятиях. На данном этапе лучше оформлять решение строго в соответствии с классической схемой.


Задания для самостоятельного решения:

  1. hello_html_532c3326.gif Ответ: hello_html_m1a054450.gif

  2. hello_html_3894b441.gif Ответ: hello_html_m72d89412.gif

  3. hello_html_4115c7c8.gif Ответ: hello_html_m4f0eff7f.gif).

  4. hello_html_2d90a75e.gif Ответ: hello_html_59c9988.gif

  5. hello_html_m1f60fd86.gif Ответ: hello_html_m4c579ae1.gif

  6. hello_html_3c74086a.gif hello_html_5278bfb1.gif

  7. hello_html_m567d478d.gif Ответ: hello_html_12b696d0.gif

  8. hello_html_36a865b8.gif Ответ: hello_html_m61bb19ef.gif

  9. hello_html_m87c9b5d.gif Ответ:hello_html_m55cd8941.gif

  10. hello_html_5613414d.gif Ответ: hello_html_m78274788.gif

10 КЛАСС



Пример 4. hello_html_m5dc9eb74.gif


Решение:

hello_html_mce5f1e7.gif

hello_html_24c6752.gif,

hello_html_2be14c30.gif



Ответ:hello_html_7b19a9d7.gif

hello_html_2d389098.gif

hello_html_7bb75a98.gif

hello_html_m909cf55.gif


Пример 5. hello_html_4d8dffa2.gif


Решение:

hello_html_7a6d3c81.gif

Перейдем к системе неравенств:

hello_html_105867d9.gif

Т. о. hello_html_22971623.gif


Ответ:hello_html_584fc9e8.gif


hello_html_m5a33c999.gif

hello_html_b5d4514.gif

hello_html_60acc7f9.gif


Первое неравенство системы получено в результате нахождения нулей функции hello_html_m9779716.gif , второе – ее область определения.


Пример 6. hello_html_55120e7e.gif


Решение:

hello_html_2afe2aa1.gif


Перейдем к системе неравенств:

hello_html_m5657229.gif

Система составлена из трех неравенств, первое получено нахождением нулей функции, второе и третье есть область определения логарифмических функций, находящихся в числителе и знаменателе дроби.

hello_html_m65d18c10.gif

hello_html_47953bbc.gif

hello_html_732aab4c.gif

Ответ: hello_html_5d18b187.gif

hello_html_m585011db.gif

hello_html_2eb97fbd.gif

hello_html_1e1432f3.gif


Задания для самостоятельного решения:


  1. hello_html_m4ad5ffb9.gif Ответ:hello_html_m66cf266.gif.

  2. hello_html_m5a4123e9.gif Ответ:hello_html_m78bc5a8c.gif

  3. hello_html_m1a95189d.gif Ответ: hello_html_m674f3720.gif.

  4. hello_html_2858e0d4.gif Ответ: hello_html_m59811df4.gif.

  5. hello_html_39b3c683.gif Ответ: hello_html_60c1df9.gif

  6. hello_html_e29f6c9.gif Ответ: hello_html_646de8c9.gif.

  7. hello_html_75ec5ab2.gif Ответ: hello_html_m35bc62c5.gif.

  8. hello_html_1b7dc7a7.gif Ответ: hello_html_5f8522b5.gif.

  9. hello_html_1181fee1.gif Ответ:hello_html_m5fd1ccb1.gif

  10. hello_html_m6a7a6334.gif Ответ: hello_html_m6e6028ea.gif


11 КЛАСС


В 11 классе необходимо выработать навыки решения смешанных неравенств, но при наличии времени и соответствующего уровня подготовки учащихся ряд примеров можно рассмотреть и в 10 классе. Начинать нужно с простейших. Особое внимание надо уделить смене знака неравенства.


Пример 7. hello_html_m26f27601.gif


Решение:

hello_html_512f4224.gif

Т. к. логарифмическая функция с основанием hello_html_5b2be360.gif убывает, то лучше сразу перейти к основанию 2. Знак неравенства меняется на противоположный. На этот момент надо обратить особое внимание учащихся.hello_html_968a3c2.gif


hello_html_31c120b.gif


Перейдем к системе неравенств:

hello_html_6f2a0bfc.gif

hello_html_4f08601d.gif

hello_html_m5778cbc.gif

hello_html_m48380293.gif

hello_html_m28b9ec77.gif

hello_html_m6448ed2f.gif

Ответ: hello_html_m5e53fd42.gif


Пример 8. hello_html_1ad343ed.gif


Решение:

Перейдем к числовому основанию, например, 2. Выбор основания логарифма не имеет значения, т. к. числитель и знаменатель полученной дроби будет приравниваться к нулю, а любое число в нулевой степени равно 1.


hello_html_m3aa05a68.gif

hello_html_7ccba197.gif


Приведем дроби к общему знаменателю:

hello_html_m519a5ad8.gif


Числитель и знаменатель данной дроби приравняем к нулю, учтем область определения логарифмической функции и получим равносильную систему неравенств:

hello_html_m6532e840.gif

hello_html_66990cd6.gif

hello_html_2a9ba3ee.gif

  1. hello_html_7cdec6e5.gif

hello_html_m71168744.gif

hello_html_7acd0677.gif

hello_html_50f5a788.gif

hello_html_m1437fa50.gif

  1. hello_html_37f40e01.gif

hello_html_2ad24d85.gif

hello_html_23d960a5.gif



Ответ: hello_html_1f199da7.gif


Теперь рассмотрим более сложные примеры, в процессе решения которых меняется знак неравенства.

Пример 9. hello_html_m4c1c22ab.gif


Решение:

hello_html_6d28267e.gif

Перейдем к основанию 2.

hello_html_2d30f074.gif

hello_html_m6d97418d.gif

hello_html_m2362b886.gif

hello_html_2de3047e.gif

hello_html_md5dfe44.gif

hello_html_62588754.gif,

hello_html_m932f3a9.gif

2) hello_html_11c7d7a0.gif

hello_html_m2c547160.gif

hello_html_2b698077.gif

hello_html_m7da7ede6.gif


Перейдем к системе неравенств:

hello_html_131f1e2e.gif

Знак первого неравенства изменился на противоположный по отношению к исходном, т. к. в процессе решения уравненияhello_html_m12935ec2.gif было деление на –1. Учащиеся часто не обращают внимание на данный нюанс, решая уравнение устно, поэтому надо особо остановиться на этом моменте.

hello_html_m460b37fc.gif

hello_html_m43e173cc.gif

Для проверки правильности ответа можно взять число из полученного промежутка hello_html_md0bbf7a.gifподставить в исходное неравенство и проверить:


Пусть hello_html_m369abd4a.gif


hello_html_m679c5800.gif

hello_html_m700c3649.gif

hello_html_7046104a.gif функция возрастает, т.к. 1,5>1,

hello_html_m6e8dc23d.gif

0,75<1,5. Т.о. решение неравенства верно.

Ответ: hello_html_3cf094d4.gif


Замечание: Если последнее неравенство неверно, то допущена ошибка в смене знака в решении. Возможны ситуации, когда деление на отрицательное число происходит два и более раз, тогда каждое деление приводит к смене знака.


Пример 10. hello_html_55631f4e.gif


Очевидно, что в процессе решения неравенства произойдет смена знакаhello_html_ma431fa.gif, потому что коэффициент при старшем члене выражения hello_html_m1135feb7.gif (число –2), стоящего под знаком логарифма отрицателен. Других делений на отрицательное число не будет. На этот факт надо обратить внимание учащихся, но можно данный вывод сделать и в процессе решения, если у детей возникают затруднения. Кроме того, стоит напомнить и о возможности проверки решения.


Решение:

hello_html_ca5b118.gif


Перейдем к основанию 2.

hello_html_m136f8ac1.gif

hello_html_m514348ec.gif

hello_html_m1d4a91d1.gif

Перейдем к системе неравенств:

hello_html_mfe97c1d.gif

hello_html_m494b53be.gif

hello_html_7313a8d7.gif

Ответ:hello_html_mfa88533.gif

hello_html_3c5a7101.gif

hello_html_47624ce4.gif

hello_html_1a257c9d.gif

hello_html_m909cf55.gif

hello_html_55ee44c8.gif

hello_html_1ea35f3e.gif


Пример 11. hello_html_1be4a6db.gif


Решение:

hello_html_m16d7e468.gif

Т.к. hello_html_m42077b3.gif, то

hello_html_m934a500.gif

hello_html_19a8b4af.gif

hello_html_m680eebf9.gif

hello_html_61d23564.gif

hello_html_5510fd62.gif

hello_html_2f10846a.gif

hello_html_m3357479e.gif

hello_html_2cfd29b7.gif

hello_html_m6538d2a0.gif

hello_html_5829f718.gif

hello_html_31c4f548.gif.

hello_html_79325a67.gif

hello_html_m73a60205.gif

hello_html_m951b485.gif

hello_html_750fe6d6.gif

hello_html_3065b861.gif

hello_html_69415b70.gif

hello_html_m78bcb9aa.gif

hello_html_m41eb12ca.gif

hello_html_m7310a506.gif

Ответ: hello_html_1e83862.gif


Пример 12. hello_html_m1b587fa8.gif


Решение:

hello_html_m7e770664.gif


Воспользуемся формулой перехода логарифма к новому основанию:

hello_html_m443a94ea.gif

hello_html_m5839038e.gif

hello_html_m1b957398.gif

1)hello_html_m714fc1d9.gif

hello_html_3b016a8e.gif

hello_html_e1f0f54.gif

hello_html_490ba92c.gif

hello_html_1117066f.gif

hello_html_m6dfe6ee1.gif

hello_html_m113b3d82.gif

hello_html_m274d856a.gif

hello_html_m1aa66e13.gif

hello_html_m460267c3.gif

Ответ:hello_html_3e16d1ca.gif


Задания для самостоятельного решения:


  1. hello_html_2417e3ea.gif Ответ: hello_html_m4a4d5b21.gif

  2. hello_html_3249fb34.gif Ответ:hello_html_mc7d0dbb.gif

  3. hello_html_ma2c0f16.gif Ответ:hello_html_m303933cb.gif

  4. hello_html_6d82350e.gif Ответ: hello_html_m1f67a73e.gif

  5. hello_html_7f4fa407.gif Ответ:hello_html_5a025ae8.gif

  6. hello_html_5b89b452.gif Ответ: (3;hello_html_2579e432.gif.

  7. hello_html_6d26d793.gif Ответ: (0;1)hello_html_3e17fe95.gif

  8. hello_html_21e8b030.gif Ответ:hello_html_m4e998a24.gif

  9. hello_html_4797024.gif Ответ: hello_html_51459982.gif

  10. hello_html_m7b4afd42.gifОтвет:hello_html_m383b01d6.gif


На уроках можно решать неравенства из учебников и сборников, перечисленных в списке использованной литературы, а также других, имеющихся у преподавателей.



Список использованной литературы:


  1. Обобщение метода интервалов / Г. В. Дорофеев. Математика в школе, 1969, №3.

  2. Алгебра 9. Часть 2. Задачник / А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2008.

  3. Алгебра 10-11. Часть 2. Задачник / А. Г. Мордкович и др.– М.: Мнемозина, 2008.

  4. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. – М.: Просвещение, 1999.

  5. Сборник заданий для подготовки к выпускному экзамену по алгебре и началам анализа / Е. А. Семенко и др. – Краснодар, 1996.

  6. ЕГЭ. Математика. Тематическая тетрадь. 11 класс / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П. И. Захаров. – М.: МЦНМО, Издательство «Экзамен», 2010.

18


Общая информация

Номер материала: ДВ-117168

Похожие материалы