МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ НАВЫКОВ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ОБОБЩЕННЫМ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ ПРИ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ К ЕГЭ.

Методические основы формирования навыков решения неравенств обобщенным методом интервалов

при подготовке учащихся к егэ.

При подготовке учащихся к итоговой аттестации в форме и по материалам ЕГЭ необходимо вырабатывать навыки решения неравенств. Существует много методов их решения. Ученики не всегда могут правильно определить,  каким именно способом наиболее рационально решать конкретное неравенство.

Обобщенный метод интервалов наиболее универсален при решении неравенств практически любого типа. Поэтому именно ему я отдаю предпочтение, вместе с тем рассматриваю и другие методы и не ограничиваю своих учеников в их выборе.

Первое знакомство с обобщенным методом интервалов можно начать уже в 9 классе. На этом этапе можно решать неравенства, содержащие модули, иррациональные выражения. В 10 классе – показательные и логарифмические неравенства, в 11 – смешанные неравенства.

Схема решения выглядит следующим образом:

1.       Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция , а в правой 0.

2.       Найти область определения функции

3.       Найти нули функции , то есть – решить уравнение  (а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство)

4.       Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.

5.       Определить знаки функции  на полученных интервалах.

6.       Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения, и записать ответ.

Рассмотрим примеры решения неравенств обобщенным методом интервалов, некоторые нюансы в определении знака  и особенности упрощенной записи.

9 КЛАСС

Пример 1.  

Решение:

Перенесем 1 в левую часть неравенства и приведем к общему знаменателю. Имеем  . Для того чтобы разложить на множители числитель данной дроби, решим уравнение:

, где , т.е.

первое уравнение не имеет корней, из второго получим

Т. о. получим неравенство

Ответ:

Пример 2.  

При решении этого примера хочу обратить внимание на возможный упрощенный вариант оформления.

Решение:

Ответ:

Пример 3.  

Решение:

Перейдем к системе неравенств:

Первое неравенство получено из области определения выражения в числителе дроби.   Согласно схеме метода решения надо найти нули функции,   т. е.  ,  откуда  имеем   Соответственно получим второе неравенство системы.

Ответ: ).

Замечание:  В 9 классе с обобщенным методом интервалов лучше знакомить наиболее подготовленных учащихся на факультативных занятиях. На данном этапе лучше оформлять решение строго в соответствии с классической схемой.

Задания для самостоятельного решения:

1.      Ответ:

2.      Ответ:

3.      Ответ: ).

4.      Ответ:

5.      Ответ:

6.      

7.      Ответ:

8.      Ответ:

9.      Ответ:

10.  Ответ:

10 КЛАСС

Пример 4. 

Решение:

,

Ответ:

Пример 5.  

Решение:

Перейдем к  системе неравенств:

Т. о.

Ответ:

Первое неравенство системы получено в результате нахождения нулей функции  , второе  –  ее область определения.

Пример 6.

Решение:

Перейдем к системе неравенств:

Система составлена из трех неравенств, первое получено нахождением нулей функции, второе и третье есть область определения логарифмических функций, находящихся в числителе и знаменателе дроби.

Ответ:

Задания для самостоятельного решения:

1.      Ответ:.

2.      Ответ:

3.      Ответ: .

4.      Ответ: .

5.      Ответ:

6.      Ответ: .

7.      Ответ: .

8.      Ответ: .

9.      Ответ:

10.  Ответ:

11 КЛАСС

В 11 классе необходимо выработать навыки решения смешанных неравенств, но при наличии времени и соответствующего уровня подготовки учащихся ряд примеров можно рассмотреть и в 10 классе.  Начинать нужно с простейших. Особое внимание надо уделить смене знака неравенства.

Пример 7.

Решение:

Т. к. логарифмическая функция с основанием  убывает, то лучше сразу перейти к основанию 2. Знак неравенства меняется на противоположный. На этот момент надо обратить особое внимание учащихся.

Перейдем к системе неравенств:

Ответ:

Пример 8.  

Решение:

Перейдем к числовому основанию, например, 2. Выбор основания логарифма не имеет значения, т. к. числитель и знаменатель полученной дроби будет приравниваться к нулю, а любое число в нулевой степени равно 1.

Приведем дроби к общему знаменателю:

Числитель и знаменатель данной дроби приравняем к нулю, учтем область определения логарифмической функции и получим равносильную систему неравенств:

1)     

2)     

Ответ:

Теперь рассмотрим более сложные примеры, в процессе решения которых меняется знак неравенства.

Пример 9.  

Решение:

Перейдем к основанию 2.

,

2)

Перейдем к системе неравенств:

Знак первого неравенства изменился на противоположный по отношению к исходном, т. к. в процессе решения уравнения было деление на –1. Учащиеся часто не обращают внимание на данный нюанс, решая уравнение устно, поэтому надо особо остановиться на этом моменте.

Для проверки правильности ответа можно взять число из полученного промежутка подставить в исходное неравенство и проверить:

Пусть

 функция возрастает, т.к. 1,5>1,

 

0,75<1,5.  Т.о. решение неравенства верно.

Ответ:

Замечание: Если последнее неравенство неверно, то допущена ошибка в смене знака в решении. Возможны ситуации, когда деление на отрицательное число  происходит два и более раз, тогда каждое деление приводит к смене знака.

Пример 10.

Очевидно, что в процессе решения неравенства произойдет смена знака, потому что коэффициент при старшем члене выражения  (число –2), стоящего под знаком логарифма отрицателен. Других делений на отрицательное число не будет. На этот факт надо обратить внимание учащихся, но можно данный вывод сделать и в процессе решения, если у детей возникают затруднения. Кроме того, стоит напомнить и о возможности проверки решения.

Решение:

Перейдем к основанию  2.

Перейдем к системе неравенств:

Ответ:

Пример 11.

Решение:

Т.к. , то

.

Ответ:

Пример 12.  

Решение:

Воспользуемся формулой перехода логарифма к новому основанию:

1)

Ответ:

Задания для самостоятельного решения:

1.      Ответ:

2.      Ответ:

3.      Ответ:

4.      Ответ:

5.      Ответ:

6.      Ответ: (3;.

7.      Ответ: (0;1)

8.      Ответ:

9.      Ответ:

10. Ответ:

На уроках можно решать неравенства из учебников и сборников, перечисленных в списке использованной литературы, а также других, имеющихся у преподавателей.

Список использованной литературы:

1.     Обобщение метода интервалов / Г. В. Дорофеев. Математика в школе, 1969, №3.

2.       Алгебра 9. Часть 2. Задачник / А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2008.

3.       Алгебра 10-11. Часть 2. Задачник / А. Г. Мордкович и др.– М.: Мнемозина, 2008.

4.       Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. – М.: Просвещение, 1999.

5.       Сборник заданий для подготовки к выпускному экзамену по алгебре и началам анализа / Е. А. Семенко и др. – Краснодар, 1996.

6.       ЕГЭ. Математика. Тематическая тетрадь. 11 класс / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П. И. Захаров. – М.: МЦНМО, Издательство «Экзамен», 2010.