МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С ГРАФИКОМ ФУНКЦИИ И ГРАФИКОМ ПРОИЗВОДНОЙ(ЕГЭ В-12)

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С ГРАФИКОМ ФУНКЦИИ И ГРАФИКОМ ПРОИЗВОДНОЙ(ЕГЭ В-12)

Особый интерес представляют задачи типа В12 – по известному графику производной указать свойства функции.

По графику производной могут быть установлены лишь те свойства, которые связаны с производной необходимыми и достаточными условиями монотонности и достаточными условиями экстремума, изучаемыми по школьной программе.

Рассмотрим некоторые вопросы обучения  учащихся каждому из трёх выделенных типов задач на отыскание свойств функции по графику производной.

1)    Отыскание промежутков монотонности функции по графику её производной.

Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить, на каких промежутках области определения функция возрастает, а на каких убывает. Согласно достаточному условию возрастания и убывания функции, это связано со знаком производной.  Если производная положительна, то функция возрастает,  если отрицательна, то убывает.

 Изображаем на координатной оси  точки пересечения графика функции  с осью  и указываем: на каком промежутке производная положительна, а на каком отрицательна.

Рассмотрим: как находить промежутки возрастания (убывания) функции по графику её производной на примере (таблица 1).                           

Таблица 1

Нахождение промежутков монотонности функции по графику производной

На основании признака возрастания (убывания) функции:если график производной функции лежит выше оси абсцисс на промежутке , то функция возрастает на этом промежутке (если график производной функции лежит ниже оси абсцисс на промежутке , то функция убывает на этом промежутке).
Если график производной функции на промежутке  лежит невыше (нениже) оси абсцисс (возможно пересекает ее в отдельных точках), то функция убывает  (возрастает) на этом промежутке.
Пример.  на промежутке (-2;2), следовательно, возрастает на этом промежутке.  на  промежутке и  на промежутке , следовательно,  функция  убывает на каждом из этих  промежутков.
Замечание. Объединять промежутки монотонности нельзя!

2)    Отыскание точек экстремума функции по графику её производной.

Найти точки экстремума функции – это значит найти её точки максимума и минимума. Согласно достаточному условию точки экстремума, это связано со сменой знака производной: если производная меняет знак с плюса на минус, то  – точка максимума, а если с минуса на плюс, то  – точка минимума.

Изображаем на координатной оси  точки пересечения графика функции  с осью   и указываем: на каком промежутке производная положительна, а на каком отрицательна.

Рассмотрим: как находить точки максимума (минимума) функции по графику её производной на примере (таблица 2).

Таблица 2

Нахождение точек экстремума функции по графику её производной

На основании достаточного условия экстремума функции: если при переходе через точку  производная меняет знак с плюса на минус, то  - точка максимума функции (если при переходе через точку  производная меняет знак с минуса на плюс, то  - точка минимума функции).	max   min
Если график производной пересекает ось абсцисс в точке сверху вниз (снизу вверх), то эта точка является точкой максимума (минимума) функции .
Пример. Т.к.  на  промежутке и на промежутке (-2;2), то – точка минимума функция ; Т.к.  на промежутке (-2;2) и  на  промежутке , то   – точка максимума функция .
Замечание. Следует различать точки экстремума и экстремумы функции. Точки экстремума – это точки максимума и минимума, а экстремумы функции – значения функции в точках экстремума.

3) Отыскание точек, в которых функция достигает наибольшего (наименьшего) значений на некотором промежутке, по графику производной.

При уточнении требования важно помнить, что функция на промежутке должна содержать единственный максимум (минимум) или быть монотонной.

При решении данного типа задач будем использовать теорему, данную в учебнике А. Г. Мордковича.

Теорема. Пусть функция непрерывна на промежутке X и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку . Тогда:

а) если  - точка максимума, то ;

б) если  - точка минимума, то .

Рассмотрим: как находить точки, в которых функции достигает наибольшего (наименьшего) значений  на примере (таблица 3).

Таблица 3

Нахождение точек, в которых функция достигает наибольшего

(наименьшего) значений на некотором промежутке, по графику производной

На основании теоремы о наибольшем (наименьшем) значении функции: Пусть  функция  непрерывна на некотором промежутке и имеет внутри него единственную точку экстремума, тогда,  если  – точка максимума, то функция  достигает в этой точке наибольшего значения (если  – точка минимума, то функция  достигает в этой точке наименьшего значения).
1)                   если  непрерывная  функция  монотонна на промежутке, то наибольшее и наименьшее значения достигаются на его концах; 2)                   Если непрерывная функция  на промежутке имеет единственную точку экстремума, то в ней достигается наибольшее или наименьшее значение (наибольшее  - в точке максимума, наименьшее – в точке минимума).
Пример. На (-3;3): – единственная точка минимума функции , значит, . На [-1;2] , значит, , поэтому, , . На  (-3;-2] , значит, , поэтому,   не существует, .
Замечание. Следует заметить, что если непрерывная функция имеет единственный  максимум (минимум), то сделать вывод о наименьшем (наибольшем) значении функции нельзя. Можно только предположить, что если функция задана на отрезке, то наименьшего (наибольшего) значения она достигает на одном из его концов.

Приведём набор задач на нахождение промежутков монотонности функции. Набор задач представим в виде матричного теста, который включает несколько графиков функций различного уровня сложности и ряд требований (от типовых до нестандартных), соотнесенных с каждым из приведенных графиков. Описанный способ предъявления позволяет получить комплекс тематических тестовых заданий, расположенных на странице формата А4, который поможет учителю организовать интенсивный тренинг и сформировать умение по решению данного класса математических задач.

Набор задач на нахождение промежутков монотонности функции

На рисунках 1-3 заданы графики функций , определённых на множестве всех действительных чисел. Решите тестовые задания, ответы запишите в соответствующих клетках таблицы.
1. Для функции   найдите промежутки возрастания.
2. Для функции   найдите количество промежутков убывания.
На рисунках 1-3 заданы графики функций , определённых на множестве всех действительных чисел. Решите тестовые задания, ответы запишите в соответствующих клетках таблицы.
1. Для функции   найдите промежутки убывания.
2. Для функции   найдите количество промежутков возрастания.
На рисунках 1-2 заданы графики функций , определённых на множестве всех действительных чисел. Решите тестовые задания, ответы запишите в соответствующих клетках таблицы.	y			y
1. Для функции   найдите длину промежутков убывания.
2. Для функции   укажите больший по длине промежуток убывания.
3. Для функции   укажите во сколько раз наибольший по длине промежуток убывания больше наименьшего по длине промежутка возрастания.
4. Для функции   укажите сумму наименьшего по длине промежутка возрастания и наибольшего по длине промежутка убывания.
5. Для функции   найдите разность между наибольшим и наименьшим промежутками убывания.

На рисунках 1-2 заданы графики функций , определённых на множестве всех действительных чисел. Решите тестовые задания, ответы запишите в соответствующих клетках таблицы.	y   2   1	y
1. Для функции   найдите длину промежутков возрастания.
2. Для функции   укажите меньший по длине промежуток возрастания.
3. Для функции   укажите во сколько раз наименьший по длине промежуток меньше наибольшего по длине промежутка возрастания.
4. Для функции   укажите сумму наименьшего по длине промежутка убывания и наименьшего по длине промежутка возрастания.
5. Для функции   найдите разность между наибольшим и наименьшим промежутками возрастания.

Например, на рисунке дан график функции , определённый на множестве всех действительных чисел.

Указать для функции :

1. Промежутки убывания;

2. Количество промежутков возрастания;

3. Наименьший по длине промежуток убывания;

4. Сумму длин двух наименьших по длине промежутков возрастания;

5. Во сколько раз наименьший по длине промежуток возрастания больше наименьшего по длине промежутка убывания.

Решение:

Изображаем на координатной оси  точки пересечения графика функции  с осью   и указываем:  на каком промежутке производная положительна, а на каком отрицательна.

График функции  пересекает ось   в точках  –7;–3; –1; 1; 7.

График производной расположен выше оси  на промежутках

(–∞; –7), (–3; –1), (1; 7), следовательно, функция

 возрастает на этих промежутках.

График производной расположен ниже оси  на промежутках (–7; –3),

(–1; 1), (7; +∞), следовательно, функция  убывает на этих промежутках.

1)    (–7; –3), (–1; 1), (7; +∞) – промежутки убывания;

2)    3 промежутка возрастания;

3) (–1; 1) – наименьший по длине промежуток убывания, т. к. его длина равна двум единицам;

4) (–3; –1), (1; 7) – два наименьших по длине промежутка возрастания. Длина первого из них равна 2 единицы, а длина второго – 6 единицы. Следовательно, их сумма равна 8 единицам;

5) (–3; –1) – наименьший по длине промежуток возрастания, его длина равна двум единицам. (–1; 1) – наименьший по длине промежуток убывания, его длина равна двум единицам; Следовательно, длины промежутков равны.

Необходимо отметить, что задачи некоторых типов решаются только в частных случаях, так как арсенал доступных учащимся средств ограничен. Например, по графику производной определить для функции точку, в которой функция достигает наибольшего (наименьшего) значения на заданном промежутке. Возможны два случая:

1. Непрерывная на промежутке функция имеет единственную точку экстремума, тогда наибольшее значение она принимает в точке максимума, а наименьшее – в точке минимума;

2. Непрерывная на промежутке функция монотонна, тогда наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах промежутка.

Поэтому при формулировке условий задач требуется корректность.