Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С ГРАФИКОМ ФУНКЦИИ И ГРАФИКОМ ПРОИЗВОДНОЙ(ЕГЭ В-12)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С ГРАФИКОМ ФУНКЦИИ И ГРАФИКОМ ПРОИЗВОДНОЙ(ЕГЭ В-12)

библиотека
материалов

hello_html_4071815c.gifhello_html_m50f5803a.gifhello_html_m50f5803a.gifhello_html_m3599b7f7.gifhello_html_m1fb9b68f.gifМЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С ГРАФИКОМ ФУНКЦИИ И ГРАФИКОМ ПРОИЗВОДНОЙ(ЕГЭ В-12)


Особый интерес представляют задачи типа В12 – по известному графику производной указать свойства функции.

По графику производной могут быть установлены лишь те свойства, которые связаны с производной необходимыми и достаточными условиями монотонности и достаточными условиями экстремума, изучаемыми по школьной программе.

Рассмотрим некоторые вопросы обучения учащихся каждому из трёх выделенных типов задач на отыскание свойств функции по графику производной.

  1. Отыскание промежутков монотонности функции по графику её производной.

Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить, на каких промежутках области определения функция возрастает, а на каких убывает. Согласно достаточному условию возрастания и убывания функции, это связано со знаком производной. Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна, то убывает.

Изображаем на координатной оси точки пересечения графика функции hello_html_c6168ab.gif с осью hello_html_m59c620a2.gif и указываем: на каком промежутке производная положительна, а на каком отрицательна.

Рассмотрим: как находить промежутки возрастания (убывания) функции по графику её производной на примере (таблица 1).


Таблица 1

Нахождение промежутков монотонности функции по графику производной

На основании признака возрастания (убывания) функции:если график производной функции лежит выше оси абсцисс на промежутке hello_html_245f98f2.gif, то функция возрастает на этом промежутке (если график производной функции лежит ниже оси абсцисс на промежутке hello_html_245f98f2.gif, то функция убывает на этом промежутке).

y

x

hello_html_m6a370eae.gif

hello_html_73bc5493.gif

+

-

-

1

x

1

hello_html_m3a96d803.gif

0

1

y

1

x

1

0

2

-2

2


Если график производной функции на промежутке hello_html_245f98f2.gif лежит невыше (нениже) оси абсцисс (возможно пересекает ее в отдельных точках), то функция убывает (возрастает) на этом промежутке.


Пример.

hello_html_6f09c316.gifна промежутке (-2;2), следовательно, hello_html_161169d2.gifвозрастает на этом промежутке.

hello_html_6e9d1654.gifна промежутке hello_html_6b663196.gifи на промежутке hello_html_4537ea.gif, следовательно, функция hello_html_m1c82ae20.gif убывает на каждом из этих промежутков.


Замечание.

Объединять промежутки монотонности нельзя!



  1. Отыскание точек экстремума функции по графику её производной.

Найти точки экстремума функции – это значит найти её точки максимума и минимума. Согласно достаточному условию точки экстремума, это связано со сменой знака производной: если производная меняет знак с плюса на минус, то hello_html_m4b15809d.gif – точка максимума, а если с минуса на плюс, то hello_html_471245ff.gif – точка минимума.

Изображаем на координатной оси точки пересечения графика функции hello_html_m50c8a347.gif с осью hello_html_m59c620a2.gif и указываем: на каком промежутке производная положительна, а на каком отрицательна.

Рассмотрим: как находить точки максимума (минимума) функции по графику её производной на примере (таблица 2).

Таблица 2

Нахождение точек экстремума функции по графику её производной

На основании достаточного условия экстремума функции:

если при переходе через точку hello_html_m2a0a083a.gif производная меняет знак с плюса на минус, то hello_html_m2a0a083a.gif - точка максимума функции (если при переходе через точку hello_html_m2a0a083a.gif производная меняет знак с минуса на плюс, то hello_html_m2a0a083a.gif - точка минимума функции).

y

x

hello_html_m6a370eae.gif

hello_html_73bc5493.gif

+

-

-

1

x

1

hello_html_m3a96d803.gif

0

1

y

1

x

1

0

2

-2

2

max

min


Если график производной пересекает ось абсцисс в точке сверху вниз (снизу вверх), то эта точка является точкой максимума (минимума) функции hello_html_m1c82ae20.gif.


Пример.

Т.к. hello_html_6e9d1654.gif на промежутке hello_html_6b663196.gifиhello_html_6f09c316.gif на промежутке (-2;2), то hello_html_m7ae869d6.gifточка минимума функция hello_html_m1c82ae20.gif;

Т.к. hello_html_6f09c316.gif на промежутке (-2;2) и hello_html_6e9d1654.gif на промежутке hello_html_4537ea.gif, то hello_html_m6c449282.gifточка максимума функция hello_html_m1c82ae20.gif.


Замечание. Следует различать точки экстремума и экстремумы функции. Точки экстремума – это точки максимума и минимума, а экстремумы функции – значения функции в точках экстремума.



3) Отыскание точек, в которых функция достигает наибольшего (наименьшего) значений на некотором промежутке, по графику производной.

При уточнении требования важно помнить, что функция на промежутке должна содержать единственный максимум (минимум) или быть монотонной.

При решении данного типа задач будем использовать теорему, данную в учебнике А. Г. Мордковича.

Теорема. Пусть функция hello_html_m2fca919c.gifнепрерывна на промежутке X и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку hello_html_56d542df.gif. Тогда:

а) если hello_html_56d542df.gif - точка максимума, то hello_html_2dd59901.gif;

б) если hello_html_56d542df.gif - точка минимума, то hello_html_490b4d7.gif.

Рассмотрим: как находить точки, в которых функции достигает наибольшего (наименьшего) значений на примере (таблица 3).


Таблица 3

Нахождение точек, в которых функция достигает наибольшего

(наименьшего) значений на некотором промежутке, по графику производной

На основании теоремы о наибольшем (наименьшем) значении функции:

Пусть функция непрерывна на некотором промежутке и имеет внутри него единственную точку экстремума, тогда,

если hello_html_m7994f0ce.gif – точка максимума, то функция hello_html_m1c82ae20.gif достигает в этой точке наибольшего значения (если hello_html_m7994f0ce.gif – точка минимума, то функция hello_html_m1c82ae20.gif достигает в этой точке наименьшего значения).

y

x

hello_html_m6a370eae.gif

hello_html_73bc5493.gif

+

1

x

1

hello_html_m3a96d803.gif

0

1

y

1

x

1

0

2

-2

min


  1. если непрерывная функция hello_html_m1c82ae20.gif монотонна на промежутке, то наибольшее и наименьшее значения достигаются на его концах;

  2. Если непрерывная функция hello_html_m1c82ae20.gif на промежутке имеет единственную точку экстремума, то в ней достигается наибольшее или наименьшее значение (наибольшее - в точке максимума, наименьшее – в точке минимума).


Пример.

На (-3;3): hello_html_m39514d37.gifединственная точка минимума функции hello_html_161169d2.gif, значит, hello_html_39f7191c.gif.

На [-1;2] hello_html_6f09c316.gif, значит, hello_html_3c945a05.gif, поэтому, hello_html_36e709e0.gif, hello_html_m379abd67.gif.

На (-3;-2] hello_html_6e9d1654.gif, значит, hello_html_344312db.gif, поэтому, hello_html_7aa33c58.gif не существует, hello_html_39f7191c.gif.


Замечание. Следует заметить, что если непрерывная функция имеет единственный максимум (минимум), то сделать вывод о наименьшем (наибольшем) значении функции нельзя. Можно только предположить, что если функция задана на отрезке, то наименьшего (наибольшего) значения она достигает на одном из его концов.


Приведём набор задач на нахождение промежутков монотонности функции. Набор задач представим в виде матричного теста, который включает несколько графиков функций различного уровня сложности и ряд требований (от типовых до нестандартных), соотнесенных с каждым из приведенных графиков. Описанный способ предъявления позволяет получить комплекс тематических тестовых заданий, расположенных на странице формата А4, который поможет учителю организовать интенсивный тренинг и сформировать умение по решению данного класса математических задач.

Набор задач на нахождение промежутков монотонности функции

1

x

y

1

0

1

2

3

На рисунках 1-3 заданы графики функций hello_html_6ca4d79b.gif, определённых на множестве всех действительных чисел.

Решите тестовые задания, ответы запишите в соответствующих клетках таблицы.

1

x

y

1

0



1

x

y

1

0



1. Для функции hello_html_161169d2.gif найдите промежутки возрастания.




1

x

y

1

0

1

2

3

2. Для функции hello_html_161169d2.gif найдите количество промежутков убывания.




На рисунках 1-3 заданы графики функций hello_html_6ca4d79b.gif, определённых на множестве всех действительных чисел.

Решите тестовые задания, ответы запишите в соответствующих клетках таблицы.

1

x

y

1

0


1

x

y

1

0



1. Для функции hello_html_161169d2.gif найдите промежутки убывания.




2. Для функции hello_html_161169d2.gif найдите количество промежутков возрастания.




На рисунках 1-2 заданы графики функций hello_html_6ca4d79b.gif, определённых на множестве всех действительных чисел.

Решите тестовые задания, ответы запишите в соответствующих клетках таблицы.

1

2

1

x

1

0

y


1

x

1

0

y


1. Для функции hello_html_161169d2.gif найдите длину промежутков убывания.



2. Для функции hello_html_161169d2.gif укажите больший по длине промежуток убывания.



3. Для функции hello_html_161169d2.gif укажите во сколько раз наибольший по длине промежуток убывания больше наименьшего по длине промежутка возрастания.



4. Для функции hello_html_161169d2.gif укажите сумму наименьшего по длине промежутка возрастания и наибольшего по длине промежутка убывания.



5. Для функции hello_html_161169d2.gif найдите разность между наибольшим и наименьшим промежутками убывания.




На рисунках 1-2 заданы графики функций hello_html_6ca4d79b.gif, определённых на множестве всех действительных чисел.

Решите тестовые задания, ответы запишите в соответствующих клетках таблицы.

1

x

1

0

y

2

1



1

x

1

0

y


1. Для функции hello_html_161169d2.gif найдите длину промежутков возрастания.



2. Для функции hello_html_161169d2.gif укажите меньший по длине промежуток возрастания.



3. Для функции hello_html_161169d2.gif укажите во сколько раз наименьший по длине промежуток меньше наибольшего по длине промежутка возрастания.



4. Для функции hello_html_161169d2.gif укажите сумму наименьшего по длине промежутка убывания и наименьшего по длине промежутка возрастания.



5. Для функции hello_html_161169d2.gif найдите разность между наибольшим и наименьшим промежутками возрастания.





x

y

0

1

1

hello_html_3aea549.gif

Например, на рисунке дан график функции hello_html_m7902378.gif, определённый на множестве всех действительных чисел.

Указать для функции hello_html_91884df.gif:



1. Промежутки убывания;

2. Количество промежутков возрастания;

3. Наименьший по длине промежуток убывания;

4. Сумму длин двух наименьших по длине промежутков возрастания;

5. Во сколько раз наименьший по длине промежуток возрастания больше наименьшего по длине промежутка убывания.

Решение:


hello_html_3c9ca624.gif

hello_html_m1a6aa56e.gif

x

y

0

1

1

hello_html_7fadf2ff.gif

x

+

+

+

_

_

_

-7

-3

-1

1

7

Изображаем на координатной оси точки пересечения графика функции hello_html_c6168ab.gif с осью hello_html_m59c620a2.gif и указываем: на каком промежутке производная положительна, а на каком отрицательна.

График функции hello_html_c6168ab.gif пересекает ось hello_html_m59c620a2.gif в точках –7;–3; –1; 1; 7.

График производной расположен выше оси hello_html_m59c620a2.gif на промежутках

(–∞; –7), (–3; –1), (1; 7), следовательно, функция

hello_html_91884df.gifвозрастает на этих промежутках.

График производной расположен ниже оси hello_html_m59c620a2.gif на промежутках (–7; –3),

(–1; 1), (7; +∞), следовательно, функция hello_html_91884df.gif убывает на этих промежутках.

  1. (–7; –3), (–1; 1), (7; +∞) – промежутки убывания;

  2. 3 промежутка возрастания;

3) (–1; 1) – наименьший по длине промежуток убывания, т. к. его длина равна двум единицам;

4) (–3; –1), (1; 7) – два наименьших по длине промежутка возрастания. Длина первого из них равна 2 единицы, а длина второго – 6 единицы. Следовательно, их сумма равна 8 единицам;

5) (–3; –1) – наименьший по длине промежуток возрастания, его длина равна двум единицам. (–1; 1) – наименьший по длине промежуток убывания, его длина равна двум единицам; Следовательно, длины промежутков равны.

Необходимо отметить, что задачи некоторых типов решаются только в частных случаях, так как арсенал доступных учащимся средств ограничен. Например, по графику производной определить для функции точку, в которой функция достигает наибольшего (наименьшего) значения на заданном промежутке. Возможны два случая:

1. Непрерывная на промежутке функция имеет единственную точку экстремума, тогда наибольшее значение она принимает в точке максимума, а наименьшее – в точке минимума;

2. Непрерывная на промежутке функция монотонна, тогда наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах промежутка.

Поэтому при формулировке условий задач требуется корректность.


12


Автор
Дата добавления 01.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров192
Номер материала ДВ-216121
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх