Методические рекомендации для самостоятельной работы.Тема "Основы линейной алгебры

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение  МО

«Губернский колледж»

Методические рекомендации по выполнению самостоятельной работы

по теме «Основные понятия и методы линейной алгебры»

 

Дисциплина «Математика»

 для специальности:

Защита в чрезвычайных ситуациях

среднего профессионального образования

(базовый уровень)

Серпухов, 2017

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

            Методические указания содержат практические советы по решению задач по теме «Основные понятия и методы линейной алгебры». Представлены краткие теоретические сведения и формулы, а также подробные решения типовых примеров, задания для самостоятельного решения.

Тема: Вычисление определителей

Цель: закрепить навыки по вычислению определителей второго, третьего и высших порядков.

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

1. Вычислить определитель второго порядка
2. Вычислить определитель третьего порядка
3. Вычислить определитель высших порядков

Пример выполнения работы:

1. Вычислить определитель второго порядка

Определителем второго порядка называется число, которое поставлено в соответствие таблицы коэффициентов

по следующему правилу: произведение по главной диагонали берется со знаком плюс, по другой диагонали со знаком минус.

 = a₁b₂  – a₂b₁              

Пример: вычислить определитель второго порядка

1)

2)

2. Вычислить определитель третьего порядка

Определителем третьего порядка называется число, которое поставлено в соответствие таблицы коэффициентов по следующему правилу:

 

 Это определение определителя наглядно можно представить следующим образом:

                                

Это правила называют еще «Правило треугольника»

Пример: Вычислить определитель третьего порядка

3. Вычислить определитель высшего  порядка

В общем виде определитель n-го порядка может быть представлен следующем виде:

     

где  a_ij – элемент определителя, i – номер строки, j – номер столбца.

Возьмем a_ij в определителе и вычеркнем i строку, j столбец. В результате останется определитель порядка на единицу ниже. Такой определитель называется минором элемента a_ij. Обозначается  минор – M_ij.

Пример: Найти минор элемента а₁₂ определителя

Для этого вычеркнем первую строку, второй столбец.

В результате останется определитель порядка на единицу ниже и минор равен:

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, в которой расположен элемент, четная и с обратным знаком, если нечетная.

                - алгебраическое дополнение    

ТЕОРЕМА:          Определитель n-го порядка равен сумме произведений какой либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

                                                            

Пример: Вычислить определитель четвертого порядка

По теореме определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения. Найдем алгебраические дополнения элементов первой строки и разложим определитель по первой строке:

Варианты заданий:

Вариант	Задание
1	1) а) D = ; б) D = ; в) D =
2	1) а) D = ; б) D = ;  в) D =
3	1) а) D = ; б) D = ; в) D =
4	1) а) D = ; б) D = ; в) D =
5	1) а) D = ; б) D = ; в) D =
6	1) а) D = ; б) D = ; в) D =
7	1) а) D = ; б) D = ;               в) D =
8	1) а) D = ; б) D = ;              в) D =
9	1) а) D = ; б) D = ;                в) D =
10	1) а) D = ; б) D = ;               в) D =

Литература:

Ø Валуцэ И.И. «Математика для техникумов» - М., Наука, 1990 г.

Ø Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа /под ред. Яковлева Г.Н. - М.: Наука, 1988, ч 1, 2

Ø Техлецкий И.Д. Математика - М.: Мастерство, 2001.

Ø Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т1 и 2., М.: Наука, 1968.

Ø Шипачев В.С. Основы высшей математики. М.: высшая школа, 1989.

Тема: Решение систем линейных алгебраических урвнений

Цель: закрепить навыки по решению систем методом Крамера и методом Гаусса.

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

1. Решить систему методом Крамера

Пример выполнения работы:

1.      Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера

   Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

        

х₁ , х₂ , …, х_n – неизвестные,

b_1,  b₂, …., b_n  -  столбец свободных членов.

Составим главный определитель системы из коэффициентов при  неизвестных

          

Составим вспомогательные определители системы следующим образом:

    …          

Тогда решением системы является:

,   ,     …,       

Отметим следующее:

1. Если определитель системы D ≠ 0, то система определена, т.е. имеет единственное решение
2. Если D = Dx₁ = Dx₂ = … =Dx_n = 0, то система имеет бесконечно много решений, т.е. является неопределенной.
3. Если D = 0, но хотя бы  один из  Dx₁, Dx_{2, … ,} Dx_n не равен нулю, то система несовместна, т.е. не имеет решений.

Из – за арифметических трудностей формулы Крамера на практике используются для систем не выше третьего, четвертого порядка.

Пример:  Решить по формулам Крамера систему уравнений:

2х + 3у = 1

х – у = 0

Вычислим все определители:

Отсюда 

              

Ответ: ,  

Пример:  Решить по формулам Крамера систему уравнений:

  

Вычислим:

 

Тогда:

Ответ: х₁=2/3,    х₂=1,     х₃=0.

Варианты заданий:

Вариант	Задание
1	а)       б)
2	а)        б)
3	а)      б)
4	а)    б)
5	а)     б)
6	а)       б)
7	а)       б)
8	а)        б)
9	а)      б)
10	а)  б)

Литература:

Ø Валуцэ И.И. «Математика для техникумов» - М., Наука, 1990 г.

Ø Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа /под ред. Яковлева Г.Н. - М.: Наука, 1988, ч 1, 2.

Ø Техлецкий И.Д. Математика - М.: Мастерство, 2001.

Ø Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т1 и 2., М.: Наука, 1968.

Ø Шипачев В.С. Основы высшей математики. М.: высшая школа, 1989.