Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
Пример1. Найдите , 5tgесли
Решение: т.к. , то ;tg5 tg; 5ctg
Ответ: -1;
Пример 2. Найдите
Решение:
Ответ: 4
Пример 3. Упростите выражение:
Решение:,
Пример 4. Докажите тождество:
Решение: ;
;
0
Пример 5. Найдите значение выражения:,
Решение:
Ответ: 6
Практическая часть:
Задание: выполните индивидуальные задания по теме «Преобразование тригонометрических выражений».
,
Упростите выражение
tg
Докажите тождество
Алгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 10
Решение тригонометрических уравнений
Цель: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений.
Теоретическая часть:
Решение простейших тригонометрических уравнений:
при , при - решений нет
; ,
; ,
, ,
при ,
при - решений нет
; ,
; ,
; ,
- любое число ,
-
- любое число ,
-
Способы решения тригонометрических уравнений:
Уравнение содержит только синусы или косинусы (синусы и косинусы) вида
Уравнение сводится к квадратному (биквадратному) относительно синуса (косинуса)
Однородное уравнение I степени вида
Деление обеих частей на . Получаем:
Однородное уравнение II степени вида
Деление обеих частей на . Получаем:
Уравнение вида
Уравнение сводится к квадратному относительно тангенса заменой
Пример1:
1) 2)
x
Пример 2:
сtg −3tg =0,
,
1
,
Пример3:
,
,
2
4
2,
tg,
,
Ответ:
Практическая часть:
Задание: выполните индивидуальные задания по теме «Решение тригонометрических уравнений».
1) 2 sin x – cos 2x = 0 1)
2) sin (- cos (=2
2)
3)
3)
4)
4)
5)
5)
6)
6) 2
7)
7)
Алгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 11
Роль переменных величин в развитии математики
Цель: изучить роль переменных величин в развитии математики.
Теоретическая часть:
Становление и развитие математики как науки, возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребностей общества в измерениях, контроле, особенно в областях аграрной, промышленной и налогообложения. Первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием. Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности как явления, лежащего в основе мирного сосуществования различных рас и народов. Понятие числа всегда сопровождалось и нечисловыми понятиями. Например, один, два, много. Эти нечисловые понятия всегда ограждали сферу математики. Математика придавала законченный вид всем наукам, где она применялась. В Европе сложилось разделение на гуманитарные и естественные науки по степени влияния математики на эти части.
В XVII в. начинается новый период истории математики – период математики переменных величин. Его возникновение связано, прежде всего, с успехами астрономии и механики. Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной.
Практическая часть:
Задание: подготовить сообщение по теме «Роль переменных величин в развитии математики».
Алгоритм выполнения:
1.Воспользуйтесь интернет – ресурсами, например:
Социальная сеть работников образования «Наша сеть»
URL: http://nsportal.ru/shkola/mezhdistsiplinarnoe-obobshchenie/library/2013/12/12/rol-matematiki-v-sovremennom-mire
2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению сообщений (приложение 3)
3.Выполните задание.
4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа №12
Преобразования графиков степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций
Цель: закрепить навыки построения и преобразования графиков степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций в электронной таблице MS Excel.
Теоретическая часть:
При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз, при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.
y = kf(x)
При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз,
при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси абсцисс в k раз.
Преобразования графика с модулем
y = | f(x) |
При f(x) > 0 — график остаётся без изменений,
при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.
y = f(| x |)
При x0 — график остаётся без изменений,
при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.
Для построения графиков функций Y(X) в Microsoft Office Excel используется тип диаграммы Точечная:
Для этого требуется два ряда значений: Х и Y значения, которые должны быть соответственно расположены в левом и правом столбцах.
Можно совместить построение нескольких графиков. Такая возможность используется для графического решения систем уравнений с двумя переменными, при проведении сравнения анализа значений y при одних и тех же значениях x.
Пример: построить графики функций y1= x 2 и y2= x 3 на интервале [- 3; 3] с шагом 0,5.
Алгоритм выполнения задания:
1. Заполнить таблицу значений:
2. Выделить таблицу и указать тип диаграммы Точечная.
3. Выбрать формат точечной диаграммы с гладкими кривыми.
4. В Макете указать название диаграммы «Графики», дать название осей: X и Y
5. Должен получиться график:
Примеры:
1). Построить графики функций y1= x 2 -1, y2= x 2+1 и y=К·(y1/ y2) на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,3.
2). Построить графики функций y1= и y2= 2х на интервале [- 3; 3] с шагом 0,5.
3). Построить графики функций y1= , y2=на интервале [-0,5;9] с шагом 0,5.
4). Построить графики функций y1=, y2= на интервале [-5;-0,5] с шагом 0,5.
5). Построить графики функций y1= , y2=на интервале [0,5 ; 5] с шагом 0,5.
Практическая часть:
Задание: в электронных таблицах Microsoft Excel постройте графики функций:
1) y = cos x и y = 2 cos x; 2) у=cos(х+ π); 3)у=4х+1-2; 4) у= log3(х-1)+2.
Алгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание в электронных таблицах Microsoft Excel.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 13
Простейшие сечения куба, призмы и пирамиды
Цель: развивать навыки решения задач на построение сечений простейших многогранников.
Теоретическая часть:
Для решения многих геометрических задач связанных с многогранниками, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями, находить точку пересечения данной прямой с данной плоскостью, находить линию пересечения двух данных плоскостей. Рассмотрим задачи на построение сечений плоскостью, проходящей через три точки, расположенные на ребрах многогранников. Что называется сечением многогранника? Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, принадлежащие граням многогранника, с концами на ребрах многогранника, полученный в результате пересечения многогранника произвольной секущей плоскостью. Какие многоугольники могут являться сечениями данных многогранников? Сечения куба: трех - шести - угольники. Сечения тетраэдра: треугольники, четырехугольники. Сечения четырехугольной пирамиды и треугольной призмы: трех - пяти - угольники.
Задача 1 . Дан куб ABCDAA1B1C1D1. На его ребре ВВ1 дана точка М. Найти точку пересечения прямой C1M с плоскостью грани куба ABCD.
Рассмотрим изображение куба ABCDAA1B1C1D1 с точкой М на ребре ВВ1 Точки М и С1 принадлежат плоскостиВВ1С1 Что можно сказать о прямой C1M?
Прямая C1M принадлежит плоскости ВВ1С1. Искомая точка X принадлежит прямой C1M, а значит и плоскости ВВ1С1. Каково взаимное расположение плоскостей ВВ1С1 и ABC? Данные плоскости пересекаются по прямой BC.
Значит все общие точки плоскостей ВВ1С1 и ABC принадлежат прямой BC. Искомая точка X должна принадлежать одновременно плоскостям двух граней: ABCD и BB1C1C; из этого следует, что точка X должна лежать на линии их пересечения, т. е. на прямой ВС. Значит, точка X должна лежать одновременно на двух прямых: С1М и ВС и, следовательно, является их точкой пересечения. С1М и ВС до пересечения в точке X, которая и есть искомая точка пересечения прямой С1М с плоскостью грани ABCD.
Задача 2. Эту задачу рассмотрим с краткой записью построения.
а) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки А1, МD1C1 и NDD1 и б) Найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.
Решение. I. Секущая плоскость имеет с гранью A1B1C1D1 две общие точки А1 и М и, следовательно, пересекается с нею по прямой, проходящей через эти точки. Соединяя точки А1 и М отрезком прямой, находим линию пересечения плоскости будущего сечения и плоскости верхней грани. Этот факт будем записывать следующим образом: А1М Аналогично находим линии пересечения секущей плоскости с гранями АА1D1D и DD1С1С. Таким образом, A1NМ искомое сечение. Перейдем ко второй части задачи. Найдем линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.
II. Секущая плоскость с плоскостью основания куба пересекается по прямой. Чтобы изобразить эту прямую достаточно найти две точки принадлежащие данной прямой, т.е. общие точки секущей плоскости и плоскости грани ABCD. Опираясь на предыдущую задачу такими точками будут являться: точка X;
Задача 3. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки:
Опираясь на понятие сечения, нам достаточно найти в плоскости каждой грани две точки для построения линии пересечения секущей плоскости и плоскости каждой грани куба. Точки M и N принадлежат плоскости А1В1С1 . Соединив их, получим линию пересечения секущей плоскости и плоскости верхней грани куба. Продолжим прямые MN и D1C1 до пересечения. Получим точку Х , принадлежащую как плоскости А1В1С1 , так и плоскости DD1C1. Точки N и К принадлежат плоскости ВВ1С1. Соединив их, получим линию пересечения секущей плоскости и граниВВ1С1С. Соединяем точки Х и К, и продолжаем прямую ХК до пересечения с прямой DC. Получим точку Р и отрезок КР – линию пересечения секущей плоскости и грани DD1C1C. Продолжая прямые КР и DD1 до пересечения, получим точку Y, принадлежащую плоскости АА1D1. В плоскости этой грани нам требуется еще одна точка, которую получаем в результате пересечения прямых MN и А1D1. Это точка . Соединяем точки Y и Z, получим и . Соединив Q и Р, R и M, получим MNKPQR искомое сечение.
Краткая запись построения: 1) M; 2) D1C1; 3) N; 4) X;6); 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11); 13) MNKPQR искомое сечение.
Задача 4. Построить сечение четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки: .
Краткая запись построения:
1) M; 2); 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;7); 8) ; 9) ; 10) MNPKQ искомое сечение.
Практическая часть:
Задание: подготовить сообщение по теме «Простейшие сечения призмы, куба и пирамиды»».
Алгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению сообщений (приложение 3)
3.Выполните задание.
4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 14
Правильные и полуправильные многогранники
Цель: ознакомиться с понятием правильного многогранника и полуправильного многогранника, с их видами.
Теоретическая часть:
Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого – равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер.
Тела Платона - это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников:
Итак, тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань. Гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" – шесть. Октаэдр - восьмигранник, "окто" – восемь. Додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать. Икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать. Наряду с правильными многогранниками существуют еще многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани – правильные многоугольники нескольких видов. Они не могут быть отнесены к правильным – их называют полуправильными многогранниками. В полуправильных многогранниках равны одноименные многоугольники; причем в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней.
Практическая часть:
Задание: разработайте презентацию по теме «Правильные и полуправильные многогранники».
Алгоритм выполнения:
1.Воспользуйтесь интернет – ресурсами, например:
Интернет портал «Одаренные дети – математика»
URL: http://genius.pstu.ru/file.php/1/pupils_works_2012/Alikina_Alla.pdf
2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению презентации (приложение 2)
3.Выполните задание.
4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 15
Понятие дифференциала и его приложения
Цель: ознакомиться с понятием дифференциала и его приложениями.
Теоретическая часть:
Главная, линейная относительно, часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается . Для удобства записи в данном случае заменяют на . (Но при вычислениях замену не производят)
Итак, дифференциал вычисляют по формуле: . (1)
Пример 1: Найти дифференциал функции: .
Дифференциал функции применяется при решении многих математических задач. Существует два типа задач, которые возможно рационально решить, используя понятия дифференциала: приближенные вычисления значения функции в заданной точке и вычисление приращения функции в заданной точке.
Практическая часть:
Задание: разработайте презентацию по теме «Понятие дифференциала и его приложения».
Алгоритм выполнения:
1.Воспользуйтесь интернет – ресурсами, например:
Научная библиотека избранных естественно-научных изданий
URL: http://edu.sernam.ru/book_sm_math1.php?id=51
2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению презентации (приложение 2)
3.Выполните задание.
4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 16
Применение производной для построения графика функции
Цель: закрепить навыки применения производной для построения графика функции.
Теоретическая часть:
Для построения графика функции нужно:
1) найти область определения и область значений функции,
2) установить, является ли функция чётной или нечётной,
3) определить, является ли функция периодической или нет,
4) найти нули функции и её значения при x = 0,
5) найти интервалы знакопостоянства,
6) найти интервалы монотонности,
7) найти точки экстремума и значения функции в этих точках,
8) проанализировать поведение функции вблизи “особых” точек и при больших значениях модуля x .
Пример. Исследуйте функцию f (x) = x 3 + 2x 2 - x - 2 и постройте график.
Решение: исследуем функцию по вышеприведенной схеме.
1) область определения x R (x – любое действительное число);
область значений y R, так как f (x) – многочлен нечётной степени;
2) функция f (x) не является ни чётной, ни нечётной (поясните, пожалуйста);
3) f (x) – непериодическая функция (докажите это сами);
4) график функции пересекается с осью Y в точке (0, – 2), так как f (0) = - 2; чтобы найти нули функции нужно решить уравнение: x 3 + 2x 2 - x - 2 = 0, один из корней которого x = 1 очевиден. Другие корни находятся (если они есть!) из решения квадратного уравнения: x 2 + 3x + 2 = 0, которое получено делением многочлена x 3 + 2x 2 - x - 2 на двучлен (x – 1). Легко проверить, что два других корня: x2 = -2 и x3 = -1. Таким образом, нулями функции являются: -2, -1 и 1.
5) Это значит, что числовая ось делится этими корнями на четыре интервала
знакопостоянства, внутри которых функция сохраняет свой знак:
Этот результат может быть получен разложением многочлена на множители:
x 3 + 2x 2 - x - 2 = (x +2) (x +1) (x – 1) и оценкой знака произведения методом интервалов.
6) Производная f’ (x) = 3x2 + 4x -1 не имеет точек, в которых она не существует, поэтому ее область определения R (все действительные числа); нули f’ (x) – это корни уравнения: 3x2 + 4x - 1 = 0
Эти корни: . Функция имеет две критические точки и три интервала монотонности:
Полученные результаты сведены в таблицу:
Практическая часть:
Задание: выполните индивидуальные задания по теме «Применение производной для построения графика функции».
Алгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 17
Вычисление простейших интегралов
Цель: закрепить навыки вычисления простейших интегралов.
Теоретическая часть:
Совокупность всех первообразных функций F(x)+С для функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается.
Таблица основных интегралов:
1.;
3. 4.
Следствие:
5. 6.
7. ; 8. ;
9. 10.
Основные свойства интегралов:
1. ; 2. .
Формула Ньютона – Лейбница
где F(x) – первообразная для f(x), т.е. F'(x)=f(x).
Вычислить интегралы:
;
-
Существует несколько способов создания формул в текстовом документе.
Первый способ применяется для несложных математических выражений, в которых используется возведение в степень или перечисление. Выражение оформляется с использованием параметров оформления символов (верхний и нижний индекс).
Второй способ позволяет записывать математические выражения, используя символы стандартных шрифтов ОС Windows. В MS Word 2007 для этого используется вкладка Вставка\Символ. В диалоговом окне Символ (см. рисунок 1) можно выбрать шрифт, просмотреть набор входящих в него символов и выбрать нужный. Это диалоговое окно знакомо нам по работе с маркированными списками.
Рисунок 1
Шрифт, который содержит большинство математических операций и обозначений, а так же греческие буквы, носит название Sumbol.
Третий способ создания математических выражений связан с использованием дополнительных возможностей пакета MS Office – Редактора формул. Этот модуль позволяет набирать в тексте выражения любой сложности и использовать любые математические операторы и конструкции.
Добавление формулы происходит с помощью вкладки Вставка\Формула (рисунок 2). Вы можете выбрать готовую формулу из списка предложенных или создать новую. При создании новой формулы открывается дополнительная вкладка Работа с формулами, которая и позволяет создавать нужные математические выражения.
Рисунок 2
Прежде чем приступить к набору формулы, необходимо подумать, из каких операций и функций она строится, то есть определить структуру формулы.
Практическая часть:
Задание: оформите решение примеров по теме «Вычисление простейших интегралов» в текстовом редакторе MS Word с помощью встроенного редактора формул.
Алгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 18
Схемы повторных испытаний Бернулли
Цель: ознакомиться со схемой повторных испытаний Бернулли.
Теоретическая часть:
При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.
Примеры повторных испытаний:
1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;
2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).
Практическая часть:
Задание: подготовить сообщение по теме «Схемы повторных испытаний Бернулли».
Алгоритм выполнения:
1.Воспользуйтесь интернет – ресурсами, например:
В универе – математика для студентов
URL: http://vunivere.ru/work22844
2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению сообщений (приложение 3)
3.Выполните задание.
4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 19
Решение различных видов уравнений (в том числе с параметрами)
Цель: закрепить навыки решения различных видов уравнений, познакомиться с решением уравнений с параметром.
Теоретическая часть:
Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую теорему: показательное уравнение af(x) = ag(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).
Основные методы решения показательных уравнений:
1) метод уравнивания показателей;
2) метод введения новой переменной.
Пример 1.Решите уравнение:
Решение:
Пример 2.
Решение: . Используем подстановку:
Уравнение тогда принимает вид:
Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:
Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:
Переходя к обратной подстановке, получаем:
1. 2.
; корней нет.
Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Ответ: x = 3.
Пример 3. Решите уравнение:
Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2x. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид: Ответ: x = 0.
Уравнение вида называется логарифмическим.
Основные виды логарифмических уравнений и методы их решения:
1) Простейшие логарифмические уравнения: Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е.
2) Уравнения вида , т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения:
3) Уравнения квадратного вида log2ax + logax + c = 0 решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению.
4) Уравнения вида решаются логарифмированием обеих частей по основанию .
Пример 1. Решите уравнение:
;
Пример 2.
log25 ; log25
пусть ;
и Ответ:
Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня. К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида:
Метод решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.
Главный способ избавиться от корня и получить рациональное уравнение – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее «освобождение» от радикалов по формуле
Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение: Возведем обе части этого уравнения в квадрат и получим ⇔ 4 ⇔ , откуда следует, что .
Проверка: : ⇔. Это неверное числовое равенство, значит, число не является корнем данного уравнения.
: ⇔. Это верное числовое равенство, значит, число является корнем данного уравнения.
Ответ: .
Если в уравнение некоторые коэффициенты заменены не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим. Например, решить уравнение (4х – ах)а = 6х – 10 . Здесь х – неизвестное, а – параметр.
Решить уравнение с параметрами означает:
- определить, при каких значениях параметров существует решения;
- для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.
Основные способы решения уравнений с параметром.
1. (аналитический) Этот способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные способы нахождения ответа в уравнениях без параметра.
2. (графический) В зависимости от уравнения рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у), или в координатной плоскости (х;а).
3. (решение относительно параметра) При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признаётся более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.
Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем уравнениям, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор раннее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.
Схема исследования квадратного уравнения:
Уравнение вида , где a,b,c - выражения, зависящие от параметров, а ≠ 0, х – неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами.
Если = 0, то имеем линейное уравнение .
Если 0 и дискриминант уравнения D то уравнение не имеет решений.
Если а ≠ 0 и D
Если а ≠ 0 и D, то уравнение имеет два различных корня
Пример: для всех значений параметра а решить уравнение
Решение. 1) = 0, т.е. = 1.Тогда уравнение примет вид ,
2) 1. Найдём дискриминант уравнения
Возможны случаи: а) D< 0, т. е. < 0, Уравнение не имеет корней.
б) D = 0, т.е. = 0, = 8, = 2. Уравнение имеет один корень
.в) D > 0, т.е. 0,
в) D > 0, т.е. -4а + 8 > 0, 4а < 8, а < 2. Уравнение имеет два корня:
Ответ: при = 1 ; при = 2 ; нет корней; при и а ≠ 1
Практическая часть:
Задание: выполните индивидуальные задания по теме «Решение различных видов уравнений (в том числе с параметрами)»
Алгоритм выполнения: 1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 20
Решение различных видов неравенств (в том числе с параметрами)
Цель: закрепить навыки решения различных видов неравенств, познакомиться с решением неравенств с параметром.
Теоретическая часть:
Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы: если a >1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x)> g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).
Пример: Решите неравенство:. Заданное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла Найдем корни квадратного трехчлена: Так как то решением данного неравенства является множество:
Если а > 1, то функция у = logax возрастает на всей своей области определения. Если же 0 < а < 1, то у = logax убывает на всей области определения. Это свойство функции используется при решении логарифмических неравенств.
Пример: Решите неравенство: ;
Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь, как правило, исключена возможность проверки, поэтому надо стараться делать все преобразования равносильными.
Если в любом иррациональном уравнении заменить знак равенства на один из знаков неравенства: , то получим иррациональное неравенство. Поэтому под иррациональным неравенством будем понимать неравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня.
Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень.
При решении иррациональных неравенств следует запомнить правило: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству.
Если обе части неравенства возводят в четную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.
Иррациональное неравенство равносильно системе неравенств или (1)
Первое неравенство в системе (1) является результатом возведения исходного неравенства в степень, второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, а третье неравенство системы выражает условие, при котором это неравенство можно возводить в квадрат.
Иррациональное неравенство или равносильно совокупности двух систем неравенств
или (2)
Обратимся к первой системе схемы (2). Первое неравенство этой системы является результатом возведения исходного неравенства в квадрат, второе – условие, при котором это можно делать.
Вторая система схемы (2) соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, и возводить в квадрат нельзя. Но в этом и нет необходимости: левая часть исходного неравенства – арифметический корень – неотрицательна при всех x , при которых она определена. Поэтому исходное неравенство выполняется при всех x, при которых существует левая часть. Первое неравенство второй системы и есть условие существования левой части.
Иррациональное неравенство или равносильно системе неравенств
. (3)
Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны при всех x , при которых они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первое неравенство в системе (3) является результатом возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, понятно, что неравенство выполняется при этом автоматически.
Схемы (1)–(3) – наш основной инструмент при решении иррациональных неравенств, к ним сводится решение практически любой задачи.
Пример: Решить неравенство .
Решение: Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x , при которых она определена. Поэтому неравенство решений не имеет.
Ответ. Решений нет.
Если в неравенстве некоторые коэффициенты заменены не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а неравенство параметрическим. Например, неравенство (4х – ах)а = 6х – 10 . Здесь х – неизвестное, а – параметр.
Решить неравенство с параметрами означает:
- определить, при каких значениях параметров существует решения;
- для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.
Основные способы решения неравенств с параметром:
1. (аналитический) Этот способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные способы нахождения ответа в неравенствах без параметра.
2. (графический) В зависимости от неравенства рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у), или в координатной плоскости (х;а).
3. (решение относительно параметра) При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признаётся более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.
Существенным этапом решения неравенств с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем неравенствам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор раннее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.
Пример 1:Решить неравенство 5х – а > ax + 3.
Решение: Для начала преобразуем исходное неравенство:5х – ах > a + 3, вынесем за скобки х в левой части неравенства:(5 – а)х > a + 3. Теперь рассмотрим возможные случаи для параметра а:
Если a > 5, то x < (а + 3) / (5 – а).
Если а = 5, то решений нет.
Если а < 5, то x > (а + 3) / (5 – а).
Данное решение и будет являться ответом неравенства.
Пример 2:Решить неравенство х(а – 2) / (а – 1) – 2а/3 ≤ 2х – а при а ≠ 1.
Решение:Преобразуем исходное неравенство:х(а – 2) / (а – 1) – 2х ≤ 2а/3 – а;
-ах/(а – 1) ≤ -а/3. Домножим на (-1) обе части неравенства, получим:
ах/(а – 1) ≥ а/3. Исследуем возможные случаи для параметра а:
1 случай. Пусть a/(а – 1) > 0 или а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тогда x ≥ (а – 1)/3.
2 случай. Пусть a/(а – 1) = 0, т.е. а = 0. Тогда x – любое действительное число.
3 случай. Пусть a/(а – 1) < 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.
Ответ: х € [(а – 1)/3; +∞) при а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
х € [-∞; (а – 1)/3] при а € (0;1);
х € R при а = 0.
Практическая часть:
Задание: выполните индивидуальные задания по теме «Решение различных видов неравенств (в том числе с параметрами)»
Алгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Список литературы
Основные источники:
Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М., 2010.
Гусев В.А. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля – М., 2012.
Дополнительные источники:
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни). 10-11. – М., 2005.
Башмаков М.И. Математика. 10 класс. Сборник задач – М., 2008.
Колмогоров А.Н Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11кл. – М., 2010.
Погорелов А.В. Геометрия 10-11– М., 2010.
Ященко И.В. Математика 50 вариантов заданий – М., 2015.
Интернет-ресурсы:
1. http://www.ege.edu.ru/
2. http://www.fipi.ru/
3. http://edu.alnam.ru/book_kram.php?id=56
4. http://refleader.ru/bewyfsujgmer.html
5. http://gnesin-phys.narod.ru/math/PM_lect1.pdf
6. http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-059*page.htm
7.http://nsportal.ru/npo-spo/gumanitarnye-nauki/library/2014/12/07/osnovy-
trigonometrii
Приложение 1
Требования к оформлению реферата
Требования к содержанию реферата:
- материал, использованный в реферате, должен относится строго к выбранной теме;
- необходимо изложить основные аспекты проблемы не только грамотно, но и в соответствии с той или иной логикой (хронологической, тематической, событийной и др.)
- реферат должен заканчиваться подведением итогов проведенной исследовательской работы: содержать краткий анализ-обоснование преимуществ той точки зрения по рассматриваемому вопросу, с которой Вы солидарны.
Требования к структура реферата:
1. Начинается реферат с титульного листа.
2. За титульным листом следует Оглавление. Оглавление - это план реферата, в котором каждому разделу должен соответствовать номер страницы, на которой он находится.
3. Текст реферата. Он делится на три части: введение, основная часть и заключение.
а) Введение - раздел реферата, посвященный постановке проблемы, которая будет рассматриваться и обоснованию выбора темы.
б) Основная часть - это звено работы, в котором последовательно раскрывается выбранная тема. Основная часть может быть представлена как цельным текстом, так и разделена на главы. При необходимости текст реферата может дополняться иллюстрациями, таблицами, графиками, но ими не следует "перегружать" текст.
в) Заключение - данный раздел реферата должен быть представлен в виде выводов, которые готовятся на основе подготовленного текста. Выводы должны быть краткими и четкими. Также в заключении можно обозначить проблемы, которые "высветились" в ходе работы над рефератом, но не были раскрыты в работе.
4. Список источников и литературы. В данном списке называются как те источники, на которые ссылается студент при подготовке реферата, так и все иные, изученные им в связи с его подготовкой. В работе должно быть использовано не менее 5 разных источников, из них хотя бы один – на иностранном языке (английском или французском). Работа, выполненная с использованием материала, содержащегося в одном научном источнике, является явным плагиатом и не принимается. Оформление Списка источников и литературы должно соответствовать требованиям библиографических стандартов
Объем и технические требования по выполнению реферата:
Объем работы должен быть не менее 6 и не более 10 страниц. Работа должна выполняться через интервал 1,5, 14 шрифтом, размеры оставляемых полей: левое - 20 мм, правое - 20 мм, нижнее - 20 мм, верхнее - 20 мм. Страницы должны быть пронумерованы.
Расстояние между названием части реферата или главы и последующим текстом должно быть равно трем интервалам. Фразы, начинающиеся с "красной" строки, печатаются с абзацным отступом от начала строки, равным 1 см.
При цитировании необходимо соблюдать следующие правила:
- текст цитаты заключается в кавычки и приводится без изменений, без произвольного сокращения цитируемого фрагмента (пропуск слов, предложений или абзацев допускается, если не влечет искажения всего фрагмента, и обозначается многоточием, которое ставится на месте пропуска) и без искажения смысла;
- каждая цитата должна сопровождаться ссылкой на источник, библиографическое описание которого должно приводиться в соответствии с требованиями библиографических стандартов.
Приложение 2
Требования к оформлению презентации
Количество слайдов: не менее 10 и не более 15. На первом слайде размещается: название презентации; автор: ФИО, группа, название учебного учреждения (соавторы указываются в алфавитном порядке); год. На втором слайде указывается содержание работы, которое лучше оформить в виде гиперссылок (для интерактивности презентации). На последнем слайде указывается список используемой литературы в соответствии с требованиями, Интернет-ресурсы указываются в последнюю очередь.
Информация представленная в презентации должна соответствовать теме самостоятельной работы.
необходимо соблюдать единый стиль оформления; вспомогательная информация (управляющие кнопки) не должны преобладать над основной информацией (текст, рисунки)
Фон
Использование цвета
на одном слайде рекомендуется использовать не более трех цветов: один для фона, один для заголовков, один для текста;
для фона и текста используются контрастные цвета;
особое внимание следует обратить на цвет гиперссылок (до и после использования)
Содержание информации
Расположение информации на странице
Шрифты
Объем информации
Виды слайдов
Для обеспечения разнообразия следует использовать разные виды слайдов: с текстом, с таблицами, с диаграммами.
Приложение 3
Требования к оформлению сообщения
Сообщение – это сокращенная запись информации, в которой должны быть отражены основные положения текста, сопровождающиеся аргументами, 1–2 самыми яркими и в то же время краткими примерами.
Сообщение составляется по нескольким источникам, связанным между собой одной темой. Вначале изучается тот источник, в котором данная тема изложена наиболее полно и на современном уровне научных и практических достижений. Записанное сообщение дополняется материалом других источников.
Этапы подготовки сообщения:
1. Прочитайте текст.
2. Составьте его развернутый план.
3. Подумайте, какие части можно сократить так, чтобы содержание было понято правильно и, главное, не исчезло.
4. Объедините близкие по смыслу части.
5. В каждой части выделите главное и второстепенное, которое может быть сокращено при конспектировании.
6. При записи старайтесь сложные предложения заменить простыми.
Тематическое и смысловое единство сообщения выражается в том, что все его компоненты связаны с темой первоисточника.
Сообщение должно содержать информацию на 3-5 мин. и сопровождаться презентацией, схемами, рисунками, таблицами и т.д.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.