Для всех учителей из 37 347 образовательных учреждений по всей стране

Скидка до 75% на все 778 курсов

Выбрать курс
Получите деньги за публикацию своих
разработок в библиотеке «Инфоурок»
Добавить авторскую разработку
и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru
Инфоурок Другое Другие методич. материалыМетодические рекомендации для студентов специальности 44.02.01 Преподавание в начальных классах "Практические занятия по общеобразовательной дисциплине Математика"

Методические рекомендации для студентов специальности 44.02.01 Преподавание в начальных классах "Практические занятия по общеобразовательной дисциплине Математика"

библиотека
материалов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ Нижегородской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

"Лукояновский педагогический колледж им. А.М.Горького"

(ГБОУ СПО ЛПК)








У Ч Е Б Н О - М Е Т О Д И Ч Е С К О Е О Б Е С П Е Ч Е Н И Е

общеобразовательной дисциплины Математика

(специальность 44.02.01 Преподавание в начальных классах)






Составитель: Сучкова Н.В.,

преподаватель математических дисциплин









г. Лукоянов 2016 год



Предметно-цикловая комиссия

естественно—математических

дисциплин

Протокол №____ от________


ОДОБРЕНО

Экспертный совет ГБОУ СПО

"Лукояновский педагогический колледж им. А.М.Горького" Протокол №____ от________















































МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ Нижегородской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

"Лукояновский педагогический колледж им. А.М.Горького"

(ГБОУ СПО ЛПК)








П Р А К Т И Ч Е С К И Е З А Н Я Т И Я

по общеобразовательной дисциплине Математика

(методические рекомендации для студентов

специальности 44.02.01 Преподавание в начальных классах)






Составитель: Сучкова Н.В.,

преподаватель математических дисциплин








г. Лукоянов 2016 год




Предметно-цикловая комиссия

естественно—математических

дисциплин

Протокол №____ от________


ОДОБРЕНО

Экспертный совет ГБОУ СПО

"Лукояновский педагогический колледж им. А.М.Горького" Протокол №____ от________














































Практическое занятие

Тема 1.2. Корни, степени и логарифмы

Тема: Преобразование иррациональных степенных выражений (2 ч.)

Цель: Научиться применять свойства степени для преобразования выражений

Ход занятия:

  1. Решить задания [1] №27, 28, 57, 60, 61, 69 (чётные)

  2. Вычислить и записать свойства, которые использовали при вычислении

2. Выполнить действия. Домашнее задание: [1] §15, 16, 17, №290-293

















Практическое занятие

Тема 2.4. Измерения в геометрии

Тема: Решение задач на нахождение объёма фигур и поверхностей вращения (2 ч.)

Цель: Закрепить навык решения задач на вычисление площадей и объёмов фигур

Ход занятия:

Занятие проходит в форме практикума. Студенты работают в группах по 4 человека. Каждая группа получает по задаче. Решив её и защитив у доски, получают следующую задачу и т.д.

Многогранники

  1. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 10 см и 17 см, одна из диагоналей основания 21 см; большая диагональ параллелепипеда 29 см. Определить площадь полной поверхности параллелепипеда и его объем.

  2. Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся, как 2:7:26; диагональ параллелепипеда равна 81 см. Найдите объем параллелепипеда и площадь боковой поверхности.

  3. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите объем параллелепипеда.

  4. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна l и составляет с одной гранью угол , а с другой – угол . Вычислите объем параллелепипеда.

  5. Основание прямого параллелепипеда – параллелограмм со сторонами 8 см и 32 см и острым углом = 60º. Большая диагональ параллелепипеда равна 40 см. Вычислить объем параллелепипеда.

  6. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 25 см и 39 см, а площади его диагональных сечений равны 204 см2 и 336 см2. Найдите объем параллелепипеда.

  7. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 17 см и 25 см, одна из диагоналей основания равна 26 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 30. Вычислить объем параллелепипеда и площадь полной поверхности.

  8. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, диагонали которого относятся, как 5:16. Диагонали параллелепипеда равны 26 см и 40 см. Вычислите объем параллелепипеда.

  9. Вычислите объем прямого параллелепипеда, основание которого - ромб со стороной a и углом , а диагональ боковой грани составляет с боковым ребром .

  10. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 см и 8 см, а площадь диагонального сечения 180 см2. Вычислить площадь полной поверхности


параллелепипеда и его объем.

  1. В прямоугольном параллелепипеде боковое ребро равно 12 см, площадь диагонального сечения 312 см2 и площадь основания 240 см2. Вычислите стороны основания.

  2. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 3 см и 8 см и образует угол 60°. Большая диагональ параллелепипеда равна 49 см. Вычислите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

  3. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с диагоналями 12 см и 16 см; диагональ боковой грани равна 26 см. Вычислите площадь полной поверхности параллелепипеда, его объем.

  4. Диагонали прямого параллелепипеда образуют с плоскостью основания углы 30°и 45°, а стороны оснований равны 6 см и 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности.

  5. В прямоугольном параллелепипеде стороны оснований относятся, как 7:24, а площадь диагонального сечения равна 50 см2 . Вычислите площадь боковой поверхности.

  6. В прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см, 17 см и 21 см. Площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания, равна 72 см2. Вычислите площадь боковой поверхности призмы и его объем.

  7. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 17 см и 28 см; одна из диагоналей основания равна 25 см; сумма площадей диагональных сечений относится к площади основания, как 16:15. Вычислите площади диагональных сечений, объем параллелепипеда.

  8. В прямой треугольной призме стороны основания относятся, как 9:10:17, а боковое ребро равно 16 см. Площадь полной поверхности этой призмы равна 1440 см2. Найдите площадь ее боковой поверхности.

  9. В основании прямой призмы лежит ромб со стороной a и углом 60°. Сечение, проведенное через большую диагональ одного основания и вершину тупого угла другого основания, представляет собой прямоугольный треугольник. Найдите площадь полной поверхности призмы и ее объем.

  10. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция, основания которой равны 11 см и 21 см, а боковая сторона 13 см. Площадь ее диагонального сечения равна 180 см2 . Вычислите площадь полной поверхности призмы.

  11. Стороны основания прямой треугольной призмы относятся, как 3:4:5. Боковое ребро равно 10 см, а площадь полной поверхности равна 504 см2 . Вычислите площадь боковой поверхности призмы и ее объем.

  12. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция. Площадь диагонального сечения и площади боковых параллельных граней соответственно равны 320 см2 , 176 см2, 336 см2 . Найдите площадь боковой поверхности призмы

  13. Основанием наклонного параллелепипеда служит квадрат со стороной 1 м. Одно из боковых ребер 2 м образует с каждой прилежащей стороной основания угол 60. Определить объем параллелепипеда.

  14. Боковое ребро наклонной треугольной призмы равно 15 см, стороны перпендикулярного сечения относятся как 17:10:9 , а его площадь равна 144 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

  15. В правильной четырехугольной призме диагональ равна l и составляет с боковой гранью угол . Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

  16. В правильной шестиугольной призме диагонали равны 17 см и 15 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

  17. Площадь наибольшего сечения правильной шестиугольной призмы равна S. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

  18. Основанием прямой призмы служит трапеция ABCD, у которого параллельные стороны BC и AD равны 26 см и 40 см, а непараллельные стороны АВ и CD равны 15 см и 13 см. Площадь сечения AA11 = 370 см2. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

  19. Основанием прямой призмы служит ромб. Диагонали призмы равны 10 см и 62 см, а высота равна 6 см. Вычислите площадь боковой призмы и его объем.

  20. В прямой треугольной призме стороны основания относятся, как 17:15:8, а боковое ребро равно 20 см. Площадь полной поверхности этой призмы равна 2080 см2. Найти площадь ее поверхности.

  21. Основание наклонной треугольной призмы – равнобедренный треугольник, высота под углом . Вычислить объем призмы.

  22. Основанием наклонного параллелепипеда является параллелограмм со сторонами а и b и углом между ними. Боковое ребро равно l и наклонено к плоскости основания под углом . Найдите объем параллелепипеда.

  23. В наклонной треугольной призме боковые ребра содержат по 8 см; стороны перпендикулярного сечения относятся как 9:10:17; а его площадь равна 144 см2. Определить площадь боковой поверхности призмы.

  24. Основанием наклонной призмы служит равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = АС = 10 см и ВС = 12 см; вершина А1 , равноудалена от вершин А, B, C и ребро АА1 = 13 см. Определить площадь полной поверхности призмы.

  25. В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности равна 14,76 см2, а площадь полной поверхности равна 18 м2. Определить сторону основания и высоту пирамиды.

  26. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого равные стороны содержат по 3,9 дм, а третья сторона 30 см. Двугранные углы при основании пирамиды содержат по 45. Найдите объем пирамиды.

  27. Основание пирамиды – квадрат со стороной 16 см, а две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота равна 12 см.

  28. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см и 4 см. Каждая боковая грань наклонена к плоскости основания пирамиды под углом 60. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

  29. Основание пирамиды – ромб с диагоналями 6 м и 8 м. Высота пирамиды равна 1 м. Вычислите площадь полной поверхности этой пирамиды, если все двугранные углы при основании равны.

  30. Основание пирамиды – треугольник со сторонами, равными 6 см, 10 см и 14 см. Плоскости боковых граней наклонены под углом 60. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

  31. Стороны оснований правильной усеченной пирамиды равны 6 и 4 дм, боковые грани наклонены к большему основанию под углом 60. Вычислить объем пирамиды.

  32. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12 дм, а боковые грани наклонены к основанию под углом 30.

  33. Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которого 100 дм2. Две боковые грани перпендикулярны к основанию, а две другие наклонены к нему под углами 30 и 60. Найти объем пирамиды.

  34. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде сторона меньшего основания равна 6 см, а боковые грани наклонены к большему основанию под углом 30. Определить объем этой усеченной пирамиды, если ее апофема равна 12 см.

  35. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 20 и 10 м, боковое ребро наклонено к плоскости под углом 45. Вычислить площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

  36. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 18 и 12 дм, боковые грани наклонены к большему основанию под углом 60. Вычислить площадь полной поверхности этой пирамиды.

  37. Апофема правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 20 дм, а стороны ее оснований 12 и 6 дм. Определить объем этой усеченной пирамиды.

49. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 18 и 12 см, боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45. Найти объем этой пирамиды.

50.Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а двугранный угол при основании равен 45. Вычислите объем пирамиды.

Фигуры вращения

1.Высота цилиндра на 10 см больше радиуса основания, площадь полной поверхности равна 144 см2. Определить объем цилиндра.

2.В цилиндре радиус основания r = 2 см, а высота h = 7 см. Определить радиус круга, равновеликого площади полной поверхности этого цилиндра.

3.Один цилиндр имеет высоту 2.4 м и диаметр основания 1 м; другой цилиндр имеет высоту 1.2 м и диаметр основания 0.5 м. Сравнить между собой объемы обоих цилиндров.

4.Площадь боковой поверхности цилиндра S, а длина окружности основания равна С. Найти объем цилиндра.

5.Из равностороннего цилиндра, диаметр основания которого равен 20 см, выточен наибольший шар. Найти объем и площадь поверхности шара.

6.Диагональ d осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом . Вычислить объем и площадь боковой поверхности цилиндра, если d = 6.4 см, = 5720.

7. Диагональ прямоугольника составляет с одной из сторон угол . Вычислить отношение объемов цилиндров, образованных вращением прямоугольника около каждой из смежных сторон.

8.Образующая конуса, равная 4 дм, составляет с плоскостью его основания угол 30. Найти объем конуса и площадь боковой поверхности.

9.Через вершину конуса под углом к основанию проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу а. Найти объем конуса, если расстояние от плоскости до центра основания равно а и вычислить его, если = 120, a = 4.2 см.

10.Угол при вершине в осевом сечении конуса равен 120. Определить полную поверхность и объем конуса, образующая которого равна 12 см.

11.Угол при вершине осевого сечения конуса 2, радиус основания r. Найти длины радиусов шаров, вписанного в конус и описанного около него и вычислить их, если r = 6.2 см, = 3820.

12. Высота и образующая конуса относятся как 4:5; объем конуса равен 96 см3. Найти площадь полной поверхности конуса.

13.Радиус основания конуса 9 м, его высота 17.1 м. Какое количество краски потребуется для покрытия боковой поверхности конуса, если на 1 м2 расходуется 0.5 кг.

14.Угол между образующей и осью конуса равен 45, образующая равна 13 м. Найти объем и площадь боковой поверхности конуса.

15.Радиусы оснований усеченного конуса равны 11 и 7 см, высота его 3 см. Определить площадь боковой поверхности усеченного конуса и его объем.

16.В усеченном конусе радиусы оснований равны 27 см и 11 см; образующая относится к высоте, как 17:15. Найти объем усеченного конуса.

17.Образующая усеченного конуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом . Определить объем усеченного конуса, если отношение площадей его оснований равно 4.

18.В усеченном конусе отношение площадей оснований равно 4, образующая имеет длину l и наклонена к плоскости основания под углом . Вычислить объем усеченного конуса при = 5120, l = 8.4 см.

19.Образующая усеченного конуса равна l и наклонена под углом . Радиусы оснований относятся, как m : n (m > n). Вычислить площадь боковой поверхности конуса.

20.Вокруг сферы радиуса 6 см описан усеченный конус, радиусы оснований которого относятся, как 4 : 9. Вычислить площадь боковой поверхности усеченного конуса.

21.В усеченный конус вписана сфера радиуса r. Из центра сферы диаметр большего основания виден под углом . Вычислить площадь боковой поверхности усеченного конуса.

22.Вычислите высоту усеченного конуса, если площадь его боковой поверхности равновелика сумме площадей оснований, а радиусы оснований равны R и r.

23.В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны, а образующая составляет с плоскостью нижнего основания угол и равна l. Вычислить площадь полной поверхности усеченного конуса при l = 12.2 см, = 4612.

24.Радиусы оснований усеченного конуса равны R и r, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60. Вычислить площадь боковой поверхности конуса.

25.Радиусы оснований усеченного конуса R и r, образующая наклонена к основанию под углом . Найти объем усеченного конуса, если R = 12.4 см, r = 7.2 см, = 5018.

26.Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси. Эта плоскость отсекает от окружности основания дугу . Диагональ сечения равна l и составляет с основанием угол . Вычислить объем цилиндра, при l = 18.2 см, = 6120, = 90.

27.В основание конуса вписан квадрат, сторона которого равна а. Плоскость, проходящая через вершину конуса и одну из сторон этого квадрата, образует в сечении с поверхностью конуса треугольник, угол при вершине которого равен . Вычислить объем конуса.

28.Осевым сечением конуса является треугольник, угол при вершине которого равен . Радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен R. Вычислить объем конуса, при R = 4.8 см, = 6940

29.Усеченный конус, высота которого равна 12 см, а радиусы оснований 6 см и 9 см, пересечен двумя плоскостями, параллельными основаниям и делящими высоту на три равные части. Вычислить объем средней части конуса.

30.Хорда окружности основания конуса, удаленная от центра основания на d, стягивает дугу в 120. Плоскость, проходящая через эту хорду и вершину конуса, составляет с плоскостью его основания угол . Найти площадь полной поверхности конуса и вычислить при , d = 2.8 см.

31.Определить объем конуса, если в его основании хорда , высота конуса с образующей составляет угол . Вычислить объем, если d = 3.4 см, , .

32.Угол, составленный образующей конуса с его осью, равен ; длина образующей равна а. Определить площадь полной поверхности и объем конуса. Вычислить при а = 36.2 м, = 1846.

33.Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом , радиус основания равен R. Определить площадь полной поверхности и объем конуса и вычислить их, если R = 3.9 см, = 5417.

34.По площади боковой поверхности S и площади основания K конуса определить угол , составляемый образующей конуса с его осью.

35.Определить площадь полной поверхности конуса, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом = 5818, а в основание вписан треугольник, имеющий одну из сторон а = 12.6 дм и угол, ей противоположный, = 4146.

36.Определить площадь боковой поверхности усеченного конуса, радиусы оснований которого равны R = 7.2 дм и r = 3.6 дм, угол наклона образующей к плоскости большего основания равен 5315.

37.Высота усеченного конуса h = 2.5 см, является средней арифметической между радиусами оснований этого конуса. Вычислить объем усеченного конуса, зная, что образующая наклонена к плоскости большего основания под углом .

38.Диаметры трех шаров равны 6 см, 8 см и 10 см. Найти диаметр шара, объем которого равен сумме объемов этих шаров.

39.Радиус основания шарового сегмента равен 8 см, дуга осевого сечения содержит 60. Вычислить объем сегмента.

40.Радиус основания шарового сегмента равен 8 см, его высота 4 см. Вычислить объем сегмента.

41.Радиус шара равен R, угол в осевом сечении шарового сектора 120. Вычислить объем шарового сектора.

42.Радиус окружности основания шарового сектора равен 60 см, радиус шара 75 см. Вычислить объем шарового сектора.

43.Радиус шара равен R, дуга в осевом сечении шарового сектора . Найти объем шарового сектора.

44.Дуга в осевом сечении шарового сектора равна , высота сектора h. Найти объем шарового сектора.

45.Радиусы параллельных сечений шара равны 20 см и 24 см, а радиус шара 25 см. Вычислить объем части шара, заключенной между этими сечениями (рассмотреть два случая).

46.Радиусы оснований сферического пояса равны 10 см и 12 см, его высота 11 см. Вычислить площадь поверхности сферического пояса.

47.Чему равен объем сферического сектора, если радиус окружности соответствующего сегмента 6 см, а радиус шара 7.5 см.

48.Определить площадь сферической поверхности шарового сегмента по его высоте, равной 3 см, и радиусу основания, равному 4 см.

49.Диаметр основания шарового сегмента равен 8 см, дуга осевого сечения содержит 60. Определить площадь поверхности этого сегмента и его объем.

50.Радиусы оснований шарового пояса, расположенного в одной полусфере, равны 20 и 24 лин. ед., а радиус шара содержит 25 таких же единиц. Определить площадь поверхности пояса и его объем.

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

1.В конус вписан шар радиуса R. Радиус, проведенный в точку касания, образует с высотой конуса угол . Найти объем конуса.

2.В конусе даны радиус основания R и высота H. В него вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани – квадраты. Вычислить ребро этой призмы.

3.В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, диагональ основания которой равна d, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен . Найти объем шара.

4. Ромб со стороной a и острым углом 60 вращается вокруг оси, проведенной через вершину этого угла перпендикулярно стороне. Найти площадь поверхности полученной фигуры.

5. Высота усеченного конуса равна h, угол между диагоналями осевого сечения равен , а образующая составляет с основанием острый угол . Вычислить площадь боковой поверхности.

6. Радиус сферы равен 25 см. Сфера делится сечением площадью 49 см2. Вычислить площадь сферических поверхностей.

7. Площадь боковой поверхности сферического сегмента составляет 0.05 площади поверхности сферы. Вычислить высоту сегмента, если радиус сферы равен 100 см.

8. В шар вписан цилиндр. Радиус шара равен 29 см, площадь боковой поверхности цилиндра равна 1680 см2. Найдите объем цилиндра.

9. В шар вписан цилиндр. Радиус основания цилиндра относится к его высоте, как 2:3. Площадь поверхности шара равна 225. Вычислить площадь полной поверхности цилиндра.

10. Около равностороннего цилиндра описан шар. Найдите отношение их объемов и площадей поверхностей.

11. Вокруг шара описан цилиндр. Найдите отношение их площадей поверхностей и объемов.

12. Высота цилиндра равна 5 см. При увеличении его высоты на 4 см объем увеличится на 36 см3. Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра.

13. Конус и цилиндр имеют общее основание, площадь которого равна 4 см2 , и общую высоту. Отношение площади боковой поверхности конуса к площади боковой поверхности цилиндра равно 5 : 6. Вычислите образующие данных тел.

14. Равнобедренный треугольник, у которого основание равно a, а угол при основании , вращается вокруг боковой стороны. Вычислите площадь поверхности и объем фигуры вращения.

15. Основания равнобедренной трапеции равны 11 см и 21 см, а боковая сторона равна 13 см. Вычислите объем фигуры, образуемой при вращении этой трапеции вокруг ее оси.

16. Ромб со стороной а и острым углом вращается вокруг оси, проведенной через вершину острого угла перпендикулярно к стороне ромба. Найдите объем фигуры вращения.

17. Вокруг шара описана прямая призма, основание которой – ромб с диагоналями 6 см и 8 см. Вычислите площадь полной поверхности призмы.

18. Шар описан вокруг усеченной пирамиды, высота которой равна 3 см; одним основанием этой пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 16 см; меньшая сторона другого основания равна 6 см. Вычислить радиус шара.

19. Около цилиндра радиуса r, осевое сечение которого квадрат, описана правильная треугольная призма. Вычислить площадь ее боковой поверхности.

20. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, боковое ребро 10 см. Вычислить площади осевых сечений вписанного в призму и описанного около призмы цилиндров.

21. В правильной треугольной призме боковое ребро равно a; отрезок, соединяющий середину бокового ребра с центром основания, составляет с плоскостью основания угол . Вычислить площадь осевого вписанного сечения в призму цилиндра.

22. Треугольник со сторонами 8 см и 5 см и углом между ними 60 вращается вокруг оси, проведенной через вершину этого угла перпендикулярно меньшей стороне. Найдите площадь поверхности фигуры вращения.

23. В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус. Сторона основания пирамиды равна a, двугранный угол при ней равен . Вычислить площадь полной поверхности конуса и его объем при а = 6.2 см , = 6132.

24. В правильной пирамиде боковое ребро равно m и составляет с плоскостью основания угол . Вычислить площадь полной поверхности конуса, описанного около пирамиды, его объем, если m = 12.6см, = 5348.

25. Прямоугольник, площадь которого равна S, вращается вокруг оси, проходящей через его вершину параллельно диагонали. Вычислить площадь поверхности фигуры вращения, если угол между диагоналями равен .

26. Ромб со стороной a и острым углом вращается вокруг прямой, проведенной через вершину острого угла перпендикулярно его стороне. Вычислить площадь поверхности фигуры вращения.

27. Прямоугольный треугольник, катеты которого 3 см и 4 см, вращается около оси, параллельно гипотенузе и проходящей через вершину прямого угла. Вычислить площадь поверхности фигуры вращения.

28. В равносторонний конус вписан равносторонний цилиндр. Найти площадь боковой поверхности конуса, если площадь боковой поверхности цилиндра равна S.

29. Около шара радиуса R описана правильная шестиугольная призма. Найти площадь ее полной поверхности.

30. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна h, а боковое ребро равно b. Вычислите длину радиуса описанной сферы.

31. Ребро правильного тетраэдра равно a. Найти длины радиусов описанного и вписанного шаров.

32. В правильной пирамиде боковое ребро, равное b, составляет с основанием угол . Вычислить длину бокового ребра.

33. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро которой составляет с основанием угол . Вычислить длину бокового ребра.

34. Найдите радиус шара, вписанного в правильную пирамиду, высота которой равна h и двугранный угол при основании .

35. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а боковые ребра взаимно перпендикулярны. Вычислить радиус описанной сферы.

36. В правильной треугольной усеченной пирамиде высота равна 17 см, а радиусы окружностей, описанных около оснований, равны 5 см и 12 см. Вычислить длину радиуса описанного шара.

38. В правильной шестиугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 3 см и 4 см, высота 7 см. Вычислить длину радиуса описанного шара.

39. Около цилиндра с радиусом 2 см и образующей 3 см описана сфера. Вычислить ее радиус.

40. В равносторонний цилиндр с радиусом 5 см вписана сфера. Вычислить площадь сечения, перпендикулярного оси цилиндра и проведенного на расстоянии 3 см от центра сферы.

41. Высота конуса равна h, а его образующая равна l. Найдите радиус описанной сферы.

42. В конус, у которого радиус основания r, а образующая l, вписана сфера. Вычислите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

43. Высота конуса равна 20 см, образующая равна 25 см. Вычислить радиус вписанного полушара, основание которого лежит на основании конуса.

44. В конусе образующая, длина которой равна l, составляет с основанием угол . Вычислите длину радиуса: 1) описанного шара ; 2) вписанного шара.

45. В сферу радиуса R вписан конус с высотой h. Вычислите площадь осевого сечения конуса .

46. Площадь осевого сечения конуса равна S, образующая составляет с основанием конуса угол . Найти радиус вписанной в конус сферы.

47. Около сферы радиуса R описан усеченный конус, образующая которого составляет с основанием угол . Вычислить площадь осевого сечения конуса.

48. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 см и 4 см; высота равна 7 см. Вычислите радиус описанной сферы.

49. Вокруг шара радиуса R описан усеченный конус, одно из оснований которого вдвое больше другого. Найти объем усеченного конуса.

50. В конус вписан шар. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60.Найдите объем конуса.


Домашнее задание: [2] №691, 701


























Практическое занятие

Тема 1.3. Основы тригонометрии

Тема: Решение тригонометрических уравнений (2 ч.)


1. Решите уравнение:

1) hello_html_m2e5d3648.gif;

2) hello_html_m75c305f1.gif;

3) hello_html_m432a46b2.gif;

4) hello_html_24e4487b.gif;

5) hello_html_38cd4b02.gif;

6) hello_html_m1a21b396.gif;

7) hello_html_28f8249b.gif;

8) hello_html_m1ef1ee15.gif;

9) hello_html_22f92bb3.gif;

10) hello_html_m6dadebd1.gif;

11) hello_html_4e7f7332.gif;

12) hello_html_m67c1b4f8.gif;

13) hello_html_6bde8a55.gif;

14) hello_html_293763e2.gif.


Литература:

  1. Алгебра и начала анализа, 10-11 кл.

  2. Практикум по математике, стр. 34-38.

















П.З. Построение графиков и исследование тригонометрических функций.

Постройте графики функций:

hello_html_m579474dd.gif

hello_html_m713fe0a4.gif





3. Вычислить.

4. Прологарифмировать выражения.

  1. Найти x, если:

5.1 hello_html_m6a09e7.gif

5.2 hello_html_m13063aa3.gif

5.3 hello_html_m2b53758f.gif

5.4 hello_html_25820983.gif

5.5 hello_html_22969eaa.gif

5.6 hello_html_m58f46be8.gif

5.7 hello_html_m779a9a0d.gif

6. Найти область определения функций:

7. Построить графики функций:

Показательные уравнения и неравенства.

  1. Решить уравнения:

  1. Решить неравенства:

Логарифмические уравнения и неравенства.

  1. Решить уравнения:


















































Практическое занятие

Тема 1.1. Развитие понятия о числе

Тема: Действия с целыми и рациональными числами (2 ч.)

Цель занятия: Закрепить навыки выполнения действий с целыми и рациональными числами. Научить применять свойства чисел при решении примеров.

Ход занятия:































Практическое занятие

Тема 1.5. Уравнения и неравенства

Тема: Решение тригонометрических уравнений (2 ч.)

Цель занятия: Закрепить навыки решения тригонометрических уравнений. Научиться применять формулы при решении тригонометрических уравнений

Ход занятия:

  1. Краткие теоретические сведения

  1. Коэффициент перед неизвестной функцией или аргументам должен быть равен единице.

  2. hello_html_m1cdf9a5.gifпоэтому уравнения вида hello_html_70c81305.gifгде hello_html_7e29d048.gif решений не имеют.

  3. При решении уравнения следует выбирать общий или частный случай.

  4. В уравнениях, приводимых к квадратным должна содержаться функция в квадрате, в первой степени и свободный коэффициент. Такие уравнения должны содержать синус (косинус, тангенс или котангенс). Поэтому применяют замены:

hello_html_77289e79.gif

  1. При решении однородных тригонометрических уравнений применяют замены:

hello_html_m4d1b3eec.gif

Вариант I


Вариант II


Домашнее задание: [1] §36 № 620 – 624

















Практическое занятие

Тема 1.4. Функции, их свойства и графики

Тема: Построение графиков и исследование степенной и показательной функций (2 ч.)

Цель занятия: Научиться строить графики степенной и показательной функции и применять свойства функций при решении задач

Ход занятия:



II вариант



Задание 1. Вычислите:

1) hello_html_28e4bcbd.gif; 2) hello_html_m4641980d.gif ; 3) hello_html_1bb940ee.gif; 4) (hello_html_6e0ade1b.png)hello_html_m6dd3cca1.png.




Задание 2. Найдите значение выражения:


1)hello_html_m5eb5956.gif; 2) hello_html_216a5467.gif при p = 4.



Задание 3. Упростите выражения:


1) hello_html_42cf8536.gif ; 2) hello_html_m15d3a6b8.gif; 3) hello_html_1aa326bc.gif.



Задание 4. Решите уравнения:


1) hello_html_m67910179.gif; 2) hello_html_m356f7782.gif.



Задание 5. Сумма двух чисел равна hello_html_7a6c7bdf.gif, а их разность равна hello_html_m3c06cbf7.gif.

Найдите произведение этих чисел.


hello_html_2337a3bc.gif


Задание 6. При каком значении x значение выражения


hello_html_m666062b7.gif, где hello_html_m763bf202.gif, равно 2,(3)?



Задание 7. При каком наименьшем значении a уравнение hello_html_m614f5e7.gif имеет единственный корень на промежутке hello_html_m66c536e3.gif.

[1] §6, 11 №121, 194, 197





















Практическое занятие

Тема 1.5. Уравнения и неравенства

Тема: Решение показательных уравнений

Цель занятия:

1. Закрепить навыки студентов решения показательных уравнений (с наименьшей степенью, приводимых к квадратным);

2. Закрепить свойства степени и арифметического корня для решения задач;

3. Закрепить свойства показательной функции.

Ход занятия:

Задания для 1 — ой группы

      1. ответить на вопросы

        1. Что называется степенью

        2. Какие преобразования необходимо провести для решения простейшего показательного уравнения?

        3. Какие простейшие показательные уравнения не могут иметь решений?

        4. Построить и описать графики: hello_html_753b0d53.gif

      2. решить уравнения

      3. Составить вывод по работе (в выводе указать свойства степени, которые применялись при решении задач).

Методические рекомендации

  1. Степень всегда положительное число

  2. на выражение степени можно делить или умножать обе части уравнения

  3. Любое показательное уравнение следует привести к виду hello_html_452a715f.gif

  4. Основание степеней должны быть одинаковыми (равными)

  5. Если основание степени больше единицы, показательная функция y = ax возрастает, если же основание степени больше нуля, но меньше единицы, то функция y = ax убывает на всей области определения

Вариант I

1. hello_html_d5055b8.gif 6. hello_html_m1fd14c7b.gif

2. hello_html_57103aa6.gif 7. hello_html_659bca34.gif

3. hello_html_m5ca8eb84.gifhello_html_m53d4ecad.gif8.hello_html_370cf678.gif

4. hello_html_m3a33981f.gif 9. hello_html_6f80f5d5.gif

5. hello_html_8ee2743.gif 10. hello_html_m4c6237b9.gif

Вариант II

1. hello_html_7b182414.gif 6. hello_html_m2d2e5e7b.gif

2. hello_html_m3b119ba5.gif 7. hello_html_4eb98ee9.gif

3. hello_html_m798eb7f0.gif 8. hello_html_78fb20ff.gif

4. hello_html_21e05541.gif 9. hello_html_m62529b9b.gif

5. hello_html_m19e5ed0.gif 10. hello_html_1842d204.gif

Задания для 2 — ой группы

Ход работы

  1. ответить на вопросы.

        1. Какова область определения показательной функции?

        2. Почему при решении показательного уравнения не делают проверку и не находят ОДЗ?

        3. Описать один из методов решения показательного уравнения соответствующего вида.

        4. В каких видах показательных уравнений применяется свойство монотонности показательной функции?

        5. Построить: I y = 2x; II y = (0,3) x

  2. Решить задачи.

  3. Составить вывод по работе (в выводе указать свойства степени, которые применялись при решении задач).

Методические рекомендации

  1. В показательных уравнениях наименьшую степень коэффициенты перед x в показателе степени должны быть равны.

  2. В показательных уравнениях, приводимом к квадратному коэффициенты перед x в показателе степени отличаются в 2 раза.

  3. В однородных показательных уравнениях необходимо сделать наименьшие общие основания степеней и поделить на степень вида a2x>0.

  4. Любое уравнение приводится к виду: af(x) = ag(x)hello_html_m2b79b533.giff(x) = g(x)

Вариант I

Вариант II

1. hello_html_4b7f4823.gif 6. hello_html_3a76ca36.gif

2. hello_html_23d2305b.gif 7. hello_html_m209cb7af.gif

3. hello_html_m5701fe29.gif 8. hello_html_df33d60.gif

4. hello_html_m381566ef.gif 9. hello_html_m768ffa14.gif

5. hello_html_37352f2.gif 10. hello_html_12a86170.gif


Домашнее задание:

[1] §12 № 211-213












Практическое занятие

Тема 1.5. Уравнения и неравенства

Тема: Решение показательных неравенств

Цель занятия:

1. Закрепить навыки решения показательных неравенств;

2. Закрепить навыки применения свойств степени к решению задач.

Ход работы

  1. ответить на вопросы:

1.В каком случае в показателе степени может стоять сумма или разность выражений (чисел)?

2.Как влияет возрастание функции y = ax?

3.Изменится ли знак неравенства при сравнении показателей степени, если основание степени 0<a<1?

4.Какие показательные неравенства не имеют решений?

5.Изобразите на координатной плоскости решение неравенства: hello_html_m7d6752d1.gif

  1. решить уравнения

  2. Составить вывод по работе (в выводе указать свойства степени, которые применялись при решении задач).

Методические рекомендации

  1. Если основание степени больше 1, то при сравнении показателей степеней знак неравенства необходимо сохранить.

  2. Если основание степени 0<a<1, то при сравнении показательных степеней знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

af(x)>ag(x) af(x)>ag(x)

01

f(x)

  1. Степени необходимо приводить к одному основанию.

Вариант I

1. hello_html_m6064e3b2.gif 6. hello_html_38a4a6fa.gif

2. hello_html_m612ddc23.gif 7. hello_html_446c4e5f.gif

3. hello_html_m458d5c2a.gif 8. hello_html_m4dcb6a3c.gif

4. hello_html_3141748.gif *9. 4hello_html_6d35f46b.gif

5. 5hello_html_72af9404.gif *10. hello_html_m329a1b1d.gif

Вариант II

1. hello_html_79e80765.gif 6. hello_html_45608ece.gif

2. hello_html_m48bdfc94.gif 7. hello_html_7d43240b.gif

3. hello_html_m164643c5.gif 8. hello_html_3ad845e8.gif5

4. hello_html_332257b7.gif *9. hello_html_m39eefb2d.gif

*5.hello_html_m6159c6e.gif 10. hello_html_m5c87dd43.gif









































Практическое занятие

Тема 1.2. Корни, степени и логарифмы

Тема: Преобразование логарифмических выражений (2 ч.)

Цель занятия: Научиться применять свойства логарифмов при решении задач

Ход занятия:

  1. ответить на вопросы:

  1. Какие геометрические преобразования применяются для построения графиков показательной и логарифмической функций?

  2. Как преобразовать степенное выражение?

  3. Какие преобразования проводят при вычислении логарифмического выражения?

  4. Запишите основное логарифмическое тождество.

  5. Запишите формулу перехода от степени к логарифму.

II . Решить задачи

III. Составить вывод по работе (в выводе указать свойства логарифмов, которые применялись при решении задач).

Методические рекомендации

  1. Если число стоит около переменной x в скобках логарифмического выражения или в показателе степени, то сдвиг нужно производить по оси Ox
    (a>0 y = f(x + a) влево на а единиц, a<0 вправо на а единиц).

  2. Если число записано после формулы функции, то сдвиг производят по оси Oy (а>0 y = f(x) + a вверх на а единиц, a<0 вниз на а единиц).

  3. Степени и логарифмы нужно приводить к одному основанию и применять соответствующие свойства.

  4. При решении уравнения графически необходимо построить график функции, стоящей в левой и правой частях уравнения и найти точку их пересечения.

Абсцисса точки пересечения будет являться решением уравнения. Если графики не пересекаются, то уравнение решений не имеет.

  1. При логарифмировании выражений необходимо подставить знак логарифма в правой и левой части выражения и произвести необходимые преобразования.

  2. Для решения уравнения следует применять определение логарифма или переход от степени к логарифму.

Задачи для решения

Вариант 1

Часть I Часть II

a) hello_html_m1313650d.gif

b) hello_html_6bd7ae92.gif

  1. Построить графики:

a) hello_html_m41674bfd.gif

b) hello_html_461e78bb.gif

  1. Вычислить:

a) hello_html_70131daf.gif

b) hello_html_2060f7eb.gif

c) hello_html_m10603ee6.gif

  1. Найти х:

hello_html_m3ae6e698.gif

  1. Решить графически уравнения:

а) hello_html_m49e0cdaf.gif

b) hello_html_3930f2c3.gif

Решить уравнения:

1. hello_html_m28b8451d.gif

2. hello_html_751b6aad.gif

3. hello_html_m5d7ef8bb.gif

4. hello_html_5aa35c7b.gif

5. hello_html_5bbe90f3.gif

6. hello_html_m5701fe29.gif

Вариант II

Часть I Часть II

2. hello_html_ma7f7ee7.gif

3. hello_html_m1c02f585.gif

4. hello_html_m317c2342.gif

5. hello_html_487eda7e.gif

6. hello_html_m7303551d.gif

2. Упростить:

а) hello_html_m3112d7bd.gif

b) hello_html_3bc105c4.gif

3. Построить графики:

а) hello_html_67308af9.gif

b) hello_html_mcd050b3.gif

4. Вычислить:

а) hello_html_1d9352eb.gif

b) hello_html_m6ce3304c.gif

с) hello_html_26c8fb20.gif

5. Найти :

hello_html_c2714f2.gif

6. Решить графически уравнения:

а) hello_html_m7a0a53a4.gif

b) hello_html_790aa9e0.gif


Домашнее задание: [1] §15, 16, 17 № 269-273































Практическое занятие

Тема 1.5. Уравнения и неравенства

Тема: Решение логарифмических уравнений (2 ч.)

Цель занятия:

1. Закрепить навыки решения логарифмических уравнений;

2. Закрепить навыки преобразования логарифмических выражений.

Ход занятия:

  1. ответить на вопросы:

  1. Какие ограничения накладываются на выражения стоящие под знаком логарифма?

  2. По какой теореме решается простейшее логарифмическое уравнение?

  3. Что называется логарифмом?

  4. Перечислите виды логарифмических уравнений.

  5. Какие свойства логарифмов применялись при решении уравнений?

II. решить уравнения.

  1. Составить вывод (в выводе указать основные этапы решения логарифмического уравнения).

Методические рекомендации

  1. Решение логарифмического уравнения следует начинать с ОДЗ. Для этого необходимо составить неравенство или систему неравенств. Каждое выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть положительно. Общее решение неравенства (системы неравенств) необходимо изобразить на рисунке.

  2. Логарифмическое уравнение необходимо привести к виду: hello_html_459388d3.gif, при этом основания всех логарифмов должны быть равны.

  3. Найденные значения неизвестного x необходимо проверить по ОДЗ.

  4. Если в уравнении не найдено ОДЗ, то необходимо сделать проверку, путем подстановки найденного неизвестного в логарифмическое уравнение.

  5. Необходимо помнить, что отрицательные числа и ноль логарифмов не имеют.

Задания к практической работе

Вариант I

1. hello_html_m15df36aa.gif

2. hello_html_96808df.gif

3.hello_html_m43e40cf2.gif

4. hello_html_40d512f7.gif=40

5.* hello_html_m78415da6.gif

6. hello_html_6e327b96.gif

7. hello_html_m78f2ccb5.gif

8. hello_html_520b5185.gif

9. hello_html_m626c50d0.gif

10. hello_html_m76384826.gif

Вариант II

1. hello_html_5c73545c.gif

2. hello_html_74728c94.gif

3. hello_html_7f8b446f.gif

4. hello_html_m46725063.gif

5. hello_html_m21fac4a.gif

6. hello_html_m2a5ab930.gif

7. hello_html_45f90c8c.gif

8.* hello_html_758255ee.gif

9.* hello_html_664d668d.gif

10. hello_html_6d3c158.gif


Домашнее задание: [1] §19 № 337,338










Практическое занятие

Тема 1.3. Основы тригонометрии

Тема: Применение тригонометрических формул для преобразования простейших тригонометрических выражений (2 ч.)

Цель работы:

1. Закрепить навыки преобразования тригонометрических выражений;

2. Закрепить навыки применения формул тригонометрии к решению задач.

Ход занятия:

  1. ответить на вопросы:

  1. Запишите формулу основного тригонометрического тождества и его следствие.

  2. Чему равен синус двойного угла?

  3. Как определить hello_html_6fb1d7c8.gif?

  4. Заполните пропуски:

hello_html_m22c88c62.gifhello_html_m6dad1763.gif hello_html_d377556.gifhello_html_3a96b349.gif

  1. Построить графики функций:

I вар. hello_html_3ef907f1.gifII вар. hello_html_53eb398f.gifIII вар. hello_html_62f27878.gif

  1. решить задачи.

  2. Сформулировать вывод ( в выводе указать принципы тригонометрических преобразований).

Методические рекомендации

  1. При решении задачи следует четко определить формулу тригонометрии, которую необходимо применить.

  2. При вычислении тригонометрической функции угла hello_html_433408aa.gif следует учитывать что: hello_html_m2c13ee5.gif, т.е. значения косинуса и синуса угла ограничены промежутком hello_html_m11210ee5.gif, значение тангенса и котангенса не ограничены.

  3. При вычислении тригонометрической функции необходимо учитывать четверть, в которой находится угол.

  4. При решении задачи на вычислении значения функции угла следует помнить, что период функции необходимо исключить период функции и привести оставшейся угол к острому.

Например: hello_html_m6ce02097.gif

hello_html_67881e53.gif,

hello_html_m7320da36.gif

  1. Для перехода от градусной мере к радианной применяют формулы:

hello_html_3fdc4129.gif

Задание к практической работе

Вариант I

  1. Вычислите значения остальных тригонометрических функций, если известно значение: hello_html_m1a194c4b.gifhello_html_m3aec73f1.gif

  2. Упростите выражение: hello_html_5bff7091.gif

  3. Выразить в радианах углы: hello_html_madf6a6b.gif

  4. Привести к тригонометрической функции острого угла: hello_html_m4e255293.gif

  5. Упростите выражение: hello_html_m28303f1b.gif

  6. Найдите значение выражения:

а) hello_html_m49bc85d4.gif, б) hello_html_m19d421cc.gif, hello_html_35494d4d.gif

в) hello_html_7042c22a.gif, если hello_html_5fcf3953.gif

  1. Упростите выражение: а) hello_html_5c91ccf5.gif, б) hello_html_m38966740.gif, в)* hello_html_m5cba07a.gif

  2. Найдите: hello_html_m470602b0.gif, hello_html_1752b9c0.gif, если hello_html_122e5fb4.gifhello_html_m4343c714.gif

  3. Представить в виде произведения: а) hello_html_m6ab82ab8.gif; б) hello_html_c135f41.gif

  4. Найдите hello_html_m329d4413.gif, hello_html_6cd6366f.gif, hello_html_m27477beb.gif, если hello_html_m7a424278.gif, hello_html_m3aec73f1.gif

Вариант II

  1. Вычислите остальные тригонометрические функции, если известно:

hello_html_m4e72b3fa.gif, hello_html_f5bd622.gif

  1. Упростить выражение: hello_html_m38faae02.gif

  2. Выразите в радианах углы: hello_html_m515d176e.gif

  3. Приведите к тригонометрической функции острого угла: hello_html_2c70aa8d.gif, hello_html_m7bd29f2a.gif

  4. Упростите выражение: hello_html_6ccce95b.gif

  5. Найдите значение выражения: а) hello_html_20a32fe.gif,

б) hello_html_m437d717c.gif, в) hello_html_7f44f447.gif, если hello_html_28e5ed8e.gif, hello_html_m5e3a0a4b.gif

  1. Упростите выражение:а) hello_html_m4c8e5667.gif б) hello_html_725ced01.gif, *в) hello_html_21b1be64.gif

  2. Найдите: hello_html_73cc6190.gif если hello_html_2b633781.gifhello_html_m2dfd2198.gif

  3. Представьте в виде произведения: а) hello_html_11d2c74c.gif, б) hello_html_m29d95786.gif

  4. Найдите: hello_html_m3c886bce.gif, если hello_html_74c06a5d.gifhello_html_2ae0b61a.gif


Домашнее задание: [1] §21, 22, 23, 26, 28, 29, 31 №466, 483, 485



















Практическое занятие

Тема 1.7. Производная

Тема: Уравнение касательной к графику функции (2 ч.)

Цель занятия: Научиться составлять уравнение касательной к графику функции в заданной точке

Ход занятия:

1. ответить на вопросы:

1) Что называется касательной к графику функции?

2) Закишите уравнение касательной к графику функции в заданной точке?

3) Каким свойством обладает угловой коэффициент касательной?

4) В чем заключен геометрический смысл производной?

2. Методические рекомендации

1.При решении задач следует руководствоваться теоретическими сведениями 1)Определение: Прямя линия hello_html_m108368ec.gif называется касательной, если она имеет только одну общую точку с линией, изображающей график функции.

2)Уравнение касательной: hello_html_51d99e41.gif,где

x0; y0 – координаты точки касания;

hello_html_45099b43.gif- значение производной в точке касания;

(х;у) – координаты любой точки, принадлежащей касательной или нормали;

Если производная в точке равна нулю hello_html_45099b43.gif , то касательная имеет уравнение: hello_html_7a2378c.gif. В этом случае касательная параллельна оси ОХ.

Нормаль имеет уравнение hello_html_ff6bbd7.gif и параллельна оси ОУ.

2.Пример: Найти уравнения касательной к графику функции y=3x2+2x+2 в точке x0=1. Сделать чертеж.

Решение:

hello_html_4596617b.gif

5) Построим заданные и полученные линии на одной координатной плоскости. В этой же плоскости строим график заданной функции.

hello_html_m5cd7770c.gif- парабола

Вершины параболы:

hello_html_3d8b260d.gif

Координаты вершины параболы (hello_html_7a5c9c5.gif)

Корни: hello_html_m232452b.gif, корней нет.

hello_html_m4d104260.gifпарабола не пересекает ось ОХ. у(0)=2.



hello_html_7e88764a.gif













  1. Решить задачи.

Найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке.

Сделать чертеж.

3. y = x2 + 3x в точке x0 = -2.

4.hello_html_m7c0ff783.gif.

5. y = x2 -3x, в точке x0 = 3.

6.y = x2 -x в точке x0 = 2.

7.y = x2 - 1 в точке x 0= 1.

8.hello_html_735f1f2a.gif в точке x0 =1.


Вариант 2

1.hello_html_42190d11.gif в точке х0 = 2.

2. hello_html_m42e87c24.gif в точке x0 = -2.

3. hello_html_macd5edd.gifhello_html_m424f8698.gif.

4. hello_html_m23ef17cd.gifhello_html_6029880a.gif.

5. hello_html_45e3cd97.gif в точке x0 = 1.

6.hello_html_3f9182a8.gif.

7. y = x2 - 7x+10 в точке x0 = 1.

8. y = x2 - 3x, в точке x0 = 2.


Домашнее задание:

[1] §51№ 926, 927




















Практическое занятие

Тема 1.7. Производная

Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков (2 ч.)

Цель занятия: Закрепить навыки построения трафиков функций с помощью производных.

Ход занятия:

1 Ответить на вопросы:

1) Что называется монотонностью графика функции?

2) Перечислите виды экстремумов?

3) Укажите основные этапы исследования графика функции на экстремум.

4) При каких условиях точка является стационарной?

5) Как определить промежутки выпуклости ( вогнутости )графика функции?

2.Решить задачи.

3) Сформулировать вывод (в выводе указать основные этапы исследования и построения графика Функции)

2. Методические рекомендации

При исследовании и построении графика функции с помощью производных необходимо:

  1. Найти область определения функции: допустимые значению х. если функция представлена в виде дроби, то необходимо определять при каких значениях х знаменатель дроби не может равняться нулю.

  2. Найти область значений функции, допустимые значения у. Значения у зависят от х.

  3. Определить является ли функция четной (нечетной), функцией общего вида. hello_html_m8cedae9.gif- функция четная; hello_html_m6e4593ef.gif- функция нечетная.

  4. Определить точки пересечения с осями координат (если это возможно).

    1. Заданную функцию следует приравнять к нулю, тогда получается точки пересечения с осью ОХ (х1; 0) (х2; 0) и т.д.

    2. В заданную функцию подставить вместо х ноль и вычислить у, тогда получится точка пересечения с осью Оу (0; у)

  5. Найти асимптоты графика функции. Чтобы определить асимптоты для дробной функции необходимо:

Найти значения х, при которых знаменатель не может быть равен нулю. В этих точках должны проходить вертикальные асимптоты вида х=а.

Асимптоты – это ограничительные прямые линии на плоскости ХОУ, к которым стремится график функций при неограниченном удалении от начала координат точки О (0;0).

Для асимптот других видов применяют вычисление пределов заданной функции.

  1. Исследовать функцию на экстремум, монотонность с помощью первой производной у (х). Если на промежутке [а; в] у1<0, то функция убывает, если у1> 0, то функция возрастает.

Если при переходе через точку х=а у1 меняет знак с «-» на «+», то исследуемая точка – точка минимума (хmin).

Если при переходе через точку х=а у меняет знак с «+» на «-», то исследуемая точка – точка максимума (хmax).

Значение функции в точках экстремума находят путем подстановки хmax и хmin в выражение функции у=f(х).

  1. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба с помощью второй производной у11. Вторую производную находят от первой: у11=(у1)1 по правилам и формулам дифференцирования. Если на промежутке [а; в] у11> 0, то на этом промежутке функция имеет вогнутость графика «вниз», если на промежутке [а; в] у11< 0, то на этом промежутке функции имеет выпуклость графика «вверх». Точка х=а, около которой у11 меняет знак с «-» на «+» и наоборот, называется точкой перегиба графика функции.

  2. Найденные значения точек экстремума, перегиба занести в таблицу. В таблицу добавить точки находящиеся около точек хmax, хmin, х перегиба и рассчитать значение у = f(x) в этих точках.


  1. По полученным результатам построить график функции.

Примеры исследования и построения графика функции с помощью производной

Пример 1: Построить график функции: у=х3 - 2х2 + х

Решение:

  1. Область определения: х любое действительное число (хhello_html_771f19e1.gif).

  2. Область значения: у- любое действительное число (хhello_html_771f19e1.gif).

  3. hello_html_m293e6e1b.gif

hello_html_m1bde8c3b.gifhello_html_cd71728.gif

Функция ни четная, ни нечетная

  1. у=0 х3-2х2+х=0

х (х2-2х+1)=0

hello_html_m497bb075.gif

Или hello_html_m2521e239.gif

hello_html_m1793b82e.gif

В точках с координатами (0; 0); (1; 0) график функции у=х3-2х2+х пересекает ось Ох.

Х=0 у(0)=03-2hello_html_m54794894.gif

В точке с координатами (0; 0) график функции пересекает ось Оу.


  1. График данной функции непрерывен, поэтому асимптот не имеет.

  2. hello_html_3a4a98ae.gifhello_html_7d38d308.gif

hello_html_5b0c325c.gif

Стационарные точки х1=1; hello_html_3855035f.gif

Стационарные точки – это те значения х, при которых у1=0.

У

+

-

+

1

уhello_html_m71b701f5.gifhello_html_m6543e9e2.gifhello_html_7af3111b.gifhello_html_m6543e9e2.gif

х

hello_html_m137b52a5.gif 1 hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_3f1f3417.gif

Здесь применяется формула разложения квадратичного выражения на множители.

hello_html_m33e26fe8.gif, где hello_html_3156e8f2.gif и метод интервалов. Экстремумы: хmax=hello_html_m137b52a5.gif

Xmin=1

Значение функции в точках экстремума:

hello_html_46dc56be.gif


  1. hello_html_m4d3d1fb.gif

У


-

+

11

hello_html_m71b701f5.gifhello_html_m285babd2.gif

у

х

hello_html_m3f510064.gifhello_html_m4330769a.gifhello_html_m2c0134f2.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m21a3a63.gif хhello_html_5b3d1c99.gif- точка перегиба

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_77ee7c52.gif



hello_html_m7050135b.gif

9.

hello_html_m3f19d704.gif

у

hello_html_334a9e1a.gif

х

hello_html_f716972.gifhello_html_f716972.gifhello_html_f716972.gifhello_html_f716972.gif

- 10

- 18

- 4

hello_html_f716972.gifhello_html_f716972.gif

- 1

hello_html_m200bc1c2.gifhello_html_m200bc1c2.gifhello_html_m200bc1c2.gif

1

- 1

- 2

1

2

hello_html_355a36e5.gifhello_html_96c74b0.gifhello_html_12b471f8.gifhello_html_m200bc1c2.gif

2

hello_html_12b471f8.gifhello_html_12b471f8.gifhello_html_12b471f8.gifhello_html_m36ff32e0.gifhello_html_m5d315537.gifhello_html_3e457f67.gifhello_html_m142a40d5.gifhello_html_m757d9c0b.gifhello_html_m299ca671.gifhello_html_m7b3609f8.gif


































Пример 2. Построить график функции hello_html_445fb7be.gif

Решение:

1) Область определения функция (О.О.Ф.) D (f): хhello_html_718f1918.gif. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

hello_html_184e441a.gif

2) Область значения функции: (О. З. Ф.) Е (f): hello_html_3694033b.gif не существует.

3) х=1, х=-1 – вертикальные асимптоты. Х=1-прямая, параллельная оси Оу и проходящая через точку (1; 0)

Х=-1 – прямая, параллельная, оси Оу и проходящая через точку (-1; 0).

Асимптота – это ограничительная прямая, к которой стремится график функции при неограниченном удалении от начала координат точки О (0;0).

В точках х=1 и х=-1 функция терпит разрыв.

4) hello_html_m194af2b4.gif - функция четная.

5) Точки пересечения с осями координат:

1) с осью Ох:

hello_html_563cb6a9.gif

Уравнение х2=-2 решений не имеет в точках х=1, х=-1 – функция терпит разрыв. Точек пересечения с осью Ох график функции не имеет.

2) с осью Оу:

hello_html_52c66e95.gifв точке (0; 2) график функции пересекает ось Оу.

6) hello_html_m6697815b.gif

hello_html_m273abf98.gif

Стационарная точка х=0

Точки разрыва х=1 и х=-1.

у

+

+

-

-

1

уhello_html_m4141fe3.gif

х

hello_html_31d481bd.gifhello_html_31d481bd.gifhello_html_m23f162df.gifhello_html_4e9c45a1.gifhello_html_4e9c45a1.gifhello_html_5cc29372.gifhello_html_5cc29372.gif

-1

0

1

hello_html_7771f058.gif

хmax=0, хmin нет

Значение функции в точке экстремума.

hello_html_2fd04faf.gif

7) hello_html_m703fef73.gif в виду сложности вычислений не находим.

8)

9hello_html_m63e3dd45.gifhello_html_4afb51fb.gifhello_html_m7057221d.gifhello_html_m7057221d.gif

- -1

. -2

-1

-2

hello_html_3c80bc03.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_3c80bc03.gif

-3

-4

hello_html_3c80bc03.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_3c80bc03.gif

2

3

4

hello_html_7f40eee8.gif

- 1

- 2

hello_html_m6add9fa5.gifhello_html_4753edbe.gif

у

х

Х=1

Х=-1

hello_html_445fb7be.gif

)


3. Задание к практической работе

1. Найти экстремумы графика функции:

Вариант 1 Вариант 2

а) у = хhello_html_2d7177a9.gif б) у = -hello_html_m41080642.gif

в) у = - хhello_html_6fa951a0.gif г) у = хhello_html_mfc95f1d.gif

д) у = 3хhello_html_23c9ed00.gif е) у = хhello_html_m7a4c1959.gif

2.Найти промежутки монотонности функции:

Вариант 1 Вариант 2

а) у = hello_html_48c9b606.gif б) у = хhello_html_m1dae6bfd.gif

в) у = 0,25 х hello_html_4dc9bbb5.gif г) у = -хhello_html_m5d49bda1.gif

д) у = 6х – хhello_html_4ed491cf.gif е) у = хhello_html_2a22e12a.gif

3.Найти наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке:

Вариант 1 Вариант 2

а) у =hello_html_4bba24e8.gif б) у = хhello_html_68de01d.gif

в) у = хhello_html_33268c42.gif г) у = hello_html_m41e47f50.gif

4.Построить графики функций:

Вариант 1 Вариант 2

а) у = х hello_html_251ec8ae.gif б) у = -hello_html_6e6e3fa0.gif

в) у = 0,25 х hello_html_1969a510.gif г) у = - хhello_html_m4f812b9.gif

д) у = 6х - хhello_html_4ed491cf.gif е) у = хhello_html_2a22e12a.gif

5.Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график:

Вариант 1

1) hello_html_ba0e15b.gif


2) hello_html_6d082a45.gif

3) hello_html_2496da27.gif

4) hello_html_6de2b700.gif

5) hello_html_m6a2f7602.gif

Вариант 2

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график:

1) hello_html_m753e83a5.gif

2) hello_html_m310b92d7.gif

3) hello_html_648c0912.gif

4) hello_html_3dc1375.gif

5) hello_html_e094f73.gif


Домашнее задание: [1] §51, 928
















Практическое занятие

Тема 1.8. Интеграл

Тема: Формула Ньютона—Лейбница (2 ч.)

Цель занятия: Закрепить: навыки вычисления определенных интегралов; площадей плоских фигур с помощью интеграла.

Ход занятия:

1. Решить задачи по вариантам.

2. Сформулировать вывод (в выводе перечислить основные формулы и правила интегрирования, применяемые при решении задач).

Методические указания

1.При решении задач применяются правила и формулы:

  1. Правила интегрирования:

1) hello_html_m4e7d7e82.gif

Чтобы найти интеграл от алгебраической суммы нескольких функций, нужно найти интеграл от каждого слагаемого.

2)hello_html_m34569887.gif

Постоянный множитель m нужно вынести за знак интеграла, найти первообразную и умножить ее на постоянный множитель:

hello_html_7d6391cb.gif

3)Интеграл от постоянной величины равен: hello_html_m1be785c7.gif

2.Формулы интегрирования:

Функция

Первоообразнаяфункции

Частные случаи и формулы от (kx+b)

Примеры

1. Cтепен-ная функция

y = xp

hello_html_m78175a27.gif

hello_html_62fc0bb3.gif

hello_html_47c2ae5f.gif

hello_html_m112dd41c.gif

ln x – натуральный логарифм x

hello_html_m76184259.gif

hello_html_1b58aa7e.gif

hello_html_m1c8dfb94.gif

1. hello_html_m6b7e8fc2.gif

hello_html_686b88bc.gif

2. hello_html_m56ac7978.gif

hello_html_m5e74b004.gif

3. hello_html_mc876746.gif

2. Показа-тельная функцияhello_html_903d250.gif

hello_html_1150ff2c.gif

ln а – натуральный логарифм числа а

hello_html_79974a26.gif

hello_html_m2766398b.gif

1. hello_html_m55acc9ab.gif

2. hello_html_m237f5c90.gif


3. Тригонометрические функции и выражения

hello_html_m7910c338.gifhello_html_m651fdc1b.gif

hello_html_m376459a8.gifhello_html_afa9060.gif

hello_html_a17837.gifhello_html_m2848a27f.gif

hello_html_m51383e54.gif

hello_html_m9c64b31.gif

1.hello_html_mc46be52.gif2. hello_html_m19d03321.gif

3. hello_html_791350f3.gif

Примеры с решением

Найти интегралы:

1) hello_html_5b6476dd.gif

2) hello_html_6a7cab40.gif

Решение:

1) hello_html_5b6476dd.gif=hello_html_2600666a.gif

2)hello_html_6a7cab40.gif=hello_html_2c1cf500.gif

Вычислить интеграл:

Домашнее задание: [1] §57 № 1000


























Практическое занятие

Тема 1.8 Интеграл

Тема: Нахождение площадей криволинейных трапеций (2 ч.)

Цель занятия: Закрепить навыки вычисления площадей плоских фигур с помощью интеграла.

Ход занятия:

1. Решить задачи по вариантам.

2. Сформулировать вывод (в выводе перечислить основные формулы и правила интегрирования, применяемые при решении задач).

Методические указания

Правила вычисления площади плоской фигуры:

1. По условию задачи построить графики функции на одной координатной плоскости ХОУ.

2. Найти пределы интегрирования путем приравнивания функций друг к другу. Найти точки пересечения функций, точки пересечения с осями координат.

3. Представить искомую площадь как сумму или разность площадей криволинейных трапеций.

4. Вычислить площадь фигуры с применением формулы Ньютона-Лейбница: hello_html_m792c077a.gif


Пример1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х + 2у – 4 = 0, у = 0, х = -3, х =2.

Решение:

1) х+2у-4=0 – прямая линия.

у=0 – ось ОХ, х=-3–прямая параллельная оси ОУ, проходящая через точку (-3;0).

х=2 – прямая параллельная ОУ (2;0), проходящая через точку (2;0)

х+2у-4=0;

х+2у=4 у=-hello_html_3bdaa7f3.gif





2hello_html_m23d7d4d1.gif) Построим график функции:







у=-hello_html_3bdaa7f3.gif

Рис. 1



hello_html_e4d1b1c.gif(ед2).


Пример 2: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
х - 2у + 4=0, х + у -5= 0, у = 0

Решение:

1) Преобразуем прямые:

х-2у+4 =0 к виду у =hello_html_3bdaa7f3.gif

х + у-5 = 0 к виду у =-х+5.


2hello_html_m424527c0.gif

у

) Построим графики функций:

у=-х+5

у=hello_html_3bdaa7f3.gif5

hello_html_5e4202fb.gif

hello_html_m8dfe638.gif

5


hello_html_7c4939e2.gifhello_html_m50862029.gifhello_html_36b57ef5.gifhello_html_7af3111b.gifhello_html_m418ce24b.gifhello_html_m1d1d395.gifhello_html_1f9db414.gif

S1

S2


х

hello_html_m1162ab25.gifhello_html_m758085b6.gifhello_html_4c410a14.gifhello_html_36b57ef5.gif=-х+5

2

0

hello_html_m1110cc5c.gif

-4

5


Рис. 2



3) Найдем точку пересечения прямых между собой и с осями координат.

-х+5=0 х=5

hello_html_7cd9825d.gif х=-4

-х+5=hello_html_4853a0bf.gif2

-2х+10=х+4

-3х=-6

х=2


Разбиваем фигуру на две части

hello_html_mf91c090.gif

Пример 3: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: hello_html_m59e8f977.gif.

Решение:

1)Вершина параболы: hello_html_721e69ef.gif

2) Ветви вниз, корни 4х-х2=0 х(4-х)=0

х1=0, х2=4

3) х=5 – прямая, параллельная оси ОУ ,проходящая через точку (5; 0).


Если фигура располагается ниже оси ОХ, то ее площадь вычисляется по абсолютной величине (модулю):

hello_html_7a64c133.gifhello_html_73c69c74.gif







Рис. 3


Разбиваем фигуру на две части :

hello_html_m3a0aa25c.gif

hello_html_m2567b293.gif

hello_html_24e0a97a.gif

hello_html_4f6632a6.gif

Пример 4: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиейhello_html_mb6ff03.gif.

Решение:

Построим графики заданных функций:

1) у=х2 – парабола.

у=2х2-1 – парабола у=х2, сжатая в два раза и сдвинутая по оси ОУ на 1 ед. вниз.

hello_html_1a828a93.gif


Sф=2S1

для симметричной фигуры








Рис. 4


2) Найдем точки пересечения графиков функций:

hello_html_f490474.gif

3) Вычислим площадь фигуры ,применив ее симметрию:

hello_html_36391e57.gifЕсли два графика расположены один над другим, то при вычислении площади фигуры из верхнего графика вычитают нижний.

5. у = х3, х = 2, х =-2

Домашнее задание: [1] §57 1004-1006 (чётн.)

1. у = -х2 + 2х + 8, у = х+6

2. у = х2 +1, х =-2, х = 2, у = 0

3. у = -х2+4, у = 0

4. у = х3, х =3, х =-3

5. у = hello_html_m137b52a5.gifх + 1, у = -2х + 2, у = 0






























Практическое занятие

Тема 2.1 Прямые и плоскости в пространстве

Тема: Решение задач на параллельность прямой и плоскости, параллельность плоскостей

(2 ч.)

Цель занятия:

  1. сформировать представление о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве;

  2. сформировать навыки построения элементов стереометрии;

Ход занятия:

  1. .ответить на вопросы (по вариантам).

  2. решить задачи.

  3. Сформулировать вывод.

Методические рекомендации

  1. При решении задач следует руководствоваться теоретическими сведениями об основных аксиомах стереометрии, объектах стереометрии и их свойствам, о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве.

  2. Задача разбивается на три основных этапа:

    1. Построение;

    2. Выработка хода решения;

    3. Решение задачи.

  3. Задачи требуют знаний о планиметрических фигурах и их свойствах. В частности, свойств подобия треугольников, свойств трапеции, параллельных прямых.

Задания к практической работе

Вариант I

Ответьте на вопрос или закончите предложение.

  1. Сколько плоскостей проходит через две пересекающиеся прямые?

  2. Если две плоскости имеют одну общую точку ______________________

  3. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

  4. Через точку, лежащую на прямой, проходит ________________________

  5. Признак параллельности прямой и плоскости:______________________

  6. Если одна параллельная прямая пересекает плоскость, то ____________

  7. Лежат ли в одной плоскости скрещивающиеся прямые? (ответ обоснуйте)

  8. Теорема о скрещивающихся прямых:______________________________

  9. Изобразите следующее: а) аhello_html_m60dca375.gif, б)hello_html_75cbc643.gifhello_html_7c662469.gif, в) аhello_html_4d734911.gif

  10. Если две точки прямой лежат в плоскости, то ______________________

  11. Можно ли через прямую и не лежащую на ней точку провести плоскость? (ответ обоснуйте)

  12. Равны ли два угла с соноправленными сторонами? (ответ обоснуйте)

  13. Известно, что одна из параллельных прямых пересекают плоскость, как расположена и пространстве другая прямая?

Решите задачи

  1. Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую в, параллельную прямой а. Докажите, что прямые в и с скрещиваются.

  2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и Е так, что DЕ=5см. BD: DA = 2:3. Плоскость hello_html_7c662469.gif проходит через точки В и С и параллельна отрезку DE. Найти длину ВС.

  3. Докажите, что если прямая а параллельна прямой по которой пересекаются две плоскости, и не лежат в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.

  4. Средняя линия трапеции АВСЕ лежит в плоскости hello_html_7c662469.gif. Докажите, что основания трапеции параллельны плоскости.

  5. Точка М не лежит в плоскости прямоугольника АВСЕ. Докажите, что прямая СЕ параллельна плоскости АВМ.

Вариант II

Ответьте на вопрос или закончите предложение.

1. Перечислите объекты стереометрии.

2. В каком случае прямая лежит на плоскости?_______________________

3. Через прямую и не лежащую на ней точку_________________________

4. Какие лучи называются соноправленными?

5. Если две прямые параллельны третьей прямой, то____________________

6. Существует ли плоскость, в которой лежали бы скрещенные прямые? (ответ обоснуйте).

7. Как могут располагаться прямые в пространстве? (ответ проиллюстрируйте).

8. Углы с соноправленными сторонами_______________________________

9. Сформулируйте третью аксиому стереометрии.

10. Второе следствие из признака параллельности прямой и плоскости:___________________________

11. Если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то _________

12. Изобразите следующее: а) hello_html_m6e362014.gif, б) hello_html_m742f4d2c.gif, в) hello_html_m2802f31d.gif

13. Прямая и плоскость называются параллельными____________________

14. Через каждую из двух скрещивающихся прямых____________________

15. В каком случае через три точки проходит единственная плоскость?

Решите задачи

    1. На скрещивающихся прямых а и в отмечены точки М и Р. Через прямую а и точку Р проходит плоскость hello_html_7c662469.gif, а через прямую в и точку М проходит плоскость hello_html_m27cbf67f.gif. Лежит ли прямая в в плоскости hello_html_7c662469.gif? По какой прямой пересекаются плоскости hello_html_7c662469.gif и hello_html_m27cbf67f.gif?

    2. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой?

    3. Прямая р параллельна диагонали ВЕ ромба АВСЕ и не лежит в его плоскости, <АВС=hello_html_m533100d2.gif. Докажите, что прямые р и АЕ скрещиваются. Найдите угол между прямыми р и АЕ.

    4. Точка Е не лежит в плоскости треугольника АВС. Точки М, Р, Н, К – середины отрезков ВЕ, СЕ, АС, АВ. Найдите периметр четырехугольника МРНК, если АЕ=12см, ВС=16см.

Плоскости hello_html_7c662469.gif и hello_html_m27cbf67f.gif пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллельна прямой АВ. Докажите, что прямые а и hello_html_7c662469.gif параллельны


Домашнее задание: [2] §3 №23,24




















Практическое занятие

Тема 2.2. Многогранники

Тема: Решение задач на использование свойств многогранников (2 ч.)

Цель занятия:

    1. Систематизировать и обобщить знания о многогранниках и их свойствах;

    2. Сформировать практические навыки вычисления площади поверхности многогранной фигуры на примере модели многогранника.

Ход занятия:

  1. .Определить многогранную фигуру.

  2. Изобразить многогранную фигуру.

  3. Определить число оснований многогранника, число боковых граней, число ребер основания и боковых граней.

  4. Выделить элементы фигуры, которые необходимы для вычисления площади основания, боковой и полной поверхности и измерить их.

  5. Результаты исследования занести в таблицу.

    Вид многогранной фигуры

    Число оснований

    Число боковых граней

    Элемент для вычисления площади, см.

    S осн.

    S бок.

    S поверхности

    Формула

    Результат, см2

    Формула

    Результат, см2

    Формула

    Результат, см2




    hосн=










    hбок=










    аосн=










    восн=







  6. Сделать выводы.

  7. ответить на вопрос или закончить предложение:

1. Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?

2. Будет ли пирамида правильной, если ее боковые грани правильные треугольники?

3. Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания может иметь пирамида?

4. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?

5. Призма называется правильной, если.………………………………….……

6. Грани усеченной пирамиды – ………………………………………………..

7. Усеченной пирамидой называется……………………………………………

8. Площадь боковой поверхности правильной призмы………………………..

9. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды……………………..

10. Площадь боковой поверхности правильной поверхности правильной усеченной пирамиды……………………………………………………………..

Методические рекомендации

  1. При решении выполнения работы необходимо четко определить вид многогранной фигуры.

  2. Измерить величины высоты, длины сторон основания, данные занести в таблицу. Вычислить площадь поверхности модели многогранной фигуры.

  3. при ответе на вопросы следует руководствоваться теоретическими сведениями о свойствах многогранников (пирамиды, призмы, параллепипеда).

  4. Вычисление следует производить в одних единицах (см. или мм.).

Задания к практической работе

На практической работе преподаватель выдает модели геометрических тел, представляющие собой многогранные фигуры. Студенты делают необходимые измерения и выполняют этапы хода работы.


Домашнее задание: [2] §1,2 №250, 253






















Практическое занятие

Тема 2.3. Тела и поверхности вращения

Тема: Решение задач на использование свойств цилиндра и конуса (2 ч.)

Цель занятия:

  1. закрепить навыки применения свойств цилиндра и конуса для решения задач;

  2. сформулировать практические навыки вычисления площади поверхности цилиндра и конуса, площадей сечений цилиндра и конуса.

Ход занятия:

  1. ответить на вопросы (по вариантам).

  2. решить задачи.

  3. Сформулировать вывод.

Методические рекомендации

  1. При решении задач следует руководствоваться теоретическими сведениями о свойствах цилиндра и конуса, вычислении площадей сечений, площадей поверхности цилиндра и конуса.

  2. Задача разбивается на три основных этапа:

    1. Построение.

    2. Выработка хода решения.

    3. Решение задачи.

  3. Задачи требуют теоретических знаний о планиметрических фигурах и их свойств, в частности, четырехугольников (квадрата, прямоугольника, параллелограмма), кругового сектора, центрального угла.

Задание к практической работе

Вариант I

Выберите правильный ответ:

1. Чему равен угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра? а) hello_html_7ef2b19.gif, б) hello_html_3609fa39.gif, в) hello_html_m59ddedf1.gif

2. Чему равен угол между осевым сечением конуса и плоскостью основания конуса? а) hello_html_3609fa39.gif, б) hello_html_689ec8c0.gif, в) hello_html_7ef2b19.gif.

3. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его основанию? а) круг, б) квадрат, в) треугольник.

4. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей? а) квадрат, б) прямоугольник, в) параллелограмм.

5. На основаниях цилиндра взяты две не параллельные между собой хорды. Что можно сказать о расстоянии от одной хорды до другой: а) оно может быть больше высоты цилиндра, б) оно может быть равным высоте цилиндра, в) оно может быть меньше высоты цилиндра.

6. Равны ли друг другу углы между образующими конуса и плоскостью основания? а) да, б) нет. Ответ обосновать.

7. Равны ли друг другу углы между образующими конуса и его осью?

а) да, б) нет (ответ обоснуйте)

8. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину? а) квадрат, б) равнобедренный треугольник, в) круг

9. Что представляет собой развёртка цилиндра? а) прямоугольник, б) трапецию, в) треугольник

10. Что представляет собой развертка конуса? а) трапецию, б) круговой сектор, в) параллелограмм

11. Высота цилиндра равна H, а его радиус R. Вычислите: площадь осевого сечения, площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности тела.

12. высота конуса равна Н, а его радиус R. Вычислите: длину образующей, площади осевого сечения, площадь боковой и полной поверхности тела. Изобразите развертку усеченного конуса на плоскость.

Решите задачи

1.Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади боковой поверхности, если осевое сечение цилиндра: а) квадрат АВСД, б) прямоугольник АВСД, в котором АВ:АД=1:2.

2. Отношение площадей боковой и полной поверхностей конуса равно 7/8. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.

3. через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу hello_html_m63f12eb.gif, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол hello_html_65a7384f.gif. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен 4см.

4. Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны. Одно из оснований осевого сечения равно 40см, а его площадь hello_html_26bddb1d.gifдм. Вычислите площади полной и боковой поверхностей усеченного конуса.

Вариант II

Выбрать правильный ответ:

    1. Какая фигура получится в сечении плоскостью, параллельной его оси? а) квадрат, б) прямоугольник, в) круг.

    2. Чему равен угол между плоскостью осевого сечения цилиндра и плоскостью основания? а) hello_html_887827d.gif, б) hello_html_3961535d.gif, в) hello_html_3058afb5.gif.

    3. Какая фигура получится в сечении конуса и плоскостью, параллельной его оси? а) равнобедренный треугольник, б) квадрат, в) трапеция.

    4. Чему равен угол между плоскостью кругового сечения конуса и плоскостью основания? а) 800, б) 1800, в) 00.

    5. Равны ли друг другу углы между образующими цилиндра и плоскостью основания? а) да, б) нет. (ответ обосновать).

    6. Сколько плоскостей, параллельных основания конуса можно провести внутри тела? а) ни одной, б) бесконечное множество, в) две.

    7. Сечение конуса проходит через его вершину и хорду основания. Какая фигура получается в сечении? а) трапеция, б) равнобедренный треугольник, в) квадрат.

    8. Сечение проходит через две хорды оснований цилиндра, лежащие в разных основаниях. Какая фигура может получится в сечении? а) прямоугольник, б) параллелограмм.

    9. Что представляет собой развертка цилиндра? а) прямоугольник, б) квадрат, в) трапеция.

    10. Что представляет собой развертка конуса? а) ромб, б) круговой сектор, в) круг.

    11. Высота цилиндра равна Н, а его радиус R. Вычислите образующую, площадь боковой и полной поверхностей, площадь осевого сечения цилиндра.

    12. Высота конуса равна Н, а его радиус R. Вычислите площади: осевого сечения, боковой поверхности, площадь полной поверхности. Изобразите развертку усеченного конуса на плоскость.

Решите задачи

1. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если его развертка сектор с дугой 2700.

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через середину радиуса основания перпендикулярно ему.

3. Равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 10 см острым углом 600 вращается вокруг большего основания. Вычислите площадь поверхности полученного те__(?)__.

4. Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны. Одно из оснований осевого сечения равно 40 см, а его площадь 36 дм2. вычислите площадь боковой и полной поверхности тела.

Домашнее задание: [2] №527, 531, 553


  1. Осевым сечением цилиндра является:

а) треугольник; б) круг; в) прямоугольник; г) трапеция.

  1. Полная поверхность цилиндра определяется по формуле, где R – радиус основания, L – образующая, Н – высота:

а) hello_html_m56d4d336.gif; б) hello_html_67b273ce.gif; в) hello_html_m45f10cce.gif; г) hello_html_m10c21a41.gif.

  1. Выявите формулу, не относящуюся к вычислению поверхности или объема конуса, где L – образующая, R – радиус, Н – высота:

а) hello_html_m3dd2396d.gif; б) hello_html_m4353150d.gif; в) hello_html_75dcf7db.gif; г) hello_html_87c96e.gif.

  1. Площадь поверхности сферы определяется по формуле, где R – радиус сферы:

а) hello_html_c4ac573.gif; б) hello_html_7b30ae7c.gif; в) hello_html_3fc2204.gif; г) hello_html_7f02479e.gif.

  1. Какой не может быть призма?

а) прямой; б) наклонной; в) правильной; г) усеченной.

  1. Прямоугольный параллелепипед – это:

а) пирамида; б) призма; в) октаэдр; г) тетраэдр.

  1. Объем конуса определяется по формуле:

а) hello_html_1f93d067.gif; б) hello_html_a30115.gif; в) hello_html_m35476e71.gif; г) hello_html_71030317.gif.

  1. Апофема - это:

а) образующая б) высота в) высота боковой г) высота усечен-

цилиндра; конуса; грани пирамиды; ого конуса.

  1. Если высота конуса равна 15, а радиус основания 8, то образующая конуса равна:

а) 14; б) 17; в) 13; г) 6.

  1. Кирпич 236. Его диагональ равна:

а) 10; б) 6; в) 7; г) 5.

  1. Радиус основания цилиндра равен 2 м, высота 3 м. Диагональ осевого сечения равна:

а) 5 м; б) 7 м; в) 8 м; г) 4 м.

  1. Диаметр шара равен 2 см. Его объем и поверхность равны:

а) hello_html_5dcb3f99.gifсм3 и 4 см2; б) hello_html_5dcb3f99.gifсм2 и 4 см3; в) 42 см3 и м; г) 2 см3 и см2.


II вариант

  1. Цилиндром называется тело, ограниченное поверхностью:

а) конической; б) концентрической; в) цилиндрической; г) сферической.

  1. Боковая поверхность цилиндра определяется по формуле, где R – радиус, L – образующая, Н – высота:

а) hello_html_1c809c72.gif; б) hello_html_75dcf7db.gif; в) hello_html_22dfb5af.gif; г) hello_html_m3dd2396d.gif.

  1. Конус не может быть получен вращением:

а) прямоугольника вокруг одной из сторон;

б) равностороннего треугольника вокруг медианы;

в) прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

  1. Назовите элемент, не принадлежащий конусу:

а) образующая; б) ось; в) высота; г) медиана.

  1. Боковая поверхность усеченного конуса является:

а) частью цилиндрической поверхности;

б) частью конической поверхности;

в) частью сферической поверхности:

г) частью поверхности шара.

  1. Сфера является поверхностью:

а) конуса; б) усеченного конуса; в) цилиндра; г) шара.









32


Курс профессиональной переподготовки
Педагог-библиотекарь
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Специалист в области охраны труда
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Проверен экспертом
Общая информация
Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Основы религиозных культур и светской этики: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС технических направлений подготовки»
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности экономиста-аналитика производственно-хозяйственной деятельности организации»
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности по подбору и оценке персонала (рекрутинг)»
Курс повышения квалификации «Этика делового общения»
Курс повышения квалификации «Правовое регулирование рекламной и PR-деятельности»
Курс повышения квалификации «Разработка бизнес-плана и анализ инвестиционных проектов»
Курс профессиональной переподготовки «Управление информационной средой на основе инноваций»
Курс профессиональной переподготовки «Организация системы менеджмента транспортных услуг в туризме»
Курс профессиональной переподготовки «Техническая диагностика и контроль технического состояния автотранспортных средств»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика музейного дела и охраны исторических памятников»
Курс профессиональной переподготовки «Организация и управление службой рекламы и PR»
Курс профессиональной переподготовки «Информационная поддержка бизнес-процессов в организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.