Методические рекомендации для учителей математики по формированию у учащихся навыков самоконтроля

Курилова Елена Валериевна

Донецкая общеобразовательная школа І-ІІІ ступеней № 94

г. Донецк

учитель математики

Методические рекомендации для учителей математики по формированию у учащихся навыков самоконтроля.

Ошибки, которые обучают.

Пословица говорит: на ошибках учатся. И действительно, в ошибке есть обучающая функция. В самом примитивном смысле ошибка учит не повторять ее. Но возможно организовать работу так, чтобы ошибка открывала новый нюанс, заставляла по - новому посмотреть на уже, казалось бы, изученное, еще раз вызвать к нему живой интерес. Это, конечно, в случае, если за ошибку не наказывают, если ее обнаружение - игра без негативных эмоций, активное обсуждение вопросов, в которых и ученик чувствует себя компетентным. Такой процесс постепенно отрабатывает у учащихся необходимость контролировать свои действия (и не только в математике), умение проявлять и исправлять свои ошибки. Без такого умения нет математической культуры. Воспитательное воздействие этого процесса, как видим, еще важнее учебного. Укажем одно из средств реализации сказанного.

Ниже предлагается несколько блоков задач, «провоцирующих» ошибку. Она возникает за счет неоправданного распространения учениками предыдущего опроса на новый объект за счет использования неверных аналогий.

Блоки задач специально подобранные из различных разделов школьной программы для демонстрации широких возможностей метода обучения на ошибках. Понятно, что фантазия и опрос учителя подскажут ему подобные блоки задач в любой из тем, которые изучаются.

Блок 1.

        Не решая квадратное уравнение, определите знаки его корней:

1) х² + 6х – 8 = 0;

2) 2х² – 7х + 6 = 0;

3) 3х² + 11х + 10 = 0;

4) х² – 3х + 3 = 0.

       Предполагается, что ученики автоматически для последнего уравнения определят знаки его корней, не обращая внимания на то, что действительных корней данное уравнение не имеет.

Блок 2.

       Упростить выражения:

1) ;         2) ;        3) ;          4) .

        Скорее всего, первые три примера сформируют стереотип, выводом которого для четвертого будет ответ , что неправильно. На самом деле правильным результатом будет .

Блок 3.

             Решить неравенства:

1) ;       2)  ;       3) .

            Как показывает опыт, ученики не учитывают, что последнее неравенство равносильно системе .

Блок 4.

          Решить уравнение:

1) (х – 2)(х + 3) = 0;

2)(х – 1);

3);

4).

       В последнем уравнении надо учесть, что его область определения -   промежуток , поэтому -3,5 не  корень уравнения, которое рассматривается.

Блок 5.

Построить графики функций:

1) у = х³;        2) ;         3) .

Распространенная ошибка - считать прямую у = х графиком третьей функции. На самом деле область определения этой функции  и ее график - биссектриса первого координатного угла.

Блок 5а.

Построить графики функций:

1) ;          2) ;          3) .

График последней функции изображен на рисунке.

       у

                           2

                          0           1                                      х

Блок 6.

Внести множитель под. корень:

1) ;             2) ;            3);             4) .

В последнем примере в отличие от трех предыдущих надо учесть, что ответ зависит от знака переменной, то есть если , то . Если же , то .

Блок 7.

Решить неравенства:

1) (х + 3)²(х – 1)(х - 2) ‹ 0;

2)    (х + 3)²(х – 1)(х - 2) ≥ 0;

3)    (х + 3)²(х – 1)(х - 2) ≤ 0.

Часто ученики при решении третьего неравенства ответом считают отрезок , забывая, что х = - 3 также является решением последнего неравенства.

Блок 8.

Найти значения следующих выражений:

1) arcсos (cos3);    2) arctg (tg(-1,4));    3) arcсtg (ctg3,1);   

4) arcsin (sin6).

Потому, что тождество arcsin (sinх) = х выполняется тольки при , то 6 не является значанием последнего выражения. Верный ответ : 6 - 2.

Блок 9.

          При каких значениях а уравнение имеет один корень? (Здесь и далее при подсчете корней уравнения равные корни будем считать за один).

1)    х² – 3х + 2а = 0;

2)    2х² – ах + 8 = 0;

3)    ах² – 2х + 3 = 0.

          Ожидаемая ошибка заключается в том, что в третьем задании ученики по аналогии с двумя предыдущими только будут искать корни двучлена, что является дискриминантом. Однако последнее уравнение в общем случае не является квадратным (оно не выше второй степени). Поэтому для уравнения, которое рассматривается ответом  будет а = 1/3 или а = 0.

Блок 10.

При каких значениях а уравнение имеет один корень?

1) (х - 4)(х – а) = 0;                 2) .

Как для первого, так и для второго уравнения 4 - корень. Тогда, очевидно, первое уравнение имеет один корень при а = 4. Однако для второго уравнения значение а = 4 - неполный ответ. Действительно, область определения последнего уравнения - промежуток , поэтому значение для а, что ищем, будут все числа из промежуткв  и а = 4.

К традиционным ошибкам относится и такая: учащиеся при решении уравнений или неравенств без предварительного обследования делят обе части на выражение, включающее в себя переменную, что может привести к потере решений. Но существует целый класс уравнений (неравенств), например тригонометрические уравнения, однородные относительно синуса и косинуса, где деление на выражение с переменной - метод решения. Однако не для всех однородных тригонометрических уравнений метод деления приводит к равносильному уравнению.

            Для того, чтобы ученики аккуратно относились к методу деления на выражение, содержащее переменную, то есть проводить обследования, предназначен следующий блок задач.

Блок 11.

Решить уравнения:

1)    sin x + cos x = 0;

2)    sin² x – sin 2x – 3cos² x = 0;

3)    cos² x = 3 sinx cosx.

Деление обеих частей последнего уравнения, по аналогии с предыдущими, на cos² x , очевидно приведет к потере корней (заметим, что это уравнение можно решить методом деления, но только на sin² x).

      Рассмотрим в качестве примера еще одно использование изложенной идеи задачу, имеющую целью способствовать преодолению формализма в знаниях учащихся.

Блок 12.

 Найти уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой х₀:

1)    у = х², х₀ = - 2;

2)    ;

3)    .

В третьем задании нет необходимости, как в двух предыдущих, использовать общее уравнение касательной. Потому что графиком последней функции является полуокружность с центром (0; 0) и радиусом 1. Поэтому, очевидно, уравнение касательной, которое ищем, имеет вид у = 1.