Методические рекомендации для выполнения практических работ 2 курс

Департамент образования Вологодской области

Бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования Вологодской области

«Череповецкий лесомеханический техникум им. В.П. Чкалова»

Методические рекомендации для проведения практических работ по математике для обучающихся 2 курса.

Специальность: 250407 «Технология лесозаготовок»

Методические рекомендации составлены в соответствии с Федеральным образовательным стандартом по дисциплины « Математика» для данной специальности.

Разработал преподаватель

математики ЧЛМТ:

Березина М.С.

Череповец

2012 г.

Практические работы.

1.     Предел функции. Решение задач.

2.     Производная, её приложения.

3.     Интеграл, методы интегрирования, приложения определенного интеграла.

4.     Дифференциальное исчисление: Простейшие дифференциальные уравнения.

5.     Решение дифференциальных уравнений.

6.     Числовые ряды. Признаки сходимости.

7.     Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение функций в ряд Маклорена и Тейлора.

8.     Уравнение прямой. Уравнения кривых второго порядка.

9.     Решение задач в полярной системе координат.

10. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Решение задач.

Часть практических работ оценивается на 3, 4 или 5, часть – идет на зачет. К каждой работе приведены методические рекомендации и образец выполнения наиболее сложных задач. Причем, в конце приведены приложения к некоторым работам, в которых освещены некоторые теоретические вопросы, приведены все необходимые формулы, а также указана литература, в которой данный материал разобран подробнее.

После изучения курса, студенты сдают подшивку из 10 практических работ.

Студент, пропустивший практическую работу по  уважительной причине или без нее, должен восстановить ее на консультации.

На каждой работе студенту выдается карта, где он ставит вариант, выполняемой работы, дату и подпись. Преподаватель при проверке выставляет в карту, полученную студентом оценку.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1

ТЕМА: Предел функции. Вычисление пределов.

ЦЕЛЬ:  Вычислить пределы функций, раскрыть неопределенности.

Перед вычислением пределов, ответить на теоретические вопросы:

1)    Записать определение предела функции.

2)    Перечислите теоремы о пределах (предел суммы, разности, частного, следствия) записать формулы.

3)    Перечислите виды неопределенностей, которые вы знаете.

4)    Записать замечательные пределы.

5)    Привести пример предела функции.

Параметры, используемые в работе:

k – число букв в фамилии студента, n – цифра в номере по списку в журнале, после 10 – последняя цифра (подгруппы).

Задания для решения на практической работе

А. Вычислить пределы:

1. ;  2. ;  3. ; 4.;

5. ;  6.; 7. ; 8. .

Б. Вычислить пределы:

1. ;  2. .

Работа состоит 10 заданий. Каждый предел оценивается в 1 балл. На оценку «3» нужно набрать 8 баллов (часть А), на оценку  «4» и «5» - дополнительные задания(часть Б). Перед выполнением работы следует ответить на теоретические вопросы, если обучающийся не отвечает на вопросы письменно, то после выполнения практической части, следует защита. Оценка за практическую работу выставляется с учетом устного ответа.(а)

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1

ТЕМА: Предел функции. Вычисление пределов.

ЦЕЛЬ:  Вычислить пределы функций, раскрыть неопределенности.

Образец выполнения.

Часть А

1.  Вычислите предел: . Вычислим предел, подставив вместо х 5. =  . Ответ: =.

2. Вычислите предел: , (неопределенность ).

Подставим вместо х два, =, получаем неопределенность . =,  - это величина обратная к бесконечно малой, т.е. величина бесконечно большая, а она стремиться к ∞. Иными словами , тогда =∞. Ответ: =∞.

   3. Вычислите предел:      (неопределенность ).

Подставим вместо х бесконечность: = получаем неопределенность . =,  - это величина обратная к бесконечно большой, т.е. величина бесконечно малая, а она стремиться к 0. Иными словами =0, тогда  =0. Ответ: =0.

      4. Вычислите предел: ,  (неопределенность ).

Подставив  вместо х бесконечность, получим в пределе неопределенность . Чтобы избавиться от данной неопределенности, разделим числитель и знаменатель почленно  на старшую степень знаменателя, т.е на х².

= ===.

Ответ: =∞.

5, 6. Вычислить предел: . , чтобы вычислить данный предел, нужно чтобы аргумент функции синус и числитель (знаменатель) совпадали. Для этого домножим числитель и знаменатель на . Получим ===60∙1=60. Ответ: =60

 7,8. Вычислите предел:  

==.

Вычислим пределы отдельно: ,

Введем новую переменную х=2у, у=0,5х, если , то и

=

=.  Ответ: =е⁶.

Часть Б.

1. (неопределенность). =.

Чтобы избавиться от данной неопределенности, разложим на множители числитель и знаменатель. Для того, чтобы разложить знаменатель применим формулу: , , чтобы разложить числитель применим формулу: , где х₁ и х₂ – корни уравнения. .   .

===. Ответ: =.

2. =.(неопределенность).

Чтобы избавиться от данной неопределенности домножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное к знаменателю.

=======.

Ответ: =.

ПРАКТИЧЕСКАЯ   РАБОТА 2.

ТЕМА: Производная, ее приложения.

ЦЕЛЬ:  Используя таблицу производных и правила дифференцирования, решить задачи.

ВАРИАНТ 1

Задание 1. Заполнить пробелы:

а) (х⁴)′ =…;   б) (…)′ = ;   в) ( )′ = …;  г) (…)′ = .

(а - 1балл; б - 0,5балла; в и г  – по 2 балла)  

Задание 2. Найти производную сложной функции:

а). f(x) = (4 – 3x);  б) f(x) = cos2x + sin(x +). (по 3 балла)

Задание 3. Решить задачи:

№1.Составьте уравнение касательной и нормали, проведенных к параболе  в точке х₀=-1. (4 балла)

№2. Точка движется прямолинейно по закону . Найдите скорость и ускорение в момент времени t = 2 сек. (3 балла)

№3. Исследовать функцию  на монотонность при помощи производной. Найдите максимум функции. (5 баллов)

№4. При помощи производной найдите наибольшее значение функции  на отрезке .(5 баллов)

Задание 4. Найти частные производные:  в точке (1;1);

(5 баллов)

Задание 5. Ответить на вопросы теста.(по 0,5 балла)

Продолжите фразу:

1.     Приращением функции f в точке x₀ называется ________________________ .

2.     Если функции U и V дифференцируемы в точке x₀, то их сумма дифференцируема в этой точке и выполняется равенство ___________________________.

Выбрать ответ, решив задание:

3.     Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) = 4x²– x в точке x₀=1.

  А. 3;    Б. 5;   В. 7;    Г. 8.

Работа состоит из 5 заданий, которые оцениваются от 0,5 балла до 5 баллов. Максимальное количество баллов, которые можно заработать, решив все задания верно  - 35 баллов.

«3»  от 18 до 25 баллов,   «4» от 26 до 30 баллов,   «5» от 31 до 35 баллов.

Ответить на вопросы теста обязательно!

ПРАКТИЧЕСКАЯ   РАБОТА 2.

ТЕМА: Производная, ее приложения.

ЦЕЛЬ:  Используя таблицу производных и правила дифференцирования, решить задачи.

Методические рекомендации.

Задание 1. Пользуясь таблицей производных, решить примеры.

. Примеры

1),  

2) .

Задание 2. Вычислите производные сложной функции.

1)

Здесь две функции:  у = х ³ – 4х + 1 и z = у ³ .

Найдем производную:  х ³ – 4х + 1 = t

Тогда

f ´(x)=.

2) .

.

Задание 3:

№ 1. Составьте уравнение касательной и нормали к параболе: в точке х₀= 4.   .

1)  Найдём значение функции в точке х = 4:

2) Найдем производную указанной функции:,

 Вычислим значение производной в точке х = 4:.

3) Подставим полученные значения в уравнение касательной:

;  ; ;  .

Составим уравнение нормали:

. Подставим все значения в уравнение нормали:

;  ;   .

Ответ: Уравнение касательной: . Уравнение нормали: .

№ 2. Точка движется прямолинейно по закону: . Найдите скорость и ускорение точки в момент времени t =6 сек.

Решение: Скорость – это производная пути по времени..

. .

Ускорение – это производная от скорости: .

. .

Ответ:;  .

№ 3. Схема исследования функции с помощью первой производной на монотонность и экстремумы:

1) Найти производную;        2) Найти критические точки;   

3) Исследовать знак производной в промежутках, на которые критические точки делят область определения функции. Сделать вывод;

4) Найти точки экстремума и вычислить значения функций в точках экстремума.

№ 4. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции:

1)      Найти критические точки, принадлежащие данному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;

2)      Найти значения функции на концах отрезка;

3)      Сравнить полученные значения. Выбрать необходимое.

Задание 4: Найдите частные производные: .

найдем производную данной функции по переменной х, при этом у считаем константой (постоянной величиной). Используем правило дифференцирования произведения.

=.

Найдем производную по переменной у, считая х постоянной величиной.

.

Ответ: ,   .

Работа состоит из 5 заданий, которые оцениваются от 0,5 балла до 5 баллов. Максимальное количество баллов, которые можно заработать, решив все задания верно  - 35 баллов.

«3»  от 18 до 25 баллов,   «4» от 26 до 30 баллов,   «5» от 31 до 35 баллов.

Ответить на вопросы теста обязательно!

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА  3

ТЕМА: Интеграл, методы интегрирования, приложения определенного интеграла.

ЦЕЛЬ: Научиться решать интегралы различными методами, используя таблицу и свойства интегралов и применять определенный интеграл для решения прикладных задач.

Практическая работа состоит из шести  заданий, которые оцениваются от 1 до 4 баллов. Максимальное количество баллов, которые можно заработать, выполнив все задания – 28. На оценку «3» нужно набрать 16 баллов, на оценку «4» - 22 балла, на «5» -  26-28 баллов.

Вариант 1

1.Вычислить неопределенные интегралы:

1) ; 2) ; (по 1баллу); 3) ; 4) .

(по 2 балла), где n – количество букв в фамилии.

2. Вычислить определенные интегралы:

1) ; 2) ; 3) .  (по 2 балла)

3. Проинтегрировать методом подстановки:

1) ; 2) 6) . (по 3 балла)

4. Применить метод интегрирования по частям:  (4 балла).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:.

6. Материальная точка движется по прямой с скоростью, определяемой формулой  . Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения? За 2 – ю секунду? (задачи по 3 балла)

Методические рекомендации

1.  Вычислить неопределенный  интеграл:

 непосредственное интегрирование, по свойствам интеграла и таблице интегралов: .

2. Вычислить определенный интеграл. Решение: согласно правилу.

3.  а) Интегрирование методом подстановки, введем новую переменную:

  =  t = 4+х³                                 =  = ===

                    dt = d (4+х³)                  =

                    dt  = (4+х³)′∙dx

                    dt = 3x² dx

                    dx =    

б) Вычислить определенный интеграл методом подстановки .

Пусть 1-x      т.к. ввели новые переменные, связанные с первым

          -2xdx=dz       равенством , то границы изменения переменного

                  z уже будут другими. Они найдутся из равенства

                                  заменой аргумента x его значениями 0 и         

                    . Сделав эту замену получим ,. Таким образом,

.

4. Интегрирование по частям, используем формулу :

, для нахождения полученного в правой части равенства снова интегрируем по частям:

, а значит

5. Необходимо сделать чертеж и вычислить площадь фигуры, ограниченной  линиями графиков функций по формуле: .

6. Определяем путь по формуле: .

Основные свойства определенного интеграла.

1) ;   2) ;     3) ;

 4) ;  5) .

Формула Ньютона-Лейбница.   

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА   4

ТЕМА:  Дифференциальное исчисление: Простейшие дифференциальные уравнения.

ЦЕЛЬ: Решить дифференциальные уравнения.

Вариант 1

       Задание1.Проверить является ли функция  решением дифференциального уравнения .

       Задание 2. Найдите общее решение дифференциальных уравнений методом разделения переменных.

       а)  ;     б) =.           

      Задание3.Найдите частные решения уравнений первого порядка, удовлетворяющие указанным начальным условиям: если у(0)=5;

      Задание  4. Решите  линейные уравнения первого порядка: . 

      Задание  5. Составить уравнение кривой, проходящей через точку (1;3), если угловой коэффициент касательной к этой кривой в каждой ее точке равен -2.

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ.

        Задание 1. Проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения .

Данное дифференциальное уравнение первого порядка, а, значит, найдем производную первого порядка от данной функции по формуле  .

. Подставим и в данное дифференциальное уравнение 

, . Получили верное равенство.

Ответ: функция является решением дифференциального уравнения.

Задание 2. Найдите общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных: .

РЕШЕНИЕ: 1) представим у'=,  .

2) разделим переменные: 

3) проинтегрируем обе части получившегося равенства по х и у соответственно.

,    ,

4) Составим уравнение: .

5) Выразим из последнего уравнения у:   .

Ответ:

Если дано уравнение с разделенными переменными, то решение начинаем с пункта 3).

Задание 3. Найдите частное решение уравнения первого порядка, удовлетворяющие указанным начальным условиям при х =1, у = 4.

РЕШЕНИЕ: Общее решение данного уравнения . Найдем частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: при х =1, у=4. Подставим в формулу  вместо х и у их значения:

,    , возведем обе части последнего равенства в квадрат: 16 = С – 5, отсюда С = 16 + 5, С = 21. Тогда частное решение данного уравнения имеет вид .

Ответ: .

Задание 4. Решите  линейное  уравнение первого порядка: .

РЕШЕНИЕ: Введем новую переменную, тогда . Подставим полученные значения в уравнение: . Сгруппируем в левой части второе и третье слагаемое и вынесем u за скобки: . Найдем v из условия, что выражение в скобках равно 0. , решим это простейшее дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

,  , разделим переменные . Проинтегрируем обе части последнего равенства ,  , воспользуемся свойством логарифма: . Тогда =. Отсюда  и .

 Подставим в уравнение  вместо , и  их значения.

. , ,  , , , . Проведем обратную замену: =.

Ответ: .

Задание 5. Найдите уравнение линии, проходящей через точку (1;3) и имеющей касательную, угловой коэффициент которой равен .

Используя геометрический смысл производной, составим  дифференциальное уравнение . Решим уравнение, разделив переменные.

; . Проинтегрировав обе части уравнения, найдем общее решение. ; . Подставив начальные данные в общее решение, получим . Следовательно уравнение линии имеет вид:

. 

Практическая работа состоит из пяти заданий. На оценку «3» нужно решить задания 1-3, на «4» - 1-4, на «5» - 1-5.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА   5

ТЕМА:  Решение дифференциальных уравнений.

ЦЕЛЬ: Решить дифференциальные уравнения.

Вариант 1

Задание 1. Решите дифференциальные уравнения второго порядка.

 1) ;   2)  ;  3) , если .

Задание 2. Решите дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

1)  ;   2) ;   3) ; 4)  , если у(1)=20, у′(1)=10.

Перед вычислением линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами(задание 2), записать в таблицу различные случаи решения уравнений данного вида.

Задание 1. Решите дифференциальное уравнение второго порядка:   у'' = е ^х.

Введем новую переменную у' = р, тогда у''= р',

р' =е ^х, , ,  .

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

   ;  , составим уравнение  .

Проведем обратную замену: р=y', , , ,

Найдем решение данного уравнения,  .

Составим уравнение,  у=е ^х +Сх+С₁                   Ответ: у=е ^х +Сх+С_1.

Для отыскания частного решения дифференциального уравнения, требуется найти общее решение, затем подставить данные значения и найти постоянные.

Задание 2. Решите дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение уравнений с постоянными коэффициентами: , сводится к решению характеристического уравнения, , которое получается из этого уравнения, если, сохраняя в нем коэффициенты, заменить функцию у единицей, а все производные заменить соответствующими степенями k. При этом возможны случаи. ( смотри таблицу заполненную выше)

Задание 2(4). Найдите частное решение уравнения:  у(0)=-3, у′(0)=0.

Составим характеристическое уравнение и решим его: , , .

Общее решение имеет вид: . Найдем решение удовлетворяющее начальным условиям: у(0)=-3, у′(0)=0.

1)    у(0)=-3: ,  , .

Найдем С₂ из второго условия:

2)     Вычислим производную +

+.

 Воспользуемся условием у′(0)=0.

,  ,

0=6+С₂, С₂=-6.               Ответ: .

Работа состоит 2 заданий. На оценку «3» нужно решить задание 1и2(1-3)  , на оценку  «4,5» - задания 1 и 2 полностью. Таблицу заполнить обязательно!

ПРАКТИЧЕСКАЯ      РАБОТА   6

ТЕМА: Числовые ряды. Признаки сходимости.

ЦЕЛЬ: Найти сумму ряда, исследовать ряды на сходимость.

1 вариант.

Задание 1. Найдите три первых члена ряда по заданному его общему члену:

А)    ;      Б)   .

Задание 2. Найдите общий член ряда, если дано несколько его первых членов:     

       А)    ;      Б)      .

Задание 3. Найдите сумму ряда: .

Задание 4. Выясните, выполняется ли необходимое условие сходимости ряда:

   .

Задание 5.  Исследуйте на сходимость ряд по признаку Даламбера: ;                   

Задание 6. Исследуйте на сходимость ряд по признаку Коши:; 

Задание 7. Исследуйте ряд на абсолютную и условную сходимость: .

Образец выполнения заданий

Задание 1. Найдите три первых члена ряда по заданному его общему члену:

Решение: Чтобы решить указанное задание нужно помнить, что каждый член числового ряда, как правило, зависит от своего порядкового номера, поэтому чтобы найти а₁, а₂ и а₃ необходимо вместо n  в формулу подставить значения: 1, 2 и 3.

При n = 1, 

При n = 2, ;

При n = 3 ,  .   Ответ  , .

Задание 2. Найдите общий член ряда, если заданы несколько его первых членов:    .

Решение: Представим 1 в виде дроби . Заметим, что числители членов ряда – четные числа, следовательно, n – ый член имеет числитель вида 2n. Знаменатели членов ряда – нечетные степени числа 2, 2¹,2³, 2⁵, 2⁷ …, следовательно, знаменатель общего члена ряда можно записать в виде 2^2n-1.      Ответ .

Задание 3. Найдите сумму ряда .

Решение: Сумма ряда равна пределу частичных сумм при n стремящемся к бесконечности: . Таким образом, чтобы найти сумму ряда нужно:

1.                      Найти его частичные суммы S₁, S_2, S₃, …

2.                      Составить формулу для общего члена последовательности частичных сумм.

3.                      Найти предел от полученного выражения.

Найдем сумму нашего ряда по выше указанному плану.

1.           Найдем частичные суммы.

,

,

,

,

.

2.     Выпишем последовательность частичных сумм : , тогда формула общего члена полученной последовательности будет:  .

3.     Найдем предел от полученного выражения

Ответ: сумма ряда S = 1.

Задание 4. Выясните, выполняется ли необходимое условие сходимости ряда:

  .

Решение: Для того чтобы ряд с положительными членами сходился необходимо, чтобы .

      Формула общего члена ряда имеет вид . Проверим выполнимость признака, вычислим предел. .(Вычисление данного предела подробнее смотри в задании 3 часть 3).

Ответ: , необходимый признак сходимости ряда не выполняется.

Задание 5. Исследуйте на сходимость ряды по признаку Даламбера: .

Решение: Воспользуемся признаком Даламбера для исследования ряда на сходимость. Найдем предел , если d>1 - ряд расходится,  d <1 – ряд сходится.

Общий член данного ряда , подставим в формулу вместо n (n +1), получим: . Применим признак Даламбера и найдем указанный выше предел.

==  .     Ответ: d = 5>1,  следовательно, по признаку Даламбера данный ряд расходится.

Задание 6. Исследуйте на сходимость ряды по признаку Коши:

Решение: Воспользуемся признаком Коши для исследования ряда на сходимость. Найдем предел , если k>1 - ряд расходится,  k <1 – ряд сходится.

Общий член данного ряда . Найдем предел    =

.

Ответ:  , следовательно, по признаку Коши данный ряд сходится.

Задание 7. Исследуйте ряд на абсолютную и условную сходимость: .        

Решение: Исследуем ряд по признаку Лейбница, для этого запишем ряд

= . Проверим условия

     1. члены данного ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т.е.

     2. . Тогда по признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится  этот ряд абсолютно или условно.

Ряд , составленный из абсолютных величин членов данного ряда расходится по признаку сравнения. (можно пользоваться другим признаком). Следовательно, данный ряд сходится условно.

Ответ: ряд сходится условно.

ПРАКТИЧЕСКАЯ      РАБОТА   7

ТЕМА: Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение функций в ряд Маклорена и Тейлора.

ЦЕЛЬ: Решите указанные задачи, исследуйте ряды на сходимость. Разложить функцию в ряд Тейлора и Маклорена.

Задание 1. Записать:

1.     Определение ряда Тейлора и Маклорена.

2. Алгоритм разложения  функции в ряда Тейлора и Маклорена.
3. Определение и формулы радиуса и интервала сходимости.

Вариант 1

Задание 2. Найти интервал сходимости степенного ряда: .

Задание 3.  Исследуйте сходимость ряда в точке:  в точке .

Задание 4. Разложите функцию в ряд Тейлора: , если .

Задание 5. Разложите функцию в ряд Маклорена:.

Практическая работа состоит из шести заданий. На оценку «3» нужно решить задания 1-4, на «4» и «5» - 1-5

Методические рекомендации

Задание 2. Найти интервал сходимости степенного ряда: .

Решение: Согласно формуле радиуса сходимости (записана в первом задании), получим ;  ,

ряд сходится в интервале .

Исследуем ряд на сходимость в точках  и . При  имеем знакочередующийся ряд .

1) члены данного ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т.е.

.

2) . Тогда по признаку Лейбница, ряд сходится.

При  ряд  есть обобщенный гармонический ряд сходящийся при (расходящийся при  ), а  в нашем случае равно 2. Следовательно данный ряд сходится в интервале .  Ответ: .

Задание 3.  Исследуйте сходимость ряда в точке. Данный пример разобран в предыдущем (при  и ).

Задание 4. Разложите функцию в ряд Тейлора. , если .

Решение: 1) Найдем все производные данной функции:

,

,

,

,

Все производные, начиная с пятой равны нулю.

2) Вычислим значение функции и ее производных в точке :

,

,

,

,

,

.

3) Подставим полученные значения в формулу Тейлора:

  ,

,

Ответ: =.

Задание 5. Разложите функцию  в ряд Маклорена.

Решение: 1) Найдем все производные данной функции, а  также значение функции и ее производных в точке х = 0.

                                                           

                             

            

      

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -        - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - -

                                                   .

Подставим полученные значения в формулу:

,

Ответ: =

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА  8

ТЕМА: Уравнение прямой. Уравнения кривых второго порядка.

ЦЕЛЬ: Решить задачи.

 Вариант 1.

Задание 1. Построить прямые в одной координатной плоскости:

а) ; Преобразовать к уравнению в отрезках на осях.(2б)

б) ; Найти угол наклона прямой к оси Ох.(2б.)

Задание 2. Найдите точку пересечения прямых .(методом Крамера)

Задание 3. Найти расстояние между центрами окружностей и составить уравнение  прямой проходящей через эти центры:  и . (5б.) задание 2- 4б.

Задание 4. Найти угол между прямыми:  и . (2б.)

Задание 5. Найти координаты, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением .(5б).

Задание 6. Составить уравнение параболы с  вершиной в начале координат, симметричной относительно оси  и проходящей через  точку А(-3;-6). (2б.)

Методические рекомендации.

Задание 1. Построить прямые любым способом на одной координатной плоскости.

           а) Общее уравнение прямой  Произведем следующие преобразования:

;  ;  .

           б) Вычислить угол наклона прямой к  оси Ох. Разрешив уравнение относительно , получим , откуда ; . (таблица Брадиса)

Задание 2. Точку  пересечения  прямых можно найти, как решение системы: , которое проще всего найти методом Крамера,  : ,  где  получаются из определителя системы, заменой соответствующего столбца, столбцом свободных членов.

Задание 3. Уравнение окружности нужно привести к виду: , выделив полный квадрат по формулам , а затем канонического уравнения определить радиус и координаты центра. Уравнение  окружности имеет вид: , где  - координаты центра. Используя координаты центров составить уравнение прямой, проходящей через две точки. Расстояние между центрами находится по формуле:

, где .

Составьте уравнение прямой, проходящей через две точки:

, где (х₁;у₁) координаты одной точки, а (х₂; у₂) – второй.

Задание 4. Найти угол между двумя прямыми:

Угол между двумя прямыми вычисляется по формуле: , где  - коэффициенты при переменных в уравнениях. Угол  ищем, используя таблицу Брадиса.

Задание 5,6. Для решения данных заданий необходимо воспользоваться таблицами из конспекта.

Работа состоит из 6 заданий, которые оцениваются от 2 до 5 баллов. Максимальное количество баллов, которые можно получить, решив все задания   - 20 . «3»  от 14 до 16 баллов,   «4» от 17 до 18 баллов,   «5» от 19 до 20 баллов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА  9

ТЕМА: Уравнение прямой. Уравнения кривых второго порядка.

ЦЕЛЬ: Решить задачи.

Вариант 1

Задача 1. Параллельный перенос переводит точку (-4; 1) в точку (2; -3). В какую точку  он переведет точку (5;5)?

Задача 2. Параллельный перенос переводит начало координат в точку (-3; -5). В какую фигуру он переведет треугольник АВС с вершинами А(-2; 6), В(4; 8), С(5;3).

Задача 3. Координаты точки в новой системе  и . Найдите координаты этой точки в исходной системе, если при сохранении направления осей начало координат перенесено в точку (-3; 5).

Задача 4. Координаты в исходной системе координат  и . Найдите координаты этой точки в новой системе, если при сохранении направления осей начало координат перенесено в точку (3; 2).

Задача 5. Относительно двух систем координат, имеющих одно и тоже направление осей, известны координаты некоторой точки: (-4; 7) и (- 8;3). Найдите координаты начала каждой из этих систем?

Задача 6. Дана точка А(4; -2). Найти координаты этой точки в новой системе координат при повороте осей на угол .

Задача 7. Найдите координаты точки относительно исходной системы, если эта точка имеет координаты (2; 2) в системе, повернутой относительно исходной на угол .

Задача 8. Найти прямоугольные координаты точки  А(4; ).

Задача 9. Найти полярные координаты точки: а) (0;5); б) точки (2; ), симметричной относительно полюса; в) точки (2; ) симметричной относительно полярной оси.

Задача 10. Вычислите расстояние между точками А(6; ) и В(5; ).

Работа состоит из десяти задач.  На оценку три нужно решить 8, на оценку четыре – 9 , на оценку пять – 10.

Методические рекомендации

Задача 1. (1); Подставив координаты точек, найдем (2). Затем переведем точку (5; 5) в новую систему. (3).

() – координаты в данной системе; () – координаты в новой системе.

Задача 2. Найти координаты каждой  точки в новой системе (2).

Задача 3. Пользуемся формулами (1).

Задача 4. Пользуемся формулами (3).

Задача 5. Пользуемся формулами (2). Для начала другой системы переставить местами переменные в правых частях равенств.

Задача 6. .            Задача 7. .

 Задача 8. .             

 Задача 9. .

Задача 10. .

ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ УГЛОВ
Функция / угол	0 или 0°	π/6 или 30°	π/4 или 45°	π/3 или 60°	π/2 или 90°	2π/3 или 120°	3π/4 или 135°	5π/6 или 150°	π или 180°	3π/2 или 270°	2π или 360°
sin α	0	1/2	√2/2	√3/2	1	√3/2	√2/2	1/2	0	–1	0
cos α	1	√3/2	√2/2	1/2	0	-1/2	-√2/2	-√3/2	–1	0	1
tg α	0	√3/3	1	√3	–	-√3	-1	-√3/3	0	–	0
ctg α	–	√3	1	√3/3	0	-√3/3	-1	-√3	–	0	–

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА 10

ТЕМА: Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Решение задач.

ЦЕЛЬ: Выполнить задания.

Задание 1. Вычислить: (n -  количество букв в фамилии)

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;  5) ;  6) .

 вариант 1

Задание 2. Проверьте равенство: .

Задание 3.  Решите уравнения:   .      

Задание 4. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

 Задание 5. В закрытой коробке находится 5 белых, 6 черных и 4 синих шара.        

1. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что шар окажется белым. 2. Наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что вынули:

        а) два белых;  б) синий и черный шары;

Задание 6. Мастер обслуживает три станка. Вероятность нормальной работы (без   неисправностей) первого станка в течение рабочего дня составляет 0,85, второго – 0,8, третьего – 0,75. Найти вероятность того, что:

  а) в течение всего рабочего дня нормально работают все три станка;

  б) в течение всего рабочего дня потребуют ремонта все три станка

Задание 7. Найдите математическое ожидание дисперсию и  среднее квадратичное отклонение  случайной величины, заданной законом распределения:

Х	0,3	1	1,2	1,5	3	7
р	0,1	0,1	0,2	0,3	0,1	р

Дисперсию вычислите по определению и по теореме.

Работа состоит из семи заданий.  На оценку три нужно решить 1,2,5(1.2(а)),6,7, на оценку четыре 1,2,4,5,6,7, на оценку пять – все.

Методические рекомендации.

Задание 1. Вычислить: .

РЕШЕНИЕ: =

=

Ответ: =294.

Задание 2.  Проверьте равенство. Для того чтобы проверить равенство практической работе, необходимо по формулам (см. приложение) вычислить правую и левую части. Затем сравнить их, если они совпадают – равенство верно, в противном случае равенство не верно.

Задание 3. Решите уравнение. .

РЕШЕНИЕ: , . .

Подставим полученное значение в исходное уравнение: .

Т.к. , разделим обе части равенства на х, (х – 2)(х – 1) = 56,

х² – 2х – х +1=56,  х² – 3х – 54=0. Решим данное квадратное уравнение: х₁=9,

х₂= - 6. Поскольку  , х₂ = - 6 не подходит.

Ответ: х=9.

Задание 4. В школе в одном полугодии изучается  14 предметов. В расписание можно включить в день по 7 различных уроков. Сколькими способами могут быть распределены уроки в день?

РЕШЕНИЕ:  Распределение уроков в день представляет всевозможные размещения из 14 по 7, поэтому всех способов размещения

Ответ: расписание можно составить 17297280 способами.

Задание 5. В закрытой коробке 7 белых, 8 черных и 15 красных шаров.

  а) Наугад вынимают один. Какова вероятность того, что шар окажется красным.

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим событие:

1)    А – из коробки вынут один красный шар;

2)    Общее число исходов: ;

3)    Число благоприятных исходов – 15;

4)    .

Ответ: вероятность того, что из коробки вынут красный шар – 0,5.

 б) Наугад вынимают два. Найдите вероятность того, что вынули  два белых шара;  черный и красный шары.

РЕШЕНИЕ: Введем в рассмотрение следующие события:

В – из коробки вынули два белых шара,

С – из коробки вынули красный и черный шары.

1.     Событие В: 1) общее число исходов – выбрать два шара из имеющихся            способов;

                                2) число благоприятных исходов -  выбрать два белых шара из имеющихся 7 способ;

                               3) P(В) - вероятность вынуть два белых шара.

2.     Событие С: 1) 435 способов;

                           2) вынуть черный шар из этого ящика можно 8 способами, вынуть красный шар – 15 способами; всего благоприятных исходов способов;

                          3) P(C) =  - вероятность вынуть черный и красный шар.

Ответ: вероятность того, что из коробки вынули  два белых ,  черный и красный шары равна .

Задание 6. Аэропорт принимает каждый день три авиарейса. Вероятность того, что вовремя прибудет первый рейс, составляет 0,9; второй – 0,85; третий – 0,8. Найти вероятность того, что: а) все три  рейса прибудут вовремя; б) все три рейса опоздают;.

РЕШЕНИЕ: Введем в рассмотрение следующие события и найдем их вероятности:

  - первый самолет прилетел вовремя, ;

  - второй самолет прилетел вовремя, ;

  - третий самолет прилетел вовремя,

Также рассмотрим противоположные события и найдем их вероятности:

   - первый самолет опоздал, ;

     - второй самолет опоздал, ;

       - третий самолет опоздал,  .

а) Событие В: все три рейса прибудут вовремя, при этом . Так как события независимы применим теорему о вероятности произведения независимых событий.

Ответ: вероятность того, что все три рейса прибудут вовремя составит 0,612.

б) Событие С: все три рейса опоздают, при этом . Воспользуемся той же теоремой. .

Ответ: вероятность, что все три рейса опоздают равна 0,003.

Задача 5. Найдите математическое ожидание дисперсию (по определению и по теореме) и  среднее квадратичное отклонение  случайной величины, заданной законом распределения:

Х	3	4	5	7	11	13	17
р	0,1	0,1	0,2	0,3	0,1	0,1	Р7

РЕШЕНИЕ:

Сначала найдем р₇ по формуле из задания 2. р₇ = .

Х	3	4	5	7	11	13	17
р	0,1	0,1	0,2	0,3	0,1	0,1	0,1

,

Вычислим дисперсию по определению: .

Найдем закон распределения для величины х – м(х), для этого вероятности оставим без изменения, и из каждого значения х вычтем м(х) = 7,9

х-м(х)	-4,9	-3,9	-2,9	-0,9	3,1	5,1	9,1
р	0,1	0,1	0,2	0,3	0,1	0,1	0,1

Найдем закон распределения величины (х – м(х))²,

(х-м(х))2	24,01	15,21	8,41	0,81	9,61	26,01	82,81
р	0,1	0,1	0,2	0,3	0,1	0,1	0,1

Найдем математическое ожидание величины (х – м(х))²

==2,401+1,521+

+1,682+0,243+0,961+2,601+8,281=17,69.     .

Вычислим дисперсию по теореме: .

Найдем закон распределения для величины х²:

Х2	9	16	25	49	121	169	289
р	0,1	0,1	0,2	0,3	0,1	0,1	0,1

Найдем  М(х²)== =0,9+1,6+5+14,7+12,1+16,9+28,9=80,1.

=80,1– 7,9²=80,1 – 62,41=17,69.

Найдем среднее квадратичное отклонение .

Работа состоит из семи заданий.  На оценку три нужно решить 1,2,5(1.2(а)),6,7, на оценку четыре 1,2,4,5,6,7, на оценку пять – все.

ЛИТЕРАТУРА

1.           Апанасов П.Т., Орлов М. И.  Сборник задач по математике. М.: Высшая школа. 1987г. – 303с.

2.           Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. М.: Высшая школа. 1999г. – 495с.

3.           Виленкин Н.Я. Алгебра и начала анализа 10,11 кл. М.: Мнемозина,        2003.

4.           Дадаян А.А. Математика: Учебник. – 2-е издание. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М. 2006. – 552. – (Профессиональное образование).

5.           Дадаян А.А. Сборник задач по математике. М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007г. – 352с. (Профессионально-техническое образование).

6.           Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 классы. – М.:«Просвещение». 2000г.

7.           Погорелов А.В. Геометрия 7 – 11 классы. – М.: Просвещение, 1990г. – 384с.

Краткое описание документа:

В данной работе представлены практические работы для учащихся 2 курса специальности "Технология лесозаготовок".

В работе есть задания для решения, методические рекомендации по их выполнению, критерии оценки. Всего практических работ 10. Темы практических работ:

1.Предел функции. Решение задач.

2.Производная, её приложения.

3.Интеграл, методы интегрирования, приложения определенного интеграла.

4.Дифференциальное исчисление: Простейшие дифференциальные уравнения.

5.Решение дифференциальных уравнений.

6.Числовые ряды. Признаки сходимости.

7.Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение функций в ряд Маклорена и Тейлора.

8.Уравнение прямой. Уравнения кривых второго порядка.

9.Решение задач в полярной системе координат.

10.Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Решение задач.