Инфоурок Математика Другие методич. материалыМетодические рекомендации для выполнения практических работ, специальность Радиоэлектронные приборные устройства

Методические рекомендации для выполнения практических работ, специальность РПУ

Скачать материал

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

 

 

 

 

 

СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ

 

ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

 

 

 

ДИСЦИПЛИНА   «МАТЕМАТИКА»

 

 

«математический и общий естественнонаучный цикл»

 

технический  профиль

 

Специальность12.02.03. Радиоэлектронные приборные устройства

 

 

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Самара, 2015 г.

 

 

 

 

ОДОБРЕНО                                                             Составлено в соответствии

Предметно-цикловой                                              с требованиями ФГОС СПО по специальности

(методической) комиссией                                     «Технология машиностроения»

Председатель:

_________Н.Е. Афонина                                         Рекомендовано к изданию решением         

«____»____________2015 г.                                    методического совета №___________

                                                                                   «________»________________2015.г.

 

СОГЛАСОВАНО                                                    Председатель совета

Заместитель директора по                                      Заместитель директора по учебно-

учебной работе                                                        методической работе

_________Е.М.Садыкова                                       ___________________О.Ю.Нисман

«_____»___________2015 г.                                  «_____»___________2015 г.

 

 

 

 

Составитель: Памурзина Маргарита Александровна, преподаватель ГБОУ СПО «ПГК».

 

Рецензенты: Афонина Н.Е., преподаватель ГБОУ СПО «ПГК»,

                        Дерявская С.Н., методист ГБОУ СПО «ПГК»

 

 

            Методические указания для студентов по практическим занятиям являются частью программы подготовки специалистов среднего звена ГБОУ СПО «ПГК» по специальности 12.02.03. Радиоэлектронные приборные устройства с требованиями  ФГОС СПО и рабочей программы по дисциплине.

Методические указания по выполнению практических работ адресованы  студентам очной формы обучения.

Методические указания по каждому практическому занятию включают в себя учебную цель, перечень образовательных результатов, заявленных в рабочей программе дисциплины, задачи, обеспеченность занятия, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практического занятия работы студентов, инструкцию по их выполнению, методику анализа полученных результатов, порядок выполнения и образец отчета о проделанной работе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Практическое занятие № 1. Действия над комплексными числами.

Практическое занятие № 2. Вычисление определителей.

Практические  занятия №№ 3-4. Решение систем линейных уравнений различными методами.

Практическое занятие № 5. Решение прикладных задач с использованием элементов дискретной математики.

Практическое занятие № 6. Решение вероятностных задач.

Практические занятия №7. Вычисление статистических характеристик.

Практическое занятие № 8. Исследование функций с помощью производной первого и второго порядков.

Практическое занятие № 9. Решение прикладных задач с использованием элементов интегрального исчисления.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Уважаемый студент!

   Методические указания по практическим занятиям (дисциплина «Математика») созданы Вам  в помощь для работы на занятиях, подготовки к ним, правильного составления отчетов.

   Приступая к выполнению  заданий практического занятия, Вы должны внимательно прочитать его цель и задачи, ознакомиться с требованиями к уровню Вашей подготовки в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами или примерной программой дисциплины «Математика» (для общеобразовательной подготовки), краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практического занятия, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

   Все задания к практическому занятию Вы должны выполнять в соответствии с инструкцией, анализировать полученные в ходе занятия результаты по приведенной методике.

   Отчет о практическом занятии Вы должны выполнить по приведенному алгоритму, опираясь на образец.

   Наличие положительной оценки по практическим занятиям необходимо для получения зачета по дисциплине и допуска к экзамену, поэтому, в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическое занятие, Вы должны найти время для его выполнения или пересдачи.

 

Внимание! Если в процессе подготовки к практическим занятиям или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.

   Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери его кабинета.

 

 

Желаем Вам успехов!!!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РАЗДЕЛ  «ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ»

 

Практическое занятие № 1

Действия над комплексными числами

 

Учебная цель: формировать умение выполнять действия над комплексными числами.

Учебные задачи:

1. Научиться изображать комплексное число на комплексной плоскости.

2. Научиться применять определения для выполнения основных операций над комплексными числами: сложение, вычитание, деление и умножение.

3. Научиться представлять комплексное число в тригонометрической форме.

4. Научиться выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

 

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

-     решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

-   основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

-   основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности.

 

Задачи практического занятия № 1

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на изображение комплексного числа в комплексной плоскости, выполнение операций над комплексными числами, представление комплексного числа в тригонометрической форме.

4. Оформить отчет.

 

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

-Н.В.Богомолов. Сборник дидактических заданий по математике: учеб. пособие для ссузов.- М.: Дрофа, 2006.

3. Тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

 

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

Комплексными числами называются числа вида , где а и b – действительные числа, а число  называется мнимой единицей. Принято считать, что .

  Запись комплексного числа в виде  называется алгебраической формой записи комплексного числа. Действительное число а называется действительной частью комплексного числа , а  - его мнимой частью.

Основные договоренности:

1. Любое действительное число а может быть записано в форме комплексного числа: или.

2. Комплексное число  называется чисто мнимым числом.

3. Два комплексных числа  и  называются равными, если и .

4. Два комплексных числа называются взаимно сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются знаками:  и .

 

 

Геометрическое представление комплексного числа.

 Комплексное число  можно изобразить точкой плоскости с координатами . Плоскость , на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью. Комплексное число  можно геометрически изобразить в виде вектора с началом в точке  и концом в точке Р с координатами .

       Рис.1.1

  Модулем комплексного числа  называется действительное число .    (1.1)

 В геометрической интерпретации модуль – это длина вектора , изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости.

  Аргументом комплексного числа  называется угол между положительным направлением оси  и вектором, изображающим это комплексное число:

.                                                                                                                                      (1.2)

Тригонометрическая форма комплексного числа.

 Абсциссу  и ординату  комплексного числа  можно выразить через его модуль и аргумент:  и . Тогда

.

 

Операции над комплексными числами в алгебраической форме.

1. Сложение. Суммой комплексных чисел  и  называется комплексное число

.                                                                                                    (1.3)

Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

2. Вычитание. Разностью комплексных чисел  (уменьшаемое) и  (вычитаемое) называется комплексное число .                             (1.4)

Таким образом, при вычитании комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

3. Умножение. Произведением комплексных чисел  и  называется комплексное число: .                                                              (1.5)

 Это определение вытекает из двух требований:

1) числа  и  должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

 2) число i обладает основным свойством: i 2 = 1.

Пример: ( a+ bi )( a – bi )= a 2 + b 2. Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.

4. Деление. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель)значит найти третье число e+ f i (частное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно:

i.                                                            (1.6)

Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.

1. .                                                                       (1.7)

2. .                                                                                (1.8)

3. .                                                                                                  (1.9)

 

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1. Дайте определение комплексного числа.

2. Какая часть комплексного числа называется действительной и какая мнимой?

3. Сформулируйте правила сложения, вычитания, произведения и частного двух комплексных чисел.

4. Дайте определение модуля комплексного числа и запишите формулу для его вычисления.

5. Как найти аргумент комплексного числа?

6. Запишите комплексное число в тригонометрической форме.

7. По какому правилу производится операция умножения комплексных чисел в тригонометрической форме?

8. По какому правилу производится операция деления комплексных чисел в тригонометрической форме?

9. Запишите формулу для возведения в степень комплексного числа в тригонометрической форме.

 

Задания для практического занятия № 1

Задание 1. Изобразить комплексное число в комплексной плоскости.

Задание 2. Выполнить сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме.

Задание 3. Вычислить модуль и аргумент комплексного числа.

Задание 4. Выполнить операции умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме.

 

варианта

 

Задание 1

 

 

Задание 2

 

Задание 3

 

Задание 4

1

 

;

2

 

;

3

 

;

4

 

;

5

;

6

;

 

 

 

Инструкция по выполнению заданий практического занятия № 1

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы Вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. Для выполнения первого задания нарисуйте комплексную плоскость, на оси  отложите число действительной части комплексного числа, на оси  отложите - число мнимой части комплексного числа. Постройте вектор с началом в точке и концом в точке  как показано на рис.1.1.

6. При выполнении второго задания для нахождения суммы двух комплексных чисел в алгебраической форме используйте формулу (1.3), для разности – формулу (1.4), для произведения – формулу (1.5). Чтобы выполнить операцию деления, нужно числитель и знаменатель умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю согласно формуле (1.6).

7. В третьем задании найдите модуль заданного комплексного числа по формуле (1.1). Чтобы вычислить аргумент комплексного числа, сначала найдите тангенс угла между вектором, изображающим комплексное число в координатной плоскости и положительным направлением оси по формуле (1.2). Затем по таблице значений тригонометрических функций значение аргумента.

8. Перед выполнением четвертого задания найдите модуль и аргумент заданных комплексных чисел аналогично заданию 3, затем выполните операцию умножения по формуле (1.7), операцию деления – по формуле (1.8), операцию возведения в степень – по формуле (1.9).

 

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 1

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Действия над комплексными числами.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение (см. образец отчета по практическому занятию № 1).

 

Образец отчета по практическому занятию №1

Практическое занятие № 1

Представление комплексных чисел в алгебраической и тригонометрической формах. Выполнение действий над комплексными числами

 

Задание 1: Изобразить комплексное число  в комплексной плоскости.

Решение.

 

Задание 2: Выполнить сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме.

Решение.

;

;

;

.

 

Задание 3: Вычислить модуль и аргумент комплексного числа .

Решение.

;

.

 

Задание 4: Выполнить операции умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел , .в тригонометрической форме.

Решение.

,                                            ;

,                                               .

;

;

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РАЗДЕЛ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

 

Практическое занятие № 2

Вычисление определителей

 

Учебная цель: вычислять определители 2-го и 3-го порядков различными способами.

Учебные задачи:

1 научиться вычислять определитель 2-го порядка;

2 научиться вычислять определители 3-го порядка;

3 научиться применять свойства при вычислении определителей.

 

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

-   основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

-   значение математики в процессе деятельности и при освоении ППССЗ.

 

 

Задачи практического занятия № 2

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на вычисления определителей различными способами: по определению, разложением по элементам  i-той строки и i-того столбца.

4. Оформить отчет.

 

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.

- Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и практикум (часть1)/ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.- М.: Высшее образование, 2005.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

 

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Определение: Прямоугольная таблица чисел  состоящая из  строк и  столбцов, называется матрицей размера

Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами, из которых первый указывает номер строки, второй – номер столбца.

            Если  то матрица называется квадратной матрицей го порядка.

            Кратко матрицы обозначают   

 

Определитель матрицы второго порядка называется число

   (1)

Определитель матрицы третьего порядка называется число

   (2)

Схематично это правило записывается так:

  (3)

и говорят, что определитель 3 – го порядка вычисляется по правилу треугольника, или по правилу Саррюса.

 

Свойства определителей:

1. При замене каждой строки определителя столбцом с тем же самым номером значение определителя не изменяется.

2. Общий множитель всех элементов ряда определителя можно вынести за знак определителя.

3. Определитель равен нулю, если имеет нулевую строку; две равные строки; какая-либо строка является линейной комбинацией других строк

4. Определитель не изменяется, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

 5. Если поменять местами две строки определителя, то он изменит только знак.

 6. Определитель, у которого все элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны 0, равен произведению диагональных элементов.

            Пусть   элемент матрицы определителя, стоящий в ой строке и м столбце.

            Минором элемента  назовем определитель го порядка, который получается из данного определителя вычеркиванием ой строки и го столбца. Обозначается этот минор

            Алгебраическим дополнением элемента  назовем его минор со знаком  Обозначается        

                                           (4)

Разложение определителя по элементам ряда.

Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

                      (5)

или 

.                   (6)

 

 

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1. Дайте определение матрицы -го порядка.

2. Что называется определителем второго порядка?

3. Что называется определителем третьего порядка?

4. Дайте определение минора элемента определителя.

5. Что такое алгебраическое дополнение элемента определителя?

6. Сформулируйте правило вычисления определителя методом разложением по строке (столбцу).

Задания для практического занятия №2

Задание 1. Вычислите определитель  двумя способами: по определению и разложением по i-той строке и элементам  j-того столбца.  

 

Задание 2. Вычислите определитель  двумя способами: разложением по элементам  j-того столбца, по правилу Саррюса.

 

№ варианта

1

2

-4

7

1

1

2

3

-3

1

2

2

3

4

-2

4

1

3

4

5

-1

6

2

1

5

-2

5

3

1

2

6

-3

2

5

2

3

 

Инструкция по выполнению заданий практического занятия № 2

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. В первом задании сначала вычислите определитель второго порядка по определению (формула 1). Затем этот определитель вычислите методом разложения по элементам i-той строки (формула 5). В результате вычислений вы должны получить один и тот же ответ.

6. Во втором задании используйте сначала формулу (6) для вычисления определителя разложением по элементам  j-того столбца, затем формулу (2) и схему (3). Результаты вычислений должны совпадать.

 

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 2

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Вычисление определителей.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Перепишите текст задачи для конкретного варианта, подставив соответствующие значения .

4. С новой строки запишите решение (см. образец отчета по практическому занятию № 2).

 

Образец отчета по практическому занятию №2

Практическое занятие № 2

Выполнений действий над матрицами. Вычисление и разложение определителей

Задание 1. Вычислить определитель  по определению и элементам второй строки.

Решение. По определению:

По элементам второй строки:

Вывод: во всех случаях определитель равен 21.

Задание 2. Вычислить определитель  двумя способами: разложением по элементам 1-го столбца, по правилу Саррюса.

Решение. По элементам 1-го столбца:

По правилу Саррюса:

Вывод: во всех случаях определитель равен -66.

 

 

 

 

 

РАЗДЕЛ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

 

Практические занятия № 3-4

Решение систем линейных уравнений различными методами

 

Учебная цель: формировать умение решать системы линейных уравнений.

Учебные задачи:

  1. научиться решать систему линейных уравнений по правилу Крамера;
  2. научиться решать систему линейных уравнений методом обратной матрицы;
  3. научиться решать систему линейных уравнений методом Гаусса.

 

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

-   основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

-   значение математики в процессе деятельности и при освоении ППССЗ.

 

 

 

Задачи практических занятий № 3-4

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на нахождение решения системы линейных уравнений различными методами: по правилу Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса.

4. Оформить отчет.

 

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка

 

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Решением n линейных уравнений с m неизвестными называется упорядоченная совокупность , обращающая каждое уравнение системы

 в верное равенство.

Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы не равен 0, имеет единственное решение, которое определяется следующими способами:

1. Метод Крамера.

Решение системы находится по формулам:             (4.1)

, где  – определитель матрицы системы;  – определитель, получаемый из определителя  заменой -го столбца столбцом свободных членов.

2. Метод обратной матрицы.

Решение системы находится с помощь уравнения:                                      (4.2),

где  – матрица, обратная матрице .

3. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

Данный метод решения системы линейных уравнений заключается в том, что нужно привести исходную систему к треугольному виду, т.е.

                                                                                        (4.3).

Затем последовательно находить каждую неизвестную.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений являются:

1)    перемена двух или нескольких уравнений местами;

2)    умножение обеих частей какого-либо уравнения на число, отличное от нуля;

3)   прибавление к какому-либо уравнению системы другого уравнения, умноженного на число;

4)    удаление из системы уравнение вида .

 

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1.                  При каких условиях система линейных уравнений имеет единственное решение?

2.                  В чём заключается метод Крамера?

3.                  В чём заключается метод обратной матрицы?

4.                  В чём заключается метод Гаусса?

 

Задания для практических занятий № 3-4

Задание 1. Решите систему линейных уравнений по правилу Крамера.

Задание 2. Решите систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

Задание 3. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.

 

варианта

Система линейных уравнений

варианта

Система линейных уравнений

 

1

 

4

 

2

 

5

 

3

 

6

 

 

Инструкция по выполнению заданий практических занятий № 4-5

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания.

5. Для выполнения первого задания сначала вычислите определитель  матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных данной системы линейных уравнений. Далее необходимо вычислить определители , заменив последовательно первый, второй, третий столбцы определителя  на столбец свободных членов системы линейных уравнений. По формулам (4.1) найдите корни данной системы.

6. Во втором задания сначала найдите матрицу , обратную для матрицы . Для этого вычислите алгебраические дополнения каждого элемента матрицы  (см. практическую работу № 3). Затем решите уравнение (4.2).

7. При выполнении третьего задания систему линейных уравнений можно записать в виде расширенной матрицы и с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду. Затем запишите данную систему в виде . В последнем уравнении осталась одна неизвестная, которую можно найти по формуле:. Подставьте полученное значение  во второе уравнение и получите значение неизвестной . Аналогично вычислите значение  из первого уравнения. Сделайте проверку.

 

Порядок выполнения отчета по практическим занятиям № 4-5

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Решение систем линейных уравнений различными методами.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение и ответ  (см. образец отчета по практическим занятиям № 4-5).

 

Образец отчета по практическим занятиям №№ 3-4

Практические занятия № 4-5

Решение систем линейных уравнений различными способами

Задание 1. Решить систему  по правилу Крамера.

Решение.

Вычислим определитель матрицы .

Система линейных уравнений имеет единственное решение, т.к. определитель отличен от нуля.

Заменим первый столбец определителя  на столбец свободных членов и вычислим :

Заменим второй столбец определителя  на столбец свободных членов и вычислим :

Заменим третий столбец определителя  на столбец свободных членов и вычислим :

Подставим полученные значения в формулы Крамера:

.

Получим:.

Задание 2. Решить систему  методом обратной матрицы.

Решение.

Найдем матрицу , обратную для матрицы .

Для этого вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы :

.

Запишем обратную матрицу (см. практическое занятие № 3, формула 1.3):

Решим уравнение по формуле:

,      

       .

Задание 3. Решить систему  методом Гаусса

Решение.

Запишем расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду, последовательно исключая неизвестные. Для этого используем элементарные преобразования систем линейных уравнений: умножаем вторую строку на (-2) и складываем ее с первой строкой; умножаем первую строку на 3, а третью – на (-4) и складываем их. Мы получили нули в первом столбце.

Первые две строки переписываем без изменения, затем умножаем последнюю строку на 3 и складываем ее со второй. Получили матрицу треугольного вида:

Запишем полученную матрицу в виде системы линейных уравнений и найдем неизвестные, начиная с третьего уравнения:

Ответ: .

Проверка: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РАЗДЕЛ ЭОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ»

 

Практическое занятие №5

 

«Решение прикладных задач с использованием элементов дискретной математики»

 

Учебная цель: формировать умение  выполнять операции над множествами, применять основные тождества к упрощению  выражений, формировать умение строить графы и использовать графы при решении текстовых задач.

 

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

-        решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.

знать:

-   основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

-   основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности.

 

Задания для практического занятия № 5

Задание 1. Найти множества .

 

Задание 2. Записать множество и перечислить его элементы.

 

Задание 3. Доказать с помощью кругов Эйлера тождества.

 

Задание 4. Решить текстовые задачи, используя диаграммы Эйлера-Венна.

 

 

варианта

Задание 1

Задание 2

1

Множество всех положительных чисел, кратных 9, которые меньше 80

2

Множество всех целых положительных степеней числа 5 меньших 630

3

Множество всех положительных простых чисел, меньших 30

4

Множество натуральных чисел, меньших 7

варианта

 

Задание 3

1

 

а).

б)

2

 

а)

б)

3

 

а)

б)

4

 

а)

б)

варианта

 

Задание 4

1

А) В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

 

2

А) Студенты второго курса в количестве  78 человек, обучающиеся по специальности «Гостиничный сервис» в колледже, могут посещать и дополнительные дисциплины. В этом году 35 из них предпочли посещать компьютерные курсы, 31 решили получить права для вождения автомобиля. Кроме того, 14 студентов посещают оба курса. Сколько студентов не посещают дополнительные занятия?

 

3

А) На отделении «Управление бизнесом и сервисом» из 100 студентов, обучающихся по специальности «Гостиничный сервис», 66 человек знают английский язык, 54 знают французский язык и 33 человека знают оба языка.

Сколько будущих специалистов в области гостиничного сервиса не знают ни английского, ни французского языков?

 

4

А) Сколько студентов принимало участие в научно-практической конференции, если известно, что 7 из них выступали в секциях «Математика» и «Экономика», 11-только в секции «Математика» и 9 – только в секции «Экономика»?

 

Образец отчета по практическому занятию №5

Задание 1. Найти множества: ,

если

Решение:

Отметим точки на числовой прямой, соблюдая включаемость точек во множество.

Применяя определения, получаем:

Т.к. , то (выбираем те точки, которые не входят в объединение множеств А и В);

 (те точки, которые принадлежат обоим отрезкам);

(те точки, которые принадлежат либо множеству А, либо множеству С);

Т.к. , тогда  (точки множества исключают все точки множества А);

(точки, которые принадлежат множеству С, но не принадлежат множеству В).

 

Задание 2. Записать множество всех положительных чётных чисел, кратных 3, которые меньше 30 и перечислить его элементы.

Решение:

Четные числа можно записать в виде . Эти числа будут положительными, если .Значит, множество запишется в виде:

Элементами являются числа: 6, 12, 18, 24.

Ответ:

.

Задание 3. Доказать с помощью кругов Эйлера тождество .

Решение: Для доказательства тождества с помощью кругов Эйлера, представьте отдельно левую и правую часть тождества. Сравнение рисунков даёт возможность сделать вывод о справедливости тождества.

                                                                 

                                

Ответ: Области более темного цвета совпадают, тождество доказано.

Задание 4. В  группе  30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом,     23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

Решение:

Р2

Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера.

Пусть человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом человек,  только автобусом и троллейбусом человек, только метро и автобусом человек.

Найдем, сколько человек пользовались только метро: .

Аналогично получаем: человек пользовались только автобусом,. – только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение: 
.
Отсюда .

Ответ: 3 человека ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта.

Задания для практического занятия № 5

Задание 5. Пусть граф задан матрицей смежности (рис 3.6). Постройте изображение этого графа. Укажите степени вершин этого графа.

Задание 6. Решите задачу «о переправах», изобразите решение графом.

Задание 7. Решите задачу, используя графы (рис 3.8).

 

 

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Задание 5

 

а)

б)

в)

г)

 

Задание 6

 

 

Вариант 1

  Три генерала - Строгий, Лихой и Грозный – со своими адъютантами переправлялись через реку с помощью двухместной лодки. Адъютант может либо перевозить своего генерала, либо переправляться с другим адъютантом. Однако ни один  из генералов не разрешил своему адъютанту ни оставаться с другим генералом вдвоем на берегу, ни переправляться с ним через реку. Как они переправились через реку?

 

Вариант 2

  Трое мужчин и три женщины должны переправиться через реку. У них была одна лодка, которая вмещала только двух человек. Грести умели все мужчины и только одна женщина. Кроме того, женщины требовали, чтобы ни на одном берегу не оставалось больше женщин, чем мужчин. Как им переправиться через реку?

 

Вариант 3

  Муж, жена и двое детей должны переправиться на противоположный берег реки при помощи лодки. Муж и жена весят по 100 кг, а дети – по 50 кг. Как им быть, если лодка вмещает до 100 кг и каждый из них умеет грести?

Вариант 4

  Человеку необходимо было переправить через реку с помощью лодки волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то она съест капусту, а в присутствии человека никто никого не ел. Человек все-таки перевез через реку и волка, и козу, и капусту. Как он это сделал?

 

Задание 7

Вариант 1

  Винни-Пух вышел на прогулку, взяв с собой карту (рис.3.3, а). Числа на рисунке обозначают время движения в минутах от пункта до пункта. Помогите Винни-Пуху найти кратчайший путь от своего дома в пункте А до дома Пятачка в пункте К. Перечислите пункты, через которые должен пройти Винни-Пух, и подсчитайте время, которое он затратит на весь путь. Является ли данный маршрут цепью?

Вариант 2

  Атос поскакал в гости к Портосу, взяв с собой карту (рис. 3.3, б). Числа на рисунке обозначают время движения в часах от пункта до пункта. Помогите Атосу найти кратчайший путь от своего поместья в пункте Е до поместья Портоса в пункте Д. Перечислите пункты, через которые должен проехать Атос, и подсчитайте время, которое он затратит на весь путь. Является ли данный маршрут цепью?

Вариант 3

  Рыцарь, находясь в пункте А, узнал, что Прекрасной Даме, в пункте О, ровно через сутки может грозить опасность. Взяв с собой карту (рис.3.3, в), он немедленно выехал на помощь. Числа на рисунке обозначают время движения в часах от пункта до пункта. Успеет ли Рыцарь спасти Прекрасную Даму? Ответ обоснуйте, указав кратчайший путь. Является ли данный маршрут цепью?

Вариант 4

  Рыцарь, находясь в пункте А, узнал, что Прекрасной Даме, в пункте К, через 14 часов может грозить опасность. Взяв с собой карту (рис.3.3, г), он немедленно выехал на помощь. Числа на рисунке обозначают время движения в часах от пункта до пункта. Успеет ли Рыцарь спасти Прекрасную Даму? Обоснуйте ответ, указав кратчайший путь. Является ли данный маршрут цепью?

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.8

 

 

 

 

 

 

 

Образец отчета по практическому занятию №5

Задание 5. Пусть граф задан матрицей смежности. Постройте изображение этого графа. Укажите степени вершин этого графа.

 

 

 

1

1

1

1

1

 

1

1

 

1

1

 

 

 

1

1

 

 

1

1

 

 

1

 

Решение:

                 

Степени вершин графа: ; ; ; ; .

Задание 6. Трем неутолимым путешественникам - Андрею, Михаилу и Олегу – надо было переправиться на лодке, выдерживающей массу не более 100 кг, с одного берега на противоположный. Андрей знал результат своего недавнего взвешивания – 54 кг и своего друга Олега – 46 кг. Зато Михаил весил около 70 кг. Как им надо было действовать наиболее рациональным образом, чтобы переправиться через реку?

Решение.

Ø  Вначале переправились Андрей и Олег.

Ø  Андрей вернулся на берег к Михаилу.

Ø  Михаил один переправился на противоположный берег к Олегу.

Ø  Михаил остался, а Олег возвратился на исходный берег.

Ø  Олег и Андрей переправились к Михаилу на противоположный берег.

 

 

 

 

 

 

РАЗДЕЛ  «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

 

Практическое занятие №6

Решение вероятностных задач

 

       Учебная цель: формировать умение вычислять вероятности наступления события, используя элементы комбинаторики, классическое определение вероятностей, формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Учебные задачи:

1. Научиться вычислять вероятность наступления события, используя формулы комбинаторики;

2. Научиться вычислять вероятность наступления события, используя формулы полной вероятности и формулу Байеса;

 

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

-   решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

-   основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

-   основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности.

 

 

Задачи практических занятий №6:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на вычисление вероятностей наступления событий, используя элементы комбинаторики, классическое определение вероятностей, формулу полной вероятности и формулу Байеса.

4. Оформить отчет.

 

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

а) М.С. Спирина, П.А. Спирин. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

б) С.Г. Григорьев, С.В. Задулина. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

 

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

 

       В теории вероятностей приходится постоянно сталкиваться с задачами, в которых требуется расположить в соответствии с заданными правилами элементы некоторого конечного множества и подсчитать число всех возможных способов такого расположения.

      Пусть -множество из элементов. Любая совокупность элементов из множества называется выборкой из  элементов по  .

      Различают три основных вида выборок.

1. Упорядоченная -выборка из элементов множества, все элементы которой различны, называется размещением из  элементов по . Обозначается  и вычисляется по формуле:                                                                                     (6.1).

2. Неупорядоченная -выборка из элементов множества, все элементы которой различны, называется сочетанием из  элементов по . Обозначается  и вычисляется по формуле:                                                                                (6.2).

3. Упорядоченная последовательность, содержащая все  элементов совокупности, называется перестановкой из n элементов. Обозначается  и вычисляется по формуле:                                                                                                                (13.3).

Под событием принято понимать всякий факт, который может произойти в данных условиях.

Случайным называется событие, которое может произойти, а может не произойти при заданном комплексе условий.

Достоверным называется событие, если оно обязательно произойдет в данном испытании в результате выполнения комплекса условий.

Невозможным называется событие, если оно никогда не произойдет в данных испытаниях в результате выполнения совокупности условий.

Несовместными называются события, если наступление одного из них в том же испытании исключает наступление другого.

Несколько событий в данном испытании образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно должно произойти хотя бы одно из них. Например, появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игрального кубика составляют полную группу.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условию симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое. Пример равновозможного события: выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты.

Рассмотрим полную группу событий . Эти события попарно несовместны, элементарны, равновозможны. Те события , в результате наступления которых наступает и событие А будем называть благоприятствующих событию А.

I. Классическое определение вероятности.

Классической вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А к числу возможных исходов в данном испытании, образующих полную группу попарно несовместных, равновозможных, элементарных событий.

Таким образом, вероятность события  А определяется  формулой

                                                                                                    (6.4).

Где m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойства теории вероятностей:

а). Вероятность достоверного события равна единице.

б). Вероятность невозможного события равна нулю.

в). Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нулем и единицей, т.е.  0<<1.

Классическое определение вероятности применяется только в следующих случаях:

  • число элементарных событий конечно;
  • результаты всех испытаний равновозможны;
  • все равновозможные события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Теоремы теории вероятностей.

Т.-1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (ключевое слово «или»):           (6.5.)

Т.-2. Сумма вероятностей полной группы событий равна единице.

Т.-3. Вероятность суммы двух совместных событий вычисляется по формуле:                                       (6.6.)

Т.-4. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей (ключевое слово «и»): .                  (6.7.)

Т.-5. Вероятность совместного появления (или произведения) двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло, т.е.  или .         (6.8.)

II. Формула полной вероятности.

Пусть события  образуют полную группу попарно несовместимых событий, и пусть событие  может произойти с каждым из событий , где .

Вероятность события , вычисленное в предположении, что  может произойти с каждым , где , называется полной вероятностью события .

Событие  можем представить в виде суммы: . Вычислим вероятность события :

Итак, вероятность события , которое может наступить лишь при появлении одного из несовместимых событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события  :

,                       (6.9)

где  .

Равенство (4.9) называют формулой полной вероятности.

III. Формула Байеса

При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие А может произойти с каждой из гипотез , которое образует полную группу попарно несовместимых событий, при этом вероятности гипотез были известны заранее. Пусть проведён опыт, в котором наступило событие . Выясним, как при этом условии изменяется вероятность гипотез. То есть найдём .

Рассмотрим . По теореме о вероятности . Выразим

  - формула Байеса                                              (6.10).

Она позволяет пересмотреть вероятности гипотез, потому что как стало известно, что событие  произошло.

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1. Какие виды событий Вы знаете? Дайте определение каждого вида.

2. Дайте определение классической вероятности.

3. Какими свойствами обладает вероятность?

4. Перечислите основные теоремы теории вероятностей.

5. Дайте определение полной вероятности наступления события А. По какой формуле она вычисляется?

6. По какой формуле вычисляется вероятность гипотезы?

 

Задания для практического занятия №6

 

Вариант №1

Задание 1. В профессиональном конкурсе участвовали 4 технолога из первого цеха и 5 технологов из второго цеха. По результатам конкурса были выбраны два призера. Найти вероятность того, что они оба являются представителями второго цеха.

Задание 2. На складе лежат 10 деталей, изготовленные технологом Ивановым, и 11 деталей, изготовленные технологом Петровым. Случайным образом выбирают 5 деталей в сборочный цех. Какова вероятность того, что среди этих 5 деталей, по крайней мере 4 изготовлены технологом Ивановым?

Задание 3. Два производственных участка по выпуску деталей к автомобилям за смену выдали одинаковое количество изделий. Возможный процент брака на первом участке составляет 5%, на втором- 4%. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь, из числа поступивших на склад, не соответствует установленным требованиям.

Задание 4. Прибор состоит из двух узлов. Работа каждого из узлов необходима для работы прибора в целом. Надежность(вероятность безотказной работы в течение определенного времени) первого узла равна 0,9, второго – 0,8. Прибор испытывался в течение определенного времени, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя. Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.

 

 

Вариант №2

Задание 1. В производственном цеху фирмы работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

Задание 2. Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60-и. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на два из трех вопросов?

Задание 3. Для сборки станка с программным управлением в сборочный цех поступают однотипные детали с двух складов В(1) и В(2). Причем, со склада В(1) -60%, а со склада (2)-40% всей продукции. Из каждых 100 деталей стандартными оказались 85 с первого склада и 78 - со второго. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной(событие А), т.е. требуется найти безусловную вероятность события А.

Задание 4. На складе имеется 28 комплектующих изделий от двух компаний поставщиков, из них 20 изделий от первой компании. Известно, что с вероятностью 0.7 среди поставок первой компании встречаются изделия, выполненные по новейшей технологии. Среди изделий второй компании  такие встречаются с вероятностью 0.8. Случайным образом выбранное изделие оказалось выполненным по новейшей технологии. Какова вероятность того, что это изделие от первой компании?

 

Вариант №3

Задание 1. Рабочему для изготовления деталей принесли 12 заготовок: 8 из стали 1-сорта и 4 из стали 2-го сорта. Какова вероятность того, что выбранные наугад две заготовки окажутся первого сорта?

Задание 2. Отдел технического контроля проверяет на стандартность по двум параметрам серию изделий. Установлено, что у 8 из 25 не выделен только первый параметр, у 6 – только второй, у 3 – оба параметра. Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что она не удовлетворяет стандарту?

Задание 3. На складе имеется 28 комплектующих изделий от двух компаний поставщиков, из них 20 изделий от первой компании. Известно, что с вероятностью 0.7 среди поставок первой компании встречаются изделия, выполненные по новейшей технологии. Среди изделий второй компании  такие встречаются с вероятностью 0.8. Какова вероятность того, что случайным образом выбранное изделие выполнено по новейшей технологии?

Задание 4. Среди поступающих проектов 30% от технологов первого цеха, 70% от технологов второго цеха. Вероятность неперспективных проектов для первого цеха равна 0,02, для второго цеха – 0,03. Наудачу выбранный проект оказался перспективным. Какова вероятность того, что он представлен технологами первого цеха?

 

Вариант №4

Задание 1. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что взятый наудачу студентом билет, содержащий два вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?

Задание 2. В цехе работают три станка. Вероятность отказа в течении смены для станков соответственно равна 0,1, 0, 2 и 0,15. Найти вероятность того, что в течении смены безотказно проработают два станка

Задание 3. Изделия были произведены с использованием двух технологических линий. На первой линии было произведено 2 изделия, на второй линии: 3 изделия. Вероятность того, что изделие будет отличного качества при производстве на первой линии равна 0.75, на второй – 0.7. Какова вероятность того, что случайно выбранной изделие будет отличного качества?

Задание 4. В городе три колледжа, выпускающих специалистов в области машиностроения. В первом колледже выпускники этого профиля составляют 25% , во втором -35%, в третьем – 40% количества всех выпускников. По специальности не идут работать 5%, 4% и 2% выпускников специальности «Технология машиностроения» каждого учебного заведения соответственно. Какова вероятность, что случайно выбранный выпускник данного года не пошел работать по специальности и является студентом первого колледжа?

 

Инструкция по выполнению заданий практического занятия №6

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант задания для практического занятия.

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы Вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. При выполнении первого задания воспользуйтесь классическим определением вероятности и формулой (6.4). Для этого необходимо вычислить число благоприятствующих исходов данного события и число всех возможных исходов, используя одну из формул комбинаторики (6.1, 6.2, 6.3).

6. Во втором задании используйте теоремы о сумме вероятностей (6.5 и 6.6)

6. В третьем задании используйте формулу вычисления полной вероятности (6.9). Для этого сначала обозначьте буквами событие, вероятность которого нужно вычислить и возможные гипотезы по отношению к этому событию. Затем вычислите вероятность каждой гипотезы и условные вероятности события при условии, что каждая из гипотез произошла. Полученные результаты внесите в формулу полной вероятности и сделайте расчет.

7. В четвертом задании необходимо вычислить вероятность гипотезы при условии, что данное событие уже произошло. Для этого воспользуйтесь формулой Байеса (6.10). Данное задание выполняйте по схеме предыдущей задачи.

 

Порядок выполнения отчета по практическому занятию №6

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Решение вероятностных задач.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение и ответ (см. образец отчета по практическому занятию № 6).

 

Образец отчета по практическому занятию №6

Практическое занятие №6

Решение вероятностных задач

 

Задание 1. В группе студентов, обучающихся по специальности «Технология машиностроения», 30 учащихся: 25 мальчиков и 5 девочек. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность того, что это девочки?

Решение. Испытание – вызывают двух учащихся из 30. Событие А – вызвали двух девочек из 5. Нам нужно выбрать двух учащихся из 30. Тогда число всех элементарных исходов испытания равно (порядок не важен): , а количество благоприятных исходов равно . Тогда    .

Ответ: .

 

Задание 2. а) В лотерее 1000 билетов. Из них на один билет падает выигрыш 5000 руб., на 10 билетов – выигрыши по 1000 руб., на 50 билетов – выигрыши по 200 руб., на 100 билетов – выигрыши по 50 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 200 руб.

Решение. Рассмотрим события:

 - выиграть не менее 200 руб.;

 - выиграть 200 руб.;

 - выиграть 1000 руб.;

 - выиграть 5000 руб..

Очевидно, что . Так как события - несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий

Ответ: 0,061.

б) Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Решение. Пусть -событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратно 3, а  - в том, что оно кратно 5. Так как и  - совместные события, то воспользуемся формулой (13.6):

 Всего имеется 90 двузначных чисел: 10, 11, …, 98, 99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события ); 18 кратными 5 (благоприятствуют наступлению события ) и 6 – кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события ). Таким образом, .

.

Ответ: 0,467.

Задание 3. Была проведена одна и та же контрольная работа в трёх параллельных группах. В первой, где 30 учащихся, оказалось 8 работ, написанных на «отлично». Во второй – 28 учащихся, из которых 6 работ выполнены на «отлично». В третьей – 27 учащихся, из которых 9 работ выполнены на «отлично». Найти вероятность того, что первая взятая наудачу при повторной проверке работа из работ, принадлежащих наудачу выбранной группе, окажется выполненной на «отлично».

Решение. Испытание – выбирают группу из трёх и выбирают одну контрольную работу. Обозначим через  событие – работа выполнена на «отлично». Возможны следующие предположения (гипотезы): работа из первой группы, работа из второй группы, работа из третьей группы. Вероятность каждого из предположений равна , т.е.   и .

Следовательно,  образуют полную группу попарно несовместимых событий.

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Искомую вероятность того, что работа выполнена на «отлично», находим по формуле полной вероятности:

Ответ: .

 

Задание 4. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата  вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение. Обозначим через  событие – деталь отличного качества. Можно сделать  два предположения (гипотеза): деталь  произведена  первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит  вдвое больше деталей, чем второй) ; деталь произведена вторым автоматом, причем .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена  первым автоматом, .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена  вторым  автоматом, .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Байеса равна

.

Ответ: .

 

 

 

 

 

РАЗДЕЛ «ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»

 

Практическое занятие № 7

Вычисление статистических характеристик

 

Учебная цель: формировать умение обрабатывать результаты наблюдений.

 

Учебные задачи:

1. Научиться строить статистическое распределение выборки.

2. Научиться составлять эмпирическую функцию распределения и строить ее график.

3. Научиться строить графики вариационных рядов: полигон частот и гистограмму частот.

4. Научиться вычислять числовые характеристики вариационного ряда..

 

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО третьего поколения

 

Студент должен

уметь:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности

знать:

-   основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

-   основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности.

 

 

Задачи практического занятия № 7

 

1.Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2.Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.Решить задачи на построение статистического распределения выборки, составления эмпирической функции распределения, построения ее графика, полигона частот и гистограммы частот.

4. Вычислить числовые характеристики дискретной случайной величины.

5.Оформить отчет.

 

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике.

2. Справочная литература:

а) М.С. Спирина, П.А. Спирин. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

б) С.Г. Григорьев, С.В. Задулина. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

3. Рабочие тетради: тетради для практических работ.

4. Калькуляторы: простые, по количеству студентов.

5. Ручки: по количеству студентов.

 

 

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

 

Генеральной совокупностью называется весь набор однородных объектов, изучаемых относительно некоторого качественного или количественного признака. Число всех изучаемых объектов N называется объемом генеральной совокупности.

   Выборка –это та часть генеральной совокупности, элементы которой подвергаются статистическому обследованию. Число  вошедших в выборку элементов называется объемом выборки.

Значение случайной величины , содержащие в выборке, называются вариантой.

Система вариант , расположенных в порядке возрастания, называются вариационным рядом.

   Абсолютной частотой (частостью) варианты  называется число членов совокупности, имеющей значение .

 Отношение частоты к объему выборки  называют относительными частотами.

   Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им абсолютных или относительных частот.

 

                           Таблица 7.1

 

 

 

   Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки .

Для построения полигона на оси абсцисс откладывают варианты xi, здесь они равны серединам интервалов, т.е. , а на оси ординат - соответствующие им частоты . Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

                         Рис. .1

Если объем выборки из генеральной совокупности случайной величины велик, то прибегают к предварительной группировке данных: размах выборки разбивают на частичных интервалов. Для подсчёта числа интервалов  применяют эмпирическую формулу Стерджесса:  (округление до ближайшего целого).

Объём выборки: , где  - число значений случайной величины, попавших в каждый разряд. Значения случайных величин, когда одна и та же величина встречается дважды (как верхняя граница одного интервала и нижняя граница другого интервала), то эта величина относится к той группе, где эта величина выступает в роли верхней границы.

Разность                                                                                         

между наибольшим и наименьшим значениями вариант называют размахом выборки.

Величину каждого интервала (разряда)  можно вычислить по формуле                                                                       

Границы интервалов , ; .

Середина i-го разряда .                                                           

 Исходная выборка заменяется выборкой объёма r.

   Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению .

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии .

Площадь -го прямоугольника равна сумме частот вариант -го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

 

 Рис. .2

Интервальным вариационным рядом, а также гистограммой пользуются и при изучении дискретных случайных величин, когда в дискретном вариационном ряде большое количество вариант, из-за чего он обозрим.

Эмпирическая функция распределения, определяющая для каждого значения х относительную частоту  события , вычисляется по формуле, т.е.     (7.1)   

*

 

Числовые характеристики вариационного ряда.

  Одна из задач математической статистики – оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки различны, то ; если же все значения имеют частоты , то .                                                 (7.2)

Замечание: Если выборка представлена интервальным вариационным рядом, то за  принимают середины частичных интервалов.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения.

Если все значения признака выборки различны, то;                       (7.3)

 если же все значения имеют частоты , то.             (7.4)

Для характеристики рассеивания значений признака выборки вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой - средним квадратичным отклонением.

Выборочным среднеквадратичным отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии: .                                                                                   (7.5)

Вычисление дисперсии – выборочной или генеральной, можно упростить, используя формулу: . Если выборка представлена интервальным вариационным рядом, то за  принимают середины частичных интервалов.

 

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию № 7

 

1. Дайте определение генеральной совокупности.

2. Что называется выборкой, вариантой?

3. Дайте определение вариационному ряду.

4. Что называется абсолютной и относительной частотами варианты?

5. Дайте определение статистическому распределению выборки.

6. Что называется полигоном частот и гистограммой частот?

7. Дайте определение эмпирической функции распределения?

8. Какие числовые характеристики вариационного ряда используют в статистической обработке результатов исследования?

 

Задания для практического занятия № 7

 

Задание 1. Найти статистическое распределение выборки.

Задание 2.. Построить полигон частот статистической выборки.

Задание 3.. Построить гистограмму частот статистической выборки.

Задание 4. Составить эмпирическую функцию распределения статистической выборки.

Задание 5. Вычислить следующие числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение.

 

Вариант № 1

   Показатель относительной важности гостиничной продукции может быть получен путем сравнения структуры доходов гостиниц в различных регионах и странах. Например, статистика по структуре доходов в выбранных тридцати регионах Европы показывает долю (в %) дохода от сдачи номеров (доходы от номеров для гостей обеспечивается оплатой номеров и завтраков с учетом местных налогов):

50, 51, 60, 49, 65, 59, 51, 53, 64, 50,  36, 47, 56, 49, 48, 51, 44, 39, 48, 45, 35, 63,43, 58, 59, 54, 60, 47, 48, 48.

 

 

Вариант № 2

   Исходя из прогноза прибытия иностранных граждан в Москву к 2016 году,  потребность в гостиничной базе должна составить 283,2 тыс. мест. В настоящее время в тридцати выбранных гостиницах столицы имеется число мест:

764, 680, 860, 120, 400, 700, 345, 978, 120, 1031, 300, 350, 900, 830, 830, 1100, 214, 300, 411, 516, 559, 1180, 246, 160, 549, 1009, 976, 1609, 1260, 879.

 

 

Вариант № 3

   По данным Организации экономического сотрудничества и развития (ОЭСР), занятость в туристической отрасли в некоторых развитых странах мира составляет (млн. человек):

360, 1080, 283, 723, 1200, 980, 458, 990, 586, 1153, 800, 876, 567, 389, 500, 650, 556, 876, 485, 660.

 

Вариант № 4

Приведены данные подготовки одного гостиничного номера к приему гостей в разных гостиницах города (в минутах):

60, 54, 43,100, 25. 121, 47, 70, 55, 37, 44, 67, 76, 34, 85, 120, 66, 90, 57, 67, 92, 90, 39, 76, 90, 65, 75, 56, 87, 72.

 

Инструкция по выполнению практического занятия № 7

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия №7

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. Для построения статистического распределения выборки сначала размах выборки необходимо разбить на частичных интервалов. Для подсчёта числа интервалов  примените эмпирическую формулу Стерджесса:  (округлите до ближайшего целого). Затем вычислите размах и величину каждого интервала по формуле . Для заполнения таблицы подсчитайте середины разрядов по формуле  и абсолютную частоту  (количество вариант, входящих в каждый интервал).

6. При выполнении второго задания прочтите определение полигона частот. По оси абсцисс откладывайте значения , а на оси ординат - соответствующие им частоты  (данные используйте из таблицы). Точки соедините отрезками.

7. В третьем задании для построения гистограммы частот на оси абсцисс отложите частичные интервалы, а над ними проведите отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии .

8. При выполнении четвертого задания обратитесь к определению эмпирической функции распределения статистической выборки и используйте формулу для ее составления: .

9. Для вычисления числовых характеристик вариационного ряда используйте формулы: (7.2) – для выборочной средней, (7.4) – для выборочной дисперсии и7.5) – для выборочного среднеквадратического отклонения.

10. Проверьте правильность решения заданий.

11. Убедившись, что задания решены правильно на черновике, аккуратно перепишите их в чистовик.

 

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 7

 

1. На новой странице в тетради по выполнению практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Вычисление статистических характеристик.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строчки запишите решение (см. образец отчета по практическому занятию № 7).

 

Образец выполнения практического занятия № 7

 

Дано распределение времени на подготовку к экзамену по математике (мин):

15; 20; 45; 15; 25; 35; 40; 25; 35; 25; 35; 35; 45; 45; 25; 20; 25; 35; 20; 35, 40; 20; 40; 50; 35; 25; 25; 35; 40; 25.

1. Найти статистическое распределение выборки.

2. Построить полигон частот статистической выборки.

3. Построить гистограмму частот статистической выборки.

4. Составить эмпирическую функцию распределения статистической выборки.

5. Вычислить следующие числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение.

 

Решение:

1. Расположим заданные значения величины  в порядке возрастания:

15; 15; 20; 20; 20; 20; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 5; 35; 35; 35; 35; 35; 35; 35; 40; 40; 40; 40; 40; 45; 45; 45.

Объем выборки .

Вычислим значение k:

. Возьмём k=6.

Размах выборки:

Величина интервала (длина разряда) имеет значение:

Заполним таблицу

 

Таблица 7.2

 

Границы разрядов

Середины разрядов

Количество значений

1

15-20

17,5

6

1,2

2

20-25

22,5

8

1,6

3

25-30

27,5

0

0

4

30-35

32,5

8

1,6

5

35-40

37,5

5

1

6

40-45

42,5

3

0,6

Всего:

 

 

30

 

 

 

 

2. Построим полигон частот:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Построим гистограмму частот:

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Рис. 4

4. Составим эмпирическую функцию распределения:

 

5. Вычислим числовые характеристики вариационного ряда.

Выборочная средняя:

.

Выборочная дисперсия:

.

Выборочное среднеквадратичное отклонение:

.

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

РАЗДЕЛ «ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И

ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ»

 

Практическое занятие № 8

Исследование функции с помощью производной первого и второго порядков

 

Учебная цель: формировать умение исследовать функцию и строить график.

Учебные задачи: научиться проводить исследование сложных функций и строить их графики.

 

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знать:

-   основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

-   основы интегрального и дифференциального исчисления.

 

Задачи практического занятия № 8

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Изучить методические рекомендации по выполнению работы.

4. Решить задачу на исследование функции и построения ее графика.

5. Оформить отчет.

 

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005.

- Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов/ И.В. Виленкин, В.М. Гробер.- Изд. 4-е, испр. – Ростов н/Д : Феникс, 2008.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

 

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

  Переменная называется функцией переменой  (аргумент), если каждому допустимому значению  соответствует определенное значение . Символически функциональная зависимость между переменными записывается с помощью равенства , где  означает совокупность действий, которые надо произвести над , чтобы получить .

Область определения (существования) функции называется множество всех действительных значений аргумента, при которых она может иметь действительное значение. Обозначается D(f).

Функция  называется чётной, если для любого  из её области определения выполняется равенство                 (8.1),

т.е. при всех значениях  в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный значение функции не меняется. График четной функции симметричен относительно оси .

Функция  называется нечётной, если для любого  из её области определения                                                     (8.2).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно при­ближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала коор­динат.

Вертикальная  асимптота. График функции  при  имеет вертикальную асимптоту, если                             (8.3).

Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид:        (8.4).

Горизонтальная асимптота. График функции  при имеет горизонтальную асимптоту, если                         (8.5).

Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид:               (8.6).

Наклонная асимптота. Пусть график функции  имеет наклонную асимптоту                                                                                      (8.7), где

                  (8.8) и                 (8.9).

Среди множества функций есть функции, значения которых с увеличением аргумента только возрастают или только убывают. Такие функции называются возрастающими или убывающими. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Определить промежутки монотонности функции можно с помощью первой производной.

Если  на промежутке I, то функция возрастает на этом промежутке. Если  на промежутке I, то функция убывает на этом промежутке.

Точки из области определения функции, в которых производная равна 0 или не существует, называются критическими точками.

Если при переходе через точку  производная меняет знак с «+» на «-», то она является точкой максимума функции. Если при переходе через точку  производная меняет знак

с «-» на «+»,  то она является точкой минимума функции.

Точки минимума и максимума называются точками экстремума и обозначаются:

Значение функции в точке максимума называется максимумом функции: .  Значение функции в точке минимума называется минимумом функции:.

Значение функции в точках экстремума называется экстремумом функции.

   Кривая  называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

   Кривая  называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

   Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

   Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной.

Теорема. Если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика

Схема исследования функции:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на чётность, нечётность.

3. Найти нули функции: точки пересечения с осями координат.

4. Найти уравнения асимптот графика функции.

5. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки его перегиба.

7. Построить график функции.

 

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1. Сформулируйте определение функции

2. Что называется областью определения функции?

3. Какие функции называются четными и как они исследуются на четность?

4. Какие функции называются нечетными?

5. Дайте определение асимптоты графика функции.

6. Перечислите виды асимптот.

7. Напишите формулы для нахождения вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот.

8. Дайте определение монотонности функции.

9. Сформулируйте практическое правило исследования функции на возрастание и убывание.

10. Дайте определение критической точки.

11. Что называется максимумом и минимумом функции?

12.Как исследуется функция на промежутки выпуклости графика?

13. Какие точки называются точками перегиба?

 

Задания для практического занятия № 8

Задание 1. Исследуйте функцию

Задание 2. Постройте график исследуемой функции. 

 

№ варианта

Функция

варианта

Функция

1

4

2

5

3

6

 

Инструкция по выполнению задания практического занятия № 8

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы Вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. При нахождении области определения функции обратите внимание на выражения, содержащие дроби, так как знаменатель дроби не может обращаться в нуль.

6. Для определения четности и нечетности функции необходимо изменить знак аргумента на противоположный, если эти значения принадлежат области определения функции. Используя условия (8.1) и (8.2), определим свойство четности или нечетности функции.

7. Чтобы определить нули функции, необходимо сначала приравнять функцию к нулю (точки пересечения с осью ), затем подставить в функцию значение аргумента , если нуль принадлежит области определения функции (точки пересечения с осью .

8. Асимптоты кривой находим:

- вертикальную по формулам (8.3) и (8.4);

- горизонтальную по формулам (8.5) и (8.6);

- наклонную по формулам (8.7), (8.8) и (8.9).

9. Для исследования функции на монотонность найдите первую производную функции и приравняйте ее к нулю. Найдем точки, где -критические и точки, где  не существует. Анализируем каждую критическую точку, т.е. выясняем меняет знак производная при переходе через эти точки (и тогда экстремум есть) или не меняет(и тогда экстремума нет). Параллельно с этим находим интервалы возрастания и убывания функции.

10. Далее найдем точки, подозрительные на перегиб. С этой целью находим вторую производную и выясняем точки, где  и где она не существует. Анализируем каждую из полученных точек. Для этого выясняем меняется или не меняется знак второй производной при переходе через подозрительную точку. После этого делаем выводы относительно интервалов и направления выпуклости кривой и относительно точек перегиба используя теорему  и определение точки перегиба.

11. Для построения графика используем все полученные ранее результаты исследований.

 

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 8

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Исследование функции с помощью производной первого и второго порядков.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение (см. образец отчета по практическому занятию № 8).

 

 

Образец отчета по практическому занятию № 8

Практическое занятие № 8

Исследование функции с помощью производной первого и второго порядков

Задание 1. Исследуйте функцию  

Решение:

1. Найдем область определения функции (т.к. функция дробно-рациональная, ее знаменатель не должен быть равен нулю):

.

2. Исследуем функцию на чётность (для этого изменим знак аргумента на противоположный):

 функция не является чётной.

 функция не является нечётной.

График функции не является симметричным ни относительно начала координат, ни  относительно оси OY.

3. Найдем нули функции:

Пересечение с осью Ох: .

График пересекается с осью Ох в точке .

Пересечение с осью Оу: х=0. Но нуль не входит в область определения функции, следовательно график не пересекается с осью Оу.

4. Найдем асимптоты кривой.

. Значит,  - вертикальная асимптота.

. Горизонтальной асимптоты нет.

.

.

Значит, наклонная асимптота.

5. Найдем промежутки возрастания и промежутки убывания функции и ее экстремумы. Для этого найдем производную данной функции:

.

Приравняем ее к нулю

,  .

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю.

.

- критическая точка.

Определим знаки производной на промежутках: :

 возрастает на промежутках .

 убывает на промежутке .

В точке  производная функции меняет знак с «+» на «-», следовательно

.

 Точка .

6. Исследуем функцию на направление выпуклости и найдем точки перегиба.

Для этого найдем вторую производную:

Приравняем ее к нулю:

Дробь отлична от нуля, т. к.  

Определим знаки второй производной на промежутках :

График функции обращен выпуклостью вверх на . Т.к. кривая не меняет направление выпуклости, точек перегиба нет.

Задание 2. Постройте график исследуемой функции.

Решение.

 

 

 

 

РАЗДЕЛ «ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И

ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ»

 

Практическое занятие № 9

Вычисление значений геометрических величин

Учебная цель: формировать умение применять определенный интеграл при вычислении значений геометрических величин.

Учебные задачи:

1. Научиться вычислять площади плоских фигур.

2. Научиться вычислять объемы тел вращения.

3. Научиться вычислять длину дуги.

 

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.

знать:

-   основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

-   основы интегрального и дифференциального исчисления.

 

Задачи практических занятий № 9

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на вычисление геометрических величин: площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длины дуги.

4. Оформить отчет.

 

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005.

- Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов/ И.В. Виленкин, В.М. Гробер.- Изд. 4-е, испр. – Ростов н/Д : Феникс, 2008.

- Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум (часть II)/ под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.:Высшее образование, 2005.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

 

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

1. Вычисление площади плоской фигуры.

Пусть на отрезке  оси  задана непрерывная и неотрицательная функция .

     Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком  и прямыми  и , называют криволинейной трапецией.

  В математике понятие криволинейной трапеции связывают с декартовой системой координат.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Если интегрируемая на отрезке  функция неотрицательна, то определенный интеграл  численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямыми  и , т.е.

 - формула Ньютона-Лейбница.            (9.1)

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

2. Вычисление объема тел вращения.

  Пусть задано тело объемом V. Проведем ось такую, что какую бы плоскость перпендикулярно этой прямой мы не взяли, нам известна площадь сечения тела этой плоскостью - . Тогда каждому числу  соответствует своя площадь сечения , т.е.  есть функция от  .

 Пусть эта функция непрерывна на , тогда справедлива формула

V=.

  Пусть функция , непрерывна на этом отрезке. Требуется вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси  фигуры, ограниченной линиями  По формуле  V=, где -площадь поперечного сечения в точке . Любое поперечное сечение данной фигуры есть круг радиуса . Тогда площадь сечения . И объем можно вычислить по формуле

                                  (9.2)

3. Вычисление длины дуги кривой.

  Длина дуги кривой , заключенной между точками с абсциссами  и , определятся по формуле

                            (9.3)

 

Вопросы для закрепления теоретического материла:

1. Дайте определение криволинейной трапеции.

2. Объясните, в чем заключается геометрический смысл определенного интеграла.

3. Запишите формулу для вычисления объема тела вращения.

4. По какой формуле вычисляется длина дуги кривой?

 

Задания для практического занятия № 9

Задание 1. Вычислить площадь криволинейной трапеции.

Задание 2. Вычислить площадь плоской фигуры.

Задание 3. Вычислить объем тела вращения.

Задание 4. Вычислить длину дуги кривой.

 

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

 

 

вариант №1

 

 

 

 

а) , ,;

б)

 от начала координат до точки

 

 

 

вариант №2

 

 

 

  

 

 

 

 

а) , ,;

б)

 от начала координат до точки

 

 

 

вариант №3

 

 

 

 

 

,

 

а) ;

б) ,

 от начала координат до точки

 

 

 

вариант №4

 

 

 

 

 

 

 

 

а) ;

б)

 от начала координат до точки

 

Инструкция по выполнению задания практического занятия № 9

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы Вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. Выполнение первого задания необходимо начать с изображения криволинейной трапеции на координатной плоскости. Определить границы интегрирования. Затем вычислить площадь заданной криволинейной трапеции по формуле (9.1).

6. Во втором задании сначала изобразите плоскую фигуру, ограниченную графиками заданных функций. Затем найдите границы интегрирования, для этого приравняйте функции и найдите точки пересечения их графиков. Площадь плоской фигуры можно найти как разность площадей криволинейных трапеций, каждая из которых ограничена заданными функциями, прямыми  и (где и -точки пересечения графиков функций).

7. При выполнении третьего задания под буквой а) изобразите фигуру, полученную при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс. Затем вычислите объем полученной фигуры, используя формулу (9.2), где -заданная функция, ограничивающая криволинейную трапецию. Задание под буквой б) выполняйте аналогично шестому заданию.

8. Для выполнения четвертого задания сначала найдите производную заданной функции, затем подставьте ее в формулу (9.3) и вычислите длину дуги. Границами интегрирования будут абсциссы заданных точек.

 

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 9

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Вычисление значений геометрических величин.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение и ответ (см. образец отчета по практическому занятию № 9).

 

Образец отчета по практическому занятию № 9

Практическое занятие № 9

Вычисление значений геометрических величин

Задание 1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямыми

Решение. По определению фигура, ограниченная графиком функции , прямыми , является криволинейной трапецией, т.к. функция непрерывная и не меняет знак на ; прямые  пересекают график функции и прямую . Следовательно, ее площадь можно вычислить, используя формулу Ньютона-Лейбница.

.

Ответ: (ед.)

Задание 2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций   и  .

Решение. Найдем точки пересечения этих графиков (приравняем данные функции):

.

 Возведем во вторую степень обе части уравнения: ,

     и      - границы интегрирования.

Нарисуем графики заданных функций.

 На рис. фигура, о которой идет речь, заштрихована. Ее площадь равна разности площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , отрезком , лежащим на оси , прямыми и площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , отрезком , лежащим на оси , прямыми.

.

Ответ:(ед.)

Задание 3.

а) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями:

 

Решение.  Такое тело называется параболоидом вращения.

 

По формуле

Ответ:32(ед.)

б) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси  фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Найдем границы интегрирования: , .

Ввиду симметричности вращающейся фигуры можно вычислить объем в пределах от 0 до 1, затем результат удвоить.

Из рисунка видно, что искомый объем равен разности объемов тел, образованных при вращении вокруг оси абсцисс фигур  и . Тогда

   

Ответ:(ед.)

Задание 4. Вычислить длину дуги полукубической параболы  от начала координат до точки с координатами .

Решение. Для вычисления длины дуги воспользуемся формулой . Найдем производную функции . Тогда

.

Ответ: (ед.)

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал
Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 101 503 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 27.05.2017 2455
    • DOCX 5.9 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Памурзина Маргарита Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    • На сайте: 6 лет и 3 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 53790
    • Всего материалов: 17

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой