Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ РАБОТАМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ РАБОТАМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_1a9015b5.gifhello_html_6699be1f.gifhello_html_7f05ca84.gifhello_html_m305ecb4d.gifhello_html_e35c833.gifhello_html_5d9e25b9.gifhello_html_m45321192.gifhello_html_m266b36c.gifhello_html_2d33d89c.gifhello_html_m475d0bb.gifhello_html_124698c9.gifhello_html_6e3f891a.gifhello_html_42a4436c.gifhello_html_536c612a.gifhello_html_m3170132.gifhello_html_19771cc.gifhello_html_19771cc.gifhello_html_m54ad17e3.gifhello_html_m30229137.gifhello_html_mbc904e.gifhello_html_m461b2539.gifhello_html_2880e2c7.gifhello_html_4b01b54a.gifhello_html_m9e0c3ac.gifhello_html_m747b3521.gifhello_html_m747b3521.gifhello_html_m171de3b4.gifhello_html_m171de3b4.gifhello_html_56bcfbf0.gifhello_html_m66168674.gifhello_html_m66168674.gifhello_html_m26906648.gifhello_html_m26906648.gifhello_html_30e3304.gifhello_html_30e3304.gifhello_html_m49bb971b.gifhello_html_m78d42771.gifhello_html_1c41bab7.gifhello_html_1c41bab7.gifhello_html_4b856d65.gifhello_html_4b856d65.gifhello_html_50a90f5b.gifhello_html_50a90f5b.gifhello_html_2386c374.gifhello_html_5bd7cf9b.gifhello_html_18f026e3.gifhello_html_m3f524cce.gifhello_html_m1ab2bdcf.gifhello_html_5b1430f1.gifhello_html_54f8216a.gifhello_html_30e3304.gifhello_html_30e3304.gifhello_html_71b4adb7.gifhello_html_71b4adb7.gifhello_html_14268dac.gifhello_html_14268dac.gifhello_html_3f04b999.gifhello_html_3f04b999.gifhello_html_m100760f3.gifhello_html_m78313bc0.gifhello_html_m46085a58.gifhello_html_6ee4d916.gifhello_html_7ef73edc.gifhello_html_m52a8b528.gifhello_html_42392d47.gifhello_html_42392d47.gifhello_html_799ff55a.gifhello_html_78de8545.gifhello_html_m726ab396.gifhello_html_7ea8b64f.gifhello_html_m31f7affa.gifhello_html_m31f7affa.gifhello_html_m7935085d.gifhello_html_m4fa0d34f.gifhello_html_5ea0ce97.gifhello_html_5ea0ce97.gifhello_html_m5563cbb0.gifhello_html_m5563cbb0.gifhello_html_m19f7d491.gifhello_html_m19f7d491.gifhello_html_5994f37d.gifhello_html_5994f37d.gifhello_html_m71165857.gifhello_html_376a6a88.gifhello_html_49cb1c76.gifhello_html_ded538e.gifhello_html_4baa5698.gifhello_html_4baa5698.gifhello_html_m783be20.gifhello_html_m5f76660a.gifhello_html_330e4a17.gifhello_html_m45e38f55.gifhello_html_m789a33fd.gifhello_html_m66ff6ea4.gifhello_html_m414fe812.gifhello_html_m414fe812.gifhello_html_m33cd9cb0.gifhello_html_m33cd9cb0.gifhello_html_m171de3b4.gifhello_html_37bb9f7.gifhello_html_673a4477.gifhello_html_m6942159f.gifhello_html_m7d47703e.gifhello_html_7a56f3ec.gifhello_html_m2e3ee1c.gifhello_html_m3adb7053.gifhello_html_3364878e.gifhello_html_m45d066a.gifhello_html_2bef751d.gifhello_html_8d3ee52.gifhello_html_2afe715e.gifhello_html_m4045b9e6.gifhello_html_m5b77f7be.gifhello_html_m611b7888.gifhello_html_3d91424f.gifhello_html_m490e84e4.gifhello_html_6216212c.gifhello_html_m9cea10d.gifhello_html_4082fb7a.gifhello_html_4082fb7a.gifhello_html_69f11acf.gifhello_html_69f11acf.gifhello_html_m30d32ae1.gifhello_html_m6159ee6e.gifhello_html_30e3304.gifhello_html_30e3304.gifhello_html_1139c991.gifhello_html_2a705f6e.gifhello_html_m55731064.gifhello_html_m55731064.gifhello_html_mf85d9b.gifhello_html_mf85d9b.gifhello_html_m59d8b880.gifhello_html_6b769c22.gifhello_html_m1a610308.gifhello_html_m1a610308.gifhello_html_9c6949.gifhello_html_9c6949.gifhello_html_mcd4820.gifhello_html_28ccd300.gifhello_html_m2caaea39.gifhello_html_m2caaea39.gifhello_html_m59d8b880.gifhello_html_6b769c22.gifhello_html_78325b0e.gifhello_html_m205f2d22.gifhello_html_9c6949.gifhello_html_9c6949.gifhello_html_m42e6ebcf.gifhello_html_m42e6ebcf.gifhello_html_m641bf564.gifhello_html_m641bf564.gifhello_html_174a6725.gifhello_html_174a6725.gifhello_html_m57ce41d.gifhello_html_m6f216ce.gifhello_html_69f4d953.gifhello_html_69f4d953.gifhello_html_330e4a17.gifhello_html_m45e38f55.gifhello_html_b5876c6.gifhello_html_52026bfd.gifhello_html_m1bc5399c.gifhello_html_m1bc5399c.gifhello_html_m74c58d90.gifhello_html_m74c58d90.gifhello_html_44da8c11.gifhello_html_m566a3284.gifhello_html_m7464152.gifhello_html_m7464152.gifhello_html_37a6dc2.gifhello_html_37a6dc2.gifhello_html_6c5b2813.gifhello_html_m7fe0c864.gifhello_html_121e3c94.gifhello_html_121e3c94.gifhello_html_m6d8ebcac.gifhello_html_17768012.gifhello_html_4e8e2d3a.gifhello_html_4e8e2d3a.gifhello_html_m5ea412df.gifhello_html_m5ea412df.gifhello_html_m5b027176.gifhello_html_m5b027176.gifhello_html_76080ba6.gifhello_html_20cba269.gifhello_html_5b83ff32.gifhello_html_5b83ff32.gifhello_html_35ca713a.gifhello_html_35ca713a.gifhello_html_3f2bfbdf.gifhello_html_3f2bfbdf.gifhello_html_45d958ca.gifhello_html_45d958ca.gifhello_html_m23fc309f.gifhello_html_m23fc309f.gifhello_html_m1f528949.gifhello_html_5f3c8e60.gifhello_html_71b0c524.gifhello_html_m266df3b1.gifhello_html_m7a419fa2.gifВоронежский техникум строительных технологий
















МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ПРАКТИЧЕСКИМ РАБОТАМ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА

для студентов первого курса











Автор: И.В. ПОЗДНЯКОВА












Воронеж – 2012

Одобрено предметной (цикловой) комиссией

математических и естественнонаучных дисциплин

Протокол № от « » 2012 года

Председатель цикловой комиссии

________________ Н.К. Шаранина






Методические рекомендации к практическим работам по дисциплине Математика включают в себя инструкции 15 практических работ по всему первому курсу дисциплины. Их назначение – помочь студентам самостоятельно закрепить полученные знания и умения, т.к. содержат дидактический материал, большое количество примеров с подробными решениями и справочный теоретический материал, необходимый для решения заданий.

В методических рекомендациях представлены задания по основным разделам математики:

  • Действительные числа. Векторы и координаты.

  • Функции, их свойства и графики.

  • Степенная, показательная и логарифмическая функции.

  • Тригонометрические функции.

  • Дифференциальное исчисление.

  • Интегральное исчисление.

  • Прямые и плоскости в пространстве.

  • Геометрические тела.

Содержание полностью соответствует действующей программе по математике для средних специальных учебных заведений.

Методические рекомендации к практическим работам по дисциплине Математика для студентов первого курса могут быть рекомендованы как преподавателям, так и студентам средних профессиональных учебных заведений.





Составитель:

И.В. Позднякова - преподаватель первой квалификационной категории ФГОУ СПО «Воронежский техникум строительных технологий»



Рецензенты:

М.В. Богданова – доцент кафедры информатики и МПМ Воронежского государственного педагогического университета, кандидат технических наук

С.А. Титоренко – доцент кафедры информатики и МПМ Воронежского государственного педагогического университета, кандидат педагогических наук



Н.Б. Чопорова - преподаватель высшей квалификационной категории ФГОУ СПО «Воронежский техникум строительных технологий»

СОДЕРЖАНИЕ






Введение

4


Инструкции практических работ:

Практическая работа

Решение систем линейных уравнений


6


Практическая работа

Векторы на плоскости и в пространстве

11


Практическая работа

Вычисление пределов функции

16


Практическая работа

Вычисление значений степенных, показательных и логарифмических выражений

21


Практическая работа

Решение показательных уравнений и неравенств

26


Практическая работа

Решение логарифмических уравнений и неравенств

30


Практическая работа

Тождественные преобразования и вычисления тригонометрических выражений

34


Практическая работа

Преобразование графиков тригонометрических и обратных тригонометрических функций

39


Практическая работа

Решение тригонометрических уравнений и неравенств

42


Практическая работа

Вычисление производной функции

48


Практическая работа

Приложения производной: решение прикладных задач

53


Практическая работа

Вычисление неопределенного и определенного интегралов

58


Практическая работа

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения

65


Практическая работа

Вычисление площадей поверхностей геометрических тел

70


Практическая работа

Вычисление объемов геометрических тел


73


Литература

76










Введение

Важнейшим аспектом учебно-воспитательного процесса в системе среднего специального образования является контроль за усвоением знаний студентами. От правильной организации этого контроля во многом зависят достижение дидактической цели занятия, степень активности студентов в процессе обучения, их отношение к изучаемому материалу. Своевременный контроль не только содействует углублению и закреплению знаний и выработке практических навыков у студентов, но и позволяет преподавателю выявить уровень знаний каждого из них, чтобы подходить к нему дифференцированно и при необходимости оказывать помощь для творческого усвоения материала.

Практическая работа занимает особое место в системе контроля.

Выполнение студентами практической работы направлено на:

- обобщение, систематизацию, углубление, закрепление полученных теоретических знаний по конкретным темам дисциплины;

- формирование умений применять полученные знания на практике, реализацию единства интеллектуальной и практической деятельности;

- развитие интеллектуальных умений у будущих специалистов: аналитических, проектировочных, конструктивных и др.;

- выработку при решении поставленных задач таких профессионально значимых качеств, как самостоятельность, ответственность, точность, творческая инициатива.

Ведущей дидактической целью практических работ является формирование практических умений – учебных (решать задачи по математике, физике, химии, информатике и др.), необходимых в последующей учебной деятельности по общепрофессиональным и специальным дисциплинам.

В соответствии с ведущей дидактической целью содержанием практических работ является:

- решение разного рода задач;

- выполнение вычислений, расчётов, чертежей.

Методические рекомендации к практическим работам по дисциплине Математика включают в себя инструкции 15 практических работ по всему первому курсу дисциплины.

Практические работы носят репродуктивный характер, поэтому инструкции включают в себя следующие основные элементы:

- наименование работы;

- цель работы;

- перечень оборудования;

- справочный материал по выполнению работы (содержащие основные теоретические положения, необходимые при выполнении работы);

- порядок выполнения работы;

- контрольные вопросы по работе;

- форму отчёта по работе (включая выводы по работе);

- критерий оценки;

- перечень учебной и специальной литературы.

В инструкциях представлены задания по основным разделам математики: алгебре и началам анализа, дифференциальному и интегральному исчислениям, а также по разделам геометрии. Приводится справочный теоретический материал, необходимый для решения задач.

Все задания составлены с соблюдением следующих требований:

  • Задания рассчитаны на то, чтобы студент со средней успеваемостью мог справиться с работой за 60-65 минут, включая и самопроверку работы.

  • Задачи по содержанию являются основными типовыми заданиями каждой темы.

  • Данные в задачах подобраны в основном так, чтобы можно было избежать громоздких вычислений с дробными числами и иррациональностями и при этом получить ответы, по возможности, выраженные целыми числами или краткой формулой.

Задания представлены в двух-трех вариантах с различной степенью трудности: варианты 1 и 2 проще, чем вариант 3, поэтому его можно рекомендовать студентам, проявляющим интерес к математике.

В представленных инструкциях практических работ широко использованы внутрипредметные и межпредметные связи: математики и физики и др.







Практическая работа


Решение систем линейных уравнений

Цели работы: 1. Закрепить полученные знания, умения и навыки в процессе изучения темы «Определители».

2. Проверить степень усвоения знаний и сформированности умений при решении систем линейных уравнений.

Оборудование: Плакаты (определители II и III порядков, формулы Крамера)


Справочный материал

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

  • Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными hello_html_m30be0123.gif называется пара чисел hello_html_2ea4b9e1.gif, которая каждое уравнение этой системы обращает в верное числовое равенство.

Способы решения

  1. Способ подстановки: заключается в том, что из одного уравнения данной системы выражают какую-либо из переменных через другую переменную и найденное для этой переменной выражение подставляют в другое уравнение системы, в результате чего получают уравнение с одной переменной.

Пример №1.

hello_html_m1889c7c8.gif

  1. Способ алгебраического сложения: состоит в том, что все члены каждого из уравнений умножают на соответственно подобранные множители так, чтобы коэффициенты при одной и той же переменной в обоих уравнениях оказались противоположными числами, а затем уравнения почленно складывают, в результате чего получают уравнение, содержащее только одну переменную.


Пример №2.

hello_html_1a5d438f.gif

  1. Графический способ: каждое из уравнений системы представляет собой линейную функцию, график которой прямая линия. Если эти прямые имеют общую точку пересечения, то координаты этой точки и будут корнями решения системы.

Пример №3. hello_html_m3764f631.gif

Прямая определяется двумя точками. Для построения первой прямой возьмем точки:


x

-1

5

y

-1

7

Для построения второй -

x

-2

6

y

6

0



Построенные прямые пересекаются в точке с координатами (2; 3) — эти координаты являются корнями данной системы х = 2, у = 3.




  1. Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными по правилу Крамера.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений hello_html_346c0a3d.gif

Алгоритм:


  1. Вычислить главный определитель системы, который составляется из коэффициентов при переменных данной системы: hello_html_1f956bb3.gif

  2. Вычислить определитель переменной х, который составляется из главного определителя заменой коэффициентов при переменной х столбцом свободных членов: hello_html_28363ef4.gif

  3. Вычислить определитель переменной у, который составляется из главного определителя заменой коэффициентов при переменной у столбцом свободных членов: hello_html_m43504e98.gif

  4. Вычислить значения переменных x и y по формулам Крамера: hello_html_m732d5546.gif

    1. Записать ответ.


Пример №4. hello_html_m55077d38.gif

Решение:

  1. hello_html_m6d7bd1c0.gif

  2. hello_html_8bb079d.gif

  3. hello_html_22c71ece.gif

  4. hello_html_2ac7122b.gif

  5. Ответ: (2;3).



Порядок выполнения работы

  1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

  2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

  3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:


Вариант 1


Задание №1. Решить систему уравнений способом подстановки (или по правилу Крамера): hello_html_76130a7f.gif

Задание №2. Решить систему уравнений способом сложения: hello_html_mfe30f40.gif

Задание №3. Решить систему уравнений графическим способом: hello_html_78484853.gif

Задание №4. Решить систему уравнений: hello_html_m241ce086.gif

Задание №5. Решить систему уравнений: hello_html_m3caa4f43.gif



Вариант 2


Задание №1. Решить систему уравнений способом подстановки (или по правилу Крамера): hello_html_6e6c23d8.gif

Задание №2. Решить систему уравнений способом сложения: hello_html_58f026cc.gif

Задание №3. Решить систему уравнений графическим способом: hello_html_mfb78a2c.gif

Задание №4. Решить систему уравнений: hello_html_702e62c1.gif

Задание №5. Решить систему уравнений: hello_html_7b33ccd2.gif


Вариант 3


Задание №1. Решить систему уравнений способом подстановки (или по правилу Крамера): hello_html_9780f2f.gif

Задание №2. Решить систему уравнений способом сложения: hello_html_mebb974d.gif

Задание №3. Решить систему уравнений графическим способом: hello_html_m3698dfe4.gif

Задание №4. Решить систему уравнений: hello_html_1dc4cdc6.gif

Задание №5. Решить систему уравнений: hello_html_76d14a7b.gif



  • При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Пример №1 или Пример №4 (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №2 (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Пример №3 (см методические рекомендации)

  • При выполнении заданий №4, 5 необходимо обратить внимание на Пример №4 (см методические рекомендации) и использовать:

- алгоритм решения систем линейных уравнений по правилу Крамера (см. методические рекомендации).

  1. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Как составляется главный определитель системы трех линейных уравнений с тремя переменными? Запишите формулу.

2). Как записываются формулы Крамера для решения системы трех линейных уравнений с тремя переменными?

  1. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

  1. Записать тему, цели работы.

  2. Выполнить задания №№1 – 5 (сделать вывод по работе).

  3. Ответить на контрольные вопросы.

  4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.


Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания

Список литературы:

  1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

  3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.


Практическая работа


Векторы на плоскости и в пространстве

Цели работы: 1. Сформировать умения и навыки решения задач с применением векторов.

2. Проверить степень усвоения знаний и сформированности умений применения векторов к решению задач.

Оборудование: Плакаты (векторы).

Справочный материал

1. Понятие вектора.

  • Вектор – это направленный отрезок. Обозначение: hello_html_m1f885d02.gif.

2. Координаты вектора.

Пусть hello_html_68d3a785.gif.

  • Чтобы найти координаты вектора hello_html_m49f51b1c.gif, надо из координат конца вектора вычесть координаты начала: hello_html_m39e640d9.gif.

3. Разложение вектора по ортам.

  • Разложение вектора hello_html_225b7ee4.gif по ортам имеет вид: hello_html_5cfa8467.gif, где hello_html_me695e8d.gif- единичный вектор на оси Ох, hello_html_m414bdb10.gif - единичный вектор на оси Оу, hello_html_m5cdeebb1.gif - единичный вектор на оси Oz; числа х, у ,z – координаты вектора hello_html_225b7ee4.gif.

4. Правила действий над векторами в координатной форме.

Если заданы векторы hello_html_m78e4b3b3.gif и hello_html_m30ff6a3d.gif, то

  • hello_html_2fe9f4eb.gif;

hello_html_2764bef6.gif;

  • hello_html_f4f8deb.gif.

Если k>0, то векторы hello_html_225b7ee4.gif и hello_html_1cf71417.gif имеют одинаковое направление; если k<0, то векторы противоположно направлены.

Пример №1. При каких значениях n и p векторы hello_html_m2502b3d7.gif и hello_html_6a986f80.gif коллинеарны?

Решение:

Используя отношения соответствующих координат, имеем:

hello_html_m125be621.gif, hello_html_6476c1f6.gif.

Следовательно, векторы коллинеарны при hello_html_m6a36a337.gif.

6. Длина вектора. Длина вектора hello_html_225b7ee4.gif (расстояние между двумя точками) вычисляется по формуле hello_html_7e7a881b.gif или hello_html_616a3115.gif.

Пример №2. Вычислить длину вектора hello_html_me0d546.gif, если hello_html_m12589636.gif, hello_html_4b44a276.gif.

Решение:

Найдем координаты вектора hello_html_57411012.gif.

По формуле вычисления длины вектора найдем длину вектора hello_html_me0d546.gif: hello_html_m2ce8f4b9.gif.

7. Скалярное произведение двух векторов.

  • Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

hello_html_41f4ae55.gif.

  • Скалярным квадратом вектора hello_html_225b7ee4.gif называется скалярное произведение hello_html_m139459f2.gif. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: hello_html_7631544d.gif.

  • Скалярное произведение векторов hello_html_m78e4b3b3.gif и hello_html_m30ff6a3d.gif, заданных своими координатами, находится по формуле hello_html_5a733ae0.gif.

  • Условие перпендикулярности векторов hello_html_m78e4b3b3.gif и hello_html_m30ff6a3d.gif имеет вид

hello_html_5a897641.gif.

  • Угол между векторами hello_html_m78e4b3b3.gif и hello_html_m30ff6a3d.gif вычисляется по формуле

hello_html_m63353857.gif.

Пример №3. Проверить, перпендикулярны ли векторы hello_html_m9d1b21.gif и hello_html_700ee2e6.gif.

Решение:

По условию перпендикулярности векторов находим: hello_html_7c6f0ca9.gif, т.е. hello_html_56dea2df.gif.

Пример №4. Найти скалярное произведение векторов hello_html_9e4c046.gif и hello_html_m28e9fe91.gif.

Решение:

По формуле скалярного произведения векторов, заданных своими координатами, находим hello_html_216887a3.gif.

Ответ: 23.

Пример №5. Даны векторы hello_html_29f9c7ef.gif и hello_html_m2c629b67.gif. Найти hello_html_70a93fe5.gif.

Решение:

Найдем координаты вектора hello_html_7e328c8e.gif:

hello_html_78e076a9.gif. По формуле вычисления угла между векторами получим

hello_html_7f8a3662.gif

Ответ: hello_html_70a93fe5.gif=hello_html_m3d5b52c9.gif.

Пример №6. Векторы hello_html_225b7ee4.gif и hello_html_1cf71417.gif образуют угол hello_html_65aed029.gif. Зная, что hello_html_3f9fe51e.gif, вычислить hello_html_19eaf933.gif.

Решение:

Используя формулы скалярного произведения векторов hello_html_41f4ae55.gif и скалярного квадрата вектора hello_html_7631544d.gif, получим

hello_html_m9f66448.gif

Ответ: hello_html_19eaf933.gif=81.



Порядок выполнения работы

  1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

  2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

  3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:


Вариант 1


Задание №1. Дано hello_html_6b12a4ee.gif и hello_html_m759869e1.gif. Найти длину вектора hello_html_208c9e4f.gif.

Задание №2. Будет ли вектор hello_html_m1493796f.gif перпендикулярен вектору hello_html_10ada97e.gif?

Задание №3. При каких значениях m и n вектор hello_html_66aff081.gif будет коллинеарен вектору hello_html_m1a2f4ebd.gif?

Задание №4. Найти hello_html_8cb8a9c.gif, если hello_html_m65da3922.gif; hello_html_4b44a276.gif.

Задание №5. Найти скалярное произведение hello_html_m293f52f6.gif, если hello_html_m51b80634.gif; hello_html_3990b94e.gif.

Задание №6. Найти скалярное произведение, hello_html_mf211fb1.gif, если hello_html_41af2ce7.gif; hello_html_m36929cde.gif.


Вариант 2


Задание №1. Дано hello_html_5d9fedee.gif и hello_html_6a848350.gif. Найти длину вектора hello_html_m7641bdd5.gif.

Задание №2. Будет ли вектор hello_html_m70b9da4c.gif перпендикулярен вектору hello_html_m40700c33.gif?

Задание №3. При каких значениях hello_html_m17c0599a.gif и hello_html_m7e91be2b.gif вектор hello_html_m3ca52945.gif будет коллинеарен вектору hello_html_m28bd1619.gif?

Задание №4. Найти hello_html_8cb8a9c.gif, если hello_html_m3f870fe2.gif; hello_html_26190a3b.gif.

Задание №5. Найти скалярное произведение hello_html_2d93c192.gif, если hello_html_75f380cc.gif; hello_html_m7fdbd268.gif.

Задание №6. Найти скалярное произведение, hello_html_mee34b2c.gif, если hello_html_7c762bee.gif; hello_html_m556095a2.gif.


Вариант 3


Задание №1. Дано hello_html_1df25300.gif. Найти длину вектора hello_html_m36c80b3e.gif.

Задание №2. Будет ли вектор hello_html_748e644e.gif перпендикулярен вектору hello_html_3a59d8e4.gif?

Задание №3. При каком значении hello_html_m7e91be2b.gif вектор hello_html_m60faf597.gif будет коллинеарен вектору hello_html_md2ff41d.gif?

Задание №4. Найти hello_html_7aecac26.gif, если hello_html_4b3a3fe4.gif; hello_html_m2e363760.gif.

Задание №5. Найти скалярное произведение hello_html_7ce7a19c.gif, если hello_html_m245303ad.gif; hello_html_5db7cc5f.gif.

Задание №6. Найти скалярное произведение, hello_html_5cf0e042.gif, если hello_html_m13a096f9.gif; hello_html_5997b14a.gif.



  • При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Пример №2 (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №3 (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Пример №1 (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Пример №5 (см методические рекомендации)

  • При выполнении заданий №5, 6 необходимо обратить внимание на Примеры №4, 6 (см методические рекомендации)

  1. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

  1. Записать тему, цели работы.

  2. Выполнить задания №№1 –6 (сделать вывод по работе).

  3. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - любые четыре задания

«4» - любые пять заданий

«5» - все задания

Список литературы:

  1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

  3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.




Практическая работа


Вычисление пределов функции

Цели работы: 1. Закрепить полученные знания, умения и навыки в процессе изучения раздела «Функции их свойства и графики».

2. Проверить степень усвоения знаний и сформированности умений при вычислении пределов функции.

Оборудование: Плакаты (свойства функции, формулы сокращенного умножения).

Справочный материал

Определение. Число А называется пределом функции f(x) в точке hello_html_m62a00377.gifhello_html_m62c149a7.gifи обозначается hello_html_121e106d.gif, если для любого числа hello_html_2fccc510.gifсуществует число hello_html_m5a54d1ec.gif такое, что для всех х, удовлетворяющих условию hello_html_6c34700b.gif, выполняется неравенство hello_html_47d2e1ca.gif.

При вычислении пределов функции используются теоремы.

Теорема 1. Если существуют пределы функций hello_html_m2374551a.gif, то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций hello_html_m220b131b.gif:

hello_html_m49b965d5.gif.

Теорема 2. Если существуют пределы функций hello_html_m2374551a.gif, то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций hello_html_m220b131b.gif: hello_html_7a7adfc6.gif.

Теорема 3. Если существуют пределы функций hello_html_m2374551a.gif, предел функции hello_html_m35f909c5.gif, то существует также предел отношения hello_html_6bb24a3f.gif, равный отношению пределов функций hello_html_m220b131b.gif: hello_html_mfd2f83b.gif.

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: hello_html_m4facc96b.gif.

Следствие 2. Предел разности равен разности пределов: hello_html_m34891d8b.gif.

Следствие 3. Если n – натуральное число, то справедливы соотношения:

hello_html_m3bba9a7e.gif.

Следствие 4. Предел многочлена (целой рациональной функции) при hello_html_m344ec03b.gif равен значению этого многочлена при х=а, т.е. hello_html_m57873402.gif.


Приемы вычисления пределов.


  1. Предел многочлена.

Пример №1.

hello_html_m2626e9c3.gif

2) Предел отношения двух многочленов, hello_html_6ebc56f0.gif.

а) Если hello_html_2ac628fb.gif, то можно применить теорему о пределе частного:

Пример №2. hello_html_6443c34f.gif.

б) Если hello_html_4592e1cf.gif, то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда, если hello_html_m52cab3e.gif, то hello_html_1541fec.gif; если же hello_html_19e3bf6a.gif- имеем неопределенность вида hello_html_m7422bafc.gif. В этом случае предел hello_html_m81d2f8b.gif можно вычислить разложением многочленов hello_html_m220b131b.gifна множители.

Пример №3.

hello_html_m73c2310b.gif

3) Предел отношения двух многочленов, hello_html_78a8e393.gif.

Пример №4.

hello_html_11ec6573.gif

(при hello_html_514a3200.gif величины hello_html_25b9a709.gif, hello_html_m16f86b26.gif, hello_html_m70caa294.gif, hello_html_3305826e.gif, hello_html_m1b2647d7.gif, hello_html_21872221.gif - бесконечно малые и их пределы равны нулю).

Пример №5. hello_html_7dd885cc.gif

Пример №6. hello_html_mc79ad7b.gif

4) Пределы иррациональных функций.


Пример №7. hello_html_6b54bb09.gifтеорему о пределе частного применить нельзя. Умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, получимhello_html_26b7a8fa.gif5) Применение замечательных пределов.

hello_html_m62a00377.gifhello_html_m3d7ff72d.gif.

Пример №8. hello_html_m3e44a0f2.gif Заменяя hello_html_m77103c75.gif и учитывая, что hello_html_m4c481954.gif получаем: hello_html_3b81dda1.gif

Пример №9.hello_html_m6f4c5fdf.gif

Заменяя hello_html_39662bf6.gif и учитывая, что hello_html_1e41727.gif получаем:

hello_html_m2f99b569.gif




Порядок выполнения работы

  1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

  2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

  3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3


Вычислить предел функции:


hello_html_m1bc33500.gifhello_html_m5f9d3604.gif

  • При выполнении задания №1 необходимо использовать:

- формулы сокращенного умножения: сумма (разность) кубов, разность квадратов;

- теоремы о пределах (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №3 (см методические рекомендации) и использовать:

- формулу разложения квадратного трехчлена на множители hello_html_m46ddb49e.gif, где hello_html_67f2de71.gif и hello_html_60e503fe.gif корни квадратного уравнения hello_html_m56216aeb.gif;

- теоремы о пределах (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Примеры №№4-6 (см методические рекомендации) и использовать:

- теоремы о пределах (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Пример №7 (см методические рекомендации) и использовать:

- теоремы о пределах (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Пример №9 (см методические рекомендации) и использовать:

- теоремы о пределах (см. методические рекомендации).

  1. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Перечислите теоремы и следствия из них, на которых основаны вычисления пределов функций в Ваших заданиях.

2). Что представляет собой число е?

  1. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

  1. Записать тему, цели работы.

  2. Выполнить задания №№1 – 5 (сделать вывод по работе).

  3. Ответить на контрольные вопросы.

  4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.




Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания


Список литературы:

  1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

  3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005



Практическая работа


Вычисление значений степенных, показательных и логарифмических выражений

Цели работы: 1. Сформировать умения и навыки действий над выражениями, содержащими степени и логарифмы.

2. Проверить степень усвоения знаний и сформированности умений применения свойств степеней и формул логарифмирования при вычислении значений выражений.

Оборудование: Плакаты (степень и ее свойства, логарифм и его свойства).


Справочный материал

  1. Степень с натуральным показателем.

Степенью числа а с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равен а: hello_html_m3c0da5b7.gif.


Свойства степени:

hello_html_m2ac9234b.gif


Пример1. hello_html_m7ee2dae4.gif

Пример №2. Вычислить:

hello_html_m4f04b921.gif

  1. Степень с целым показателем. Степенью числа а с целым показателем z называется:hello_html_m3f02a3fe.gif

Свойства степени:

hello_html_m5e066283.gif те же, что и свойства степени с натуральным показателем.

hello_html_m4c72c9ec.gif

Пример №3. Вычислить: hello_html_mfad5d4e.gif.

Пример №4. Вычислить:

hello_html_md0729d9.gif

  1. Степень с рациональным показателем.

  • Степенью числа а с рациональным показателем hello_html_m78007fd5.gif называется корень n степени из числа а в степени m: hello_html_m7dd5af16.gif.

Пример №5. Вычислить:

hello_html_40ec05b.gif

Свойства арифметических корней:

hello_html_m869b77b.gif hello_html_m1251074b.gif hello_html_62959ee7.gif

hello_html_1623f1b.gif hello_html_20a98772.gif hello_html_m1a852b1.gif

hello_html_m72e73bc4.gif hello_html_7583591.gif hello_html_3d171436.gif

Пример №6. Вычислить:

hello_html_1ec74c41.gif.

Пример №7. Вычислить:

hello_html_79770ab.gif

  1. Логарифм числа.

  • Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени n, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b:

hello_html_m357bd9dc.gif.

  • Основное логарифмическое тождество: hello_html_62226ae5.gif.

Примеры №№8-10. Вычислить:

8. hello_html_m18650d98.gif №9. hello_html_m712554df.gif №10. hello_html_m7950829b.gif

  • Если основание логарифма равно 10, то логарифм называется десятичным:

hello_html_m3fc288d5.gif.

  • Если а=е, где hello_html_m45a4e5d8.gifто hello_html_62c3d0e6.gif называется натуральным логарифмом.

Логарифмические тождества:

  1. hello_html_e6beda9.gif 2. hello_html_m1d9f9f0.gif

  1. hello_html_m10aa0271.gif 4. hello_html_m4b694bae.gif

hello_html_m56d023e9.gif 6. hello_html_65f0cac2.gif

hello_html_9248d6d.gif 8. hello_html_m2d838952.gif

hello_html_6f650f12.gif формула перехода к новому основанию.


Пример №11. Вычислить:

hello_html_53cf14a0.gif


Пример №12. Вычислить:

hello_html_m6bed936d.gif

Пример №13. Вычислить:

hello_html_m61a2a32e.gif.



  • Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.

  • Потенцирование – это действие, обратное логарифмированию.


Пример №14. Прологарифмировать выражение:

а) hello_html_467f21bd.gif.

Решение:

hello_html_m4fd3efb0.gif.

б) hello_html_m279a338a.gif. Решение:

hello_html_541a7907.gif


Пример №15. Пропотенцировать выражение:

а) hello_html_m15d30a02.gif

б) hello_html_7bbec7b6.gif.



Порядок выполнения работы

  1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

  2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

  3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:


Вариант 1

Задание №1. Вычислить hello_html_m6b59d922.gif.

Задание №2. Вычислить: а) hello_html_m5b45e1cc.gif; б) hello_html_346b1ebb.gif; в) hello_html_m46b0954e.gif.

Задание №3. Прологарифмировать выражение hello_html_m767dbfd4.gif.

Задание №4. Найти х, если hello_html_5fcdc483.gif.


Вариант 2


Задание №1. Вычислить hello_html_m1041493d.gif.

Задание №2. Вычислить: а) hello_html_m624c3f7.gif; б) hello_html_m3f84b61c.gif; в) hello_html_76a11230.gif.

Задание №3. Прологарифмировать выражение hello_html_656f4ec7.gif.

Задание №4. Найти х, если hello_html_60ed5a40.gif.


Вариант 3


Задание №1. Вычислить hello_html_m561d2fe9.gif.

Задание №2. Вычислить: а) hello_html_425867d.gif; б) hello_html_3d3e1766.gif; в) hello_html_2de4a875.gif.

Задание №3. Прологарифмировать выражение hello_html_m125d1e61.gif.

Задание №4. Найти х, если hello_html_m27768a55.gif.



  • При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Примеры №№1-5 и свойства степеней (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Примеры №№11-13 и логарифмические тождества (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Пример №14 и логарифмические тождества (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Пример №15 и логарифмические тождества (см методические рекомендации)

  1. Ответьте на контрольный вопрос:

1). Сформулируйте основное логарифмическое тождество.

  1. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

  1. Записать тему, цели работы.

  2. Выполнить задания №№1 – 4 (сделать вывод по работе).

  3. Ответить на контрольный вопрос.

  4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.


Критерии оценки:

«3» - задания №1, №3 или №1, №4

«4» - задания №№1-3

«5» - все задания

Список литературы:

  1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

  3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005


Практическая работа


Решение показательных уравнений и неравенств

Цель работы: Сформировать умения и навыки решения простейших показательных уравнений и неравенств.

Оборудование: Плакаты (степень и ее свойства, логарифм и его свойства, графики показательной и логарифмической функций).


Справочный материал

  1. Показательные уравнения.

    • Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

    • При решении показательных уравнений вида hello_html_m11b0814.gif используется следующее свойство: hello_html_75881176.gif.


Методы решения показательных уравнений


  1. Способ уравнивания оснований

Пример №1. Решить уравнение: hello_html_33222354.gif.

Решение:

По определению нулевого показателя получим: hello_html_m5b9801fa.gif.

По свойству показательных уравнений: hello_html_m5fe7a02c.gif

Ответ: 3; 4.

Пример №2. Решить уравнение: hello_html_m362deaba.gif.

Решение:

hello_html_m78a98d71.gifОтвет: 2.

Пример №3. Решить уравнение: hello_html_m4aad78d8.gif.

Решение:

hello_html_c53ac6.gifОтвет: 4.

  1. Логарифмирование обеих частей уравнения. Применение основного логарифмического тождества.

Пример №4. Решить уравнение: hello_html_m57b006fd.gif.

Решение:

Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 10, получим

hello_html_7092b6b8.gifОтвет: hello_html_m5fa1f585.gif.

Пример №5. Решить уравнение: hello_html_meb7ba4c.gif.

Решение:

Логарифмируя обе части уравнения по основанию 3, получим:

hello_html_m3ee8b232.gif

Ответ: hello_html_5d0bd4b7.gif.

  1. Преобразование к квадратному уравнению.

Пример №6. Решить уравнение: hello_html_m550bf503.gif.

Решение:

hello_html_m70e87464.gif. Введем замену hello_html_191e4414.gif. Решим квадратное уравнение относительно переменной у:

hello_html_m1b64b3df.gif

Ответ: 1.

Пример №7. Решить уравнение: hello_html_m5b3e8f5c.gif.

Решение:

hello_html_40bc458e.gif

Введем замену hello_html_447b11f2.gif. Решим квадратное уравнение относительно переменной у:

hello_html_m52bc7d72.gif

Ответ: hello_html_66ed1318.gif.

  1. Способ группировки.

Пример №8. Решить уравнение: hello_html_m4d63d817.gif.

Решение:

hello_html_m796c684a.gifОтвет: hello_html_274e1f77.gif.

  1. Показательные неравенства.

    • Неравенства вида hello_html_1c2615ae.gif называются простейшими показательными неравенствами.

    • Имеют место следующие равносильные преобразования:

hello_html_26e46b34.gifhello_html_m7f3ec249.gifhello_html_m6d7dec7e.gif

Пример №9. Решить неравенство: hello_html_1c3f85d5.gif.

Решение:

hello_html_7c7bdd57.gif

Ответ: hello_html_m6e052d82.gif.

Пример №10. Решить неравенство: hello_html_m664118eb.gif.

Решение:


hello_html_6c89604b.gif

Ответ: hello_html_2e83c27d.gif.

Пример №11. Решить неравенство: hello_html_m6d57105b.gif.


Решение:

hello_html_m7bf4e017.gif

Ответ: hello_html_76773267.gif или hello_html_m1a19c848.gif.



Порядок выполнения работы

  1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

  2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

  3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:


Вариант 1


Задание №1. Решить уравнение: hello_html_766a9d91.gif.

Задание №2. Решить уравнение: hello_html_7d7ca4cd.gif.


Задание №3. Решить уравнение: hello_html_3d879306.gif.


Задание №4. Решить неравенство: hello_html_610313cd.gif.


Вариант 2


Задание №1. Решить уравнение: hello_html_7f0b8e.gif.

Задание №2. Решить уравнение: hello_html_22466d2d.gif.

Задание №3. Решить уравнение: hello_html_70f42dc9.gif.

Задание №4. Решить неравенство: hello_html_m5570d29a.gif.

Вариант 3


Задание №1. Решить уравнение: hello_html_m72ecf1b3.gif.


Задание №2. Решить уравнение: hello_html_m44c55706.gif.

Задание №3. Решить уравнение: hello_html_m67513025.gif.

Задание №4. Решить неравенство: hello_html_m27de42c0.gif.



  • При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Примеры №№1, 2 и свойства степеней (см. методические рекомендации, плакат «Степень и ее свойства»).

  • При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №3 (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Пример №6 (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Примеры №№9 - 11 и равносильные преобразования при решении показательных неравенств (см. методические рекомендации)

  1. Ответьте на контрольный вопрос:

1). Какие методы решения показательных уравнений использовались при выполнении практической работы?

  1. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

  1. Записать тему, цели работы.

  2. Выполнить задания №№1 – 4 (сделать вывод по работе).

  3. Ответить на контрольный вопрос.

  4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.


Критерии оценки:

«3» - любые два задания

«4» - любые три задания

«5» - все задания

Список литературы:

  1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

  3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

Практическая работа


Решение логарифмических уравнений и неравенств

Цель работы: Сформировать умения и навыки решения простейших логарифмических уравнений и неравенств.

Оборудование: Плакаты (степень и ее свойства, логарифм и его свойства, графики показательной и логарифмической функций).


Справочный материал

  1. Логарифмические уравнения.

  • Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма или в основании логарифма, называется логарифмическим.

  • При решении логарифмических уравнений вида hello_html_m2179a862.gif используется следующее свойство: hello_html_m3af9f2f9.gif.


Примеры решения логарифмических уравнений


Пример №1. Решить уравнение: hello_html_130e7fe.gif.

Решение:

Используя определение логарифма, и учитывая область определения, получим

hello_html_ma4d801a.gif

Ответ: 21.

Пример №2. Решить уравнение: hello_html_m1b1446dc.gif.

Решение:

hello_html_m72734d67.gif

Ответ: 64.

Пример №3. Решить уравнение: hello_html_74c12678.gif.

Решение:

Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получим

hello_html_49211648.gif

Решая полученное квадратное уравнение заменой hello_html_m76fc5ecd.gif, находим

hello_html_m47ad701a.gif

Ответ: 0,1; 100.


Пример №4. Решить уравнение: hello_html_m65cac3cb.gif.

Решение:

Здесь, hello_html_21dbc69.gif Используя формулу hello_html_421b12df.gif, преобразуем левую часть уравнения к основанию 3:

hello_html_28302a87.gif Таким образом,

hello_html_m1ae8e6ef.gifОтвет: hello_html_m22f84e01.gif


2. Логарифмические неравенства.

  • Неравенства вида hello_html_m555e662d.gif называются простейшими логарифмическими неравенствами.

  • Имеют место следующие равносильные преобразования:

hello_html_m27d0a91e.gif hello_html_m522c7d7f.gifhello_html_m4d518955.gif


Пример №5. Решить неравенство: hello_html_m2c284f94.gif.

Решение:

Используя равносильные преобразования, получим

hello_html_m62a00377.gifhello_html_m1bbde049.gif

Ответ: hello_html_m46b9fa76.gif.


Порядок выполнения работы

  1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

  2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

  3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:


Вариант 1


Задание №1. Решить уравнение: hello_html_m173b1184.gif.

Задание №2. Решить уравнение: hello_html_m2409c042.gif.

Задание №3. Решить уравнение: hello_html_m186d9ce1.gif.

Задание №4. Решить уравнение: hello_html_m6d1e25aa.gif.


Задание №5. Решить неравенство: hello_html_1448b60b.gif.


Вариант 2


Задание №1. Решить уравнение: hello_html_40d943e5.gif.


Задание №2. Решить уравнение: hello_html_48839a97.gif.

Задание №3. Решить уравнение: hello_html_32869599.gif.

Задание №4. Решить уравнение: hello_html_73d3968c.gif.


Задание №5. Решить неравенство: hello_html_724923.gif.


Вариант 3


Задание №1. Решить уравнение: hello_html_6de916b4.gif.

Задание №2. Решить уравнение: hello_html_m287ab122.gif.

Задание №3. Решить уравнение: hello_html_m38364cfb.gif.


Задание №4. Решить уравнение: hello_html_2d713476.gif.


Задание №5. Решить неравенство: hello_html_1c70757b.gif.


  • При выполнении заданий №1, 2 необходимо обратить внимание на Примеры №№1, 2 и свойства логарифмов (см. методические рекомендации, плакат «Логарифм и его свойства»).

  • При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Пример №4 и свойства логарифмов (см. методические рекомендации, плакат «Логарифм и его свойства»).

  • При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Пример №3 и свойства логарифмов (см. методические рекомендации, плакат «Логарифм и его свойства»).

  • При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Пример №5 и равносильные преобразования при решении логарифмических неравенств (см. методические рекомендации)

  1. Ответьте на контрольный вопрос:

1). Какие способы решения логарифмических уравнений и неравенства использовались при выполнении практической работы?

  1. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

  1. Записать тему, цели работы.

  2. Выполнить задания №№1 – 5 (сделать вывод по работе).

  3. Ответить на контрольный вопрос.

  4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.


Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания


Список литературы:

  1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

  3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

Практическая работа


Тождественные преобразования и вычисления тригонометрических выражений

Цель работы: Научиться пользоваться формулами при решении упражнений на тождественные преобразования, на вычисление значений тригонометрических функций.

Оборудование: Плакаты («Тригонометрические функции. Синус, косинус, тангенс, котангенс», «Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса», «Основные тригонометрические тождества», «Формулы сложения. Формулы суммы и разности синусов (косинусов)»)

Справочный материал

  1. Знаки, числовые значения и свойства четности и нечетности тригонометрических функций

Пример №1. Вычислить:

Решение:



.

Ответ: 2.

Пример №2. Какие знаки имеют: 1) cos150°; 2) sin320°; 3) tg220°; 4) ctg 400°?

Решение:

  1. 90°<150°<180° (II четверть); cos150°<0

  2. 270°<320°<360° (IV четверть); sin320°<0

  3. 180°<220°<270° (III четверть); tg220°>0

  4. 360°<400°<360°+90° (I четверть); ctg400°<0.



  1. Основные тригонометрические тождества:

; (1)

; (2)

; (3)

(4)

Пример №3. Дано: Вычислить: 1) ; 2) 3) .

Решение:

  1. По формуле (1) (перед радикалом стоит минус, так как во II четверти );

  2. По формуле

  3. По формуле (2) .


Пример №4. Дано: Вычислить: 1) ; 2) 3) .

Решение:

  1. По формуле (1) (перед радикалом стоит минус, так как в III четверти );

  2. По формуле

  3. По формуле (2) .


  1. Формулы приведения

Формулы приведения позволяют выразить тригонометрические функции углов через тригонометрические функции угла .

При применении формул приведения рекомендуется пользоваться следующими правилами:

  1. Если откладывается от оси OX, то наименование приводимой функции, т.е. функции аргумента —, , не изменяется. Если же откладывается от оси OY, то наименование приводимой функции, т.е. функции аргумента , заменяется на сходное (синус - на косинус, тангенс - на котангенс, и наоборот).

  2. Знак, с которым нужно брать тригонометрическую функцию в правой части, находится по знаку левой части в предположении, что 0 < <.

Пример №5. Составить формулу приведения для

Решение:

Так как откладывается от оси OY, то тангенс следует заменить на котангенс. Формула верна при всех допустимых значениях аргумента , следовательно, она верна и для 0 < <; но в этом случае дуга оканчивается в IV четверти, в которой тангенс отрицателен.

Значит, .


  1. Тригонометрические функции алгебраической суммы двух аргументов (формулы сложения)

;

;

;

;

;

;

;

.



Пример №6. Вычислить: , если

.

Решение:

Находим (перед радикалом стоит минус, так как в III четверти );

(перед радикалом стоит плюс, так как в IV четверти );

По формуле получим:

.


Пример №7. Вычислить: , если

.

Решение:

Из формулы имеем . Учитываем, что , находим , .

Аналогично находим и .

По формуле получаем:

.



Порядок выполнения работы

  1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

  2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

  3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:


Вариант 1


Задание №1. Вычислите .

Задание №2. Определите знак выражения .

Задание №3. Вычислите значения остальных тригонометрических функций угла , если и .

Задание №4. Упростите


Задание №5. Вычислите: , если

.



Вариант 2


Задание №1. Вычислите

Задание №2. Определите знак выражения

Задание №3. Вычислите значения остальных тригонометрических функций угла , если и

Задание №4. Упростите


Задание №5. Вычислите: , если

.


  • При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Пример №1 (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №2 (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Примеры №3,4 (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Примеры №5,1 (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Примеры №6,7 (см методические рекомендации)

  1. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Какие тригонометрические функции являются четными, и какие - нечетными?

2). Какие формулы называются формулами приведения?

  1. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

  1. Записать тему, цели работы.

  2. Выполнить задания №№1 – 5 (сделать вывод по работе).

  3. Ответить на контрольные вопросы.

  4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.


Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания

Список литературы:

  1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

  3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

Практическая работа


Преобразование графиков тригонометрических и обратных тригонометрических функций

Цель работы: Научиться строить графики тригонометрических функций с помощью простейших преобразований.

Оборудование: Плакаты («Графики функций синус и косинус. Преобразование графиков функций синус и косинус», «Графики функций тангенс и котангенс. Преобразование графиков функций тангенс и котангенс», «Арксинус, арккосинус и арктангенс»)

Справочный материал

  1. Преобразование амплитуды.

  • График функции hello_html_68254786.gif получается растяжением (сжатием) синусоиды hello_html_m3516bc1d.gif в hello_html_8707892.gif раз от оси абсцисс. Такое преобразование называется преобразованием амплитуды.

Пример №1. На Рис. 1 изображены графики функций:

hello_html_m7c1d6b4a.gif.



Рис. 1


  1. Преобразование – сдвиг фазы.

  • График функции hello_html_6e84cee8.gif получается параллельным переносом синусоиды hello_html_m3516bc1d.gif на величину hello_html_m17c0599a.gif:

      • вправо, если hello_html_m712c466c.gif;

      • влево, если hello_html_m2eafb093.gif.

Такое преобразование называется сдвигом фазы.

Рис. 2

Пример №2. На Рис. 2 изображен графики функции hello_html_55857cef.gif.
  1. Преобразование периода.

  • График функции hello_html_m4b48922.gif получается из графика функции hello_html_m3516bc1d.gif:

  • «сжатием» синусоиды вдоль оси абсцисс в hello_html_23d6d96e.gif раз;

      • «растяжением» синусоиды вдоль оси абсцисс в hello_html_f388254.gif раз.

Рис. 3

Такое преобразование называется преобразованием периода.


Пример №3. На Рис. 3 изображены графики функций:

hello_html_m4c14f17d.gif.


Пример №4. Построить график функции hello_html_m30f9a151.gif

Решение:

Преобразуем данную функцию следующим образом:

Рис. 4

hello_html_m1fb0aa0d.gif

График изображен на Рис. 4.



Порядок выполнения работы

  1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

  2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

  3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:


Вариант 1


Задание №1. Постройте график функции: hello_html_5f7c258b.gif

Задание №2. Постройте график функции: hello_html_m1b52cc60.gif

Задание №3. Постройте график функции: hello_html_73d340d2.gif

Задание №4. Постройте график функции: hello_html_m4624182d.gif

Задание №5. Постройте график функции: hello_html_m65be57b5.gif


Вариант 2


Задание №1. Постройте график функции: hello_html_34875f7e.gif

Задание №2. Постройте график функции: hello_html_75ebb7bb.gif

Задание №3. Постройте график функции: hello_html_4d8cdedf.gif

Задание №4. Постройте график функции: hello_html_m4bbb4a86.gif

Задание №5. Постройте график функции: hello_html_5ed3a472.gif


Вариант 3


Задание №1. Постройте график функции: hello_html_708d61da.gif

Задание №2. Постройте график функции: hello_html_3a2739c3.gif

Задание №3. Постройте график функции: hello_html_m197fd742.gif

Задание №4. Постройте график функции: hello_html_20b12e63.gif

Задание №5. Постройте график функции: hello_html_229e53cb.gif


  • При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Пример №1 (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №2 (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Пример №3 (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Пример №1 (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Пример №4 (см методические рекомендации) или воспользоваться формулой понижения степени тригонометрических функций.

  1. Ответьте на контрольный вопрос:

1). Перечислите преобразования, с помощью которых были построены графики заданных функций?

  1. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

  1. Записать тему, цели работы.

  2. Выполнить задания №№1 – 5 (сделать вывод по работе).

  3. Ответить на контрольный вопрос.

  4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.


Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания

Список литературы:

  1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

  3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

Практическая работа


Решение тригонометрических уравнений и неравенств

Цель работы: Сформировать умения и навыки решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Оборудование: Плакаты («Решение тригонометрических уравнений», «Решение тригонометрических неравенств», «Тригонометрические функции синус, косинус, тангенс и котангенс»)

Справочный материал

  1. Простейшие тригонометрические уравнения.

  • Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида hello_html_4241aa9a.gif, где m- данное число.

  • Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит, найти множество всех значений аргумента, при которых данная тригонометрическая функция принимает заданное значение m.



1) Уравнение hello_html_m33f28867.gif

hello_html_m2c1ae56a.gif

Частные случаи:

hello_html_32c7bbe1.gif

hello_html_m4527c578.gif

hello_html_19aaab04.gif

Пример №1. hello_html_m451a4e58.gif.

Решение:

hello_html_6deee0f0.gif

hello_html_322b35aa.gif

hello_html_m380f666d.gif

Ответ: hello_html_m380f666d.gif


2) Уравнение hello_html_30998478.gif

hello_html_2d366201.gif

Частные случаи:

hello_html_4c326aa4.gif

hello_html_m509907d7.gif

hello_html_m7ece4c16.gif

Пример №2. hello_html_67ced878.gif.

Решение:

hello_html_5b313f16.gif

hello_html_29f3d53d.gif

hello_html_3235ed46.gif

Ответ: hello_html_3235ed46.gif


3) Уравнение hello_html_mea9348e.gif

hello_html_72c24f01.gif

Частный случай:

hello_html_m6893d5c8.gif




Пример №3. hello_html_m7fb0a8ee.gif.

Решение:

hello_html_m6672bb77.gif

hello_html_m3358fed0.gif

Ответ: hello_html_m3358fed0.gif


4) Уравнение hello_html_m3cd42577.gif

hello_html_31c09809.gif

Частный случай:

hello_html_540a9f1.gif



Пример №4. hello_html_46a9964a.gif.

Решение:

hello_html_m7163bcb0.gif

Ответ: hello_html_m7163bcb0.gif


5) Уравнение hello_html_m1c1e1ef6.gif

6) Уравнение hello_html_5cc890b6.gif

7) Уравнение hello_html_m794323b4.gif

8) Уравнение hello_html_79e1ff35.gif


  1. Методы решения тригонометрических уравнений.

  1. Уравнения, сводящиеся к квадратным

  • Уравнение, являющееся или сводящееся к квадратному относительно одной тригонометрической функции, решается вначале как квадратное, а затем сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения.


Пример №5. Решить уравнение: hello_html_m5ddf248b.gif.

Решение:

hello_html_m5ec14a15.gifhello_html_m7692682d.gifhello_html_5da36299.gif

Ответ: hello_html_m34771e1a.gif


Пример №6. Решить уравнение: hello_html_m196d80a4.gif.

Решение:

Заменим hello_html_m62421eab.gif =>hello_html_m42197d48.gif

hello_html_m46942377.gif

hello_html_m1d819728.gif

hello_html_73f11bf9.gifhello_html_m625398d3.gifhello_html_m72a8be4f.gif

Ответ: hello_html_7625a466.gif, hello_html_m16f4082d.gif


  1. Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Пример №7. Решить уравнение: hello_html_475c2729.gif.

Решение:

ОДЗ: xhello_html_781ea5ac.gifhello_html_mdd50d3c.gif.

Разложим левую часть уравнения на множители: hello_html_181ade3d.gif

hello_html_7f822e9e.gifhello_html_1c87800.gifhello_html_m7d0d1571.gif

Ответ: hello_html_2295c40.gif.

Пример №8. Решить уравнение: hello_html_4195ea94.gif.

Решение:

ОДЗ: xhello_html_781ea5ac.gifhello_html_mdd50d3c.gif.

hello_html_501ea111.gifhello_html_m6d3586a9.gifhello_html_5a5ab682.gif

Ответ: hello_html_m573c8a19.gif.

  1. Однородные уравнения

  • Однородные уравнения - это тригонометрические уравнения, у которых левая часть является однородным многочленом относительно hello_html_1a941054.gifи hello_html_m66ee7bb1.gif, имеющих одну и ту же степень, а правая часть равна нулю. Такие уравнения сводятся к уравнениям относительно hello_html_m7235aab7.gif.

Пример №9. Решить уравнение: hello_html_444eacbc.gif.

Решение:

Разделим обе части уравнения на hello_html_m259bc6b9.gif. Получим:

hello_html_738f748b.gif

Ответ: hello_html_m127a4184.gif.


Пример №10. Решить уравнение: hello_html_7b680866.gif.

Решение:

Умножив свободный член на hello_html_m1c27b951.gifполучим:

hello_html_m544f0668.gif

Ответ: hello_html_m298448b1.gif.

  1. Уравнение вида: hello_html_48875b56.gifhello_html_16d4c0cb.gif.

Рассмотрим частный случай: hello_html_41413834.gif.

  • Уравнение hello_html_m512a5e85.gif решается делением обеих частей уравнения на hello_html_1a941054.gif или hello_html_m66ee7bb1.gif, т.к. hello_html_1a941054.gif и hello_html_m66ee7bb1.gif не могут быть одновременно равны нулю, потому что они связаны соотношением hello_html_2a037c37.gif В результате получается уравнение, равносильное данному.

Пример №11. Решить уравнение: hello_html_m13470b1a.gif.

Решение:

Разделим обе части уравнения на hello_html_45660f6b.gif:

hello_html_dbbd5b3.gifhello_html_4efafa5b.gifhello_html_6731a008.gif.

Ответ: hello_html_47b0de0.gif.


  1. Тригонометрические неравенства.

  • Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства видаhello_html_7f4d2723.gifгде m-данное число.

  • Решить простейшее тригонометрическое неравенство - значит найти множество значений аргумента (углов), которые обращают данное неравенство в верное числовое неравенство.

Пример №12. Решить неравенство: hello_html_m25af395b.gif.

Решение:

Рис.1

Учитывая свойство ограниченности синуса, данное неравенство можно переписать так: hello_html_m702dedce.gif. Неравенству hello_html_m25af395b.gif удовлетворяют дуги из промежутка hello_html_70377aa6.gif(см. Рис.1). В силу периодичности синуса общим решением служит множество дуг вида hello_html_m7ab99509.gif


Пример №13. Решить неравенство: hello_html_mc3c4c30.gif.

Решение:

Перепишем данное неравенство так: hello_html_m51bf90b1.gif. Неравенству hello_html_mc3c4c30.gif удовлетворяют дуги из промежутка hello_html_609efc44.gif(см. Рис.2). Общим решением служит множество дуг вида hello_html_43147c79.gif

Рис.2




Пример №14. Решить неравенство: hello_html_m49868d41.gif.

Решение:

Учитывая свойство неограниченности котангенса, имеем hello_html_m18d67023.gif. Неравенству hello_html_m49868d41.gif удовлетворяют дуги из промежутка hello_html_25112853.gif(см. Рис.3). Общим решением служит множество дуг вида hello_html_m432d9e32.gif

Рис.3



Порядок выполнения работы

  1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

  2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

  3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:


Вариант 1


Задание №1. Решите уравнение: hello_html_m23136986.gif.

Задание №2. Решите уравнение: hello_html_m3c8ebcc6.gif.

Задание №3. Решите уравнение: hello_html_f601d96.gif.

Задание №4. Решите уравнение: hello_html_m33de240d.gif.

Задание №5. Решите неравенство: hello_html_m442d1d32.gif.

Вариант 2

Задание №1. Решите уравнение: hello_html_m7ec77560.gif.

Задание №2. Решите уравнение: hello_html_m472c6a26.gif.

Задание №3. Решите уравнение: hello_html_5de4962.gif.

Задание №4. Решите уравнение: hello_html_576a03d5.gif.

Задание №5. Решите неравенство: hello_html_m421eb275.gif.


  • При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Пример №2 (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №1 (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Пример №7 (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Пример №9 (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Примеры №12, 14 (см методические рекомендации)

  1. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Какие тригонометрические уравнения называются простейшими?

2). Что понимается под решением тригонометрического уравнения?

3). Перечислите основные способы решения тригонометрических уравнений.

  1. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

  1. Записать тему, цели работы.

  2. Выполнить задания №№1 – 5 (сделать вывод по работе).

  3. Ответить на контрольные вопросы.

  4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.


Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания

Список литературы:

  1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

  3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005

Практическая работа


Вычисление производной функции

Цель работы: Закрепить умения и навыки нахождения производных функций.

Оборудование: Плакат (свойства функции). Стенды (таблица производных, формулы дифференцирования).


Справочный материал

Определение. Производной функции hello_html_m4ad4c98a.gif называется предел отношения приращения функции hello_html_m1b7d27cc.gif к приращению аргумента hello_html_m24efa840.gif при hello_html_150b1621.gif: hello_html_8152fcf.gif.


Формулы дифференцирования


1. Производная постоянной равна 0:hello_html_9f72877.gif.

2. Производная алгебраической суммы функций равна сумме производных этих функций:

hello_html_m5bbfceb4.gif

3. Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и производной второй функции на первую: hello_html_55f7dcf7.gif.

Частный случай: hello_html_m353d9838.gif.

4. Производная частного равна hello_html_ma24ce59.gif

Частные случаи: hello_html_m2e2f9f33.gif

5. Производная сложной функции: hello_html_m54d378ff.gif.

6. Производная степени: hello_html_706ef53.gifЧастный случай: hello_html_6bffff60.gif.

7. Производная корня: hello_html_m72a136c7.gif.

8. hello_html_m76cad18b.gif. 15. hello_html_m7eedf9af.gif.

9.hello_html_m45825b0a.gif. 16.hello_html_716b2470.gif.

10. hello_html_m5c21e1cb.gif. 17. hello_html_a0d8fbb.gif.

11. hello_html_7770681.gif. 18.hello_html_m7e4e37d2.gif.

12. hello_html_7c58647c.gif. 19. hello_html_m27b27bb.gif.

13.hello_html_m27a8d302.gif20.hello_html_m35f3a2b6.gif

14. hello_html_161f17f5.gif.

Примеры. Найти производные функций:


Пример №1. hello_html_42e082e3.gif.

Решение:

Преобразуем данную функцию следующим образом:

hello_html_7e721dc8.gif

Находим

hello_html_m11d56b5f.gif


Пример №2. hello_html_1780bc94.gif

Решение:

hello_html_m2fe05e85.gif


Пример №3. hello_html_m6c6b06c4.gif

Решение:

hello_html_m74d19414.gif


Пример №4. hello_html_48b0ba95.gif

Решение:

hello_html_3795e943.gif


Пример №5. hello_html_2cc48ec9.gif

Решение:

hello_html_m3bef1227.gif


Пример №6. hello_html_361fb7fe.gif


Решение:

Преобразуем данную функцию следующим образом:

hello_html_14c9bc4d.gif

Находимhello_html_2067caf5.gif


Порядок выполнения работы

  1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

  2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

  3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1


Найти производную функции при данном значении аргумента:


hello_html_m62a00377.gifhello_html_5ed7bff7.gif




Вариант 2


Найти производную функции при данном значении аргумента:


hello_html_3a6029a9.gif



Вариант 3


Найти производную функции при данном значении аргумента:


hello_html_m62a00377.gifhello_html_m62b31533.gif


  • При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Пример №1 (см. методические рекомендации) и использовать:

- формулы дифференцирования 1, 2, 3, 6, 8 (см. методические рекомендации);

- определение степени с дробным показателем hello_html_m9cb4537.gif.

  • При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №2 (см методические рекомендации) и использовать:

- формулы дифференцирования 1, 2, 3, 5, 6, 7 (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Пример №5 (см методические рекомендации) и использовать:

- формулы дифференцирования 1, 2, 4, 6, 7 (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Примеры №№3, 4 (см методические рекомендации) и использовать:

- формулы дифференцирования 14, 9, 10, 2 (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Пример №6 (см методические рекомендации) и использовать:

- свойства логарифмов: hello_html_30b0568e.gif;

- формулы дифференцирования 15, 4, 6, 1, 2 (см. методические рекомендации).

  1. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Какую функцию называют сложной? Приведите примеры сложных функций.

2). Как вычисляется производная сложной функции?

  1. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

  1. Записать тему, цели работы.

  2. Выполнить задания №№1 – 5 (сделать вывод по работе).

  3. Ответить на контрольные вопросы.

  4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.


Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания


Список литературы:

  1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

  3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.








Практическая работа


Приложения производной: решение прикладных задач

Цели работы: 1. Закрепить полученные знания, умения и навыки в процессе изучения раздела «Дифференциальное исчисление».

2. Проверить степень усвоения знаний и сформированности умений при решении заданий на приложения производной функции.

Оборудование: Плакат (свойства функции). Стенды (таблица производных, формулы дифференцирования).

Справочный материал

  1. Физические приложения производной.

    • При прямолинейном движении точки скорость V в данный момент времени t равна производной от пути S по времени t: hello_html_m2a192109.gif.

    • Ускорение а в данный момент времени t равно производной от скорости V по времени t: hello_html_m59d3344f.gif.

Пример №1. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_3377e61b.gif. Найти величину скорости и ускорения в момент времени hello_html_m762155a0.gif.

Решение:

Скорость движения точки в любой момент времени t: hello_html_49ac15f3.gif.

Тогда скорость движения точки в момент hello_html_7f6ea0fe.gif: hello_html_m532cfb69.gif.

Ускорение движения точки в любой момент времени t: hello_html_1a86d2db.gif.

Тогда ускорение движения точки в момент времени hello_html_7f6ea0fe.gif: hello_html_1d3a46f9.gif.

  1. Геометрические приложения производной.

    • Геометрический смысл производной: производная функции hello_html_m4ad4c98a.gif в точке hello_html_m62c149a7.gif равна угловому коэффициенту k касательной, проведенной к графику функции hello_html_m4ad4c98a.gif в этой точке hello_html_m62c149a7.gif: hello_html_6b82ef62.gif.


Алгоритм составления уравнения касательной

к кривой hello_html_m4ad4c98a.gif в точке с абсциссой hello_html_m62c149a7.gif.

  1. Найти значение функции в точке hello_html_m62c149a7.gif,т.е. hello_html_77001701.gif (подставить в уравнение кривой значение абсциссы hello_html_m62c149a7.gif).

  2. Найти производную функции hello_html_3a487267.gif и вычислить ее значение в точке hello_html_m62c149a7.gif, т.е. hello_html_m55bbaa63.gif.

  3. Подставить в уравнение касательной hello_html_m42d82fb7.gif найденные значения hello_html_m40fcdb91.gif и значение абсциссы точки hello_html_m62c149a7.gif и привести уравнение к виду hello_html_mdb792fa.gif.


Пример №2. К параболе hello_html_7feaf70e.gif в точке hello_html_m1df5b19e.gif проведена касательная. Составить ее уравнение.

Решение:

  1. Найдем hello_html_77001701.gif: hello_html_7a8b2e42.gif.

  2. Найдем hello_html_3a487267.gif: hello_html_4d34ab1b.gif. Вычислим значение hello_html_m55bbaa63.gif: hello_html_m23a0a846.gif.

  3. Подставим найденные значения hello_html_m40ef2667.gif и значение hello_html_m1df5b19e.gif в уравнение касательной: hello_html_m2313fee0.gif.


  1. Исследование функций с применением производной.

      1. Возрастание и убывание функции: если в некотором промежутке hello_html_79d9e109.gif, то функция возрастает в этом промежутке; если же hello_html_m7bde815.gif, то функция убывает в этом промежутке.

      2. Признаки максимума и минимума функции.

        • Точка hello_html_m62c149a7.gif является точкой максимума функции hello_html_m4ad4c98a.gif, если: hello_html_40e70e50.gif и hello_html_12f68e4f.gif при переходе аргумента через hello_html_m62c149a7.gif меняет знак с (+) на (-).

        • Точка hello_html_m62c149a7.gif является точкой минимума функции hello_html_m4ad4c98a.gif, если: hello_html_40e70e50.gif и hello_html_12f68e4f.gif при переходе аргумента через hello_html_m62c149a7.gif меняет знак с (-) на (+).

        • Точки максимума (max) и минимума (min) функции называются точками экстремума.


Правило исследования функции hello_html_m4ad4c98a.gif на экстремум:

1. Найти производную hello_html_12f68e4f.gif.

2. Приравнять ее нулю и найти критические точки hello_html_m62c149a7.gif функции hello_html_m4ad4c98a.gif.

3. Исследовать знак производной hello_html_12f68e4f.gif в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции hello_html_m4ad4c98a.gif.

4. Критическая точка hello_html_m62c149a7.gif - точка максимума, если производная меняет знак с (+) на (-) при переходе через точку hello_html_m62c149a7.gif.

5. Критическая точка hello_html_m62c149a7.gif - точка минимума, если производная меняет знак с (-) на (+) при переходе через точку hello_html_m62c149a7.gif. Если в промежутках, разделенных критической точкой hello_html_m62c149a7.gif, знак производной не меняется, то точка hello_html_m62c149a7.gif экстремума не имеет.

6. Вычислить значения функции в точках экстремума.


      1. Направление выпуклости графика функции.

        • Кривая hello_html_m4ad4c98a.gif называется выпуклой вниз в промежутке a<x<b, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

        • Кривая hello_html_m4ad4c98a.gif называется выпуклой вверх в промежутке a<x<b, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

        • Если в некотором промежутке hello_html_5091c7ca.gif, то кривая выпукла вниз; если hello_html_906bacb.gif, то кривая выпукла вверх.

      2. Точки перегиба.

        • Точка перегиба – это точка графика функции hello_html_m4ad4c98a.gif, разделяющая промежутки противоположных направлений.

        • Если при переходе через критическую точку вторая производная hello_html_m6fc2269b.gif меняет знак, то график функции имеет точку перегиба hello_html_m37929581.gif.


Правило нахождения точек перегиба графика функции hello_html_m4ad4c98a.gif:

1. Найти вторую производную hello_html_m6fc2269b.gif.

2. Найти критические точки функции hello_html_m4ad4c98a.gif, в которых hello_html_m6fc2269b.gif обращается в ноль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак второй производной hello_html_m6fc2269b.gif в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции hello_html_m4ad4c98a.gif. Если при этом критическая точка hello_html_m62c149a7.gif разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то hello_html_m62c149a7.gif является абсциссой точки перегиба функции.

4. Вычислить значения функции в точках перегиба.


Общая схема построения графиков функций, представленных в виде многочлена:

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить, обладает ли функция свойствами четности, нечетности, периодичности.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это не вызывает затруднений).

4. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

5. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.

6. Вычислить координаты нескольких промежуточных точек.

7. Построить график функции.


Порядок выполнения работы

  1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

  2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

  3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1


1. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением hello_html_m2d2ff840.gif. Вычислить ее скорость и ускорение в момент времени hello_html_12d01d33.gif.

2. Составить уравнение касательной к параболе hello_html_1c54b2a9.gif в точке с абсциссой hello_html_m4b88a7ff.gif.

3. Найти промежутки возрастания и убывания функции hello_html_m6b9e2507.gif.

4. Исследовать на экстремум и точки перегиба кривую hello_html_m45a5fd4a.gif. Построить схематический график функции.



Вариант 2


1. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением hello_html_7d66e4b0.gif. Вычислить ее скорость и ускорение в момент времени hello_html_1994f09c.gif.

2. Составить уравнение касательной к параболе hello_html_5f1e4804.gif в точке с абсциссой hello_html_m34604639.gif.

3. Найти промежутки возрастания и убывания функции hello_html_6aa65ce6.gif.

4. Исследовать на экстремум и точки перегиба кривую hello_html_m3ee9f443.gif. Построить схематический график функции.

Вариант 3


1. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением hello_html_m2338c602.gif. Вычислить ее скорость и ускорение в момент времени hello_html_31b20413.gif.

2. Составить уравнение касательной к параболе hello_html_m90739a4.gif в точке с абсциссой hello_html_47595f4c.gif.

3. Найти промежутки возрастания и убывания функции hello_html_5774e9cd.gif.

4. Исследовать на экстремум и точки перегиба кривую hello_html_608efbda.gif. Построить схематический график функции.


  • При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Пример №1 (см. методические рекомендации) и использовать:

- физические приложения производной (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №2 (см методические рекомендации) и использовать:

- Алгоритм составления уравнения касательной к кривой hello_html_m4ad4c98a.gif в точке с абсциссой hello_html_m62c149a7.gif (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Исследование функций с применением производной (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №4 необходимо использовать:

- Правило исследования функции hello_html_m4ad4c98a.gif на экстремум (см. методические рекомендации);

- Правило нахождения точек перегиба графика функции hello_html_m4ad4c98a.gif (см. методические рекомендации);

- Общую схему построения графика функции (см. методические рекомендации).

  1. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Какие физические задачи решаются с применением производной?

2). Как вычисляется угловой коэффициент касательной в данной точке кривой?

3). Приведите примеры функций, имеющих один максимум или минимум, множество максимумов и минимумов, не имеющих ни максимума, ни минимума.

  1. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

  1. Записать тему, цели работы.

  2. Выполнить задания №№1 – 4 (сделать вывод по работе).

  3. Ответить на контрольные вопросы.

  4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.



Критерии оценки:

«3» - любые два задания

«4» - любые три задания

«5» - все задания


Список литературы:

  1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

  3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.


Практическая работа


Вычисление неопределенного и определенного интегралов

Цели работы: 1. Сформировать умения и навыки вычисления неопределенных и определенных интегралов.

    1. Проверить усвоение методов интегрирования неопределенного и определенного интегралов.

Оборудование: Стенды (таблица неопределённых интегралов, формулы дифференцирования, таблица значений тригонометрических функций).

Справочный материал

1. Неопределенный интеграл.

  • Множество всех первообразных функции y=f(x) на некотором промежутке называется неопределенным интегралом от функции y=f(x) на этом промежутке и обозначается hello_html_m100ac2a4.gif, где символ hello_html_m750560fd.gif- знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.


Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. hello_html_1cfce2e0.gif

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению hello_html_26ed5a3b.gif

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная hello_html_m7419e5f9.gif.

4. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла hello_html_43433748.gif.

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций hello_html_4f4934c.gif.

Таблица неопределенных интегралов

1. hello_html_7c24f41f.gif; 8. hello_html_m5d8d792.gif;

2. hello_html_438e3f74.gif; 9. hello_html_m6ff23da2.gif;

3. hello_html_m3bf8087f.gif; 10. hello_html_58a7aa14.gif;

4. hello_html_m1c5ad7a9.gif; 11. hello_html_aef6e9d.gif;

5. hello_html_684510e5.gif; 12. hello_html_m2456c8dd.gif;

6. hello_html_362239ce.gif; 13. hello_html_m5aa72e12.gif;

7. hello_html_603e7138.gif; 14. hello_html_m5bdedb71.gif.

Методы вычисления неопределенного интеграла

1. Непосредственное интегрирование - это метод нахождения неопределенных интегралов, основанный на том, что при использовании таблицы интегралов, основных свойств неопределенных интегралов и элементарных тождественных преобразований данный интеграл сводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример №1

hello_html_73d1428a.gif


Пример №2

hello_html_mfa6c82d.gif


2. Метод подстановки - это метод интегрирования сложной функции. Сущность метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется с помощью непосредственного интегрирования.

В основе метода лежит формула замены переменной интегрирования в неопределенном интеграле:


hello_html_m40342639.gif где hello_html_324f4303.gifhello_html_49beeea1.gif


Алгоритм метода замены переменной:


1. Ввести новую переменную интегрирования, например hello_html_3dad748a.gif.

2. Найти дифференциалы от левой и правой частей полученного равенства: hello_html_m579cf9e.gif.

3. Выразить дифференциал переменной х через дифференциал новой переменной.

4. Вычислить неопределенный интеграл относительно новой переменной интегрирования методом непосредственного интегрирования.

5. В полученном после интегрирования результате перейти снова к переменной х.



Пример №3

hello_html_m450c4019.gif hello_html_3e553195.gif



Пример №4

hello_html_3716c2fa.gifhello_html_5a9c2c86.gif

Пример №5

hello_html_7ad411e4.gifhello_html_m10503fcb.gif

Пример №6

hello_html_53dcb4b7.gifhello_html_78cffbd6.gif

2. Определенный интеграл.


  • Приращение F(b) – F(a) любой из первообразных функций F(x) + C на отрезке hello_html_m62e8a76d.gif называется определенным интегралом от a до b функции y=f(x) и обозначается hello_html_19a0fdfd.gif, где числа a и b называются пределами интегрирования, a – нижним, b – верхним. Отрезок hello_html_m62e8a76d.gif называется отрезком интегрирования. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования.

  • Формула Ньютона – Лейбница hello_html_7aec20b2.gif.


Свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций hello_html_6be342b2.gif.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла hello_html_m26c3eff4.gif.

3. Определенный интеграл от дифференциала независимой переменной равен разности верхнего и нижнего пределов интегрирования hello_html_466448b0.gif.

4. Если в определенном интеграле пределы интегрирования равны, то интеграл равен нулю hello_html_4d91e5da.gif.

5. Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, то интеграл изменит знак на противоположный hello_html_b501f95.gif.

6. Если функция f(x) неотрицательна на отрезке hello_html_m62e8a76d.gif, то определенный интеграл от этой функции неотрицателен hello_html_3949daa1.gif.

Методы вычисления определенного интеграла


  1. По формуле Ньютона – Лейбница hello_html_7aec20b2.gif.

Алгоритм:


1. Найти неопределенный интеграл от функции f(x), в котором можно принять С=0.

2. В полученном выражении подставить вместо х сначала верхний предел b, а затем нижний предел a, и из результата первой подстановки вычесть результат второй.



Пример №7

hello_html_17c9f32.gif.


Пример №8

hello_html_f5fc63.gif.


Пример №9

hello_html_50283095.gif


  1. Метод замены переменной по формуле

hello_html_m5eb63c7a.gif, где hello_html_m769cebf3.gifhello_html_6a5e713a.gif.

Алгоритм:


1. Ввести новую переменную интегрирования, например hello_html_3dad748a.gif.

2. Найти дифференциалы от левой и правой частей полученного равенства: hello_html_m579cf9e.gif.

3. Выразить дифференциал переменной х через дифференциал новой переменной.

4. Найти новые пределы интегрирования hello_html_m17c0599a.gifи hello_html_m7e91be2b.gif, подставив заданные пределы a и b соответственно в введенную замену: hello_html_6a5e713a.gif.

5. Вычислить определенный интеграл относительно новой переменной интегрирования и новых пределов интегрирования по формуле Ньютона – Лейбница.


Пример №10

hello_html_41a2b230.gifhello_html_1cc65deb.gif

Пример №11

hello_html_m7902c60f.gif hello_html_72779a4.gif

Пример №12

hello_html_m1c1893ff.gif hello_html_475409a9.gif


Порядок выполнения работы

  1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

  2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

  3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:


Найти и вычислить интегралы:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

hello_html_39ca0a46.gifhello_html_7ca3608d.gifhello_html_m706768f5.gif


  • При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Примеры №1, 2 (см. методические рекомендации) и использовать:

- формулы из таблицы интегрирования 1, 2 (см. методические рекомендации);

- свойства неопределенного интеграла 4, 5 (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Примеры №№3-6 (см методические рекомендации) и использовать:

- Алгоритм метода замены переменной в неопределенном интеграле (см. методические рекомендации);

- формулы из таблицы интегрирования 6, 7 (см. методические рекомендации).

  • При выполнении заданий №3, 4 необходимо обратить внимание на Примеры №№7-9 (см методические рекомендации) и использовать:

- Алгоритм вычисления по формуле Ньютона – Лейбница (см. методические рекомендации);

- свойства определенного интеграла 1, 2, 3 (см. методические рекомендации);

- формулы из таблицы интегрирования 1, 2, 6, 7, 8, 9 (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Примеры №№10-12 (см методические рекомендации) и использовать:

- Алгоритм метода замены переменной в определенном интеграле (см. методические рекомендации);

- формулы из таблицы интегрирования 1, 2 (см. методические рекомендации).

  1. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Какое действие называется интегрированием?

2). Сформулируйте определение подынтегральной функции и подынтегрального выражения.

3). Выпишите формулу Ньютона-Лейбница и объясните ее смысл.

  1. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

  1. Записать тему, цели работы.

  2. Выполнить задания №№1 – 5 (сделать вывод по работе).

  3. Ответить на контрольные вопросы.

  4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.


Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания


Список литературы:

  1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

  3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.




Практическая работа


Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения

Цель работы: Научиться вычислять площади плоских фигур и объемы тел вращения с помощью определенного интеграла.

Оборудование: Плакаты (формулы площадей плоских фигур, формулы объёмов тел вращения). Стенды (таблица неопределённых интегралов).

Справочный материал

1. Вычисление площадей плоских фигур.

  • Геометрический смысл определенного интеграла: Определенный интеграл неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b] численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x),осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, т.е. S=hello_html_19a0fdfd.gif(см. Рис.1).

Основные случаи расположения плоской фигуры и соответствующие формулы площадей


у

у


y=f(x)






х

х


a

b


Рис. 2

Рис. 1





у


у



х

y=f(x)




a

x2

b

x1


х



Рис. 4


Рис. 3











y=f1(x)

у

y=f2(x)

у


y=f2(x)




y=f1(x)


y=f3(x)








х


a

b

c

х


Рис. 6




Рис. 5




Алгоритм решения задачи на вычисление площади плоской фигуры:


  1. Сделать приблизительный график заданных функций, ограничивающих площадь плоской фигуры.

  2. Найти пределы интегрирования.

  3. Выяснить, какой формулой площади плоской фигуры удобно пользоваться в данном случае.

  4. Вычислить площадь заданной фигуры.



Пример №1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_5f586bed.gif

Решение:

Применив формулу S=hello_html_19a0fdfd.gif, найдем

hello_html_60eb647f.gif





Пример №2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_4c8aaff6.gif


Решение:

По формуле S=hello_html_59b898c8.gif находим

hello_html_m6f1b7f7a.gif

Пример №3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_m7aadfc2a.gif

Решение:

Пределы интегрирования a и b находим из системы уравнений hello_html_1139d29c.gif

Отсюда

hello_html_3fff9524.gif

Следовательно, a=-3 и b=6. По формуле hello_html_m5cb18433.gif находим

hello_html_4c37ffc3.gif


  1. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, производится по формуле



hello_html_1a643551.gif







Пример №4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями hello_html_47007a0b.gif

Решение:

Применив формулу hello_html_m40e9d13d.gif, получим

hello_html_m66c1f22e.gif



Порядок выполнения работы

  1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

  2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

  3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:


Вариант I


Задание №1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_d2f1c93.gif

Задание №2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_155115b.gif

Задание №3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_mdeff208.gif

Задание №4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями hello_html_m1716bace.gif


Вариант 2


Задание №1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_m28691916.gif

Задание №2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_m48c541da.gif

Задание №3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_m67b1d36c.gif

Задание №4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями hello_html_m4f3c7217.gif


Вариант 3


Задание №1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_m457f0052.gif

Задание №2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_m536154f0.gif

Задание №3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_5986ec6.gif

Задание №4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями hello_html_m686e2e01.gif


  • При выполнении заданий №1, 3 необходимо обратить внимание на Примеры №1, 2 (см. методические рекомендации) и использовать:

- формулы вычисления площади плоской фигуры в зависимости от ее расположения (см. методические рекомендации Рис. 1, 2, 3, 4);

- Алгоритм решения задачи на вычисление площади плоской фигуры (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №3 (см методические рекомендации) и использовать:

- формулы вычисления площади плоской фигуры в зависимости от ее расположения (см. методические рекомендации Рис. 5, 6);

- Алгоритм решения задачи на вычисление площади плоской фигуры (см. методические рекомендации).

  • При выполнении задания № 4 необходимо обратить внимание на Пример №4 (см методические рекомендации) и использовать:

- формулу вычисления объема тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b (см. методические рекомендации).

  1. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Объясните, в чем заключается геометрический смысл определенного интеграла.

2). Как вычисляется объем тела вращения вокруг оси Оу?

  1. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

  1. Записать тему, цели работы.

  2. Выполнить задания №№1 – 4 (сделать вывод по работе).

  3. Ответить на контрольные вопросы.

  4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - любые два задания

«4» - любые три задания

«5» - все задания

Список литературы:

  1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

  3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

Практическая работа


Вычисление площадей поверхностей геометрических тел

Цель работы: Закрепить знания и умения при решении геометрических задач на вычисление площадей поверхностей геометрических тел.

Оборудование: Плакаты (многогранники, круглые тела), модели геометрических тел, микрокалькуляторы.

Справочный материал






Рис. 1 Рис. 3



Рис. 4





Рис. 2 Рис. 5







Порядок выполнения работы

  1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

  2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

  3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1


Задание №1. Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания 6см, а апофема равна 8см.

Задание №2. Найти площадь полной поверхности куба со стороной 8см.

Задание №3. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 5см. Боковое ребро призмы равно 10см. Найти площадь полной поверхности призмы.

Задание №4. Цилиндрическая труба с диаметром в 65см имеет высоту в 18м. Сколько квадратных метров жести надо на ее изготовление, если на заклепку уходит 10% всего требующегося количества жести?

Задание №5. В усеченном конусе радиусы оснований 1м и 2м. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 300. Найти полную поверхность усеченного конуса.


Вариант 2


Задание №1. Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 4см, 6см и 8см.

Задание №2. Найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 14см, а высота – 15см.

Задание №3. Найти площадь поверхности куба, если его диагональ равна 20дм.

Задание №4. Осевое сечение цилиндра – квадрат, длина диагонали которого 12см. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.

Задание №5. Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши 2м. Диаметр башни 6м. Сколько листов кровельного железа надо для покрытия крыши, если лист имеет размеры 0,7hello_html_m65bd56d8.gif1,4 (м2) и на швы пошло 10% требуемого железа?


  • При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Рис. 2 (см. методические рекомендации).

  • При выполнении заданий №2 и №3 необходимо обратить внимание на Рис. 1 (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Рис. 3 (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Рис. 4 (см методические рекомендации)

  1. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Сформулируйте определения площадей боковой и полной поверхностей многогранников.

2). Выпишите формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей круглых тел.

  1. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

  1. Записать тему, цели работы.

  2. Выполнить задания №№1 – 5 (сделать вывод по работе).

  3. Ответить на контрольные вопросы.

  4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.


Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания


Список литературы:

  1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

  3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005

Практическая работа


Вычисление объемов геометрических тел

Цель работы: Закрепить знания и умения при решении геометрических задач на вычисление объемов геометрических тел.

Оборудование: Плакаты (многогранники, круглые тела), модели геометрических тел, микрокалькулятор.

Справочный материал


Рис. 3


Рис. 1


Рис. 4






Рис. 2 Рис. 5







Порядок выполнения работы

  1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

  2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

  3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1


Задание №1. В правильной четырехугольной пирамиде высота 3см, а боковое ребро -5см. Найти объем пирамиды.

Задание №2. Найти объем правильной треугольной призмы, если сторона основания 8см, а боковое ребро 6см.

Задание №3. Измерения прямоугольного параллелепипеда 30см, 50см и 18см. Найти ребро равновеликого ему куба.

Задание №4. Диагональ осевого сечения цилиндра равная 12см наклонена к плоскости основания под углом 300. Найти объем цилиндра.

Задание №5. В равностороннем конусе (в осевом сечении правильный треугольник) образующая равна 10см. Найти объем конуса.


Вариант 2


Задание №1. Найти объем правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 6см, а высота 7см.

Задание №2. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которого 5см, 8см и 6см.

Задание №3. Найти объем куба с ребром 3дм. Как изменится объем, если ребро увеличить в 2 раза?

Задание №4. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3см и 9см. Найти объем шара.

Задание №5. Радиусы оснований усеченного конуса 10м и 6м, образующая наклонена к плоскости основания под углом 450. Найти объем конуса


  • При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Рис. 2 (см. методические рекомендации).

  • При выполнении заданий №2 и №3 необходимо обратить внимание на Рис. 1 (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Рис. 3 (см методические рекомендации)

  • При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Рис. 4 (см методические рекомендации)

  1. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Сформулируйте определения объема тела.

2). Выпишите формулы для определения объема прямоугольного параллелепипеда и прямой призмы и поясните смысл входящих в них параметров.

3). Можно ли применить формулу объема прямой призмы для вычисления объема прямого параллелепипеда?

  1. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

  1. Записать тему, цели работы.

  2. Выполнить задания №№1 – 5 (сделать вывод по работе).

  3. Ответить на контрольные вопросы.

  4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.


Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания


Список литературы:

  1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

  3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005


Литература

  1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

  3. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. - М.: Дрофа, 2005.

  4. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

  1. П.И.Алтынов Тесты. Алгебра и начала анализа. Учебно-методическое пособие. – М. Дрофа, 2005.



73


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 04.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Номер материала ДВ-028897
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх