Методические рекомендации к практическому занятию для студентов 2 курса по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» на тему: Решение задач на теорему сложения вероятностей.

Методические рекомендации к практическому занятию

для студентов 2 курса

по учебной дисциплине

 «Теория вероятностей и математическая  статистика»

 на тему: Решение задач на теорему сложения вероятностей.

Цель: научить учащихся решать задачи теории вероятностей на теорему сложения вероятностей.

Вид занятия: комбинированное

Проверка опорных знаний:

1)    Повторить определения классической вероятности и теорему сложения вероятностей

2)    Повторить правила вычисления теоретических задач по теореме сложения вероятностей

3)    Применять полученные знания по теме при решении теоретических задач

Применение знаний при решении типовых примеров и задач:

1.     При отправке груза со склада может быть выделена одна из двух машин, различного вида. Известна вероятность выделения каждой машины: Р(А)=0,2; Р(В)=0,4. Найти вероятность поступления на склад хотя бы одной из этих машин. (Р(А)+Р(В)=0,6).

2.     В урне 3 красных, 2 белых и 5 синих шаров. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность, что он окажется цветным? (Р(А)=5/10=1/2; Р(В)=3/10; Р(А+В)=0,8)

3.     В посевах пшеницы на поле 95% здоровых растений. Берут любые два растения. Найти вероятность того, что хотя бы одно из них окажется здоровым. (0,9975)

4.     Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш 20р,  на 10 билетов – 15р; на 25 билетов – 10р; а на остальных ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10р. (Р(А+В+С)=5/00+10/100+15/100=0,3)

5.     В коробке 250 ламп, из них 100 по 100Вт, 50 - 60Вт, 50-15Вт. Вычислите вероятность того, что мощность каждой лампы не превышает 60Вт.(Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(Д)= 1; Р(Д)=1-100/250=1-0,4=0,6)

6.     Имеется 36 игральных карт. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность, что это будет вынута или козырная карта или туз. (Р(А)=1/4, Р(В)=4/36, Р(АВ)=1/36, Р(А+В)=1/4+4/36-1-36=1/3)

Дополнительные задачи к вариантам (на повышение оценки)

1вариант.

1.     От коллектива бригады, которая состоит из 4 женщин и 6 мужчин, на профсоюзную конференцию выбираются два человека. Какова вероятность, что среди выбранных хотя бы одна женщина.

2.     Среди одинаковых по внешнему виду 11 изделий находится 3 бракованных. Произвольно вынимают 3 изделия. Найти вероятность того, что среди них хотя бы одно бракованное.

2 вариант.

1.     Магазин получил продукцию с четырех  оптовых складов: 4 с первого, 5 со второго, 7 с третьего и 4 с четвертого. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.

2.     В коробке 10 красных и 6 синих пуговиц. Наудачу извлекают 2 пуговицы, какова вероятность того, что они будут одноцветными.

Варианты заданий.

Вариант 1.

1.     В урне 2 красных, 3 зеленых и 6 желтых шаров. Наудачу вынимают 1 шар. Какова вероятность, что он не зеленый.

2.     В ящике в случайном порядке положены 12 деталей, из которых 4 стандартные. Контролер взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из деталей окажется стандартной.

Вариант 2.

1.     На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 10 книг, причем 4 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 книги. Найти вероятность того, что, хотя бы одна из них окажется в переплете.

2.     Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо и тому и другому одновременно.

Вариант 3.

1.     В ящике 12 деталей, из них 5 окрашены. Сборщик берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того что, хотя бы одна из них будет окрашена.

2.     В урне имеются 7 черных шаров, 2 белых, 3 в горошек, 5 в полоску. Найти вероятность того, что из урны извлечен одноцветный шар.

Вариант 4.

1.     Имеется 16 игральных карт: 4валета, 4 дамы,4 короля и 4 туза. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность что будет вынута или козырная карта, или дама.

2.     Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 2, либо 5, либо и тому и другому одновременно.

Вариант 5.

1.     В урне 4 белых, 5 зеленых и 3 черных шара. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность, что он не черный.

2.     В ящике в случайном порядке положены 15 деталей; из которых 6 стандартные. Контролер взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из деталей стандартная.

Вариант 6.

1.     На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 12 книг, причем 7 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 книги. Найти вероятность того, что, хотя бы одна из них окажется в переплете.

2.     Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 5, либо 6, либо и тому и другому одновременно.

Вариант 7.

1.     В ящике 10 деталей, из них 7 окрашены. Сборщик берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того что, хотя бы одна из них будет окрашена.

2.     Из партии изделий ОТК проверяет половину и признает годной всю партию, если среди проверенных деталей, бракованных не более одной. Какова вероятность, что партия из 18 деталей, в которой 2 детали бракованные, будет признана годной.

Вариант 8.

1.     Имеется 16 игральных карт: 4валета, 4 дамы,4 короля и 4 туза. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность что будет вынута или козырная карта, или валет.

2.     Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 4, либо и тому и другому одновременно

Вариант 9.

1.     В урне 3 красных, 4 зеленых и 5 белых шаров. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность, что он не белый.

2.     В ящике в случайном порядке положены 14 деталей, из которых 5 стандартные. Контролер взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из деталей стандартная.

Вариант 10.

1.     На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 8 книг, причем 6 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 2 книги. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется в переплете.

2.     Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 2, либо 7, либо и тому и другому одновременно

Вариант 11.

1.     В ящике 10 деталей, из них 5 окрашены. Сборщик берет наудачу 2 детали. Найти вероятность того что, хотя бы одна из них будет окрашена.

2.     Из партии изделий ОТК проверяет половину и признает годной всю партию, если среди проверенных деталей, бракованных не более одной. Какова вероятность, что партия из 30 деталей, в которой 3 детали бракованные, будет признана годной.

Вариант 12.

1.     Имеется 16 игральных карт: 4валета, 4 дамы,4 короля и 4 туза. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность что будет вынута или козырная карта, или король.

2.     Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 6, либо и тому и другому одновременно

Вариант 13.

1.     В урне 4 красных, 6 синих и 3 желтых шаров. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность, что он не красный

2.     В ящике в случайном порядке положены 16 деталей, из которых 12 стандартные. Контролер взял наудачу 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из деталей стандартная.

Вариант 14.

1.     На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 14 книг, причем 6 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 книги. Найти вероятность того, что, хотя бы одна из них окажется в переплете.

2.     Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 6, либо и тому и другому одновременно.

Вариант 15.

1.     В ящике 17 деталей, из них 7 окрашены. Сборщик берет наудачу 4 детали. Найти вероятность того что, хотя бы одна из них будет окрашена.

2.     Из партии изделий ОТК проверяет половину и признает годной всю партию, если среди проверенных деталей, бракованных не более одной. Какова вероятность, что партия из 26 деталей, в которой 3 детали бракованные, будет признана годной.

Решение вариантов:

Вариант 1.

1.     В урне 2 красных, 3 зеленых и 6 желтых шаров. Наудачу вынимают 1 шар. Какова вероятность, что он не зеленый.

Решение: А- куплен зеленый шар,  – куплен не зеленый шар. Р(А)=3/11, Р()= 1-Р(А)=1-3/11=8/11

2.     В ящике в случайном порядке положены 12 деталей, из которых 4 стандартные. Контролер взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из деталей окажется стандартной.

Решение: всего 4 стандартные и 8 нестандартные детали. А – все детали нестандартные. n=; m=, Р(А)=336/1320=0,25. Событие  – хотя бы одна деталь стандартная, является противоположным событию А. Р()=1-Р(А)=1-0,25=0,75

Вариант 2.

1.     На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 10 книг, причем 4 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 книги. Найти вероятность того, что, хотя бы одна из них окажется в переплете.

Решение: Всего 4 в переплете и 6 без переплета. Событие А- ни одна книга не будет в переплете. n=, Р(А)=120/720=0,17. Событие  – хотя бы одна книга в переплете, является противоположным событию А.  Р()=1-Р(А)=1-0,17=0,83

2.     Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо и тому и другому одновременно.

Решение: всего двузначных чисел 90, всего исходов. А – число кратное 3 следовательно k=90/3=30, В – число кратное 5 следовательно исходов ℓ=90/5=18, совместному осуществлению событий А и В благоприятствует q исходов=90/(3*5)=6. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=30/90+18/90-6/90=42/90=21/45=7/15

Вариант 3.

1.     В ящике 12 деталей, из них 5 окрашены. Сборщик берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того что, хотя бы одна из них будет окрашена.

Решение: Всего 5 окрашенных и 7 неокрашенных. Событие А – хотя бы одна деталь неокрашенная. n=, m= , Р(А)=210/1320=0,16. Событие  – хотя бы одна деталь окрашена, является противоположным событию А. Р(=1-0,16=0,84

2.     В урне имеются 7 черных шаров, 2 белых, 3 в горошек, 5 в полоску. Найти вероятность того, что из урны извлечен одноцветный шар.

Решение: А – извлечен черный шар, В – извлечен белый шар. А+В – извлечение одноцветного шара. Р(А+В)=7/17+2/17=9/17.

Вариант 4.

1.     Имеется 16 игральных карт: 4валета, 4 дамы,4 короля и 4 туза. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность что будет вынута или козырная карта, или дама.

Решение: А- вынута дама, В – вынута козырная карта. Р(А)=1/4, Р(В)=1/4, Р(АВ)=1/16. Р(А+В)=1/4+1/4-1/16=7/16.

2.     Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 2, либо 5, либо и тому и другому одновременно.

Решение: всего двузначных чисел 90, всего исходов. А – число кратное 2 следовательно k=90/2=45, В – число кратное 5 следовательно исходов ℓ=90/5=18, совместному осуществлению событий А и В благоприятствует q исходов=90/(2*5)=9. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=45/90+18/90-9/90=42/90=54/90=0,6

Вариант 5.

1.     В урне 4 белых, 5 зеленых и 3 черных шара. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность, что он не черный.

Решение: А – достали черный шар, Р(А)=3/12 вероятность того, что достали черный шар, тогда вероятность того, что достали не черный шар равна=1-3/12=0,75

2.     В ящике в случайном порядке положены 15 деталей; из которых 6 стандартные. Контролер взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из деталей стандартная.

Решение: всего 6 стандартные и 9 нестандартные детали. А – все детали нестандартные. n=; m=, Р(А)=504/2730=0,18. Событие  – хотя бы одна деталь стандартная, является противоположным событию А. Р()=1-Р(А)=1-0,18=0,82

Вариант 6.

1.     На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 12 книг, причем 7 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 книги. Найти вероятность того, что, хотя бы одна из них окажется в переплете.

Решение: Всего 7 в переплете и 5 без переплета. Событие А- ни одна книга не будет в переплете. n=, Р(А)=60/1320=0,045. Событие  – хотя бы одна книга в переплете, является противоположным событию А.  Р()=1-Р(А)=1-0,045=0,955

2.     Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 5, либо 6, либо и тому и другому одновременно.

Решение: всего двузначных чисел 90, всего исходов. А – число кратное 5 следовательно k=90/5=18, В – число кратное 6 следовательно исходов ℓ=90/6=15, совместному осуществлению событий А и В благоприятствует q исходов=90/(5*6)=3. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=18/90+15/90-3/90=30/90=0,3

Вариант 7.

1.     В ящике 10 деталей, из них 7 окрашены. Сборщик берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того что, хотя бы одна из них будет окрашена.

Решение: Всего 7 окрашенных и 3 неокрашенных. Событие А – хотя бы одна деталь неокрашенная. n=, m= , Р(А)=6/720=0,008. Событие  – хотя бы одна деталь окрашена, является противоположным событию А. Р(=1-0,008=0,992

2.     Из партии изделий ОТК проверяет половину и признает годной всю партию, если среди проверенных деталей, бракованных не более одной. Какова вероятность, что партия из 18 деталей, в которой 2 детали бракованные, будет признана годной.

Решение: А – среди проверенных изделий, бракованных нет. В – среди проверенных изделий одна бракованная. Партия изделий будет признана годной, если произойдет событие А+В, события А и В несовместны Р(А+В) =Р(А)+Р(В). Посчитаем вероятность события А. Из 18 изделий можно отобрать для проверки 9 изделий, т.е n=, m=, Р(А)=4/17. Для события В количество благоприятных исходов (число способов отбора 8 набракованных изделий и одного бракованного), поэтому Р(В)==0,3. По теореме сложения вероятностей: Р(А+В)=0,2+0,3=0,5.

Вариант 8.

1.     Имеется 16 игральных карт: 4валета, 4 дамы,4 короля и 4 туза. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность что будет вынута или козырная карта, или валет.

Решение: А- вынут валет, В – вынута козырная карта. Р(А)=1/4, Р(В)=1/4, Р(АВ)=1/16. Р(А+В)=1/4+1/4-1/16=7/16.

2.     Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 4, либо и тому и другому одновременно

Решение: всего двузначных чисел 90, всего исходов. А – число кратное 3 следовательно k=90/3=30, В – число кратное 4 следовательно исходов ℓ=90/4=22, совместному осуществлению событий А и В благоприятствует q исходов=90/(3*4)=8. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=30/90+22/90-8/90=44/90

Вариант 9.

1.     В урне 3 красных, 4 зеленых и 5 белых шаров. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность, что он не белый.

Решение: А – достали белый шар, Р(А)=5/12 вероятность того, что достали черный шар, тогда вероятность того, что достали не белый шар равна=1-5/12=7/12

2.     В ящике в случайном порядке положены 14 деталей, из которых 5 стандартные. Контролер взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из деталей стандартная.

Решение: всего 5 стандартные и 9 нестандартные детали. А – все детали нестандартные. n=; m=, Р(А)=504/2184=0,23. Событие  – хотя бы одна деталь стандартная, является противоположным событию А. Р()=1-Р(А)=1-0,23=0,77

Вариант 10.

1.     На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 8 книг, причем 6 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 2 книги. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется в переплете.

Решение: Всего 6 книг  в переплете и 2 без переплета. Событие А- ни одна книга не будет в переплете. n=, Р(А)=1/28. Событие  – хотя бы одна книга в переплете, является противоположным событию А.  Р()=1-Р(А)=1-1/28=27/28

2.     Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 2, либо 7, либо и тому и другому одновременно

Решение: всего двузначных чисел 90, всего исходов. А – число кратное 2 следовательно k=90/2=45, В – число кратное 7 следовательно исходов ℓ=90/7=13, совместному осуществлению событий А и В благоприятствует q исходов=90/(2*7)=6. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=45/90+13/90-13/180=103/180

Вариант 11.

1.     В ящике 10 деталей, из них 5 окрашены. Сборщик берет наудачу 2 детали. Найти вероятность того что, хотя бы одна из них будет окрашена.

Решение: Всего 5 окрашенных и 5 неокрашенных. Событие А – хотя бы одна деталь неокрашенная. n=, m= , Р(А)=20/90=2/9. Событие  – хотя бы одна деталь окрашена, является противоположным событию А. Р(=1-2/9=7/9

2.     Из партии изделий ОТК проверяет половину и признает годной всю партию, если среди проверенных деталей, бракованных не более одной. Какова вероятность, что партия из 30 деталей, в которой 3 детали бракованные, будет признана годной.

Решение: А – среди проверенных изделий, бракованных нет. В – среди проверенных изделий одна бракованная. Партия изделий будет признана годной, если произойдет событие А+В, события А и В несовместны Р(А+В) =Р(А)+Р(В). Посчитаем вероятность события А. Из 30 изделий можно отобрать для проверки 15 изделий, т.е n=, m=, Р(А)=0,11. Для события В количество благоприятных исходов (число способов отбора 14 набракованных изделий и одного бракованного), поэтому Р(В)==0,39. По теореме сложения вероятностей: Р(А+В)=0,11+0,39=0,5.

Вариант 12.

1.     Имеется 16 игральных карт: 4валета, 4 дамы,4 короля и 4 туза. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность что будет вынута или козырная карта, или король.

Решение: А- вынут король, В – вынута козырная карта. Р(А)=1/4, Р(В)=1/4, Р(АВ)=1/16. Р(А+В)=1/4+1/4-1/16=7/16.

2.     Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 6, либо и тому и другому одновременно

Решение: всего двузначных чисел 90, всего исходов. А – число кратное 4 следовательно k=90/4=22, В – число кратное 6 следовательно исходов ℓ=90/6=15, совместному осуществлению событий А и В благоприятствует q исходов=90/(4*6)=3. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=22/90+15/90-3/180=34/90=17/45

Вариант 13.

1.     В урне 4 красных, 6 синих и 3 желтых шаров. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность, что он не красный

Решение: А – достали красный шар, Р(А)=4/13 вероятность того, что достали черный шар, тогда вероятность того, что достали не красный шар равна=1-4/13=9/13

2.     В ящике в случайном порядке положены 16 деталей, из которых 12 стандартные. Контролер взял наудачу 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из деталей стандартная.

Решение: всего 12 стандартные и 4 нестандартные детали. А – все детали нестандартные. n=; m=, Р(А)=12/15*16=0,05. Событие  – хотя бы одна деталь стандартная, является противоположным событию А. Р()=1-Р(А)=1-0,05=0,95

Вариант 14.

1.     На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 14 книг, причем 6 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 книги. Найти вероятность того, что, хотя бы одна из них окажется в переплете.

Решение: Всего 6 книг  в переплете и 8 без переплета. Событие А- ни одна книга не будет в переплете. n=, Р(А)=1680/24024=0,06993. Событие  – хотя бы одна книга в переплете, является противоположным событию А.  Р()=1-Р(А)=1-0,06993=0,93007

2.     Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 6, либо и тому и другому одновременно.

Решение: всего двузначных чисел 90, всего исходов. А – число кратное 3 следовательно k=90/3=30, В – число кратное 6 следовательно исходов ℓ=90/6=15, совместному осуществлению событий А и В благоприятствует q исходов=90/(3*6)=5. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=30/90+15/90-5/180=40/90=4/9

Вариант 15.

1.     В ящике 17 деталей, из них 7 окрашены. Сборщик берет наудачу 4 детали. Найти вероятность того что, хотя бы одна из них будет окрашена.

Решение: Всего 7 окрашенных и 10 неокрашенных. Событие А – хотя бы одна деталь неокрашенная. n=, m= , Р(А)=5040/57120=0,088. Событие  – хотя бы одна деталь окрашена, является противоположным событию А. Р(=1-0,088=0,912

2.     Из партии изделий ОТК проверяет половину и признает годной всю партию, если среди проверенных деталей, бракованных не более одной. Какова вероятность, что партия из 26 деталей, в которой 3 детали бракованные, будет признана годной.

Решение: А – среди проверенных изделий, бракованных нет. В – среди проверенных изделий одна бракованная. Партия изделий будет признана годной, если произойдет событие А+В, события А и В несовместны Р(А+В) =Р(А)+Р(В). Посчитаем вероятность события А. Из 30 изделий можно отобрать для проверки 15 изделий, т.е n=, m=, Р(А)=0,11. Для события В количество благоприятных исходов (число способов отбора 12 набракованных изделий и одного бракованного), поэтому Р(В)==0,39. По теореме сложения вероятностей: Р(А+В)=0,11+0,39=0,5.