Методические рекомендации к теме "Стереометрия"

   «Стереометрия»- раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

«Аксиомы»- утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, которые не требуют доказательства.

В стереометрии появляется новая фигура – плоскость.                    

 Плоскость - ровная поверхность (поверхность стола, доски), изображаемая в виде параллелограмма, обозначается греческими буквами  

Аксиома 1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2: Если две точки прямой лежать в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Аксиома 3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

   Следствия из аксиом:

1.      Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

2.      Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Взаимное расположение прямых и плоскостей.

Способы задания плоскости.

1.      Тремя точками, не лежащими на одной прямой.

2.      Прямой и точкой вне ее                                         

3.      Двумя пересекающимися прямыми                     

Расположение двух плоскостей.

1.      Плоскости параллельны (не имеют общих точек)

2.      Плоскости пересекаются по прямой                       

Расположение прямой и плоскости.

1.      Прямая лежит в плоскости               

2.     Прямая пересекает плоскость         

3.      Прямая и плоскость параллельны   

Расположение двух прямых.

1.Две прямые лежат в одной плоскости

А) пересекаются        

Б) параллельны          

2. Две прямые не лежат в одной плоскости

А) скрещиваются       

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой,  то эти прямые скрещивающиеся.

   Метод проецирования заключается в том, что любая из множества точек пространства может быть спроецирована с помощью проецирующих лучей на любую поверхность (плоскость).

   Параллельное проецирование– это проецирование, при котором центр проецирования удален в бесконечность. При этом проецирующие лучи параллельны между собой.

При параллельном проецировании сохраняются следующие свойства фигур:

- Свойство фигуры быть точкой, прямой и плоскостью.

- Свойство фигур иметь пересечение.

- Деление отрезка в данном отношении.

- Параллельность прямых и плоскостей.

- Свойство фигуры быть треугольником, параллелограммом, трапецией.

- Отношение длин параллельных отрезков.

- Отношение площадей двух фигур.

При параллельном проецировании не сохраняются следующие свойства фигур:

- Свойство прямых и плоскостей образовывать между собой углы определенной градусной меры (в частности быть взаимно перпендикулярными).

- Отношение длин не параллельных отрезков.

- Отношение величин углов между прямыми (в частности, свойство луча быть биссектрисой угла).

Изображение отрезка

Произвольный отрезок на чертеже можно считать изображением данного отрезка.

Изображение треугольника

В качестве изображения данного треугольника на чертеже можно брать произвольный треугольник.

Изображение параллелограмма

Изображением данного параллелограмма можно считать произвольный параллелограмм.

В частности изображением прямоугольника, ромба и квадрата будет параллелограмм.

Изображение окружности

Параллельной проекцией окружности является эллипс.

Эллипс используют при изображении на плоскости цилиндров, конусов, усечённых конусов и сфер.

Углы между прямыми и плоскостями.

  Углом между пересекающимися прямыми, называется наименьший из углов, образованных при пересечении этих прямых (если при пересечении образовались четыре равных угла, то прямые перпендикулярны).

   Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.

 Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

   Угол между плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения.

Этот угол не зависит от выбора такой плоскости.

Угол между двумя параллельными плоскостями принимается равным нулю.

Перпендикуляр и наклонная.

   Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
   Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

   Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

AB – перпендикуляр к плоскости α.
AC – наклонная, CB – проекция.
С – основание наклонной, B - основание перпендикуляра.

Задача 1.

Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А1, С1, А2, С2 соответственно.
Найти ВС1, если А1В : А1А1 = 1 : 3, ВС2 = 12.

Решение.

Рассмотрим рис. 1.

1) Так как А1В : А1А2 = 1 : 3, то А1В = х, А1А2 = 3х.

2) Плоскость (АВС) пересекает плоскость α по прямой А1С1, а плоскость β – по прямой А2С2. Так как плоскости α и β параллельны, то параллельны и прямые А1С1 и А2С2.

3) Рассмотрим угол АВС. По теореме Фалеса выполняется:

ВА1/ВА2 = ВС1/ВС2.

Кроме того, ВА2 = ВА1 + А1А2, а значит, учитывая пункт 1    ВА2 = ВА1 + А1А2 = х + 3х = 4х.

Тогда х/(4х) = ВС1/12, то есть ВС1 = 3.   Ответ: 3.

Задача 2.

 Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 4 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника и равен 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ.

Дано: ∆АВС

          С – прямой угол, АС = ВС,

          АВ = 4 см

           СМ ┴ (АВС)

           СМ = 2 см

Найти: МК (расстояние от М до АВ)

                      Решение:

                ∆МСК – прямоугольный     

               (МС┴ (АВС), то МС┴СК)

               МС = 2 см, найдем СК

               ∆ВСК – равнобедренный (угол  

              при вершине В - 45˚)

               КС = КВ = 2 см

                                                                                                  По теореме Пифагора:              

                                                                            МК =